Chuyén đề: PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ * Tính chất lũy thừa với số mũ hữu tỷ q=" smeZ,neZ vaa €Q 8 €Q) n +) a= a” = nfm : a a a +) a“a?=a°??„ # - av’ ; (2) = tL =a” a 4) (4B)°=áP, b* ; BỊ ` +) Nếu a> 1 thì a“ >aÊ © ø > +) Nếu0<a< 1 thì aZ>aŸ © ø< 8
+) Lưu ý: Với n chẵn : “fa xác định khi a >0 Với n lẻ : ÂM, xác định với moi a
ie
ab = ab la)" =a" =a" Affa = "ga
A PHUONG PHAP BIEN DOI TUONG DUONG
* Hai phương trình (Bat phương trình) được gọi tương đương khi chín có cùng tập nghiệm * Một số phép biến đổi tương đương
+) Cong trừ hai vê của phương trình (hay bắt phương trình) với cùng biểu thức mà không làm thay đôi điều kiện của phương trình
+) Nhân chia hai về của phương trình của phương trình với cùng biêu thức (luôn khác 0) mà không làm thay đôi điều kiện của phương trình (Đối với bắt phương trình, nhân âm đồi chiều , nhân ¡ dương không đôi chiéu) +) Lũy thừa bậc lẽ hai vê,khai căn bậc lẽ hai về của phương trình (hay bát phương trình)
+) Lũy thừa bậc chăn hai về, khai căn bậc chăn hai về khi hai về của phương trình (hay bat phương trình) cùng đương
+) Nghịch đảo hai về của bất phương trình khi hai về
+) Trong các điều kiện tồn tại,ta có: z »ẽ
cùng dương ta phải đôi chiều
Với ƒ()>0.g(x)>0 thì 75°26 S/(9<e@®
1./ Kỹ thuật luỷ thừa hai vé 1) Phép lity thita hai về: * Phương trình: a) *“Ÿƒ@&)=sœ)©/(@)=g””œ) 2k 7 f(x) = g"*(x) b) W-see| g(x) 20 c) *Y F(x) = fe) © f(x) = a(x) _ f(x) = g(x) 9) 34/7) = 34/øŒ) © { Mu e) 4= Tin 4= VB =| *Bất phương trình: a) rel F(x > 2#+IÍø (x) = f(x) > g(x) b) 34Í/(+) > 3/6(4) © Ứ Cog a) s(x)>0 2 4>0 "JABS 428 hoặc B>0 B<0 4>0 *)VA4<B©Jp>0: A<B 3) VA < VB ©0<A<B
( Đối với các trường hợp còn lại với dấu <, 2, cdcem có thể tự suy luận _ khi lũy thừa với mũ chăn điêu kiện biêu thức lữy thừa dương, lũy thừa lẻ không cần điều kiện)
2) Lưu ý:
- Dac biệt chú ý tới điều kiện bài toán (nếu điều
Trang 24x-3<0 4x-3>0 “| bo | 3x—-2>0 3x—-2>(4x-3)° —Sx<— 2 oO 3 4 fcxcl —<x<l 4 os 2 Vay tập nghiệm: T = [33 1) đ V3x24+x-42x41 x+1<0 4 3x2 +x-420 mm = = x+1>0 l1+441 x> 3x?+x-4>(x+D° 4 Vậy tập nghiệm: r-(-3|-|ĐỶ ás] Bai 2: Giaipt: Vx +4-Vl-x=vl-2x (1) Giải (DO Vl-x+Vl-2x = Vx 44 1-x20 S 1-2x>0 ( R—x+Jl-2xy =x+4 1 2235 ws Ye 2x+1=A2x)—-3x+1 1 x<È⁄2 S 2x+1>0 (2x+U? =2x”—3x+l = 2<x<1⁄2 oS += 0 [= % Vay pt có nghiệm x = 0 Bai3: Giải bât phương trình 5x—1-Jx-1>J2x—4 Giải: TS(A)_2005 5x-1>0 x-l>0 2x-4>0 Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với X5x—1>x/x—1++2x-4 ©5x-l>x-l+2x-4+2./(x-1)(2x- 4) ©2x+4>2((x-1)(2x-4) (x>2>x+2>0) Điều kiện : ©x>2 () ©(x+2)>(x-1(2x-4) ©0<x<10 @) * Kết hợp (1) và (2) ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho: T =[ 2; 10) HL/ Kỹ thuật chia điều kiên Ä) KỸ thuật : - Nếu bài toán có điêu kiện là x €D mà D = D,UD, v UD, - Ta có thể chia bài toán theo n trường hợp của tập xác định (điêu kiện) :
+ Trường hợp 1: x CD), giải phương trình, bắt phương trình ta được tập nghiệm Tì
+ Trường hợp 2: x € D;, giải phương trình, bắt
phương trình ta được tập nghiệm T›
+ Trường hợp n: x € D„,giải phương trình, bat
phương trình ta được tập nghiệm Ta „
> Khi lây nghiệm phương trình, bát phương trình ta phải lấy hợp tất cả các trường hợp
nghiệm T = Tị UT, v UT,,
2) Yêu cầu :
Trang 3Ve 3x42 + vx? 4x43 > 2¥x?-5x+4 (2) Giải: Điều kiện: x?-3x+2>0 x?-4x+3>0 & x24 hoặc x « l x?-5x+4>0 *Trường hợp 1: x > 4 (2)5J&-D-2)+jô-D-3)>2j&-D@-4) @ âx-I(x-2+x-3)>2Jx-l\x4 â 4Jx-2+xx-3>24x-4 © wdx-2-x4x-4>4x-4-4/jx-3 Vìx > 4 nên về trái dương còn về phải âm nên bất phương trình nghiệm đúng Vậyx > 4 là nghiệm *Trudng hop 2: x < 1 (2)=4ú-xX2-x)+/q-x)G-*) > 2/q-+)đ-x) Œ) © 4l-x(v2-x+†+x3—-x)> 2yl-x4J4—-x ©-x(x42-x+A3-x)> 22-x 44-x x=l <3 | „sử 3-x>244-x (*) Dễ thấy(*)© 3⁄2 - x-A4- x > J4—-x -\B-x Vì x < lnên 0< 2 -x<4-x © 4J2-x- J4-x<0 4-x>3-x>0<> 4j4-x- 43- x >0 = (*) VN
Kết luận :Bpt có nghiệm x > 4 hoac x=1
HHỊ/ Kỹ thuật khai can
1) Đưa biểu tlufc ra ngoài căn thức : 5 4 khiA>0 + la * 2 -|4= + eal Pe z0 H (ana Ex |E| x x0) » 142 =4 * 2n A = |4| 2) Lựu ý: - Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đăng thức 20+, Al =A 3) Vĩ dụ: Bài 1: Giải: yx +2Vx—1 44 x+2Vx-1 >> (1) Giải: ae jx-+2-1 +1 +x|x—I-2jx-1 +1 > ©WQ£=1+ĐP +QE=T= Để > = Vx 1+ 1+|yx-1-I| > > *V6i Vx-1-1 20 © x-l>l€© x> 2 Bắt phương trình trở thành 3 Jx—-1+l+4/4x—1-1> > © 44x-1>3 25 â 16x-16>9 ô6â x> _ Ta có tập nghiệm : m= ( +0 ) i SS voi: VE=T41 <0.9{* oy @ IS x<2 3 > < Bất phương trình trở thành : 3 3 Vx-l+l-YJx—-l+1> > 22> 5 naling) Taco tapnghiém :T2=[1: 2) * Vậy bất phương trình có nghiệm T= TT; = [1;+œ) * Chú ý: Bài này ta có thê giả bằng phương pháp bình phương hai về IV./Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa về phương trình (ích 1) Phuong trinh tich f(x) =0 * f(x).g(x) = 0 ©| g(x)=0 2) Lưu ý:
Trang 42 2 TT mxeof off —*+l=P(vậnghiệm ) —x>0 x<0 * Ta cóvx—1>0 và 3x” > 0— VT@) > 0 voi Vx => (2) Vô nghiệm
* Vậy phương trình đã cho vô nghiệm V./ Kỹ thuật nhân chia liên hợp
1) Biểu thức nhân chia liên hợp
J4tJB< (4B)
+ 1 _ VAFVB
VJA+jÐB a-p “*®)
2) Lưu ý:
-Nên nhầm với một số nghiệm nguyên đơn giản - Chú ý tới các biếu thức nhân chia liên hợp - Phải dự đoán được nghiệm của phương trình : 3) Ví du: x?+a) =cx-d+vx)+b? Bài 2:Giải pt:A3x+1—xJ6—x +3x?—14x—§=0 (2) (ĐH B 2010) Bai 1: Giaipt: Vx? +15 =3x-2+Vx° +8 (1) Giải: * Ta có ()© Vx? 415 -Vx? +8 =3x-2 x?+l5-x”-8 So — ———— _ ~3X-—2 vx? +15 + Vx? +8 7 Oo — i —— =3x-2 (*) ix? +15 + f/x? +8 => (*)conghiém thi 3x-2>0 Gx > 2/3 * Mat khac: ()© Vx? +15 -4=3x-3 4x? 48-3 x? -1 xi © —————— -~3(x-Ì)! ——————— 4x '+l5+4 4x?+8+3 x + x+1 © (x- 1)(————_ - ——- 3) = 0 ( LG rer Vix? +8 +3 ) x +1 x41 ~ 3 =0(*) ©Sx-=lhoặc-==— _—_———— ° 4x +1544 fe +843 2 5 5 ` *Dox> 3 nen x +15+4>yx +8+3 vaxt+1>0 x +1 ————— < x41 — ~ vx? 41544 9 yx? +843 = Vếtrái (*) luônâm => (*) VN
*Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1 *Chú ý: Bài này việc quan trọng nhất là phải nhầm
được nghiệm x = 1 và các em đề ý tới đặc điêm ix +15 — 4 =0 3x —3 =0 va ¥x* +8 -3 =0 voix =] Thường dùng cách gidi tuong tu cho cdc bai toán : Giải: * Điêu kiện: -55 x<6 ,khi đó (2) <> (W3x+1-4)+ (1- f6—x) 43x? -14x-5=0 © v11 16, 176tx +(x-5)(3x+1) =0 XÄx+1+4 1+46-x c 3(x—S5) + x5 AAx+l+4 1+A6-x 3 1 ©(x-5)|-————`——='`+'l |=0 ( ln 14+V6—x ) x-5 =0 | Se v3x+l+4 l+x6-x * Theo điều kiện 3x + 1> 0—VT (*) luôn đương > Œ') vô nghiệm
Do đó phương trình đã cho có nghiệm: x Z 5
*Phân tích bài toán : Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm nguyên thì: +(x-5)\3x+l) =0 +3x+l= 0 (*) 3x+1=a? , + xt =a? +30? =19 (a,b là số tự 6 -x=b nhién )
+ Chỉ có a = 4, b = ] là thỏa mãn yêu câu, từ đó ta có thê dự đoán x = 5 là nghiệm : VI Một số bài tập tự luyện: Bài 1l: Gii|x+2Jx-1+4k-2kei=X t3 2 HD: x—1+1+/¥e-1-1|-75 Dap: x=1,x=5 Bai2: Giaipt: ¥x-1+ V¥x-2= V2x-3 HD:Lập phương cả hai về đưa về phương trình tích Đáp : x =1 x= 2 và x= 3/2 2 x ———— -33x-2 =1-x v3x—2 HD: Tìm điều kiện xác định ,q„uy đồng đưa về phương trình tích Dap: x =1
Bài 4: Giâ¡pt: vjx + J2x —1 +yx-V2x—-1 = 2
Trang 5Đáp: x = -1⁄2 Bài 6: Giảipt: (4x-1)AJx? +1=2x”+2x +1 HD: +)Vì 2x2+2x +1>0,Ax” +1 >0 nên đếpt có 1 nghiệm thì4x 1> 0 Sx> +) Bình phương hai về Dap: x = 4/3 Bài 7: Giải bất phương trình (x? -3x)¥2x? -3x—-2 =0 (TS(D)_ 2002) HD: DK: 2x° —3x—2 > 0 Xét 2 trường hợp + Truong Hop 1: 2x° — 3x-2=0 + Truong Hop 1: 2x° — 3x-—2>0 Bai 8: Giai bat phương trình: ¥x* —x-12 <7-x HD : bình phương hai về Dap: T=(-© ;-3) [4 ;61/13) Bài 9: Giải bat pt: Vx +3 - V7—-x >V2x-8 HD : Chuyển về,bình phương Đáp: T=[-1; 5) \J(6 ; 7 j Bài 10: Giải bất phương trình: 2 Y:-l,VUy-3>_—— vx-3 vx-—3 HD: Quy đồng Đáp: T= (5 ;+ ®) Baill: Giải bất phương trình: —1 .„_ 1 A2x?+3x-5 2x-l HD: Chia điều kiện, dùng phép nghịch đáo Bình phương hai về Đáp: T=(-+ 3-5/2) (1;3/2) U2 ;+%)
Bai 12: Giai bat pt: (x — 3)V¥x* —4 <x’? -9
Trang 6
B: PHUONG PHAP BIEN DOI THEO PHUONG TRINH HE QUA :
(áp dụng cho giải phương trình ,ít áp dụng cho giải bắt phương trình )
1) Phương trình hé qua:
2) Môi số phép biến đỗi hệ quả cơ bản
* Với D; là tập xác định của (1) : với D› là tập xác định của (2) và D; CD;
Đx) =gŒ@) (1) © (9 = g'Q
fx) =g(x) (1) > fix) + h(x) = g(x) th) (2) fix) = g(x) (1) © Đx).h(@x) =g(x)h@&) (2)
(- Bình phương hai vé( khéng chú ý tới điêu kiện cả hai về đều dương)
- Cộng trừ ,nhân(khác 0), chia(khác 0) hai về với
một biểu thức làm hạn chế điều kiện của phương
trình ) 3) Lưu ý :
- Giải phương trình theo phương pháp hệ quả ta
không cân chú ý tới điều kiện bài toán, sử dụng các
Iphép biến đổi hệ quả cho ra các nghiệm ,sau đó thể vào phương trình để loại các nghiệm ngoại lai (cũng có thể kết hợp điều kiện xác định để loại bớt các nghiệm ngoại lai)
- Điểm khó khăn nhất của phương pháp này là các
nghiệm vô tỷ, 4) Một số ví dụ:
C: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ÂN PHU
EL Một số _vêu cầu đối với phương pháp này:
- Dạng này HS cân nhớ các thể đặt ẩn Từ đó mở rộng cho các bài toán tương tự
-Chủ ý tới các điều kiện của ẩn
HH Một số dang toán và các bài làm mẫu
Trang 71 * Voi t>2 tacd:/x +—= >2 24x J2? 2 x>š+42 “+2 3 -.—- 2 © 0<x< 3 -*2 2 * Với t< : (loại - không tm điều kiện) * Vaynghiém: T= (0,5 - 2) UGH i+ 2) * Chú Ý: Có thể mở rộng cho dạng : h.[ Ñx) + f”() ] + b[ Ể(œ) + f ”@œ) ] +c =0| Bai4: Giải phương trình: Jx+3 +A6—x -.Jj(x+3)\(6-x)=3 (3) Giải: *Datt=V/x+3 +V6-—x 2_ = /Œ13@6-x)= 2 (3) trở thành: t——^= 2 3 œ l-: t=3 1 * Vớit=T—1 = Ax+ 3 +4J6-x = —1 (vô nghiệm) *Véit=3> JVx+3 +V6—x =3 [2g x=6 *Chú ý: - Bài toán có thê giải bàng cách đưa về hệ phương trình với u= 4x +3 và v=v6—x Hay áp dung đối với dạng : k/x+a +I45 — x-m./(x + đ)(6 - x) = c Bài 5: Giải phương trình : *?x+7+A7x—6+2Al49x°+7x—42 <181-14x (1) Giải: sae 7x+7>0 6 * Điêu kiện : ©<=x>—: 7x-6>0 7 *Dat t=V7x+7+V7x-6,t20 SP =7x4+74+7x-64 24f(7x+7)(7x-6) > 14x+2,f(7x+7)(7x-6) =? -1 * Ta Có : * Vậy (1) trở thành: ??+f—1<181 t +t-182 <0 = ©0</<13 t>0 t>0 (D©47x+7+/7x—6+14x+2A/49x?+7x—42 <181 * Với 0 <t< 13 => /?x+7+\ý7x-6<13 7x+7+7x—6+2./(7x+7)(7x—6) <169 = x>- 6 7 ¥49x? +7x—42 <84-7x = x>-— 7 49x? +7x—42 <(§4—7+)? 6 x<6 eS x>— 246 7 7ex<l2 Đ4-7x>0 â 8 cx c6 a Vậy tập nghiệm: T = | Ti 5}
2) Đặt ẩn piuu đưa về lệ phutơng trình :
Chú ý: Đôi vơi phương pháp này ta có thể đưa về hệ hai ân khác ân của phương trình hoặc có thé chỉ đặt một ân và ân còn lại của hệ là ân của phương trình ban dau Wí dụ 1: Giảipt : x°—xx+5 =5 @: Giải: Điều kiện : x > —5 Đặt t= VX +5 (t>0) ©=x+5 ©—x=5 Ta có hệ pt J” “““Ở (hệ đối xứng loại2) t—x=5 Giải hệ ta được: v.I-v2I alta `2 (loạj) ; ^ J2 (tm) ; 1-21 ,-1+21 2 2 v._1-MU7 v.—1+ M7 “OQ (t/m) ; — 2 (loai) ca, ;-_1‡ V21 _=I-X21 2 2
Vậy pt có nghiệm: x= PT xe avi
Trang 8Giải: * Dat: u=4Bx—-2 O 3x=u +2 15x = Su +10 = f6—5x > 5x = =v’ +6 => 15x =18-3v’°(v 20) * Ta có hệ phương trình: 2u+3v-8=0 = 3v=8-2u (1) Su? +3v? =8 15u3+(3v)?-24=0 (2) * Thế (1) vào (2) ta được phương trình : 15uŸ + (Đ2u) 24=0 â (u+2)(15u - 26u + 20) =0 „` +2 © u=-2>x= =2 * Vậy phương trình có nghiệm : x=-—2_ *Chú ý: Có thể mở rộng cho dang
aijaxtb +bfaxt+b,+c=0 (VxeR)
3) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình,bất phương
trình lưt iác( Htơng giác loá, *Chú ý:
% Đối với phương pháp này ta cần chú ý tới đ/k
của ân [-1 : 1 ] hoặc một khoảng hay một đoạn
nam trong [-1: 1]
> Dat x=sint vdixe [-1: J=td = 4 x 9 > pat x=cost vdixe[-1; 1] >t 40:74 % Khoảng của t luôn lấy trong một phần của chu
kì của hàm lượng giác vừa đặt sao cho tương ứng x và t là 1 và 1
z
* Đặt x=cost ,với cc|0: Z| :
Ta có bất phương trình : sin't+cos°*’t < 1
Trang 9b) Mé réng cho pt: x” + J(l-x°)" =x.J2(1-x’) HD: Dat t= V1— x* dua vé hé Bai 6: Giaipt : x +x+12 Vx +1=36 HD: Dat t= Jeol > xtl=t? œ X't†x=f-(@x+l)=-t Ta có pt: tÝ — tP + 12t= 36 e (t-2(t13)(-t+6)=0 Đáp:x=3
Bài 7: Giải phương trình : /x + Š — Vx =1 HD: Dat u=/r45 v= Vx đưa về hệ pt —w=]l „2 +) =3 (t>0) Dap: x= 2/2 va x=l =—
Bài 8: Giai phwong trinh : Vx —1+ ⁄2—x =1
Trang 10D PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ } * Nhớ được cách xét tính đơn điệu của hàm số, lập bảng biến thién, * Nhớ các bắt đẳng thức
* Thường áp dụng cho các bài toán đặc thù, phức tạp, khơng có thuật tốn cụ thê, nhưng hay có trong các kỳ thi Đại học những năm gân đây 7
1/Kỹ thuật sử dung bất đẳng tluức đễ đánh giá hai vế:
1) Bat ding thức tông dụng : *) Bât đăng thức CauChy:
+
a) Cho a>0, b20= 2 > Jab
Đăng thức xây ra khi và chỉ khi a= b
b) Vớia >0, ø& >0, ,a,>0 —„Ä1*42—- i ân „ 4.œ 4, b Dấu “= ” khi đị =đ; = = đạ
*) Bất đẳng thức Bunhiacôpski :
a) Với mọi số thực a, a›, bị, b;, ta luôn có
(a¡b, +a¿b;)” < (a¡ +a;)(bị +b;)
l _vees saai ail a,
Dau “=” khi — = 2
bb,
b) Với mọi ai, aa, an „ Ðị, bạ, bạ ta luôn có
(a,b, +a,b, + +a,b,}” <(&2 +a; + +a2Xbỷ +bệ + +bŸ) Dấu “= "khi “L=“2=,„.=“” b, b, b, 2)ưu ý : 3) Ví dụ : = 1-2œ°—x+D <0 > (4) x- vx <1- 2? - x41) © We -x4+1 <1-x+¥e @ * Mat khac : ( theo bất đăng thức Bunhiacôpski) \2@ -x+I)= Í=)|d-3 +(# |>I-x+x ®) Dấu bằng xây ra khi : „3-5 | 1-x=4x = {te 1-x+x4x>0 I-x>0 ` 2 us _—~ 3-5 * Vậy: (a)C© 2(x°—x+1) =1-x+Xx©x= 5 3-5 2 * Tap nghiém : r-| IL/RỸ thuật sữ dụng khảo sát hàm số để đánh giá 1) Thuật toán: -
Để giải phương trình f(x) = g(x) , bắt phương trình: ƒx) > 8ø) Ứ&) < g(x) Se) > gx), #4) © g(x) ), takhdo sat ,hay can cite vao tinh chat ham s6 y =f(x) vay =g(x) , dua ra bang biến thiên và từ bảng biến thiên để đưa ra kết luận
b) Lưu ÿý :
Nếu m là tham số thì y = h(m) là đường thẳng song song với trục hồnh ©) Các ví dụ : 2 Ví dụ]: Giải bpt: x1+x +x1—x <2-7 Vi dul: Tim a dé bat phuong trình sau có nghiệm x+3x-1«<a(/x-jx-l) (Œ*) l+x>0 ©-l<x<l: Giải: Điều kiện: 1-x>0 Khi đó : 4 @) ©1+x+1-x+2wl-z? S4-0 47 x* @(I-x°-2 i-x?+1)+= 20 16 2 x4 @(vi-#-1) tí >0 Luôn đúng vx e[-1:1] Vay nghiém cua bat phuong trinh la: —-1<x<1 Vi du2: Giai bpt: _ ave (4) pm(A) 2010 1-2œ° -x+J 7 Giải: 2 x20 * Điêu kiện : 2 ©Sx>0 X-xtl> 0 *Tacd 4/2@~x+J =vJ# +(Œ=D°+1>1 Giải: * Điêu kiện: x > 1, khi đó -Œœ-J ()o x+3x-l<a X-@=)_ vx + vx-1 œ (x+3x°-1)( Vx +Vx-1) < a * Xét ham sé: f(x) = (x°+ 3x? - 1) Vx + Vx -1) £(x) = (3x? + 6x)( Vx + Ve -1) +(x*+ 3x’ - 1) 1 1 (Ok oven (Vi x >1 thi3x’+6x >0, >0,x°+3x’-1>0 1 1 Vx +Vx—-1>0va ——#+———>0 ave 2A#-I ) Suy ra: fx) đồng biến trên [1: +) > f(x) >Ñl)=3
lim f (x)= lim[Q + âxˆ -DWX+\x—1 )]=+s f(x) lién tuc trên [1; +2)
* Bang bién thién:
)>Ovdi x21
Trang 11
* Vậy bât phương trình có nghiệm khi a > 3 Vidul: Timm dé pt: 2x” -2mx +1 = 32|2xÌ+x có hai nghiệm thực phân biệt Giải: * Điều kiện bài toán: 2x *+x FOS x20 * Ta có: 2x?-2mwx+l1=342xÌ+x (1) > mx = 2x? +1- 32x? +x Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) q)© 2m= B8 uy x # 1 1 * Đặt 2x+—=/,Vì x> 0> 2x+—>242 x x (theo bat đẳng thức cô-si) 1 2x?—1 * Xét y=fWQ= 2x+_— cóy`= aie =0 x x ¥=0 > x= + ` ~ 4/2 * Bang bién thién: y = f(x) 1 x ø y' = o + y +oo too ⁄ 2/2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi t >2./2 thì có hai nghiệm x> 0 (1) trở thành m = xt = >i (t >245) (2) m Sử ' +00 Để (1) có hai nghiệm thì (2) có một nghiệm t> 22 5 3 * Xét hàm số y = g(t) = x - su .,_1 3 _ 4-6 _ _ v6 có y = ft ae nS *Bang bién thién y = g(t) t - 242 +00 y' ⁄0 + Y 2 2 wg ps TY sdnkeam tdnicsô:kd 2 nghiệm phân biệt
HH/ Kỹ thuật sit dung tính chất đơn điệu của hàm
SỐ trên miền xác định :
1) Thuật toán: - > -
Néu ham s6 y = f(x) chi dong bien hoặc nghịch biên trên D, u(x) và v4) có miên giá trị là tập con của D
khi đó ta có : ffu()) = fw()) CS u(4) = v&) ;
#fu&)) <ƒW&)) > ue) < vex)
( Tương tự cho các dấu <,2 va >) 2) Lưu ý: 3) Các ví dụ : Ví dụ1:Giải pt:(x+3)j|x+1+(x—3)J1—x+2x=0 (1) Ngay 24/102010 Giải: * Điêu kiện: x+120 x2-1 2S = -l<x<l 1-x20 x * Ta có : ()â(x+DN+l+x+1+2 x+l= (x)jI-x+l1-x+2x41-x â(@x++(@Ax+U?+24x+ 7 (@1-x)+(@H-x)+2V-x (đ) * Xét hàm số : y = f{x) = xỶ +XŸ + 2x Có f(x)=3x” +2x+2 >0 với mọi xe R Do đó y= xÌ +x? + 2x đồng biến trên R * Xét u(x) = Jx+1 và v(x) = v/1-x đều có miền giá trị [0 : too) Mà: f|\*Äd| =(Jx+Ð)°+(@Qx+Ð)+2/x+1 = VTŒ) f(JI-x)= (I-x)*+Cll-x)+21-x = VP) > (*)S f(VƠx4+1)=f(V1-x) â v¥x4+1 = Vl-x x+l=l-x x=0 eo > ox=0 1-x>0 <1 * Vậy (1) có nghiệm x = 0 IH/ Kỹ thuật sữ dụng tính chất đối xứng hai nghiệm : Bài 3: Cho phương trình 4x+xl—x+2m./x—x) -21lxI—x)=mẺ` Œ9 Tìm m đề phương trình (*) có nghiệm duy nhất Giải: * Điều kiện 0 <x< 1
* Nhận xét nếu x„ là nghiệm của phương trình thì 1 — xa căng là là nghiệm của phương trình
Trang 12* Thay x, = ; vào (*) ta được : fe ET.„ BỊ 1-5 )-¬b{ 1-5 =2 j5 tmè 2jš= mỲ © mÌ—m =0 ©| m=1 -1 > Voim=0 (*) tro thanh nh x(l-x)=0 (1) ©(W-M=x x=l-x 1 Yx =Vl-x © ©Sx=_— =wx * fet * 2 Vậy m = 0 thỏa mãn > Vớim =-l (*)trởthành 4x+xl~x—2./xd-x)-24lxd- x) =-l @) ©ÍWx-1=xŸ +I-2j#q—x) =0 ©(-W=x +1—x-2,/x(l-x)+x=0 ` 1 {ee x=0 @O 2 x ^-x=0 Gi) a Vay m=—1 thoa man +) Vớim = 1 (*) trở thành x+x-x+2./xqd-x)-2‡zđ-x)=1 @) ©ÍWx-=xŸ =1-2/xq—») ©(Ww-1=xŸ =(w- w=xŸ (3’)
Dé thay (3') có hai nghiệm x = 0 và x = 1
Vậy m =—1 không thỏa mãn
* Kết luận: với m = 0 hoặc m = - 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất 3>m6t sé bài tập tự luyện: =i<42=:e|0:42] _, Pt trở thành ø+2) =-? $1429 2 tH? _ t+2 (Đánh giá về trái ) Đáp: A|2-1<m<1 Bài 3: Xác định a đề pt AJ4x?+2x+1— 4x?—2x+1=2ø có nghiệm Đáp : -1/2 < a< 1/2
Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m đê phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt : 42x + 2x+2Ÿ6—x+2V6— x =7 TS(A) 2008 HD: * Đều kiện : 0 < x < 6 * Xét hàm số ƒx) = 42920002000 1 1 / *F¢ “ere sử ‡Í(6— x) = " * Đặt uœ)=— 1 1 * sss mui) ovux)> 63 f(x) >0 x <2 thi u(x) < 0 va v(x) <0 > f(x) <0 X = 2 thi u(x) = 0 va v(x) =0 > f(x) =0 Dap: 26 +26 <m<3V2+6
Trang 13D SU DUNG TAM THUC BAC HAI - Xem phan 1: Vidu 1: Giai và biện luận phương trình : Xa+x=a-xa-x (ID)
Gidi: (ID © Ja+xtvVa-x=a *Dat: u=Vat+x>0 ,V=Va-x=0
Khi đó:uˆ = xt+a.v =a-x utv=a u+v=a tị * 'Ta CÓ : a 1 2 „4-24 (1) u>+v? =2a 2
Vậy u v là nghiệm pt; 2XỶ - 2aX + a(a-2)=0 (*) Vì u,v không âm nên (*) phải có nghiệm không âm * với A'= a(4-a) > 0
X, = 2724-2) x,=4‡ v4 =4)
3 2 3 2
= (1) có nghiệm : b =X, hoặc '
Vv
+ THỊ: nếu A'= 0 = a =O hoac a=
khi đó „XI =X:=a
PT (II) có nghiệm duy nhất x = 0
+ TH 2: (*) có 2 nghiệm trai dau a.c<0 © a(a-2)<0 e 0 <a<2, khi đó X; <0( loại) ,X›a >0(tm) Suy ra: x=Uu-a=X?-a= avya(4 = a) 2 V ậy pt đã cho có 1 nghiệm x= 4x“ - 4) 2 + TH 3: (*) có 2 nghiệm phân biệt không âm A'>0 0<a<4 ©‹5>0<©= a>0 P>0 a> 2 hoac a <0 khiđó X¡ >0 (tm), X› >0 (t/m) Do đó pt đã cho có 2 nghiệm : 5 a,ja(4—a Xi=X,-a aja4~4) : — > ©2<a<4 2 ala(4—a X= xX; -a - aro + Các trường hợp còn lại đều VN Kết luận:
+ Với a = 0 hoặc a = 4 phương trình có nghiệm duy nhat:x = 0 +Với 0 <a<2 phương trình có 1 nghiệm x= aya(4- 4) 2 + Với 2 < a< 4 phương trình có 2 nghiệm: x= a,a(4—a) x aja(4—a) > “2 2 2 *Chú ý: Bài foán trên nếu bình phương xế đơn giản hơn Vi du 2: (DH Khôi B - 2006) Tìm m đề phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 24x” + x +2 = 2x +1 (1) 2x+1>0 (Ne tne —(m-4)x-1=0,(2)
Đê (1) có hai nghiệm thực phan biệt thì (2) có hai