Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a Trục Ox.[r]
(1)Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp dx x C x dx dx x ln x C x 0 e dx e C x x ax a dx C 0 a 1 ln a cos xdx sin x C sin xdx cos x C x cos x sin x du u C d ax b a ax b C x 1 C 1 1 dx tan x C dx cot x C ax b dx ax b C 1 a 1 dx ln ax b C x ax b a e ax b dx e ax b C a cosax b dx sin ax b C a sin ax b dx cosax b C a 1 dx tan ax b C a cos ax b 1 dx cot ax b C a sin ax b 1 Nguyên hàm hàm số hợp u du u 1 C 1 1 du u ln u C u 0 e du e C u u au C 0 a 1 ln a cos udu sin u C sin udu cos u C a u dx cos u sin u du tan u C du cot u C I ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b Để tính tích phân ò f[u(x)]u (x)dx ta thực các bước sau: / a Bước Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx Bước Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a, x = b Þ t = u(b) = b b Bước b ò f[u(x)]u (x)dx = ò f(t)dt / a a Ví dụ Tính tích phân I = e2 ò e dx x ln x Giải dx x x = e Þ t = 1, x = e Þ t = Đặt t = ln x Þ dt = ÞI= Ví dụ Tính tích phân I = Hướng dẫn: p ò dt = ln t t Vậy I = ln cos x ò (sin x + cos x) dx Lop12.net = ln (2) I= p cos x ò (sin x + cos x) ĐS: I = p Ví dụ Tính tích phân I = ò (tan x + 1) dx = 3 dx Đặt t = tan x + cos2 x dx 2x + ò (1 + x) Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 ĐS: I = ln Ví dụ 10 Tính tích phân I = ò Hướng dẫn: 3-x dx 1+x 3-x t2 dt ; đặt t = tan u Þ 8ò 2 1+x (t + 1) p ĐS: I = - + Chú ý: 3-x dx , đặt t = Phân tích I = ò 1+x Đặt t = + x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính f ( x)dx ta thực các bước sau: a Bước Đặt x = u(t) và tính dx u / (t )dt Bước Đổi cận: x a t , x b t b Bước f ( x)dx a f [u (t )]u / (t )dt g (t )dt Ví dụ Tính tích phân I = ÞI= p ò ò dx - x2 Giải p pù é Đặt x = sin t, t Î ê - ; Þ dx = cos tdt ë 2 úû p x = Þ t = 0, x = Þ t = cos t dt = - sin2 t Ví dụ Tính tích phân I = Hướng dẫn: 2 ò p cos t ò cos t dt = p Vậy I = - x dx Lop12.net p ò p dt = t 06 = p p -0= 6 (3) Đặt x = sin t ĐS: I = p Ví dụ Tính tích phân I = dx ò 1+x Giải æ p p ö÷ Đặt x = tan t, t Î çç - ; ÷÷ Þ dx = (tan2 x + 1)dt çè 2 ø p x = Þ t = 0, x = Þ t = ÞI= Ví dụ Tính tích phân I = Hướng dẫn: I= -1 ò dx = x + 2x + Đặt x + = tan t p ĐS: I = 12 ò -1 ò Ví dụ Tính tích phân I = p ĐS: I = Ví dụ Tính tích phân I = p ĐS: I = 12 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác -1 p ò + tan 0 dx + (x + 1)2 ò -1 ò dx - x2 dx x + 2x + 2 p ò cos p 2 x sin xdx ò cos xdx Lop12.net p ò dt = dx x + 2x + Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I = Hướng dẫn: Đặt t = sin x ĐS: I = 15 p Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I = Hướng dẫn: Đặt t = cos x ĐS: I = 15 tan t + dt = t p Vậy I = (4) Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân I = I= p ò cos x sin2 xdx = p p ò cos Giải p x sin2 xdx p p 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos 4x)dx + ò cos 2x sin2 2xdx ò ò 16 p p æx sin 2x ö÷ p 1 ç = (1 cos 4x)dx + sin 2xd(sin 2x) = sin 4x + ÷÷ = ç ò ò è 16 64 16 24 ø 32 p Vậy I = 32 Ví dụ 14 Tính tích phân I = Hướng dẫn: p dx cos x + sin x + ò x ĐS: I = ln Đặt t = tan Biểu diễn các hàm số LG theo t tan 3.2 Dạng liên kết Ví dụ 15 Tính tích phân I = p xdx sin x + ò Giải Đặt x = p - t Þ dx = -dt x = Þ t = p, x = p Þ t = 0 Þ I = -ò p (p - t)dt = sin(p - t) + p = p ò0 dt ( sin 2t + cos 2t ) = Tổng quát: ò 0 p ( t p p p dt = ò ò t p cos2 2 ò Ví dụ 16 Tính tích phân I = p p p p ò ( sin t + - sin t + ) dt p dt p dt -IÞ I= ò sin t + sin t + = pò p 2t 1 t2 2t a ; cos a ; tan a : sin a 2 1 t 1 t 1 t2 ) Vậy I = p æ t pö d çç - ÷÷÷ p çè ø æ t p ö÷ p ç = tan ç - ÷÷ = p æ èç ø p ö÷ 2 çt cos ç - ÷÷ çè ø p p xf(sin x)dx = ò f(sin x)dx sin2007 x dx sin2007 x + cos2007 x Giải p Đặt x = - t Þ dx = -dt Lop12.net (5) x=0Þt= sin2007 Þ I = -ò p Mặt khác I + J = Tổng quát: sin2007 p ( p2 - t ) + cos ( p2 - t ) 2007 p ò dx = p Ví dụ 17 Tính tích phân I = p dx = (2) Từ (1) và (2) suy I = sin n x dx = sin n x + cosn x ò I - 3J = - ( p2 - t ) p p , x= Þt=0 2 p ò (1) p ò p ò p cosn x p dx = , n Î + n n sin x + cos x sin x dx và J = sin x + cos x Giải p cos2007 t dx = J (1) sin2007 t + cos2007 t p ò cos2 x dx sin x + cos x dx dx dx = ò sin x + p sin x + cos x p Đặt t = x + Þ dt = dx I + J = ln (2) 1- 1- ln + , J= ln Từ (1) và (2) I = 16 16 ln(1 + x) dx Ví dụ 18 Tính tích phân I = ò + x I+J = ò ÞI= p ò ÞI= = p ò ( ) Giải Đặt x = tan t Þ dx = (1 + tan2 t)dt p x = Þ t = 0, x = Þ t = p ln(1 + tan t) ( + tan2 t ) dt = ò ln(1 + tan t)dt + tan t p Đặt t = - u Þ dt = -du p p t=0Þu= , t= Þu=0 4 p ò é æp ứ ln(1 + tan t)dt = -ò ln ê + tan çç - u ÷÷÷ ú du çè êë ø úû p æ - tan u ö÷ ln çç + ÷ du = çè + tan u ÷ø Lop12.net p ò æ ö÷ ln çç ÷ du çè + tan u ÷ø (6) p p 0 p ò ln 2du - ò ln (1 + tan u ) du = ln - I = Vậy I = Ví dụ 19 Tính tích phân I = p ĐS: I = cos x dx x +1 ò 2007 - Hướng dẫn: Đặt x = -t p ln p Tổng quát: Với a > , a > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ -a; a ] thì a f(x) ò a x + dx = -a a ò f(x)dx Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f(-x) + 2f(x) = cos x Tính tích phân I = p ò f(x)dx - ò f(-x)dx , x = -t Þ dx = -dt Đặt J = - x=- ÞI= Giải p p p p p p p p Þt= , x= Þt=2 2 p ò f(-t)dt = J Þ 3I = J + 2I = ò [ f(-x) + 2f(x) ] dx - p - = p p p ò cos xdx = 2ò cos xdx = - p Vậy I = 3.3 Các kết cần nhớ i/ Với a > , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a ò f(x)dx = -a ii/ Với a > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) Lop12.net a a -a ò f(x)dx = 2ò f(x)dx (7) p ò cos n xdx = p ò Trong đó ìï (n - 1)!! ïï , neáu n leû n sin xdx = ïí n !! ïï (n - 1)!! p , neáu n chaün ïï ïî n !! n!! đọc là n walliss và định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: !! = 1; 1!! = 1; !! = 2; !! = 1.3; !! = 2.4; !! = 1.3.5; !! = 2.4.6; !! = 1.3.5.7; !! = 2.4.6.8; !! = 1.3.5.7.9; 10 !! = 2.4.6.8.10 Ví dụ 21 Ví dụ 22 p ò cos 11 xdx = 10 !! 2.4.6.8.10 256 = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 ò sin 10 xdx = !! p 1.3.5.7.9 p 63p = = 10 !! 2.4.6.8.10 512 p II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta có / / ( uv )/ = u v + uv Þ ( uv )/ dx = u/ vdx + uv/ dx Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ Þ uv b a = b b a a b ò d(uv) = a ò b a vdu + ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv Công thức: a b ò udv = uv a b a a ò udv a b - ò vdu a - ò vdu (1) a ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a b b Công thức (1) còn viết dạng: b b b a b - ò f / (x)g(x)dx (2) a Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực a Cách Bước Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân / Bước Thay vào công thức (1) để tính kết Đặc biệt: i/ Nếu gặp ii/ Nếu gặp Cách b b b a b a a ò P(x) sin axdx, ò P(x) cos axdx, ò e ax b ò vdu phải tính a .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x a Lop12.net (8) Viết lại tích phân b b a a ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G (x)dx / và sử dụng trực tiếp công thức (2) ò xe dx Ví dụ Tính tích phân I = x Giải u = x ì du = dx ì ï ï Đặt ï (chọn C = ) í dv = e x dx Þ ï í x ï ï ï ïv = e î î ò xe dx = xe Þ e ÞJ= - ò e x dx = (x - 1)e x p òe x sin xdx Giải ì du = cos xdx ì u = sin x ï ï ï Đặt ï Þ í í x ï ï dv = e dx v = ex ï ï î î ò e x sin xdx = e x sin x p p p - ò e x cos xdx = e - J ì ì ï du = - sin xdx ï u = cos x Đặt ï í dv = e x dx Þ ï í ï ï v = ex ï ï î î p òe x cos xdx = e x cos x p + p òe x sin xdx = -1 + I p e2 + Þ I = e - (-1 + I) Þ I = p Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần Hướng dẫn: Đặt t = = dx ìï ïï du = ìï u = ln x x Đặt ïí Þ ïí ïï dv = xdx ïï x î ïï v = î e e x e2 + x ln xdx = ln x - ò xdx = 2 ò p Ví dụ Tính tích phân I = Giải e Þ ÞI= x ò x ln xdx Ví dụ Tính tích phân I = Ví dụ Tính tích phân I = x p2 ò cos xdx p x Þ I = ò t cos tdt = = p - Lop12.net (9) e ò sin(ln x)dx Ví dụ Tính tích phân I = (sin1 - cos1)e + ĐS: I = III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b ò Giả sử cần tính tích phân I = f(x) dx , ta thực các bước sau a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x f(x) Bước Tính I = b ò a f(x) dx = ò Ví dụ Tính tích phân I = I= x2 - x1 x2 b a x1 x2 ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx Giải x x - 3x + ò (x -3 -3 + p ĐS: I = - - Dạng Giả sử cần tính tích phân I = Cách Tách I = b ò a p ò - - 3x + ) dx - ò ( x - 3x + ) dx = Vậy I = Ví dụ 10 Tính tích phân I = + b x - 3x + dx -3 Bảng xét dấu + x1 59 - cos2 x - sin xdx b ò [ f(x) a [ f(x) ± g(x) ] dx = b ò a ± g(x) ] dx , ta thực f(x) dx ± b ò a g(x) dx sử dụng dạng trên Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) và g(x) Ví dụ 11 Tính tích phân I = ò(x -1 59 - x - ) dx Giải Cách Lop12.net (10) I= ò(x - x - ) dx = -1 = -ò xdx + -1 x =2 -1 Cách Bảng xét dấu I= ò x dx - ò x - dx -1 -1 ò xdx + ò (x - 1)dx - ò (x - 1)dx 2 x + x x x–1 2 -1 æx ö æx ö + çç - x ÷÷÷ - çç - x ÷÷÷ = è2 ø -1 è ø1 –1 0 – – + – 2 + + ò ( -x + x - 1) dx + ò ( x + x - 1) dx + ò ( x - x + 1) dx -1 = -x Dạng Để tính các tích phân I = b ò a 0 -1 + (x - x) + x Vậy I = max { f(x), g(x)} dx và J = = b ò { f(x), a g(x)} dx , ta thực các bước sau: Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b] Bước + Nếu h(x) > thì max { f(x), g(x)} = f(x) và { f(x), g(x)} = g(x) + Nếu h(x) < thì max { f(x), g(x)} = g(x) và { f(x), g(x)} = f(x) Ví dụ 12 Tính tích phân I = ò max { x + 1, 4x - } dx Giải Đặt h(x) = ( x + ) - ( 4x - ) = x - 4x + Bảng xét dấu x h(x) I= ò 0 + ( x2 + ) dx + Ví dụ 13 Tính tích phân I = ò { , x – ò + ( 4x - ) dx + 80 Vậy I = ò (x + ) dx = 80 - x } dx Giải Đặt h(x) = - ( - x ) = 3x + x - x Bảng xét dấu I= ò x h(x) 3x dx + ò 1 – ( - x ) dx = + ln x 10 Lop12.net æ x2 ö + çç 4x - ÷÷÷ = + è ø1 ln 2 (11) Vậy I = IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán Dạng b Để chứng minh "x Î [ a; b ] ò f(x)dx ³ Ví dụ 14 Chứng minh ò b ò f(x)dx £ ) ta chứng minh (hoặc a a Giải Với "x Î [ 0; ] : x £ Þ Để chứng minh f(x) ³ (hoặc f(x) £ ) với - x dx ³ b b a a ò 1- x ³ Þ Dạng 2 + ln - x dx ³ ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh f(x) ³ g(x) với "x Î [ a; Ví dụ 15 Chứng minh p ò dx £ + sin10 x p dx ò + sin 11 x b ] Giải p ù : £ sin x £ Þ £ sin11 x £ sin10 x Với "x Î éê 0; ë úû 1 Þ + sin10 x ³ + sin11 x > Þ £ 10 + sin x + sin11 x Vậy p dx ò + sin Dạng Để chứng minh A £ 10 x £ p dx ò + sin x 11 b ò f(x)dx £ B ta thực các bước sau a Bước Tìm giá trị lớn và nhỏ f(x) trên đoạn [a; b] ta m £ f(x) £ M Bước Lấy tích phân A = m(b - a) £ Ví dụ 16 Chứng minh £ ò b ò f(x)dx £ M(b - a) = B a + x dx £ Giải Với "x Î [ 0; ] : £ + x £ Þ £ Vậy £ Ví dụ 17 Chứng minh p £ 3p ò p ò + x dx £ dx p £ 2 - sin x Giải 11 Lop12.net + x2 £ 5 (12) é p 3p ù Với "x Î ê ; £ sin x £ Þ £ sin2 x £ ú: û 2 ë4 1 Þ £ - sin2 x £ Þ £ £1 - sin2 x Þ ( 3p p £ 4 ) ò dx 3p p £1 4 - sin x p £ ò dx p £ 2 - sin x Vậy Ví dụ 18 Chứng minh £ 12 3p p ò p p 3p p ( ) cotx dx £ x Giải ép pù cotx ú ta có Xét hàm số f(x) = , xÎê ; êë úû x -x - cotx ép pù ú f / (x) = sin x < "x Î ê ; êë úû x p p p pù Þf £ f(x) £ f "x Î éê ; ë úû ép pù cotx ú Þ £ £ "x Î ê ; êë úû p x p ( ) ( ) æç p p ö÷ Þ ç - ÷£ p çè ÷ø Vậy Dạng (tham khảo) Để chứng minh A £ £ 12 p cotx æp pö dx £ çç - ÷÷ x p çè ÷ø ò p p ò p cotx dx £ x b ò f(x)dx £ B (mà dạng không làm được) ta thực a ìf(x) £ g(x) "x Î [a; b] ï ï b ïb Þ f(x)dx £ B Bước Tìm hàm số g(x) cho ï í ò ï g(x)dx = B ï a ò ï ï îa ìïh(x) £ f(x) "x Î [a; b] ïï b ï b Þ A £ ò f(x)dx Bước Tìm hàm số h(x) cho í ïï h(x)dx = A a ò ïï îa Ví dụ 19 Chứng minh £ 2 ò dx p £ 2007 1- x 12 Lop12.net (13) Giải ù ú : £ x 2007 £ x £ ûú 1 Þ £ - x £ - x 2007 £ Þ £ £ - x 2007 é Với "x Î ê 0; ëê Þ 2 2 dx dx £ò 2007 1- x - x2 0 Đặt x = sin t Þ dx = cos tdt p x = Þ t = 0, x = Þt= ò dx £ ò Þ 2 +1 £ p dx = - x2 ò Vậy Ví dụ 20 Chứng minh 2 1 - x2 2 £ cos tdt p = cos t dx p £ - x 2007 ò ò xdx +1 £ x + -1 Giải Với "x Î [ 0; ] : - £ x + - £ - x x x Þ £ £ -1 -1 x2 + - Þ ò Vậy ò xdx £ -1 xdx £ x + -1 ò +1 £ xdx £ x2 + - ò ò xdx -1 +1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn các đường y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là S = b ò a f(x) dx Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò a f(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, x = 1, x = e và Ox Giải Do ln x ³ "x Î [ 1; e ] nên S= e ò ln x dx = e ò ln xdx = x ( ln x - ) Vậy S = (đvdt) 13 Lop12.net e = (14) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = -x + 4x - 3, x = 0, x = và Ox Giải Bảng xét dấu x y – + S = -ò ( -x + 4x - ) dx + ò ( -x + 4x - ) dx æ x ö æ x3 ö = - çç + 2x + 3x ÷÷÷ + çç + 2x + 3x ÷÷÷ = è ø0 è ø1 Vậy S = (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S = b ò f(x) - g(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) - g(x) dx a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = f(x), y = g(x) là S = b ò a f(x) - g(x) dx Trong đó a, b là nghiệm nhỏ và lớn phương trình f(x) = g(x) ( a £ a < b £ b ) Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) = g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b ] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) - g(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x + 11x - 6, y = 6x , x = 0, x = Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x = x - 6x + 11x - h(x) = Û x = Ú x = Ú x = (loại) Bảng xét dấu x h(x) – + S = -ò ( x - 6x + 11x - ) dx + 2 ò (x - 6x + 11x - ) dx æx ö æx ö 11x 11x = - çç - 2x + - 6x ÷÷÷ + çç - 2x + - 6x ÷÷÷ = è ø0 è ø1 2 4 14 Lop12.net (15) (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x + 11x - 6, y = 6x Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x = x - 6x + 11x - h(x) = Û x = Ú x = Ú x = Bảng xét dấu x h(x) + – Vậy S = S= ò (x 3 - 6x + 11x - ) dx - ò ( x - 6x + 11x - ) dx 2 æx ö æx ö 11x 11x = çç - 2x + - 6x ÷÷÷ - çç - 2x + - 6x ÷÷÷ = è4 ø1 è ø2 2 Vậy S = (đvdt) 2 Chú ý: Nếu đoạn [ a; b ] phương trình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào thì ta có thể dùng công b thức ò a f(x) - g(x) dx = b ò [ f(x) - g(x) ] dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 4x Giải Ta có x = 4x Û x = -2 Ú x = Ú x = ÞS= ò (x -2 ò (x - 4x ) dx + - 4x ) dx æx ö æx ö = çç - 2x ÷÷÷ + çç - 2x ÷÷÷ = è ø -2 è ø0 4 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - x + và trục hoành Giải Ta có x - x + = Û t2 - 4t + = 0, t = x ³ ét = é x =1 é x = ±1 Û êê Û êê Û êê t=3 x =3 x = ±3 ë ë ë ÞS= ò -3 x - x + dx = ò x - 4x + dx é = êê ò ( x - 4x + ) dx ëê é æ x3 ö÷ = ê çç - 2x + 3x ÷÷ + êë è ø0 ù - 4x + ) dx úú ûú 3 ù æx ö 16 ç - 2x + 3x ÷÷ ú = ÷ø ú çè 3 û 16 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - 4x + và y = x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm x - 4x + = x + + 15 Lop12.net ò (x (16) ìï x + ³ ïï éx = Û ïí éê x - 4x + = x + Û ê êx = ïï ë ê ïï ê x - 4x + = -x - îë Bảng xét dấu x x - 4x + ÞS= ò (x + - 5x ) dx + ò ( -x – + + 3x - ) dx + ò (x - 5x ) dx æ x3 æ -x ö æ x3 5x ö÷ 3x 5x ö÷ 109 = çç + - 6x ÷÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ = è ø1 è ø0 è 2 ø3 109 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - , y = x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm x - = x + Û t2 - = t + 5, t = x ³ ìï t = x ³ ïï ìï t = x ³ Û ïí éê t - = t + Û ïí Û x = ±3 ïï ïï t = î ïï êê t2 - = -t - îë ÞS= Bảng xét dấu ò -3 x - - ( x + ) dx = ò x - - ( x + ) dx x x -1 ÞS=2 ò ( -x – + - x - ) dx + ò (x - x - ) dx æ -x ö÷ æ x3 ö x2 x2 73 ç ç =2ç - 4x ÷÷ + ç - 6x ÷÷÷ = è ø0 è ø1 2 73 Vậy S = (đvdt) 3 Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = f(x) ³ "x Î [ a; b ] , y = , b x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f (x)dx a Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x + y = R quay quanh Ox Giải Hoành độ giao điểm (C) và Ox là x = R Û x = ±R Phương trình (C) : x + y2 = R Û y2 = R - x 2 R R -R Þ V = p ò ( R - x ) dx = 2pò ( R - x ) dx16 Lop12.net (17) æ x3 ö 4pR = 2p çç R x - ÷÷÷ = è ø0 4pR Vậy V = (đvtt) R Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x = g(y) ³ "y Î [ c; d ] , x = , d y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là V = pò g2 (y)dy c x2 y2 Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse (E) : + = quay quanh Oy a b Giải y2 Tung độ giao điểm (E) và Oy là = Û y = ±b b 2 x y a y2 Phương trình (E) : + = Û x = a - a b b b b 2 2 æ æ a y ö a y ö Þ V = pò çç a - ÷÷÷ dy = 2pò çç a - ÷÷÷ dy è è b ø b ø -b æ a y ö÷ 4pa b ç = 2p ç a y ÷ = è 3b2 ÷ø 4pa b Vậy V = (đvtt) 3 R Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ³ 0, g(x) ³ "x Î [ a; b ]) quay quanh trục Ox là b V = pò f (x) - g2 (x) dx a Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường y = x , y2 = x quay quanh Ox Giải ìx ³ éx = ï Hoành độ giao điểm ï Û êê í x=1 ï ïx = x ë î Þ V = pò x - x dx = p ( ) ò (x - x ) dx 3p x - x = 10 3p Vậy V = (đvtt) 10 =p Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và y = d (c < d, f(y) ³ 0, g(y) ³ "y Î [ c; d ]) quay quanh trục Oy là d V = pò f (y) - g2 (y) dy c Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường x = -y2 + , x = - y quay quanh Oy 17 Lop12.net (18) Giải é y = -1 Tung độ giao điểm -y2 + = - y Û êê y=2 ë Þ V = pò ( -y2 + ) - ( - y )2 dy =p 2 -1 ò (y -1 - 11y2 + 6y + 16 ) dy æ y5 11y ö = p çç + 3y2 + 16y ÷÷ çè ÷ø Vậy V = VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP -1 = 153p (đvtt) 153p 1 1 10 Tính I= 1 x dx Áp dụng kết đó hãy tính tổng sau: S C101 C102 C1010 11 Tính: I x 1 x dx Áp dụng kết đó hãy tính tổng sau: 19 S 1 1 18 19 C19 C19 C19 C19 C19 20 21 3 Chứng minh rằng: Cn1 Cn2 2n 1 Cnn n 1 n 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x cos x , biết F ln sin x cos x 4 Tính các tích phân sau: 2 e A= x - x dx x B= x -1 dx C= x ln 2dx -2 Tính các tích phân sau: A= e3 cos x sin xdx e B= ln x dx C*= x dx x x 4 2 x dx x -1 1 D*= Tính các tích phân sau: e I= sin(ln x) dx x J= dx sin x cot x 10 K= lg xdx ln L= x dx x 3 ln e 2e M= sin xdx cos x sin x N= dx x -9 C= sin x dx (1 cos x)2 Tính các tích phân sau: dx A= - x2 B= dx x2 18 Lop12.net C= 16 - x dx (19) ln D= 1- e x dx ex dx x 1 E= 2 Tính các tích phân sau: e2 ln x dx x B*= x sin x dx A= ln x dx x C*= cos x 3x x dx x3 e E= D*= cos(ln x)dx F* x2 dx 1 x Tính: A= cos xdx e F= ln x dx x C= xe x dx B= cos3 xdx 0 G= x x dx H= x xdx 0 D= e I= x x dx x dx x 1 E= x ln xdx 1 x dx 1 x J= Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a x=1; x=e; y=0 và y= ln x b y=2x; y=3x và x=0 x c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) điểm có hoành độ 10 Cho hình phẳng D giới hạn các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 và y=0, x=1 nó quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Hết 19 Lop12.net (20)