Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn C đi điểm M 4;2 và tiếp xúc với các trục toạ độ.. Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO.[r]
(1)Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Chuyên đề: Luyện thi Đại học 2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I- LÝ THUYẾT: Phương trình đường tròn: Dạng 1: Phương trình đường tròn C có tâm I (a; b) , bán kính R : x a 2 y b R2 I R Dạng 2: Phương trình tổng quát: x y 2ax 2by c (*) có tâm I (a; b) , bán kính R a b c Lưu ý: Điều kiện để (*) là phương trình đường tròn là: a b c THUẬT TOÁN Lập phương trình đường tròn: Bước 1: Bước 2: Kết luận: Xác định tâm I (a; b) C Xác định bán kính R Phương trình đường tròn C có tâm I (a; b) , bán kính R : 2 y b R2 Nhận xét: Phương trình (*) hoàn toàn xác định biết các hệ số a, b, c Như chúng ta cần giả thiết để xác định a, b, c x a Tiếp tuyến đường tròn: x y 2ax 2by c a Tiếp tuyến C M ( x0 ; y0 ) ( M : tiếp điểm) Tiếp tuyến C M ( x0 ; y0 ) có phương trình: I R xx0 yy0 a ( x x0 ) b( y y0 ) c (Công thức phân đôi toạ độ) M0 Nhận xét: Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã vect¬ ph¸p IM ( x0 a; y0 b) : ( a x0 ) x x0 (b y0 )( y y0 ) b Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng : ax by c là tiếp tuyến C d I ; R Lưu ý: Để tiện việc tìm phương trình tiếp tuyến C , chúng ta không nên xét phương trình đường thẳng dạng y kx m (tồn hệ số góc k ) Vì dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C (không có hệ số góc) Nhắc: * §êng th¼ng y kx m cã hÖ sè gãc k * §êng th¼ng x C (vu«ng gãc Ox ) kh«ng cã hÖ sè gãc Do đó, quá trình viết pt tiếp tuyến với (C) từ điểm M ( x0 ; y0 ) (ngoài (C)) ta có thể thùc hiÖn b»ng p.ph¸p: * Phương pháp 1: Gọi đường thẳng bất kì qua M ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k : y y0 k ( x x0 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (2) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY ¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, gi¶i ®îc k Luyện thi Đại học 2013 * Nếu kết hệ số góc k (tương ứng tiếp tuyến), bài toán giải xong * NÕu gi¶i ®îc hÖ sè gãc k , th× xÐt ®êng th¼ng x x (®©y lµ tiÕp tuyÕn thø hai) * Phương pháp 2: Gọi n (a; b) a b là v.t pháp đ.thẳng qua M ( x0 ; y0 ) a ( x x0 ) b( y y0 ) áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta phương trình đẳng cấp bậc hai theo a, b Nhận xột: Phương pháp tỏ hiệu và khoa học Vị trí tương đối hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn C1 có tâm I1 , bán kính R1 và C2 có tâm I , bán kính R2 Trường hợp Kết luận Số tiếp tuyến chung C1 không cắt C2 (ngoài nhau) I1 I2 R1 R2 R1 R2 I1 I C1 I1 C2 I2 R1 tiếp xúc ngoài với R2 R1 R2 I1 I C1 I1 I2 R1 cắt C2 hai điểm phân biệt R2 R1 R2 I1I R1 R2 C1 R1 I1 I2 tiếp xúc với C2 R2 R1 R2 I1 I Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (3) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY C1 không cắt C2 (lồng vào nhau) R1 I1 Hay Luyện thi Đại học 2013 R2 I2 R1 R2 I1 I VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình dạng x y 2ax 2by c (1) T©m I (a; b) Kiểm tra, biểu thức: a b c thì (1) là phương trình đường tròn 2 R a b c Cách 2: Đưa phương trình dạng: ( x a)2 ( y b )2 m và kết luận LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn Tìm tâm và bán hính có: a) x y x y 10 b) x y x y 12 c) x y x y d ) 2x y x y e) x y y f ) x y2 x 8y g ) x y xy y Bài tập 2: Cho phương trình x y mx my m (1) a Với giá trị nào m thì pt(1) là phương trình đường tròn? b Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m Bài tập 3: Cho phương tr×nh : x y 6mx 2(m 1) y 11m2 2m a Tìm điều kiện m để pt trên là l phương trình đường tròn b T×m quỹ tÝch t©m đường trßn Bài tập 4: Cho phương trình: x y 2(cos 1) x 2(sin 1) y a Với giá trị nào thì phương trình trên là phương trình đường tròn b Tìm giá trị để đường tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn c Tìm quỹ tích tâm đường tròn, thay đổi trên đoạn 00 ;1800 2 Bài tập 5: Cho phương tr×nh (Cm ) : x y 2(m 1) x 2(m 3) y a T×m m để (Cm ) là phương tr×nh đường trßn b T×m m để (Cm ) là đường trßn t©m I (1; 3) Viết phương tr×nh đường trßn c T×m m để (Cm ) là đường trßn cã b¸n kÝnh R Viết phương tr×nh đường trßn d T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (Cm ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (4) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY VẤN ĐỀ 2: Luyện thi Đại học 2013 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp: 2 Cách 1: Tìm tâm I ( a; b) , bán kính R Suy (C) : x a y b R Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: x y 2ax 2by c - Từ điều kiện đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c - Giải hệ phương trình tìm a, b, c LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a (C) có tâm I ( 1;2) và tiếp xúc với đường thẳng : x y b (C) có đường kính là AB với A(1;1), B (7;5) Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn qua ba điểm với A(1;4), B (7;4), C(2; 5) Bài tập 3: Cho điểm A(1;2), B (5;2), C(1; 3) a Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC b Xác định tâm và bán kính (C) Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(1;5), B (4; 1), C( 4; 5) Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm I (2;3) các trường hợp sau: a (C) có bán kính là b (C) qua điểm A(1;5) c (C) tiếp xúc với trục Ox d (C) tiếp xúc với trục Oy e (C) tiếp xúc với đường thẳng : x y 12 Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A( 1;2), B (2;3) và có tâm trên đường thẳng : x y 10 Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a;3a 10) Δ Do (C) qua A, B nên IA IB R Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d đoạn AB Bước 2: Tâm I (C) là giao điểm d và Δ Bài tập 7: Lập phương trình đường tròn (C) qua điểm A(1;2), B (3;4) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x y Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a; b) là tâm đường tròn IA IB Theo giả thiết: giải I d I ;Δ IA Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d đoạn AB Bước 2: Gọi tâm (C) là I d (tọa độ ẩn) Do Δ tiếp xúc với (C) nên d I ;Δ IA giải I Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) điểm M (4;2) và tiếp xúc với các trục toạ độ Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (5) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 Gọi I (a; b) là tâm (C) Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a b R TH 1: a b I ( a; a ), R a 2 Phương trình (C): x a y a a a 2 Do M (4;2) C a a a a 12 a 20 a 10 x 2 y 2 và C2 : x 10 2 y 10 2 100 Vậy có đường tròn: C1 : TH 2: a b I ( a; a), R a 2 Phương trình (C): x a y a a 2 Do M (4;2) C a a a a2 a 20 v« nghiÖm Bài tập 9: Cho đường thẳng: 1 : x y 0, : x y 0, d : x y Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với 1 , Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a;1 2a ) d là tâm đường tròn (C) Do 1 , là các tiếp tuyến (C) nên suy ra: d I ; 1 d I ; giải I Cách 2: Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 và 2 3x y x 3y 3x y x 3y 32 4 32 3x y x y T : x y T2 : x y 3x y x 3y Bước 2: Tâm I đường tròn tương ứng là giao điểm d và T1, T2 Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A(0;1), B (2; 3) và có bán kính R 5 Gợi ý: Cách 1: IA IB Gọi I (a; b) là tâm đường tròn (C) Theo giả thiết IA R Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d AB Bước 2: Gọi I d (tọa độ ẩn) Theo giả thiết IA giải I Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I (1;1) , biết đường thẳng : x y cắt (C) theo dây cung AB với AB Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (6) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 AB Dễ thấy R d I ;Δ Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (2; 2) và C (4; 2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N là trung điểm AB và BC Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N Gợi ý: Bước 1: Xác định tọa độ M, N Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d MN Dễ thấy tâm I (C) thuộc d Bước 3: Tâm I (C) là giao điểm BH và d Suy IM R Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn qua điểm A(1;1) và có bán kính R 10 , tâm (C) nằm trên Ox Gợi ý: Gọi I (a;0) Ox là tâm (C) Theo giả thiết, IA 10 , từ đây giải I Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn qua điểm M (2;3) và tiếp xúc đồng thời với hai đường thẳng 1 : x y 0, 2 : x y Gợi ý: IM d I ;Δ1 R Gọi I (a; b) là tâm (C) Theo giả thiết giải I d I ;Δ1 d I ;Δ Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn qua gốc toạ độ, bán kính R và tiếp xúc với đường thẳng : 2x y Gợi ý: OI R Gọi I (a; b) là tâm (C) Theo giả thiết giải I d I ;Δ Bài tập 16: Cho đường thẳng d : x y và đường tròn (C ) : x y x y Chứng minh d cắt (C ) Hãy viết phương trình đường tròn (C ') qua M (3;0) và các giao điểm d và (C ) Gợi ý: (1) x y y x Xét hệ phương trình: x y x y x y x y (2) x y 2 A(1; 2) Thay (1) vào (2): x x x y 3 B (0; 3) Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm A(1; 2), B(0; 3) và M (3;0) (Dùng kỹ năng: Gọi phương trình x y 2ax 2by c và thay tọa độ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (7) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 17: Cho đường thẳng d : x y và đường tròn (C ) : x y x y Chứng minh d cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B Hãy viết phương trình đường tròn (C ') qua A, B và có bán kính R Gợi ý: Xác định các giao điểm A, B d và (C) IA IB Gọi I (a; b) là tâm (C ') Theo giả thiết: IA Bài tập 18: Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm P (1; 1), Q (3;1) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y Gợi ý: (C ') : x y có tâm O(0;0), R Lập phương trình đường trung trực Δ PQ Gọi I Δ (tọa độ ẩn) là tâm (C) Xét trường hợp: TH 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài, tức là OI R1 R2 OI IA giải I TH 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong, tức là OI R1 R2 OI IA giải I Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , qua M (2;0) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y Gợi ý: IM R Gọi I (a; b) là tâm (C ) Theo giả thiết: Từ đây, giải I IO R Bài tập 20: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y vµ ®êng th¼ng y Gợi ý: Gọi I (a; b) là tâm (C ) b Ta có, (C) tiếp xúc với Ox nên R b b b TH 1: b I ( a; 2) Theo giả thiết IO ' R1 R2 Từ đây, giải I TH 2: b 2 I (a; 2) Theo giả thiết IO ' R1 R2 Từ đây, giải I Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d : y điểm M (4; 2) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x ( y 2) Gợi ý: Qua M dựng đường thẳng Δ vuông góc với d Lúc đó, tâm I Δ (tọa độ ẩn) Dễ thấy R IM TH 1: II ' R R ' II ' IM R ' Từ đây, giải I TH 2: II ' R R ' II ' IM R ' Từ đây, giải I Bài tập 22: Cho đường tròn (C ') : x y Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng : x và đường tròn (C’) điểm M (2; 2) Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (8) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Lập phương trình đường thẳng I ' M Tâm I I ' M (tọa độ ẩn) Ta có: II ' IM I ' M II ' d I , x 3 I ' M Từ đây, giải I Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x y 10 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng : x y và tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) Gợi ý: Tâm I Δ (tọa độ ẩn) Theo giả thiết IA d I , d Từ đây, giải I Bài tập tự luyện: Bài tập 24: Cho đường tròn C : x y x y 12 Lập phương trình đường thẳng d qua M 1;1 vằ cắt đường tròn (C) tạ hai điểm A, B cho MA MB Bài tập 25: Cho hai đường tròn C1 : x y x y 0; C2 : x y x Lập phương trình đường thẳng d qua M 1;0 vằ cắt hai đường tròn (C) tạ hai điểm A, B cho MA MB 2 Bài tập 26: Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc ngoài với C / x y và đồng thời tiếp xúc với các trục toạ độ VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN 2 Bài tập 1: Cho đường tròn (C): x y 1 25 Viết phương trình tiếp tuyến (C) các trường hợp sau: a Tại điểm M (5; 3) b Biết tiếp tuyến song song : x 12 y c Biết tiếp tuyến vuông góc : 3x y d Biết tiếp tuyến qua A(3;6) Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): x y x y giao điểm (C) và đường thẳng : x y Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x y x y xuất phát từ A(3; 2) Gợi ý: (C) có tâm I (2;1) và R Cách 1: Gọi n a; b a b là vectơ pháp tiếp tuyến cần tìm: : a( x 3) b( y 2) ax by 3a 2b 2a b 3a 2b là tiếp tuyến (C) d I ; R 3b a a b 2 a b b a b 2a 2 2 2 9b 6ab a a b 2b 3ab 2a b b a a 2 TH 1: b 2a Lúc đó: : a( x 3) 2a( y 2) x 2( y 2) x y (do a ) TH 2: b a Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (9) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 1 Lúc đó: : a( x 3) a( y 2) x ( y 2) x y (do a ) 2 Kết luận: Vậy có tiếp tuyến (C) xuất phát từ A 1 : x y , : x y Cách 2: Xác định tọa độ các tiếp điểm Gọi M0 x0 ; y0 là tiếp điểm tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C) x02 y02 x y0 M (C ) Suy ra: Từ đây, giải hai tiếp điểm… M A M I M A M I 0 0 Bài tập 4: Cho đường tròn (C): x y x y và điểm A(1;3) a Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C) b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A 2 Bài tập 5: Cho đường tròn (C): x 1 y và điểm M (2; 1) a Chứng tỏ qua M ta vẽ hai tiếp tuyến 1 và với (C) Hãy viết phương trình 1 và b Gọi M1 và M2 là hai tiếp điểm 1 và với (C), hãy viết phương trình M1 M2 Gợi ý: (C) có tâm I (1;2) và R a Ta có IM (3; 3) IM R nên M nằm ngoài (C) Vậy từ M tồn tiếp tuyến với (C) Cách 1: Gọi n a; b a b là vectơ pháp tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên) Cách 2: Gọi M0 x0 ; y0 là tiếp điểm Lúc đó, tiếp tuyến (C) M có dạng : x 1 x0 1 y y0 Mặt khác qua M (2; 1) nên: 1 x0 1 1 y0 x0 y0 (1) 2 Do M0 x ; y0 (C ) x 1 y0 (2) x0 y0 x0 1, y0 1 Từ (1) và (2), giải hệ: 2 x0 2, y0 2 x0 1 y0 Suy hai tiếp điểm M1 (1; 1), M (2; 2) TH 1: Tiếp tuyến 1 qua M (2; 1) và M1 (1; 1) có phương trình: y 1 TH 2: Tiếp tuyến qua M (2; 1) và M (2; 2) có phương trình: x 2 y 1 x 4y 2 2 b) Theo trên, hai tiếp điểm là M1 (1; 1), M (2; 2) x2 y2 Cách 1: Phương trình M1 M2 : x y 1 1 Cách 2: (Không cần xác định tọa độ M1 , M ) Gọi M1 x1; y1 , M x2 ; y2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (10) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Tiếp tuyến (C) M1 : x 1 x1 1 y y1 Luyện thi Đại học 2013 Mặt khác qua M (2; 1) nên: 1 x1 1 1 y1 x1 y1 (3) Tương tự, tiếp tuyến (C) M1 : x 1 x2 1 y y2 Mặt khác qua M (2; 1) nên: 1 x 1 1 y2 x2 y2 (4) Từ (3), (4) dễ thấy: M1 , M : x y hay đường thẳng M1 M2 : x y Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: a) (C1 ) : x y x và (C2 ) : x y 12 x y 44 b) (C1 ) : x y x và (C2 ) : x y x 8y 28 c) (C1 ) : x y x y và (C2 ) : x y 16 x 20 y 21 d) (C1 ) : x y và (C2 ) : x y y Gợi ý: 6b) (C1 ) : x y x và (C2 ) : x y x 8y 28 T©m I1 1;0 T©m I 4;4 Ta có C1 có và C2 có B¸n kÝnh R1 B¸n kÝnh R2 Ta có: I1I (3;4) I1I R1 R2 Vậy C1 và C1 ngoài nên tồn tiếp tuyến chung cần tìm Gọi : ax by c a2 b là tiếp tuyến chung C1 và C2 ac 2 2 d I1 ; R1 (1) a b2 ac 2 a b Lúc đó, theo giả thiết: 4a 4b c 4a 4b c a b (2) d I ; R2 a2 b 3a 4b a c 4a 4b c Từ (1) và (2) suy ra: a c 4a 4b c c 5a 4b a c 4a 4b c TH 1: 3a 4b a b 14 c b 16 10b Lúc đó, (1) trở thành: c b b b c b 3 c 2 b 14 4 14 * Với c b, a b tiếp tuyến 1 : bx by b 4 x 3y 14 3 3 4 * Với c 2b, a b tiếp tuyến : bx by 2b 4 x 3y 3 5a 4b TH 2: c Lúc đó, (1) trở thành: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 10 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (11) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 5a 4b a a b 3a 4b a b 3a 4b a b2 a c 2b 9a 24ab 16b 16a 16b a 7a 24b a 24 b c 74 b 7 * Với c 2b, a tiếp tuyến : by 2b y 74 24 24 74 * Với c b, a b tiếp tuyến : bx by b 24 x y 74 7 7 Kết luận: Vậy tồn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: 1 : x 3y 14 , : x 3y , : y , : 24 x y 74 2 2 Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) : x y 25 , biết tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng : x y 1 mét gãc mµ cos= Gợi ý: (C) có tâm O(0; 0) và R Gọi nd a; b a b2 là vectơ pháp đường thẳng d cần tìm Đường thẳng có vectơ pháp là n (1;2) Do góc đường thẳng d và là với cos nên suy ra: nd n a 2b cos a 2b a b 2 nd n a b a a 4ab 4b a b a(4b 3a) b a TH 1: a nd (0; b) b , chọn nd (0;1) d : y m 2 2 m 5 m 5 Vậy trường hợp này có tiếp tuyến: d1 : y 0, d2 : y Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d O; d R m a nd a; a a , chọn nd (4;3) d : x 3y n n n 25 Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d O; d R n 25 Vậy trường hợp này có tiếp tuyến: d3 : x 3y 25 0, d : x y 25 TH 2: b Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 11 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (12) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC là: 3x y , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Gợi ý: Ta cã BC Ox B (1;0) §Æt x A a ta cã: A( a;0) vµ xC a yC 3a VËy C a; 3a xG x A xB xC 2a 3(a 1) Tõ c«ng thøc Ta cã G ; 3 y y y y B C G A Cách 1: Ta cã: AB a , AC a , BC a Do đó: SΔABC AB AC a 1 2 y C a 1 a 1 2S Ta cã: r AB AB BC a a 1 I VËy a O 74 62 B TH 1: a1 G1 ; 3 1 6 TH 1: a2 2 G2 ; 3 Cách 2: Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ΔABC V× r yI 2 x 1 Phương trình BI: y tan 300 x 1 xI 3 TH 1: Nếu A và O khác phía B thì xI Từ d I ; AC x A 74 62 a xI G1 ; 3 TH 2: Nếu A và O cùng phía B thì xI Từ d I ; AC 1 6 a xI 1 G2 ; 3 1 2) (ĐH B-2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phương trình đường thẳng AB là: 2 x y và AB= 2AD Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 12 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (13) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB Luyện thi Đại học 2013 5 AD vµ IA IB 2 Do đó A, B là các giao điểm đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính R Vậy tọa độ A, B là nghiệm hệ phương trình: x y 2 1 Gi¶i hÖ ®îc A 2;0 , B 2; (v× x A 0) x y C 3;0 , D 1; 2 Lưu ý: Hoàn toàn có thể xác định tọa độ H là hình chiếu I trên đường thẳng AB Sau đó tìm A, B là giao điểm đường tròn tâm H bán kính HA với đường thẳng AB 3) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: C1 : x y 10 x 0, C2 : x y x y 20 a Viết phương trình đường tròn qua giao điểm C1 , C2 và có tâm nằm trên đường thẳng x y b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn C1 , C2 4) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: C1 : x y y 0, C2 : x y x y 16 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn C1 , C2 5) (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng d : x y và đường tròn C : x y x y Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C A và B cho góc AMB 600 Gợi ý: Cách 1: Bước 1: Gọi M t ; t 1 d Xét tam giác IAM vuông A, có góc IMA 300 : IA IA R Ta có: sin IMA IM 2R IM sin IMA sin 300 Bước 2: Giải phương trình IM R M A M 30 I d B Cách 2: Tiến hành tương tự trên, Xét tam giác IAM vuông A, có góc IMA 300 : IA IA R Ta có: sin IMA IM 2R IM sin IMA sin 300 2 M C / I , R : x 1 y 20 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 13 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (14) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 Suy ra, tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình: C / x 12 y 2 20 : d x y Từ đây giải M A M 30 I d B M Nhận xét: Cách giải tương đối dễ hình dung, cách giải tốt vì mang tính chất hình học và giải tích, để các bài toán biện luận số giao điểm sau này Mở rộng: Cho đường thẳng d : x y và đường tròn C : x y x y Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C A và B cho góc AMB 450 Kỹ thuật xử lí: Gọi 450 Xét tam giác IAM vuông A, có góc IMA : M A Ta có: IA IA2 cos IA2 2 sin sin IM IM 2 IM 2 IA2 IM cos Từ đây giải M I B 6) (ĐH B-2003) Cho tam giác ABC vuông A và AB= AC Biết M (1; 1) là trung điểm cạnh 2 BC và G ;0 là trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C 3 7) (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x y 10 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng : x y và tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) Gợi ý: Bước 1: Gọi I t ; 2t Bước 2: Theo giả thiết d I ; d IA R Từ đây giải I và suy R IA Giáo viên: LÊ BÁ BẢO A I 14 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (15) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 2 8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng d : x y và đường tròn C : x 1 y Viết phương trình đường tròn C / đối xứng với đường tròn C qua đường thẳng d Tìm toạ độ giao điểm C / và C Gợi ý: 2 Tõ (C): x 1 y suy (C) cã t©m I 1;2 vµ b¸n kÝnh R Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n 1; 1 Do đó đường thẳng Δ qua x 1 y x y 1 Tọa độ giao điểm H d và Δ là nghiệm hệ phương trình: I (1;2) và vuông góc với d có phương trình: x y 1 x H 2;1 x y y 1 Gọi J là điểm đối xứng với I 1; qua d Khi đó: xJ xH xI J 3;0 y J yH yI Vì (C') đối xứng với (C) qua d nên (C') có tâm là J (3;0) và bán kính R * Tọa độ các giao điểm (C) và (C') là nghiệm hệ phương trình: x 1 y 2 y x 1 x 1, y x y x 3, y 2 2 x 3 y 2 x x x 3 y Vậy tọa độ giao điểm (C) và (C') là A 1;0 , B 3;2 9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm A 0;2 , B 3; 1 Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Gợi ý: + Đường thẳng qua O, vuông góc với BA 3;3 có phương trình x y Đường thẳng qua B, vuông góc với OA 0; có phương trình y 1 Đường thẳng qua A, vuông góc với BO 3;1 có phương trình x y Giải hệ hai (trong ba) phương trình trên ta trực tâm H ; 1 Đường trung trực cạnh OA có phương trình y Đường trung trực cạnh OB có phương trình x y Đường trung trực cạnh AB có phương trình 3x y Giải hệ hai (trong ba ) phương trình trên ta tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOAB là I 3;1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 15 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (16) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 10) (ĐH A-2005) Cho hai đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Gợi ý: V× A d1 A t ; t Vì A và C đối xứng qua BD và B, D Ox nên C (t ; t ) V× C d nªn 2t t t VËy A(1;1), C (1; 1) IB IA Trung ®iÓm AC lµ I (1;0) V× I lµ t©m cña h×nh vu«ng nªn: ID IA b B Ox B (b;0) b 0, d MÆt kh¸c: D Ox D (d ;0) d d 0, d Suy ra, B (0;0) vµ D (2;0) hoÆc B (2;0) vµ D (0;0) Vậy bốn đỉnh hình vuông là: A(1;1), B (0;0), C (1; 1), D(2;0) A(1;1), B (2;0), C (1; 1), D (0;0) hoÆc 11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm A(2;0), B (6; 4) Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với trục hoành A và khoảng cách từ tâm C đến điểm B Gợi ý: Gäi t©m cña (C) lµ I a; b vµ b¸n kÝnh cña (C) lµ R Ta cã: (C) tiÕp xóc víi Ox t¹i A a vµ b R b 2 IB b 25 b 8b b * Víi a 2, b ta cã ®êng trßn C1 : x y 1 2 * Víi a 2, b ta cã ®êng trßn C : x y 49 12) (Đề dự bị 2005) Cho đường tròn C : x y 12 x y 36 Viết đường tròn C1 tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngoài với (C) phương trình Gợi ý: C x y 12 x y 36 x y Vậy (C) có tâm I 6,2 và R=2 Vì đường tròn C1 tiếp xúc với trục Ox, Oy nên tâm I1 nằm trên đường thẳng y x vàvì (C) có tâm I 6,2 ,R = nên tâm I1 ( x ; x ) với x > TH 1: Tâm I1 đường thẳng y = x I x , x , bán kính R1 x C1 tiếp xúc ngoài với (C) I I1 R R1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 16 Lop12.net x 2 x 2 x Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (17) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY 2 Luyện thi Đại học 2013 x x x x x 16 x x 36 x x 20 x 36 Ứng với R1 hay R2 18 x 18 2 x 182 y 182 18 y x I x , x ; R1 x Có đường tròn là: x y ; TH 2: Tâm I1 đường thẳng Tương tự trên, ta có x= 2 Có đường tròn là x y 36 Kết luận: Tóm lại ta có đường tròn thỏa ycbt là: x 2 y 2 4; x 182 y 182 18; x 2 y 2 36 13) (Đề dự bị 2005) Cho hai đường tròn C1 : x y 9, C2 : x y x y 23 Viết phương trình trục đẳng phương d C1 và C2 Chứng minh K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm C1 nhỏ khoảng cách từ K đến tâm C2 Gợi ý: Đường tròn C1 có tâm O 0,0 bán kính R1 Đường tròn C2 có tâm I 1,1 , bán kính R2 Phương trình trục đẳng phương đường tròn C1 , C2 là: x y x y x y 23 x y (d) Gọi K xk , yk d yk x k 2 OK x k yk x k2 yk2 x k2 xk xk2 14 x k 49 2 2 IK x k 1 yk 1 x k 1 x k 8 x k2 14 xk 65 Ta xét IK OK x k2 14 xk 65 x k2 14 xk 49 16 Vậy IK OK IK OK (ñpcm) (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y2 4 x y 12 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : x y cho MI R , đó I là tâm và R là bán kính đường tròn (C) Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I 2;3 , R M x M ; yM d x M y M yM x M IM x M y M 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 10 17 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (18) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 x M 2 xM 32 10 x M2 x M 96 x M 4 y M 5 M 4, 5 24 63 24 63 xM yM M , 5 5 (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0;5), B(2; 3) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B và có bán kính R 10 Gợi ý: Gọi I a;b là tâm đường tròn (C) 2 Phương trình (C), tâm I, bán kính R 10 là x a y b 10 2 2 A C a b 10 a2 b2 10b 15 (1) B C a b 10 a b 4a 6b (2) Từ (1) và ( 2) ta có: a 1 a a2 b2 10b 15 hay 4a 4b 12 b b Vậy ta có đường tròn thỏa ycbt là: x 12 y 2 10, x 32 y 2 10 Cho đường tròn C : x y x y 14) (ĐH D-2006) và đường thẳng d : x y Tìm toạ độ điểm M trên d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn C , tiếp xúc ngoài với đường tròn C Gợi ý: §êng trßn (C) cã t©m I 1;1 vµ b¸n kÝnh R 1.V× M d nªn M x; x 3 Yêu cầu bài toán tương đương với: x MI R R x 1 x x 2 VËy, cã hai ®iÓm M tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: M1 1; , M 2;1 15) (Đề dự bị 2006) Cho đường thẳng d : x y và điểm A(1;1) Viết phương trình đường tròn C qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d Gợi ý: Vì (C) qua O nên phương trình (C): x y 2ax 2by MÆt kh¸c, A 1;1 (C): a b b a Lúc đó, phương trình (C), viết lại: x y 2ax a 1 y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 18 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (19) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 (C) cã t©m I a;1 a vµ b¸n kÝnh R a 2a Do (C) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d : x y nªn R d I ; d 2a2 2a a (1 a) 2 a a2 a a VËy cã hai ®êng trßn tháa y.c.b.t lµ (C1 ) : x y y 0, (C ) : x y x 0, 16) (ĐH B-2006) Cho đường tròn C : x y x y và điểm M 3;1 Gọi T1 , T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M đến C Viết phương trình đường thẳng T1T2 Gợi ý: §êng trßn (C) cã t©m I(1;3) vµ b¸n kÝnh R 2, MI R nªn M n»m ngoµi (C) T (C ) T (C ) Nếu T x ; y0 là tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì: MT IT MT IT Ta có: MT x 3; y0 1 , IT x 1; y0 3 Do đó, ta có: x02 y02 x0 y0 x y0 (1) 2 x0 y0 x y0 Vậy, tọa độ các tiếp điểm T1 và T2 các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thỏa mãn đẳng thức (1) Do đó, phương trình đường thẳng T1T2 : x y 17) (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (2; 2) và C (4; 2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N là trung điểm AB và BC Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N Gợi ý: Ta cã M 1;0 , N 1; 2 , AC 4; 4 Gi¶ sö H x; y , ta cã: BH AC x 4 x y H 1;1 y H AC 4 x y Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: x y 2ax 2by c (1) Thay tọa độ M, N, H vào phương trình (1) ta có hệ phương trình: a 2a c 2a b c 5 b 2a b c 2 c 2 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x y x y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 19 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (20) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 2 18) (ĐH D-2007) Cho đường tròn C : x 1 y và đường thẳng d : x y m Tìm m để trên d có điểm P mà từ P có thể kẻ hai tiếp tuyên PA, PB (A, B là các tiếp điểm) cho tam giác PAB Gợi ý: (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R Ta có PAB nên IP IA R P thuộc ®êng trßn (C') t©m I b¸n kÝnh R ' Nhận xét: Điểm P là điểm chung (C’) và d Trªn d cã nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n vµ chØ d tiÕp xóc víi (C') t¹i P m 19 d I;d m 41 19) (Đề dự bị 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x y Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) các điểm A, B cho AB Viết phương trình đường thẳng AB Gợi ý: Cách 1: Đường thẳng OI nối tâm đường tròn (C), (C') là đường phân giác y x Do đó, đường AB đường y x hệ số góc đường thẳng AB 1 A Vì AB A, B phải là giao điểm (C) với Ox, Oy R A 0;1 ; B 1;0 Suy A ' 1;0 ; B ' 0; 1 Suy phương trình AB: y x y x O H B Cách 2: Phương trình AB có dạng: y x m Pt hoành độ giao điểm AB là: x ( x m )2 x 2mx m (2) (2) có / m2 , gọi x1 , x2 là nghiệm (2) ta có : AB2 2( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 m 4 / m2 a m 1 Vậy phương trình AB : y x y x Cách 3: Phương trình AB có dạng: y x m Gọi H là trung điểm AB Suy ra: OI d O; AB R AH R AB Từ đó giải phương trình OI d O; AB 20) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x y 8x y 21 và đường thẳng d: x y Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A d Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 20 Lop12.net Tổ Toán Trường THPT Phong Điền (21)