Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm... 27 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm 4..[r]
(1)Tư liệu: Giới thiệu các đề thi hệ phương trình Từ năm 2000 đến năm 2012 Các đề thi ĐH năm 2000 Bµi 1: §HSP Hµ Néi KA: Giải hệ phương trình : y xy 6x 2 1 x y 5x 1 2 Gi¶i : Tõ (2) suy x ≠ , chia c¸c vÕ cho x2 : y y y2 x x y x x Û y2 y y x x x v2 v2 u uv y u §Æt u ; v y ta ®îc hÖ : x x v 2u v v v3 5v 12 (*) Û (v-3)(v2+3v+4) = Û v=3; u = 1 x y x ; x y y y x VËy hÖ cã nghiÖm lµ (1;2) hoÆc ;1 2 Bµi 2: §HSP Hµ Néi K B,D: Giải hệ phương trình : 2 x y xy 4 2 x y x y 21 Giải : Đây là hệ đói xứng loại , Biến đổi dạng : x y 2 xy x y 2 xy 2 2 2 2 x y x y 21 x y 2xy x y 21 x y 2 xy x y 3 x y xy xy xy 2 2 xy x y 21 x; y 1; , 2;1 , 1; 2 , 2; 1 Bµi : §HSP HCM-K A,B Lop12.net * (2) Giải hệ phương trình : x 2xy 3y 2 2x 2xy y 1 2 HD: Tõ (1) vµ (2) ta cã : 2(x2+2xy+3y2=9(2x2+2xy+y2) Û16x2+14xy+3y2=0 (3) x y x x Dễ thấy x=0 không thoả mãn hệ, đó (3) Û 16 14 x y y y 8 x Với y 2x Thế vào (2) ta có x2=1Û x 1 Từ đó hệ có hai nghiệm là : y 2 (1;-2), (-1;2) Víi 17 x y x ThÕ vµo (2) ta cã x2= Từ đó hệ có hai 17 y 17 17 17 17 17 ; ; ; 17 17 17 17 17 17 17 17 §S : hÖ cã nghiÖm lµ (1;-2), (-1;2), ; ; ; 17 17 17 17 nghiÖm lµ Bµi : §HGTVT Hµ Néi Giải hệ phương trình : xy x y 11 2 x y xy 30 HD : Đây là hệ đối xứng loại §S: HÖ cã nghiÖm lµ : 1;5 , 5;1 , 2;3 , 3; Bµi : §HTCKT Hµ Néi x log8 y y log8 x 1 Giải hệ phương trình : log x log y x x Gi¶i : Tõ (2) : log x 4y Thay vµo (1) : y y 4y log8 y y log8 4y 4log8 y.y log8 y y log8 y log8 y Lu ý : log8 y 2 2log8 y 2y y log8 y y 2 log8 y log y 2 y log 2 3 y ; vµ y log8 y log 2 3 y thì phương trình trên là : log8 2 log8 y log y log8 y 3 log8 y log8 y 3log8 y Lop12.net (3) Đặt t log8 y thì phương trình thành : 2t log8 y 1 y log8 y y +3t2=1Û 3t2 t 1 +2t – = 0Û t 1 Từ đó hệ có hai nghiệm là 8; , ; Bµi : §HM§C Hµ Néi x y a Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình : a x y xy 2 2 1 2 HD : Tõ (2) : 22 x y xy 21a x y xy a Tõ (1) : y =1-x-a y x a y x a 2 2x 2y 1 x a 2x 1 x a 1 x a HÖ trë thµnh : 1 x a 2 2x 1 a x 1 a * ' 1 a 1 a 1 a 2 Với a=1 thì phương trình (*) có nghiệm là x=0 y=0 Vậy hệ có nghiệm là (0;0) Với a≠ thì phương trình (*) vô nghiệm hệ vô nghiệm Bµi 7: §H ngo¹i ng÷ 2x y z Giải hệ phương trình : xyz 64 Với điều kiện ba số log y x, log z y, log x z theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân Gi¶i : Tõ gi¶ thiÕt ta cã : log y x.log x z log 2z y log y z log 2z y log 3z y log z y y z 2x 2y HÖ trë thµnh : xy 64 xyz4 Bµi 8: §H An ninh K-A Tìm tất các giá trị a để hệ phương trình : x 2xy 3y 2 2x 4xy 5y a 4a 4a 12 105 Cã nghiÖm Giải : Đểgọn ta đặt vế trái phươngtrình (2) m Lop12.net 1 2 (4) XÐt hÖ : x 2xy 3y 2 2x 4xy 5y m 1 Các phương trình hệ có vế trái đẳng cấp bậc hai 2 x và y x 1 2t 3t 3 Từ (1) suy x≠ 0, ta đặt y=tx , dẫn tới hệ : 2 x 4t 5t m Tõ (3) suy 1-2t-3t2> 1 t Chia tõng vÕ cña (3) cho (4) ta cã : 2t 3t 2m 40 t m 16 t 16 m * 2 4t 5t m Vậy phương trình (*) phải có nghiệm thoả mãn 1 t Gọi f(t) là vế trái phương trình (*) Ta xét hai trường hợp : 1 Trường hợp 1: có nghiệm thoả mãn : 1 t Û f 1 f 3 DÔ kiÓm nghiÖm thÊy ®iÒu kiÖn nµy kh«ng tho¶ m·n Trường hợp2: có hai nghiệm thoả mãn : 1 t ' 3m 40 f (1) 3m 40 f m 3 105 3 S 1 m 3 a 4a 4a 12 105 3 105 a 4a 4a a 1 a 3 a 2a 3 a 1 a 3 Bµi 9: §HCSND-KA x xy y m 1 Cho hệ phương trình : 2 x y xy m 2 Gi¶I hÖ víi m = -3 Xác định m để hệ có nghiệm Lop12.net (5) x y xy m Giải : Hệ đã cho xy x y m §Æt u=x+y; v=xy th× hÖ trë thµnh: u v m u.v m Víi m=-3 th× hÖ trë thµnh : v u 1 v u v 1 u 1 v u 2 v 2 u.v 2 v v v 1 v 2 u y x x y 2 x 1 x x y 1 xy Víi u=-2; v=1 ta cã hÖ : x 1 x y y x y Víi u=1; v=-2 ta cã hÖ : x xy 2 x 1 x 2 y 1 VËy hÖ cã ba nghiÖm lµ 1; 1 , 1; , 2; 1 x xy y m 1 Xét hệ phương trình 2 x y xy m 2 Phương trình (2)Û(x+y+xy)-(x2y+xy2)=(m+2)-(m+1) Û x y xy Û(x+y-1)(1-xy) =0 Û x y xy m A x y Hệ đã cho tương dương với hai hệ: x y xy m B xy x y XÐt hÖ (A) : HÖ (A) Û Đây là hệ đối xứng loại 1, vì để hệ có xy m nghiÖm nhÊt th× ph¶i cã x=y x 2x Víi x=y th× hÖ trë thµnh x m m Lop12.net (6) x y m xy XÐt hÖ (B) : HÖ (B) Û x 2x m m Víi x=y th× hÖ trë thµnh : x 1 x m 3 Thử lại ta thấy hệ đã cho có nghiệm và m=1;m= Bài 10 : ĐH Thương Mại x ay a o Cho hệ phương trình ; 2 x y x 1.Tìm các giá trị a để hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt 2.Gọi x1 ; y1 , x ; y là các nghiệm hệ đã cho, hãy chứng minh: x x1 y2 y1 2 DÊu b»ng x¶y nµo? Giải : Ta giải hệ này phương pháp hình học x a(y 1) HÖ ®îc viÕt l¹i lµ : 2 x y 2 1 2 Phương trình (1) biểu thị đường thẳng quay quanh điểm A(0;1) cố định 1 Phương trình (2) biểu thị đường tròn (C) tâm I ;0 , bán kính R= 2 HÖ cã hai nghiÖm Û c¾t ®êng trßn (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Û Û d I, R a 3a 4a a 1 a Víi 0<a< th× C M, N vµ MN 2R=1 x x1 y2 y1 Bµi 11 :§H Thuû Lîi 3x x.log log y y log 2 GiảI hệ phương trình : x.log 12 log x y log 2y 3 Lop12.net ®pcm (7) x y 3x log (3 y) log (2 ) GiảI : TXĐ : x>0; y>0 Khi đó ta có : log (12 x.x) log (3y 2y ) 3 x 3 y y x 3 y x.2 x.2 y 1 Û 12 x.x y.3y 12 x.x 3y.y 3 Chia tõng vÕ cña (1) cho (2) ta ®îc : y 3x x y y 36 x y 62x y 2x 3 12 3 Thay (3) vµo (1) ta ®îc : x.22x 3x.2x 4x 1 3x 1 x x y=2 VËy nghiÖm cña hÖ lµ (1;2) Bµi 12 : §H N«ng NghiÖp 1-KA 1 2 x 5 y2 GiảI hệ phương trình : x y GiảI : TXĐ : x≥2; y≥2 Lúc đó hệ đã choÛ x y x y x 5 y 49 3 x y 5 49 Đây là hệ đối xứng loại Trừ vế hai phương trình,ta : x 5 y x y 5 Û…Û x=y Thay kÕt qu¶ nµy vµo (3) : 2x x x 49 x x 23 x 2 x 23 2 x 11 x 3x 10 23 x VËy hÖ cã nghiÖm lµ : x=11 Bài 13 : ĐH Dân lâp Phương Đông –KA 2x 3xy y 12 GiảI hệ phương trình : 2 x xy 3y 11 1 2 GiảI : Đây là hệ phương trình có vế tráI đẳng cấp bậc hai hai ẩn Lop12.net (8) x 3t t 12 t 12 11 §Æt y=tx th× : 2 t 3t 3t t t 0, x 1 t 3t 11 x 5 x ới t=2 thì y=2x và phương trình (1) trở thành :12x2=12Ûx=±1 Y=±2 Với t=0,2 thì y=0,2x và phương trình (1) trở thành : x VËy hÖ cã 4nghiÖm 1; 2 , 5 50 2 x 5 y 11 11 11 2 ; 11 11 Bµi 14:§H Thuû S¶n §ît x 1 y 1 Cho hệ phương trình : x y y x y x m A GiảI hệ phương trình với m=6 Tìm tất các giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm x 1 y 1 Gi¶I : x 1 y y 1 x m §Æt u x 1; v= y 1; u 0; v , th× hÖ trë thµnh: u v u v u v m u v v u m uv u v m uv 3 4 B u x u v v y với m=6 ta có hệ phương trình : u x uv v y VËy víi m=6 th× hÖ cã hai nghiÖm lµ : 0;3 , 3;0 Tìm m để hệ có nghiệm: Do u 0; v th× tõ (4) suy m>0 Hệ (A) có nghiệm Û Hệ (B) có nghiệm dương Tõ (3) : v=3-u Thay vÇo (4) : u u m m u 3u (*) 3 Bài toán dẫn đến : Tìm m cho phương trình (*) có nghiệm thoả mãn : u Lop12.net (9) Gäi f u u 3u m Ta xÐt hai kh¶ n¨ng: a) Phương trinh(*) có nghiệm thoả mãnđiều kiện u Û Û f f 3 m m 0m0 3 b) Phương trinh(*) có hai nghiệm thoả mãnđiều kiện u Û Û 4m 1.f m 27 0m 1.f 3 m b 0 3 2a VËy víi : m 27 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm Bµi 15 : §H D©n LËp H¶i Phßng-K B,D 1 x y xy Giải hệ phương trình : x y xy 1 2 Giải:Do đk:x≠ 0: y≠ 0.phương trình (2) Û 1 1 u.v x y xy 1 u v 1 x y 2 x y 3 4 x u y v Lop12.net 1 Hệđã cho y x x Víi u ; v= y (10) u x hoÆc v y Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là : 1; , 2;1 Bµi 16 : §HQG Hµ Néi K-B 2x 3x y Giải hệ phương trình : 2 2y 3y x 1 2 Giải:Đây là hệ đối xứng loại Trừ vế hai phương trình ta được: y x x y x y x y x y x y 1 y x 1 2x 3x y y x Hệ đã cho 2 2x 3x y y x 1 a b Gi¶i hÖ (a) ta ®îc hai nghiÖm lµ 1;1 , 2; 21 21 ; , Gi¶i hÖ (b) ta ®îc hai nghiÖm lµ 21 21 ; 21 21 ; , ĐS: Hệ đã cho có nghiệm là : 1;1 , 2; , Các đề thi năm 2001 Bµi 17: §HSP Hµ Néi –Khèi B, M, T x y3 GiảI hệ phươngtrình : x y 2xy 1 2 GiảI : Đây là hệ đói xứng loại Lop12.net 21 21 ; (11) x y x y 2 3xy u u 3v Hệ đã cho Û u 2v x y 2xy 3 4 Víi u=x+y; v=xy 2u 2u u v v Û v 2u 3u 6u 16 u 2u 7u x x y y x xy y Bµi 18:§HSP Vinh Khèi D, M, T x y5 Giải hệ phương trình : 9 4 x y x y 1 2 Gi¶I : (2) Û x 1 x y 1 y5 (*) (1) y5 x x y5 Thay vµo (*) ta ®îc : x4.y5+y4.x5=0 x x y x y y y x Víi x=0 th× y=1; Víi y=0 th× x=1 Víi y=-x th× x5+y5=0 (lo¹i) VËy hÖ cã hai nghiÖm lµ 0;1 , 1;0 Bµi 19 :§H Thuû Lîi 2x y Giải hệ phương trình : 2y x x2 y2 1 2 Lop12.net 4 (12) Giải : Đây là hệ đối xứng loại hai hai ẩn 2x x y Hệ đã cho 2y y x 2x x y 3 2 x y xy x y XÐt (4) x y 2x 2y 3xy x y v× 2 3 4 (2x2+2y2+3xy= 2 2 x y y 0) 16 Thay y=x vµo (3) ta ®îc : x=y=1 Bµi20: §H N«ng NghiÖp 1-KA x y 2 y 1 Giải hệ phương trình : 3 x y 19 t 1 y Giải : Đặt x = ty , thì hệ đã cho 3 t 1 y 19 t 12 y t 19 2 t 3 4 t y 18 , x= 18 Gi¶I (4) t t 1 19 t 1 2t 17t 21 t y 2, x=3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ; , 3; 18 18 Bµi 21: §H Th¸i Nguyªn – Khèi A, B, T x 2y Giải hệ phương trình : y 2x HD: Đây là hệ đối xứng loại hai x, y 1 1 1 1 ; ; , 2 ĐS : hệ đã cho có ba nghiệm là : 1;1 , Bài 22 : ĐH Luật -ĐH Dược Hà Nội Lop12.net (13) Xác định các giá trị tham số a để hệ phương trình sau đây có nghiệm (x,y) víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè b: a 1 x y5 bx e a 1 by a Giải : Vì hệ có nghiệm với b, nên hệ có nghiệm với giá trị nào đó b; a 1 x y5 a 1 chẳng hạn với b=0.Lúc đó hệ trở thành : 1 a y y *Víi a=1 hÖ trë thµnh : bx HÖ nµy kh«ng cã nghiÖm víi mäi bx e 2by e 2b b,ch¼ng h¹n víi 1-2b<0 b VËy a=1 bÞ lo¹i 2x y5 2x y5 *Víi a=-1 hÖ trë thµnh : bx bx e Râ rµng víi mäi b, hÖ cã nghiÖm x=0, y=1 VËy a=-1 chÊp nhËn ®îc Bài 23 : ĐH Ngoại Thương khối A x 3x y3 3y Giải hệ phương trình : 6 x y Gi¶i : x y 6 x y x y xy 3 1 x y Hệ đã cho 6 x y2 xy x y x y HÖ (A) cho nghiÖm x=y= XÐt hÖ (B) :Tõ :x6+y6=1 x 1; y 1; x 1; y 1; xy Lop12.net A B (14) x y xy HÖ (B) 6 x y v« nghiÖm 1 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là , ; , 2 2 Bài 24 : ĐH Thương Mại 1 x y3 19x Giải hệ phương trình : 2 y xy 6x Giải : Dễ thấy điều kiện cần là x≠0 Hệ đã cho y1 1 y x1 , y1 2 y 19 x y 19 u u 3uv 19 xx x v 6 x , y uv 6 y y 6 y y 6 2 x x x x x y x ( víi u y; v= ) Bµi 25 : Häc viÖn QHQT-Khèi D x y Giải hệ phương trình : 2 3 (x y ) x y 280 1 2 Gi¶i : §Æt u=x+y; v=xy Lu ý : x y x y 2xy u 2v vµ x y3 x y x y xy u(u 3v) u v u u Hệ đã cho u (4 2v).4 3v 280 3v 40v 93 v 31 x x hoÆc y y *Víi u=4;v=3 ta ®îc Lop12.net (15) *Víi u=4; v= 31 ta ®îc 4xy>(x+y)2 v« lý §S : hÖ cã hai nghiÖm lµ (1,3) ; (3,1) Bµi 26: §H Hµng H¶i x xy y 19 x y 2 Giải hệ phương trình : 2 x xy y x y Gi¶i : Lu ý x xy y x y 3xy u 3v ; x xy y x y xy u v 2 u 3v 19u 18u 3v (Víi u=x-y; v=xy) th× hÖ trë thµnh: Û u v 7u u 6u v v u 7u 7u v x y xy0 xy *Víi u=0; v=0 ta cã : x x y y *Víi u=1; v=6 ta cã : x 2 xy y 3 Vậy hệ đãcho có nghiệm là (0,0); (3,2); (-2,-3) Bµi 27: §H An Ninh-Khèi D x y 2xy Giải hệ phương trình : 2 x y Lop12.net u 7u v (16) u v u 2v u 2v Giải : Đặt u=x+y; v=xy thì hệ đã cho u 2 u 2v u u v x x ; hoÆc y y Víi u=1;v=0 th× ta cã Víi u=-2; v= 3 thì ta có x y 4xy 2 phương trình vô nghiệm 2 ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là (0,1); (1,0) Bµi 28 : Häc viÖn Qu©n y xy xy 2 Giải hệ phương trình : 2 2 x y x y 1 2 Gi¶i : Tõ (1) suy x y x y x y xy xy x y2 x y2 Với đk này thì hệ đã cho Û Û Bµi 29 : §H D©n LËp §«ng §« x y 1 Giải hệ phương trình : y x 2 Giải : Đây là hệ đối xứng loại Cách : sử dụng phương pháp đánh giá §k: x x y x 16 y y x y 16 Lop12.net 4 x y x x 2 x y x y 16 (17) x y Suy hÖ cã nghiÖm nhÊt : Cách : sử dụng phương pháp hàm TX§:x,y 7; ) x 9 y7 Hệ đã cho Û x x y y 3 4 Xét phương trình (4): XÐt hµm sè f t t t víi TX§ : t 7; ) f ' t t 7 t 9 f t nghÞch biÕn trªn TX§ t t Suy phương trình (4)Û f t1 f t t1 t x y Thay y=x vào phương trình (3) : nghiÖm nhÊt lµ x = x x Giải phương trình này ta §S : HÖ cã mét nghiÖm lµ (7;7) Bµi 30: §H Hång §øc –Khèi A x y k x y 1 Cho hệ phương trình : x y xy 1 Gi¶I hÖ víi k= Tìm tất các giá trị k để hệ có nghiệm Gi¶i : x y2 Víi k=0 th× ta cã hÖ : x y xy Lop12.net §K : x y (18) x y 2 2xy x y 2 xy 1 u v 1 x y xy x y xy u v 1 2 ( víi u=x+y; v=xy) u x y u 2u v 1 xy 1 Từ đó dễ dàng giải x y u v u v xy x x 1 x ; ; y 1 y y x y 2§K : 2 x y Trong hệ đã cho vai trò x và y là Do đó diều kiện cần để hệ có nghiÖm nhÊt lµ x=y 2x k ThÕ x=y vµo hÖ ta ®îc: 2x x 2x k x Nhng víi k=0 th× hÖ cã ba nghiÖm VËy k=0 kh«ng lµ kÕt qu¶ cÇn t×m ĐS : Không tồn k thoả mãn yêu cầu đề bài Bài 31 : Xác định tham số a để hệ sau đây có nghiệm nhất: x 12 y a y 1 x a Gi¶i : Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm lµ x , y0 th× vai trß cña x, y nh ,nªn y0 , x là nghiệm phương trình Vì điều kiện cần để hệ có nghiệm nhÊt lµ x=y Thay y=x vào phương trình đầu ta có : x 1 x a x x a Phương trình này có nghiệm 1 a a Lop12.net (19) x 1 y x 1 y Điều kiện đủ: a thì hệ trở thành : x 12 y 12 y x y 1 x x 1 y x y x y 3 3 2 x 1 y x 1 y HoÆc HoÆc 4xy v« nghiÖm x y x y §S : a Bµi 32 : Häc viÖn ng©n hµng-Ph©n viÖn ng©n hµng HCM x 2xy 3y Giải hệ phương trình: 2 2x 13xy 15y HD: đây là hệ có vế trái đẳng cấp bậc x và y 5 1 §S: hÖ cã nghiÖm lµ 3; 2 , ; , 3; , ; 2 2 Bµi 33 : Häc viÖn chÝnh trÞ Quèc gia HCM-Ph©n viÖn b¸o chÝ vµ tuyªn truyÒn 2x y 1 y Giải hệ phương trình: 2y x x x y Gi¶i: §K : 2x y 1 y y y 2y x 1 x x x Víi x>0, y>0 ta cã : Lop12.net x y (20) Trừ vế hai phương trình ta có: 2x 2y y 1 1 x 2x x 2y y * y x x y XÐt hµm sè : f t 2t t f ' t 4t t t 1 f(t) là hàm đồng biến phương trình (*) Û x=y t2 Thay y=x vào phương trình (1) ta có : 2x3-x2-1=0Û (x-1)(2x2+x+1)=0 Suy hÖ cã nghiÖm nhÊt lµ (1;1) Bµi 34: §H §µ N½ng –Khèi A log x 6x 4y Giải hệ phương trình: log y 6y 4x Gi¶i: §K: x>0; x≠1; y>0, y≠1 6x 4y x 6x 4y x 6x 4y x 6x 4y x x y Hệ đã cho x y 2 6x 4y x 6y 4x y 2 x y x y y x y x HÖ ®Çu cho nghiÖm x=y=10 HÖ sau v« nghiÖm ĐS: Hệ đã cho có nghiệm (10;10) Bµi 35 : §H HuÕ- Khèi A, B, V log x y log a x y 1 Cho hệ phương trình : 2 2 x y a Với a là số dương , khác Xác định a để hệ phương tình trên có nghiệm và giải hệ trường hợp đó Lop12.net (21)