BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Quảng Nam Trường THPT Lê Q Đơn BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANG THÀNH Tổ : Toán - Tin Trường THPT Lê Q Đơn Trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn nhiều học sinh u thích say mê, nói đến phân mơn hình học lại mang nhiều khó khăn trở ngại cho khơng học sinh, trí ta dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt hình học khơng gian tổng hợp Đây phần có cấu trúc thi cao đẳng đại học thường xuyên xuất đề thi tuyển chọn học sinh giỏi kiến thức phần yêu cầu học sinh phải tư cao,khả phân tích tổng hợp tưởng tượng mà chủ điểm quan trọng hình học khơng gian tổng hợp tính thể tích khối đa diện Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn trở ngại ngày yêu thích học tốn u cầu thầy phải có nhiều tâm huyết giảng dạy nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy tơi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần mong chia sẻ thầy cô đồng nghiệp người yêu thích mơn tốn I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CƠNG THỨC Việc áp dụng cơng thức thơng thường yêu cầu a) xác định đường cao b) tính độ dài đường cao diện tích mặt đáy Để xác định đường cao ta lưu ý • Hình chóp có chân đường cao trùng với tâm đáy • Hình chóp có cạnh bên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy • Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp mặt đáy • Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt phẳng đáy • Hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy đường cao nằm giao tuyến hai mp Để tính độ dài đường cao diện tích mặt đáy cần lưu ý • Các hệ thức lượng tam giác đặc biệt hệ thức lượng tam giác vng • Các khái niệm góc, khoảng cách cách xác định Sau tập Bài1 Chóp tam giác SABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600.Hãy tính thể tích khối chóp Bài giải Gọi D trung điểm BC E tâm đáy S A B E D C Khi AE= AD= a 3 Ta có ∠ SAD=600 nên SE=AE.tan600=a a2 SABC= a3 Do VSABC= SE.SABC= 12 BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy góc 600.Tính thể tích khối chóp Bài giải Ta có hình chiếu đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy Ta có p= AB + BC + CA =9a Nên SABC= p( p − a)( p − b)( p − c) =6a2 S mặt khác SABC=pr ⇒ r= p = a SD=KDtan600 = r.tan600= 2a ∆ SDK có Do VSABC= SD.SABC=8a3 S B A D k C Bài Cho hình chóp SABC có cạnh bên hợp với đáy góc 600, đáy tam giác cân AB=AC=a ∠ BAC=1200 Tính thể tích khối chóp Bài giải S A C O B O Gọi D trung BC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Có SO đường cao SABC=1/2.AB.AC.sin1200= a2 BC=2BD=2.ABsin600=a OA=R= a.b.c =a ⇒ SO=OA.tan600=a 4s Do VSABC= SO.SABC=1/4a3 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a,SA=a, SB=a mpSAB vng góc với mặt đáy Gọi M,N trung điểm AB,BC Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN Bài giải S D A H M B N C Hạ SH ⊥ AB H SH đường cao SADM=1/2AD.AM=a2 SCDN=1/2.CD.CN=.a2 Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2 mặt khác Bài 1 SA SB a ⇒ = + SH= = 2 2 SH SA SB SA + SB VSBMDN= SH.SBMDN= a3 3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang vng A,D; AB=AD=2a,CD=a Góc hai mpSBC ABCD 600 Gọi I trung điểm AD, Biết hai mp SBI,SCI vng góc với mpABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải S B J A H I C D Gọi H trung điểm I lên BC, J trung điểm AB Ta có SI ⊥ mpABCD IC= ID + DC =a IB= IA + AB =a BC= CJ + JB =a SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2 3a SIBA=1/2.IA.AB=a2 SCDI=1/2.DC.DI=1/2 ⇒ SIBC=SABCD-SIAB-SDIC= 2 mặt khác SIBC= IH.BC nên IH = SI=IH.tan600= S IBC 3 = a BC a Do VABCD= SI.SABCD= 15 a Bài Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ∠ ASB= 600, ∠ CSB=900, ∠ CSA=1200 CMR tam giác ABC vng tính thể tích chóp Bài giải S C E A D Gọi E,D AC,BC B ∆ SAB AB=a, ∆ SBC Vuông BC=a ∆ SAC có AE=SA.sin600= ⇒ ∆ ABC a ⇒ AC=a SE=SAcos600= a 2 có AC2=BA2+BC2 =3a2 ∆ ABC vng B Có SABC= BA.BC= a2 2 a ∆ SBE có BE= AC= 2 SB2=BE2+SE2=a2 nên BE ⊥ SE AC ⊥ SE Do SE đường cao VSABC= SE.SABC= a 3 12 Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy tam giác vuông A,AC=a, ∠ ACB=600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ Bài giải A B C A1 B1 C1 Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a AB ⊥ AC AB ⊥ A1A Nên AB ⊥ mp(ACC1A) ∠ AC1B=300 AC1=AB.cot300=3a Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= AC1 − AC =2a 2 Do VLT=CC1.SABC= 2a a.a =a3 Bài Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, điểm A1 cách ba điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ Bài giải B1 A1 C1 A B G I H C Ta có tam giác ABC cạnh a nên SABC= mặt khác A1A= A1B= A1C a2 ⇒ A1ABC tứ diện gọi G trọng tâm tam giác ABC có A1G đường cao Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH= A1G=AG.tan600=a a ∠ A1AG=600 VLT=A1G.SABC= a3 Bài Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB= Cho biết mpABB1vng góc với đáy,A1A= ,Góc A1AB nhọn, góc mpA1AC đáy 600 tính thể tích trụ Bài giải Tam giác ABC có cạnh huyền AB= cân nên CA=CB=1; SABC=1/2.CA.CA=1/2 MpABB1vng góc với ABC từ A1 hạ A1G ⊥ AB G A1G đường cao Từ G hạ GH ⊥ AC H Gt ⇒ góc A1HG=600 Đặt AH=x(x>0) Do ∆ AHG vng cân H nên HG=x AG=x ∆ HGA1 có A1G=HG.tan600=x ∆ A1AG có Do A1G= 15 A1A2=AG2+A1G2 ⇔ 3=2x2+3x2 hay x= 5 VLT=A1G.SABC= 10 A1 B1 C1 A B G H C Bài 10 Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy hcn với AB= AD= Các mặt bên ABB1A1 A1D1DA tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên giải F B1 A1 D1 A C1 B N M H C D Gọi H hình chiếu A1 lên mpABCD Từ H hạ HM ⊥ AD M HN ⊥ AB N Theo gt ⇒ ∠ A1MH=600 ∠ A1NH=450 Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= 2x x = sin 60 tứ giác AMHN hcn( góc A,M,N vng) Nên HN=AM mà AM= AA − A1 M 2 − 4x = VSABC VSA1B1C1 Do Nên V A1B1C11 V ABC AH SB.SC sin BSC AH SB SC = = A1 E SB1 SC1 A1 E.SB1 SC1 sin BSC = SA1 SB1 SC1 SA SB SC Bài Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a ∠ BSA=600, ∠ ASC=1200, ∠ CSB=900 Hãy tính thể tích chóp Bài giải Nhận xét mặt khơng có lưu ý nên việc xác định đường cao khó ta thấy góc đỉnh S quen thuộc Ta liên tưởng đến phần I Vây ta có lời giải sau C C1 A S B1 B Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a, Trên SC lấy C1 cho SC1=a, Ta có VSAB C = 1 Mà VSABC = a3 (theo 6) 12 SA SB SC VSAB1C1 = a SA SB1 SC1 Bài : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy tam giác cạnh a A1A =2a A1A tạo với mpABC góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA giải A1 C1 B1 A C H K B Gọi H hình chiếu A1 mpABC Khi A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a Mà VLT=A1H.SABC= a a 3a = 4 nhận thấy khối lăng trụ chia làm ba khối chóp khối chóp CA1B1C1 có VCA B C = VLT 1 1 khối chóp B1ABC có VB ABC = VLT 1 Khối chóp A1B1CA V A B AC = VLT = 1 a3 Bài :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b Gọi E,F trung điểm B1C1 C1D1 Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần tính tỉ số thể tích hai khối đa diện Bài giải DDF A D B C K D1 A1 J H F E B1 C1 I Mp(FEA) cắt đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D J,I,H,K(hv) Gọi V1,V2 thể tích phần phần mp Ta nhận thấy hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc ghép thêm hai phần chóp HIEB1 chóp KFJD1 phần hình chóp AIJA1 Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 “ c.g.c” HB IB 1 Theo TA-LET AA = IA = Và 1 KD1 JD1 = = AA1 JA1 1 a b c abc V HIEB1 = HB1 B1 E.B1 I = = = V KFJD1 3 2 72 1 1 3a 3b 3abc V AAJ JI = AA1 AI JA = c = 3 2 3abc abc 25abc − = V1= V AA JI -2 VHIEB = J V2= Vhh-V1= 72 V1 25 47abc V = 47 72 III) BÀI TỐN ƠN TẬP 72 Sau trang bị phần phương pháp ta giúp học sinh đưa cách giải toán linh hoạt hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn đưa tập mức độ tổng hợp Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a a) tính thể tích khối tứ diện A1BB1C b) Mp qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC E,F Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE Giải a) Cách tính trực tiếp a a a = 2 12 gọi H trung điểm B1C1 suy Vtd= A1 H S BCB = A C K B C1 A1 H B1 Tương tự gọi K trung điểm AB Cách VCA B C = V A ABC = VLT 1 1 3 Nên VBCA B1 = VLT = a a a3 = 12 b) cách Tính trực tiếp gọi Q trung điểm A1B1,G trọng tâm tam giác ABC Khi qua G kẻ d // với AB E=AC ∩ d F=BC ∩ d MpCKQ mp trung trực AB,FE Nên khoảng cách từ C đến QG khoảng cách từ C đến mpA1B1FE Ta có S CQG CK = a a a2 13 , GK = ⇒ QG = KQ + KG = a + = a 12 12 2 1 a a = S CQK = CK QK = a = 3 Mặt khác 2.S CQG 2a 13 2a 13 S CQG = QG.d (C , QG ) ⇒ d (C , QG ) = = = QG 13 a 12 ⇒ VC FEA1B1 1 2a 13 3a 13 5a = d (C , QG ).S FEA1B1 = (a + ).a = 3 13 2 12 54 Cách dùng gián tiếp (sử dụng toán tỉ lệ thể tích ) A E C C2 G K F B C1 A1 Q B1 VCFEA1B1 = 2VCGQB1 = CG CF 2 1 a a a VCKQB1B = = CK CB 3 2 54 Bài :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hcn,AB=a,AD=a ,SA=2a SA ⊥ ABCD, Một mp qua A vng góc với SC,cắt SB,SC,SD H,I,K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Bài giải Cách tính trực tiếp Ta có AC = AD + CD = 3a + a = 4a ⇒ AC = 2a Nên ∆SAC ⊥ cân A mà AI ⊥ SC nên I trung điểm SC AI=SI= SC = 2a = a 2 BC ⊥ AB, BC ⊥ SA( SA ⊥ ABCD) ⇒ BC ⊥ SAB Mà AH ⊥ SC ABC 1 = + ⇒ AH = 2 AH AB AS SA.BA SA + AB 2 = 2a Trong tam giác vng HAI có HI = AI − AH = 2a − 4a a = 5 S I H Tương tự ta có B K D A C AK= a 14 1 1 VSAHIK = VSIHA + VSIKA = SI AH HI + SI AK KI = SI ( AH HI + AK KI ) 3 2a a 2a a 14 8a ⇒ VSAHIK = a ( + )= 35 5 Cách tính gián tiếp Tương tự ta lập luận AH ⊥ SB, AK ⊥ SD VSAHI = SH SI SA 4a 4a VSABC = VSABC = .2a.a = SB.SC SB 5a 35 Tương tự VSAIK = 4a 35 8a Do VSAHIK= 35 Bài Cho hai đường thẳng chéo x y lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt y CMR VABCD không đổi giải nhận xét yếu tố không đổi a,b,góc khoảng cách hai đường thẳng x y đặt (x,y)= α d(x,y)=d Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED (hv) Khi d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chiều cao lăng trụ 2 VLT= d.SCDE=d CD CE.sin α = d.b.a.sin α mặt khác Khối lăng trụ ghép từ khối tứ diện gồm 3 Tứ diện BCDE có VBCDE= d(B,CDE).SCDE= VLT Tứ diện BACD BAFD tích Do VABCD= VLT= d.a.b.sin α = số B A F E C D l Cách Dựng hình hộp, cách dựng hbh “ Như hai hv sau” D B H G A E C E C A F B D Bài Bài tốn thể tích liên quan đến cực trị Cho hình chóp S.ABCD,SA đường cao,đáy hcn với SA=a,AB=b, AD=c Trong mpSDB lấy G trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N,mpAMN cắt SC K Xác định M thuộc SB cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhỏ Bài giải S K M G N A D O B C Gọi O Là tâm hcn ABCD Ta có SG= SO K=A G ∩ SC K trung điểm SC VSMAK SM SA SK SM SM SM = ⇒ VSMAK = VSBAC = VSABCD = a.b.c VSBAC SB SA SC SB SB 12 SB Tương tự VSNAK = Do VSAMKN SN a.b.c 12 SC SM SN ( + ).a.b.c 12 SB SC S H M G N D O Trong mpSBD B S SMN SM SN S SMG + S SGN S S SG.SM SG.SN = = = SGM + SGN = + S SBD SB SC S SBO 2S SBO S SOD 2.SO.SB 2.SO.SC ⇒ SM SN SM SN = ( + ) SB.SC SB SC Do M,N nằm cạnh SB,SD nên Đặt t= SB SM ≤ SM ≤ SB ⇔ ≤ ≤1 2 SB SM SN SN SN t = (t + )⇔ = ( ≤ t ≤ ) t SN SC SC SC 3t − Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN f(t)= Ta có f ′(t ) = − SM SN t + =t+ với ≤ t ≤ SB SC 3t − 9t − 6t = (3t − 1) (3t − 1) 2 Nên f ′(t ) = ⇔ t = , t = (loại) f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3 VSAMKN = VSAMKN = abc GTLN M trung điểm SB M trùng với B abc GTNN MB chiếm phần SB III BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Cho tam giác ABC vuông cân A AB=a Trên đường thẳngqua C vng góc với mp(ABC) lấy điểm D cho CD=a Mặt phẳng qua C vng góc với BD,cắt BD F cắt AD E tính thể tích khối tứ diện CDEF Bài cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng C,AC=a,AB=2a,SA vng góc với đáy.Góc mpSAB mpSBC 600 Gọi H,K hình chiếu A lên SB,SC Chứng minh SA vng KH tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết a) MpSBA vng góc với mpSCA b) Gọi M,N trung điểm SA,SC mpBMN vng góc mpSAC Bài Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a Góc đường thẳng BB1và mpABC 600 Tam giác ABC vuông C góc BAC 600 Hình chiếu vng góc điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a Bài Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có cạnh đáy a,khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mpA1BC a tính thể tích khối trụ Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác cân A,góc A1A BC1 300, khoảng cách chúng a Góc hai mặt bên qua A1A 600 tính thể tích khối trụ Bài Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vng A,AB=a,BC=2a Mặt bênABB1A1 hình thoi nằm mp vng góc với đáy hợp với mặt bên góc α tính thể tích khối lăng trụ Bài cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi M điểm đối xứng với C qua D N trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần Hãy tính tỉ số thể tích hai phần Bài cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1, Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng Avà D Tam giác SAD tam giác cạnh 2a, cạnh BC =3a Các mặt bên tạo với đáy góc Hãy tính thể tích khối chóp Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với cạnh AB=BC=CD=1/2.AD Tam giác SBD vuông nằm mp vng góc với đáy có cạnh góc vng SB=8a,SD=15a tính thể tích khối chóp Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD hai tam giác cạnh a,mpADC vng góc mpBCD Tính VABCD Bài 14 Cho tứ diện ABCD, điểm M,N,P BC,BD,AC cho BC=4BM, BD=2BN,AC=3AP MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có mặt bên (A1AB),(A1BC),(A1CA) hợp với đáy (ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a ,AC=2a tính VLT Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P thuộc đoạn A1A,BC,CD cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần tính thể tích phần Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD cho BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích hai phần tứ diện cắt a) mp α qua MN song song với trung tuyến AI tam giác ABC b) mp β qua MP song song với AI c) mp γ qua MN song song với trung tuyến CE tam giác ABC Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= , Cạnh BC=x, khoảng cách BC AD y.Tính VABCD theo x y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min Baì 19 Trong mp(P) cho hình vng ABCD có cạnh AB=a, tia Ax tia Cy vng góc với mp(P) thuộc nửa mp bờ AC Lấy điểm M thuộc tia Ax chọn điểm N thuộc tia Cy cho mpBDM vng góc với mpBDN a) Tính AM.CN theo a b) Xác định vị trí điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vng góc với nhận AB=a làm đoạn vng góc chung Các điểm M,N chuyển động Am,Bn cho MN=AM+BN a) CMR VABMN khơng đổi, tính giá trị V HOAM b) Goi O trung điểm AB,H hình chiếu O MN CMR V HẾT HOBN = MH NH