Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta [r]
(1)KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận - Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho nguời học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’ - Mục đích việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp học sinh : Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả tự học, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập; làm cho ‘‘việc học’’ là quá trình kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh tự hình thành hiểu biết, lực và phẩm chất Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm chân lí Chú trọng hình thành các lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp và kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học - Làm nào để đạt các mục đích trên ? Để trả lời câu hỏi này, trước tiên giáo viên trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học các học cho phù hợp với kiểu bài, đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh hướng tư chủ động, sáng tạo Vấn đề nêu trên là khó khăn với không ít giáo viên ngược lại, giải điều này là góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách và phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức các môn học II Cơ sở thực tế - Trong các môn học trường THCS thì môn Toán là môn quan trọng có thể nói là khó Ở trường THCS, học sinh học ba phân môn toán học, đó là Số học, Đại số và Hình học Trong ba phân môn đó thì học sinh thường gặp khó khăn việc giải các bài toán Hình học Lop7.net (2) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 - Trong tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp số bài toán mà không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp - Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là sáng tạo trong giải toán, vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt mục đích là tạo điều kiện để giải bài toán cách ngắn gọn không phải là công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình và các bài toán dựng hình bản, nhiều người giáo viên đã tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu vì lại phải vẽ vậy, học sinh hỏi giáo viên: Tại cô (thầy) lại nghĩ cách vẽ đường phụ vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: vẽ thêm giải bài toán? Gặp phải tình vậy, thật người giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu không cao, học sinh không nghĩ cách làm gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải vấn đề này cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán và bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho các em sở việc vẽ thêm đường phụ và số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó các em tiếp xúc với bài toán, các em có thể chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho bài toán, hiệu cao - Đã có nhiều tài liệu, chuyên đề, sáng kiến viết việc kẻ thêm đường phụ hình học 7, tác giả đó nêu số cách nêu chưa đầy đủ và không rõ nào thì kẻ thêm đường phụ Vì vậy, tôi viết sáng kiến “Vẽ đường phụ để giải số bài toán Hình học 7” nhằm giải các vấn đề đặt Lop7.net (3) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I THỰC TRẠNG - Trong quá trình dạy học sinh giải bài toán Hình học lớp 7, tôi thấy học sinh thường gặp số khó khăn sau đây : Khó khăn việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ Chưa biết suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải bài toán Sau đã vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải bài toán mà không tìm hiểu xem người ta lại kẻ thêm đường phụ - Ta đã biết hai tam giác thì suy các cặp cạnh tương ứng nhau, các cặp góc tương ứng Đó chính là lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc nhau) ta thường làm theo cách gồm các bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng Tuy nhiên thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cho đề bài mà nhiều phải tạo thêm các yếu tố phụ xuất các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì yêu cầu đặt là làm nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, hướng dẫn học sinh thực giải toán hiệu II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ Vẽ giao điểm hai đường thẳng a) Mục đích Vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng nhằm làm xuất tam giác có mối liên hệ góc và cạnh với các tam giác đã có hình vẽ b) Sử dụng nào? Ta thường dùng cách vẽ này hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, … ) thường chưa ít có mối liên hệ độ dài, góc Lop7.net (4) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 > 900 , AB < AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, Ví dụ Cho ∆ABC có A vẽ tia Bx vuông góc với BC; trên tia đó lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tia By vuông góc với BA; trên tia đó lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh DA ⊥ EC Phân tích : - Để chứng minh DA ⊥ EC, ta có thể sử dụng tính chất từ song song và song song đến vuông góc, khó tìm đường thẳng thứ ba trên hình vẽ có quan hệ vuông góc và song song với DA và EC (H 1a) x D x D A A - Ta có thể nghĩ đến việc chứng B minh góc tạo hai đường thẳng 900 Như cần phải vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng này Kéo dài DA cắt BC và EC theo thứ tự H và K = 900 (H 1b) Ta phải chứng minh HKC B C E a) E y Hình H b) C K y 1 = C nên để chứng - Ta dễ dàng chứng minh ∆ABD = ∆EBC (c.g.c), suy D = 900 ) = 900 ta chứng minh HKC = HBD (vì HBD minh HKC = HBD ta có thể so sánh các cặp góc hai tam giác là - Để chứng minh HKC ∆HBD và ∆HKC Rõ ràng hai tam giác này đã có hai cặp góc nên ta dễ dàng tìm lời giải bài toán Giải : (H 1b) Gọi H, K theo thứ tự là giao điểm DA với BC, EC Xét ∆ABD và ∆EBC có : AB = BE (gt) 1 = B (cùng 900 − B 2) B AD = BC (gt) Suy ∆ABD = ∆EBC (c.g.c) 1 = C 1 Do đó D 1 = C (cmt), H 1 = H (đối đỉnh) nên HBD = HKC Xét ∆HBD và ∆HKC có D = 900 (vì HBD = 900 ) hay HK ⊥ EC Suy HKC Vậy DA ⊥ EC (đpcm) Nhận xét : Lop7.net (5) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Rõ ràng ta không vẽ thêm giao điểm thì khó tìm lời giải bài toán Việc vẽ thêm giao điểm các đường thẳng làm xuất mối liên hệ các góc hai tam giác và việc chứng minh bài toán trở nên đơn giản nhiều Ví dụ Cho O là trung điểm đoạn thẳng AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB Gọi C là điểm thuộc tia Ax Đường vuông góc với OC O cắt tia By D Chứng minh CD = AC + BD Phân tích : - Để chứng minh CD = AC + BD (H 2a) ta cần tìm đoạn thẳng trung gian để so sánh Từ đây ta thấy có ít hai hướng giải : Một là, trên CD lấy điểm I cho CI = CA (H 2b) Như ta cần phải chứng minh DI = DB Nhưng để chứng minh điều này lại không đơn giản y D x C A x y D I B A a) C C O x y D O B b) Hình A O c) B E Hai là, kéo dài CO cắt DB E (H 2c) Dễ dàng chứng minh AC = BE và CD = DE Từ đó ta suy điều phải chứng minh Giải : (H 2c) Gọi E là giao điểm CO và DB Xét ∆OAC và ∆OBE có : = OBD = 900 OAC OA = OB (gt) 1 = O (đối đỉnh) O Nên ∆OAC = ∆OBE (g.c.g), suy AC = BE và OC = OE Xét ∆OCD và ∆OED có : OC = OE (cmt) = DOE = 900 DOC OD là cạnh chung Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy CD = DE Mà DE = BD + BE = BD + AC Lop7.net (6) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Vậy CD = AC + BD Nhận xét : Nhờ vẽ thêm giao điểm ta đã làm xuất các tam giác nhau, từ đó suy các đoạn thẳng Hơn nữa, xuất đoạn thẳng trung gian là DE làm cho việc chứng minh trở nên đơn giản nhiều Kẻ thêm đoạn thẳng a) Mục đích Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác b) Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng Kẻ thêm đoạn thẳng cách nối hai điểm đã có hình vẽ Ví dụ Cho hình vẽ 1, đó AB // CD, AD // BC Chứng minh : AB = CD, AD = BC A A B B Phân tích : - Để chứng minh AB = CD, AC = BD ta cần tìm hai tam giác chứa các cạnh này Nhưng D D C C a) b) trên hình vẽ lại không có hai tam giác Hình (H 3a) Như vậy, ta cần tạo hai tam giác chứa các cặp cạnh trên - Đường phụ cần vẽ là đoạn thẳng nối A với C nối B với D (H 3b) Giải : (H 3b) Nối A với C Xét ∆ADC và ∆CBA có : 1 = C (so le trong, AB // CD), A AC chung, 2 = C (so le trong, AD // BC) A nên ∆ADC = ∆CBA (g – c - g) Suy AB = CD, AD = BC Nhận xét : - Rõ ràng hình vẽ không có yếu tố nào để chúng ta sử dụng Việc nối A với C (hoặc B với D) làm xuất hai tam giác (∆ADC và ∆CBA) với các cặp góc Lop7.net (7) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 1 = C 1 , A 2 = C ) và cạnh chung AC Từ đó ta có hai tam giác và suy ( A các cạnh tương ứng - Đây là bài toán không khó học sinh suy luận không tốt thì khó tìm đường phụ để giải bài toán Kẻ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng khác Chúng ta thường dùng các cách sau : - Lấy trung điểm đoạn thẳng ; - Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng đã có trên hình vẽ Ví dụ Cho ∆ABC Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm AB, AC CMR : a) DE // BC ; b) DE = BC Phân tích : - Để chứng minh DE // BC ta cần chứng minh cặp góc đồng vị cặp góc 1 = B vì cặp góc này vị trí so le Ta có thể nghĩ đến việc chứng minh D đồng vị (H 4a) A D A E B C a) - Từ DE = D A E B I b) Hình D C F E B C c) BC ⇔ BC = 2DE Ta có thể tạo đoạn thẳng nửa BC 2DE - Để tạo đoạn thẳng nửa BC, ta có thể lấy trung điểm I BC (H 4b) Nhưng đó các tam giác hình vẽ ít có mối liên hệ cạnh và góc 1 = B và DE = BC , ta nghĩ tới việc chứng minh - Kết hợp với việc chứng minh D hai tam giác Nhưng không thể tìm hai tam giác hình Do đó ta có thể nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ cách tạo đoạn thẳng DE - Để tạo đoạn thẳng DE, ta có thể lấy điểm F trên tia đối tia ED cho DE = EF (H 4c) Kết hợp giả thiết EA = EC, ta thấy hai tam giác EAF và ECD (c.g.c) Từ đó ta có thể tìm lời giải bài toán Lop7.net (8) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Giải : (H 4c) Trên tia đối tia tia ED lấy điểm F cho ED = EF Xét ∆EAF và ∆ECD có : EA = EC (gt) = CED (đối đỉnh), AEF ED = EF (cách dựng) 1 = C 1 nên ∆EAF = ∆ECD (c.g.c) ⇒ AF = CD, A và C vị trí so le nên AF // CD Hai góc A Xét ∆ADF và ∆DBC có : AD = DB (gt) = BDC (đồng vị, AF // CD) DAF AF = CD (chứng minh trên) 1 = B nên ∆ADF = ∆DBC (c.g.c) DF = BC, D và B vị trí đồng vị nên DE // BC a) Hai góc D b) Ta có DF = 2DE (cách dựng), BC = DF (chứng minh trên) nên DE = BC Nhận xét : - Ta có thể lấy điểm F trên tia đối tia DE cho DE = DF Khi đó việc chứng minh hoàn toàn tương tư trên - Ta vẽ thêm đoạn thẳng EF DE trên tia đối tia ED (hoặc DE) Câu hỏi đặt là lại phải vẽ mà không vẽ theo kiểu khác Vì vẽ thì chúng ta sử dụng giả thiết là DA = DB và EA = EC Rõ ràng việc làm này có lợi vẽ theo kiểu khác Ví dụ Giải lại Ví dụ cách hai đoạn thẳng Giải : (H 5) Trên tia đối tia BD lấy điểm E cho BE = AC Xét ∆OAC và ∆OBE có : OA = OB (gt) = OBD = 900 OAC AC = BE (cách dựng) 1 = O 2 Nên ∆OAC = ∆OBE (c.g.c), suy OC = OE và O =O + BOC =O ` + BOC = AOB = 1800 Ta có COE = COE − COD = 1800 − 900 = 900 ⇒ DOE Lop7.net y D x C A B Hình E O (9) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Xét ∆OCD và ∆OED có : = DOC = 900 , OD là cạnh chung OC = OE (chứng minh trên), DOE Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy CD = DE Mà DE = BD + BE và BE = AC Vậy CD = AC + BD Kẻ thêm đường phân giác a) Mục đích Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hai góc nhau, hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác đều, … b) Sử dụng nào? Ta thường dùng cách vẽ này muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, … ) vào hai tam giác có mối liên hệ góc, cạnh = C Chứng minh AB = AC Ví dụ Cho ∆ABC có B Phân tích : A - Để chứng minh AB = AC, ta phải chứng minh hai tam giác chứa hai cặp cạnh này Nhưng trên hình vẽ không có hai tam giác (H 6a) Như vậy, ta có thể nghĩ đến việc tạo hai tam giác có chứa hai cạnh AB và AC A 12 B - Đường phụ cần vẽ là tia phân giác góc A (H 6b) a) C B Hình b) M C Giải : (H 6) Kẻ phân giác góc A, cắt BC M =C (gt), A 1 = A (cách dựng) nên AMB = AMC ∆AMB và ∆AMC có B Xét ∆AMB và ∆AMC có : 1 = A (cách dựng) A AM chung = AMC (chứng minh trên) AMB nên ∆AMB = ∆AMC (g.c.g) ⇒ AB = AC Nhận xét : 1 = A ) và cạnh - Vẽ tia phân giác AM là ta đã tạo cặp góc ( A chung (AM) hai tam giác (∆AMB và ∆AMC) Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm lời giải bài toán - Có hai cách vẽ khác : dựng AM ⊥ BC dựng M là trung điểm BC Lop7.net 10 (10) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác Ví dụ Cho ∆ABC có A góc C cắt AB E Chứng minh BC = BE + CD Phân tích : - Gọi I là giao điểm BD và CE (H 7a), ta dễ dàng tính : = 1200 , BIE = CID = 600 BIC - Để chứng minh BC = BE + CD ta thấy có ít hai hướng giải sau : + Trên cạnh BC lấy điểm M cho BE = BM (H 7b) Từ đó cần chứng minh CD = CM = 1200 , BIE = CID = 600 nên gọi M là giao điểm tia phân giác + Vì BIC với cạnh BC thì BIM = CIM = 600 , suy BIE = CID Từ đó ta dễ dàng = BIM, CIM BIC tìm lời giải Ở đây, tôi trình bày cách thứ hai A E A D A D E I I a) C B I B D E 1 2 M b) C B 2 M c) C Hình Giải : (H 7c) +C = 1800 − 600 = 1200 Gọi I là giao điểm BD và CE Ta có B 2 + C = 1200 : = 600 Suy B = 1800 − (B 2 + C ) = 600 và I1 = I = 600 (tính chất góc ngoài tam giác) ⇒ BIC Kẻ tia phân giác góc BIC, cắt BC D Suy I = I3 = 600 Xét ∆BIE và ∆BID có : 1 = B (gt), BI là cạnh chung, I1 = I = 600 B Do đó ∆BIE = ∆BIM (g.c.g), suy BE = BM Chứng minh tương tự, ∆CID = ∆CIM (g.c.g) Suy CD = CM Từ (1) và (2) suy BC = BM + CM = BE + CD (1) (2) Nhận xét : = 1200 , BIE = CID = 600 nên việc kẻ tia phân giác góc BIC ta thấy xuất Vì BIC các cặp góc Từ đó xuất các tam giác Lop7.net 11 (11) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Kẻ thêm đường thẳng song song a) Mục đích Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc so le nhau, hai góc đồng vị nhau, hai góc cùng phía bù và đặc biệt là hai tam giác b) Sử dụng nào? Ta thường dùng cách này đã có các đường thẳng song song hình vẽ =A +B Chứng minh Ax // By Ví dụ Cho hình 8a, đó ACB Phân tích : - Để chứng minh Ax // By, ta phải tìm cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị hai góc cùng phía bù Nhưng trên hình vẽ ta thấy không có các cặp góc (H 8a) Ta có thể nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ =A +B , ta có thể kẻ Cz // Ax (H 8b) Từ đó tìm lời giải - Từ giả thiết ACB bài toán x A z C B a) y x A B b) x A C C y B c) z y x A z C B d) D y Hình Giải : Kẻ tia Cz // Ax (H 8b) =C (so le trong, Ax // Cz) ⇒ ACB =A +B =C 1 + B Ta có A =C 1 + C 2 Mặt khác ACB =C 2 Từ (2) và (3) suy B vị trí so le nên By // Cz và C Hai góc B (1) (2) (3) (4) Từ (1) và (4) suy Ax // By (đpcm) Nhận xét : - Việc kẻ tia Cz // Ax, ta đã làm xuất các cặp góc so le - Ta có thể kẻ tia Cz cùng hướng với tia Ax (và By) (H 8c), lời giải phức tạp - Ta có thể kéo dài AC cắt tia By D (H 8d) áp dụng định lí tổng ba góc và góc ngoài tam giác Ví dụ Cho ∆ABC Gọi D là trung điểm AB Kẻ DE // BC (E ∈ AC) Chứng minh EA = EC Lop7.net 12 (12) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Phân tích : - Để chứng minh EA = EC, ta phải tìm hai tam giác có chứa hai cạnh đó Nhìn trên hình vẽ ta thấy không thể tìm hai tam giác (H 9a) Ta có thể nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ Nhưng kẻ thêm đường nào cho hợp lí ? A A E D D A 1 B a) C B Hình D1 F E F b) 2 E C B c) C - Căn vào giả thiết, DE // BC, DA = DB, ta kẻ thêm DF // AC (F ∈ BC) (H 9b) Dễ chứng minh ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒ AE = DF - Ta cần chứng minh DE = CE Theo giả thiết và theo cách dựng ta có DE // FC, DF // EC Do đó DF = FC (xem Ví dụ 1) Từ đó ta có điều phải chứng minh Giải : (H 9b) Kẻ DF // AC (F ∈ BC) Nối E với F Xét ∆ADE và ∆DBF có : =D (đồng vị, DF // AC) A AD = BD (gt) 1 = B (đồng vị, DE // BC) D nên ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒ EA = DF (1) Xét ∆DEF và ∆CFE có : = F (so le trong, DE // BC) E EF chung, (so le trong, DE // BC) F = E nên ∆DEF = ∆CFE (c.g.c) ⇒ DF = EC (2) Từ (1) và (2) suy EA = EC (đpcm) Nhận xét : - Vì DE // BC nên ta nghĩ đến việc tạo các cặp góc so le và cặp góc đồng vị Từ đó xuất việc kẻ DF // AC - Có thể kẻ EF // AB kẻ đường thẳng qua B và song song với AC, cắt DE F Hoặc trên tia đối tia DE lấy điểm F cho DE = DF Từ đó ta tìm lời giải bài toán Lop7.net 13 (13) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Kẻ thêm đường vuông góc a) Mục đích Kẻ đường vuông góc nhằm tạo tam giác vuông tạo hai tam giác vuông b) Sử dụng nào? Ta thường vẽ đường vuông góc hình vẽ có các góc với số đo cụ thể (chẳng hạn góc 30 , 600, 450, …), có đường phân giác, … Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo nửa tam giác Ta thường dùng cách này bài toán cho góc có số đo là 300, 600, 1200, 1500 - Nếu cho góc 300 (hoặc 600), ta kẻ đường vuông góc nhằm tạo tam giác vuông có góc 300 600 - Nếu cho góc 1200 (hoặc góc 1500), ta thường tính góc kề bù với góc đó kẻ đường vuông góc nhằm tạo tam giác vuông có chứa góc kề bù = 1200 , AB = 10 cm, AC = 15 cm Tính BC Ví dụ 10 Cho ∆ABC có A Phân tích: - Dễ thấy: = 1800 − 1200 = 600 BAx (H 10a) nên ta nghĩ đến việc kẻ đường vuông góc với AC nhằm tạo “nửa tam giác đều” B B 10 10 1200 x A 1200 15 a) C H Hình 10 A 15 b) C - Kẻ BH ⊥ Ax (H 10b), = 600 nên AH = AB:2 = (cm) Từ đó ta dễ dàng tìm lời giải ∆ABH vuông H có BAH Giải : (H 10b) > 900 nên A nằm H và C Kẻ BH ⊥ AC Vì BAC = 1800 − 1200 = 600 Tam giác vuông AHC (vuông H) có BAH = 600 Ta có BAH AB 10 nên AH = = = (cm) 2 Vì A nằm H và C nên HC = AH + AC = + 15 = 20 (cm) Các tam giác BHA và BHC cùng vuông H nên áp dụng định lí Pitago, ta có : BH2 = AB2 – AH2 = 102 – 52 = 75 BC2 = BH2 + HC2 = 75 + 202 = 475 ⇒ BC = 475 (cm) b) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo tam giác vuông cân Ta thường dùng cách này bài toán cho góc có số đo là 450, 1350 Lop7.net 14 (14) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 = 450 Tính AC Ví dụ 11 Cho ∆ABC có AB = 16 cm, BC = 20 cm, B Phân tích: = 450 nên ta có thể - Theo giả thiết AB = 16 cm, B nghĩ đến việc tạo tam giác vuông cân có AB là cạnh huyền - Kẻ AH ⊥ BC, ta thấy ∆AHB vuông cân H Từ đó ta dễ dàng tìm lời giải A B Giải : (H 11) = 450 nên là tam Kẻ AH ⊥ BC ∆AHB vuông H có B giác vuông cân H ⇒ HA = HB 450 C H Hình 11 Áp dụng định lí Pitago cho các tam giác vuông AHB và AHC, ta có : HA2 + HB2 = AB2 hay 2HA2 = 2HB2 = ( 16 ) = 2.162 ⇒ HA = HB = 16 (cm) Vì BH < BC (16 < 20) nên H nằm B và C Suy HC = BC – HB = 20 – 16 = (cm) Áp dụng định lí Pitago cho ∠AHC, ta có : AC2 = HA2 + HC2 = 162 + 42 = 272 ⇒ AC = Vậy AC ≈ 16,49 (cm) 272 ≈ 16,49 (cm) c) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo tam giác vuông Ví dụ 12 Cho hình 12a Biết AB = cm, AD = cm, CD = 11 cm Tính BC Phân tích: C C B - Rõ ràng theo hình 12a không thể tính BC ta không vẽ đường phụ Nhưng vẽ nào và xuất phất từ đâu? - Căn vào giả thiết, thì A = D = 900 , từ đó ta kẻ đường vuông góc từ B (hoặc C) là hợp lí B H 11 11 A a) D A Hình 12 D b) Giải : (H 12b) Kẻ BH ⊥ CD (H ∈ CD) Ta có : AB // DH (cùng ⊥ AD) Xét ∆ABD và ∆HAD có : = BHD = 900 , BD chung, ABD = BDH (so le trong, AB // DH) A nên ∆ABD = ∆HAD (cạnh huyền – góc nhọn) Lop7.net 15 (15) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 ⇒ AB = DH = cm, AD = BH = cm Vì H nằm C và D nên CH = CD – DH = 11 – = cm Áp dụng định lí Pitago cho ∆BHC (vuông H), ta có : BC2 = BH2 + CH2 = 82 + 62 = 102 ⇒ BC = 10 cm d) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo hai tam giác vuông Ví dụ 13 Cho tam giác ABC Dựng điểm D nằm khác phía với điểm C AB cho AD ⊥ AB, AD = AB; dựng điểm E nằm khác phía với điểm B AC cho AE ⊥ AC, AE = AC Kẻ đường thẳng d qua A, vuông góc với DE H và cắt BC I Chứng minh I là trung điểm BC Phân tích: (H 13a) - Ta nhận thấy trên hình vẽ có các cặp góc : = BAI (cùng phụ HDA với DAH) = CAI (cùng phụ HEA với EAH) Hơn nữa, lại có AD = AB (gt), AE = AC (gt) E E H H D D A A F B a) I C B Hình 13 b) C I G - Điều ta nghĩ đến đây là làm tạo các tam giác vuông với các tam giác vuông AHD và AHE? Kết hợp với kết trên, ta thấy từ B và C kẻ đường vuông góc đến đường thẳng AI là hợp lí Giải : (Hình 13b) Gọi F và G là chân đường vuông góc kẻ từ B và C tới d Ta có : + HAD = 900 +) ∆AHD vuông H nên D (1) + HAD = 1800 − BAD = 1800 − 900 = 900 (2) +) FAB = FAB Từ (1) và (2) ⇒ D Xét ∆HAD và ∆GBA có : = AFB = 900 AHD AD = AB (giả thiết) = GAB (chứng minh trên) D nên ∆HAD = ∆GBA (cạnh huyền – góc nhọn) Lop7.net 16 (16) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 ⇒ AH = BF (3) Chứng minh tương tự, ta có ∆HAE = ∆GBA (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ AH = CG (4) Từ (3) và (4) suy : BF = CG Xét ∆IFB và ∆IGC có : = IGC = 900 IFB BF = CG (chứng minh trên) = ICG (vì IBF = 900 − BIF , ICG = 900 − CIG , mà CIG = BIF (đối đỉnh)) IBF nên ∆IFB = ∆IGC (g.c.g) ⇒ IB = IC Vậy I là trung điểm BC Phương pháp tam giác a) Mục đích Đây là phương pháp đặc biệt, đó là tạo thêm vào hình vẽ các cạnh nhau, các góc giúp cho việc giải toán thuận lợi Để tạo thêm vào hình vẽ các cạnh nhau, các góc ta có thể vẽ tam giác cân, và đặc biệt là tam giác b) Sử dụng nào? Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác hình vẽ đã có tam giác cân với góc có số đo cho trước Đối với các bài tập tính số đo góc, trước tiên ta cần chú ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định : - Tam giác cân có góc xác định - Tam giác - Tam giác vuông cân - Tam giác vuông có góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông nửa cạnh huyền Sau đó ta nghĩ đến việc tính số đo góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là với mối liên hệ tam giác rút góc tương ứng chúng nhau) = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = Ví dụ 14 Cho ∆ABC cân A, A BC Tính ACD Lop7.net 17 (17) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Phân tích: (H 14a) A A 200 A D D D K E B a) C B b) Hình 14 C B c) C =C = 800 = 600 + 200 = 600 + A Dễ tính : B Ta có thể nghĩ đến việc dựng tam giác Chẳng hạn dựng tam giác BCE Khi đó = 800 − 600 = 200 ACE Dễ chứng minh = EAC +) ∆ADC = ∆CEA (c.g.c) ⇒ ACD = EAC +) ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒ EAB = EAC = EAB = BAC = 100 Từ đó : ACD Giải : 1800 − 200 1800 − A Cách (h 14a) ∆ABC cân A nên ABC = ACB = = = 800 2 Dựng điểm E thuộc miền ∆ABC cho ∆BEC Hiển nhiên BC = BE = EC = CDE = BEC = 600 Suy ACE = ACB − BCE = 800 − 600 = 200 và BCE Xét ∆ADC và ∆CEA có : = CAD (= 200), AC chung AD = EC (= BC), ACE = EAC nên ∆ADC và ∆CEA (c.g.c) ⇒ ACD (1) Xét ∆AEB và ∆AEC có : AB = AC (vì ∆ABC cân A), BE = CE (vì ∆BEC đều), AE chung BAC nên ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒ EAB = EAC ⇒ EAB = EAC = (2) = 100 Lop7.net 18 (18) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 = 100 Từ (1) và (2) suy ACD Cách Dựng điểm K nằm khác phía với B AC cho ∆AKC Khi đó AK = KC = 1 = C = AKC = 600 ; DAK = 200 + 600 = 800 AC và A Xét ∆AKD và ∆BAC có : = ABC (= 800), AD = BC (gt) AK = AB ( = AC), KAD = BAC = 200 nên ∆AKD = ∆BAC (c.g.c) ⇒ KD = AC và K = AKC −K = 600 − 200 = 400 Do đó : K Ta lại có KC = KD (= AC) ⇒∆KCD cân K 1800 − 400 1800 − K ⇒ KCD = KDC = = = 700 2 = KCD − KCA = 700 − 600 = 100 Vậy ACD Nhận xét : - So với cách 1, cách dài và phức tạp - Có thể dựng AED (E và C nằm khác phía AB) (Hình 15a); dựng ABE (E và C nằm cùng phía AB) (Hình 15b) A A E D D E B a) C B b) C Hình 15 Ví dụ 15 Cho ∆ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho = ECA = 150 Tính AEB? EAC Phân tích: (H 16a) = 900 − 150 = 750 = 600 + 150 - Ta có : BAE Lop7.net 19 (19) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 - Từ đây ta có thể nghĩ đến việc tạo tam giác cạnh AE (H 16b) cạnh AB (H 16c) B B B D D E A a) E E C A b) Hình 16 C A c) C Giải : = BAC − EAC = 900 − 150 = 750 Ta có : BAE = ACB = 450 ∆ABC vuông cân A nên ABC Cách (H 16b) < 450 Vì điểm E nằm góc ABC nên ABE = 1800 − BAE − ABE = 1050 − ABE > 600 Suy AEB Dựng điểm D nằm ∆ABE cho ∆ADE Khi đó AD = AE = DE và = DAE = 600 ADE = AED = 900 − 150 − 600 = 150 Do đó BAD Xét ∆DAB và ∆EAC có : = CAE (= 150 ) , AB = AC (gt) AD = AE (vì ∆ADE đều), BAD = ACE = 150 nên ∆DAB = ∆EAC (c.g.c) ⇒ BD = CE và ABD = BAD = 150 ) nên : ∆ABD cân D (vì ABD = 1800 − 2ABD = 1800 − 2.150 = 1500 BDA = 3600 − (BDA + BDE) = 3600 − (1500 + 600 ) = 1500 Suy : BDE Ta có ∆DBA = ∆DAE (c.g.c) vì : = BDE = 1500 , BD chung DA = DE (vì ∆ADE đều), BDA = BED = 150 nên BAD Lop7.net 20 (20) KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 = AED + BED = 600 + 150 = 750 Vậy AEB Cách (H 16c) Dựng điểm D cho ∆ABE (D và C nằm cùng phía đường thẳng AB Suy ABD = 600 và AB = AD = BD = 900 − (ABD + EAC) = 900 − (600 + 150 ) = 150 Ta có EAD = EAD = 150 , AC = AD (cùng AB) Xét ∆AEC và ∆AED có : AE chung, EAC = AEC = 1500 Nên ∆AEC = ∆AED (c.g.c) ⇒ EC = ED và AED Mà EC = EA (do ∆AEC cân E) ⇒ EA = ED Xét ∆BEA và ∆BED có BA = BD, EA = ED (chứng minh trên), BE chung 1500 AED Nên ∆BEA = ∆BED (c.c.c) ⇒ AEB = DEB = = = 750 2 Nhận xét : - Cách dài và khó hiểu cách - Việc tạo tam giác nhằm tạo góc và cạnh BÀI TẬP Kẻ thêm đường vuông góc Tính độ dài x các hình vẽ sau : B B B x A 15 300 1200 A C C x a) Tính độ dài x hình 18 : A 600 C x Hình 17 b) A 63 c) B A x 10 6 B 45 x 135 C B a) 18 x C A x C b) Hình 18 Lop7.net Hình 19 21 (21)