Tim hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu đẻ tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp?. Khi do ơ„ chính là số các vâu nhị phản khóng có hai số 0 liên tiếp kết
Trang 1
\ Ngbigm của công thức truy hôi: Hãy tìm nghiệm của công thức truy hồi với điều kiện đầu lưới đây:
a) Gy * Bay VỚI đụ =2
Loi giải
3.3.d,2) =3 ).đ,;
= 373.093) = 3° ans
3232) = 3" ay
= 3" GB.ag) = 3" ay
b)a}áp =ứni +2 — với dụ =3
Lời giải
a = aya t 2
= (dy.2 + 2) +2 = ayy + 2.2
= (yg + 2)4+242 = Gynt 3.2
(ay + 2) +242 = a) +02
=3+2n
c)ứa=đniptn với ao =I
Lời giải
=aotn-ltn
= ay2 + (n-2) + (n1) +n 1
an t]Ì+2+,+n-2+nel+n
= {+ nín-Ì)/2 d) ay # đụ + 2n + 3 với áo =4
Lời giải
ay = an + (2n + 3)
= ayy + (2(n-1) + 3)) + (2n + 3) = 24
= ay.3 + (2 (n-2) + 3) + 2( 2n + 3) 25
=a + (2-n+ +(2(n-1)+3)+ (n +3)= n(2nt3
n
2n+ 3)-2
3
+
(3n+3) - 2 -2.2
II Xây dựng công thức truy hồi
| Tim hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu đẻ tính số các xâu nhị phân độ dài n và không
có hai số 0 liên tiếp?
Lời giải:
ó 0 liên tiến Khi đó:
Gọi a, là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai
© Vớin=l tà có ay =2 vì chỉ có hai xâu "0” và "1
© Voi n=2 ta cd a) = 3 vì có 3 xâu 01, T0, { là hợn lệ
Goi a, là số các xâu nhị phân có độ đài n (nz3) Khi do ơ„ chính là số các vâu nhị phản
khóng có hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số Í cộng với s xâu nhị nhân không chứa hơi số
0 liên tiếp kết thúc bơi số 0) Trong do:
Trang 2
«_ Số các xâu nhị phân không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số ! chính là số các xâu
nhị phân như thế độ dài n-1 và thêm vào số 1 Như vậy, số các xâu loại này chính là
An
* Số các xâu nhị phân không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số 0 thì bít thứ n-I phải là
số I Nói cách khác, số các xâu nhị phân không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số 0 chính là số các xâu nhị phân như thé dé dài n-2 sau đó thêm 10 vào cuối Do vậy, số các xâu loại này là an,
Từ đây theo qui tắc công ta có số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai số 0 liên tiếp thỏa mãn hệ thức truy hôi :
ân ân + ân; VỚI âi”2, 8; =3 ;
2 Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không
có hai số Ì liên tiếp ?
Lời giải:
Goi a, 1a số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai số 1 liên tiếp Khi đó:
« Vớin=] ta có ai =2 vì chỉ có hai xâu 0 va I
e_ Với n=2 ta có a; = 3 vì có 3 xâu 00, 01, 10 là hợp lệ
Với n>3, a„ được chia thành hai tập : tập các xâu nhị phân không có hai số 1 liên tiếp kết thúc bởi số 0 và tập các xâu nhị phân không có hai số 1 liên tiếp kết thúc bởi số Í Bây giờ ta tính toán trực tiếp cho từng tập:
©_ Tập các xâu nhị phân không có hai số ¡ liên tiếp kết thúc bởi số (J : tập này được xây dựng bằng cách lay bất kỳ xâu nhị phân nào có độ dai n-1 sau đó thêm số 0 vào sau đều thỏa mãn Do vậy số lượng tập các xâu nhị phân không chứa hai số ! liên tiếp
kết thúc bởi số 0 chính là a„.;
e_ Tập các xâu nhị phân không có hai số 1 liên tiếp kết thúc bởi số I thi bít thứ n-I phải ]à số 0 Nói cách khác, số các xâu nhị phân không có hai số 1 liên tiếp kết thúc bởi số
1 chính là số các xâu nhị phân như thế độ dài n-2 sau đó thêm 0Ï vào cudi Do vậy, số
các xâu loại này là „2
Từ đây theo qui tắc cộng ta có số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai số 1 liên tiếp thỏa mãn hệ thức truy hỏi :
Ay = Any + ân VOI ay=2, 4; =3:
3 Một hệ thống máy tính coi một xâu các chữ số hệ thập phân là một từ mã hợp lệ nếu nó chứa một số chẵn chữ số 0 Ví dụ 1230407869 là hợp lệ, 120987045608 là không hợp lệ
Giả sử a„ là số các từ mã độ dài n Hãy tìm hệ thức truy hồi cho an?
Với n =I ta có 9 xâu thỏa mãn điều kiện vì có 10 xâu nhưng xâu có một số 0 la khong hyp
lệ Bây giờ ta xem xét cách biểu diễn các xâu hợp lệ độ dài n thông qua các xâu độ dai n-1 Xâu hợp lệ có thể được xây dựng bằng hai cách:
© Cách thứ nhất: từ một xâu hợp lệ độ dai n-Ì ta thêm bất kỳ một số khác 0 nào cũng trở thành một xâu hợp lệ độ dài n Số lượng các xâu loại này là 9a„
« Cách thứ hai: từ một xâu không hợp lệ độ dài n-1 ta thêm số 0 vào cuối cũng trở thành một xâu hợp lệ độ dai n Sô các xâu không hợp lệ độ dai n-t chính là !/0”” -d
I
Theo qui tắc tổng, an thỏa mãn hệ thức truy hồi
Trang 3
đụ = 9.44 + 10” = ai = 8a, + 10 , với n>2 và ái =9
4 Một hệ thông máy tính coi một xâu các chữ số hệ thập phân là một từ mã hợp lệ nếu nó chứa một số lẻ chữ số 0 Ví dụ 1230407869 là không hợp lệ, 120987045608 ta hợp lệ
Giả sử an là sô các từ mã độ dải n Hãy tìm hệ thức truy hồi cho a,?
Lời giải:
Với n=] ta có 10 xâu thỏa mãn điều kiện Bây giờ ta xem xét cách biểu diễn các xâu hợp
lệ độ đài n thông qua các xâu độ dài n-1 Xâu hợp lệ có thể được xây dựng bằng hai cách:
© Cách thứ nhât: từ một xâu hợp lệ độ dài n-1 ta thém bất kỳ một số khác 0 nảo cũng
trở thành một xâu hợp lệ độ dài n Số lượng các xâu loại này là 9a,.¡
s Cách thứ hai: từ một xâu không hợp lệ độ dài n-I ta thêm số 0 vào cuối cũng trở
thành một xâu hợp lệ độ dài n Số các xâu không hợp lệ độ dài n-l chính là /0" “đn-|-
Theo qui tắc tổng, an thỏa mãn hệ thức truy hồi
Ay = 9.4 + 10"! = ayes = Bay 109, Với ai =10
a) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và
không có ba số 0 liên tiếp?
b) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có bón số 0 liên tiếp?
c) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu đề tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có 5 số 0 liên tiếp?
d) Chimg minh rang số các xâu nhị phân có độ dài N không chứa K số 0 liên tiếp (N Ke) thỏa mãn hệ thức truy hồi a, = ay.) + aga + aya tect apg VOH aad’, (I<i<K), a
=I, Lời giải:
a) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không
có ba số 0 liên tiếp?
Gọi a, là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa ba số 0 liên tiếp Khi đó:
© Vớin=l ta có ai =2 vì có hai xâu “0°” và "1 đêu là những xâu hợp lệ
© = Véi n=2 ta có a; = 4 vì có 4 xâu 00, 01, 10, 11 đều là những xâu hợp lệ
e Với n=2 ta có a; = 7 vì có 7 xâu 001, 010, 011 100 101, 110 111 là những xâu hợp lệ Xâu 000 là không hợp lệ
Goi a, 1a số các xâu nhị phân có độ dài n (n>4) Khi đó z„ chính là số các xâu nhị phan khong cé ba s6 0 lién tiép két thúc bởi số I cộng với số các xâu nhị phân không chúa ba số
0 liên tiếp kết thúc bởi số 0 Trong đó :
»_ SỐ các xâu nhị phân không có ba số 0 liên tiếp kết thúc bởi số I chính là số các xâu nhị phân như thế độ dài n-| và thêm vào số 1 Như vậy, số các xâu loại này chính là nel
© S06 các xâu nhị phân không có ba số 0 liên tiếp kết thúc bởi số 0 được chia thành
hai loại : Loại 1 là số các xáu nhị phân như thể kết thúc bởi 00, Loại 2 là số các xảu
nhị phân nhục thế kết thúc bởi 10 Loại ! chính là số các xâu nhị phân như thế có độ
đài n-3 sau đó ta thêm 00 vào cuối (vì bít thứ a„; =1) Số các xâu nhị phân loại I
Từ đây theo qui tắc cộng ta có số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai số 0 liên tiếp thỏa mãn hệ thức truy hồi :
ân = Any + Ana + ays VOI al=2, a2 =4, a =7 5
Trang 4
8} Tìm hệ thức truy hội va cho điều kiện đầu dé tính số các xâu nhị phân độ dài n có ít nhât một dãy có hai số 0 liên tiép? b) Tìm hệ thức truy hồi và cho điêu kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n có ít nhất một đãy có ba số 0 liên tiếp?
e) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n có ít nhất một dãy có bốn số 0 liên tiếp?
8) Tìm hệ thức truy hôi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n có ít nhat mot day có năm số 0 liên tiếp?
©) Chứng mính rằng số các xâu nhị phân có độ dài N có ít nhất một dãy K số 0 liên
tiếp (N, K>1) thỏa mãn hệ thức truy hỏi S, = 2° - (Ant + Anz + Ans tut An ), với
n>k va A=2', (1Si<K), A, = 241
Lời giải:
a) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dải n có ít nhất một dãy hai số 0 liên tiếp?
Gọi Š là số các xâu nhị phân độ dài n chứa ít nhất một dãy có ít nhất một dãy hai số 0 liên tiếp Khi đó S„ chính là số các xâu nhị phâm có độ dài n trừ đì số các xâu nhị phân độ dài n không có hai số (0 liên tiếp Số các xâu nhị phân có độ dài n là 2" Gọi 4„ là số các các xâu
nhị phân độ dài n không có hai số Ø liên tiếp (giống như bài I) Khi đó,
Sy = 2" Ay Q)
° Voin =i tacé A) =2 vied hai xau “0" va “1 déu là những xâu không có hai số 0 liên tiếp
¢ Voi n=2 ta có 4; = 3 vì có duy nhất xâu 00 là xâu có hai số 0 liên tiếp
Với ¡>3 khi đó A„ chính là số các xâu nhị phân không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số 1 cộng với số các xâu nhị phân không chúa hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số 0) Trong đó :
»_ Số các xâu nhị phân không có hai số (0 liên tiếp kết thúc bởi số † chính là số các xâu nhị phân như thé độ đài n-I và thêm vào sé | vào cuối Nhự vậy số các xâu loại này chính là A„¡
«_ Số các xâu nhị phân không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số 0 thì bít thứ n-] phải là
số 1 Nói cách khác số các xâu nhị phân không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bởi số ọ chính là số các xâu nhị phân như thế độ dài n-2 sau đó thêm 10 vào cuối Do vậy sỐ
các xâu loại này là A,.2
Aa* Apt Ang VOI n23 va A) =2, Ay =3 (2) Thay 4, vao (1) ta nhận được công thức truy hồi cho số các xâu nhị phân độ dài n cỏ ít nhất một dãy hai số 0 liên tiếp
Sn = 2” sÁu với n>3 va Ay= Ant + Aga Ái =2 4; =3 @)
Trang 5
HI- Giải các hệ thức truy hồi với điều kiện đầu dưới đây:
a) Gy = 13a.) - 22@y-2 VOI N22 Va đọ =3 và ai = 15, b) a, = 14a, - 49 Gn VOI N22 Va đọ =3 và ai = 33
©) an = +34, - 22a, với n>2 và a =3 va a, = 15
d) @y = -1 4p.) - 49ay.9 VOI N22 Va a =3 va a, = 35
©) Oy = aq.) + Aya - 24.3 VOI N23 VA ay =3 va a; =6, az =0
Ðan= 78, + Ốđn với n>3 và a =9 va ay =10, ay =32
B) đa = 2ay.) + 5ay.9 - 6ay.3 VOi N23 VA ay =7 va a, =-4, a =8
1 Giải các hệ trức truy hồi cùng các điều kiện đâu dưới đây:
đ) Ay = đụ; + Ôđ„¿ VOI N22, ay=3, a; = 6
8) ay = Tay + 60.3 với n> 3, an = 9, ai = 10, ay =32
đ) an = đại + Õđ,; với n>2, au=Ä a; = 6
® Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng:
r~r-6=0 Ψri=3,ry=-2
® - Xây dựng công thức cho a„
4, = ar! + a,r) = a3" +a,(-2)"
* Tim cdc hang sé oy, a thông qua các điều kiện đầu:
a=
@, =6=a,3' +a,(-2)' =3a, ~2a,
2
12
a, =3=a,3° +a,(-2)" =a, +a, s
3
5
s - Xây dựng công thức tổng quat cho a,
1
a, = 0)3" +a(-2)" = 123" 432)
2 Giải các hệ trức truy hồi cùng các điều kiện đầu dưới đây:
4) tạ = -đân | - 4an.; với n> 2, aụ=0, ai = 1
b) an = 2n) + đ„y— 2đ; với n> 3, an = 7, ai = -4, a› = 8 4) qạ = -4a„ ¡ - Ád„¿ với n> 2, ag=0, ai = Ì
® _ Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng:
® Xây dựng công thức cho a„
4, = On" + mr = a,(-2)" + a.n(-2)"
© _ Tim các hằng số ơi, œ thông qua các điều kiện đâu:
( =0= a4 (-2)" 40,02) =0, “=0
a, =1= @,(2)' +a,.1(-2)' =a, -2a, a= 5
Trang 6® - Xây dựng công thức tổng quat cho a,
a, = @,(-2)" +a,.n(-2)' = ~5n(-2)"
B) ay = 2y.7 + Op.2~ 24y.3 với n> 3, an =3, a; = 6, a2 = 0
© Tim nghiém ctia phuong trinh dac trung:
P-W-r42=0 ®n=2.r;=l,rs=-l
e Xay dung céng thirc cho a,
4, = ON" +Qyr! + ayn =a,2" +a,(l)" +a,(-1)"
© Tìm các hằng số œ¡, ơ;, ơ, thông qua các điều kiện đầu:
t dy =3=a,2° +a," +a,(-1)" =a, +0, +0, a, =-1
a, =6=@,2' +@,1' +a,(-1! =2a, +a, -a, => lay =6
a, =0=0,2? +@,1’ +@,(-1)’ =4a, +a, +0, a,=-2
© XAy dung céng thức tổng quát cho a,
a, = 0,2" +a41" +a,(-1)" =(-1)2" + 6.1" —2-1)"
C) Gy = 7aq.2 + 64y.3 VOI N23 Va agp =9 va a, =10, ay =32, °
« Tim nghiém cia phuong trình đặc trưng:
rh-T?r~6=0 ©rnp=-l.ra=-2.ra=3
e _ Xây dựng công thức cho a„
4, =r" + + đạn" =0 (—])” +a(—2)” + ay3ˆ
s Tìm các hằng số cy, a, ag, thong qua các điều kiện đầu:
4 =9=a,(—1)° +a,(-2)" +a,(3)" =a, +a, +0, a, =8
a, =10=a,(-1)! +a,(-2)' +a,,(3)' =-a, - 2a, +3a, => 4a, =-3
a, =32=a,(-l) +a,(-2)° +@,3) =a, +40) +90, a,=4
s Xéy dung céng thức tổng quát cho a,
a, =8.(-1)" ~3.(-2)" + 4)"
) ay = 24.1 + 5Qy.2 - 609.3 VOI N23 Va ay =7 va a, =-4, a, 28
° Tim nghiém cia phuong trình đặc trưng:
rh~2r?~5r+6=0 — Ory =] = 3.43 =-2,
© Xay dung céng thtrc cho a,
G, = Qn! +atyry + ar =a, (1)” +a,(3)" +a,(-2)"
© Tim các hằng s6 04, a, ot, thong qua các điều kiện đầu:
a, =7=4,(1)° +a,(3)° +a,{-2)° =a, +a, +a, a, =5
-l
a, =~4=a,(1)' +@,(3)' +@2,(-2)' =@, +30, -2a, => fa,
© Xây dựng công thức tổng quat cho a,
a, =5.(1)" - GY" + 3(-2)"
Trang 7ữ Be
R }
a
Iv TIM SO NGHIEM NGUYEN KHÔNG ÂM CUA PHUONG TRINH
1 Phuong trinh
XI TX¿Ê Xã + X4 + X: +X, =24
có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm sao cho
4)x,22 với i=l, 2, 3, 4, 5, 6? b) l<x) <5 và x; 38?
co) 18x, 85 va 38x) <7? 3) ÍSxị <5 và 3<x; <7 và xị >8?
3) X¡32 với i=l, 2, 3, 4, 5, 6?
Mỗi nghiệm của phương trình tương ứng với một cách chọn 24 phần tử trong đó có xị phần tử loại I, x; phần tử loại 2, x3 phan tử loại 3 x phần tử loại 4 Xs phan tir loai 5, x¢ phan ti loai 6 trong dé mỗi loại có ít nhất hai phần tử Như vậy, ta chon 2 phần tử cho mỗi loại sau đó chọn thêm 12 phần tử nữa Theo định lý ta có số nguyện nguyên không âm N của phương trình là: N=C(6 +12-1,12) = C(17,12) = 6188 b) Isx;<5 Đề x; 287
Gọi NI là số các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
X44, 42, 4x, +x, +x, = 24
x, 21x, 28
Theo cau (a) => NI = C(6+15-1,15)=C(20,15)=15504
Gọi N2 là số các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
Xi +3; Ti +tXy tXy tựy = 24
x, 26,x, 28;
Theo (a) => N2 = C(6+10-1,10)=C(15,10)= 3003
Như vậy, số nghiệm nguyên không âm của phương trình
Xi †X; tXi +X, tXy txy =24 I<x, $5,x, 28;
la N= Ni ~ N2 = 15504-3003=12501
€) Isx, <5 và 3<x;<7?
Gọi NI là số các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
X, +x, +x, +x, +x, +x, = 24
x, 21x, 23
Theo cau (a) => N1 = C(6+20-1,20)=C(25,20)=53130
Gọi N2 là số các nghiệm của phương trinh:
Xj, +X, +X, +x, +x, +x, =24
x, 26,x, 23;
Theo cau (a) => N2 = C(6+15-1,15)=C(20,15)=15504
Gọi N3 là số các nghiệm của phương trình:
Xi †X; +ờy tX, +y, tờ, =24
x, 21x, 28;
Theo cau (a) => N3 = C(6+15-1,15)=C(20.15)=15504
Gọi N4 là số các nghiệm của phương trình:
Xị †X; ty tX, +x, txy =24
x, 26,x, 28;
Theo câu (a)=> N4 = C(6+10-1,10)=C(15,10)=3003
Như vậy, số nghiệm nguyên không âm của phương trình
Trang 8
X +X, +X, +x, 4x, +x, = 24
1Sx(<53<x,<7;
la N = N1-N2-N3+N4 = 53130-15504-15504 + 3003 = 25 125
(Vì số nghiệm N4 bị trừ hai lần: một lần trong N2 và một lần trong N3)
) I<Sx¡ S5 và 3<x; <7 và x3 >8?
Gọi NI là số các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
X, +X, +x, 4%, 4%, +x, =24
x, 21x, >3.x, 28;
Theo cau (a) => NI = C(6+12-1,12)=C(17,12)=6188
Goi N2 là số các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
X, +X, 4X, +x, +%,4+x, = 24
x, 26,x, 23,x, 2 8;
Theo câu (a) => N2 = C(6+7-1,7)=C(12,7)=792
4 Gọi N3 là số các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
X, +X) +X, +X, +X, 4+, = 24
x, 2 ix, 28x, 28 Theo câu (a) => N3 = C(6+7-I,3)=C(12.5)=792
Gọi N4 là số các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
! X, +X, +X, +X, 4X, +x, = 24
x, 26,x, 28x, 28;
Theo cau (a) => N4 = C(6+2-1,2)=C(7,2)=21
Như vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình
X, +X, +X, +x, +x, +x, = 24
{ $x, S535 x, <7,x, 28)x, 20:1=4,5,.6,7
la N = N1-N2-N3+N4 = 4625
Trang 9
:
2 Số điện thoại đi động của một hãng viễn thông là một số có 10 chữ số dạng
09.M.N.XXX.XXX Miền xác định của các chữ số M N X được xác định như sau:
© M là số có giá trị từ ¡ đến 7 ,
e NIà số có giá trị từ 2 đến 9
© X là số có giá trị từ 0 đến 9
Hãy cho biết hãng viễn thông có thể phát hành được bao nhiêu số điện thoại thuộc mỗi loại a b,c,d dưới đây?
a Số các số di động có sáu số cuối cùng XXX.XXX tạo thành một số thuận nghịch sáu chữ số? Ví dụ số: 0913 103301 có sáu sô cuỗi cùng là 103301 là sô thuận nghịch
b Số các số di động có sáu số cuối cùng XXX.XXX tạo thành một số thuận nghịch sáu chữ
SỐ và không chứa bất kỳ số 0 nào? Ví dụ số: 0913 123321 có sáu so cuỗi cùng là 123321
là số thuận nghịch và không chứa số 0 nào
c Số các số đi động có sáu số cuối cùng XXX.,XXX là một số thuận nghịch có sáu chữ số và tổng sáu chữ số cuỗi cùng là 207 Ví dụ số: 0913.577775
d Số các số đi động có sáu số cuối cùng XXX.XXX là một số thuận nghịch có sảu chữ số và
tổng sáu chữ sô cudi cùng là một số chia hết cho 10?
Lời giả , ;
a Gợi P là số các sô thuận nghịch có 6 chữ số Vì M có 7 lựa chọn, N có 8 lựa chọn nên theo nguyên lý nhân ta có sô các số đi động có thê tạo nên là:
Vì số có sáu chit sO x1X2X3X4X5X6 là một số thuận nghịch có sáu chữ số nên x;=Xe >l xz=X; VÀ Xã
= xy Nhu vay ta chỉ cân xét xị, X;, Xạ sau đỏ viết tiếp xạ, xạ, xị ta nhận được ba số còn lại Vì 1<x1<9 nên x1 có 9 lựa chọn, 0<x2, x3<9 nên mỗi số có 10 lựa chọn Theo riguyên lý nhân ta có:
P =9.10.10 = 900 (2)
Thay P vào (1) ta có K = Tx8x900 = 50.400
b.Goi P là số các số thuận nghịch có 6 chữ số Vì M có 7 lựa chọn, N có 8 lựa chọn nên theo nguyên lý nhân ta có số các số di động có thể tạo nên là:
Vì số có sáu chữ số x¡X;X;Xax;x¿ là một số thuận nghịch có sáu chữ số và các chữ số đều khác 0 nên 1<x¡,Ð9 (i=1,2,3) Theo nguyên lý nhân ta có: P=9.9.9= 729
(2)
Thay P vào (1) ta có K = Tx8x729 = 40824
c Lập luận tương tự phân a ta có:
K = 7x8xP
Trong đó P là sô các số thuận nghịch có sáu chữ số và tông các chữ sô này là 20 Vì Vì số có sáu chữ số x;XaX;Xax;x¿ là một số thuận nghịch có sáu chữ sô nên P chính là số nghiệm nguyên không
âm của phương trình:
lsx, 590%, <9:0<x, <9:
Số nghiệm của (2) là P = C+9-1/9)— 1= C(1.9)-1 = 54.
Trang 10
Thay P vào (1) ta nhận được K = 7x8x54 = 3024
d Gọi P là số các sô thuận nghịch có sáu chữ số xịxaX;Xx;x; có tông là một số chia hết cho 10 Khi đó số các số di động có thé phát hành là K được xác định như phương trình (1)
K = 7x8xP
a ay
a Vì mỗi số đều nhỏ hơn 9 nên tổng của sáu số này là một số chia hết cho 10 chỉ có thể là 10, 20,
30, 40, 50 Theo nguyên lý cộng ta có:
P=Pli +P2+P3 + P4 + P5 (2)
Trong đó :
© _PI là số các số thuận nghịch có sáu chữ số và tổng sáu chữ số này là 10 PI chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình:
*ị+X; +xXịy =5 1<x, <90<zx;, <9;0<x; <9
4 © P2 là số các số thuận nghịch có sáu chữ số và tổng sáu chữ số này là 20 P2 chính là số
X, +x, +x; =10 Isx, $90sx, <905x, <9
=> PL = C(3+4-1,4) = C(6.4) = 15
=> P2 = C(11,9)-1 = 54
e _ P3 là số các số thuận nghịch có sáu chữ số và tổng sáu chữ số này là 30 P3 chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình:
Xy +X) +x, =15
ey <90 <x; <9;0<x, <9
P3 =C(16.14)-CŒ,3)- €(6,4)-C(6,4) = 120-21-15-15=69
© P41asé cdc sé thuận nghịch có sáu chữ số và tống sáu chữ số này là 40 P4 chính là số
i nghiệm nguyên không âm của phương trình:
: ©_ P5 là số các số thuận nghịch có sáu chữ số và tổng sáu chữ số này là 50 P5 chính là số
ì nghiệm nguyên không âm của phương trình:
xịt; +xy = 25 fee 590 Sx, $90 Sx, 59
4
Ệ Vậy số di động K = 7x8 180 = 10080