Phuong trinh logarit khac co so

www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Vài tốn phương trình logarit khác số Huỳnh Đức Khánh – 0975.120.189 Giải tích – ĐH Quy Nhơn Descartes Phương trình logarit với số khác ln vấn đề gây khó dễ cho học sinh gặp phải đề thi Học sinh thường lúng túng biến đổi, gặp khó khăn để đưa số đưa phương trình Tơi viết xin đóng góp vài mẫu vấn đề này, dùng phương pháp: Đổi số, đặt ẩn phụ để đưa phương trình mũ, biến đổi tương đương, đánh giá hai vế Ví dụ Giải phương trình: log2 x + log x + log x = log20 x Điều kiện: x > Với điều kiện phương trình tương đương log2 x + log log2 x + log log2 x = log20 2.log2 x ⇔ log2 x ( + log3 + log4 − log20 ) = ⇔ log2 x = (do + log + log − log20 ≠ ) ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: log ( x − 3x − 13 ) = log2 x  x − 3x − 13 > + 61 Điều kiện:  ⇔x>  x >  Đặt: log2 x = t ⇔ x = 2t Phương trình trở thành: log ( t − 3.2t − 13 ) = t ⇔ t − 3.2t − 13 = 3t t t t          ⇔ =   + 13   +         t t (*) t 3 1 2 Hàm số y =   + 13   +   tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến,       hàm y = hàm Do phương trình (*) có nghiệm 3 3 1 2 Ta có: =   + 13   +   Suy phương trình (*) có nghiệm t =       Với t = ⇒ x = 23 = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Page www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: ( log2 + ) x = log3 x Điều kiện: x > Đặt: log x = t ⇔ x = 3t ( Phương trình trở thành: log2 + ) 3t = t ⇔ + 3t = 2t t t       = ⇔   +      (*) t t       tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm Hàm số y =   +      y = hàm Do phương trình (*) có nghiệm 2       = Suy phương trình (*) có nghiệm t = Ta có:   +      Với t = ⇒ x = 32 = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: log ( x + 2x + ) = log2 ( x + 2x ) (1)  x < −2  x + 2x + > Điều kiện:  ⇔  x>0  x + 2x >  Đặt: u = x + 2x Phương trình (1) trở thành: log ( u + ) = log2 u (2) Xét phương trình (2) Ta đặt: log2 u = t ⇔ u = 2t Phương trình (2) trở thành: log ( 2t + ) = t ⇔ 2t + = 3t t t       ⇔   +   =     t t (3) 2 1 Hàm số y =   +   tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm y =     hàm Do phương trình (3) có nghiệm 1 2 1 Ta có:   +   = Suy phương trình (3) có nghiệm t =      x = −1 − (thỏa mãn) Với t = ⇒ u = = ⇒ x + 2x = ⇔   x = −1 + Vậy phương trình có nghiệm x = −1 − 3; x = −1 + Page www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log ( x + ) + log5 ( 3x + ) =  x + > Điều kiện:  ⇔ x>−  3x + > Đặt: log ( x + ) = t ⇔ x + = 3t , suy ra: 3x + = 3.3t − Phương trình trở thành: t + log5 ( 3.3t − ) = ⇔ log5 ( 3.3t − ) = − t ⇔ 3.3t − = 54− t 625 ⇔ 3.3t − = t t t ⇔ 3.15 − 2.5 = 625 t t       ⇔ = 625   +    15    t t 1 1 Hàm số y = 625   +   tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm  15    y = hàm Do phương trình có nghiệm 2 1 1 Ta có: = 625   +   Suy phương trình có nghiệm t =    15  Với t = ⇒ x + = 32 ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Cách khác: ● Kiểm tra x = nghiệm phương trình ● Nếu x > log ( x + ) > log3 ( + ) = log5 ( 3x + ) > log5 ( 3.8 + ) =   ⇒ log ( x + ) + log ( 3x + ) >   ● Nếu x < log ( x + ) < log3 ( + ) = log5 ( 3x + ) < log5 ( 3.8 + ) =   ⇒ log ( x + ) + log5 ( 3x + ) <   Vậy phương trình có nghiệm x = Page www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log2 ( x2 − 5x + ) + log5 ( x − ) = − log ( 5x − )  x − 5x + >  Điều kiện:  x − > ⇔ x >   5x − > Với điều kiện phương trình tương đương log2  ( x − )( x − )  + log5 ( x − ) = + log2  ( x − )  ⇔ log2 ( x − ) + log2 ( x − ) + log5 ( x − ) = + log2 + log2 ( x − ) ⇔ log2 ( x − ) + log5 log2 ( x − ) = + log2 ⇔ ( + log5 ) log2 ( x − ) = + log2 ⇔ log2 ( x − ) = + log2 + log5 ⇔ log2 ( x − ) = log2 ⇔ x−4 = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: log 3x + ( 4x2 + 12x + ) + log2x + ( 6x + 23x + 21 ) = (1) < x ≠ −1 Với điều kiện phương trình tương đương Điều kiện: − log 3x + ( 2x + ) + log2x +  ( 3x + )( 2x + )  = ⇔ log 3x + ( 2x + ) + log2x + ( 3x + ) + = ⇔ log 3x + ( 2x + ) + = log 3x + ( 2x + ) (2) Đặt: t = log3x + ( 2x + ) Phương trình (2) trở thành t =  2t + = ⇔ 2t − 3t + = ⇔  t = t  • Với t = ⇒ log 3x + ( 2x + ) = ⇔ 2x + = 3x + ⇔ x = −4 (loại) 1 • Với t = ⇒ log3x + ( 2x + ) = ⇔ 2x + = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = − Page  x = −2 ( loai )  3x + ⇔  x = −1  www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log x ( x + ) = lg Điều kiện: < x ≠ ● Nếu < x < x + > , ta có log x ( x + ) < log x = = lg1 < lg ● Nếu x > x + > x , ta có log x ( x + ) > log x x = = lg10 > lg Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: log2 x + log ( x + ) = log ( x + ) + log5 ( x + ) Điều kiện: x > ● Kiểm tra x = nghiệm phương trình ● Nếu < x < x x+2 x +1 x + > >1 > > 1, x x+2 x+2 ⇒ log2 x > log ( x + ) Suy > log2 log2 > log2 4 x +1 x+3 x+3 ⇒ log ( x + ) > log5 ( x + ) log > log > log5 5 Suy log2 x + log ( x + ) > log ( x + ) + log5 ( x + ) ● Tương tự cho trường hợp x > , ta log2 x + log ( x + ) < log ( x + ) + log5 ( x + ) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 10 Giải phương trình: log2 ( log x ) = log ( log2 x ) Điều kiện: x >  log x = 2t (1)  log2 ( log3 x ) = t Đặt: log2 ( log x ) = log ( log2 x ) = t Khi  ⇔   log ( log2 x ) = t  log2 x = 3t (2)   t t t 2 log x log x   Suy ra: = t ⇔ =   ⇔ log =   ⇔ t = log ( log )   log x log   x log2 ( log3 ) t Từ (1) suy ra: x = 32 = 32 Page www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Bài tập tương tự Giải phương trình sau: ( ) log7 ( x + ) = log5 x 2 log6 log ( x − ) = log2 x log2 ( x + ) − log3 ( x + ) = x+ x = log4 x log6 ( x − 2x − ) = log5 ( x2 − 2x − ) log2 x = log x C m hhoọcïc ssiinnhh đđaạtït kkeếtát qquuaả û ttoốtát ttrroonngg kkyỳ ø tthhii ssaắpép ttơớiùi -Chhuúcùc ccaácùc eem Page ...www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: ( log2 + ) x = log3 x Điều kiện: x > ... = ⇒ x + 2x = ⇔   x = −1 + Vậy phương trình có nghiệm x = −1 − 3; x = −1 + Page www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log ( x + ) + log5 ( 3x + ) =  x + >... ) =   ⇒ log ( x + ) + log5 ( 3x + ) <   Vậy phương trình có nghiệm x = Page www.VNMATH.com Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học Ví dụ Giải phương trình: log2 ( x2 − 5x + ) + log5 ( x − ) = − log