Câu III 1,0 điểm Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và đường cao h = 1.Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.. PHẦN RIÊNG 3 điểm Thí sinh học chương trình nà[r]
(1)ÔN TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ( ĐỀ THAM KHẢO) ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 MÔN:TOÁN – Trung học phổ thông Thời gian:150 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y x 2x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Dùng đồ thị (C ), hãy biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x 2x m Câu II ( 3,0 điểm ) a) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = x x 12 x trên 1;2 b) Giải phương trình: log 0.2 x log 0.2 x tan x dx cos x c) Tính tích phân I Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy và đường cao h = 1.Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp II PHẦN RIÊNG ( điểm ) Thí sinh học chương trình nào thì làm phần dành riêng cho chương trình đó Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: x 2t x 2t ' (1 ) : y 2t và ( ) : y 5 3t ' z t z a) Chứng minh đường thẳng (1 ) và đường thẳng ( ) chéo b) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng (1 ) và song song với đường thẳng ( ) Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính giá trị biểu thức P (1 i )2 (1 i )2 Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P ) : x + y + 2z +1 = và mặt cầu (S) : x2 + y + z2 - 2x + 4y - 6z +8 = a) Tìm điểm N là hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu V.b( 1,0 điểm ): Tìm số phức z biết z z2 , đó z là số phức liên hợp số phức z HẾT -ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút ) Câu Câu I ( điểm) Nội dung Biểu điểm Cho hàm số y x 2x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Txd : D = R Sự biến thiên x 0( y 1) * y ' x3 x x 1( y 2) http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0.25 0.25,0.25 0.25 (2) ÔN TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN * lim ( x x 1) , lim ( x x 1) x x * BBT 0.25 14 y 9 3 14 14 Đồ thị hàm số có điểm uốn là ; và ; 9 9 3 Đồ thị * Điểm đặt biệt: ( 3; 2) và ( 3; 2) * y '' 12 x x * Vì hàm số y x 2x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số có trục đối xứng là Oy 0.25 0.5 b) Dùng đồ thị (C ), hãy biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x 2x m Câu II (3 điểm) Ta có x 2x m x 2x2 m (1) Phương trình (1) chính là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị ( C ) và đường thẳng (d) : y = m – Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị ( C ) và đường thẳng (d) : y = m – Dựa vào đồ thị ( C ), ta có: m -1 < -2 m < -1 : (1) vô nghiệm m -1 = -2 m = -1 : (1) có nghiệm -2 < m-1<-1 -1 < m < : (1) có nghiệm m-1 = - m = : (1) có nghiệm m – > -1 m > (1) có nghiệm a) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = x x 12 x trên 1;2 x 2 ( loại) * Ta có: y 6x2 6x 12 x * Vì y(1) 15,y(1) 5,y(2) nên http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0.25 0.25 0.5 0.25,0.25 0.25 0.25 (3) ÔN TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN Miny y(1) , Maxy y(1) 15 [1;2] [1;2] b) Giải phương trình: log 0.2 x log 0.2 x (1) Đặt t log 0.2 x Phương trình (1) trở thành: t 2 t2 t t Với t = -2 ta có log 0.2 x 2 x 25 Với t = ta có log 0.2 x x 125 0.25 0.25 0.25 0.25 tan x dx cos x c) Tính tích phân I 4 tan x sin x dx dx Ta có : I cos x cos x 0 Đặt t cos x dt sin xdx sin xdx dt x t 1 x t Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy và đường cao h = Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC Khi đó SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy : SO (ABC) Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d cạnh SA , cắt SO I I d IA IS IA IB IC IS I SO IA IB IC Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I và bán kính R = SI Ta có OA AE AB 3 Vì SAO vuông O nên SA = SO2 OA = = Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên : SJ.SA SI.SO SI = http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0.25 0.25 tan x dt Khi đó: I dx 1 cos x t t 1 Câu III ( điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 (4) ÔN TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN SJ.SA SA2 3 = = = Vậy bán kính R = SI = SO 2.SO 2.1 Diện tích mặt cầu : S 4R2 9 (đvdt) Câu IV.a (2 điểm) Câu V.a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x 2t x 2t ' (1 ) : y 2t và ( ) : y 5 3t ' z t z a) Chứng minh đường thẳng (1 ) và đường thẳng ( ) chéo d có VTCP là u1 = (2; - 2; -1) d’có VTCP là u2 = (-2 ; 3; 0) * Vì u1 ku2 , k nên u1 không cùng phương u2 (1) * Xét hệ phương trình: 1 2t 2t ' 2t 2t ' 1 (2) 2 2t 5 3t ' 2t 3t ' ( Hệ vô nghiệm) t t 4 Từ (1) và (2) suy d chéo d’ b) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng (1 ) và song song với đường thẳng ( ) Vì mặt phẳng ( P ) chứa (1 ) và song song với ( ) nên có VTPT n = [ u1 , u2 ] = (3; 2; 2) Vậy mp ( ) qua điểm M(1; 2; 0) (1 ) và có VTPT là n = (3; 2; 2) ( ) : 3(x- ) + 2(y - 2) + 2(z -0) = 3x + 2y + 2z - = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 Tính giá trị biểu thức P (1 i )2 (1 i )2 Ta có: P (1 i )2 (1 i )2 2i 2i 2i 2i 2 Câu IV.b ( 2,0 điểm) 0.25 0.5 0.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P ) : x + y + 2z +1 = và mặt cầu (S) : x2 + y + z2 - 2x + 4y - 6z +8 = a) Tìm điểm N là hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) Gọi d là đường qua M(2;3;0) và vuông góc với mặt phẳng (P) Suy d thẳng 0.25 có VTCP là u nP (1;1; 2) x t Vậy d: y t z 2t 0.25 Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: (2 t ) (3 t ) 2.2t 6t t 1 Vì N là hình chiếu M trên mặt phẳng (P) nên N d (P) N(1;2; 2) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0.25 0.25 (5) ÔN TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN + Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3)và bán kính R = + Vì (Q) // (P) nên (Q) : x y 2z m (m 1) + (S) tiếp xúc (Q) và khi: d ( I , (Q)) R Câu V.b ( 1,0 điểm ) 1 m 11 m 1(loại) 5 m m 11 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình (Q) : x y 2z 11 Tìm số phức z biết z z2 , đó z là số phức liên hợp số phức z Gọi z a bi z a bi Khi đó: z z a bi (a bi ) a bi a b 2abi a a b a a b b0 b(2a 1) a Với b = ta có a = a = Khi đó z = z = 3 Với a ta có b b Khi đó z i 2 2 2 http://ductam_tp.violet.vn/ 0.25 2 Lop12.net 0.25 0.25 0.25 (6)