Chú ý: Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm nếu có... Giải phươ[r]
(1)ThS Đoàn Vương Nguyên toancapba.com CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Biểu diễn cung – góc lượng giác o ¼ có số đo là a + k2p (hoặc a + k.360 ) Nếu cung (hoặc góc) lượng giác AM n n + với k Î ¢ , n Î ¥ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách ¼ = p + k2p thì có điểm M vị trí p (ta chọn k = 0) Ví dụ Nếu sđ AM 3 p ¼ = + kp thì có điểm M các vị trí p và 7p Ví dụ Nếu sđ AM 6 (ta chọn k = 0, k = 1) ¼ = p + k 2p thì có điểm M các vị trí p , 11p và 19p Ví dụ Nếu sđ AM 12 12 (ta chọn k = 0, k = và k = 2) o ¼ = 45o + k.90o = 45o + k.360 thì có điểm M các vị Ví dụ Nếu sđ AM 0 0 trí 45 , 135 , 225 và 315 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3) Ví dụ Tổng hợp hai cung x = Biểu diễn cung x = - p + kp p p + kp và x = + kp Giải p + kp trên đường tròn p lượng giác ta điểm - , p 5p 4p , và cách 3 Vậy cung tổng hợp là: p p x = +k và x = B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lop10.com (2) I Hàm số lượng giác Hàm số y = cosx 1) Miền xác định D = ¡ 2) Miền giá trị G = [–1; 1] 3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T = 2p 4) (cosx)/ = – sinx 5) Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung Oy Hàm số y = sinx 1) Miền xác định D = ¡ 2) Miền giá trị G = [–1; 1] 3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = 2p 4) (sinx)/ = cosx 5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = tgx 1) Miền xác định D = ¡ \ { p2 + kp, k Î ¢ } 2) Miền giá trị G = ¡ 3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p 4) (tgx)/ = + tg2x = cos2 x 5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O Lop10.com (3) Hàm số y = cotgx 1) Miền xác định D = ¡ \ { kp, k Î ¢ } 2) Miền giá trị G = ¡ 3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p 4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = - sin x 5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O Chu kỳ hàm số lượng giác 5.1 Định nghĩa Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > T là số dương nhỏ và thỏa f(x + T) = f(x) Lop10.com (4) Ví dụ Hàm số y = sin5x có chu kỳ T = ( ) 2p vì: 2p = sin(5x + 2p) = sin 5x 2p Hơn nữa, T = là số nhỏ hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p sin x + 5.2 Phương pháp giải toán 5.2.1 Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx) Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n Î ¢+ có chu kỳ T = Ví dụ Hàm số y = cos7x có chu kỳ T = 2p 2p n x x và y = cos n n x x Hàm số y = sin và y = cos , n Î ¢+ có chu kỳ T = n2p n n x Ví dụ Hàm số y = sin có chu kỳ T = 6p 5.2.3 Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx) p Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n Î ¢+ có chu kỳ T = n p Ví dụ Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T = x x 5.2.4 Hàm số y = tg và y = cotg n n x x Hàm số y = tg và y = cotg , n Î ¢+ có chu kỳ T = np n n x Ví dụ Hàm số y = tg có chu kỳ T = 3p 5.2.2 Hàm số y = sin 5.2.5 Hàm số y = f(x) ± g(x) m p p và T2 = p n k Để tìm chu kỳ hàm số y = f(x) ± g(x) ta thực các bước sau: Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ là T1 = np m mk p = , = và tìm bội số chung nhỏ A mk, np n nk k nk A Bước Chu kỳ y = f(x) ± g(x) là T = p nk Bước Quy đồng Lop10.com (5) x Ví dụ Tìm chu kỳ hàm số y = cos 3x - tg Giải x 2p Hàm số y = cos3x, y = tg có chu kỳ là và 3p 3 Ta có: 2p ìï 2p = ïï 3 Þ T = BCNN(2; 9) p = 6p íï ïï 9p ïïî 3p = x Vậy chu kỳ hàm số y = cos 3x - tg là T = 6p II Phương trình lượng giác é x = a + k2p 1) cos x = cos a Û êê , kÎZ x k2 = -a + p êë é x = a + k2p , kÎZ 2) sin x = sin a Û êê êë x = p - a+k2p 3) tgx = tga Û x = a + kp, k Î Z 4) cotgx = cotga Û x = a + kp, k Î Z Phương trình đặc biệt cần nhớ p + kp, k Î Z 2) cos x = Û x = k2p, k Î Z 3) cos x = -1 Û x = p + k2p, k Î Z 4) sin x = Û x = kp, k Î Z p 5) sin x = Û x = + k2p, k Î Z p 6) sin x = -1 Û x = - + k2p, k Î Z x Ví dụ Xét số nghiệm phương trình cos x + = p Giải x x Ta có cos x + = Û cos x = - (1) p p Suy (1) là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = cosx và x y = - (đi qua điểm ( p ; – 1)) p 1) cos x = Û x = Lop10.com (6) Dựa vào đồ thị, ta suy phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ Giải phương trình: (cos x + 1)(2 cos x - 1)(tgx - 3) = (2) cos x + Giải 2p + k2p Điều kiện: cos x + ¹ Û x ¹ ± Ta có: é é cos x = -1 ê x = p + k2p ê ê ê p ê (2) Û ê cos x = Û ê x = ± + k2p ê ê ê ê p ê tgx = ê x = + kp ë êë So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là: p 2p x = +k , k Î ¢ 3 Chú ý: p 2p Các họ nghiệm x = - + k 3 2p và x = p + k là các họ nghiệm (2) III Các dạng phương trình lượng giác Dạng bậc hai theo hàm số lượng giác 1) acos2x + bcosx + c = 2) asin2x + bsinx + c = 3) atg2x + btgx + c = 4) acotg2x + bcotgx + c = Lop10.com (7) Phương pháp giải toán Bước Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện t (nếu có) Bước Đưa phương trình dạng at2 + bt + c = Chú ý: Nếu phương trình lượng giác biến đổi thành phương trình trở lên thì sau giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có) sin2 x + sinx - = (1) Giải Đặt t = sinx, -1 £ t £ ta có: Ú t = - (loại) (1) Û 2t2 + t - = Û t = p p 3p + k2p Û sin x = sin Û x = + k2p Ú x = 4 é x = p + k2p ê , k Î ¢ Vậy (1) có các họ nghiệm êê 3p êx = + k2p ë Ví dụ Giải phương trình 5(1 + cos x) = + sin x - cos4 x (2) Giải Ta có: (2) Û + cos x = sin x - cos2 x Û cos2 x + cos x + = Đặt t = cosx, -1 £ t £ ta suy ra: (2) Û 2t2 + 5t + = Û t = - Ú t = -2 (loại) 2p 2p Û cos x = cos Ûx=± + k2p 3 2p + k2p, k Î ¢ Vậy (2) có các họ nghiệm x = ± 3 + 3tgx - = (3) Ví dụ Giải phương trình cos2 x Giải p Điều kiện x ¹ + kp , ta có: (3) Û 3(1 + tg2 x) + 3tgx - = Û 3tg2 x + 2tgx - = Đặt t = tgx, ta suy ra: Út= (3) Û 3t2 + 2t - = Û t = Ví dụ Giải phương trình Lop10.com (8) é tgx = tg p é x = p + kp ê ê 6 Ûê Û ê (thỏa điều kiện) p p ê ê x = + k p tgx = tg ê ê ë ë Biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu điểm cách p p Vậy (3) có họ nghiệm là x = + k , k Î ¢ 2 Ví dụ Tìm m để phương trình sin x - sin x + m = (4) có nghiệm thuộc é p 7p ù đoạn ê ; ú ë6 û Giải é p 7p ù Với x Î ê ; ú Þ - £ sin x £ ë6 û Đặt t = sinx, ta suy ra: (4) Û m = -t2 + t, - £ t £ 2 Xét hàm số y = -t + t , ta có bảng biến thiên: t –1/2 1/2 1/4 y –3/4 é p 7p ù Suy (4) có nghiệm x Î ê ; ú Û- £m£ 4 ë6 û Cách khác: 1 (4) Û t2 - t = -m Û - m = t 1 1 £ nên: Do - £ t £ Û -1 £ t - £ Û £ t 2 2 £ -m £1 Û - £ m £ 4 ( ) ( ) ( ) Ví dụ Tìm m để phương trình tgx - mcotgx = (5) có nghiệm Giải Cách giải sai: Đặt t = tgx Þ t ¹ , ta suy ra: m (5) Û t = Û m = t2 - 2t Û m = ( t - )2 - ³ -1 (a) t Mặt khác: (b) t¹0Þm¹0 Từ (a) và (b) ta suy (5) có nghiệm Û -1 £ m ¹ (sai) Cách giải đúng: Lop10.com (9) Đặt t = tgx Þ t ¹ , ta suy ra: m = Û m = t2 - 2t t Xét hàm số y = t2 - 2t , ta có bảng biến thiên: t -¥ +¥ +¥ +¥ –1 y Vậy (5) có nghiệm Û m ³ -1 (5) Û t - Dạng bậc theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = (*) (a và b khác 0) Phương pháp giải toán Cách b = tga a c c Bước (*) Û sin x + tga cos x = Û sin(x + a) = cos a a a Cách Bước Chia hai vế (*) cho a + b2 và đặt: a b = cos a, = sin a 2 a +b a + b2 Bước c (*) Û sin x cos a + cos x sin a = a + b2 c Û sin(x + a) = a + b2 Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2 ³ c2 Ví dụ Giải phương trình sin x - cosx = (1) Giải Cách 1 p (1) Û sin x cos x = Û sin x - tg cos x = 3 p p p Û sin x = cos Û sin x =1 6 p p 2p Û x - = + k2p Û x = + k2p, k Î ¢ Cách Bước Chia hai vế (*) cho a và đặt ( ) ( ) Lop10.com (10) p sin x - cos x = Û sin x =1 2 p p 2p Û x - = + k2p Û x = + k2p, k Î ¢ 2p + k2p, k Î ¢ Vậy (1) có họ nghiệm x = ( (1) Û ) Ví dụ Giải phương trình sin 5x + cos 5x = sin 7x (2) Cách p (2) Û sin 5x + tg cos 5x = sin 7x p p Û sin 5x + = cos sin 7x 3 é 7x = 5x + p + k2p ê p Û sin 5x + = sin 7x Û êê 2p - 5x + k2p ê 7x = ë p é ê x = + kp Ûê p p, k Î ¢ ê +k êx = ë 18 Cách p (2) Û sin 5x + cos 5x = sin 7x Û sin 7x = sin 5x + 2 p p é 7x = 5x + + k2p é x = + kp ê ê Û êê Û ê p p, k Î ¢ ê 2p +k ê 7x = - 5x + k2p êx = ë 18 ë p é x = + kp ê Vậy (2) có các họ nghiệm ê p p, k Î ¢ ê +k êx = ë 18 ( ) ( ) ( ) Ví dụ Giải phương trình sin 2x - cos 2x = -4 (3) Giải 2 Do + (- 3) < (-4) nên phương trình (3) vô nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình: 2m cos2 x - 2(m - 1)sin x cos x - 3m - = (4) có nghiệm Giải Ta có: 10 Lop10.com (11) (4) Û m cos 2x - (m - 1) sin 2x = 2m + Suy ra: (4) có nghiệm Û m2 + (m - 1)2 ³ (2m + 1)2 Û -3 £ m £ Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx 3.1 Đẳng cấp bậc hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = (*) Phương pháp giải toán Cách p Bước Kiểm tra x = + kp có là nghiệm (*) không p Bước Với x ¹ + kp , chia hai vế (*) cho cos2x ta được: 2 (*) Û atg x + btgx + c = Cách Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) phương trình bậc theo sin2x và cos2x Ví dụ Giải phương trình: ( + 1) sin2 x - ( - 1)sin x cos x - = (1) Giải p Nhận thấy x = + kp không thỏa (1) p Với x ¹ + kp , chia hai vế (1) cho cos2x ta được: (1) Û ( + 1)tg2 x - ( - 1)tgx - 3(1 + tg2 x) = Û tg2 x - ( - 1)tgx - = é x = - p + kp é tgx = -1 ê Û êê Ûê p ê = tgx êë tgx = + k p ê ë é x = - p + kp ê Vậy các họ nghiệm (1) là ê , k Î ¢ p ê ê tgx = + kp ë Ví dụ Giải phương trình sin x + sinxcosx + = cos2x (2) Giải p p (2) Û sin 2x - cos 2x = -1 Û sin 2x = sin 6 ( 11 Lop10.com ) ( ) (12) é 2x - p = - p + k2p é x = kp ê ê 6 Û êê Û ê 2p 7p p ê x = + k p ê 2x - = + k2p êë ë 6 Cách khác: é sin x = (2) Û sin x + sin x cos x = Û êê êë sin x + cos x = é x = kp é sin x = ê ê Ûê Ûê p ê x = - + kp êë tgx = - ë é x = kp ê Vậy (2) có các họ nghiệm là ê , k Î ¢ 2p êx = + kp êë Chú ý: Đối với cách giải khác nhau, ta có thể thu nghiệm các dạng khác sau tổng hợp nghiệm thì chúng giống 3.2 Đẳng cấp bậc cao Phương pháp giải toán Cách p Bước Kiểm tra x = + kp có là nghiệm phương trình không p Bước Với x ¹ + kp , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao cosx) ta đưa phương trình bậc n theo tgx Cách Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa phương trình bậc cao theo sin2x cos2x phương trình tích Ví dụ Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3) Giải Cách p Nhận thấy x = + kp không thỏa (3) p Với x ¹ + kp , chia hai vế (3) cho cos5x ta được: (3) Û + 2tg5 x = + tg2 x + tg3 x(1 + tg2 x) Û tg5 x - tg3 x - tg2 x + = 12 Lop10.com (13) Û (tgx - 1)2(tgx + 1)(tg2 x + tgx + 1) = p p p Û tgx = ±1 Û x = ± + kp Û + k 4 Cách (3) Û cos3 x(2 cos2 x - 1) = sin x(1 - sin x) é cos 2x = Û cos x cos 2x = sin3 x cos 2x Û êê tgx = ë p p é êx = + k p p Ûê Û x = + k p ê ê x = + kp ë p p Vậy (3) có họ nghiệm là x = + k , k Î ¢ Chú ý: ( cos5 x + sin x ) = cos3 x + sin x Û ( cos5 x + sin x ) = (cos3 x + sin x)(cos2 x + sin2 x) Û cos5 x + sin5 x - cos x sin2 x - cos2 x sin x = (đẳng cấp) Dạng đối xứng sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = (*) Phương pháp giải toán Bước Đặt t = sinx + cosx = ( sin x + p ) t2 - Bước Thay vào (*) ta giải phương trình bậc hai theo t Þ- 2£t£ và sin x cos x = Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = có cách giải tương tự cách đặt t = sinx – cosx Ví dụ Giải phương trình: ( + 1)(sinx + cosx) + sin2x + Giải + = (1) Đặt t = sinx + cosx Þ - £ t £ và sin2x = t2 – Thay vào (1) ta được: t2 + ( + 1)t + = Û t = -1 Ú t = - 13 Lop10.com (14) é sin x + p = -1 é sin x + p = sin - p ê ê 4 Û ê (1) Û ê ê ê p p =- = -1 ê sin x + ê sin x + ë ë p p é é ê x + = - + k2p ê x = - p + k2p ê ê ê 5p p ê Û êx + = + k2p Û ê x = p + k2p 4 ê ê ê ê 3p ê x + p = - p + k2p êx = + k2p ê êë ë Vậy (1) có các họ nghiệm: p 3p + k2p (k Î ¢) x = p + k2p , x = - + k2p , x = ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Ví dụ Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2) Giải - t2 Đặt t = sinx – cosx Þ - £ t £ và sin x cos x = Thay vào (2) ta được: é t = -1 - t2 = 6t - Û t2 + 12t - 13 = Û êê êë t = -13 (l oại ) p p p (2) Û sin x + = -1 Û sin x + = sin 4 é x + p = - p + k2p é x = - p + k2p ê 4 ê Û êê Û ê p 5p ê = p + p x k2 êx + = + k2p ë ë 4 p Vậy (2) có các họ nghiệm x = p + k2p , x = - + k2p (k Î ¢) Ví dụ Tìm m để phương trình m(cos x - sin x) + sin 2x = (3) có nghiệm p thuộc khoảng ; p Giải p Đặt t = cos x - sin x = cos x + Þ sin 2x = - t2 Ta có: p p p 5p p xÎ ; p Þ <x+ < Þ -1 £ cos x + <0 4 4 p Þ - £ cos x + < Þ - £ t < ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ( ) 14 Lop10.com ) (15) Thay vào (3) ta được: mt + - t2 = Û mt = t2 - Û m = t Xét hàm số f(t) = t - , t Î [ - 2; ) , ta có: t f / (t) = + > "t Î [ - 2; ) t f(- 2) = , lim- f(t) = +¥ t® 2 Vậy (3) có nghiệm Û m ³ Chú ý: Ta có thể dùng bảng biến thiên hàm số f(t): t - / + f (t) (do t < 0) t +¥ f(t) - 2 Dạng phương trình khác Không có cách giải tổng quát, tùy bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi để đưa các dạng đã biết cách giải Ví dụ Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) Giải 1 1 (1) Û cos 8x + cos 6x = cos 8x + cos 2x 2 2 éx = k p é 6x = 2x + k2p ê Û cos 6x = cos 2x Û êê Ûê p ê 6x = -2x + k2p ëê êx = k ë p Vậy (1) có họ nghiệm là x = k , k Î ¢ Ví dụ Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2) Giải (2) Û sin 3x cos x = sin 3x cos 3x Û sin 3x(cos 3x - cos x) = éx = k p é 3x = kp é sin 3x = ê Û êê Û êê Ûê p ê êë 3x = ±x + k2p ë cos 3x = cos x êx = k ë p p Vậy (2) có họ nghiệm là x = k , x = k (k Î ¢) C BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 15 Lop10.com (16) I Bất phương trình lượng giác Bất phương trình cosx 1) 2) 3) 4) cos x cos x cos x cos x ³ cos a > cos a £ cos a < cos a Û Û Û Û -a + k2p £ x £ a + k2p, k Î ¢ (hình vẽ) -a + k2p < x < a + k2p, k Î ¢ a + k2p £ x £ 2p - a + k2p, k Î ¢ a + k2p < x < 2p - a + k2p, k Î ¢ Bất phương trình sinx 1) 2) 3) 4) sin x sin x sin x sin x ³ > £ < sin a sin a sin a sin a Û Û Û Û a + k2p £ x £ p - a + k2p, k Î ¢ (hình vẽ) a + k2p < x < p - a + k2p, k Î ¢ -p - a + k2p £ x £ a + k2p, k Î ¢ -p - a + k2p < x < a + k2p, k Î ¢ Bất phương trình tgx 16 Lop10.com (17) p + kp, k Î ¢ (hình vẽ) p 2) tgx > tga Û a + kp < x < + kp, k Î ¢ p 3) tgx £ tga Û - + kp < x £ a + kp, k Î ¢ p 4) tgx < tga Û - + kp < x < a + kp, k Î ¢ 1) tgx ³ tga Û a + kp £ x < Bất phương trình cotgx 1) 2) 3) 4) cotgx cotgx cotgx cotgx ³ > £ < cotga cotga cotga cotga Û Û Û Û kp < x £ a + kp, k Î kp < x < a + kp, k Î a + kp £ x < p + kp, a + kp < x < p + kp, Chú ý: 17 Lop10.com ¢ (hình vẽ) ¢ k΢ k΢ (18) Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽ đường tròn lượng giác để chọn nghiệm Ví dụ Tìm miền xác định hàm số y = cos2x Giải Ta có: p p cos2x ³ Û - + k2p £ 2x £ + k2p 2 p p Û - + kp £ x £ + kp 4 p p Vậy miền xác định là D = éê - + kp; + kp ùú , k Î ¢ ë 4 û Ví dụ Tìm miền xác định hàm số y = Giải Ta có: sin 2x sin 2x ³ Û k2p £ 2x £ p + k2p Û kp £ x £ p Vậy miền xác định là D = éê kp; + kp ùú , k Î ¢ ë û p + kp Ví dụ Tìm miền xác định hàm số y = tg3x Giải Ta có: p p p p tg3x ³ Û kp £ 3x < + kp Û k £ x < + k p p p Vậy miền xác định là D = éê k ; + k , k Î ¢ ë ) Ví dụ Giải bất phương trình sin x ³ sin x ³ Giải p 3p p + k2p, k Î ¢ Û sin x ³ sin Û + k2p £ x £ 4 Giải 5p 5p 7p cos x < Û cos x < cos Û + k2p < x < + k2p, k Î ¢ 6 Ví dụ Giải bất phương trình cos x < - 18 Lop10.com (19) Ví dụ Giải bất phương trình tgx > – Giải p p p tgx > -1 Û tgx > tg Û + kp < x < + kp, k Î ¢ 4 ( ) Ví dụ Giải bất phương trình cotgx £ Giải p p cotgx £ Û cotgx £ cotg Û + kp £ x < p + kp, k Î ¢ 6 Ví dụ Giải bất phương trình sin x + (1 - 2)cos x > Giải Ta có : sin x + (1 - 2)cos x > Û sin x + cos x - cos x > p p p Û cos x - cos x > Û -2 sin x - sin - > 8 p p 9p Û sin x > Û + k2p < x < + k2p 8 ( ( ) ( ) ( ) ) Chú ý: Cách giải sau đây sai: sin x + (1 - 2)cos x > Û sin x + cos x > cos x ìï x > p + kp ïï p Û cos x > cos x Û í p ïï + k2p > ïïî p Û x > + kp, k ³ 0, k Î ¢ (*) 3p không thỏa bất phương trình Nhận thấy x = ( ) Ví dụ Giải bất phương trình - £ cos x £ 2 Giải Ta có: 19 Lop10.com (20) £ cos x £ 2 5p p Û cos £ cos x £ cos 5p ép ê + k2p £ x £ + k2p Û êê ê 7p + k2p £ x £ 5p + k2p êë - Ví dụ 10 Giải bất phương trình - £ sin x < 2 Giải Ta có: - £ sin x < 2 p p Û sin £ sin x < sin 3p ép + k2p ê + k2p < x < Û êê p p ê - + k2p £ x £ - + k2p êë 6 ( ) Ví dụ 11 Giải bất phương trình (2 cos x - 1)(2 cos x - 3) ³ Giải Ta có: (2 cos x - 1)(2 cos x - 3) ³ Û cos x £ Ú cos x ³ 2 p p Û cos x £ cos Ú cos x ³ cos é - p + k2p £ x £ p + k2p ê 6 Û ê êp 5p ê + k2p £ x £ + k2p ë3 Ví dụ 12 Giải bất phương trình ( sin x + 1)(2 sin x - 3) > Giải Ta có: 20 Lop10.com (21)