Đang tải... (xem toàn văn)
Tôi viết bài xin đóng góp vài bài mẫu về vấn đề này, nó được dùng các phương pháp: Đổi cơ số, đặt ẩn phụ để đưa về phương trình mũ, biến đổi tương đương, đánh giá hai vế... Do đó phương [r]
(1)www.VNMATH.com Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Vài bài toán phương trình logarit khác số Huỳnh Đức Khánh – 0975.120.189 Giải tích – ĐH Quy Nhơn Descartes Phương trình logarit với số khác luôn là vấn đề gây khó dễ cho học sinh gặp phải các đề thi Học sinh thường lúng túng biến đổi, gặp khó khăn để đưa cùng số đưa các phương trình Tôi viết bài xin đóng góp vài bài mẫu vấn đề này, nó dùng các phương pháp: Đổi số, đặt ẩn phụ để đưa phương trình mũ, biến đổi tương đương, đánh giá hai vế Ví dụ Giải phương trình: log2 x + log x + log x = log20 x Điều kiện: x > Với điều kiện trên phương trình tương đương log2 x + log log2 x + log log2 x = log20 2.log2 x ⇔ log2 x ( + log3 + log4 − log20 ) = ⇔ log2 x = (do + log + log − log20 ≠ ) ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: log ( x − 3x − 13 ) = log2 x x − 3x − 13 > + 61 Điều kiện: ⇔x> x > Đặt: log2 x = t ⇔ x = 2t Phương trình trở thành: log ( t − 3.2t − 13 ) = t ⇔ t − 3.2t − 13 = 3t t t t ⇔ = + 13 + t t (*) t 3 1 2 Hàm số y = + 13 + là tổng các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm y = là hàm Do đó phương trình (*) có nghiệm 3 3 1 2 Ta có: = + 13 + Suy phương trình (*) có nghiệm t = Với t = ⇒ x = 23 = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Page Lop12.net (2) www.VNMATH.com Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: ( log2 + ) x = log3 x Điều kiện: x > Đặt: log x = t ⇔ x = 3t ( Phương trình trở thành: log2 + ) 3t = t ⇔ + 3t = 2t t t = ⇔ + (*) t t là tổng các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm Hàm số y = + y = là hàm Do đó phương trình (*) có nghiệm 2 = Suy phương trình (*) có nghiệm t = Ta có: + Với t = ⇒ x = 32 = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: log ( x + 2x + ) = log2 ( x + 2x ) (1) x < −2 x + 2x + > Điều kiện: ⇔ x>0 x + 2x > Đặt: u = x + 2x Phương trình (1) trở thành: log ( u + ) = log2 u (2) Xét phương trình (2) Ta đặt: log2 u = t ⇔ u = 2t Phương trình (2) trở thành: log ( 2t + ) = t ⇔ 2t + = 3t t t ⇔ + = t t (3) 2 1 Hàm số y = + là tổng các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm y = là hàm Do đó phương trình (3) có nghiệm 1 2 1 Ta có: + = Suy phương trình (3) có nghiệm t = x = −1 − (thỏa mãn) Với t = ⇒ u = = ⇒ x + 2x = ⇔ x = −1 + Vậy phương trình có nghiệm x = −1 − 3; x = −1 + Page Lop12.net (3) www.VNMATH.com Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log ( x + ) + log5 ( 3x + ) = x + > Điều kiện: ⇔ x>− 3x + > Đặt: log ( x + ) = t ⇔ x + = 3t , suy ra: 3x + = 3.3t − Phương trình trở thành: t + log5 ( 3.3t − ) = ⇔ log5 ( 3.3t − ) = − t ⇔ 3.3t − = 54− t 625 ⇔ 3.3t − = t t t ⇔ 3.15 − 2.5 = 625 t t ⇔ = 625 + 15 t t 1 1 Hàm số y = 625 + là tổng các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm 15 y = là hàm Do đó phương trình có nghiệm 2 1 1 Ta có: = 625 + Suy phương trình có nghiệm t = 15 Với t = ⇒ x + = 32 ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Cách khác: ● Kiểm tra x = là nghiệm phương trình ● Nếu x > thì log ( x + ) > log3 ( + ) = log5 ( 3x + ) > log5 ( 3.8 + ) = ⇒ log ( x + ) + log ( 3x + ) > ● Nếu x < thì log ( x + ) < log3 ( + ) = log5 ( 3x + ) < log5 ( 3.8 + ) = ⇒ log ( x + ) + log5 ( 3x + ) < Vậy phương trình có nghiệm x = Page Lop12.net (4) www.VNMATH.com Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log2 ( x2 − 5x + ) + log5 ( x − ) = − log ( 5x − ) x − 5x + > Điều kiện: x − > ⇔ x > 5x − > Với điều kiện trên phương trình tương đương log2 ( x − )( x − ) + log5 ( x − ) = + log2 ( x − ) ⇔ log2 ( x − ) + log2 ( x − ) + log5 ( x − ) = + log2 + log2 ( x − ) ⇔ log2 ( x − ) + log5 log2 ( x − ) = + log2 ⇔ ( + log5 ) log2 ( x − ) = + log2 ⇔ log2 ( x − ) = + log2 + log5 ⇔ log2 ( x − ) = log2 ⇔ x−4 = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: log 3x + ( 4x2 + 12x + ) + log2x + ( 6x + 23x + 21 ) = (1) < x ≠ −1 Với điều kiện trên phương trình tương đương Điều kiện: − log 3x + ( 2x + ) + log2x + ( 3x + )( 2x + ) = ⇔ log 3x + ( 2x + ) + log2x + ( 3x + ) + = ⇔ log 3x + ( 2x + ) + = log 3x + ( 2x + ) (2) Đặt: t = log3x + ( 2x + ) Phương trình (2) trở thành t = 2t + = ⇔ 2t − 3t + = ⇔ t = t • Với t = ⇒ log 3x + ( 2x + ) = ⇔ 2x + = 3x + ⇔ x = −4 (loại) 1 • Với t = ⇒ log3x + ( 2x + ) = ⇔ 2x + = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = − Page Lop12.net x = −2 ( loai ) 3x + ⇔ x = −1 (5) www.VNMATH.com Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log x ( x + ) = lg Điều kiện: < x ≠ ● Nếu < x < thì x + > , ta có log x ( x + ) < log x = = lg1 < lg ● Nếu x > thì x + > x , ta có log x ( x + ) > log x x = = lg10 > lg Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: log2 x + log ( x + ) = log ( x + ) + log5 ( x + ) Điều kiện: x > ● Kiểm tra x = là nghiệm phương trình ● Nếu < x < thì x x+2 x +1 x + > >1 > > 1, và x x+2 x+2 ⇒ log2 x > log ( x + ) Suy > log2 log2 > log2 4 x +1 x+3 x+3 ⇒ log ( x + ) > log5 ( x + ) log > log > log5 5 Suy log2 x + log ( x + ) > log ( x + ) + log5 ( x + ) ● Tương tự cho trường hợp x > , ta log2 x + log ( x + ) < log ( x + ) + log5 ( x + ) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 10 Giải phương trình: log2 ( log x ) = log ( log2 x ) Điều kiện: x > log x = 2t (1) log2 ( log3 x ) = t Đặt: log2 ( log x ) = log ( log2 x ) = t Khi đó ⇔ log ( log2 x ) = t log2 x = 3t (2) t t t 2 log x log x Suy ra: = t ⇔ = ⇔ log = ⇔ t = log ( log ) log x log x log2 ( log3 ) t Từ (1) suy ra: x = 32 = 32 Page Lop12.net (6) www.VNMATH.com Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Bài tập tương tự Giải các phương trình sau: ( ) log7 ( x + ) = log5 x 2 log6 log ( x − ) = log2 x log2 ( x + ) − log3 ( x + ) = x+ x = log4 x log6 ( x − 2x − ) = log5 ( x2 − 2x − ) log2 x = log x C m hhoọcïc ssiinnhh đđaạtït kkeếtát qquuaả û ttoốtát ttrroonngg kkyỳ ø tthhii ssaắpép ttơớiùi -Chhuúcùc ccaácùc eem Page Lop12.net (7)