Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hoặc đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng hoặc đường thẳng.. Bài toán cơ bản: Nhiều bài[r]
(1)Bài toán khoảng cách hình học không gian Mục lục Loại Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ C Bài tập Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đường vuông góc chung hai đường thẳng 11 A Tóm tắt lý thuyết 11 B Một số ví dụ 12 C Bài tập 17 Lop12.net (2) Bản quyền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể download miễn phí violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, khoang cach khong gian Lop12.net (3) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng) M M H H P Δ Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng P Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ký hiệu là d M; ký hiệu là d M; P H là hình chiếu vuông góc M lên P thì d M; P MH H là hình chiếu vuông góc M lên thì d M; MH Bài toán bản: Nhiều bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường thẳng có thể quy bài toán sau Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC và khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC Cách giải Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC , H là S chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD Ta có +) SA ABC BC SA , lại có BC AD (do dựng) BC SAD SD BC d S;BC SD H A C D B +) Từ chứng minh trên, đã có BC SAD AH BC , lại có AH SD (do vẽ) AH SBC d A; SBC AH Lop12.net (4) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Một số lưu ý * Về cách tính khoảng cách cách gián tiếp +) MN P d M; P d N; P M, N Q d M; P d N; P +) Q P +) MN P I d M; P MI d M; Q NI Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm MN d M; P d N; P +) MN d M; d N; +) MN I d M; MI d M; NI Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm MN d M; d N; * Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp S.A1A2 An Ta có d S, A1 A A n 3VS.A A A n S A A A n * Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song với nó: Cho P , M là điểm trên Khi đó d ; P d M; P * Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Cho P Q , M là điểm trên P Khi đó d P ; Q d M; Q Lop12.net (5) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau, cắt theo giao tuyến Lấy A , B thuộc và đặt AB a Lấy C , D thuộc P và Q cho AC , BD vuông góc với và AC BD a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng phẳng BCD Giải Ta có P Q , P Q , AC P , P C a AC AC Q BD AC Lại có H A Q BD AB BD ABC 1 Δ a a B Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A D xuống BC Vì ABC vuông cân A nên AH BC và AH BC a 2 Từ 1 suy AH BD AH BCD Do đó H là chân đường vuông góc hạ từ A lên BCD d A; BCD AH a 2 Ví dụ [ĐHD12] Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác A'AC vuông cân, A'C a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD' theo a Giải Lop12.net (6) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D A A'AC a a A (tại ) nên a 2a cân AC AA ' A 'C a ABC vuông cân (tại B ) B C vuông nên AB AC a H Hạ AH A'B ( H A'B ) Ta có BC ABB'A' D' A' AH BC , lại có AH A'B (do dựng) AH BCD' C' B' AH là đường cao tam giác vuông ABA' AH AB AA '2 a2 2a 2a AH a Vậy d A;BCD' AH AH a 3 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA 3a và SA ABC Giả sử AB BC 2a , 120 Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC ABC Giải Dựng AD BC ( D BC ) và AH SD ( H SD ) S Thật vậy, từ giả thiết ta có CD SA , lại có CD AD (do dựng) CD SAD AH CD , mà 3a AH SD AH SCD H là chân đường H vuông góc hạ từ A lên SBC A C 120o 2a 2a B 2asin60 a Ta có AD ABsin ABD D AH là đường cao tam giác SAD vuông A nên: AH 3a AH AS AD 9a 3a 9a Vậy d A;SBC AH 3a Lop12.net (7) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ [ĐHD11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B , BA 3a , BC 4a ; 30 Tính mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC Biết SB 2a và SBC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC theo a Giải SBC ABC Hạ SK BC ( K BC ) Vì S nên SK ABC 2a 3 3a Ta có BK SB cos SBC 2a KC BC BK 4a 3a a H 4a C D 30 ° B K Do đó ký hiệu d1 , d2 là các khoảng cách từ 3a các điểm B , K tới SAC A d BC thì d1 KC , hay d1 4d Hạ KD AC ( D AC ), hạ KH SD ( H SD ) Từ SK ABC AC SK , lại có AC KD (do dựng) AC SKD KH AC , mà KH SD (do dựng) KH SAC d KH Từ ADK ABA suy ra: CK DK CA BA DK BA.CK CA 3a.a 3a 5a ( CA BA BC 3a 4a 5a ) a KH là đường cao tam giác vuông SKD nên: KS SB.sin SBC KH KD KS 25 28 KH 3a14 9a 3a 9a Vậy d B; SAC d1 4d2 4KH 6a Ví dụ [ĐHB11] Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a Hình chiếu vuông góc điểm A1 lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a Giải Lop12.net (8) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C1 Đặt I AC BD Từ giả thiết suy D1 A1I ABCD A1 B1 Đặt J B1A A1B J là trung điểm B1 A , đồng thời J B1A A1BD d B1; A1BD d A; A1BD J Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A C D I B H xuống BD Từ A1I ABCD a AH A1H , lại có AH BD (do đựng) a AH A1BD d A; A1BD AH A AH là đường cao tam giác ABD vuông A nên AH 12 12 42 AH a d A; A1BD a 2 AB AD a 3a 3a Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B và AC 2a SA có độ dài a và vuông góc với đáy 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến đường thẳng CH Giải 1) Ta có SA ABC BC SA , từ giả thiết ta có BC AB BC SAB SB BC AB BC a 2 SB SA2 AB a2 2a2 a Vậy d S;BC SB a Lop12.net (9) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB Ở câu trên, S ta đã chứng minh BC SAB AH BC , lại có AH SB AH CH a H A Lại lấy K là trung điểm CH K 2a M B C MK song song và MK CH , MK 12 AH SA.AB a.a a SA AB2 a2 2a2 Vậy d M;CH MK a Lop12.net (10) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc với Kẻ OH ABC 1) Chứng minh: H là trực tâm ABC 2) Chứng minh: OH OA2 OB2 OC2 Bài [ĐHD02] Cho tứ diện ABCD có AD ABC ; AC AD 4cm , AB 3cm , BC 5cm Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng BCD 120 , BSC 60 , CSA 90 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ASB Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC Bài Cho tam giác ABC vuông A Cạnh AB có độ dài a và nằm mặt phẳng Biết cạnh AC có độ dài a và tạo với mặt phẳng góc 60 , hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng M là điểm nằm ngoài Biết Bài Trong mặt phẳng cho góc vuông xOy MO 23 cm và khoảng cách từ M đến Ox , Oy cùng 17 cm Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Biết AB cm , BC cm , CA cm , SA cm 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 2) Tính khoảng cách từ các điểm S và A đến đường thẳng BC BAD 90 , Bài [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BA BC a , AD 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD theo a Bài [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông B , AB a , AA' 2a , A'C 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A'C' , I là giao điểm AM và A'C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC theo a Lop12.net (11) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên 2a Gọi G là tâm đáy, M là trung điểm SC 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAG Bài 10 Cho ABC là tam giác vuông cân B , BA a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC A lấy điểm S cho SA a Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm SC , AB 1) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ABC 2) Tính khoảng cách từ các điểm S và I đến đường thẳng CM Lop12.net (12) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 Lop12.net (13) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đường vuông góc chung hai đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo a và b * Đường thẳng cắt a , b và vuông góc với a , b gọi là M a đường vuông góc chung a và b * Nếu đường vuông góc chung cắt a , b M , N thì độ b dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách hai đường N thẳng chéo a và b Δ Cách tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo * Phương pháp tổng quát: Cho hai đường thẳng chéo M a a , b Gọi là mặt phẳng chứa b và song song với a , a' là hình chiếu vuông góc a lên Đặt N a' b , gọi là đường thẳng qua N và vuông góc với là đường vuông góc chung α N a' b a và b Đặt M a khoảng cách a và b là độ dài đường thẳng MN 11 Lop12.net (14) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 * Trường hợp đặc biệt: Cho hai đường thẳng chéo M a và vuông góc với hau a , b Gọi là mặt phẳng chứa b và vuông góc với a Đặt M a Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống b MN là đường vuông góc chung a , b và α N a' b khoảng cách a , b là độ dài đoạn thẳng MN Nhận xét: Cho hai đường thẳng chéo a và b Các nhận xét đây cho ta cách khác để tính khoảng cách a và b ngoài cách dựng đường vuông góc chung * Nếu là mặt phẳng chứa a và song song với b thì khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách b và * Nếu , là các đường thẳng song song với nhau, chứa a , b thì khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách và B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông có BA BC a , cạnh bên AA' a Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM và B'C Giải A C M Lấy N là trung điểm BB' , ta có MN là đường trung bình tam giác B'BC B 'C MN B'C AMN Do đó B d B'C;AM d B'C; AMN d B'; AMN A' N C' B' Lại có BB' cắt AMN N là trung điểm BB' nên d B'; AMN d B; AMN Hình chóp B.AMN có BA , BM , BN đôi vuông góc nên 12 Lop12.net (15) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 d B; AMN Vậy d B'C;AM BA BM BN a2 a2 a2 a2 d B; AMN a a Ví dụ [ĐHA06] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh Gọi M , N là trung điểm AB và CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C và MN Giải D A N M B C d A'C;MN d MN;A'BC d M; A'BC H D' Ta thấy MN BC MN A'BC Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống A'B Ta A' có: BC ABB'A' MH BC , mặt khác MH A'B (do vẽ) MH A'BC H chính là chân C' B' đường vuông góc hạ từ M xuống A'BC MH là cạnh góc vuông tam giác vuông cân HBM MH BM a Vậy d A 'C;MN a Ví dụ [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi đường chéo AC , SO 2 và SO vuông góc với đáy ABCD , đây O là giao điểm AC và BD Gọi M là trung điểm SC Tìm khoảng cách hai đường thẳng SA và BM Giải 13 Lop12.net (16) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ta có MO là đường trung bình tam giác SAC S SA MO SA MBD K M d SA;MB d SA;MBD d S;MBD H D C SC cắt mặt phẳng MBD trung điểm M SC nên O A d S; MBD d C; MBD B Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA , đặt H CK MO Ta có SO ABCD BD SO , lại có ABCD là hình thoi nên BD AC BD SAC CH BD 1 MO SA , CK SA CH MO 2 Từ và suy H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MBD Từ SA SO2 AO2 , SSAC AC.SO 4.2 suy 2 2S CH CK SAC 2.4 Vậy d SA;MB 2 SA 2 3 Ví dụ [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A'B và B'D Giải M D' A' Lấy M , N , P là trung điểm các đoạn thẳng A'D' , BC , AD Ta thấy A'MDP và BNDP là các hình bình hành C' nên MD A 'P , DN PB B' MDNB ' A ' PB Do đó d A'B;B'D d A'PB ; MDNB' d D; A'PB D C A P Lại có AD cắt B N A ' PB trung điểm P AD d D; A'PB d A; A'PB Hình chóp A.A ' PB có AA' , AP , AB đôi vuông góc nên d A; A ' PB AA '2 AP AB a2 a2 a2 a2 d A; A 'PB a 14 Lop12.net (17) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Vậy d A 'B;B ' D a Ví dụ Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh cm Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD Giải Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , CD Ta A có M ACD và BCD là các tam giác nên CD vuông góc với AN và BN CD MN B D Lại có AN AN suy AB MN và N MN AN2 AM 54 18 cm C Vậy MN là đường vuông góc chung AB , CD và khoảng cách chúng là MN cm Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , AB a , BC 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA 2a Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SC Giải Lấy điểm D cho ABCD là hình chữ nhật S AB SCD Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống E SD Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên N 2a CD AD , lại có SA ABC CD SA CD SCD D 2a A M AE CD 1 Mặt khác AE SD (do dựng) Từ và suy C a AE SCD E là hình chiếu vuông góc 2a B A lên SCD 15 Lop12.net (18) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Đường thẳng qua E song song với CD chính là hình chiếu vuông góc AB lên SCD Đường thẳng này cắt SC N Đường thẳng qua N song song với AE cắt AB M MN là đường vuông góc chung cần tìm.Tam giác SCD cân A nên E là trung điểm SD N là trung điểm SD AM EN CD a M là trung điểm AB 2 Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB , CD là MN AE AD a 16 Lop12.net (19) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài [ĐHB07NC] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M là trung điểm AE , N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN và AC Bài [ĐHA11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B , AB BC 2a ; hai mặt SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng SBC và ABC 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a Bài [ĐHA10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M và N là trung điểm AB và AD ; H là giao điểm CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a Bài [ĐHA12] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB cho HA 2HB Góc đường thẳng SC và mặt ABC 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA h và SA vuông góc với đáy Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách hai đường thẳng SC và AB Bài Trong mặt phẳng P cho đường tròn đường kính AB 2R , C là điểm chạy trên đường tròn đó Trên đường thẳng qua A và vuông góc với P lấy S cho SA a 2R Gọi E và F là trung điểm AC và SB Xác định vị trí C trên đường tròn cho EF là đường vuông góc chung AC và SB Bài Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD a , AB 2m , CD 2n Gọi I , K là trung điểm AB và CD 1) Chứng minh IK là đường vuông góc chung hai cạnh AB và CD 2) Tính độ dài IK theo a , m và n 17 Lop12.net (20)