Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm nh− h−ớng dẫn quy định đối với từng phần.. ViÖc chi tiÕt hãa thang ®iÓm nÕu cã so víi thang ®iÓm trong h[r]
(1)bộ giáo dục và đào tạo - kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m häc 2002 – 2003 đề chính thức - m«n thi: to¸n Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bµi (3 ®iÓm) Kh¶o s¸t hµm sè y = − x2 + x − x−2 − x − ( m − 4) x + m − m − Xác định m để đồ thị hàm số y = x+m−2 cã c¸c tiÖm cËn trïng víi các tiệm cận t−ơng ứng đồ thị hàm số khảo sát trên Bµi (2 ®iÓm) T×m nguyªn hµm F(x) cña hµm sè x3 + x + x − f ( x) = biÕt r»ng F(1) = x2 + x + 1 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x − 10 x − 12 x+2 y= vµ ®−êng th¼ng y = Bài (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có khoảng cách các ®−êng chuÈn lµ 36 vµ c¸c b¸n kÝnh qua tiªu cña ®iÓm M n»m trªn elÝp (E) lµ vµ 15 ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp (E) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña elÝp (E) t¹i ®iÓm M Bài (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ xác định các hệ thức: → → → → → → → → A = (2; 4; - 1) , OB = i + j − k , C = (2; 4; 3) , OD = i + j − k Chøng minh r»ng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng vu«ng gãc chung ∆ cña hai ®−êng th¼ng AB vµ CD TÝnh gãc gi÷a ®−êng th¼ng ∆ vµ mÆt ph¼ng (ABD) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp diÖn (α) cña mÆt cÇu (S) song song víi mÆt ph¼ng (ABD) Bµi (1 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh cho bëi hÖ thøc sau: y y +1 C x +1 : C x : C xy −1 = : : hÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ vµ gi¸m thÞ 2: Lop12.net (2) kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m häc 2002 – 2003 - giáo dục và đào tạo h−íng dÉn chÊm §Ò chÝnh thøc m«n to¸n * B¶n h−íng dÉn chÊm thi nµy cã trang * I C¸c chó ý chÊm thi 1) H−ớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi t−ơng ứng với đáp án nêu d−ới đây 2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì ng−ời chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho câu ( hay phần ♦) đó 3) ViÖc vËn dông HDCT chi tiÕt tíi 0,25 ®iÓm ph¶i thèng nhÊt tÊt c¶ c¸c tæ chÊm thi m«n Toán Hội đồng 4) Sau cộng điểm toàn bài làm tròn điểm môn thi theo qui định chung II §¸p ¸n vµ c¸ch cho ®iÓm Bµi (3 ®iÓm) (2, ®iÓm) - Tập xác định R \ { 2} - Sù biÕn thiªn: a) ChiÒu biÕn thiªn: (0, 25 ®iÓm) − x2 + x − x =1 , y' = ⇔ x −2 x=3 ( x − 2) y’< víi ∀ x ∈ (− ∞ ; ) ∪ (3 ; ∞ ) : hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (− ∞ ; 1), (3 ;+∞ ) y’ > với ∀ x ∈ (1; ) ∪ (2; 3): hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2), (2; 3) b) Cùc trÞ: ♦ Hàm số có hai cực trị: cực tiểu yCT = y(1) = , cực đại yCĐ = y(3) = - c) Giíi h¹n: ♦ y =− ♦ x+2 − lim y = lim x → 2− x → 2− ,y'= − x + 4x − x −2 =+ ∞, lim y = lim x → 2+ x → 2+ − x + 4x − x −2 = − ∞ (0, 25 ®iÓm) §å thÞ cã (0, 25 ®iÓm) tiệm cận đứng x = - ♦ (0, 75 ®iÓm) lim [ y − ( − x + 2)] = lim ( − ) = §å x→∞ x→∞ x −2 thÞ cã tiÖm cËn xiªn y = - x + (0, 25 ®iÓm) d) B¶ng biÕn thiªn: x y’ y −∞ - +∞ + + +∞ CT +∞ - -2 C§ -∞ - -∞ - §å thÞ: Lop12.net (0, 25 ®iÓm) (3) H−ớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức Vẽ đúng dạng đồ thị : + Giao víi Oy: t¹i ®iÓm (0; 2,5) + Đồ thị có tâm đối xứng ®iÓm ( ; 0) t¹i + §å thÞ cã hai tiÖm cËn: x = vµ y = - x + (0, 50 ®iÓm) ( 0, ®iÓm) ♦ y = −x+2+ m − 6m − , x+m−2 đồ thị có tiệm cận đứng là x = và lim y = ∞ x→ m − 6m − = ∞ Qua giíi h¹n cã + m – = hay m = x→2 x + m − ⇔ lim ♦ Víi m = ta cã y= − x2 + 4x − = − x+2 − x−2 x −2 (0, 25 ®iÓm) ; nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiªn lµ y = - x +2 VËy gi¸ trÞ cÇn t×m cña m lµ m = Bµi (2 ®iÓm ) (1 ®iÓm) ♦ f ( x) = ⇒ ∫ x3 + x + x − ( x + 1) = x +1− (0, 25 ®iÓm) ( x + 1) x2 x3 + x + x − dx = +x+ + C; x +1 ( x + 1) ♦ V× F (1) = (0, 75 ®iÓm) 13 x2 13 nên C = − Do đó F ( x) = +x+ − x +1 6 (0, 25 ®iÓm) ( ®iÓm) ♦ Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x − 10 x − 12 = x+2 ta t×m ®−îc c¸c cËn lÊy tÝch ph©n lµ: - vµ (0, 25 ®iÓm) ♦ DiÖn tÝch h×nh ph¼ng S cÇn t×m S= ∫ −1 6 x − 10 x − 12 16 − x + 10 x + 12 dx = (14 − x − ) dx − dx = x+2 x+2 x+2 −1 −1 ∫ ∫ Lop12.net (4) H−ớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức = (14 x − x − 16 ln x + ) = 63 − 16 ln −1 (0, 75 ®iÓm) Bµi (1, ®iÓm) (1 ®iÓm) ♦ Giả sử điểm M góc phần t− thứ và M = (x; y) Khi đó theo đầu bài ta có c¸c hÖ thøc: c¸c b¸n kÝnh qua tiªu MF = a + ex = 15, MF = a - ex = 9, kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®−êng chuÈn: a e = 36 VËy a = 12, e = , x= (0, 75 ®iÓm) ♦ V× c = a.e = vµ cã b = a - c = 80 nªn ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp (E) lµ 2 x 144 y + =1 80 (0, 25 ®iÓm) (0, ®iÓm) ♦ TiÕp tuyÕn víi elÝp (E) t¹i ®iÓm M( ; 11 ) lµ ♦ Trên elíp (E) còn điểm có toạ độ là (- x + 11 y = 32 (0, 25 ®iÓm) 11 11 11 9 ), ( ; ), (- ; ) 2 2 ; có các bán kính qua tiêu là và 15 Do đó ta còn có ph−ơng trình tiếp tuyến với elíp (E) các điểm (t−ơng ứng) đó là : - x + 11 y = 32 , x − 11 y = 32 , x + 11 y = − 32 (0, 25 ®iÓm) Bµi (2, ®iÓm) (1 ®iÓm) ♦Theo đầu bài ta có A= (2; 4; -1), B = (1; 4; -1), C = (2; 4; 3), D = (2; 2; -1) Do đó: → → ⇒ AB ⊥ AC AB AC = ( −1).0 + 0.0 + 0.4 = → → ⇒ AC ⊥ AD AC AD = 0.0 + 0.( −2) + 4.0 = → → AB AD = ( −1).0 + 0.( −2) + 0.0 = ⇒ AB ⊥ AD (0, 75 ®iÓm) ♦ ThÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD tÝnh theo c«ng thøc VABCD = → → → [ AB , AC ] AD = (do → → [ AB , AC ] = (0; 4; 0) ) (0,2 ®iÓm) (0, 75 ®iÓm) ♦ §−êng th¼ng CD n»m trªn mÆt ph¼ng (ACD) mµ mÆt ph¼ng (ACD) ⊥ AB nªn ®−êng vu«ng gãc chung ∆ cña AB vµ CD lµ ®−êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi CD → VËy ®−êng th¼ng ∆ cã vect¬ chØ ph−¬ng u = → → [ AB, CD ] = (0; − 2; 1) vµ ph−¬ng tr×nh tham sè lµ: x =2 y = − 2t z = −1 + t → → (0, 50 ®iÓm) → ♦ MÆt ph¼ng (ABD) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = [ AB , AD ] = (0; 0; 2) VËy gãc nhän ϕ ∆ và mặt phẳng (ABD) xác định biểu thức: Lop12.net (5) H−ớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức →→ n.u → → n u sin ϕ = = 0.0 + 0.( −2) + 2.1 = 22 ( −2) + 12 = 5 (0, 25 ®iÓm) (0, 75 ®iÓm) ♦ Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã d¹ng: x + y + z + ax + by + cz + d = Bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn ph−ơng trình trên Do đó các hệ số a, b, c, d là nghiệm hệ ph−ơng trình sau: A ∈ (S ) 21 + 4a + 8b − 2c + d = 18 + 2a + 8b − 2c + d = B ∈ (S ) C ∈ (S ) 29 + 4a + 8b + 6c + d = + 4a + 4b − 2c + d = D ∈ (S ) Gi¶i hÖ nµy cã a = − , b = -3, c = - 1, d = Do đó ph−ơng trình mặt cầu (S) là: x + y + z − 3x − y − z + = 21 2 ♦ MÆt cÇu (S) cã t©m K = ( ; 3; 1) vµ b¸n kÝnh R = (0, 50 ®iÓm) ; ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (ABD) lµ: z + = Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng (ABD) có dạng z + d = Mặt phẳng đó là tiếp diện mặt cầu (S) và khoảng cách từ tâm K đến mặt phẳng đó R: 1.1 + d 2 + +1 = 21 − 21 ⇒ d1 = 2 , d2 = − 21 + 2 VËy cã hai tiÕp diÖn cña mÆt cÇu (S) cÇn t×m lµ: (α1): z + (α2): z − Bµi (1 ®iÓm) y y +1 ♦ HÖ thøc C x +1 : C x 21 − 2 21 + 2 =0 =0 (0, 25 ®iÓm) y −1 : Cx = : : víi x vµ y lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng mµ ≤ y+1 ≤ x cho hÖ ph−¬ng tr×nh sau: y+1 Cy C x x +1 = y C x +1 C y−x1 = ♦ Gi¶i hÖ: x! x +1 ( x + 1)! y!( x + − y )! = 5( y + 1)!( x − y − 1)! 6( x − y )( x + − y ) = 5( y + 1) x = ⇔ ⇔ ( x + 1)! x! x +1 y = = = y!( x + − y )! 2( y − 1)!( x − y + 1)! 6y (0, 50 ®iÓm) (0, 50 ®iÓm) - HÕT - Lop12.net (6) Bộ giáo dục và đào tạo - kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m häc 2003 – 2004 -đề chính thức m«n thi: to¸n Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (4 điểm) Cho hàm số y = x − x có đồ thị là (C) Kh¶o s¸t hµm sè ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua ®iÓm A(3; 0) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c ®−êng y = 0, x = 0, x = quay quanh trôc Ox Bµi (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn ®o¹n [ ; π ] y = sin x − sin x Bài (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp (E): x2 y2 + =1 25 16 cã hai tiªu ®iÓm F1 , F2 Cho ®iÓm M(3; m) thuéc (E), h·y viÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i M m > Cho A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (E) cho A F1 + B F2 = H·y tÝnh A F2 + B F1 Bài (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng Gäi A’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng Oxy H·y viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua bèn ®iÓm A’, B, C, D ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp diÖn (α) cña mÆt cÇu (S) t¹i ®iÓm A’ Bµi (1 ®iÓm) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh (víi hai Èn lµ n, k ∈ N) P n+5 (n − k ) ! ≤ 60 A kn++23 - hÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: Ch÷ kÝ gi¸m thÞ 1: Ch÷ kÝ gi¸m thÞ 2: Lop12.net (7) giáo dục và đào tạo kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m häc 2003 – 2004 h−íng dÉn chÊm đề chính thức M«n thi: To¸n B¶n h−íng dÉn chÊm cã trang I C¸c chó ý chÊm thi 1) H−ớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi t−ơng ứng với đáp án d−ới ®©y 2) Nếu thí sinh có cách giải đúng khác với đáp án, thì ng−ời chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho câu ( hay phần • ) đó 3) ViÖc vËn dông HDCT chi tiÕt tíi 0,25 ®iÓm ph¶i thèng nhÊt tÊt c¶ c¸c tæ chÊm thi môn Toán Hội đồng 4) Sau cộng điểm toàn bài làm tròn điểm môn thi theo qui định chung II §¸p ¸n vµ c¸ch cho ®iÓm (4 ®iÓm) Bµi 1 (2, ®iÓm) - Tập xác định R - Sù biÕn thiªn: 0, 25 a) ChiÒu biÕn thiªn: • y = x − x , y ' = x 2− 2x , x=0 y' = ⇔ x=2 ; y’< víi ∀ x ∈ (0; ) : hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0 ; ) , y’ > với ∀ x ∈ (− ∞ ; ) ∪ (2; +∞): hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞; 0), (2; +∞) 0, 75 b) Cùc trÞ: • Hàm số có hai cực trị: cực đại yCĐ = y(0) = 0, cực tiểu yCT = y(2) = c) Giíi h¹n: lim • x→ −∞ y=−∞, lim y = + ∞ , đồ thị không có tiệm cận x→+ ∞ d) B¶ng biÕn thiªn: • x -∞ y’ + 0 - 0, 25 0, 25 +∞ + +∞ C§ y − -∞ − Lop12.net CT 0, 25 (8) e) Tính lồi, lõm và điểm uốn đồ thị: • y’’= 2x – 2, y’’ = ⇔ x = Ta cã y(1) = -∞ x , +∞ - låi ® uèn U( 1; − - §å thÞ: • y’’ §å thÞ − + 0, 25 lâm ) y O -1 − − Vẽ đúng dạng đồ thị : + Giao víi Oy: (0; 0) + Giao víi Ox: (0; 0) , (3; 0) + Tâm đối xứng đồ thị: x U(1; − 0, 50 ) (1,0 ®iÓm) • Nêu đ−ợc điều kiện cần và đủ để đ−ờng thẳng d với hệ số góc k qua ®iÓm (3; 0) cã ph−¬ng tr×nh y = k(x-3) tiÕp xóc víi (C) lµ hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x − x = k ( x − 3) x − 2x = k 0, 25 0, 50 0, 25 • T×m ®−îc hai nghiÖm (x; k) lµ: (0 ; 0) , (3 ; 3) • ViÕt ®−îc hai ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn: y = , y = 3x – (0,50 ®iÓm) • • 3 V = π ∫ ( x − x ) dx = π ∫ ( x − =π( x + x ) dx 0, 25 x x x 81π − + ) = (®vtt) 63 35 0, 25 (1 ®iÓm) Bµi • Tính đúng đạo hàm hàm số y = 2sinx − sin x : 0, 25 y' = cosx − 4sin x cosx • T×m ®−îc c¸c ®iÓm tíi h¹n trªn ®o¹n [0; π] : y’ = ⇔ x∈ { Lop12.net π π 3π , , } 0, 25 (9) π π 3π • TÝnh c¸c gi¸ trÞ y(0), y(π), y( ) , y ( ) , y ( ) 4 2 ⇒ y = , max y = [0; π ] [0; π ] 0, 50 (1,5 ®iÓm) Bµi (0,75 ®iÓm) 16 ) x 16 y + =1 ViÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i M: 25 5.16 3x y + = Hay 25 • Tìm tọa độ điểm M(3; m) thuộc (E), m>0: M = (3; • (0, 75 ®iÓm) • T×m ®−îc A F1 + A F2 = B F1 + B F2 = 10 0, 50 0, 25 0, 50 • TÝnh ®−îc A F2 + B F1 = 20 – (A F1 + B F2 ) = 12 0, 25 (2,5 ®iÓm) Bµi (1 ®iÓm) → → → → → → AB , AC , AD đồng phẳng ⇔ [ AB, AC ] AD → → → AB = (0; 4; 0) , AC = ( 3; 4; ) , AD = ( 3; 0; ) ; • Nªu ®−îc ba vect¬ • TÝnh ®−îc: → → [ AB, AC ] = (0; 0; − 12) → → = 0, → ; [ AB, AC ] AD = 3.0 + 0.0 + 0.(-12) = ( Ghi chú: Nếu thí sinh lập luận bốn điểm đã cho cùng nằm trên mặt phẳng z = thì chấm đạt điểm tối đa) 0,2 0, 75 (1,0 ®iÓm) • Nªu ®−îc A’ = (1; -1; 0), ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cÇn t×m cã d¹ng: x + y + z + ax + by + cz + d = (*) Nêu đ−ợc bốn điểm A’, B , C , D nằm trên mặt cầu (S) nên có toạ độ thoả mãn ph−¬ng tr×nh (*) vµ c¸c hÖ sè a, b, c, d lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh : + 2a − 2b + d = A' ∈ (S) 14 + 2a + 6b + 4c + d = B ∈ (S) 29 + 8a + 6b + 4c + d = C ∈ (S) 21 + 8a − 2b + 4c + d = D ∈ (S) 0, 50 • Gi¶i hÖ t×m ®−îc: a = − , b = -1, c = - 1, d = 1; ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) : x + y + z − 5x − y − 2z + = Lop12.net 0, 50 (10) (0,50 ®iÓm) • T×m ®−îc t©m I = ( ; 1; 1) cña mÆt cÇu (S) vµ vect¬ ph¸p tuyÕn → IA' = ( − ; − 2; − 1) cña tiÕp diÖn (α) 0, 25 • ViÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh tiÕp diÖn (α) cña mÆt cÇu (S) t¹i ®iÓm A’lµ: 3x + 4y + 2z +1= (1 ®iÓm) Bµi • ViÕt ®−îc: 0, 25 P n+5 (n − k ) ! ≤ 60 A kn++23 k≤n ⇔ (n + 5)(n + 4)(n − k + 1) ≤ 60 • Xét với n > : khẳng định bất ph−ơng trình vô nghiệm • XÐt víi n ∈{0, 1, , 3} t×m ®−îc c¸c nghiÖm (n; k) cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: (0; 0) , (1; 0) , (1; 1) , (2; 2) , (3; 3) - HÕT - Lop12.net 0, 50 0, 25 0, 25 (11) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2004 - 2005 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (3,5 ®iÓm) 2x + có đồ thị (C) x +1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành và đồ thị (C) Viết ph−ơng trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó qua điểm A(-1; 3) Cho hµm sè y = Bài (1,5 ®iÓm) π TÝnh tÝch ph©n I = ∫ ( x + sin x ) cos xdx Xác định tham số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + đạt cực đại điểm x = Bài (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x Tìm toạ độ tiêu điểm và viết ph−ơng trình đ−ờng chuẩn (P) Viết ph−ơng trình tiếp tuyến (P) điểm M thuộc (P) có tung độ Gi¶ sö ®−êng th¼ng (d) ®i qua tiªu ®iÓm cña (P) vµ c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B có hoành độ t−ơng ứng là x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + Bài (2 ®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 - 2x + 2y + 4z - = ⎧x + y − = x −1 y z , (∆ ) : vµ hai ®−êng th¼ng (∆1 ) : ⎨ = = −1 −1 ⎩ x − 2z = Chøng minh (∆ ) vµ (∆ ) chÐo Viết ph−ơng trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đ−ờng th¼ng (∆ ) vµ ( ∆ ) Bài (1®iÓm) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh, Èn n thuéc tËp sè tù nhiªn: C nn −+12 + C nn + > A 2n .HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2: Lop12.net (12) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2004 - 2005 HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Bản hướng dẫn chấm gồm: 04 trang) I Hướng dẫn chung Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm nh− h−ớng dẫn quy định (đối với phần) ViÖc chi tiÕt hãa thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm h−íng dÉn chÊm ph¶i đảm bảo không sai lệch với h−ớng dẫn chấm và đ−ợc thống thực Hội đồng chấm thi Sau cộng điểm toàn bài làm tròn điểm thi, theo nguyên tắc: Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án và thang điểm Bài (3,5 điểm) (2 điểm) y= 2x + 1 = 2− x +1 x +1 • TXĐ: R \ {−1} Sự biến thiên: > 0, ∀x ≠ −1 • y' = ( x + 1) 0,25 0,25 • Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) Hàm số không có cực trị Giới hạn và tiệm cận: lim y = ⇒ đường thẳng y = là tiệm cận ngang • x →±∞ • lim y = +∞, lim + y = −∞ ⇒ đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng x →−1− x →−1 Lop12.net 0,25 0,25 0,25 (13) • Bảng biến thiên: x y' -∞ +∞ -1 + + +∞ y 0,25 -∞ • Đồ thị: ⎛ ⎞ Đồ thị cắt trục Ox điểm ⎜ − ;0 ⎟ và cắt trục Oy điểm ( 0;1) ⎝ ⎠ y -1 − 0,5 x (0,75 điểm) Diện tích hình phẳng ⎞ ⎛ • S = ∫ ⎜2− ⎟ dx x +1⎠ 1⎝ − 0,25 • = ( 2x − ln ( x + 1) ) • = − ln (đvdt) − 0,25 0,25 Lop12.net (14) (0,75 điểm) • Đường thẳng (d) qua A(-1; 3),với hệ số góc k có phương trình: y = k(x+1) + • (d) tiếp xúc với (C) và hệ sau có nghiệm ⎧ 2x + ⎪ x + = k ( x + 1) + (1) ⎪ ⎨ ⎪ =k (2) ⎪⎩ ( x + 1) • Thay k từ (2) vào (1) và rút gọn ta x = - Suy k = 13 Tiếp tuyến (C) qua A là (d): y = x + 4 Bài (1,5 điểm) (0,75 điểm) ⎪⎧u = x + sin x ⎧du = (1 + 2sinx.cosx)dx ⇒⎨ • Đặt ⎨ ⎩ v = sinx ⎩⎪dv = cosxdx 0,25 0,25 0,25 0,25 π • • I= (( π 2 x + sin x sinx − ∫ (1 + 2sinx.cosx ) sin xdx 0 ) ) π 0,25 π ⎛π ⎞ = ⎜ + 1⎟ − ∫ sin xdx − ∫ sin xd(sin x) ⎝2 ⎠ 0 π = ( + 1) + cos x π 2 − sin x π = π − (0,75 điểm) •Tập xác định: R y' = 3x2 - 6mx + (m2 - 1) • Nếu hàm số đạt cực đại x = thì y'(2) = Suy m2 - 12m + 11 = ⇒ m = m = 11 • Thử lại: Với m = thì y''(2) = > 0, đó x = không phải là điểm cực đại hàm số Với m = 11 thì y''(2) = 12 - 66 < 0, đó x = là điểm cực đại hàm số Kết luận: m = 11 Bài (2 điểm) (0,5 điểm) • Ta có: 2p = ⇒ p = • Tiêu điểm F(2; 0), đường chuẩn (∆): x = - Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (15) (0,75 điểm) • M(x; y) ∈(P), y = ⇒ x = • Tiếp tuyến (P) M(2; 4): 4.y = 4(2 + x) ⇔ x - y + = (0,75 điểm) ⎧FA = x1 + • Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có: ⎨ ⎩FB = x + • Suy AB = AF + FB = x1 + x2 + 0,25 0,5 0,5 0,25 Bài (2 điểm) (1 điểm) ⎧ x = 2t ⎪ • Phương trình tham số (∆1): ⎨ y = − t ⎪z = t ⎩ G • (∆1) qua điểm A(0; 1; 0) và có vectơ phương u = ( 2; −1;1) , G (∆2) qua điểm B(1; 0; 0) và có vectơ phương v = ( −1;1; −1) G G JJJG ⎡ u, v ⎤ = ( 0;1;1) , AB = (1; −1;0 ) • ⎣ ⎦ G G JJJG ⎡ u, v ⎤ AB = −1 ≠ ⇒ (∆1) và (∆2) chéo • ⎣ ⎦ (1 điểm) • Gọi (P) là tiếp diện cần tìm Vì (P) song song với (∆1) và (∆2) nên có G G G vectơ pháp tuyến n = ⎡⎣ u, v ⎤⎦ = ( 0;1;1) Phương trình (P) có dạng: y + z + m = • Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1; - 2) và bán kính R = • Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I, (P)) = R hay m−3 = ⇔ m = 3±3 • Với m = + ⇒ ( P1 ) : y + z + + = Với m = − ⇒ ( P2 ) : y + z + − = Cả hai mặt phẳng trên thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài (1 điểm) • Điều kiện: n ≥ • Bất phương trình đã cho tương đương với ( n + 3)! > n! Cnn +3 > A n2 ⇔ n!.3! ( n − )! • 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ n − 9n + 26n + > ⇔ n n − 9n + 26 + > , luôn đúng với n ≥ ( ) Kết luận: n ∈N, n ≥ 0,5 HẾT Lop12.net (16) Bộ giáo dục và đào tạo kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2006 M«n thi: to¸n - Trung häc phæ th«ng kh«ng ph©n ban §Ò thi chÝnh thøc Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề C©u (3,5 ®iÓm) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 6x2 + 9x Viết ph−ơng trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ®−êng th¼ng y = x + m − m ®i qua trung ®iÓm cña đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu đồ thị (C) C©u (1,5 ®iÓm) 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = ex, y = và đ−ờng th¼ng x = π sin 2x dx cos x − TÝnh tÝch ph©n I = ∫ C©u (2,0 ®iÓm) x2 y2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có ph−ơng trình − = Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết ph−ơng trình các đ−ờng tiệm cận cña (H) Viết ph−ơng trình các tiếp tuyến (H) biết các tiếp tuyến đó qua điểm M(2; 1) C©u (2,0 ®iÓm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; − 1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0) Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng OG ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua bèn ®iÓm O, A, B, C ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng OG vµ tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) C©u (1,0 ®iÓm) n T×m hÖ sè cña x5 khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña (1 + x ) , n ∈ N * , biÕt tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè khai triÓn trªn b»ng 1024 .HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: Lop12.net (17) Bộ giáo dục và đào tạo kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2006 M«n thi: To¸n - Trung häc phæ th«ng kh«ng ph©n ban §Ò thi chÝnh thøc h−íng dÉn chÊm THi B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 04 trang I H−íng dÉn chung Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần nh− h−ớng dẫn quy định ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm h−íng dÉn chÊm phải đảm bảo không sai lệch với h−ớng dẫn chấm và đ−ợc thống thực Hội đồng chấm thi Sau céng ®iÓm toµn bµi míi lµm trßn ®iÓm thi theo nguyªn t¾c: §iÓm toµn bµi đ−ợc làm tròn đến 0,5 điểm ( lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 ®iÓm) II §¸p ¸n vµ thang ®iÓm §¸p ¸n C©u (3,5 ®iÓm) §iÓm (2,5 ®iÓm) a) Tập xác định: R b) Sù biÕn thiªn: • ChiÒu biÕn thiªn: y' = 3x − 12x + ; y' = ⇔ x = hoÆc x = 0,25 0,25 y' > trªn c¸c kho¶ng (−∞;1) vµ ( 3;+∞ ) , y' < trªn kho¶ng (1; 3) Khoảng đồng biến (−∞;1) và ( 3;+∞ ) , khoảng nghịch biến (1; 3) • Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ = y(1) = 4; hàm số đạt cực tiểu x = 3, yCT = y(3) = • Giíi h¹n: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ 0,25 0,25 0,25 • TÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn: y '' = 6x − 12, y '' = ⇔ x = x y" −∞ − §å thÞ låi • B¶ng biÕn thiªn: x −∞ y' + y +∞ + §iÓm uèn U(2; 2) − −∞ 0,25 lâm +∞ + +∞ Lop12.net 0,50 (18) c) §å thÞ: Giao điểm đồ thị với các trục tọa độ: (0; 0), (3; 0) Đồ thị có tâm đối xứng U(2; 2) §å thÞ (C) nh− h×nh bªn y (C) 0,50 x C©u (1,5 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) §iÓm uèn U(2; 2), y' ( ) = −3 Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm uèn: y − = − 3(x − 2) ⇔ y = − 3x + (0,5 ®iÓm) Điểm cực đại (1; 4), điểm cực tiểu (3; 0) Trung ®iÓm ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm C§, CT lµ ®iÓm uèn U(2; 2) §−êng th¼ng y = x + m2 − m ®i qua U(2; 2) ⇔ = + m2 − m ⇔ m = hoÆc m = 1 (0,75 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ex = ⇔ x = ln2 ∫ ( ) ln ∫ (e e − dx = dt = ln t t (1,0 ®iÓm) 0,25 0,25 = (e − 2) − (2 − 2ln2) = e + 2ln2 − (®vdt) 0,25 x ln 0,25 dt = 2sinxcosx dx = sin2xdx; x = ⇒ t = 3, x = I=∫ 0,25 x (0,75 ®iÓm) §Æt t = − cos2x 0,25 0,25 ln = e x − 2x 0,25 − 2)dx DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn t×m: S = C©u (2,0 ®iÓm) π ⇒ t = 4 = ln − ln3 = ln x2 y2 Ph−¬ng tr×nh (H) cã d¹ng: − = ⇒ a2 = 4, b2 = ⇒ c2 = a b Tọa độ các tiêu điểm: ( − 3; 0), (3; 0), các đỉnh: ( − 2; 0), (2; 0) 5 Ph−¬ng tr×nh c¸c tiÖm cËn: y = x; y = − x 2 Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 (19) (1,0 ®iÓm) Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua M(2; 1): m(x − 2) + n(y − 1) = ⇔ mx + ny − 2m − n = , víi m2 + n2 ≠ 0,25 §iÒu kiÖn tiÕp xóc: 4m2 − 5n2 = (2m + n)2 , víi 2m + n ≠ ⎡n = ⇔⎢ ⎣3n + 2m = • n = 0, chän m = Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn: x − = • 3n + 2m = 0, chän m = 3, n = − Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn: 3x − 2y − = C©u (2,0 ®iÓm) 0,25 0,25 0,25 (0,75 ®iÓm) ⎛2 ⎞ Toạ độ điểm G ⎜ ; ; ⎟ ⎝3 ⎠ 0,25 JJJG ⎛ ⎞ VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng OG: OG = ⎜ ; ; ⎟ ⎝3 ⎠ x y z Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng OG: = = 2 (0,75 ®iÓm) Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã d¹ng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = O, A, B, C ∈ (S), ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎧d = ⎧d = ⎧a = −1 ⎪2a − 2c + d + = ⎪b = −1 ⎪b = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪2a + 4b + 2c + d + = ⎪a − c = −1 ⎪c = ⎪⎩4b + d + = ⎪⎩a + c = −1 ⎪⎩d = Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S): x2 + y2 + z2 − 2x − 2y = (0, ®iÓm) Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng cÇn t×m JJJG ⎛ ⎞ OG = ⎜ ; ; ⎟ ⇒ VÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña (P): (1;2;0) ⎝3 ⎠ Ph−¬ng tr×nh (P) cã d¹ng: x + 2y + D = MÆt cÇu (S) cã t©m I = (1; 1; 0), b¸n kÝnh R = ⎡ D = −3 + 10 3+D §iÒu kiÖn tiÕp xóc: = 2⇔⎢ ⎢⎣ D = −3 − 10 VËy, cã hai mÆt ph¼ng (P) lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh: x + 2y − + 10 = 0; x + 2y − − 10 = Chó ý: MÆt cÇu qua O, A, B, C cã ®−êng kÝnh AB Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (20) C©u (1,0 ®iÓm) Khai triÓn (1 + x)n = C 0n + C1n x + + C nn x n 0,25 n Tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña khai triÓn: T = ∑ C kn = n 0,25 k =0 T = 1024 ⇔ n = 10 HÖ sè cña x5 khai triÓn: C10 = 252 … … HÕt Lop12.net 0,25 0,25 (21)