Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết quả.. Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: 3..[r]
(1)Chương III: NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN Bài : NGUYÊN HÀM I/ Tóm tắt lí thuyết : 1/ Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên K Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên K F’(x) = f (x) với x thuộc K Định nghĩa 2: Nếu F(x) là nguyên hàm f(x) trên K thì F(x) + C là họ tất các nguyên hàm f(x) trên K Kí hiệu f ( x)dx ta có: 2/ Tính chất: Tính chất 1: f / ( x)dx f ( x) C f ( x)dx F ( x) C Tính chất 2: kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0) Tính chất 3: [f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx Tính chất 4:Nếu F(x) là nguyên hàm f(x) thì F ( ax b) C ( a≠0) a f ( ax b) dx 3/ Bảng nguyên hàm thường dùng 1.dx x C k.dx k.x C x 1 x dx C ( 1) (ax b) 1 (ax b) dx a( 1) C (a 0, 1) x dx 1 C x (ax b) dx x C x dx x ln x C ( x 0) e dx e x x dx 1 C a(ax b) ax b C a ax b ln ax b dx ax b a C (a 0, ax b 0) eax+b (ax+b) e dx a C (a 0) a bx c bx c a dx C (0 a 1, b 0) b.ln a cos(ax b) C sin(ax+b).dx a sin(ax+b) cos(ax+b).dx= a + C dx tan(ax b) cos2 (ax b) a C (a 0) dx cot(ax b) sin (ax b) a C C ax C (0 a 1) ln a sinx.dx cos x C x a dx cosx.dx= sinx + C dx cos x tan x C dx sin dx cot x C x 4/ Các phương pháp tính nguyên hàm: a/ Phương pháp đổi biến: b/ Phương pháp phần: II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Dạng 1: Tìm nguyên hàm hàm số định nghĩa và tính chất Phương pháp giải: Lop12.net (2) Thường đưa nguyên hàm đã cho nguyên hàm tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = x + x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx x Giải f ( x )dx (x - 3x + )dx a/ x x dx xdx dx x x4 x ln x c 2x 3x c ln ln d (5 x 3) (5 x 3)6 f ( x )dx (5x+ 3)5 dx (5x+ 3)5 c c/ 30 sin x f ( x )dx sin x cosxdx sin x d (sin x ) c d/ (2x + 3x ) dx b/ f ( x )dx x dx 3x dx Dạng 2: Tìm nguyên hàm hàm số thoả điều kiện cho trước Phương pháp giải: B1: Tìm họ nguyên hàm hàm số đã cho B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm C thay vào họ nguyên hàm nguyên hàm cần tìm Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= Giải Ta có F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = - cos + C = C = - 6 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x Dạng 3: Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến: Phương pháp giải: Tính nguyên hàm f[ (x)] '(x)dx (1) phương pháp đổi biến b1: Đặt t = (x) dt = '( x ) dx b2: Thay vào (1) ta f (t )dt , dựa vào bảng nguyên hàm thường dùng tính f (t )dt b3: Thay t= (x) vào nguyên hàm vừa tìm suy kết Ví dụ : a) Xét nguyên hàm I ( x 1)10 dx x 1 C u11 Đặt u = x-1 du = (x-1)’dx = dx Ta có: x 1 dx u du C 11 11 2 ln x t ln x ln x b) Xét dx tdt C C dx ; đặt t=lnx dt = dx x x 2 x x c)Tính A = dx ( x 1) 11 10 10 Giải Đặt u = x + x = u – 1; du = dx A = u 5 du 14 u u u 4 du u 5 du 1 1 C C 3 4( x 1) 3u 4u 3 x 1 Lop12.net du u5 (3) Dạng 3: Tìm nguyên hàm phương pháp Từng phần: Phöông phaùp giaûi: B1: Đặt biểu thức nào đó dấu nguyên hàm u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển nguyên hàm đã cho theo công thức phần B3: Tính v du suy keát quaû Ví dụ : a/ Tìm u dv uv v du x sinxdx u x du dx dv sinxdx v - cosx Đặt Ta có : x sin xdx = - x.cosx + cosxdx = - xcosx + sinx + C b/Tìm I= x e x dx u x du 2xdx x x dv e dx v e Đặt Khi đó: x e x dx =x2.ex - x e x dx Tính x e x dx u1 x du1 dx x x dv e dx v e Đặt x e dx =x.ex - e dx =x.ex – ex +C1 x x I=x2.ex – 2(x.ex – ex +C1)=x2.ex – 2x.ex +2 ex +C c/ Tìm ln xdx u lnx du dx Đặt x ln xdx = xlnx - 1.dx = xlnx – x + C dv dx v x B/ Bài tập tự giải: Bài : Tìm nguyên hàm các hàm số sau 2x 1 f(x) = x2 – 3x + f(x) = x x2 ( x 1) x 1 f(x) = f(x) = x2 x 3 f(x) = x x x f(x) = x x ( x 1) x 1 f(x) = f(x) = x x x f(x) = sin 10 f(x) = tan2x 11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2 cos x 13 f(x) = 14 f(x) = 2 sin x cos x sin x cos x 15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x ex ) 17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 + cos x 19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1 Lop12.net (4) Bài 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + và f(1) = f’(x) = – x2 và f(2) = 7/3 f’(x) = x - và f(1) = x b f’(x) = ax + , f ' (1) 0, f (1) 4, f (1) x f’(x) = e1-2x , bieát f( ) f’(x) = x x và f(4) = f’(x) = 4x3 – 3x2 + và f(-1) = f’(x)=sin2x.cosx, bieát f( )= x 3x 3x 1 f’(x) = , bieát f( 1) b) f ( x ) 5cos x; F ( ) 2 x 2 x 3 5x ; F (e) x 10) f ( x ) 11) f ( x ) x2 ; F (1) x Bài Dùng phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm các hàm số sau: dx (5 x 1)dx x dx (3 x) 5 (2 x 1) xdx 3x (x 5) x dx x (1 x ) sin x dx 13 sin x cos xdx 14 cos x dx dx 17 18 19 sin x cos x 2x3 e tgx cos x dx 22 23 x dx dx 10 dx 24 2x 1 x dx x 5 x 1.xdx 11 ln x x dx 12 x.e 15 cot gxdx 16 cos 21 tgxdx 4 x dx x x 25 x e 20 dx dx x 1 dx tgxdx x x e dx ex dx x dx 26 1 x2 dx 32 x x 1.dx 1 x Bài Dùng phương pháp phần tìm nguyên hàm các hàm số sau x sin xdx x cos xdx ( x 5) sin xdx ( x x 3) cos xdx 27 x dx x sin xdx 10 ln 15 sin x dx 20 2 x xdx xdx cos 28 x sin xdx x cos xdx 11 16 21 ln xdx x x.e x e dx x e cos xdx x lg xdx 22 x 30 x x 1.dx dx 13 ln xdx x cos x x e dx 18 x ln(1 x)dx 19 23 e 31 x x dx x ln xdx xtg 14 x ln(1 x 2 xdx )dx ln(1 x) dx 24 x2 x cos xdx Bài : TÍCH PHÂN I/TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1/ Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) b hàm số f(x), ký hiệu: f ( x) dx Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| a F là nguyên hàm f trên k thì : b a để hiệu số F(b) -F(a) Như b f ( x)dx = F(x)| a Lop12.net b a =F(b) -F(a) (5) 2/ Tính chất tích phân a b 1) f ( x)dx = a b 2) f ( x)dx = – f ( x)dx a a b 4) f ( x ) g( x )dx a 3) f ( x)dx + b b b a a a f ( x)dx ± g ( x)dx c c f ( x)dx = b f ( x)dx a b b a a 5) kf ( x)dx = k f ( x)dx II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho tích phân tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: (x a/ b/ ( 3sin x )dx cos x 1)dx 1 c/ x dx 2 Giaûi 3 ( x 1)dx = a/ 1 3 x4 x dx dx ( 1 b/ ( 3sin x )dx cos x 4 x) ( 1 81 3) ( 1) 24 4 dx sin xdx cos2 x 4 cos x ) 4 (4tgx 4 3cos ) [4 tg( ) 3cos( )] =8 = (4tg 4 4 c/ 2 2 2 2 x dx = x dx + x dx = (1 x )dx + ( x 1)dx =(x- Bài tập đề nghị: Bài 1: Tính caùc tích phaân sau: e 1 ( x3 x 1)dx ( x x )dx x x x2 x2 ) 2 ( 2 x dx x ) =5 x 1dx (2sin x 3cosx x)dx (e x x)dx ( x3 x x )dx ( x 1)( x x 1)dx (3sin x 2cosx )dx x (e x 1)dx x 2 10 ( x x x x )dx 11 ( x 1)( x x 1)dx 1 3 12 (x 1).dx 1 ( x 1).dx 16 x x ln x x e dx 20 e x e x x.dx 13 -1 x cos3 x.dx 17 sin x e2 7x x 14 dx x tgx dx 18 cos x ln dx 22 x x e e dx 21 4x 8x Lop12.net dx 15 x2 x2 e x e x 19 x x dx 0e e dx 23 sin x (6) (2 x 24 2 25 (2 x x )dx x 1)dx 1 26 x( x 3)dx (x 27 2 4)dx 3 2 e2 33 x 33 x 1 Bài : Tính caùc tích phaân sau: 30 16 dx x e dx x 7x dx 1 x 32 e x 2x 29 dx x3 1 28 dx x 1 x 31 x dx 1 34 (3 cos x ).dx 35 (e x 2)dx 0 x 1dx 3 x x m dx x x dx 0 sin x dx 3 tg x cot g x 2dx sin x dx 10 2 13 ( x x dx 14 Daïng 1: Tính tích phaân 11 x x 2dx 2 12 sin xdx cos x cos x cos xdx 3 b 15 2 x 4dx 16 '(x)dx phương pháp đổi biến a Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t = (x) dt = '( x ) dx b2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm Ví duï : Tính tích phaân sau : 1 2x a/ I b/ J x 3.x.dx dx x x 0 Giaûi: a/ Ñaët t = Đổi cận: x2 + x +1 dt = (2x+1) dx dt x = t =1 ; x = t = Vaäy I= ln t t b/ Ñaët t= x Đổi cận: t2= x2+ ln 3 tdt = x dx t3 x = t = ; x = t = Vaäy J = t dt 3 Daïng Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn: b Công thức phần : u.dv u.v a b a b v.du a Lop12.net Bài : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN : f[(x)] cos x dx x )dx 3 ( x x )dx 2 sin x dx (8 3) cos 2xdx (7) Phöông phaùp giaûi: B1: Đặt biểu thức nào đó dấu tích phân u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức phần B3: Tích phaân b vdu suy keát quaû a Chuù yù: b b a a a/Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho vdu dễ tính udv khó phải tìm cách ñaët khaùc b P( x ).Q( x ).dx b/Khi gaëp tích phaân daïng : a - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt treân - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: e b/J= x.ln x.dx a/ I= x.cos x.dx Giaûi du dx u x (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx ) v sin x dv cos x.dx a/ Ñaët : vaäy I=x cosx - sin x.dx = cosx = -1 du dx u ln x x b/ Ñaët : dv x.dx v x e e x e2 x e Vaäy J= lnx dx xdx x 2 1 2e x e2 e2 B/Bài tập tự giải: Tính caùc tích phaân sau phương pháp đổi biến Bài : a) esin x cos x.dx b) x x2 3 dx c) 4dx sin 2 x d) cos x sin xdx 2 ex e) x dx e 1 e l/ 1 ln x dx x g) sin xd x ln 2 x 1 h) e e 1 x m/ x ( x 3)5 dx Lop12.net dx k) sin x cos xdx (8) Bài : 24 a) tan x dx ; b) x4 dx x5 e) d) dx 25 x (đặt x tan x cos2 x tan t ) c) sin x cos4 x dx (đặt u cos x ); g) x3 x 3.dx dx (đặt u tan x ) 24 k) x xdx e dx h) x ln x l) 0 tan x dx ; Tính các tích phân sau phương pháp tích phân phần : Bài : e4 a) x ln x dx b) sin2 x ; e ( x 1)sin xdx g) j) x2 1 ln xdx h) ln(1 x)dx e 2x 3 e x dx ; 1 1 d) i) (x x 1)e xdx x dx e x cos x.dx k/ x.e3 x dx l/ m/ n/ p/ ln x dx x ln( x 1) dx cos x 0 dx ò ò x + 3x + x3 x2 23 dx =ò ( x + x + + )dx = [ + + x + ln x -1]-0 = - ln x -1 x -1 -1 b/ ln(1 x ) x x sin x dx ; Dạng 4: Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên và phần phân số tính Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 2x 1 dx =ò (1 + )dx = [ x + ln x -1]12 = + ln = ln 2 x -1 x -1 2 a/ c) e) x dx -1 Bài tập đề nghị: Tính caùc tích phân sau: x 2 x x 1/I= dx x x 5 x dx x 2/J= b/Daïng baäc treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính Lop12.net (9) Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: 5( x -1) dx Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò x - x -6 Giaûi 5x - A B A( x - 3) + B( x + 2) 5( x -1) = + = Ñaët = ( x + 2)( x - 3) x - x - ( x + 2)( x - 3) x + x - A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 vaäy ta coù: 2 5( x -1) dx 16 = ò x - x - ò ( x + + x - )dx = (3ln x + + ln x - ) = ln 27 1 Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: (2 x + 1)dx Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò x - 4x + Giaûi 1 (2 x + 1)dx 2x - d ( x - x + 4) = ( + ) dx = + 5ò dx 2 2 ò ò x - 4x + x - 4x + x - 4x + x - 4x + ( x - 2)2 0 CI: ò 5 ) ln x 2 2 x +1 x +1 A B A( x - 2) + B = = + = Û A( x - 2) + B = x + CII: Đặt 2 x - x + ( x - 2) x - ( x - 2) ( x - 2)2 A A 2 Ax -2A+B= 2A B B 4x =(ln x ò Vaäy 1 x + 1dx 5 =ò [ + ]dx = (2ln x-2 ) ln 2 x - 4x + x - ( x - 2) x-2 Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= ò -1 0 2x + dx - ò dx = ò x + 2x + ( x + 1)2 + -1 I=ò -1 (2 x - 3)dx x2 + 2x + Ta có ò Giaûi: d ( x + x + 4) - 5J x2 + 2x + 4 d ( x + x + 4) ln ln ln = ln/x +2x+4/ 1 x + 2x + dx cách đặt x tan t ( x + 1)2 + -1 Tính ò Tổng quát: tÝnh r(x) dx g(x) víi bËc r(x) nhá h¬n bËc g(x) + Ph©n tÝch mÉu sè g(x) thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc, tam thøc bËc hai v« nghiÖm + Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: A B ( x a)( x b) x a x b A Bx C , với b2 4ac x m ax bx c ( x m)(ax bx c) A B C Dx E với b2 4ac + T×m c¸c hÖ 3sè A,B,C 2 ( x m) ( x bx c) x m ( x m) ( x m) ( x bx c) Lop12.net (10) Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: b 2x 1 2 dx dx ( x a )( x b) x 3x a x dx (3 x 1) x n 3 10 dx n (1 x ) 21/I= dx x 5 x 25 26 x x dx 30 29 x x 12 33 3x 2 1 dx 35 dx x x3 39 x2 0 dx x 1 x 3x 28 dx x3 1 dx (1 x ) 31 1002 27 x 1 1 x 38 x 2001 dx 1 x5 x3 37 x dx 1 x 34 dx x4 0 x6 dx 1 2x 3x 22/I= dx 23/ I= dx 24 x 6 x x 4 x dx (1 x ) x2 x 1 2x x x 1dx 20 x 1dx 19 x 1 x 1 1 0 x 2x dx 18 x3 1 x 11 dx 12 x 5x x2 16 x 1dx 2x 1 x2 1 x( x 3x 2) dx 2x 15 dx x 1 0 3x x 1dx 17 x2 0 dx 2x x 2x3 6x 9x dx x 3x 1 x2 2 x dx 14 2 11 3x 3x dx x x 2 13 2008 x4 dx 2 ( x 1) x 1 x dx 2008 ) x (1 x dx 2 ( x 2) ( x 3) x3 x 0 x dx 2 x2 dx x4 x2 1 32 1 x dx x x2 x 1 x dx 36 1 x x7 1 x dx x dx x2 2x 40 2 x 2012 2012 ) x (1 x dx Daïng 5: TÝCH PH¢N HµM Sè V¤ Tû I/ Cách giải: Thường sử dụng các cách đặt sau: Rx, + Rx, n u ( x) dx Trong đó u(x)= ax+ b hay u(x)= + ax bx c dx Biến đổi ax bx c a ( x Rx, ph©n vÒ mét c¸c d¹ng + + + ax b Thường đặt t = cx d dx x2 a Thường đặt t = x + x a; (mx n)dx ax bx c (x ) a x dx ; 2 ax bx c Rx, x a dx u x a x a dx phần đặt dv dx Ph©n tÝch mx n = A(2ax + b) + B T×m A,B dx Rx, u ( x) b ) Tùy theo dấu a và ta biến đổi tích 2a 4a a x dx ; n (Với a ) Đặt x 10 t Lop12.net (11) + + ax b dx Thường đặt t cx d Rx; n ax b ; hayt cx d cx d u ; m u dx Thường đặt t k u Với k là BCNN m và n Các phép Euler: + Đặt ax bx c = ± a.x t Nếu a >0 + Đặt ax bx c = x.t ± c Nêú c>0 ax bx c = t ( x x0 ) Nếu x0 là nghiệm ax bx c = II Bµi tËp: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: + Đặt dx x x2 x 1 x dx 8 x 2x x 3 11 dx dx 1 x 2x x 17 x dx 0 ( x 1) x xdx 1 (2 x 3) 20 25 x 1 x 1 2 26 dx 1/ dx 28 (2x 1) x x 4dx 18 x5 2x3 1 x2 dx x 12 x 4x 23 (x 2) dx 4x dx x 1 x dx xdx 2 x 2 x 12 x 1 dx 3x 1 1 22 dx 0 3x 1 x2 x2 dx x x x dx 14 19 3 x 1 x x dx x3 16 x2 dx x x dx 13 x2 dx x x 1 x dx x 10 2 x 3 21 27 2 x2 29 dx x x 1 dx x x2 dx 24 x3 x dx x x 1 dx dx x 1 x 30 x x x 2dx Dạng 6: Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp Daïng: sin ax.cos bxdx , sin ax.sin bxdx , cos ax.cos bxdx Phöông phaùp giaûi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu các tích phân giải Daïng: sin n xdx; cosn xdx Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến 11 Lop12.net (12) Ví duï : sin n 1 xdx sin n x sin xdx (1 cos2 x )n sin xdx Ñaët t =cosx Daïng: n 1 cos x 2n n cos xdx (cos x ) dx dx R(sin x ).cos xdx Ñaëc bieät: sin n x.cos2 k 1 xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx Daïng: R(cos x ).sin xdx Ñaëc bieät: sin n 1 x.cos2 k xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx Các trường hợp còn lại đặt x=tgt Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 2 a/ sin x.cos x.dx b/ sin xdx c/ cos3 xdx 0 d/ cos3 x sin xdx Giaûi 4 a/ sin x.cos x.dx = (sin x s in2 x )dx 0 cos x ( cos x 2 )0 2 2 cos x dx b/ sin xdx 0 sin x 2 (x )0 2 2 c/I= cos xdx = cos x.cos x.dx (1 sin x ).cos x.dx 0 ñaët u=sinx du = cosx dx x=0 u=0 ; x= u=1 vaäy: I= (1 u2 ).du (u 2 0 u3 ) 3 d/J= cos3 x sin xdx = cos2 x sin x.cos x.dx (1 sin x )sin x.cos x.dx ñaët u=sinx du = cosx dx x=0 u=0 ; x= Bài tập đề nghị: u=1 1 0 J= (1 u )u du 2 u ).du ( u3 u5 ) 15 Tính caùc tích phaân sau: sin x cos xdx (u 2 sin x cos xdx sin x cos xdx 12 Lop12.net (sin x cos )dx (13) 2 cos x(sin x cos x)dx (2 sin x sin x cos x cos x)dx dx sin x 10 10 4 (sin x cos x cos x sin x)dx 4 dx 11 sin x cos x 12 tg xdx 2 14 sin x dx sin x 15 dx cos x 2 16 sin x(1 sin x) dx 19 e sin xdx 2x 23 ln(1 tgx)dx 2 18 sin x.e x 1 dx 0 sin x 24 dx cos x 32/ sin x dx 22 e sin x sin x cos xdx 2 cos x cos 3xdx 26 25 sin x sin xdx 2 x 28 sin cos xdx 27 sin xdx 21 sin x sin xdx 20 (2 x 1) cos xdx 4 sin x cos x.dx 17 x cos xdx 10 13 cot g xdx sin x 0 cos x dx Cosx 0 sin x dx 29/ 30/ sin3 x.cos3 x.dx cos x.dx 31/ 0 33/ sin x cos4 x.dx 34 cos x dx MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT a/ Cách giải: Thường sử dụng các cách đặt sau: Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì a f ( x )dx a Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì a a a f ( x )dx f ( x )dx Vì các tính chất này không có phần lý thuyết SGK nên tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh sau: a a a J f ( x )dx; K f ( x )dx Bước 1: Phân tích I f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a a a Bước 2: Tính tích phân J f ( x )dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K I=J+K=0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K I = J + K = 2K Dạng Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: 13 Lop12.net (14) f (x) (với R+ và a > 0) x dx f ( x )dx a Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự trên f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) J I dx dx dx dx; K dx Để tính J ta đặt: t x x x x x a a a 1 a a 1 = –x Dạng Nếu f(x) liên tục trên 0; thì 2 f (sin x )dx f (cos x )dx đặt: t x Dạng Nếu f(x) liên tục và f (a b x ) f ( x ) f (a b x ) f ( x ) : đặt: t = a + b – x + Đặc biệt: Nếu a + b = đặt t = – x Nếu a + b = 2 đặt t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm các hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ đó suy nguyên hàm f(x) Ta thực các bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) F ( x ) G( x ) A( x ) C1 Bước 2: Xác định nguyên hàm các hàm số f(x) g(x), tức là: (*) F ( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x ) A( x ) B( x ) C là nguyên hàm f(x) b/ Bài tập: Tính các tích phân sau (dạng 1): Baøi cos x ln x dx sin x cos x dx 13 x sin x 1 sin2 x x 1 11 1 x2 x2 dx x cos x sin2 x 1 x dx 12 dx dx 15 sin x sin x cos x sin x cos x ex 6x dx 17 dx 1 (e x x2 1 14 dx x 31 2 Baøi sin2 x x4 x dx 1 16 x dx Tính các tích phân sau (dạng 2): 10 xdx 2 Baøi 1 x x 1 x cos x.ln dx 1 x 1 x dx cos x ln( x x )dx 1 x x x x 1 6 Tính các tích phân sau (dạng 3): 14 Lop12.net dx 18 dx 1 (4 1)( x 1) x 1)( x 1) x sin2 x 2x dx (15) cos x 19 n n cos x sin x 22 Baøi sin 2009 dx (n N*) x sin2009 x cos2009 x dx 23 x.sin x cos2 x dx 26 29 cos x cos4 x sin x dx sin x ln(1 tan x )dx sin2 x dx sin x cos x 24 sin x cos4 x sin x dx dx sin x ln cos x dx 27 x.cos3 xdx x.sin 30 xdx x sin x 35 cos x Baøi x cos x x sin x cos x dx 32 x sin x 33 cos x dx x sin x cos 36 dx xdx Tính các tích phân sau (dạng 5): 2 sin x dx sin x cos x 37 2 cos x sin x cos x dx sin x sin6 x cos6 x cos x sin x cos x dx 38 41 sin x sin x cos4 x dx 44 2 cos x.sin xdx cos x sin6 x cos6 x 47 1 e ex x e x dx dx x sin x 0 cos2 xdx cos x dx (n Z+ ) n n cos x sin x sin x dx sin x cos x dx x sin xdx sin x cos4 x dx 45 2sin2 x.sin xdx x cosx dx sin x 15 Lop12.net 48 1 e e x x e x dx sin x dx cos x /2 cos xdx 2x /2 n cos4 x 42 Luyện tập x sin x cos xdx sin x sin x cos x dx 2 39 sin x x sin x dx 31 2 21 0 46 dx 2 43 sin x cos x 28 ln(1 tan x )dx 40 34 sin x 20 Tính các tích phân sau (dạng 4): 25 n x sin x 1 x dx (16) x cos x sin xdx 10 11 sin x 0 sin x cos x dx cos x 0 sin x cos x dx 12 4 sin x 13 dx sin x cos x 0 sin x cos x 14 dx sin x cos x ln cos x cos x dx 17 sin x cos x 20 x sin x dx x cos sin x dx 2 5x 1 sin x 1cos x dx 15 16 22 ln(x x ) dx 2 19 18 cos x sin x dx 21 ln 1 tgx dx III/ Dieän tích hình phaúng: 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) b :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= là : S f ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục ox : f(x)=0 (1) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình (1) vô nghiệm (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S f ( x ) dx a TH2: Nếu phương trình (1) có nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S f ( x ) dx a x1 b f ( x ) dx a f ( x ) dx x1 TH3: Nếu phương trình (1) có nghiệm là x1; x2 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: S x1 f ( x ) dx a x1 f ( x ) dx x2 x2 f ( x ) dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình b phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : S f ( x ) g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S [ f ( x ) g ( x )]dx a 16 Lop12.net (17) TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 b S f ( x) g ( x ) dx a b [ f ( x) g ( x )]dx [ f ( x) a g ( x )]dx x1 TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 S f ( x) g ( x ) dx a x1 f ( x) x2 g ( x ) dx x2 f ( x) g ( x ) dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp Ví du1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ] và trục hoành Giải : Ta có : sinx = có nghiệm x= 0;2 diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 2 sin x dx sin xdx 0 2 sin xdx = cos x cos x =4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Giải Ph tr hđgd : x2 –2 x = x2 + Û 2x +1= Û x = -1/2 Do đó : S = ò ( x - x ) - ( x + 1) dx = 2 -1 -1/ = ò -1 (2 x + 1) dx + ò -1/ -1/ ò -1 [( x - x ) - ( x + 1)]dx + 2 (2 x + 1) dx = ( x + x ) -1 ò -1/ [( x - x ) - ( x + 1)]dx 25 13 + ( x + x ) -1 = + = 4 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (P): y2 = x , và đường thẳng(d): 2x+y-4 = y2 4y Giải: Ta có (P): y2 = x x = và (d): 2x+y-4 = x= y y2 y Phương trình tung độ giao điểm (P) và đường thẳng (d) là: = y diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ( 4 y y2 )dy (2 4 y y2 )dy (2 y y2 y3 ) 12 4 Bài tập tự giải: Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = và đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = Bài : Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) và 0x có diện tích phía trên 0x và phía 0x Bài 3: Cho (p) : y = x2+ và đường thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt x x Bài 4: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn y o x Cã hai phÇn y diÖn tÝch b»ng Bµi 5: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn 17 Lop12.net (18) Bµi 6: Tính diện tích các hình phẳng sau: 3x y x y x y x 1) (H1): y 2) (H2) : 3) (H ): 2 x y y 2 x x ln x y x y 4) (H4): 5) (H5): x y x y 0; x e; x y x x y y y x 2x 6) y x 4x y 2y x 9) x y (C ) : y e x 12) (d ) : y () : x x2 y 16 y 1 x2 y x 7) 8) x y y y 2x y x; y 10) 11) x y x, y 0, y y 0; x e y x3 y 2x 13) 14) y y x 1 x 2; x y ln x, y 15) x e , x e 17 ): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6) 18) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt 2/ Dạng toán 3: Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các b đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục ox là: V f ( x ) dx a Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2 R x3 Thể tích khối cầu là : V= R x dx = R x R R = R 2 R R3 = R (đvtt) 3 Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giải: Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là : S ( x x )2 dx ( x 4 x x )dx x 18 x x ) 1 = (đvtt) 5 Bài tập đề nghị: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh trục Ox: Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn các đường : y x; y x; y 18 Lop12.net = ( (19) Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)2 và y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y x2; y x2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x2 Bài 5: Cho miền D giới hạn các đường : y ; y x 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn các đường y = 2x2 và y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x Bài 8: Cho miền D giới hạn các đường y = x e ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn các đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn các đường y = x ln(1 x ) ; y = ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002-2012 (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn các đường Đáp số (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn các đường Đáp số Tính caùc tích phaân sau: ln ) (Dự bị 1, 2002): (Dự bị 2, 2002): (Đáp số 1) (Dự bị 4, 2002): (Đáp số ) 4e (Dự bị 5, 2002): (Khoái A, 2003:) (Đáp số: ln ) (Khối A, Dự bị 1, 2003): (Đáp số: ln ) (Khối A, Dự bị 2, 2003): (Đáp số: Đáp số: (Đáp số: 19 Lop12.net 12 ) 91 ) 15 (20) 10 (Khoái B, 2003): (Đáp số: ln ) 11 (Khối B, Dự bị 1, 2003): (Đáp số: 20 ) 12 (Khối B, Dự bị 2, 2003) Cho hàm số Tìm a vaø b cho a 8, b vaø Đáp số: 13 (Khoái D, 2003) ÑS 14 (Dự bị 1, Khối D, 2003) ÑS 15 (Dự bị 2, Khối D, 2003) 16 (Khoái B, 2004) 17 (Khoái A, 2004) 18 (Khoái D, 2004) (Đáp số: 3ln3 2) 19 (Dự bị 1, 2004) ÑS 20 (Dự bị 2, 2004) 21 (Dự bị 3, 2004) ÑS 22 (Dự bị 4, 2004) ÑS ÑS 116 ) 135 11 (Đáp số: ln ) (Đáp số: ÑS 23 (Dự bị 5, 2004) ÑS 24 (A, 2005) Ñ.S: 25 (B, 2005) Ñ.S: 26 (D, 2005) Ñ.S: 27 (Dự bị 1, 2005) ÑS 28 (Dự bị 2, 2005) ÑS 29 (Dự bị 3, 2005) 30 (Dự bị 4, 2005) ÑS ÑS 20 Lop12.net (21)