7 thói quen để thành đạt

+ Định lý mở rộng thường được áp dụng cho bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến nghịch biến trên một khoảng hay một số bài toán có chứa hàm số lượng giác.. MỘT SỐ DẠNG T[r]

ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG * Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên miền Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K + Nếu f’(x) > với xK thì hàm số f(x) đồng biến trên K + Nếu f’(x) < với xK thì hàm số f(x) nghịch biến trên K + Nếu f’(x) = với xK thì hàm số f(x) không đổi trên K * Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f’(x)  (f’(x)  0), xK và f’(x) = số hữu hạn điểm thì hàm số đó đồng biến (nghịch biến) trên K Chú ý: + Nếu bài toán yêu cầu xét chiều biến thiên (tìm khoảng đồng biến, nghịch biến) hàm số thì ta áp dụng điều kiện đủ + Nếu bài toán yêu cầu chứng minh hàm số đồng biến (nghịch biến) trên đoạn (nửa khoảng) thì ta áp dụng điều kiện đủ và bổ sung thêm điều kiện hàm số liên tục trên đoạn (nửa khoảng) đó + Định lý mở rộng thường áp dụng cho bài toán tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng hay số bài toán có chứa hàm số lượng giác + Với các bài toán có tham số mà dấu f’(x) phụ thuộc vào dấu tam thức ax2 + bx + c thì điều kiện a  để f’(x)  xR (f’(x)  xR) là     a          II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) ta thường làm theo các bước: + Bước 1: Tìm tập xác định hàm số + Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x) + Bước 3: Xét dấu f’(x) + Bước 4: Kết luận Chú ý: + Với dạng toán này học sinh thường lúng túng khâu xét dấu f’(x) đặc biệt là f’(x) là tam thức bậc hai vô nghiệm Trong trường hợp này học sinh phải thục kĩ xét dấu tam thức bậc hai + Ta có định lý sau thường áp dụng để xét dấu biểu thức: Nếu đa thức f(x) bậc n mà có n nghiệm thì f(x) đổi dấu trên tất các khoảng nghiệm Nếu f(x) có nghiệm kép x = x0 thì f(x) không đổi dấu trên hai khoảng (x1; x0) và (x0; x2) Một số ví dụ: Ví dụ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: y = x3  x  x  Giải: TXĐ: D = R x  y’ = x2 - 6x + 8; y’ =  x2 - 6x +   x  BBT: x - + y’ + 0 + y Hàm số ĐB trên các khoảng (- ; 2) và (4 ; +); nghịch biến trên khoảng (2 ; 4) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm x2  x  số: y  2 x Giải: TXĐ: D = R\{2} x   x2  4x y'  ; y’ =  -x2 + 4x =   (2  x) x  BBT: x - + y’ + 0 + y Ví dụ Tìm các khoảng đơn điệu hàm số: 2x 1 y x 1 Giải: TXĐ: D = R\{-1} y'  ; y’ > xR\{-1} Vậy hàm số đồng ( x  1) biến trên các khoảng (-  ; -1;) và (-1; +) Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số: y   4x  x2 Giải: TXĐ: D = [-5 ; 1] 2  x y'  ; y’ =  -2 - x =  x = -2  4x  x2 Lop12.net ÔN THI LỚP 12 Dấu y’: x y’ y Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái -5 + -2 - Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-5 ; -2) và nghịch biến trên khoảng (-2 ; 1) Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số: y = x  x3  x  Giải: TXĐ: D = R y’ = 2x3 + 3x2 - 1; y’ =  x  , x = -1 BBT: x - -1 + y’ + y Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1/2) và đồng biến trên khoảng (1/2 ; +) Các bài tập tự luyện: Tìm khoảng đơn điệu các hàm số: a) y = x3  x  x  ; b) y = x3 - 2x2 + x + 1;c) y = x  6x2  9x  ; d) y = x4 - 4x2 + 3; 3 e) y = -x3 + 3x2 + 2; f) y = x4 + 2x2 -1; x2  2x  g) y = x4 + 8x3 + h) y  ; x 1  2x 2x  i) y  ; j) y  ; x7 x 4 k) y  25  x ; l) y  x  x  Chứng minh hàm số luôn đồng biến, nghịch biến Để chứng minh hàm số luôn đồng biến nghịch biến ta áp dụng điều kiện đủ định lý mở rộng Với dạng này ta cần chú ý đến điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên miền Một số ví dụ: Ví dụ Chứng minh hàm số y = 2x  x nghịch biến trên đoạn [1 ; 2] Giải: TXĐ: D = [0; 2] 1 x y’ = ; y’ =  - x =  x = y’ > 2x  x2 với x (0; 1), y’ < với x (1; 2) Hàm số y = 2x  x liên tục trên đoạn [1; 2] và có y’ < với x (1; 2) Vậy hàm số luôn nghịch biến trên [1 ; 2] x  3x Ví dụ Chứng minh hàm số y = đồng 2x 1 biến trên khoảng xác định nó Giải: TXĐ: D = R\{-1/2} 4x2  4x  y’ = ; Dấu y’ là dấu tam thức bậc (2 x  1) hai g(x) = 4x2 + 4x + Tam thức g(x) có ’ = -8 < nên g(x) > x  y’ > x  3x x  -1/2 Vậy hàm số y = luôn đồng biến 2x 1 trên khoảng (- ; -1/2) và (-1/2; +) hay hàm sô luôn đồng biến trên khoảng xác định nó Ví dụ Chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên R a) y = x3 - 6x2 + 17x + 4; b) y = x3 - 3x2 + 3x + 5; c) y = + 2x - sin2x Giải: a) TXĐ: D = R y’ = 3x2 - 12x + 17,y’ là tam thức bậc hai có a = 3> 0, ’ = -19 < nên y’> với xR Vậy hàm số luôn đồng biến trên R b) TXĐ: D = R y’ = 3x2 - 6x + = 3(x - 1)2  xR, y’ =  x = Vậy hàm số luôn đồng biến trên R c) TXĐ: D = R y’ = - 2cos2x  0, xR y’ =  cos2x =  x = k, k Z Hàm số đồng biến trên đoạn [k ;(k  1) ] , k Z Do đó hàm số đồng biến trên R Bài tập tự luyện: Bài Chứng minh hàm số y  x  đồng biết trên nửa khoảng [2 ; + ) Bài Chứng minh rằng: 2x2  x  a) Hàm số y = luôn đồng biến trên x 1 khoảng xác định nó; x  m2 x  m  b) Hàm số y = luôn đồng biến trên x 1 khoảng xác định nó với giá trị m c) Hàm số y = cosx - x luôn nghịch biến trên R; d) Hàm số y = -x + x  nghịch biến trên R x 3 e) Hàm số y = luôn đồng biến trên khoảng 2x 1 xác định nó Lop12.net ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Tìm điều kiện tham số để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến trên khoảng Phương pháp: + Tìm TXĐ; + Tính y’; + Đặt điều kiện cho y’, giải điều kiện (ẩn là tham số) + Kết luận Chú ý: Với dạng toán này ta áp dụng định lý mở rộng Một số ví dụ: Ví dụ Tìm m để hàm số: y = x3  mx  (2m  1) x  m  luôn đồng biến trên R Giải: TXĐ: D = R y’ = x2 - 2mx + 2m -1; Hàm số ĐB trên R và y’ xR  ’  m2 - 2m +   (m - 1)2   m = Vậy với m = thì hàm số luôn ĐB trên R Ví dụ Tìm m đề hàm số y = mx3 - (2m - 1)x2 + (m 2)x - luôn nghịch biến trên R Giải: TXĐ: D = R y’ = 3mx2 - 2(2m - 1)x + m - Hàm số luôn nghịch biến trên R và y’  xR Ta xét các trường hợp: + m =  y’ = 2x - 2, y’   x   m = không thoả mãn + m   y’ là tam thức bậc hai 3m  a  y’  xR.    '   m  2m   m    m  1 m  1 Vậy với m = -1 thì hàm số luôn nghịch biến trên R Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + 1) Tìm m để hàm số ĐB trên R 2) Tìm m để hàm số ĐB với x > HD: y' = 3x2 - 6x + m 1) ĐK  y’  với x  g(x) = 3x2 - 6x + m  với x  ’   - 3m   m  2) ĐK  y’  0, x >  3x2 - 6x + m  0, x >  m  -3x2 + 6x, x > Xét hàm số f(x) = -3x2 + 6x với x > khảo sát hàm số ta maxf(x) = ĐS: m  Ví dụ Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + mx - (1), m là tham số thực Tìm các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2) HD: Có y’ = -3x2 + 6x + m Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) và y’ x (0; 2)  -3x2 + 6x + m  x (0; 2)  m  3x2 - 6x x (0; 2) Xét hàm số g(x) = 3x2 - 6x với x (0; 2) Khảo sát hàm số ta tìm ming(x) = -3 ĐS: m  -3 Các bài tập tự luyện: Bài Tìm giá trị m để hàm số: a) y = 2x3 + 3mx2 - 2m + luôn đồng biến trên R b) y  (m  1) x3  (m  1) x  mx  luôn nghịch 3 biến trên R Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức Phương pháp: Để chứng minh BĐT đạo hàm: + B1: Chuyển BĐT vế dạng f(x) > (<, ≤, ≥) + B2: Tính đạo hàm f’(x) và xét dấu f’(x) trên TXĐ đề bài định từ đó suy khoảng ĐB hay NB + B3: Dựa vào định nghĩa ĐB, NB để kết luận Một số ví dụ: Ví dụ Chứng minh BĐT:   sin x  tan x  x víi x   0;  3  2 Giải:   Xét hàm số f ( x)  sin x  tan x  x víi x   0;  3  2 Có (cos x  1) (2 cos x  1) f '( x)  cos x  1  0 3cos x 3cos x   Do đó hàm số ĐB trên  0;   2 Suy f(x) > f(0) với x > sin x  tan x  x  (ĐPCM) 3 Một số bài tập luyện tập: Bài Chứng minh các BĐT:   a) sinx < x với x > 0; b) x < tanx với x   0;  ;  2 x c) sinx > x  với x > 0; Bài Cho hàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a) Chứng minh hàm số ĐB trên nửa khoảng   0;  b) Chứng minh rằng:   2sinx + tanx > 3x với x   0;   2 Lop12.net ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I MỘT SỐ KIẾN THỨC CÓ BẢN CẦN NẮM VỮNG * Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên khoảng K trên K\{x0}, với h > + Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - x qua x0 thì x0 là điểm cực đại hàm số + Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu hàm số * Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số theo định lí ta làm theo các bước: b1: Tìm TXĐ b2: Tính f'(x) Tìm các điểm đó f'(x) = f'(x) không xác định b3: Lập bảng biến thiên b4: Kết luận * Định lí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp khoảng (x0 - h, x0 + h), với h > Khi đó:  f '( x0 )  + Nếu  thì x0 là điểm cực đại; f ''( x )  0   f '( x0 )  + Nếu  thì x0 là điểm cực tiểu  f ''( x0 )  * Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số theo định lí ta làm theo các bước: b1: Tìm TXĐ b2: Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = và kí hiệu xi (i = 1, 3, ) là các nghiệm f'(x) b3: Tính f''(x) và f''(xi) Dựa vào dấu f''(xi) ta suy tính chất cực trị xi * Chú ý: + Đối với bài toán tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số ta áp dụng quy tắc + Quy tắc thường áp dụng cho các hàm số đa thức và các hàm số lượng giác; áp dụng cho các bài toán tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị x0 Một số ví dụ: Ví dụ Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + a) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3 - 3x2 - m = (1) Giải: a) TXĐ: D = R x  y’ = 6x2 - 6x, y’ =  6x2 - 6x =   x  BBT: x - + y’ + 0 + y b) 2x3 - 3x2 - m =  2x3 - 3x2 + = m + Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = m + Dựa vào BBT ta có: m    m  1 + Với  , Phương trình (1) có  m   m  nghiệm m    m  1 + Với  , phương trình (1) có  m   m  nghiệm + Với  m    1  m  , phương trình (1) có nghiệm Ví dụ Cho hàm số y = -x3 + 3x2 -1 a) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số b) Chứng tỏ với m[-2; 2] phương trình: x3 - 3x2 + m2 = luôn có ít hai nghiệm phân biệt Giải: a) TXĐ: D = R x  y’ = -3x2 + 6x, y’ =  -3x2 + 6x =   x  BBT: x - + y’ + y -1 b) x3 - 3x2 + m2 =  -x3 + 3x2 - = m2 - Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = m2 - Ta có:  m2 -  -1 m;  m2 -  3, m[-2; 2] Suy với m[-2; 2] ta luôn có -1  m2 - 3 Do đó, dựa vào BBT ta kết luận phương trình luôn có ít hai nghiệm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y = x4 - 2x2 + a) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số b) Biện luận số nghiệm thuộc khoảng (-2; 2) phương trình: x4 - 2x2 + m = (1) Giải: TXĐ: D = R x  y’ = 4x3 - 4x, y’ =  4x3 - 4x =    x  1 BBT: x - -2 -1 + y’ + 0 + Lop12.net ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái y 9 0 b) x4 - 2x2 + m =  x4 - 2x2 +1 = - m Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = - m Từ BBT ta có: +Với - m <  m > 1, (1) không có ng thuộc (-2;2) +Với - m =  m = 1, (1) có ng thuộc (-2;2) +Với 0<1- m<1 0<m<1, (1) có ng thuộc (-2;2) +Với 1<1- m <  -8<m<0, (1) có ng thuộc (-2;2) + Với - m  m -8, (1) không có ng thuộc (-2;2) Ví dụ Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số: y = |x2 + 4x + 3| Giải: TXĐ: D = R Viết lại hàm số dạng:  x  x  víi -3  x  -1 y  x  x  víi x  1 hoÆc x  3 2 x  víi -3  x  -1 ; y’ =  x = -2 y'   2 x  víi x  1 hoÆc x  3 BBT: x - -3 -2 -1 + y’ + + y 0 Ví dụ Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số: y   2x  x2 Giải: TXĐ: D = [-3 ; 1] 1  x y'  ; y’ =  x = -1  2x  x2 BBT: x -3 -1 y’ + y Ví dụ Cho hàm số: y = -x3 + mx2 - Với giá trị m, tìm điểm cực đại và cực tiểu hàm số Giải: TXĐ: D = R y’ = -3x2 + 2mx, y’ =  -3x2 + 2mx =  -x(3x 2m) = (1) Ta xét các trường hợp: *TH1: Nếu m = thì y’ = -3x2  0x  hàm số không có cực trị * TH2: Nếu m > 0, phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 = 0, x2 = 2m/3 (x1 < x2) BBT: x 2m/3 - + y’ + y CĐ -4 + Hàm số đạt cực đại x = 2m/3 và yCĐ = 4m -4 27 + Hàm số đạt cực tiểu x = và yCT = -4 * TH3: Nếu m < 0, phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 = 0, x2 = 2m/3 (x1 > x2) x 2m/3 - + y’ + y CĐ CT + Hàm số đạt cực tiểu x = 2m/3 và yCĐ = 4m -4 27 + Hàm số đạt cực đaị x = và yCT = -4 Một số bài tập tự luyện: Bài Cho hàm số: y = x3 - 3x + a) Khảo sát biến thiên hàm số b) Chứng tỏ với m(  2; ) phương trình: x3 - 3x2 - m2 = luôn có nghiệm phân biệt Bài Cho hàm số: y = x4 + 3x2 - a) Khảo sát biến thiên hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 + 3x2 - 4m = Bài Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị các hàm số: a) |2x2 - x - 3|; b) y = |x2 + 3x + 2| II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ 1.Với hàm đa thức: y = ax3 + bx + cx + d Để thực các yêu cầu điều kiện có cực trị hàm số ta thực theo các bước: Bước 1: + Tìm TXĐ; + Tính đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c; y’ =  3ax2 + 2bx + c = (1) Bước 2: Với các yêu cầu: a) Hàm số không có cực trị, ta xét hai trường hợp: * Trường hợp 1: Nếu a = ta được: y’ = 2bx + c Điều kiện y’ không đổi dấu  b = và c  * Trường hợp 2: a  Điều kiện y’ không đổi dấu là ’ b) hàm số có cực trị, ta xét hai trường hợp: * Trường hợp 1: Nếu a = 0, ta được:(1)2bx + c = Điều kiện là b  * Trường hợp 2: Nếu a  Hàm số có cực trị Lop12.net ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái  pt (1) có hai nghiệm phân biệt  ’ > c) Hàm số có cực đại, cực tiểu: a  Điều kiện: pt (1) có hai nghiệm phân biệt    '  d) Hàm số có cực đại cực tiểu với hoành độ thoả mãn điều kiện K Ta thực theo các bước:  Hàm số có CĐ, CT  (1) có nghiệm phân biệt a     '   Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức Viét  Kiểm tra điều kiện K e) Hàm số có CĐ, CT và xCĐ < xCT  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a > f) Hàm số có CĐ, CT và xCĐ > xCT  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a <  y '( x0 )  g) Hàm số đạt cực tiểu x0    y ''( x0 )   y '( x0 )  h) Hàm số đạt cực đại x0    y ''( x0 )  Một số ví dụ: Ví dụ Cho hàm số: 1 y = mx3  (m  1) x  3(m  2) x  3 Tìm m để: a) Hàm số có cực trị: b) Hàm số có CĐ và CT thoả mãn: x1 + 2x2 = c) Hàm số đạt CĐ, CT điểm có hoành độ dương d) Hàm số đạt CĐ, CT và xCĐ < xCT e) Hàm số đạt CĐ x = Giải: TXĐ: D = R y’ = mx2 - 2( m -1)x + 3(m-2) y’ =  f(x) = mx2 - 2( m -1)x + 3(m-2) = (1) a) Ta xét hai trường hợp: * TH1: Nếu m = 0, ta được: (1)  2x - =  x = Vì qua x = y’ đổi dấu nên m = mãn * TH2: Nếu m  Hàm số có cực trị  phương trình (1) có hai nghiệm m  m  phân biệt      '  (m  1)  3m(m  2)   2   2  m ;0    0;      2 2 m 2 b) Hàm số có CĐ và CT  (1) có hai nghiệm phân 2 2 m biệt  2 Kết hợp trường hợp ta Khi đó, gọi x1, x2 là hoành độ các điểm cực trị, ta có: 2(m  1)  (2)  x1  x2  m   x x  3(m  2) (3)  m 3m  2m ; x2  Từ x1 + 2x2 = và (2) ta có: x1  m m Thay vào (3) ta được: m  3m   m 3(m  2) x   m  m m m  c) Hàm số đạt CĐ, CT điểm có hoành độ dương  (1) có hai nghiệm phân biệt thoã mãn 0< x1 <x2 m   a   2 2m  4m    m0  '     2(m  1)    0 P   2 m   2  m   S   3(m  2) m  0   m d) hàm số có CĐ, CT và xCĐ < xCT  (1) có hai m  2 nghiệm phân biệt và m >   0m  '   y '(0)  3(m  2)  e) h/s đạt CĐ x =     y ''(0)  2(m  1)   m = Bài tập luyện tập: Bài Chohàm số: y= mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - Tìm m để hàm số không có cực trị Bài Cho hàm số: y = x3 + mx2 - CMR hàm số luôn có CĐ và CT Bài Tìm điều kiện để các hàm số sau có cực trị: a) y = x3 -mx2 +1 b) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - c) y = x3  mx  (m  2) x  Bài Tìm m để các hàm số : a) y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m; b) y = x3 - 3mx2 + (m - 1)x + đạt cực tiểu x = Bài Cho hàm số y  x3  (m  2) x  2(m  2) x  Tìm m để hàm số có CĐ, CT các điểm x1, x2 thoả mãn: 2x1 + x2 =1 Bài Cho hàm số: y = x3 - 2(sina + cosa)x2 + sin2ax + a) Tìm a để hàm số có cực trị; b) Gọi x1, x2 là hoành độ các điểm cực trị, xác định a để: x1  x2  x12  x22 Lop12.net ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Với hàm đa thức y = ax4 + bx2 + c Để thực các yêu cầu cực trị hàm số, ta thực các bước: Bước 1: + TXĐ: D = R + Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx; y’ =  4ax3 + 2bx = x   2x(2ax2 + b) =   g ( x )  ax  b  (1)  Bước 2: Với các yêu cầu: a) Hàm số có cực trị:  g ( x)  v« nghiÖm b Điều kiện  g ( x)  cã nghiÖm kÐp    a  g (0)  b) Hàm số có cực đại cực tiểu (hay hàm số có cực trị) a   pt (1) có nghiệm phân biệt khác   b    a c) Hàm số có cực đại cực tiểu với hoành độ thoả mãn điều kiện K Ta thực các bước: a   Hàm số có cực đại, cực tiểu   b    a  Khi đó y’ = có nghiệm phân biệt x1 = 0, b b x2 = -  , x3 =  a a  Kiểm tra điều kiện K d) Hàm số có cực đại và hai cực tiểu  pt (1) có nghiệm phân biệt khác và a>0 e) Hàm số có cực tiểu và hai cực đại  pt (1) có nghiệm phân biệt khác và a<0 f) Hàm số có cực đại và không có cực tiểu a     b  a  g) hàm số có cực tiểu không có cực đại a     b  a   y '( x0 )  h) Hàm số đạt cực đại x0    y ''( x0 )   y '( x0 )  i) Hàm số đạt cực tiểu x0    y ''( x0 )  Nhận xét: Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị thì các điểm cực trị luôn tạo thành tam giác cân mà đỉnh nằm trên trục tung Một số ví dụ: Ví dụ Cho hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + 1-2m Xác định m để hàm số có điểm cực trị Giải: TXĐ: D = R y’ = 4mx3 + 2(m - 1)x = 2x(2mx + m - 1) y’ =  2x(2mx + m - 1) = x     f ( x)  2mx  m    f ( x)  v« ng  m  Hàm số có cực trị      g ( x)  cã ng kÐp    g (0)  m  b 1 m   0 0 a 2m m  1 9m x m Ví dụ Cho hàm số y = x  Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn: a) Lập thành tam giác b) Lập thành tam giác vuông cân Giải: TXĐ: D = R y’ = x3 - 9mx = x(x2 - 9m); x  y’ =  x(x2 - 9m) =    x  9m  (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu  pt(1) có nghiệm phân biệt khác  9m >  m > (*) Khi đó y’ = có các nghiệm là x = 0, x = 3 m Đồ thị hàm số có các điểm cực trị là A(0; m), B( 81m 81m 3 m ; m  ), C ( m ; m  ) 4 a) Các điểm cực trị lập thành tam giác  AB 6561m 6561m  36m   25m 16 16  m  (lo¹i)  6561m4 = 400m    m  50  3 b) Các điểm cực  trịlập thành   tam giác vuông cân  AB  AC  AB AC    81m    81m  Có AB   3;   , AC   3;          6561m AB AC   9   m   16 Kết hợp với điều kiện m > ta m = Các bài tập luyện tập: Bài Cho hàm số y = x4 + (m - 1)x2 + - m Tìm m để hàm số có điểm cực trị = BC  Lop12.net 9m  ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn: a) Lập thành tam giác b) Lập thành tam giác vuông c) Lập thành tam giác có diện tích Bài Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Bài Cho hàm số y = x4 -2mx2 + m4 Tìm m để hàm số có ba cực trị và các điểm cực trị tạo thành tam giác Bài Cho hàm số y = (1-m)x4 - mx2 + 2m -1 a) Tìm m để hàm số có cực trị b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Bài Cho hàm số y = x4 - 2m2x2 + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác vuông III TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y = x Giải: TXĐ: D = R x  y’ = 3x2 - 6mx; y’ = 3x2 - 6mx =    x  2m Hàm số có cực đại và cực tiểu  y’ = có nghiệm phân biệt  m  Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Các điểm CĐ và CT đồ thị hàm số đối xứng qua  AB  (d ) đường thẳng y = x   trung ®iÓm I AB thuéc (d )   m   AB  ad 2m  4m      3 m   m  2m   I (m; 2m )  (d )  Kết hợp với điều kiện m  ta điều kiện là m Ví dụ Cho hàm số y = x3  mx  x  m  CMR với m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu Tìm m cho khoảng cách hai điểm CĐ và CT là nhỏ Giải: TXĐ: D = R y’ = x2 - 2mx - 1; y’ =  x2 - 2mx - = (1) Có ’ = m2 + > 0, m hay (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Vậy với m hàm số đã cho luôn có CĐ và CT và hoành độ các điểm CĐ, CT thoả mãn:  x1  x2  2m   x1 x2  1 Thực phép chia y cho y’ ta được: 1 2 y  y '.( x  m)  (m  1) x  m  3 3 Vậy tung độ các điểm CĐ, CT là: 2 2 y1   (m  1) x1  m  và y2   (m  1) x2  m  3 3 Suy ra, toạ độ các điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(x1; y1) và B(x2; y2) Khoảng cách các điểm cực trị là: AB2 = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 4 = ( x1  x2 ) [1+ (m  1) ]  (4m  4)[1+ (m  1) ] 9 Đặt t = m + 1, t  1, ta được: 4 AB2 = 4t (1  t )  (4t  9t ) 9 AB nhỏ  4t3 + 9t nhỏ Xét hàm số f(t) = 4t3 + 9t với t 1 f’(t) = 12t2 + > 0, t   hàm số luôn đồng biến trên khoảng [1; + ) 52 Suy minf(t) = f(1) = 13  AB2 = 13 Vậy AB đạt giá trị nhỏ m = IV ĐƯỜNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f(x) Giả sử hàm số đạt cực trị các điểm x1; x2, Với yêu cầu “Lập phương trình đường (C) qua các điểm cực trị hàm số”, ta lựa chọn hai hướng: Hướng 1: Nếu toạ độcác điểm cực trị là số nguyên số hữu tỉ thì phương trìng đường (C) xác định phương pháp thông thường Hướng 2: Nếu toạ độ các điêểm cực trị có dạng vô tỉ chứa tham số thì phương trình đường (C) thường xác định cách lập luận: Toạ độ các điểm cực trị đồ thị hàm số thoã mãn hê: y'  y'    y  q( x)   y  f ( x)  y  y ' p ( x)  q ( x) Vậy, toạ độ các điểm cực trị hàm số thoã mãn đường (C) có phương trình: y = q(x) Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 9x Lập phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ và CT đồ thị hàm số Giải TXĐ: D= R y’ = 3x2 - 6x - 9; y’ =  x = -1, x = Lop12.net ÔN THI LỚP 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái  hàm số luôn có điểm CĐ và CT Cách 1: Đồ thị hàm số có các điểm cực trị là: A(-1; 5), B(3; -27) và phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: x 1 y 5   8x  y    27  Cách 2: Toạ độ các điểm cực trị đồ thị hàm số thoã mãn hệ: 3 x  x    x  x     2  y  x  x  x  y  ( x  1)( x  x  3)  x  Vậy các điểm cực trị thuộc đt: y = -8x - Ví dụ Cho hàm số y = x4+ 2(m + 1)x2 + a) Tìm m để hàm số có CĐ và CT b) Xác định phương trình đường cong qua các điểm cực trị đồ thị hàm số Giải: TXĐ: D = R y’ = 4x3 + 4(m + 1)x y’ = 4x3 + 4(m + 1)x = 4x(x2 + m + 1) = (1) x     f ( x)  x  m   (2) a) hàm số có CĐ và CT  (2) có hai nghiệm phân biệt khác  m + <  m < - b) Toạ độ các điểm CĐ và CT đồ thị hàm số thoả mãn hệ: 4 x3  4(m  1) x  4 x3  4(m  1) x      y  x  2(m  1) x   y  x(4 x  4(m  1) x)  (m  1) x    y = (m + 1)x2 + (*) Ta thấy toạ độ các điểm CĐ và CT cùng thoả mãn phương trình (*) Vậy, phương trình Parabol (P) qua điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số có dạng y = (m + 1)x2 + Lop12.net ÔN THI LỚP 12 10 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A Một số kiến thức cần nắm vững: B Bài tập Bài Tìm GTLN – GTNN hàm số: a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên [-4; 4]; b) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 trên [-4; 3]; c) f(x) =  3x trên đoạn [-1; 1]; d) f(x) = Lop12.net ÔN THI LỚP 12 11 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN A Một số kiến thức cần nắm vững Tiệm cận ngang * ĐN: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng vô hạn (là khoảng dạng (-; a), (b; + ) (-; +)) Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )  y0 , lim f ( x )  y0 x  x  Đường tiệm cận đứng * ĐN: Đường thẳng x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )   , lim f ( x )   x  x0 x  x0 lim f ( x )   , lim f ( x )   x  x0 x  x0 B Bài tập Bài Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị hàm số: x 1 x a) y  ; b) y  ; x2 2x x  2x  c) y  ; d) y  ; x 1 5x  x2  x  2x y  e) y  ; f) ;  2x  5x2  x2 x  3x  x 1 g) y  ; h) y  ; x 1 x 1 Bài Tìm các đường tiệm cận đồ thị hàm số: 2x 1  2x a) y  ; b) y  ; x2 3x  x  x  27 c) y  ; d) y  ; x  4x   3x x2  x  x 2 e) y  ; f) y  ; ( x  1) x  4x  Bài Tìm các đường tiệm cận đồ thị hàm số: a) y  x2  ; x b) y  x2  x  ; x2 1 Lop12.net ÔN THI LỚP 12 12 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bµi 3: TiÕp tuyÕn, tiÕp xóc vµ tương giao Phương trình tiếp tuyến hàm số Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) * TiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M(x0; y0)  (C): y - y0 = f’(x0)(x - x0) * Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Ta có f’(x0) = k +Giải phương trình ta tìm x0, tìm y0 = f(x0) Từ đó ta viết phương trình Chó ý: NÕu  lµ tiÕp tuyÕn vµ: +  // d: y = ax + b  k = a +   d: y = ax + b  k = -1/a +  hîp víi trôc Ox mét gãc   k =  tan() +  hîp víi tia Ox mét gãc   k = tan() * TiÕp tuyÕn ®i qua mét ®iÓm A(x1; y1) Cách 1: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm PTTT t¹i x0 lµ: y = f’(x0)(x - x0) + f(x0) A TT  y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0) Giải phương trình ẩn x0 tìm f(x0), f’(x0) C¸ch 2: §­êng th¼ng  ®i qua A cã hÖ sè gãc k cã phương trình: y = k(x - x1) + y1  lµ tiÕp tuyÕn cña (C)  hÖ PT sau cã nghiÖm:  f ( x)  k ( x  x1 )  y1   f '( x)  k giải hệ phương trình phương pháp để tìm k Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị: §å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc  hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x)  g ( x)   f '( x)  g '( x) nghiệm hệ là hoành độ tiếp điểm Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục Ox  hệ phương trình sau có nghiệm Điểm cố định họ đường cong Điểm cố định là điểm có toạ độ (x0; y0) nghiệm đúng phương trình: y0 = f(x0, m) Vì vậy: muốn tìm điểm cố định mà họ đường cong (Cm) qua ta làm theo hai bước tuỳ theo dạng hàm số sau: + Đưa phương trình dạng: A   * Am  Bm  C  m   B  C   A  * Am  B  m   B  + Giải hệ điều kiện trên ta tìm điểm cố định Tiếp tuyến cố định * PP:  Dạng 1: Họ đường cong qua điểm cố định: Ta tìm điểm cố định M(x0; y0), chứng minh f’(x0) = h»ng sè víi m  D¹ng 2: Hä ®­êng cong kh«ng ®i qua ®iÓm cè định: áp dụng điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số, ta có hệ phương trình sau có nghiệm với m:  f ( x)  ax  b   f '( x)  a Tương giao Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là nghiệm phương trình: f(x) = g(x) Chú ý bài toán tìm số giao điểm đồ thị hàm số với trôc hoµnh * §å thÞ hµm sè y = ax3 + bx2 + cx + d c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm lËp thµnh cÊp sè céng  hµm sè cã cùc trÞ vµ ®iÓm uèn n»m trªn trôc hoµnh   y '  cã hai nghiÖm ph©n biÖt   yuèn  * §å thÞ hµm sè y = ax4 + bx2 + c c¾t trôc hoµnh t¹i điểm lập thành cấp số cộng  phương trình: at2 + bt + c = có nghiệm dương t1 < t2 thoả mãn t2 = 9t1 C¸c bµi tËp luyÖn tËp: a) Các bài tập phương trình tiếp tuyến: Bài Cho hàm số y = x3 - 2x2 + 2x có đồ thị là (C) 1) ViÕt PTTT cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = -x +1 2) Chøng minh r»ng trªn (C) kh«ng cã ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i hai ®iÓm nµy vu«ng gãc víi HD: 1) §S: y = x, y = x + 2/27 2) CM: y’ > víi x Bài Viết PTTT điểm uốn đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 CMR ®©y lµ tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt các hệ số góc tiếp tuyến đồ thị HD: §S: y = -3x + CMR y’ - víi x Bµi Cho hµm sè y = x3 - 3x + ViÕt PTTT víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(1; 6) §S: y = 9x - 15 x 1 Bµi Cho hµm sè y = CMR tiÕp tuyÕn t¹i mét x2 điểm bất kì đồ thị luôn cắt hai đường tiệm cận và tam giác tạo thành có diện tích không đổi x 4 ) , giao víi TCN HD: + Giao víi TC§ t¹i A(2; x0  t¹i B(2 x0  2;1) u ( x) Bµi Cho hµm sè y = f(x) = v( x) 1) CMR hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i giao ®iÓm x = x0 u '( x0 ) đồ thị với trục hoành là k = v( x0 ) Lop12.net ÔN THI LỚP 12 13 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái x2  2x  m 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = c¾t trôc x2 hoành điểm mà các tiếp tuyến đồ thị ®iÓm nµy vu«ng gãc víi §S: m = 2/5 b) Các bài toán tiếp tuyến cố định: x  (1  m) x  m  Bài CMR đồ thị hàm số y  xm luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định HD: Điểm cố định (-1; -2) y’(-1) = Bài CMR với m0 thì đồ thị hàm số (m  1) x  m lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng y xm cố định HD: điểm cố định (0; 1), y’(0) = Bài Chứng minh đồ thị hàm số (m  2) x  (m  2m  4) y lu«n tiÕp xóc víi hai xm đường thẳng cố định HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b Ycbt  hệ:  m   x  m  kx  b cã nghiÖm víi m   k  ( x  m) §S: y = x + 3, y = x - c) C¸c bµi to¸n vÒ tiÕp xóc: Bài Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx + m + tiếp xúc víi trôc hoµnh §S: m = Bµi 10 Cho (C): y= (x2 - 1)2 vµ (P): y = ax2 - T×m a để (C) và (P) tiếp xúc Viết PT các tiếp tuyến chung cña (C) vµ (P) HD: a = 2, tiÕp ®iÓm lµ x =  Bài 11 Tìm m để (P): y = x2 + m tiếp xúc với đồ thị x2  x  hµm sè: y  x 1 §S: k = -1 d) Các bài toán tương giao: Bài 12 Tìm m đề đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm lËp thµnh mét CSC HD: m = 0, m =  Bài 13 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm lËp thµnh mét CSC §S: m = 4, m = -4/9 x  ( m  2) x  m (1) Bµi 14: Cho hµm sè y  x 1 Tìm m để đường thẳng y= -x - cắt đồ thị hàm số (1) điểm đối xứng qua đường thẳng y = x HD: Ycbt  trung ®iÓm ®o¹n th¼ng thuéc ®­êng th¼ng y = x x 1 (1) Bµi 15: Cho hµm sè y  x 1 1) Tìm m để đường thẳng D: y= 2x + m cắt (C ) ®iÓm ph©n biÖt A, B cho tiÕp tuyÕn cña (C ) t¹i A, B song song víi 2) T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M thuéc (C ) cho kho¶ng cách từ M đến giao điểm đường tiệm cận là ngắn nhÊt 2x  (1) Bµi 16: Cho hµm sè y  x 1 Gäi I lµ giao ®iÓm ®­êng tiÖm cËn cña (C ) T×m ®iÓm M thuéc (C) cho tiÕp tuyÕn t¹i M vu«ng gãc với dường thẳng IM mx  x  m (1) Bµi 17: Cho hµm sè y  x 1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Bµi 18: Cho hµm sè y  x  mx  m  (1) T×m m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biÖt x  2x  (1) Bµi 19: Cho hµm sè y  x 1 Tìm toạ độ điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng qua ®­êng th¼ng x - y - = x  2x  (1) Bµi 20: Cho hµm sè y  x2 Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C ) ®iÓm ph©n biÖt nhËn I(5;10) lµ trung ®iÓm 2x2  x  (1) Bµi 21 Cho hµm sè y  x 1 CMR tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M thuéc (C ) dÕn tiÖm cËn cña (C ) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M C¸c bµi tËp tù luyÖn: Bµi (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + CMR: Trên đồ thị không tồn hai điểm mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với Tìm k để trên đồ thị có ít điểm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = kx Bài 2: Tìm các điểm M  đồ thị hàm số y = x2  x  cho tiếp tuyến M cắt các trục toạ độ x 2 t¹i A vµ B t¹o thµnh tam gi¸c vu«ng c©n OAB Bµi : T×m tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt cña y = x3 + 3x2 - 9x + Bµi : ViÕt tiÕp tuyÕn víi y = -x3 + 3x2 biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi y = x Lop12.net ÔN THI LỚP 12 14 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bµi 5: ViÕt pttt qua M( ; 1) víi y = -x3 +3x -1 x2  x  Bµi 6:ViÕt pttt ®i qua M(1 ; 0) víi y = x 1 3x  Bài 7: CMR trên đồ thị y = kh«ng cã tiÕp x 1 tuyÕn nµo ®i qua giao hai tiÖm cËn Bµi 8: Qua A(-2; 5) cã mÊy tiÕp tuyÕn víi y = x3 - 9x2 + 17x + Bài Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x2 + mx + m) tiÕp xóc víi trôc hoµnh x2  x  Bµi 10 Cho hµm sè y  Xác định a để x 1 hµm sè tiÕp xóc víi Parabol y = x2 + a x2  2x  Bµi 11 Cho hµm sè y  có đồ thị là (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho c¸c tiÕp tuyÕn Êy vu«ng gãc víi tiÖm cËn xiªn Chøng minh r»ng tiÕp ®iÓm lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng tiÕp tuyÕn bÞ ch¾n bëi hai ®­êng tiÖm cËn x  2mx  m Bµi 12 Cho hµm sè y  có đồ thị là xm Cm Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox hai điểm và tiếp tuyến hai điểm đó vuông góc với Bài 13 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + có đồ thị (C) Qua A(1; 0) kÎ ®­îc mÊy tiÕp tuyÕn tíi (C) ViÕt c¸c phương trình tiếp tuyến Chứng minh không có tiếp tuyến nào đồ thị song song với tiếp tuyến qua A(1; 0) Bài 14 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình y = Bài 15 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm sè y = x4 - 2x2 t¹i ®iÓm ph©n biÖt x 1 Bài 16 Tìm m để đồ thị (C) hàm số y = c¾t x 1 ®­êng th¼ng d: y = mx + t¹i ®iÓm thuéc nh¸nh khác đồ thị Bài 17 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C)  x  3x  cña hµm sè y = t¹i hai ®iÓm A, B 2( x  1) cho AB = Bài 18 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) x  mx  m cña hµm sè y = t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, 1 x B cho OA  OB Bài 19 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 - m cắt trôc hoµnh t¹i ®iÓm lËp thµnh cÊp sè céng Bài 20 Tìm m đề đồ thị hàm số y = x4  mx  m  c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm lËp thµnh 2 mét cÊp sè céng Lop12.net ÔN THI LỚP 12 15 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Bài Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Mét sè kiÕn thøc cÇn n¾m v÷ng: Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = ta có thể biến đổi dạng: f(x) = g(m), đó y = f(x) là hàm số đã khảo sát có thể dễ dàng khảo sát cßn y = g(m) lµ ®­êng th¼ng phô thuéc tham sè m Với phương pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối: * §å thÞ hµm sè y = f(|x|): Đồ thị hàm số y = f(|x|) suy từ đồ thị hàm số y = f(x) b»ng c¸ch: + Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy + Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối xứng phÇn bªn ph¶i qua trôc Oy * §å thÞ hµm sè y = |f(x)|: Đồ thị hàm số y = |f(x)| suy từ đồ thị hàm số y = f(x) b»ng c¸ch: + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox + Bỏ phần đồ thị phía trục Ox và lấy đối xứng phần phía qua trục Ox ax  bx  c * §å thÞ hµm sè y  suy từ đồ a'x b' ax  bx  c thÞ hµm sè y  (1) b»ng c¸ch: a'x b' + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) với x   b' a' b' + Bỏ phần đồ thị hàm số (1) với x   và lấy đối a' xứng phần đó qua trục Ox x2  x Bµi Kh¶o s¸t y = BiÖn luËn sè nghiÖm cña 2x  x2  x phương trình: = m 2x   x  3x BiÖn luËn sè nghiÖm 2x  cña PT: x2 + 3x + 2kx - 1= (1)  x  3x HD: (1) k 2x  Bµi Kh¶o s¸t y = Bµi Kh¶o s¸t y = hoÆc m2  2 m Bµi Kh¶o s¸t y = x2  x  BiÖn luËn sè nghiÖm x 1 x2   k x 1 PT x2  x  BiÖn luËn sè nghiÖm x 1 cña PT: x2 - x - k x  + = (1) Bµi Kh¶o s¸t y = -x3 + 3x2 - BiÖn luËn sè nghiÖm: x3 - 3x2 + m = 2x2  2x  Bµi Kh¶o s¸t y = BiÖn luËn sè ( x  1) 2x2  x  nghiÖm cña PT: = m x 1 Bài 10 Khảo sát y = 4x3 - 3x - (C) Tìm m để Bµi Kh¶o s¸t y = phương trình x  x  m có nghiệm phân biệt x  2x  m (1) x2 a) Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số m=1 b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên ®o¹n [-1;0] c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm: Bµi 11 Cho hµm sè y  Bµi tËp ¸p dông: Bµi Kh¶o s¸t y = (x + 1)2(x - 1)2 (C) BiÖn luËn sè nghiÖm cña (x2 - 1)2 - 2m +1 = (1) HD: y = x4 - 2x2 + Bµi Kh¶o s¸t y = x3 -3x2 + BiÖn luËn sè nghiÖm m2  cña PT: x3 -3x2 + = 2( ) m m2  1 m2   m  m  2  2 HD: m m m m x2  BiÖn luËn sè nghiÖm cña x 1 91 1t  (a  2).31 1t §Æt x = 31 1t §iÒu kiÖn x   2a   (2) HD: x2  2x  a (2)  - (a + 2)x + 2a + =  x2 x2  2x  XÐt hµm sè y  trªn [3; + ) x2 DS: m  cña: cos2x - (m -1)cosx + m + = (1) (0  x  ) HD: §Æt cosx = t (-1  t  1) th× t2  t  (1)  t2 - (m -1)t + m + =  = m t 1 Lop12.net x2 ÔN THI LỚP 12 16 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Lop12.net ÔN THI LỚP 12 17 Lương Tuấn gv THPT Trần Phú - Móng Cái Lop12.net