Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước Loại 4: Viết phương tr[r]
(1)Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Mathvn.com Bỉm sơn 22.03.2011 Lop12.net (2) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A Kiến thức chung Phương trình mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt - PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng P qua M ( x0 , y0 , z0 ) và có vtpt (vectơ pháp tuyến) n( A, B, C ) là: ( P ) : A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) Hay ( P) : Ax By Cz D với D ( Ax0 By0 Cz0 ) - PTMP (phương trình mặt phẳng) P qua A(a, 0,0) Ox; B(0, b, 0) Oy; C (0,0, c) Oz có phương trình x y z (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn) a b c - Đặc biệt: A0 + ( P) / /Ox D B2 C B0 + ( P) / /Oy D A2 C C 0 + ( P) / /Oz D A2 B - Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z , (Oyz) là x và (Oxz) là y Vị trí tương đối mặt thẳng và mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (1 ) : A1 x B1 y C1 z D1 và ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 A B C D TH 1: (1 ) / /( ) A2 B2 C2 D2 A B C D TH 2: (1 ) ( ) A2 B2 C2 D2 TH 3: (1 ) ( ) A1 A2 B1 B2 C1C2 3: Phương trình chùm mặt phẳng: Tập hợp các mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng ( ) ( ) gọi là chùm mặt phẳng xác định mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( ) Nếu ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 và ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 thì phương trình mặt phẳng ( ) là: là: ( P ) : ( ) : m( A1 x B1 y C1 z D1 ) n ( A2 x B2 y C2 z D2 ) (*) với m n phương trình (*) có thể viết lại: m( ) n( ) Góc và khoảng cách - Góc mặt phẳng: (1 ) : A1 x B1 y C1 z D1 và ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 là: cos A1 A2 B1 B2 C1C2 A B12 C12 A22 B22 C22 - Góc đường thẳng d và mặt phẳng (P) Lop12.net (3) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com u.n sin(d ,( P)) u n - Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng P : Ax By Cz D d M , P Ax0 By0 Cz0 D A2 B C B Một số dạng bài tập Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm Mo(xo;yo;zo) và thoả mãn điều kiện Loại : Có vectơ pháp tuyến Phương pháp: - Xác định M ( x0 , y0 , z0 ) mặt phẳng P - Xác định vtpt n( A; B; C ) + Nếu P / / Q nP nQ + Nếu P d nP ud - Áp dụng công thức: ( P) : A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P): a Đi qua điểm M 1; 2; và nhận vectơ n 2;3;5 làm vectơ pháp tuyến b Đi qua điểm M 2; 1; và song song với mặt phẳng Q : x – y z Giải: a Cách 1: Mặt phẳng P qua điểm M 1; 2; và có vectơ pháp tuyến n 2;3;5 có phương trình là : 2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – ) = hay P : x y z – 16 Cách 2: Mặt phẳng (P) có vtpt n 2;3;5 luôn có dạng x y 5z D’ vì mặt phẳng (P) qua điểm M 1; 2; 2.1 2 5.4 D’ D’ 16 Vậy mặt phẳng P : x y z – 16 b Cách 1: Mặt phẳng P qua điểm M 2; 1; song song với mặt phẳng Q nên mặt phẳng P qua điểm M 2; 1; và có vtpt nP nQ 2; 1;3 nên mặt phẳng P có phương trình: 2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = hay P : x – y z – 11 Cách : Mặt phẳng (P) có vtpt nP 2; 1;3 luôn có dạng x – y 3z D’ vì mặt phẳng P qua điểm M 2; 1; D ' 1 hay P : x – y z – 11 Hoặc có thể lí luận vì P song song với Q nên P luôn có dạng x – y 3z D’ vì P qua M P : x – y z – 11 Lop12.net (4) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Bài 2: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng có phương trình: 3x + 5y – z – = và đường thẳng d có phương trình x 12 4t d : y 3t z t a Tìm giao điểm M đường thẳng d và mặt phẳng b Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d Giải: a Toạ độ điểm M d là nghiệm phương trình 3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – = t = 3 Vậy M 0; 0; 2 b Cách : Mặt phẳng qua điểm M 0; 0; 2 vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng qua điểm M 0; 0; 2 và có vtpt n = u d = (4;3;1) nên mặt phẳng có phương trình là: 4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = hay : x y z Cách 2: Mặt phẳng có vtpt n = (4;3;1) luôn có dạng 4x + 3y + z + D’ = vì mặt phẳng qua điểm M 0; 0; 2 D’ = hay : x y z Chú ý: Có thể phát biểu bài toán dạng như, cho biết tọa độ điểm A, B, C Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC thì đó nP BC Nhận xét : - Mặt phẳng có vtpt n a; b; c thì luôn có dạng ax + by + cz + D’ = - Nếu cho có dạng Ax + By + Cz + D = thì mà song song với luôn có dạng Ax + By + Cz + D’ = với D ' - Hai mặt phẳng song song với thì hai vtpt song song (cùng phương) với nhau, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thì vtpt và vtcp song song (cùng phương) với Điều này lý giải bài câu b lại chọn n P = nQ ,thật vì mặt phẳng P song song với mặt phẳng (Q) nên hai vtpt song song (cùng phương) với hay n P = k nQ , vì k nên chọn k = để n P = n Q Tương tự bài 2b ta chọn k = để n = u d , từ đó ta có nhận xét + Hai mặt phẳng song song với thì chúng có cùng vtpt + Nếu mặt phẳng P chứa hai điểm A và B thì AB là vtcp mặt phẳng P + Nếu mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng (Q) thì vtpt mặt phẳng P là vtcp mặt phẳng (Q) và ngược lại + Nếu mặt phẳng P vuông góc với vecto AB thì vecto AB là vtpt mặt phẳng P - Vectơ pháp tuyến có thể cho hình thức là vuông góc với giá vectơ a nào đó, đó ta phải hiểu đây a là vectơ phương Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ a 6; 2; 3 và A 1; 2; 3 Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với giá vectơ a Hướng dẫn: Làm tương tự bài 2b ta : x – y – z Lop12.net (5) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2;6; 3 và song song với các mặt phẳng toạ độ Giải: Nhận xét : - Các mặt phẳng toạ độ đây là Oxy; Oyz; Oxz Thoạt đầu ta thấy các mặt phẳng này không thấy vtpt , thực chúng có vtpt, các vtpt này xây dựng nên từ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz là i = (1;0;0) ; j = (0;1;0) ; k = (0;0;1), các vectơ này coi là các vtcp - Bây ta viết phương trình mặt phẳng P qua M và song song với mặt phẳng 0xy còn các mặt phẳng khác làm tương tự Cách 1: Mặt phẳng P qua M 2;6; 3 và song song với mặt phẳng Oxy mặt phẳng P qua M và vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) qua M nhận vectơ n P = k làm vtpt có phương trình là : 0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = hay P : z Cách 2: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng 0xy mặt phẳng P song song với hai trục Ox và Oy n P i và n P j n P = [ i , j ] = (0;0;1) là vtpt nên P : z Tương tự (P) // Oyz và qua điểm M nên P : x (P) // Oxz và qua điểm M nên P : y Cách 3: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng P luôn có dạng Cx + D = vì mặt phẳng P qua M C 3 D vì C nên chọn C = D = 3 Vậy mặt phẳng P có phương trình là P : z Chú ý: Bài toán có thể phát biểu là viết phương trình (P) qua M // với Ox và Oy P qua M // với mặt phẳng 0xy Loại 2: Có cặp vectơ phương a, b (với a, b có giá song song nằm trên mp ( P) ) - Tìm vtpt n a,b - P là mp qua M ( x0 , y0 , z0 ) và có VTPT n - Quay lại loại Bài tập giải mẫu: Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm A 0; 1; và song song với giá vectơ u = (3;2;1) và v = 3;0;1 Giải: Cách 1: Mặt phẳng P qua A 0; 1; và song song với giá hai vectơ u = (3;2;1) ; v 3; 0;1 mặt phẳng P qua A và có n P u ; n P v (với u và v không cùng phương) mặt phẳng P qua A và có vtpt nP u , v 2; 6;6 1; 3;3 mặt phẳng P có phương trình là : Lop12.net (6) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = hay P : x – y z – Cách : Làm tương tự bài 1b biết nP 2; 6;6 và A 0; 1; Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2; 1; , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng : x – y 3z Giải: Cách 1: Mặt phẳng qua điểm M 2; 1; song song với trục 0y và vuông góc với mặt phẳng mặt phẳng qua M và có n j ; n n (với j và n không cùng phương) mặt phẳng qua M và có vtpt n = [ j , n ] = (3;0;-2) mặt phẳng có phương trình là : 3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = hay : x – z – Cách 2: Làm tương tự bài 1b biết n 3; 0; 2 và M 2; 1; Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B2 C 0 - Mặt phẳng qua điểm M 2; 1; A.2 B.(1) C.2 D 1 - Mặt phẳng song song với trục Oy n j A.0 B.1 C.0 - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.2 B 1 C.3 Giải hệ (1), (2) và (3) A 3, B 0, C 2, D 2 3 Vậy mặt phẳng có phương trình là : x – z – Bài 7: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 3; 1; 5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng : x – y z và : x – y 3z Giải: Cách 1: Mặt phẳng qua điểm M 3; 1; 5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng và mặt phẳng qua điểm M và có n n ; n n (với n và n không cùng phương) mặt phẳng qua điểm M và có vtpt n = [ n , n ] = (2;1;-2) mặt phẳng ( ) có phương trình là : 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = hay : x y – z – 15 Cách 2: Làm tượng tự bài 1b biết n = 2;1; 2 và M 3; 1; 5 Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B2 C 0 - Mặt phẳng qua điểm M 3; 1; 5 A.3 B.(1) C 5 D 1 - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.3 B 2 C.2 - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.5 B 4 C.3 3 Lop12.net (7) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 21 A, D B A vào (3) ta A B chọn 2 B 1, A C 2, D 15 Vậy phương trình mặt phẳng là x y – z – 15 Từ (1) và (2) ta C B Bài 8: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng x t x y 1 z 1 d: , d ' : y 1 2t 1 z t Viết phương trình mặt phẳng qua A đồng thời song song với d và d’ Giải: Cách 1: Vì B 0;1; 1 d1 ; C 1; 1; d và B, C d1 , d / / Vecto phương d1 và d là u1 2;1; 1 và u2 1; 2;1 vecto pháp tuyến là n u1 , u2 1; 3; 5 Vì qua A 0;1; : x y z 13 Đs: : x y z 13 Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B C 0 - Mặt phẳng qua điểm M A.0 B.1 C.2 D 1 - Mặt phẳng song song với đường thẳng d n ud A.2 B.1 C 1 - Mặt phẳng song song với đường thẳng d’ n ud ' A.1 B 2 C.1 3 Từ (1) và (2) ta C A B, D 4 A 3B vào (3) ta A 3B chọn A 1, B C 5, D 13 Vậy phương trình mặt phẳng là x y z 13 Nhận xét: Nếu điểm A d (hoặc A d ' ) thì bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng chứa d (hoặc d ' ) và song song với d ' (hoặc d ) Bài tập tự giải: Bài 1: a Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 3; 4;1 , N 2;3; , E 1; 0; Viết phương trình mặt phẳng qua điểm E và vuông góc với MN (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần năm 2007) b Viết phương trình mặt phẳng qua K 1; 2;1 và vuông góc với đường x 1 t thẳng d : y 2t z 1 3t (Đề thi tốt nghiệp THPT lần năm 2007) Lop12.net (8) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Đs: a : x y z Gmail: Loinguyen1310@gmail.com b : x y z Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 1; và mặt phẳng P có phương trình: x y z Viết phương trình mặt phẳng qua M và song song với P Đs: : x y z (Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2;3;1 và vuông góc với hai mặt phẳng P : x y z và Q : 3x y z (Sách bài tập nâng cao hình học 12) Đs: : x y z 19 Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2;1; 1 và qua giao tuyến hai mặt phẳng: x y z và x y z (Sách bài tập nâng cao hình học 12) Đs: :15 x y z 16 Dạng : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M1(x1;y1;z1) và M2(x 2;y2;z2) đồng thời thoả mãn điều kiện a Vuông góc với mặt phẳng b Song song với đường thẳng d (hoặc trục Ox, Oy, Oz) c Có khoảng cách từ điểm M tới là h d Tạo với góc Q góc Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm M 1; 0;1 , N 5; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng : x – y z – Giải: Cách : Mặt phẳng qua hai điểm M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng ( ) mặt phẳng qua điểm M và n MN ; n n (với MN và n không cùng phương) mặt phẳng qua điểm M và có vtpt n = [ MN , n ] = 4; 0; 8 = 1; 0; 2 mặt phẳng có phương trình là : 1(x – 1) + 0(y – 0) – 2(z – 1) = hay : x – 2z + = Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B2 C 0 - Mặt phẳng qua M 1; 0;1 A.1 B.0 C D 1 - Mặt phẳng qua N 5; 2;3 A.5 B.2 C.3 D - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.2 B 1 C.1 3 Từ (1) và (2) ta C – A – B, D A B thể vào (3) ta –2 B chọn A 1, B C 2, D Lop12.net (9) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Vậy phương trình mặt phẳng là x – z 1 Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M 4; 1;1 ; N 3;1; 1 và cùng phương (song song) với trục Ox Giải: Cách : Mặt phẳng (P) qua điểm M 4; 1;1 ; N 3;1; 1 và cùng phương với trục Ox mặt phẳng (P) qua điểm M và nP MN ; n P i (với và i không cùng phương) mặt phẳng (P) qua điểm M và nhận vtpt n P = [ , i ] = 0; 2; 2 = 2 0;1;1 mặt phẳng (P) có phương trình là : 0(x – 4) + 1( y + 1) + 1(z – 1) = hay (P): y + z = Cách 2: Làm tương tự bài (cách 2) điều kiện đây là n P i Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mặt phẳng Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A 3;0; , C 0; 0;1 và tạo với mặt phẳng Oxy góc = 60o Giải: Cách 1: Mặt phẳng (Q) qua A, C và tạo với mặt phẳng Oxy góc 60o nên mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng Oxy điểm B(0;b;0) Oy khác gốc toạ độ O b mặt phẳng (Q) là mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trinh là : x y z hay (Q): bx + 3y + 3bz – 3b = b mặt phẳng (Q) có vtpt nQ = (b;3;3b) Mặt phẳng 0xy có vtpt k = (0;0;1) Theo giả thiết ,ta có 3b |cos ( n Q , k )| = cos60o b 9b b 26 26 Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là : (Q1) : x – 26 y + 3z – = (Q2) : x + 26 y + 3z – = Cách 2: vì A Ox và C Oz Gọi AB là giao tuyến mặt phẳng (Q) và mặt phẳng 0xy Từ O hạ OI AB 60 Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB CI OIC = 1.tan60 o = Trong vuông OIC ta có OI = OC.tan OIC 1 1 Trong vuông OAB ta có 3 OB = 2 2 OB OI OA OB 26 3 B1(0; 26 ;0) Oy B2(0; 26 ;0) Oy Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn là 6b b 9b b x 26 y z hay (Q) : x 3 26 y + 3z – = Lop12.net (10) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm x 1 t M 2;1;3 , N 1; 2;1 và song song với đường thẳng d có phương trình là: d : y 2t z 3 2t Giải: Cách 1: Mặt phẳng qua hai điểm M 2;1;3 , N 1; 2;1 và song song với đường thẳng d mặt phẳng qua điểm M và n MN ; n u d (với MN và u d không cùng phương) mặt phẳng qua điểm M và có vtpt n = [ MN , u d ] = 10; 4;1 mặt phẳng có phương trình là : 10(x – 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = hay : 10 x y z 19 Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B C 0 - Mặt phẳng qua M 2;1;3 A.2 B.1 C.3 D 1 - Mặt phẳng qua N 1; 2;1 A.1 B 2 C.1 D - Mặt phẳng song song với đường thẳng d n ud A.1 B.2 C 2 3 A B , D A B vào (3) ta A 5 B chọn 2 2 19 A 5, B 2 C , D 2 19 Vậy phương trình mặt phẳng là x y z 10 x y z 19 2 Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D A2 B C mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C Từ (1) và (2) ta C - Mặt phẳng P qua A 1;1; A 1 B.1 C D 1 - Mặt phẳng P qua B 0;0; 2 A.0 B.0 C 2 D Từ (1) và (2) ta C A B, D A B Nên mặt phẳng P có phương trình là Ax By A B z A B Theo giả thiết A B d I ; P A B A B 1 A2 B A B 2 A2 AB B A A 1 B B 10 Lop12.net (11) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com A 1 chọn A 1, B 1 C 1, D P : x y z B A Với chọn A 7, B C 1, D P : x y z B Nhận xét: Gọi n ( a; b; c) O là véctơ pháp tuyến (P) Với Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt P : a x 1 b y 1 cz Mà (P) qua B(0;0;-2) a b 2c b a 2c Ta có PT P : ax a 2c y cz 2c d C; P 2a c a c 2a 16ac 14c a 7c a (a 2c) c 2 TH 1: a c ta chọn a c Pt P : x y z TH 2: a 7c ta chọn a = 7; c = Pt P : x y z Bài 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng Q : x y 3z Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và vuông góc với (Q) HD: Ta có AB (1;1;1), nQ (1; 2;3), AB; nQ (1; 2;1) Vì AB; nQ nên mặt phẳng (P) nhận AB; nQ làm véc tơ pháp tuyến Vậy (P) có phương trình x – 2y + z – =0 Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) góc 300 Giải: x y z Giả sử mặt phẳng cần có dạng : ( ) : ( a , b, c 0) a b c x y z Do I ( ) c và K ( ) a ( ) : b n 1 n x y n ( ; ;1) và n x y k (0; 0;1) cos 300 b b n n x y x y z 1 3 2 Bài 9: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1; 2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;1 và D 0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho ( ) : khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P) Giải: Cách 1: Giả sử mặt phẳng P có dạng : ax by cz d a b c mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C 11 Lop12.net (12) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com - Mặt phẳng P qua A 1; 2;1 a.1 b.2 c.1 d 1 - Mặt phẳng P qua B 2;1;3 a 2 b.1 c.3 d a b, d a b 2 3 Nên mặt phẳng P có phương trình là ax by a b z a b 2 Từ (1) và (2) ta c Theo giả thiết d C , P d D, P 5 5 3 3 a.2 b 1 a b a b a.0 b.3 a b a b 2 2 2 2 2 3 3 a2 b2 a b a b2 a b 2 2 2a 4b a 3b a b 2b Với 2a 4b chọn a 4, b c 7, d 15 P1 : x y z 15 Với 2b chọn b 0, a c 5 , d P2 : x z P2 : x z 2 2 Cách 2: Xét hai trường hợp TH1 : (P) // CD Ta có : AB ( 3; 1; 2),CD ( 2; 4; 0) (P) có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7) (P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 4x 2y 7z 15 TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD Ta có AB (3; 1; 2), AI (0; 1;0) (P) có PVT n (2;0;3) (P) :2(x 1) 3(z 1) 2x 3z Đáp số: P1 : x y z 15 và P2 : x z Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A 1;0;1 , B 2;1; và mặt phẳng Q : x y 3z Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và vuông góc với (Q) Đs: P : x y z Bài 2: Lập phương trình mp(P) qua M 0;3;0 , N 1; 1;1 và tạo với mặt phẳng Q : x y z Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M 1; 1;3 , N 1;0; và tạo với mặt phẳng góc với cos Q : x y z Đs: P : y z góc nhỏ Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm M 1; 2;3 , N 2; 2; và song song với Oy (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009) 12 Lop12.net (13) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Đs: : x z Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : 2 x y z Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A 1;1; , B 1; 2; và vuông góc với (P) (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009) Đs: :11x y z 19 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm Mo(xo;yo;zo) M1(x1;y1;z1) và M3(x3;y3;z3) không thẳng hàng cho trước Phương pháp: Cách 1: - Tìm hai vecto M M , M M - Tìm vtpt n M M , M M - P là mặt phẳng qua M và có VTPT n Cách 2: - Giả sử phương trình mặt phẳng P là Ax By Cz D 1 ( A2 B C 0) - Vì P qua ba điểm M , M và M thay tọa độ vào phương trình (1) hệ ẩn, phương trình theo A, B và C Giải hệ này ta A, B và C - Thay vào phương trình (1) ta phương trình mặt phẳng P Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm M 3; 0; 0 ; N 0; 2; và P 0;0; 1 Giải: Cách 1: Mặt phẳng qua ba điểm M 3; 0; ; N 0; 2; và P 0; 0; 1 mặt phẳng qua điểm M và n MN ; n MP (với MN và MP không cùng phương) mặt phẳng qua điểm M và nhận vtpt n = [ MN , MP ] = (2;3;6) mặt phẳng có phương trình là : 2(x + 3) + 3(y – ) + 6(z – 0) = hay : 2x + 3y + 6z + = Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng Ax By Cz D ( A2 B C 0) - Mặt phẳng qua M 3;0;0 A 1 B.0 C.0 D 1 - Mặt phẳng qua N 0; 2; A.0 B 2 C D - Mặt phẳng qua P 0; 0; 1 A.0 B.0 C 1 D Giải hệ (1), (2) và (3) ta A = 2, B = 3, C = và D = Vậy mặt phẳng có phương trình là x y z Cách 3: Nhận thấy M 3;0;0 Ox ; N 0; 2; Oy và P 0;0; 1 Oz nên phương trình mặt phẳng là mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng : 13 Lop12.net (14) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com x y z hay : x y z 1 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn MN, biết M và N có toạ độ cho trước Phương pháp: - Tính tọa độ trung điểm I MN và tính MN - Mặt phẳng trung trục đoạn MN là mặt phẳng qua I và có vtpt nP MN - Biết điểm và vtpt ta phương trình mặt phẳng cần tìm Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình trung trực đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3) Giải: Cách 1: Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB I(3;2;5) Mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB trung điểm I A,B và vuông góc với đoạn thẳng AB mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB qua I và nhận vectơ AB = 2; 2; 4 = 1; 1; 2 làm vtpt mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: 1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – ) = hay P : x – y – z Cách 2: (Phương pháp quĩ tích ) Mọi điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB MA = MB 2 2 2 MA2 MB x – y – z – x – y – 1 z – 3 x – y – 2z Cách 3: Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB làm vtpt luôn có dạng x – y – 2z + D’ = ,vì I mặt phẳng trung trực – – 2.5 + D’ D’ = mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là : x – y – 2z + = Cách 4: Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB làm vtpt luôn có dạng x – y + 2z + D’ = vì mặt phẳng (P) cách A, B d A, P d B , P 2.7 D' 2.3 D' D '13 D'9 D’ = 11 11 Vậy mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: x – y – z Nhận xét : - Bài toán này thực chất là bài toán viết phương trình mặt phẳng qua điểm và vuông góc giá vectơ (thuộc dạng 1) - Vectơ qua hai điểm cho trước coi là vtcp đường thẳng = Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm E 1; 4;5 , F 3; 2;7 Viết phương trình mặt phẳng ( ) là trung trực đoạn thẳng EF (Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban lần năm 2007) Đs: : x y z 14 Lop12.net (15) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách hai hai đường thẳng ( 1 ) và ( ) cho trước Phương pháp: - Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 1 và nên có vtpt nP u1 ; u2 - mặt phẳng (P) cách hai đường thẳng 1 và nên (P) qua trung điểm I MN với M 1 và N Quay dạng Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHSP HN – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình là x t x 2z d :y 1 t và d’ : y z 2t a Chứng minh d và d’ chéo b Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách d và d’ Giải: a Chọn điểm M(2;1;0) d và d có vtcp ud 1; 1; ,chọn điểm N(0;3;1) d’ và d’ có vtcp ud ' 2;0;1 Tính n = [ u d , u d ' ] = 1; 5; 2 (với u d và u d ' không cùng phương) và MN 2; 2;1 Xét n.MN 1 2 – 5.2 – 2.1 10 d và d’ chéo 1 b Gọi I 1;2; là trung điểm M và N Mặt phẳng (P) song song và cách d và d’ 2 mặt phẳng (P) qua I và có vtpt n P = n mặt phẳng (P) có phương trình là : 1 – 1(x – 1) – 5(y – 2) – z = hay (P) : x + 5y + 2x – 12 = 2 Nhận xét : - Mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách d và d’ thực chất là mặt phẳng trung trực đoạn M và N nên có thể áp dụng các cách bài (dạng ) Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường thẳng d1 và d2 biết: x t x 1 y z 1 d1 : y t và d2 : z t Giải: x 2t ' Đường thẳng d2 có phương trình tham số là: y t ' z 5t ' vectơ phương d và d là: u1 (1;1; 1), u2 (2;1;5) VTPT mp( ) là n ud1 ud (6; 7; 1) pt mp( ) có dạng 6x – 7y – z + D = Đường thẳng d1 và d2 qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1) d ( M , ( )) d ( N , ( )) |12 14 D | | 14 D | | 5 D | | 9 D | D 15 Lop12.net (16) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Vậy PT mp( ) là: 3x – y – 4z + Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách hai mặt phẳng (Q1) và Q2 (với Q1 và Q2 song song với nhau) Chú ý: - Sử dụng công thức khoảng cách - Khoảng cách hai mặt phẳng song song chính là khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là (P) : 3x – y + 4z + = và (Q) : 3x – y + 4z + = Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song và cách (P), (Q) Giải: Vì n P = nQ = (3;-1;4) và nên (P) // (Q), chọn điểm M(0;2;0) (P) và điểm N(0;8;0) (Q) Mặt phẳng song song với (P) và (Q) luôn có dạng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì cách (P) và (Q) nên d M , d N , 3.0 4.0 D' = 3.0 4.0 D' D'2 D '8 D’ = 16 16 Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình là :3x – y + 4z + = Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: - Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R mặt cầu (S) và vtpt vtcp - Bước 2: Từ điều kiện cho trước xác định vtpt nP , giả sử nP a; b; c đó mặt phẳng P có dạng ax by cz D ' với D ' (1) - Bước 3: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R , từ đây phương trình theo D, giải phương trình (tại tuyệt đối) D’ thay vào (1) ta phương trình mặt phẳng P cần tìm - Bước 4: Kết luận (thường có hai mặt phẳng thỏa mãn) Chú ý: Điều kiện cho trước là - Song song với mặt phẳng Q cho trước nP nQ - Vuông góc với đường thẳng d cho trước nP ud - Song song với hai đường thẳng d và d2 cho trước nP u1 , u2 - Vuông góc với hai mặt phẳng Q và R cho trước nP n1 , n2 - Song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng Q cho trước nP ud , nQ Chú ý : Nếu mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu (S) M S thì mặt phẳng P qua điểm M và có VTPT là MI Bài tập giải mẫu: 16 Lop12.net (17) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T93) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình S : x y z – 10 x y 26 z 170 và song song với hai đường thẳng x 5 2t x 7 3t ' d : y 3t d ’ : y 1 2t ' z 13 2t z Giải : Ta có ud 2; 3; và ud ' 3; 2; Mặt cầu (S) (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 25 mặt cầu (S) có tâm I 5; 1; 13 và bán kính R = Mặt phẳng song song với d và d’ mặt phẳng có n u d ; n u d ' (với u d và u d ' không cùng phương ) mặt phẳng có vtpt n = [ u d , u d ' ] = (4;6;5) mặt phẳng luôn có dạng 4x + 6y + 5z + D’ = Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,( )) = R 4.5 6.( 1) 5.( 13) D ' D '52 77 D’ = 52 77 16 36 25 Vậy có hai mặt phẳng ( ) thỏa mãn đề bài là : 1 : 4x + 6y + 5z + 51 + 77 = : 4x + 6y + 5z + 51 – 77 = Bài 2: (SBT – Ban Nâng Cao T138) Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là : x y z 13 (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = và d : 3 Giải: Đường thẳng d có vtcp ud 2; 3; Mặt cầu (S) (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 308 mặt cầu (S) có tâm I 5; 1; 13 và bán kính R 308 Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên có vtpt nP ud 2; 3; mặt phẳng (P) luôn có dạng 2x – 3y + 2z + D’ = Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R 2.(5) 3.( 1) 2.(13) D ' 308 D ' 13 5236 D ' 13 5236 494 Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn đầu bài là : (P1): 2x – 3y + 2z + 13 + 5236 = (P2): 2x – 3y + 2z + 13 – 5236 = Bài 3: (SGK – Ban Nâng Cao T90 – ĐHGTVT – 1998 ) Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình là : Q : x y – 12 z và S : x y z – x – y – z – Giải: 17 Lop12.net (18) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Mặt phẳng (Q) có vtpt nQ 4;3; 12 Mặt cầu (S) (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16 mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kinh R = Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) mặt phẳng (P) luôn có dạng 4x + 3y – 12z + D’ = Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R 4.1 3.2 12.3 D ' D ' 26 D ' 26 52 16 144 D ' 78 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đầu bài là : (P1): 4x + 3y – 12z + 78 = (P2): 4x + 3y – 12z – 26 = Bài 4: (Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với trục Oz, vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – = Giải: Mặt phẳng (P) có vtpt n P = (1;1;1) Mặt cầu (S) (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = mặt cầu (S) có tâm I 1; 1; 2 và có bán kính R = Mặt phẳng ( ) song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng ( ) có n k ; n n P (với k và n P không cùng phương ) mặt phẳng ( ) có vtpt n = [ k , n P ] = 1; 1; mặt phẳng ( ) luôn có dạng x – y + D’ = Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R 1.1 1.(1) D ' D ' D 2 11 Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn đầu bài là: 1 : x – y – + = : x – y – – =0 Bài 5: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = và điểm M(4;3;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và qua điểm M Giải: Vì M(4;3;0) (S) nên mặt phẳng (P) qua M và tiếp xúc với mặt cầu (S) là mặt phẳng qua M và nhận IM 1; 2; làm vtpt với I 3;1; 2 là tâm mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình là: 1(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – ) = hay (P): x + 2y + 2z – 10 = Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x y z 11 và tiếp xúc với (S) Giải: Ta có mặt cầu (S) có tâm I 1; 3; và bán kính R Véc tơ pháp tuyến ( ) là n(1; 4;1) Vì ( P ) ( ) và song song với giá v nên nhận véc tơ n p n v (2; 1; 2) làm vtpt 18 Lop12.net (19) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Do đó P : x y z m m 21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I , ( P)) d ( I , ( P)) m Vậy có hai mặt phẳng: P1 : x y z 21 và P2 : x y z Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S : x 2 2 y 1 z 1 x 1 t và vuông góc với đường thẳng d : y 2t z 1 3t Đs: x y z 14 và x y z 14 Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x y z x y z x y z x 1 y z và hai đường thẳng d : và d ’ : Viết phương trình mặt phẳng 2 3 x y z là tiếp diện (S) đồng thời song song với d và d’ Đs: x y z 12 và x y z 12 Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng / / P : x y z và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x y z x y z Đs: x y z 17 và x y z Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng / / P : x y z và tiếp xúc với mặt cầu (S) 2 có phương trình: x y 1 z Đs: x y z và x y z Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S : x2 y z 2x y z và vuông góc với đường thẳng d : x 1 y z 2 Đs: x y z và x y z 12 x y 1 z , vuông góc với 1 2 P : x y z và tiếp xúc với mặt cầu S : x y 1 z Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng song song với d : Đs: x y z 11 15 và x y z 11 15 Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x y z x y z x y x 1 y z và hai đường thẳng d : và d ' : Viết phương trình mặt phẳng là tiếp 1 1 x 2z diện (S) đồng thời song song với d và d’ Đs: y z và y z Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A 0; 1; , B 1;0;3 và tiếp xúc với mặt cầu S có phương trình: ( x 1) ( y 2) ( z 1) 19 Lop12.net (20) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Phương pháp: Tìm VTPT là n và VTCP là u VTPT mặt phẳng là: n n u Lấy điểm M trên Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với ’ ( , ’ chéo nhau) Phương pháp: Tìm VTCP và ’ là u và u ' VTPT mặt phẳng là: n u u ' Lấy điểm M trên Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm và song song với đường thẳng Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm M Phương pháp: Tìm VTCP là u , lấy điể m N trên Tính tọa độ MN VTPT mặt phẳng là: n u MN Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm phân biệt cho trước Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng (hoặc đường thẳng d ) góc Loại 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và cách điểm M không thuộc khoảng h Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P a Đi qua điểm M o 2;1; 1 và qua giao tuyến hai mặt phẳng Q và R có phương trình là: x – y z – và x – y z – b Qua giao tuyến hai mặt phẳng : x – y z – và : x y – đồng thời vuông góc với mặt phẳng : x – z Giải: a Cách 1: Gọi là giao tuyến (Q) và (R) có phương trình x y z : 3 x y z 20 Lop12.net (21)