Đề tài Một số giải pháp giúp học sinh lớp 10 có kỹ năng giải phương trình vô tỉ

Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng p[r]

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 PHẦN I : TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Căn vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật Đảng và nhà nước Căn vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn trường THPT TRẦN CAO VÂN năm học 2010-2011 - Năm học 2010-2011, tôi phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10C1,10C4, 10C9 Đa số học sinh yếu kém, nhận thức còn chậm nên giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm bài tốt - Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu và tiếp cận với vài cách giải thông thường bài toán đơn giản Tuy nhiên thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú và đa dạng và đặc biệt là các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em gặp lớp các bài toán phương trình vô tỷ mà có số ít các em biết phương pháp giải trình bày còn lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí còn mắc số sai lầm không đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý chính đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) là ít và hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ và đưa cách giải khá rườm rà khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa sau bài học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa đưa nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao và phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT, cùng với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành chuyên đề: ‘’Một số giải pháp giúp học sinh lớp 10 có kỹ giải phương trình vô tỉ’’ III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dấu căn) IV/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU : - Nội dung phần phương trình vô tỉ và số bài toán bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 - Một số bài giải phương trình chứa ẩn dấu các đề thi Đại học Cao đẳng - TCCN V/ NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI: - Nhiệm vụ : người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán và phân biệt điều kiện nào là điều kiện cần và đủ phương trình, nào thì ta có phép biến đổi tương đương, nào thì ta có phép biến đổi hệ và lưu ý đến việc loại bỏ nghiệm ngoại lai phương trình - Yêu cầu sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng, không rườm rà , lôgíc, phù hợp với trình độ học sinh yếu kém Giới thiệu các dạng phương trình bản, đưa giải pháp và số ví dụ minh hoạ VI/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: * Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm * Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy VII/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 từ năm 2009 đến PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG I : CỞ SỞ LÝ LUẬN Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng : f ( x ) = g(x) và trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x)  Nhưng chúng ta nên để ý đây là điều kiện đủ để thực phép biến đổi cho nên quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f(x)  là điều kiện cần và đủ phương trình Tuy nhiên gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN tôi hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số bài toán vận dụng biến đổi và số dạng bài toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao * Dạng 1: phương trình f ( x ) = g(x) GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN (1) Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN  g( x )  Phương trình (1)    f ( x )  g Điều kiện ( x) gx)  là điều kiện cần và đủ phương trình (1) sau giải phương trình f(x) = g2(x) cần so sánh các nghiệm vừa nhận với điều kiện gx)  để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: Phương trình f( x) = g( x )  f( x)  (2)    f ( x )  g ( x ) Điều kiện f(x)  là điều kiện cần và đủ phương trình (2) Chú ý đây không thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) và g(x) không âm vì f(x) = g(x) * Dạng bài toán không mẫu mực: Loại này thực qua các ví dụ cụ thể CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai phần này.Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: Khi gặp bài toán: Giải phương trình 2x  = x - (1) Sách giáo khoa đại số 10 đã giải sau Điều kiện pt(1) là x  (*) Pt (1)  2x - = x2 - 4x +  x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm là : x = + và x = - Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay các giá trị các nghiệm tìm vào phương trình (1) thì giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) là x = + GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN Mặt khác, số học sinh còn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x  (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = + và x = - Theo tôi cách giải vừa nêu trên phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x  là điều kiện cần và đủ Khi gặp bài toán: Giải phương trình 5x2  x  = 5 x  x   x   Học sinh thường đặt điều kiện  x3 sau đó bình phương hai vế để giải phương trình Điều chú ý đây là học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà không biết cần điều kiện x +  là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x + 4) x  = Một số HS đã có lời giải sai sau: Ta có: x    x  4  x   x-2 =0 (x + 4) x  =   Nhận xét: Đây là bài toán đơn giản giải thì đã mắc sai lầm mà không đáng có Rõ ràng x = - không phải là nghiệm phương B   trình trên.Chú ý rằng: A B    A   B   đây đã bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp bài toán: Giải phương trình GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN x  12 x  11 = 4x2 - 12x + 15 Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn và khó để giải kết cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa hướng gải các vấn đề trên học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi và giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x ) = g(x) (1) A Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm : pt Điều kiện  g ( x )  f ( x ) = g(x)    f ( x )  g ( x ) gx)  là điều kiện cần và đủ vì f(x) = g2(x)  Không cần đặt thêm điều kiện fx)  B Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình : 3x  = x - (1) Điều kiện x  (*) Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x -  0) Khi đó pt(1)  3x - = (x - 3)2  x2 - 6x + = 3x -  x2 - 9x + 13 =    29 x   đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương   29 x   trình (1) là : x =  29 GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN Lưu ý: không cần phải thay giá trị các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x  (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình : 3x  x  = 3x = (2) Nhận xét : Biểu thức dấu là biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x2 - 2x -1  và thay giá trị các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.Ta có thể giải sau: Điều kiện: x   3x2 (**) Khi đó pt(2) - 2x - = 9x2 + 6x +  3x2  3x2 - 2x - = (3x + 1)2  x  1 + 4x + =   x    đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) là x = - + Ví dụ 3: Giải phương trình : x  12 x  11 = 4x2 - 12x + 15 (3) Nhận xét: Biểu thức ngoài dấu là biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế thì đến phương trình bậc bốn khó giải.Ta có thể giải bài toán sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giả này , ta biến đổi : pt(3)  4x2 - 12x + 11 - x  12 x  11 + = Đặt x  12 x  11 = t ; đk t  , (***) t  Phương trình trở thành: t2 - 5t + =   (thoả mãn điều kiện (***) ) t  Với t =  x  12 x  11 =  4x2 - 12x + 10 = phương trình này vô nghiệm Với t =    56 x  4 x  12 x  11 =  4x2 - 12x - =     56 x   GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN  56 Vậy nghiệm phương trình là: x = V x=  56 Như gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến đổi nào là biến đổi tương đương ? biến đổi nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f( x )  g( x ) (2) A Phương pháp:  f ( x )  0( g ( x )  0) Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi pt(2)    f ( x )  g ( x ) Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x)  và f(x)  vì f(x) = g(x) B Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình : 3x  = x  , Điều kiện x   (1) 1 , (*) Pt(1)  -3x + = 2x +  5x =  x = (thoả mãn với điều kiện (*) ).Vậy nghiệm phương trình là x = Lưu ý: Điều kiện x   , (*) là điều kiện cần và đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình : x  3x  = x  , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x  - , (*)  x  1 pt(2)  2x2 + 3x - = 7x +2  2x2 - 4x - =   x  Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình là x = GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 + Ví dụ 3: Giải phương trình TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN x   x  (*) x   x   2 x   x   x  7 Tóm tắt bài giải : (*)  x   x    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 3/ Giải pháp :Hướng dẫn học sinh giải số phương trình không mẫu mực (Phương trình không tường minh) + Ví dụ 1: Giải phương trình : x   x  - x  = (1) Điều kiện phương trình là x  -1 , Nhận xét: Biểu thức dấu (*) x   x  có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau : pt(1)  ( x   1)2  x  =  x  +2 - x 1 = x  =  x + =  x = (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy, nghiệm phương trình là x = + Ví dụ2: Giải phương trình : 3x  3 x   Điều kiện  x 1  x 1 = (2)  x     x  1 (**)  x  1 Chuyển vế và bình phương hai vế ta : pt(2)  3x  = + x 1 với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta  3x + = x + + x   x  = x + tiếp tục bình phương hai vế  x  1  4x + = x2 + 2x +  x2 -2x - =   x  Vậy nghiệm phương trình là (thoả mãn điều kiện (**)) x = -1 V x = + Ví dụ 3: Giải phương trình x   x   x   x  16 Lời giải : Ta có : Pt  x   x   x   x  GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011  x      x   x  x      x 1   x 1  x   TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN x    x  Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Lưu ý: Học sinh có thể đưa lời giải sai sau : Ta có : x   x   x   x  16  x   x   x   4x    x   x   2x     x   2x  x   x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = không phải là nghiệm đúng phương trình đã cho Chú ý rằng: A B  A  A C   B C * Sau bài tập giải phương trình vô tỉ và hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng bài tập tương tự để học sinh giải Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vô tỉ * Bài tập : Giải phương trình a x  = - 2x b  2x = Giải phương trình: x2 - 3x + Giải phương trình: Giải phương trình: x 1 + c x 1 3x  x  + x - = x  3x  = 3x  = 5x  x  x 1  x 1 x 1 Giải phương trình: x  5 x2  x2 x5 GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 Giải phương trình: x 1 + x  10 = Giải phương trình: x 1 + x 1 = Giải phương trình: x + TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN x2 + x5 1 = x  x Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x  10 Giải phương trình: (4x - 1) x3  = 2x3 + 2x +1 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận: Trên đây là giải pháp mà tôi đúc rút suốt quá trình giảng dạy hai năm dạy lớp 10 Phương trình vô tỉ là nội dung quan trọng chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại là mảng tương đối khó, đây là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài tôi đã kiểm nghiệm các năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình và đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vô tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học yếu trở lên đã có kỹ giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể các lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ giải các dạng toán nói trên , kết qua các bài kiểm tra thử sau : GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 Năm học Lớp Tổng số 2011 Điểm từ Điểm trở lên Số lượng 2010- TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN đến Số Tỷ lệ lượng Tỷ lệ Điểm Số lượng Tỷ lệ 10C1 48 13 27 % 25 52 % 10 21 % 10C4 51 16 % 28 55 % 15 29 % 10C9 44 11 % 29 66 % 10 22 % Như tôi thấy các phương pháp có hiệu tương đối Theo tôi dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm bài tốt Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế Tôi mong quan tâm tất các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn II Kiến nghị và đề xuất: - Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Ninh Hòa , ngày tháng .năm Người viết Bùi Nhật Lam GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN III.TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách Giáo viên đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất giáo dục + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải + Các đề thi đại học các năm trước   * ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI * Xếp loại: GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRẦN CAO VÂN MỤC LỤC - PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trang ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Trang PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trang NHIỆM VỤ YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI Trang PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trang THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Trang PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trang Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN Trang Chương THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trang 4,5 Chương MỘT SỐ GIẢI PHÁP Trang Giải pháp Trang 6,7 Giải pháp Trang Giải pháp Trang 9,10 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Trang 11 KẾT LUẬN Trang 11 KIẾN NGHỊ Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 13 PHẦN III GIÁO VIÊN : Bùi Nhật Lam - TỔ TỰ NHIÊN Lop10.com Trang 14