Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung A.. Vị trí tương đối.[r]
(1)Đường tròn Loại Phương trình đường tròn A Tóm tắt lý thuyết 2 * Phương trình chính tắc: Phương trình x a y b R ( R ) là phương trình chính tắc đường tròn tâm I a;b , bán kính R * Phương trình tổng quát: Phương trình x2 y 2ax 2by c ( a b c ) là phương trình tổng quát đường tròn tâm I a;b , bán kính R a b c * Chú ý (điều kiện tiếp xúc đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn C có tâm I , bán kính R và đường thẳng Khi đó: C tiếp xúc với R d I, B Một số ví dụ Ví dụ Lập phương trình đường tròn C tâm I 1; 2 các trường hợp sau 1) C có bán kính 2) C qua điểm A 2;7 3) C tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 12 Giải 2 1) C có tâm I 1; 2 , bán kính C : x 1 y 25 2) Gọi R là bán kính C A C R IA 32 92 90 2 Vậy C : x 1 y 90 3) Gọi R là bán kính C C tiếp xúc với R d I, 3.1 2. 2 12 22 19 13 Vậy C : x 1 y 361 13 Ví dụ Lập phương trình đường tròn qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 Giải Gọi C là đường tròn qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 Lop12.net (2) I a;b là tâm C IA IB IB IC2 a b a b 1 a b 1 a b 2 a b b 2 a b 2 I 1; 2 2 R là bán kính C R IA Vậy C : x 1 y Ví dụ Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A 1;4 , B 1;6 và có tâm thuộc đường thẳng : x 2y Giải Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I , bán kính R Cách 1: I tọa độ I có dạng I 2a 4;a 2 Ta có IA 2a 3; a IA 2a a 5a2 20a 25 2 IB 2a 5; a IB 2a a 5a 32a 61 Từ A , B C IA IB (cùng R ) 5a 20a 25 5a 32a 61 a3 I 2;3 2 Lại có R IA 32 12 10 Vậy C : x y 10 Cách 2: Gọi M là trung điểm AB IM AB (bán kính qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây cung) Ta có M là trung điểm AB M 0;5 , AB 2;2 Lop12.net (3) B M I IM qua M 0;5 IM AB 2;2 1; 1 A IM : x y IM : x y Δ x y I IM I : I 2;3 x 2y 2 R IA 32 12 10 Vậy C : x y 10 Ví dụ Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A 2;9 , B 3;10 và tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y Giải Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I a;b , bán kính R 2 Ta có IA a;9 b IA a b , 2 IB 3 a;10 b IB a b 10 , d I, Từ 3a 2b 13 IA IB (cùng R ) a b a b 10 b 5a 12 1 Lại có IA d2 I, (cũng cùng R ) 2 a 2 b 9 3a 2b 13 2 Thay 1 vào ta thu 3a 2 5a 12 a 5a 12 13 2 a 5a 13 a a 2a a 1 a +) Thay a 1 vào 1 ta có b I 1;7 R IA 32 22 13 Vậy trường 2 hợp này C có phương trình x 1 y 13 Lop12.net (4) 1 +) Thay a vào ta có b 27 I 3;27 R IA 12 182 325 Vậy 2 trường hợp này C có phương trình x y 27 325 2 2 Tóm lại C : x 1 y 13 C : x y 27 325 Lop12.net (5) C Bài tập Bài Lập phương trình đường tròn C biết 1) C có tâm I 1;3 , bán kính R 2) C có tâm I 2;3 , A 1; 2 C 3) C qua các điểm A 1;2 , B 2; 3 và tâm I thuộc đường thẳng d : x 3y 4) C qua các điểm A 1;4 , B 4;0 và C 2; 2 5) C Có đường kính là đoạn thẳng AB với A 3;4 , B 2;7 6) C có tâm I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x 4y 7) C có tâm I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x 4y theo dây cung có độ dài 8) C qua A 2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ 9) C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y x , y x và y x 10) C nội tiếp tam giác OAB với A 4;0 , B 0;3 Bài [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A 0;2 , B 2; 2 và C 4; 2 Gọi H là chân đường cao kẻ từ B ; M và N là trung điểm các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn qua các điểm H , M , N Bài Cho ABC có AB : x y , AC : 2x 6y và M 1;1 là trung điểm cạnh BC Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC Bài [ĐHB09Chuẩn] Cho C : x y 45 và hai đường thẳng 1 :x – y , :x – 7y Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường tròn C' biết C' tiếp xúc với các đường thẳng 1 , và tâm K thuộc (C) Bài [ĐHB05] Cho hai điểm A 2;0 và B 6;4 Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với trục hoành điểm A và khoảng cách từ tâm C đến điểm B Bài Cho A 3;1 , B 0;7 , C 5;2 1) Chứng minh ABC vuông và tính diện tích tam giác 2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh đó trọng tâm G MBC chạy trên đường tròn, viết phương trình đường tròn đó Lop12.net (6) Bài [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng d1 : 3x y và d : 3x y Gọi T là đường tròn tiếp xúc với d1 A , cắt d hai điểm B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình T , biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương Bài [ĐHD09NC] Cho C : x 1 y Gọi I là tâm C Tìm tọa độ điểm M 30o thuộc C cho IMO D Đáp số Bài 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Bài x2 y x y Bài x2 y x 3y 65 Bài C' : x 85 Bài C : x y 49 Bài 1) S ABC 15 Bài T : x Bài M ; 2 5 y 25 2 C : x y 1 y 32 2 y 7 2 2) x 25 18 Lop12.net (7) Loại Vị trí tương đối điểm, đường thẳng với đường tròn A Tóm tắt lý thuyết * Vị trí tương đối điểm và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính R và điểm M Đặt d IM Ta có +) M nằm ngoài C d R +) M C d R +) M nằm C d R * Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính R và đường thẳng Đặt d d I, Ta có +) không có điểm chung với C d R +) tiếp xúc với C ( là tiếp tuyến C ) d R +) cắt C điểm phân biệt d R * Chú ý: Xét đường tròn C và điểm M Ta có mối liên hệ vị trí tương đối M và C với số tiếp tuyến qua M C : +) M nằm ngoài C : qua M tồn hai tiếp tuyến C +) M C : qua M tồn tiếp tuyến C Tiếp tuyến này nhận M làm tiếp điểm +) M nằm C : qua M không tồn tiếp tuyến C B Một số ví dụ 2 Ví dụ Cho đường tròn C : x 1 y 16 và điểm A 1;6 Chứng minh A nằm ngoài C và viết phương trình các tiếp tuyến qua A 1;6 C Giải Ta có C là đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R IA 2;4 IA 16 R qua A có hai tiếp tuyến C là đường thẳng qua A phương trình có dạng: : a x 1 b y : ax by a 6b ( a b ) Lop12.net (8) Có d I, a 2b a 6b d I, R a2 b2 a 2b a2 b2 là tiếp tuyến C và a 2 4b a 4ab 3a 4ab 4b b2 2 a a a b a 2b +) a : b y : y ( a b ) +) Từ a 4b , cho b 3 a : 4x 3y 22 Vậy : y : 4x 3y 22 Ví dụ Cho C : x y 2x 6y Viết phương trình các tiếp tuyến (C) biết: 1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y 3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x y góc 45 Giải 2 Ta có C : x 1 y C có tâm I 1;3 , bán kính R Gọi là tiếp tuyến cần tìm 1) d phương trình có dạng : x y c Ta có d I, 1 c c 2 Do đó: là tiếp tuyến C và d I, R c 2 1 c2 c c c 2 c 2 : x y 2 : x y 2 Vậy : x y 2 : x y 2 2) d phương trình có dạng : 4x 3y c Lop12.net (9) Ta có d I, 4 9 c c 13 Do đó: là tiếp tuyến C và 5 d I, R c 13 1 c 13 c 13 c 13 5 c 8 c 18 : 4x 3y : 4x 3y 18 Vậy : 4x 3y : 4x 3y 18 3) Xét đường thẳng nhận n a;b ( a b ) là véc-tơ pháp tuyến Ta có ,d 45 cos ,d cos 45 2a b a2 b 2 2 4a 4ab b a2 b 3a2 8ab 3b 1 * Thay b vào 1 a (loại) * b : chia hai vế 1 cho b , đặt t a ta b 3t 8t t t +) t a a 3b Cho b a Phương trình có dạng b : 3x y c d I, 3 3 c 10 c 10 Lop12.net (10) Do đó: là tiếp tuyến C và d I, R c 10 1 c 10 c 10 c 10 c 6 10 c 6 10 : x 3y 10 : x 3y 10 +) t a b 3a Cho a b 3 Phương trình có dạng b : x 3y c d I, 1 c 10 c8 10 Do đó: là tiếp tuyến C và d I, R c 10 1 c 10 c 10 c 10 c 10 c 10 : x 3y 10 : x 3y 10 Vậy : 3x y 10 , : x 3y 10 , : 3x y 10 , x 3y 10 Ví dụ Cho A 0; 3 và đường tròn C : x y 6x 6y Lập PTĐT qua A , cắt C theo dây cung có độ dài 10 10 Lop12.net (11) Giải 2 Ta có C : x y 25 C có tâm I 3;3 , bán kính R là đường thẳng qua A phương trình có dạng: : ax b y I N hay : ax by 3b ( a b ) E Giả sử cắt C M , N Lấy I là trung M điểm MN IE (bán kính qua Δ trung điểm dây cung thì vuông góc với dây A cung) Ta có: d I, IE IM ME 25 210 210 Lại có d I, 3a 3b 3b Từ 1 , suy a2 b a 2b a b2 1 2 4b 10 a 4ab 52 3a 8ab 3b2 2 a b a2 b a 2b * Thay b vào a (loại) * b : chia hai vế cho b , đặt t a ta b 3t 8t t t +) t a b 3a Cho a b : x 3y b +) t a 3 a 3b Cho b 1 a : 3x y b Vậy : x 3y : 3x y 11 Lop12.net (12) Ví dụ [ĐHA09NC] C : x y 4x 4y Cho và đường thẳng : x my 2m , với m là tham số thực Gọi I là tâm đường tròn C TÌm m để cắt C hai điểm phân biệt A và B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Ví dụ [ĐHD11NC] Cho A 1;0 và đường tròn C : x y 2x 4y Viết PTĐT cắt C hai điểm M và N cho tam giác AMN vuông cân A Giải 2 Ta có C : x 1 y 10 A C IM IN AM AN (C) I N M có tâm I 1; 2 , bán kính R 10 Δ cuøng baèng R giaû thieát IA là đường trung trực MN IA 0;2 phương trình có dạng y m Trước hết ta tìm điều kiện để cắt C hai điểm phân biệt 1 Xét hệ x y 2x 4y y m Thay vào ta có 2 3 x2 m 2x 4m x2 2x m 4m ( ' m 4m ) Do đó: 1 có hai nghiệm phân biệt ' m 4m x1 x Gọi x1 , x là các nghiệm 6 x1x m 4m Khi đó M x1;m N x2 ;m AM x1 ; m AN x2 ; m AM.AN x1 x2 m m x1x x1 x2 m 12 Lop12.net (13) Thay vào ta có AM.AN m 4m m 2m 4m Do đó AMN vuông A AM.AN 2m 4m m (thỏa mãn ) m 3 : y (thỏa mãn ) : y 3 Vậy : y : y 3 Ví dụ [ĐH11A11Chuẩn] Cho C : x y 4x 2y Gọi đường thẳng :xy2 và đường tròn I là tâm C , M là điểm thuộc Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến C ( A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Giải M 2 Ta có C : x y 1 x x A C có tâm I 2;1 , bán kính R Đặt x MA MB Theo tính chất tiếp tuyến đường tròn B MBI 90 Do đó thì MAI I SMAIB 2SMAI MA.IA x Từ giả thiết suy ra: x 10 x2 MI IA MA 25 1 M tọa độ M có dạng M m; m IM m 2; m 2 MI m m 2m 2m 13 2 13 Lop12.net (14) M 2; m Từ 1 và suy ra: 2m 2m 13 25 m m m 3 M 3;1 Vậy M 2; 4 M 3;1 2 Ví dụ [ĐHD07] Cho C : x 1 y và d : 3x 4y m Tìm m để trên d có điểm P cho từ P kẻ đúng hai tiếp tuyến PA , PB tới C ( A , B là các tiếp điểm) cho PAB Giải Ta thấy C có tâm là I 1; 2 , bán kính R Theo tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ điểm nằm ngoài đường tròn tới đường (C') tròn thì PAB là tam giác cân P P A 30o Ta có 60 PAB APB (C) o 60 30 API I d B 60 AIP IP 2AI 2R P thuộc đường tròn C' có tâm I , bán kính R ' Như P d C' Do đó điểm P tồn d tiếp xúc với C' d I,d R ' 8 m 6 11 m 30 11 m 30 11 m 30 14 Lop12.net (15) m 19 m 41 Vậy m 19 m 41 15 Lop12.net (16) C Bài tập Bài Xét vị trí tương đối điểm M và đường tròn (C) 1) M 1;2 , C : x y 2x 4y , 2) M 0; 1 , C : x y 2x 4y , 3) M 1;2 , C : x y 2x 4y 20 Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn (C) 1) : 3x 4y , C : x y 4x 6y 12 2) : 3x 4y 23 , C : x y 4x 6y 12 3) : 3x 4y 20 , C : x y 4x 6y 12 Bài Cho (C) : x y 2x 8y Viết phương trình các tiếp tuyến (C) biết: 1) Tiếp tuyến qua A 4;0 2) Tiếp tuyến qua A 4; 6 Bài Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và qua điểm 0;1 Tìm quỹ tích tâm đường tròn đó D Đáp số Bài 1) 2) 3) Bài 1) 2) 3) Bài 1) 3x 4y 12 2) 3x 4y 12 , x Bài P : x2 2y Ví dụ m m 15 16 Lop12.net (17) Loại Vị trí tương đối hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung A Tóm tắt lý thuyết Xét hai đường tròn C1 có tâm I1 , bán kính R1 ; C2 có tâm I , bán kính R Đặt d I1I Ta có: d Vị trí tương đối Số tiếp tuyến chung d R1 R C1 , C2 d R1 R C1 , C2 tiếp xúc ngoài ngoài R1 R d R R C1 , C2 d R1 R C1 , C2 tiếp xúc d R1 R C1 , C2 nằm ngoài cắt hai điểm phân biệt lồng B Một số ví dụ Ví dụ Tìm các giao điểm A , B hai đường tròn C2 : x2 y 4x 2y Viết PTĐTR qua C1 : x2 y 4x 6y , A , B và C 3;1 Giải * Tọa độ giao điểm C1 , C2 là nghiệm hệ x y 4x 6y x y 4x 2y 1 2 Trừ vế 1 và ta có 8x 8y y x 3 x y Thế vào 1 ta 2x 2x 3 x y Vậy các giao điểm C1 , C2 là A 0;0 và B 1;1 * C3 là đường tròn qua A , B , C phương trình C3 có dạng C3 : m x2 y 4x 6y n x2 y 4x 2y , m n 17 Lop12.net (18) C3 qua C 8m 24n m 3n Từ cho n m Do đó C3 : x2 y 4x 6y x2 y 4x 2y C3 : 4x 4y 8x 16y C3 : x y 2x 4y 2 C3 : x 1 y Ví dụ Cho hai đường tròn C1 : x y 4x 2y , C2 : x y 6x 8y Chứng tỏ C1 , C2 cắt hai điểm phân biệt Viết PTĐT qua các giao điểm C1 , C2 Giải * Ta có C1 : x 2 y 12 10 C1 có tâm I1 2;1 , bán kính R1 10 C2 : x y 2 16 C1 có tâm I 3;4 , bán kính R I1I 5;3 I1I 25 34 R1 R I1I R1 R C1 , C2 cắt hai điểm phân biệt * M x0 ;y C1 C2 x y 4x 2y 0 0 x02 y 02 6x0 8y x02 y02 4x0 2y0 x02 y02 6x0 8y0 9 10x0 6y 14 5x0 3y tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình 5x 3y Vậy PTĐTR qua các giao điểm C1 , C2 là 5x 3y Ví dụ [ĐHB06] Cho đường tròn C : x y – 2x – 6y và điểm M 3;1 Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M đến C Viết phương trình đường thẳng T1T2 Giải 2 * C : x 1 y C có tâm I 1;3 18 Lop12.net (19) Ta thấy I MT I 90 MT T1 , T2 thuộc đường tròn C' đường kính MI ( C' là đường tròn tâm I ' là trung điểm MI , bán kính R ' MI ) T1 , T2 là các giao điểm C và C' Ta có I ' 1; , IM 4; 2 IM 16 R ' 2 Do đó C' : x 1 y C' : x y 2x 4y * M x0 ;y C1 C2 x y 2x 6y 0 0 2 x0 y 2x0 4y x02 y02 2x0 6y0 x02 y02 2x0 4y 4x0 2y 2x0 y tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình 2x y Vậy PTĐTR qua các giao điểm C1 , C2 là 2x y 2 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến chung các đường tròn C1 : x 1 y 1 , C2 : x y 12 ĐS: (b) x , 3x 4y 12 Ví dụ [ĐHD06] Cho C : x y 2x 2y và d : x y Tìm điểm M nằm trên d cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính C tiếp xúc ngoài với C ĐS: M 1;4 M 2;1 Giải 19 Lop12.net (20) C Bài tập Bài Xét vị trí tương đối các đường tròn C1 , C2 143 1) C1 : x y 4x 6y , C2 : x2 y 12x 0, 2) C1 : x y 4x 6y , C2 : x2 y 12x 35 , 3) C1 : x y 4x 6y , C2 : x2 y 12x 27 Bài Cho C1 có tâm A 1;0 , bán kính R1 và C2 có tâm B 1;0 , bán kính R Tìm quỹ tích tâm I đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn nói trên Bài Viết phương trình tiếp tuyến chung các đường tròn C1 : x2 y 4x , C2 : x2 y 8x 12 ĐS: x 3y , x 3y , x 35y , x 35y 2 Bài [ĐHD03] Cho đường tròn C : x – 1 y – và đường thẳng d : x – y – Viết phương trình đường tròn C' đối xứng với đường tròn C qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm C và C' ĐS: C' : x y , các giao điểm C và C' là A 1;0 và B 3;2 20 Lop12.net (21)