Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh tính chất đường phân giác trong tam giác Trong một tam giác, đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn[r]
(1)CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH §1 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH Các tính chất diện tích đa giác a) Mỗi đa giác có số đo diện tích xác định Diện tích đa giác là số dương b) Ha đa giác thì diện tích chúng c) Nếu đa giác phân chia thành số hữu hạn đa giác thành phần rời (không có điểm chung) thì diện tích đa giác bị chi tổng diện tích các đa giác thành phần d) Hai đa giác thì diện tích chúng Hai đa giác có diện tích gọi là hai đa giác tương đương e) Diện tích hình vuông có cạnh đơn vị gọi là đơn vị diện tích Các công thức diện tích số đa giác thường gặp a) Diện tích tam giác Cho tam giác ABC có - Độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c ; - Độ dài đường cao tương ứng với các cạnh a, c b, c là , hb , hc ; - Nửa chu vi tam giác là: p = (a + b + c) ; - Bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC là r B Ta có các công thức tính diện tích tam giác: A hb b O hc a C 1 a.ha = b.hb = c.hc (1) 2 S = p(p a)(p b)(p c) (2) (công thức Hê - rông) S = p.r (3) S= Đặc biệt : a a2 - Diện tích tam giác có cạnh a : S = - Diện tích tam giác vuông : S = ab (a, b là độ dài các cạnh góc vuông) b) Diện tích số tứ giác đặc biệt TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (2) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ Hình thang Hình bình hành Hình chữ nhật a a h b (a b)h S= Hình vuông a b h a S = ah S = ab Hình thoi Tứ giác có hai đường chéo vuông góc d2 d2 d1 S = a2 d1 S = d1.d2 S = d1.d2 c) Diện tích đa giác n-cạnh Cách tính diện tích đa giác n-cạnh : Ta chia đa giác đó thành các tam giác không có điểm chung Tính diện tích tam giác cộng tất các diện tích tam giác lại Chẳng hạn, hình vẽ bên, ta có : SABCDE = SABC + SACD + SADE A B E C D Các bài toán diện tích Bài toán (Hai tam giác có chung chiều cao có chiều cao nhau) Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a Lấy trên a các điểm B, C, D, E cho BC = kDE (k > 0) Chứng minh : SABC = kSADE A Chứng minh Không giảm tổng quát, có thể giả sử D nằm B và C, C nằm D và E (hình vẽ) Kẻ AH a, thì AH là đường cao chung ABC và ΔADE Ta có : 1 SABC = AH.BC = AH.kDE 2 = k( AH.DE) = kSADE đpcm Từ bài toán trên, ta có các hệ sau : B H D C E a Hệ 1: Hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích tỉ số cạnh tương ứng với hai chiều cao TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (3) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ SABC BC (= k) SADE DE A Hệ 2: Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích Thật vậy, xét ΔABC có đường trung tuyến AM Ta có : B M BM = MC (k = 1) SABM = SAMC Hệ 3: Hai tam giác có chiều cao thì tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai cạnh tương ứng với hai chiều cao đó Thật vậy, theo hình vẽ trên thì C Bài toán (Hai tam giác có chung đáy có hai đáy nhau) Cho đường thẳng a Lấy hai điểm B, C thuộc a và hai điểm A, A’ không thuộc a (A ≠ A’) Kẻ AH và A’H’ cùng vuông góc với a (AH > A’H’) Gọi E là giao điểm AA’ với a Chứng minh : S AH a) ABC ; SA 'BC A'H' S EA b) ABC SA 'BC EA' Chứng minh Ta xét ba trường hợp hình vẽ sau : A A A A’ H’ B H H’ E C B H C E A’ HE H’ B C A’ Ở ba trường hợp hình vẽ, ta có : AH.BC SABC AH a) (1) SA 'BC A 'H '.BC A 'H ' b) AH // A’H’ (vì cùng BC) nên theo hệ định lí Ta – let, ta có : AH EA (2) A'H' EA' S EA Từ (1) và (2) suy : ABC (đpcm) SA 'BC EA' TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (4) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ Bài toán Cho hai đường thẳng BD và CD cắt A Chứng minh : SADE AD.AE SABC AB.AC A Chứng minh E Xét ba trường hợp : D - Điểm A không thuộc hai đoạn thẳng BD và CE : Nối B với E Vì hai tam giác ADE và ABE có chung đường cao kẻ B C từ đỉnh E tới AB nên : SADE AD SABE AB E Mặt khác, hai tam giác ABE và ABC có chung đường cao kẻ từ D đỉnh B tới AC nên : A SABE AE B C SABC AC S S AE AD S AD.AE Do đó : ADE ABE hay ADE (đpcm) SABE SABC AC AB SABC AB.AC D - Điểm A thuộc hai đoạn thẳng BD và CE : Chứng minh tương tự trên - Điểm A thuộc hai đoạn thẳng BD và CE A (chẳng hạn BD) : E Chứng minh tương tự trên B C Áp dụng phương pháp diện tích để giải toán Phương pháp diện tích là phương pháp sử dụng diện tích công cụ, phương tiện để giải các bài toán nhiều phương diện khác : - Chứng minh số định lí, tính chất - Tính giá trị hệ thức hình học - Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc - Chứng minh đồng quy đường thẳng a) Chứng minh số định lí, tính chất Ví dụ (Chứng minh định lí Pi - ta - go tam giác vuông) Chứng minh rằng, tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông Giải TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net B’ B c A a a b C b c A’ (5) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ Giả sử ΔABC vuông A, có AB = C, BC = a, CA = b Ta phải chứng minh : b2 + c2 = a2 Trên tia đối tia CA lấy điểm A’ cho CA’ = c Dựng tia A’x AA’ (tia Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AA’ có chứa điểm B) Lấy điểm B’ trên A’x cho A’B’ = b Xét hai tam giác vuông ABC và A’CB’ có : A 900 , AC = A’B’ = b, AB = A’C = c A CBA ΔABC = ΔA’CB’ (c - g - c) BC = B’C = a, C C 900 hay C C 900 BCB' = 900 Tam giác ABC vuông A nên CBA Suy ΔBCB’ vuông cân C = 900 nên là hình thang vuông Tứ giác ABB’A’ có AB // A’B’ (vì cùng AA’) và A Ta có : SABB’A’ = SABC + SBCB’ + SCA’B’ hay : (b c) bc a bc = ↔ b2 + c2 = a2 (đpcm) 2 2 Ví dụ (Chứng minh định lí Ta – let tam giác) Nếu đường thẳng song song với cạnh và cắt hai cạnh còn lại thì nó định trên hai cạnh đó đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ A Giải Giả sử đường thẳng a // BC và cắt hai cạnh AB, AC B’ C’ a ΔABC B’ và C’ Ta phải chứng minh : AB' AC' AB AC B C Vì a // BC nên khoảng cách từ hai điểm B và C đến a Do đó, ΔBB’C và ΔCB’C’ có hai chiều cao hạ từ B và C xuống cạnh B’C’ Suy : SBB’C’ = SCB’C’ SBB’C’ + SAB’C’ = SCB’C’ + SAB’C’ hay SABC’ = SACB’ (1) Hai tam giác BAC’ và BAC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC nên : SBAC ' AC' (2) SBAC AC Chứng minh tương tự, ta có : Từ (1), (2) và (3), suy : SCAB ' AB' (3) SCAB AB AB' AC' (đpcm) AB AC TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (6) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ Ví dụ (Chứng minh định lí Xê - va tam giác) Trên các cạnh BC, CA, AB ΔABC lấy các điểm A’, B’, C’ Chứng minh : A 'B B'C C'A AA’, BB’, CC’ đồng quy ↔ 1 A 'C B'A C'B A C’ B B’ P A’ C Giải Ta phải chứng minh hai trường hợp : A 'B B'C C'A 1 A 'C B'A C'B Thật vậy, AA’, BB’, CC’ đồng quy P thì theo bài toán 2, ta có : SABP A 'B SBAP B'C SCBP C'A ; ; SACP A 'C SBCP B'A SCAP C'B Điều kiện cần : AA’, BB’, CC’ đồng quy A 'B B'C C'A SABP SBAP SCBP =1 A 'C B'A C'B SACP SBCP SCAP A 'B B'C C'A AA’, BB’, CC’ đồng quy A 'C B'A C'B Gọi P là giao điểm AA’ và BB’, C1 là giao điểm CP với AB Khi đó, AA’, BB’ và CC1 đồng quy nên theo chứng minh trên, ta có : A 'B B'C C1A A 'B B'C C'A C A C'A , mà nên suy : A 'C B'A C1B A 'C B'A C'B C1B C'B Điều kiện đủ : C1A C1B C'A C'B AB AB hay Do đó : C1B = C’B C1B C'B C1B C'B Vì C1 và C’ thuộc AB nên C1 ≡ C’ Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy P Ví dụ (Chứng minh tính chất đường phân giác tam giác) Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn A Giải Giả sử tam giác ABC có đường phân giác AD Ta phải DB AB F chứng minh : E DC AC Kẻ DE AB, DF AC, AH BC Ta có : C B HD AH AB 2SABD = AH.BD = DE.AB (1) DE BD TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (7) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ AH AC (2) DF CD Mặt khác, D thuộc đường phân giác góc A nên DE = DF (3) AB AC DB AB Từ (1), (2) và (3) suy : hay (đpcm) BD CD DC AC 2SADC = AH.CD = DF.AC Ví dụ (Chứng minh tính chất đường cao tam giác) Chứng minh tam giác, đường cao ứng với cạnh lớn thì nhỏ Giải A F Giả sử ΔABC có AB ≤ BC ≤ CA Ta phải chứng minh : CE ≥ AH ≥ BF E Thật vậy, ta có : 2SABC = AB.CE = BC.AH = CA.BF AB AH BC BF B Do đó : và H BC CE CA AH AB BC Vì AB ≤ BC ≤ CA nên ≤ và ≤ Từ đó suy : AH ≤ CE và BF ≤ AH BC CA Hay CE ≥ AH ≥ BF (đpcm) C b) Tính giá trị hệ thức hình học Ví dụ Cho ΔABC Lấy điểm O nằm tam giác Gọi P, Q, R là giao điểm AO với BC, BO với CA, CO với AB Tính : A OP OQ OR a) ; AP BQ CR R O Q OA OB OC b) AP BQ AR C B H KP Giải OK OP a) Kẻ OK BC, AH BC thì OK // AH Theo định lí Ta – let, ta có : (1) AH AP S OK Mặt khác, ΔOBC và ΔABC có cùng chung cạnh BC nên : OBC (2) SABC AH Từ (1) và (2) suy : SOBC OP SABC AP Chứng minh tương tự, ta có : SOCA OQ SOAB OR , SABC BQ SABC CR TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (8) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ Suy : b) OP OQ OR SOBC SOCA SOAB SOAB SOBC SOCA AP BQ CR SABC SABC SABC SABC OA OB OC AP OP BQ OQ CR OR OP OQ OR 3 = AP BQ AR AP BQ CR AP BQ CR Vậy OP OQ OR AP BQ CR c) Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Ví dụ Cho ΔABC, trung tuyến AM Điểm O thuộc đoạn AM cho AO = 3OM Gọi N là giao điểm BO với AC Biết diện tích ΔABC 120cm2 Tính : a) Diện tích ΔAOB ; A b) Diện tích tứ giác CMON Giải a) Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh BC nên : O SAMB SAMC SABC = 60 (cm ) B M Hai tam giác AOB và AMB có cung đường cao hạ S AO AO 3OM từ đỉnh B đến cạnh AM nên : AOB SAMB AM AO OM 3OM OM N C SAOB SAMB 45 (cm2) S MB b) Ta có : AOB (xem bài toán 2) hay SAOC SAOB 45 (cm2) SAOC MC SBOC SABC (SAOB SAOC ) 120 90 30 (cm2) Lại có : SAOB NA NA 30 NA NC NC hay SBOC NC NC 45 NC AC Vì ΔCON và ΔAOC có chung chiều cao hạ từ O xuống cạnh AC nên : SCON NC 3 SCON SAOC 45 27 (cm2) SAOC AC 5 Mặt khác, ΔOMC và ΔOBC có chung chiều cao hạ từ O đến BC nên : SCOM MC 1 SCOM SBOC 30 15 (cm2) 2 SBOC BC Vậy SCMON SCOM SCON 15 27 42 (cm2)\ TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (9) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ Ví dụ Cho ΔABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm a) Lấy điểm D trên cạnh BC cho AD = AB Tính độ dài BD b) Lấy điểm E trên cạnh BC cho BE = cm Tính độ dài AE A Giải a) Kẻ AH BC Vì ΔABC vuông A, nên : BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 252 (định lí Pitago) BC = 25 (cm) Ta lại có : 2SABC = AB.AC = AH.BC B C H D AB.AC 15.20 AH 12 (cm) BC 25 ΔAHB vuông H nên : BH2 = AB2 – AH2 (định lí Pitago) hay BH2 = 152 – 122 = 92 BH = (cm) Tam giác ABD cân A (vì AB = AD (gt)) nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến Do đó : BD = 2BH = 18 (cm) A b) Kẻ AH BC Tương tự câu a, ta tính : AH = 12 (cm) và BH = (cm) EH = BH – BE = – = (cm) Áp dụng định lí Pitago cho ΔAHE (vuông H), ta có: B E H C AE2 = AH2 + EH2 = 52 + 122 = 132 AE = 13 (cm) TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net (10) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN ĐẠI SỐ TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net 10 (11)