Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Viếc [r]
(1)Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh THPT đã học nhiều dạng toán PT, BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy bậc hai, chứa ẩn dấu và chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Lớp 11 có PT lượng giác Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit Trong đó có khá nhiều dạng bài toán cần phải thực phương pháp đặt ẩn phụ tiến hành lời giải và hầu hết đó là các bài toán không chứa tham số Tuy nhiên các đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa tham số tìm GTLN, GTNN mà tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và tìm ĐK ẩn phụ Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Viếc biến đổi PT, BPT đặt ẩn phụ để quy PT đã cho các PT bậc cao thì học sinh giải khá nhiều lớp 10 và lớp 11, khảo sát hàm số cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 học nên làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với thì học sinh lúng túng nên lời giải nhiều không chặt chẽ Hai là: Khi học sinh làm bài tập PT, BPT tìm GTLN, GTNN biểu thức có ĐK mà lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm ĐK ẩn phụ tìm sai ĐK nó, đã tìm chính xác ĐK ẩn phụ lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràng buộc nó nên dẫn đến kết luận không chính xác Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo dấu tam thức bậc hai, đó sách tham khảo suất trước đó có nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực việc so sánh các nghiệm tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách hoang mang Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là tình không thể giải đơn theo kiểu tính biệt thức đenta Những vấn đề trên chính là lý để tôi chọn đề tài: Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số bài toán phương trình, bất phương trình Lop12.net (2) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tôi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Làm sáng tỏ liên hệ số nghiệm PT ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế PT đó, nghiệm PT chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc lên trục hoành ta tìm các nghiệm tương ứng Hai là: Trong giải các bài toán PT, BPT bài toán tìm GTLN , GTNN biểu thức có ĐK mà phải thực việc đặt ẩn phụ thì việc tìm ĐK ản phụ là cần thiết, việc tìm ĐK ẩn phụ thực là tìm tạp giá trị ẩn phụ trên tập xác định bài toán đã cho Sau tìm ĐK ẩn phụ thì yêu cầu đề bài bài toán theo ẩn chính phải quy yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên ĐK nó Các vấn đề tôi trình bày bài viết mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện bài toán PT, BPT có tham số bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành bài viết mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNN đặc biệt là các bài toán PT, BPT chứa tham số và lời giải có việc đặt phụ Phạm vi nghiên cứu đề tài là toàn chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PT quy bậc cao ẩn PT, BPT chứa ản dấu bậc hai và chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối PT lượng giác PT, BPT mũ và logarit Kế hoạch nghiên cứu Trong quá trình dạy học với trăn trở đã trình bày phần sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10 làm các bài toán PT, BPT quy bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dấu bậc hai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ Các em học sinh lớp 11 làm các bài toán PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN biểu thưc lượng giác nói trung là phải đặt ẩn phụ Khi đó học sinh có thể làm các bài toán mà sau đặt ẩn phụ quy PT bậc hai có thể tính toán đơn thông qua biệt thức đenta sau biến đổi cô lập tham số ta vế là hàm số bậc hai ẩn phụ, nhiều em làm không chính xác không để ý tìm ĐK ẩn phụ có tìm ĐK ẩn phụ tìm không chính xác Với các bài toán có tham số mà sau đặt ẩn phụ lại quy PT, BPT có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hàm số phân thức thì học sinh Lop12.net (3) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng không thể giải vì đó các em chưa học khảo sát các loại hàm số này Các vướng mắc nói trên giải toàn diện học sinh đã học ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó từ đầu năm học 2009 – 2010 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua số tiết tự chon nâng cao hai lớp 12A4, 12A6 và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết mình Lop12.net (4) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận a) Tìm số nghiệm phương trình Xét PT f ( x) g (m) , (1) Trong đó x là ẩn thực và m là tham số thực - Số nghiệm PT (1) là số giao điểm đồ thị hàm số y f ( x) ( có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT nó ) và đường thẳng y g (m) là đường thẳng vuông góc với trục Oy điểm có tung độ g ( m) - các nghiệm x1 , x2 , , xn PT (1) chính là hoành độ các giao điểm b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN hàm số * Từ việc lập BBT hàm số f ( x) trên tập xác định nó ta tìm thấy điểm trên đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn a; b thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau : - Tìm các điểm x1 , x2 , , xn trên đoạn a; b mà đó f ' ( x) f ' ( x) không xác định - Tính các giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) - Số lớn ( bé ) các số trên là GTLN (GTNN ) hàm số f ( x) trên đoạn a; b c) Tìm tham số bài toán bất phương trình Nếu hàm số f ( x) có GTLN và GTNN trên tập xác định D đó BPT : f ( x) g (m) thỏa mãn x D và f ( x) g (m) D f ( x) g (m) thỏa mãn x D và m ax f ( x) g (m) D f ( x) g (m) có nghiệm x D và max f ( x) g (m) D f ( x) g (m) có nghiệm x D và f ( x) g (m) D Trong trường hợp hàm số f ( x) không có GTLN GTNN trên tập D ta phải kết hợp với BBT đồ thị nó để có kết luận thích hợp Lop12.net (5) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Thực trạng vấn đề Để thực đề tài mình tôi đã thực khảo sát thực tế sau: Trong đợt ôn tập hè năm 2009 cho các em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 phần ôn tập môn toán có số tiết ôn tập phần PT, BPT đã học lớp 10 và lớp 11 tôi đã cho học sinh làm số bài PT, BPT có chứa tham số và có phải thực việc đặt ẩn phụ và dặn các em ôn tập thêm để đến đầu năm học lớp 12 tôi cho học sinh lớp 12A4 và 12A6 làm bài kiểm tra khảo sát 55 phút tự chọn nâng cao với đề kiểm tra sau: Câu I ( điểm ) Tìm tham số m để PT sau có nghiệm nhất: x x 2m 0, (1) x 1 Câu II ( điểm ) Tìm GTLN và GTNN hàm số 4x 2x y cos c os 2 x2 x2 Câu III ( điểm ) Cho PT: sinx sin x sinx sin x m, (2) Giải PT (2) m Tìm tham số m để PT (2) có nghiệm Kết thu với các mức điểm tính tỉ lệ phần trăm sau: Điểm Lớp Lớp 12A4 ( 55 HS ) Lớp 12A6 ( 55 HS ) – 2,5 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 11% 27% 42% 16,5% 3,5% 18% 36% 35% 11% 0% Để phân tích lý có kết thấp trên tôi xin trình bày lời giải đúng: Câu I ĐK x ; PT (1) x x 2m x x 2m, (1a) PT (1) có nghiệm PT (1a) có đúng nghiệm thỏa mãn x tức là đường thẳng y 2m cắt đồ thị hàm số y f ( x) x x đúng điểm trên khoảng 1; f ( x) là hàm số bậc hai có hệ số a dương nên có bảng biến thiên sau: Lop12.net (6) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng x + f ( x) -1 m0 2m Từ BBT suy là ĐK phải tìm m m Câu II TXĐ: ; Đặt 2x x2 2x 1;1 x2 Ta y cos2 cos 2cos 2 cos Đặt t cos , 1;1 t cos1;1 ( để học sinh hiểu rõ tính chất trên cần biểu diễn trên đường tròn lượng giác ) Thì y f (t ) 2t t 1, với t cos1;1 Bảng biến thiên hàm số bậc hai f (t ) Theo BĐT Cosi : x x x t cos1 f (1) f (t ) f (cos1) Từ BBT suy max y f (1) 2; y f (cos1) 2cos 21 cos1 Câu III TXĐ: ; Đặt t sinx sin x t sinx sin x t2 sinx sin x 2 t t m, (2a) PT (2) trở thành: t2 Khi m ta có PT: t 2t t 4 Với t sinx sin x sin x sinx sin x sinx sinx x Lop12.net k 2 (7) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Với t 4 sinx sin x 4 , vô nghiệm vì vế trái 1 4 Vậy m PT đã cho có nghiệm x Ta phải tìm ĐK t k 2 x sinx 1 và sin x t 0; t sinx 1 Mặt khác theo tính chất a b t sinx sin x 2 a b 2ab 2(a b ) sin x sin x 2 t 2; t sinx Vậy x t 0;2 PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm t 0;2 Xét hàm số f (t ) t t trên đoạn 0;2 Có bảng biến thiên -1 t f (t ) -1 Từ BBT suy ĐK phải tìm là 1 m Những sai lầm học sinh làm bài kiểm tra : Câu I : Sau biến đổi PT (1a) - Một số trường hợp yêu cầu biệt thức đenta không mà không quan tâm đến ĐK - Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số xét chưa hết các trường hợp Câu II : Sau đặt t cos - Một số trường hợp không có ĐK t - Một số trường hợp cho t 1;1 Câu III : a Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều cách: đặt ẩn phụ trên đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho hệ PT b Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK ẩn phụ có tìm ĐK tìm không chính xác Lop12.net (8) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Các phương pháp đã tiến hành Vì hạn chế học sinh đã trình bày phần lý chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao, tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ Nhưng vì thời gian không có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần tôi cho học sinh số bài tập để các em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho số học sinh lên bảng làm bài và số học sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi phân tích lời giải cho lớp để các em tìm lời giải tối ưu và nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng Để cho việc tiếp thu bài học dễ dàng tôi chia nội dung bài viết mình thành bốn phần sau: - Phương trình , bất phương trình bậc cao ẩn - Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dấu - Phương trình lượng giác - Phương trình , bất phương trình mũ và logarit PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN Bài Tìm tham số a để PT: x3 x a , (1) có ba nghiệm phân biệt đó có đúng nghiệm bé Giải PT (1) x3 x a , (1a) Yêu cầu đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 cho x1 x2 x3 tức là đường thẳng y a phải cắt đồ thị hàm số y f ( x) x3 x ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 x2 x3 x Ta có f ' ( x) x x ; f ' ( x) x 3 lim f ( x) lim x3 1 ; x x x Bảng biến thiên hàm số f ( x) Lop12.net lim f ( x) x (9) Sáng kiến kinh nghiệm x Nguyễn Hà Hưng - ' f ( x) + - - 0 f ( x) + + -2 -4 Từ BBT suy điều kiện phải tìm là 4 a 2 Nhận xét: Nghiệm (1a) là hoành độ giao điểm đường thẳng y a với đồ thị hàm số y f ( x) tức là từ giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục hoành suy vị trí các nghiệm Bài Biện luận theo a số nghiệm PT: x 3( x 1) a , (2) Giải Đặt t x , x t PT (2) trở thành t 3t a a t 3t , (2a) Xét hàm số f (t ) t 3t với t có f ' (t ) 3t 6t 0, t lim f (t ) t Bảng biến thiên hàm số f (t ) t - f ' (t ) f (t ) + 0 Từ BBT ta thấy - Nếu a ( 2a) không có nghiệm t nên ( 2) vô nghiệm - Nếu a ( 2a) có nghiệm t nên ( 2) có nghiệm x - Nếu a ( 2a) có nghiệm t nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: - Thay vì việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực việc đặt ẩn phụ để có lời giải ngắn gọn - Lưu ý quan hệ số nghiệm theo ẩn t và số nghiệm theo ẩn x Lop12.net (10) Sáng kiến kinh nghiệm Bài Nguyễn Hà Hưng Tìm tham số a để PT: x3 ax m , ( 3) có ba nghiệm phân biệt m 4;0 Giải Yêu cầu đề bài tương đương với m 4;0 đường thẳng y m phải cắt f 0 đồ thị hàm số y f ( x) x3 ax ba điểm phân biệt CD (*) f CT x0 ' ' Ta có f ( x) 3 x 2ax ; f ( x) 2a x 2a Hàm số có cực đại và cực tiểu và a 0, 2a đó x và x là các điểm cực trị hàm số các giá trị cực trị là 3 2a 4a 4 f (0) 4 và f 27 4a Theo ĐK (*) suy số -4 phải là giá trị cực tiểu đó số là giá trị 27 4a cực đại 4 0a3 27 2a Thử lại : Khi a Lập bảng xét dấu f ' ( x) suy x là điểm 2a cực tiểu , x là điểm cực đại và các giá trị cực trị thỏa mãn ĐK (*) Vậy ĐK phải tìm là a Tổng quát: Xét hàm số f ( x) ax3 bx cx d với a ' - Hàm số f ( x) có cực đại và cực tiểu và PT f ( x) có hai nghiệm phân biệt - PT f ( x) g (m) có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là fCT g (m) fCD Bài Biện luận theo m số nghiệm PT sau : x 17 x3 51x (36 m) x m , ( ) Giải PT ( 4) tương đương với Lop12.net 10 (11) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng x 17 x3 51x 36 x m( x 1) ( x 1)(2 x3 15 x 36 x) m( x 1) x 1 x 15 x 36 x m ; (4a ) Để biện luận số nghiệm PT (4) trước hết ta biện luận số nghiệm PT (4a) Xét hàm số f ( x) x3 15 x 36 x x f ' ( x) x 30 x 36; f ' ( x) x 15 36 15 36 lim f ( x) lim x3 ; lim f ( x) lim x3 x x x x x x x x Bảng biến thiên x + f ' ( x) + - 28 f ( x) + 27 23 Từ BBT suy ra: - Nếu m 28 m 27 và m 23 suy PT (4a) có nghiệm khác nên PT (4) có hai nghiệm phân biệt - Nếu m 28 m 27 suy PT (4a) có đúng hai nghiệm khác nên PT (4) có ba nghiệm phân biệt - Nếu m 23 suy PT (4a) có nghiệm nên PT (4) có nghiệm - Nếu 27 m 28 suy PT (4a) có ba nghiệm phân biệt khác nên PT (4) có bốn nghiệm phân biệt Lưu ý: - Việc biện luận số nghiệm PT (4) trở thành biện luận số nghiệm khác PT (4a) - Khi biến đổi từ PT (4) có nhiều trường hợp ta không quy PT tích thì có thể chia hai vế cho biểu thức khác để cô lập tham số và khảo sát hàm số phân thức Lop12.net 11 (12) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Bài Chứng minh a hệ PT sau có nghiệm nhất: a2 2 x y y 2 y x a x Giải ĐK : x 0, y x2 y y a2 (1) Hệ PT đã cho 2 (2) 2 y x x a Từ (1) x y y ; từ (2) y x x Lấy (1) trừ (2) theo vế xy ( x y ) y x xy ( x y ) ( x y )( x y ) ( x y )(2 xy x y ) x y ( vì xy x y ) y x vào (1) Suy x3 x a x3 x a (*) Ta thấy số nghiệm dương PT (*) là số nghiệm hệ PT đã cho Xét hàm số f ( x) x3 x với x x ' ' f ( x) x x; f ( x) x 1 lim f ( x) lim x3 x x x Bang biến thiên 1/3 x f ' ( x) f ( x) - + 27 Từ BBT suy a đường thẳng y a luôn cắt đồ thị hàm số y f ( x) đúng điểm có hoành độ dương suy hệ PT đã cho có đúng nghiệm Nhận xét: - Khi giải hệ PT đố xứng loại hai có dạng hệ PT (1) và (2) nói trên cách giải truyền thống là lấy các PT trừ cho để tính ẩn theo ẩn còn lại sau đó lại hai PT đã cho - Hệ PT trên có lời giải ngắn gọn vì ta nhân xét tính chất x 0, y Lop12.net 12 (13) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng - Sau biến đổi PT (*) là PT bậc ba nên không sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số thì việc tìm lời giải là vô cùng khó khăn x 3x Bài Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm 3 x x x m 20m Giải Hệ đã cho 0 x3 x3 x x m3 20m với ĐK x 0;3 3 x x x m 20m Đặt f ( x) x3 x x Hệ đã cho có nghiệm và BPT f ( x) m3 20m có nghiệm x 0;3 max f ( x) m3 20m 0;3 - Nếu x 0;2 f ( x) x x(2 x) x3 x x có f ' ( x) x x ; f ' ( x) x x 2 ( loại ) 40 2 f (0) 0; f (2) 8; f max f ( x) 0;2 27 3 - Nếu x 2;3 f ( x) x3 x( x 2) x3 x x có f ' ( x) x x 0, x 2;3 f (2) 8; f (3) 21 max f ( x) 21 2;3 Vậy max f ( x) 21 nên ta phải có m 20m 21 m 0;3 Tóm lại ĐK phải tìm là m Nhận xét: Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm quy bài toán tìm tham số để BPT có nghiệm trên tập cho trước và đã chuyển bài toán tìm GTLN GTNN hàm số Bài Cho hàm số y x3 (a 3) x ax Hãy tìm tham số a để y 1, x 1;1 Giải Giả sử y 1, x 1;1 suy Lop12.net 13 (14) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng y (1) a a 1 4 a 3 y (1) 4 a a a3 a 3 a a 3 y 1 2 1 a3 a 5 a 1 y 1 Thử lại: Khi a 3 y x3 x là hàm số liên tục trên đoạn 1;1 y ' 12 x 3; y' x 1 1 và y (1) 1; y (1) 1; y 1; y suy max y và y 1 1;1 1;1 2 nên y 1, x 1;1 Vậy ĐK phải tìm là a 3 Nhận xét: Trong lời giải bài toán trên việc giả sử y 1, x 1;1 có thể suy điều kiện a , có thể là khoảng nào đó rúp ta dễ dàng tìm điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài bước kiểm chứng ngược lại Bài Chứng minh BPT : qx px3 0, (8) thỏa mãn x và 256q 27 p Giải - Nếu x 0, BPT (8) trở thành đúng 1 - Nếu x x 0, BPT (8) q p x x Đặt u , x thì u Ta BPT: f (u ) u pu q 0, (8a) x Vậy (8) thỏa mãn x và (8a) thỏa mãn u f (u ) Ta có f ' (u ) 4u p u p p u 3 4 Bảng biến thiên hàm số f (u ) Lop12.net 14 (15) Sáng kiến kinh nghiệm u Nguyễn Hà Hưng 3 f ' (u ) p + f (u ) f (u ) p 3p p Từ BBT f (u ) f q 4 3p p 3p p 27 p p f (u ) q0q q 27 p 256q 4 4 64 Từ đó suy điều phải chứng minh Nhận xét: Việc biến đổi BPT (8) BPT (8a) trên là cần thiết để việc khảo sát hàm số trở thành đơn giản Baì Cho ab hãy tìm GTNN biểu thức a b4 a b2 a b A b a b a b a Giải a b a b a b a b Đặt u u (vì ) b a b a b a b a u2 a b mà 2 u 2 b a u 2 a b2 a b Khi đó u b a b a 2 a b4 a b2 u u 4u b a b a Suy A u 5u u Xét hàm số f (u ) u 5u u với u 2 u f ' (u ) 4u 10u f '' (u ) 12u 10 0, u thỏa mãn u 2 u Lop12.net 15 (16) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Bảng biến thiên -2 u + + f '' (u ) 11 f ' (u ) 13 f (u ) 2 Từ BBT A 2 đạt u 2 a b 2 a b b a Nhận xét: a) Trong lời giải bài toán trên cần lưu ý: - Nhát thiết phải tìm ĐK chính xác cho ẩn phụ u - Trong BBT ta thấy u 2 f ' (u ) 11 f ' (u ) u f ' (u ) 13 f ' (u ) b) Với ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ta có thể giải bài toán tìm tham số, tìm GTLN, GTNN biểu thức và bài toán giải PT, BPT, hệ PT y x 27 x 27 z y 27 y 27 x3 z 27 z 27 Bài 10 Giải hệ PT Giải y x 27 x 27 Hệ PT đã cho z y 27 y 27 x3 z 27 z 27 (1) (2) (3) 3 27 Từ (1) y x x 3 x y y 2 4 3 x Từ (2) và (3) tương tự suy z , 2 Xét hàm số f (t ) 9t 27t 27 với t Lop12.net 16 (17) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng y f ( x) Hệ PT trên trở thành z f ( y ) x3 f ( z ) 3 suy hàm số f (t ) đồng biến t 2 3 Nếu x y z f ( x) f ( y ) f ( z ) y z x y z x mà x y z suy x y z Các trường hợp còn lại ( chẳng hạn z y x ) tương tự suy x y z Từ x y z vào ba PT đã cho x3 x 27 x 27 x3 x 27 x 27 x x y z Vậy hệ PT đã cho có mộ nghiệm x y z Nhận xét: Trong lời giải bài toán trên ta khai thác tính đơn điệu hàm số đã chứng tỏ x, y, z Ta có f ' (t ) 18t 27 0, t Bài 11 Tìm tham số m để BPT mx x m , (11) thỏa mãn x Giải 4x 4x BPT (11) m( x 1) x m (11a) Đặt f ( x) x 1 x 1 BPT (11) thỏa mãn x và BPT (11a) thỏa mãn x max f ( x) m f ( x) ' Ta có 12 x x 1 f ' ( x) x ; 4(1 x 3)(1 x 3) x 1 lim f ( x) lim x x x x 0; lim f ( x) x Bảng biến thiên x f ' ( x) 3 + 0 27 f ( x) 27 Lop12.net 17 (18) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Từ BBT max f ( x) 27 Vậy ĐK phải tìm là m 27 Nhận xét: Trong đề bài trên bậc tham số m nên ta có thể nhóm m làm thừa số chung và thực việc chia hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số Bài 12 Tìm tham số m để BPT m x x m 0, (12) thỏa mãn x Giải Đặt t x ; x t Bài toán trở thành tìm tham số m để f (t ) m 2t 2t m 0, t f (t ) 0; - Nếu m f (t ) 2t 0, t là vô lý suy m bị loại - Nếu m 0, f ' (t ) 2m 2t ; f ' (t ) t m Bảng biến thiên t f ' (t ) m2 f (t ) + m3 m2 m3 m3 m 1 Từ BBT suy f (t ) ; đó 0; m2 m2 Vậy ĐK phải tìm là m Nhận xét: Trong lời giải bài toán trên sau đặt ẩn phụ ta hàm số bậc hai đó không cần sử dụng đạo hàm ta lập BBT hàm số Tuy nhiên tôi trình bày đây để tiện liên hệ với bài 11 trường hợp không cô lập tham số Bài 13 Biện luận theo tham số m số nghiệm PT x (m 1) x3 x (m 1) x (13) Giải 3 PT (13) x x x x m( x x) Dễ thấy x không thỏa mãn PT (13) x x3 x Lop12.net 18 (19) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng x x3 3x x PT trên m (13a) x3 x x x3 3x x Xét f ( x) , x x3 x Ta thấy số nghiệm PT (13) số nghiệm PT (13a) và là số giao điểm đồ thị hàm số y f ( x) và đường thẳng y m f ' ( x) Ta có x6 x x ; f ' ( x) x 1 1 2 x x x ; lim f ( x) lim x x 1 x lim f ( x) ; lim f ( x) x 1 lim f ( x) ; x 0 x x 0 Bảng biến thiên x -1 + f ' ( x) f ( x) - - + + Từ BBT suy ra: m 2 - Nếu PT (13) có hai nghiệm phân biệt m7 m PT (13) có đúng nghiệm - Nếu m - Nếu m PT (13) vô nghiệm 2 Nhận xét: - Mặc dù PT trên là PT bậc bốn đối xứng có thể giải theo cách chia hai vế cho x sau đó đặt ẩn phụ để quy PT bậc hai nhiên cách giải Lop12.net 19 (20) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng đó khá phức tạp PT chứa tham số, đặc biệt là liên quan đến số nghiệm - Với cách giải ứng dụng đạo hàm trên ta có lời giải rõ ràng còn có thể so sánh nghiệm PT đó với các số cho trước Bài tập tương tự 1.Tìm tham số a để PT sau có nghiệm nhất: x3 ax Biện luận theo m số nghiệm PT x (3 m) x 2m so sánh các nghiệm đó với các số -3 và -1 Tìm tham số m để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt: x3 x 18mx 2m Cho hàm số f ( x) x3 3mx Tìm tham số m để f ( x) , x x x 2 x 9 Biện luận theo m số nghiệm âm PT: m( x 2) x 2 Tìm tham số m để hệ PT sau có nhiều hai nghiệm: x ym ( x 1) y xy m( y 2) x2 5x Giải hệ BPT x x x 10 Hướng dẫn: Khảo sát hàm số f ( x) x3 x x 10 trên khoảng 4;1 là tập nghiệm BPT thứ Tìm tham số m để hệ BPT sau có nghiệm: x 3x 3 x x x m 15m x2 1 x y y2 Giải hệ PT: z y 4z2 x 1 z Hướng dẫn : Từ hệ PT suy x, y, z là các số không âm 4t Xét hàm số f (t ) trên nửa khoảng 0; 4t Lop12.net 20 (21)