Đang tải... (xem toàn văn)
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào dưới đây?... Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên g[r]
(1)TÍCH PHÂN
(2)NỘI DUNG CÂU HỎI
Câu Tính tích phânI = π
Z
0
(sin 2x+ sinx) dx
A I = B I = C I = D I =
Lời giải
Ta có: I = π
Z
0
(sin 2x+ sinx) dx= Å
−1
2·cos 2x−cosx ã
π
2
=
Chọn đáp án D
Câu Tính nguyên hàmI =
Z Å
2x2−
x ã
dx
A I = 3x
3−3 lnx+C. B. I =
3x
3−3 ln|x|+C.
C I = 3x
3+ lnx+C. D.I =
3x
3+ ln|x|+C.
Lời giải I =
Z Å
2x2−
x ã
dx= 3x
3−
3 ln|x|+C
Chọn đáp án B
Câu Cho hai bóng A, B di chuyển ngược chiều va chạm với Sau va chạm bóng nảy ngược lại đoạn dừng hẳn Biết sau va chạm, bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8−2t(m/s) bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12−4t(m/s)
Tính khoảng cách hai bóng sau dừng hẳn (Giả sử hai bóng chuyển động thẳng)
A 36 mét B 32 mét C 34mét D 30mét
Lời giải
Thời gian bóngAchuyển động từ lúc va chạm đến dừng hẳnvA(t) = ⇔8−2t= 0⇒t = 4s
Quãng đường bóng A di chuyển SA=
Z
(8−2t) dx= 16m
Thời gian bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến dừng hẳn vB(t) = ⇔12−4t = ⇒
t= 3s
Quãng đường bóng B chuyển SB =
Z
(12−4t) dx= 18m
Vậy: Khoảng cách hai bóng sau dừng hẳn làS =SA+SB = 34m
Chọn đáp án C
Câu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R thỏa mãn fπ
= −1 với x ∈ R ta có
f0(x)·f(x)−sin 2x=f0(x)·cosx−f(x).sinx Tính tích phân I = π
R
f(x) dx
A I = B I =√2−1 C I =
√
2
2 −1 D I = Lời giải
Ta có f0(x)·f(x)−sin 2x=f0(x)·cosx−f(x)·sinx⇔f0(x)·f(x)−sin 2x= [f(x)·cosx]0 Lấy nguyên hàm hai vế:R [f0(x)·f(x)−sin 2x] dx=R [f(x)·cosx]0 dx
⇔ f
2(x)
2 +
2cos 2x= cosx·f(x) +C
Vìfπ
=−1⇒C = 0⇒f2(x) + cos 2x= cosx·f(x)⇔f2(x)−2 cosx·f(x) + cos2x= sin2x
(3)⇔(f(x)−cosx)2 = sin2x⇔
"
f(x)−cosx= sinx f(x)−cosx=−sinx
Vì fπ
=−1 nên nhân f(x) = cosx−sinx Vậy I =
π
R
f(x) dx= π
R
(cosx−sinx) dx= (cosx−sinx)
π
0 =
√
2−1
Chọn đáp án B
Câu Cho hàm số y =f(x) liên tục R thỏa mãn Z
0
f(x)dx= Z
0
f(x)dx = Tính tích
phân I =
1 Z
−1
f(|3x−2|)dx
A I = B I =−2 C I = D I =
Lời giải
Ta có Z
−1
f(|3x−2|)dx=
Z
−1
f(−3x+ 2)dx+
1 Z
2
f(3x−2)dx=I1+I2
I1 =
2
Z
−1
f(−3x+ 2)dx=−1
3
Z
−1
f(−3x+ 2)d(−3x+ 2)
Đặt t=−3x+ suy x=−1⇒t= 5; x=
3 ⇒x= Do I1 =
5 Z
0
f(t)dt=
I2 = Z
2
f(3x−2)dx=
Z
2
1f(3x−2)d(3x−2)
Đặt t= 3x−2 suy x= ⇒t = 1; x=
3 ⇒x= Do I2 =
1 Z
0
f(t)dt = Vậy I =I1+I2 =
Chọn đáp án A
Câu Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) =x2ex3+1.
A Z
f(x) dx= ex3+1+C B Z
f(x) dx= 3ex3+1+C
C Z
f(x) dx= 3e
x3+1
+C D
Z
f(x) dx= x
3
3 e
x3+1 +C
Lời giải
Ta có Z
x2ex3+1dx=
Z
ex3+1d(x3+ 1) = 3e
x3+1 +C
Chọn đáp án C
Câu Mệnh đề sau đúng?
A Z
xexdx= ex+xex+C B Z
xexdx=−ex+xex+C
C Z
xexdx= x
2
2 e
x+C. D.
Z
xexdx= ex+ x
2
2e
x+C.
(4)Ta có Z
xexdx=
Z
xdex =xex−
Z
exdx=xex−ex+C
Chọn đáp án B
Câu Tìm họ nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = 5x+ A F(x) =
ln 5ln|5x+ 4|+C B F(x) = ln|5x+ 4|+C C F(x) =
5ln|5x+ 4|+C D.F(x) =
5ln(5x+ 4) +C Lời giải
Ta có Z
1
5x+ 4dx=
5ln|5x+ 4|+C
Chọn đáp án C
Câu Cho hàm số f(x) = 2x + ex Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn
F(0) = 2019
A F(x) = ex−2019. B. F(x) = x2+ ex−2018.
C F(x) =x2+ ex+ 2017. D.F(x) = x2+ ex+ 2018.
Lời giải F(x) =
Z
(2x+ ex) dx=x2+ ex+C
Do F(0) = 2019 nên 02+ e0+C = 2019⇔C = 2018. Vậy F(x) = x2+ ex+ 2018.
Chọn đáp án D
Câu 10 Cho hàm số f(x) liên tục trênR thỏa mãn điều kiện:f(0) = 2√2, f(x)>0với x∈R
và f(x).f0(x) = (2x+ 1)p1 +f2(x) với mọi x∈
R Khi giá trị f(1)
A √15 B √23 C √24 D √26
Lời giải
Từ giả thiết ta có2x+ = f(x)·f 0(x)
p
1 +f2(x) ⇒ Z
f(x)·f0(x)
p
1 +f2(x)dx= Z
(2x+ 1) dx
Bây ta tínhI =
Z f(x)·f0(x) p
1 +f2(x)dx
Đặt p1 +f2(x) = t ⇒1 +f2(x) =t2 ⇒2f(x)f0(x)dx= 2tdt ⇒f(x)f0(x)dx=tdt.
Do đóI =
Z
t tdx=
Z
dt=t+C =»1 +f2(x) +C.
Ta nhận p1 +f2(x) +C =x2+x. f(0) = 2√2⇒C =−3. Từ đóp1 +f2(x)−3 =x2+x Khi x= 1 ta có
p
1 +f2(1)−3 = + 1⇒1 +f2(1) = 25⇒f(1) =√24.
Chọn đáp án C
Câu 11 Cho Z
0
f(x) dx= Z
0
g(x) dx= 5, Z
0
[f(x)−2g(x)] dx
A −3 B 12 C −8 D
Lời giải
1 Z
0
[f(x)−2g(x)] dx=
1 Z
0
f(x) dx−2
1 Z
0
g(x) dx= 2−2·5 = −8
Chọn đáp án C
(5)A ex+x2 +C. B. ex+
2x
2+C.
C
x+ 1e
x+1
2x
2+C. D.ex+ +C.
Lời giải
Z
f(x) dx=
Z
(ex+x) dx= ex+ 2x
2
+C
Chọn đáp án B
Câu 13
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức ?
A Z
−1
(2x2−2x−4) dx B Z
−1
(−2x+ 2) dx
C Z
−1
(2x−2) dx D Z
−1
(−2x2+ 2x+ 4) dx
x
−1
2
y
O
y=−x2+
y=x2−2x−1
Lời giải S =
2 Z
−1
(−x2+ 3)−(x2 −2x−1) dx=
2 Z
−1
(−2x2+ 2x+ 4) dx
Chọn đáp án D
Câu 14 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 4x(1 + lnx)
A 2x2lnx+ 3x2. B. 2x2lnx+x2. C. 2x2lnx+ 3x2+C. D. 2x2lnx+x2+C.
Lời giải
Z
4x(1 + lnx) dx=
Z
(1 + lnx) d(2x2) = 2x2(1 + lnx)−
Z
2x21 xdx = 2x2(1 + lnx)−x2 +C = 2x2lnx+x2+C
Chọn đáp án D
Câu 15 Cho Z
0
xdx
(x+ 2)2 = a+bln +cln với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a+b +c
(6)Lời giải
1 Z
0
xdx (x+ 2)2 =
1 Z
0
x+ 2−2 (x+ 2)2 dx
=
1 Z
0
x+
(x+ 2)2dx− Z
0
2 (x+ 2)2 dx
=
1 Z
0
1
x+ dx−
1 Z
0
2
(x+ 2)2 dx
= ln|x+ 2|
0
+ x+
0
= ln 3−ln 2−
3
Nêna =−1
3, b =−1, c= 1, suy 3a+b+c=−1
Chọn đáp án B
Câu 16
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnhA1,A2,B1,B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/m2 phần lại là100.000đồng/m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A1A2 = 8m,B1B2 = 6m tứ giác
M N P Q hình chữ nhật có M Q= 3m ?
A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng
C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng
M N
P Q
A1 A2
B1 B2
Lời giải
Giả sử phương trình elip (E) : x
2
a2 +
y2
b2 = Theo giả thiết ta có
(
A1A2 =
B1B2 =
⇔
(
2a= 2b = ⇔
(
a= a=
Suy (E) : x
2
16 + y2
9 = 1⇒y =±
√
16−x2. Diện tích elip(E) làS(E) =πab= 12π (m2) Ta có: M Q= ⇒
(
M =d∩(E)
N =d∩(E) với d:y =
2 ⇒M(−2
√
3;3
2)và N(2
√
3;3 2)
Khi đó, diện tích phần khơng tơ màu S =
4 Z
2√3
(3
√
16−x2)dx= 4π−6√3(m2).
Diện tích phần tô màu S0 =S(E)−S = 8π+
√
3 Số tiền để sơn theo yêu cầu tốn
T = 100.000×(4π−6√3) + 200.000×(8π+ 6√3)≈7.322.000 đồng
Chọn đáp án A
Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = x+ sinx
A x2 + cosx+C. B. x2−cosx+C. C. x
2 −cosx+C D x2
(7)Lời giải
Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số ta có Z
(x+ sinx) dx= x
2
2 −cosx+C
Cách 2: Lấy đạo hàm hàm số ta kết
Chọn đáp án C
Câu 18 Cho Z
−1
f(x)dx= Z
−1
g(x)dx=−1, Z
−1
[x+ 2f(x) + 3g(x)] dx
A
2 B
7
2 C
17
2 D
11 Lời giải
Ta có: Z
−1
[x+ 2f(x) + 3g(x)]dx=
2 Z
−1
xdx+
2 Z
−1
f(x)dx+
2 Z
−1
g(x)dx=
2+ 4−3 =
Chọn đáp án A
Câu 19 BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x) = e2xvàF(0) = 201
2 Giá trịF Å
1
ã
là
A
2e + 200 B 2e + 200 C
2e + 50 D
2e + 100 Lời giải
Ta có F(x) =
Z
e2xdx= 2e
2x
+C Theo đề ta cóF(0) = 201
2 ⇔ 2e
0+C = 201
2 ⇔C = 100
Vậy F(x) = 2e
2x+ 100⇒F(2) =
2e + 100
Chọn đáp án D
Câu 20 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm sốf(x)·g(x)biếtF(1) = 3, biết Z
f(x)dx=x+ 2018
và Z
g(x)dx=x2+ 2019
A F(x) = x3+ B F(x) =x3+ C F(x) =x2+ D F(x) = x2+
Lời giải
Ta có Z
f(x)dx=x+ 2018⇒f(x) = (x+ 2018)0 =
và Z
g(x)dx=x2+ 2019⇒g(x) = (x2 + 2019)0 = 2x
⇒f(x)·g(x) = 2x⇒F(x) =
Z
f(x)·g(x)dx=x2+C Mặt khác F(1) = 3⇒12+C = 3⇒C =
Vậy F(x) = x2+
Chọn đáp án C
Câu 21 Cho Z
0
1
(x+ 1)(x+ 2)dx = aln +bln +cln với a, b, c số thực Giá trị a+b2−c3
A B C D
Lời giải
Ta có Z
2
dx
(x+ 1)(x+ 2) =
3 Z
2
Å x+ −
1 x+
ã
dx= ln
x+ x+
2
= ln4 5−ln
3
4 = ln 2−ln 3−ln
(8)Chọn đáp án B Câu 22 Cho hàm sốf(x)liên tục có đạo hàm trên0;π
2
, thỏa mãnf(x) + tanxf0(x) = x cos3x Biết √3fπ
3
−fπ
6
= aπ√3 +bln a, b ∈ R Giá trị biểu thức P = a+b
bằng
A 14
9 B −
2
9 C
7
9 D −
4 Lời giải
Ta có f(x) + tanxf0(x) = x
cos3x ⇔cosx·f(x) + sinxf
0(x) = x
cos2x ⇔[sinx·f(x)]
0 = x
cos2x Do
Z
[sinx·f(x)]0dx=
Z x
cos2xdx⇒sinx·f(x) =
Z x
cos2xdx Tính I =
Z
x cos2xdx Đặt
u=x dv = dx
cos2x
⇒
(
du= dx v = tanx
Khi đóI =x·tanx−
Z
tanxdx=x·tanx−
Z d cosx
cosx =x·tanx+ ln|cosx|
Suy f(x) = x·tanx+ ln|cosx| sinx =
x cosx +
ln|cosx|
sinx
Do √3f
π
3
−f
π
6
=aπ√3 +bln =√3 Å2π
3 − ln
√
3 ã
−
Ç π√3
9 + ln
√
3
å = 5π
√
3 ln
Khi
a= b =−1
Vậy P =a+b =−4
9
Chọn đáp án D
Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2−1là
A x3 +C. B. x
3
3 +x+C C 6x+C D x
3−x+C.
Lời giải
Ta có Z
f(x)dx=
Z
(3x2−1) dx=x3−x+C
Chọn đáp án D
Câu 24 Giá trị Z
0
(2019x2018−1)dx
A B 22017+ C 22017−1 D
Lời giải
1 Z
0
(2019x2018−1)dx= 2019
1 Z
0
x2018dx−
1 Z
0
dx= (x2019−x+C)
=
Chọn đáp án A
Câu 25 Hàm số f(x) = cos(4x+ 7) có nguyên hàm
A −sin(4x+ 7) +x B
4sin(4x+ 7)−3 C sin(4x+ 7)−1 D −
4sin(4x+ 7) + Lời giải
Hàm số f(x) = cos(4x+ 7) có nguyên hàm
4sin(4x+ 7)−3
(9)Câu 26 Biết Z
0
x2+ 2x
(x+ 3)2dx=
a −4 ln
4
b với a, b số nguyên dương Giá trị biểu thức a2+b2 bằng
A 25 B 41 C 20 D 34
Lời giải I =
1 Z
0
x2+ 2x
(x+ 3)2dx Đặt t=x+ ⇒dt= dx, đổi cận (
x= 0⇒t= x= 1⇒t= I =
4 Z
3
t2−4t+ 3
t2 dt= Z
3
Å 1−
t + t2
ã dt=
Å
t−4 ln|t| −3
t ã
3
= −4 ln
4
⇒
(
a= b =
⇒a2+b2 = 34.
Chọn đáp án D
Câu 27 Cho F(x) nguyên hàm hàm số f(x) =
xlnx thỏa mãn F Å1
e ã
= F(e) = ln Giá trị biểu thức F
Å1 e2
ã
+F(e2) bằng
A ln + B ln + C ln + D ln +
Lời giải
Ta có Z
1
xlnxdx=
Z
d(lnx)
lnx = ln|lnx|+C,x >0,x6=
NênF(x) =
(
ln(lnx) +C1 x >1
ln(−lnx) +C2 0< x < MàF
Å e
ã
= 2nênln Å
−ln1 e
ã
+C2 = ⇔C2 = 2;F(e) = ln nênln(ln e) +C1 = ln 2⇔C1 = ln
Suy F(x) =
(
ln(lnx) + ln x >1 ln(−lnx) + 0< x <1
Vậy F Å1
e2
ã
+F(e2) = ln
Å
−ln e2
ã
+ + ln(ln e2) + ln = ln + 2.
Chọn đáp án A
Câu 28 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = cosx; y = 0; x = x = π
2 Thể tích
vật thể trịn xoay có (H)quay quanh trục Ox
A π
4 B 2π C
π
4 D
π2 Lời giải
Gọi V thể tích khối trịn xoay cần tính Ta có
V =π
π
2 Z
0
(cosx)2dx=π
π
2 Z
0
1 + cos 2x
2 dx=π Å
x +
sin 2x
ã
π
2
= π
2
4
Chọn đáp án A
Câu 29 Gọi d đường thẳng tùy ý qua điểmM(1; 1) có hệ số góc âm Giả sửd cắt trục
(10)A 3π B 9π
4 C 2π D
5π Lời giải
O x
y
1
1 M
A B
Giả sử A(a; 0), B(0;b) Phương trình đường thẳng d: x a +
y
b = 1⇒d:y=− b
ax+b(1)
MàM(1; 1)∈d nên
a +
b = ⇒a+b =ab(2)
Từ (1) suy d có hệ số góc làk =−b
a, theo giả thiết ta có − b
a <0⇒ab >0
Nếu (
a <0 b <0
thì a+b <0 mâu thuẫn với (2) Suy a >0, b >0 Mặt khác từ(2) suy b= a a−1
kết hợp vớia >0, b >0 suy a >1
Khi quay ∆OAB quanh trụcOy, ta hình nón có chiều cao h=b bán kính đường trịn đáy
r=a
Thể tích khối nón V = 3πr
2h=
3πa
2.b=
3π a3 a−1
Suy V đạt giá trị nhỏ a
a−1 đạt giá trị nhỏ
Xét hàm số f(x) = x
3
x−1 =x
2+x+ +
x−1 khoảng (1; +∞) f0(x) = 2x+ 1−
(x−1)2 =
x2(2x−3)
(x−1)2 ;f
0(x) = 0⇒
x= x=
Bảng biến thiên
x f0(x)
f(x)
1
2 +∞
− +
+∞
27 27
4
+∞
+∞
Vậy giá trị nhỏ V
3π.f Å
3
ã = 9π
4
Chọn đáp án B
Câu 30 Cho hàm số f(x) thoả mãn Z
0
[2xln(x+ 1) +xf0(x)] dx= f(3) =
Biết Z
0
f(x) dx=a+bln
2 với a, b số thực dương Giá trị a+b
(11)Lời giải
Tính I =
3 Z
0
2xln(x+ 1) dx
Đặt (
u= ln(x+ 1) dv= 2xdx
⇒
du= x+ dx v =x2
Khi
I =x2ln(x+ 1)
0
−
3 Z
0
x2
x+ 1dx= ln 4− Åx2
2 −x+ ln|x+ 1| ã
0
= 16 ln 2−
2
Tính J =
3 R
xf0(x) dx
Đặt (
uJ =x
dvJ =f0(x)dx ⇒
(
duJ = dx
vJ =f(x)
J =
3 Z
0
xf0(x) dx=xf (x)|30−
3 Z
0
f(x) dx= 3−
3 Z
0
f(x) dx
Mà Z
0
[2xln(x+ 1) +xf0(x)] dx=
⇒I+J = 0⇒16 ln 2−
2+ 3−
3 Z
0
f(x)dx= 0⇒
3 Z
0
f(x) dx= 16 ln + =
3 + 32 ln 2
Suy (
a = b = 32 Vậy
a+b = 35
Chọn đáp án A
Câu 31 Cho f(x), g(x) hàm số có đạo hàm liên tục R, k ∈ R Trong khẳng định đây, khẳng định sai?
A Z
[f(x)−g(x)] dx=
Z
f(x)dx−
Z
g(x)dx B Z
f0(x)dx=f(x) +C
C Z
kf(x)dx=k
Z
f(x)dx D Z
[f(x) +g(x)] dx=
Z
f(x)dx+
Z
g(x)dx
Lời giải
Khẳng địnhA, B, D theo tính chất nguyên hàm Khẳng địnhC khik 6=
Chọn đáp án C
Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 2x(1 + 3x3)là
A x2 Å
1 + 2x
2
ã
+C B x2 Å
1 + 6x
3
5 ã
+C C 2x Å
x+3 4x
4
ã
+C D x2 Å
x+3 4x
3
ã +C
Lời giải
Ta có R f(x) dx=R 2x(1 + 3x3) dx=R (2x+ 6x4) dx=x2+ 6x
5
5 +C =x
2
Å + 6x
3
5 ã
+C
Chọn đáp án B
Câu 33 Chof(x),g(x)là hàm số liên tục trênRvà thỏa mãn Z
0
f(x) dx= 3, Z
0
(12)và Z
0
[2f(x) +g(x)] dx= TínhI =
2 Z
1
f(x) dx
A I = B I = C I = D I =
Lời giải
Đặt a=
2 Z
0
f(x) dx, b =
2 Z
0
g(x) dx
Theo giả thiết, ta có (
a−3b= 2a+b=
⇔
(
a= b=
Ta có Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
f(x) dx+
2 Z
1
f(x) dx⇒
2 Z
1
f(x) dx=
2 Z
0
f(x) dx−
1 Z
0
f(x) dx= 4−3 =
Chọn đáp án A
Câu 34 Hai người A B cách 180(m) đoạn đường thẳng chuyển động theo hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian ,A chuyển động với vận tốc v1(t) = 6t+ 5(m/s), B chuyển động với vận tốc v2(t) = 2at−3(m/s)(a số ), t (giây) khoảng thời gian tính từ lúcA B bắt đầu chuyển động Biết lúc A đuổi theo B 10(giây) đuổi kịp Hỏi sau 20(giây), A cáchB mét?
A 320(m) B 720(m) C 360(m) D 380(m)
Lời giải
Quảng đường A 10(giây):
10 Z
0
(6t+ 5) dt= 3t2+ 5t
10
0 = 350(m)
Quảng đường B 10(giây):
10 Z
0
(2at−3) dt = at2−3t
10
0 = 100a−30(m) Vì lúc đầu A đuổi theo B sau 10 (giây) đuổi kịp nên ta có:
(100a−30) + 180 = 350 ⇔a = 2⇒v2(t) = 4t−3(m/s)
Sau 20(giây) quãng đường A :
20 Z
0
(6t+ 5) dt= 3t2+ 5t
20
= 1300(m)
Sau 20(giây) quãng đường B :
20 Z
0
(4t−3) dt= 2t2−3t
20
= 740(m)
Khoảng cách A B sau 20(giây) 1300−740−180 = 380(m)
Chọn đáp án D
Câu 35 Cho Z
0
9x+ 3m
9x+ 3 dx=m
2−1 Tính tổng tất giá trị tham số m
A P = 12 B P =
(13)Từ giả thiết ta có
1 Z
0
9x+ 3m
9x+ 3 dx=m
2−1
⇔
1 Z
0
9x
9x+ 3dx+m
1 Z
0
3
9x+ 3dx=m
2−
1
⇔ m2−m
1 Z
0
3
9x+ 3dx−
1 Z
0
9x
9x+ 3dx−1 =
Phương trình phương trình bậc hai biếnm, với hệ số
a = b = −
1 Z
0
3 9x+ 3dx
c = −
1 Z
0
9x
9x+ 3dx−1
Áp dụng hệ thức Viet, tổng giá trị củam là:
m1+m2 =−
b a =
1 Z
0
3
9x+ 3dx=
1
(dùng máy tính bỏ túi tính tích phân xác định)
Chọn đáp án B
Câu 36 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = x2+ cosx là
A 2x−sinx+C B
3x
3+ sinx+C. C.
3x
3−sinx+C. D. x3+ sinx+C.
Lời giải
Ta có: Z
(x2+ cosx)dx= 3x
3+ sinx+C.
Chọn đáp án B
Câu 37 Nếu Z
1
f(x) dx= 5,
5 Z
2
f(x) dx=−1 Z
1
f(x) dx
A −2 B C D
Lời giải
Ta có Z
1
f(x) dx=
2 Z
1
f(x) dx+
5 Z
2
f(x) dx= + (−1) =
Chọn đáp án D
Câu 38 Diện tích hình phẳng H giới hạn hai đồ thị y=x3−2x−1 y= 2x−1 tính theo cơng thức
A S =
0 Z
−2
x3 −4x
dx B S =
2 Z
0
(14)C S =
2 Z
−2
x3−4xdx D.S =
2 Z
−2
x3−4x dx
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm củay =x3−2x−1 và y= 2x−1 là
x3−2x−1 = 2x−1⇔x3−4x= 0⇔
x= x= x=−2
Vậy diện tích hình phẳng H giới hạn hai đồ thị y = x3−2x−1 và y = 2x−1 được tính theo cơng thức S =
2 Z
−2
x3−4x dx
Chọn đáp án D
Câu 39 (2D3B1-3) Họ nguyên hàm hàm số f(x) = (2x+ 1)ex
A (2x−1)ex+C. B. (2x+ 3)ex+C. C. 2xex+C. D. (2x−2)ex+C.
Lời giải
Ta có Z
f(x) dx=
Z
(2x+ 1)exdx
Đặt (
u= 2x+ dv = exdx
⇒
(
du= dx v = ex
⇒
Z
(2x+ 1)exdx= (2x+ 1)ex−
Z
2exdx= (2x+ 1)ex−2ex+C = (2x−1)ex+C
Chọn đáp án A
Câu 40 Tính thể tích khối trịn xoay sinh Elip (E) : x
2
4 + y2
1 = quay quanh trục Ox A 64π
9 B
10π
3 C
8π
3 D
8π2
3 Lời giải
(E)có a2 = 4⇒a = 2 Do hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ A0(−2; 0) và (2; 0).
Vì x
4 + y2
1 = 1⇒y
2 = 1− x
4
Do thể tích khối trịn xoay VOx =π
2 Z
−2
y2dx=π
2 Z
−2
Å 1−x
2
4 ã
dx= 8π
Vậy VOx =
8π
3 (đvtt)
Chọn đáp án C
Câu 41 Cho Z
0
1
x2+ 3x+ 2dx=aln +bln 3, với a, blà số hữu tỷ Khi a+b
A B C D −1
Lời giải
Xét Z
0
1
x2+ 3x+ 2dx = Z
0
1
(x+ 1)(x+ 2)dx=
1 Z
0
Å 1 x+ −
1 x+
ã
dx = ln
Åx+ 1 x+
ã
1
= ln 2−
ln
Vậy a= 2, b =−1⇒a+b=
(15)Câu 42
Người ta cần trồng vườn hoa Cẩm Tú Cầu theo hình giới hạn đường Parabol nửa đường trịn có bán kính√2 mét (phần tơ hình vẽ) Biết rằng: để trồng m2 hoa cần là 250000 đồng, số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần
A 893000 đồng B 476000đồng C 809000 đồng D 559000đồng x
y
O
−1
−1
Lời giải
Nửa đường tròn (T)có phương trình y=√2−x2.
Xét parabol(P) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng:y =ax2+c.
(P) cắt Oy điểm (0;−1)nên ta có: c=−1
(P) cắt (T) điểm (1; 1) thuộc(T) nên ta được: a+c= 1⇒a = Phương trình của(P) là:y= 2x2−1
Diện tích miền phẳng D (tơ màu hình) là:
S=
1 Z
−1
Ä√
2−x2−2x2+ 1ä dx= Z
−1
√
2−x2dx+ Z
−1
−2x2+
dx
I1 = Z
−1
−2x2+
dx= Å
−2
3x
3+x
ã
−1
=
XétI2 = Z
−1
√
2−x2dx, đặt x=√2 sint, t∈h−π
2; π
i
thì dx=√2 costdt Đổi cận: x=−1 t =−π
4, với x= t= π
4, ta được:
I2 =
π/4 Z
−π/4 p
2−2sin2t√2 costdt=
π/4 Z
−π/4
2cos2tdt
=
π/4 Z
−π/4
(1 + cos 2t)dt = Å
t+ 2sin 2t
ã
π/4
−π/4
= + π
Suy S =I1+I2 =
5 +
π m
2.
Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 250000 Å
5 +
π
ã
≈809365 đồng
Câu 43 Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm khoảng(0; +∞)thỏa mãnf(x) =x.ln
Å x3
x.f0(x)−f(x) ã
và f(1) = Tính tích phân I =
5 Z
1
f(x) dx
A 12 ln 13−13 B 13 ln 13−12 C 12 ln 13 + 13 D 13 ln 13 + 12
(16)Từ giả thiết
f(x) = x.ln
Å x3
x.f0(x)−f(x) ã
⇔ f(x)
x = ln
x3
x.f0(x)−f(x)
⇔ ef(x)x = x
3
x.f0(x)−f(x) ⇔
x.f0(x)−f(x) x2 e
f(x) x =x
⇔
ïf(x) x
ò0
.ef(x)x =x (1)
Lấy nguyên hàm hai vế (1) suy ef(x)x = x2
2 +C
Do f(1) = 0⇒C =
2, nên e f(x)
x =
x2+ 1
2 ⇒f(x) = xln
x2+ 1
2 với x∈(0; +∞) I =
5 Z
1
f(x) dx=
5 Z
1
x.lnx
2+ 1
2 dx (2)
Đặt u= lnx
2+ 1
2 ⇒du= 2x
x2+ 1 dx; dv=xdx, chọn v =
x2+ 1
2
Theo cơng thức tích phân phần, ta được:
I = Å
x2+ ln
x2+
ã
1
−
5 Z
1
xdx= 13 ln 13− x
2
2
1
= 13 ln 13−12
Chọn đáp án B
Câu 44 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = e2x.
A Z
e2xdx= 2e2x+C B Z
e2xdx= e2x+C
C Z
e2xdx= e
2x+1
2x+ +C D
Z
e2xdx= 2e
2x+C.
Lời giải
Ta có Z
e2xdx=
Z
e2xd(2x) = 2e
2x+C.
Chọn đáp án D
Câu 45 Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn[a;b] Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy =f(x), trục hoành hai đường thẳng x =a, x =b, (a < b) tính theo cơng thức
A S =
b
Z
a
f(x)dx
B S =
b
Z
a
f(x)dx C S =π
b
Z
a
f2(x)dx D S =
b
Z
a
|f(x)|dx
Lời giải
Theo lí thuyết tính diện tích hình phẳng ta có diện tíchS hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) tính theo cơng thức
S =
b
Z
a
|f(x)|dx
Chọn đáp án D
Câu 46 Tính tích phânI =
5 Z
1
dx 1−2x
(17)Lời giải
Ta có I =
5 Z
1
dx
1−2x =−
5 Z
1
d(1−2x) 1−2x =−
1
2ln|1−2x|
=−ln
Chọn đáp án C
Câu 47 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3, trục hoành hai đường thẳng x=−1,x= biết đơn vị dài trục tọa độ cm
A 15
4 cm
2. B. 17
4 cm
2. C. 17cm2. D. 15cm2.
Lời giải
Ta có S =
2 Z
−1 x3
dx=
0 Z
−1 x3
dx+
2 Z
0 x3
dx=− Z
−1
x3dx+
2 Z
0
x3dx=−x
4
4
−1
+x
4
4
0
= 17
Do đơn vị trục 2cm nên S = 17 ·2
2 cm2 = 17 cm2.
Chọn đáp án C
Câu 48 Biết e Z
1
lnx
√
x dx=a
√
e+b với a,b∈Z Tính P =ab
A P = B P =−8 C P = D P =−4
Lời giải
Đặt
u= lnx dv = √dx
x
⇒
du= dx x v = 2√x
, ta có
e Z
1
lnx
√
x dx=
√
xlnx e
−2
e Z
1
dx
√
x =
√
xlnx e
−4√x e
=−2√e+
Từ suy (
a=−2
b = Vậy P =ab=−8
Chọn đáp án B
Câu 49
Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(1; 1) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật
giờ kể từ lúc xuất phát
A s = 40
3 (km) B s= 8(km) C s=
46
3 (km) D s = 6(km)
t v
1
1 10
O
Lời giải
Vì đồ thị hàm số v(t) có dạng phần parabol nên v(t) = at2 +bt+c(a6= 0, t ≥0). Đồ thị hàm số v(t) qua điểm (0; 2), (1; 1), (4; 10)nên ta có hệ phương trình
c=
a+b+c= 16a+ 4b+c= 10
⇔
(18)Do đóv(t) = t2−2t+ 2.
Vậy quãng đường mà vật làs=
4 Z
0
v(t) dt=
4 Z
0
(t2−2t+ 2) dt= 40 (km)
Chọn đáp án A
Câu 50
Cho hàm sốy=f(x)là hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ bên Biết
Z
xf00(x−1) dx = Z
1
2xf0(x2 −1) dx =−3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sốy=f(x) điểm có hồnh độ
x=
A y=x−4 B y=
2x− C y= 2x−7 D y= 3x−10
x y
2
O
Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta suy f(0) = 2và f0(0) = Xét tích phân
2 Z
1
2xf0(x2−1) dx Đặtu=x2−1⇒du= 2xdx. Đổi cận x= 1⇒u= 0;x= ⇒u=
Do Z
1
2xf0(x2 −1) dx=
3 Z
0
f0(u) du=f(u)
=f(3)−f(0)⇒f(3)−f(0) =−3⇔f(3) =−1
Xét tích phân Z
1
xf00(x−1) dx Đặt u=x−1⇒x=u+ ⇒dx= du Đổi cận x= 1⇒u= 0;x= ⇒u=
⇒
4 Z
1
xf00(x−1) dx=
3 Z
0
(u+ 1)f00(u) du =
3 Z
0
(u+ 1) df0(u) = (u+ 1)f0(x) 0−
3 Z
0
f0(u) du
= 4f0(3)−f0(0)−f(u)
= 4f0(3)−f0(0)−f(3) +f(0)
Do đó4f0(3)−f0(0)−f(3) +f(0) = 7⇔4f0(3) = +f(3)−f(0) = 4⇔f0(3) =
Như vậy, f(3) =−1, f0(3) = 1.Suy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độx= y=x−4
Chọn đáp án A
(19)Đồ thị hình bên hàm số y=f(x),S diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình) Chọn khẳng định
A S=
0 Z
−2
f(x) dx+
1 Z
0
f(x) dx
B S=
1 Z
−2
f(x) dx
C S= −2 Z
0
f(x) dx+
1 Z
0
f(x) dx
D S=
0 Z
−2
f(x) dx−
1 Z
0
f(x) dx
x y
O
−2
Lời giải
Từ đồ thị ta có f(x)≥0,∀x∈[−2; 0] f(x)≤0,∀x∈[0; 1] Do đóS =
1 Z
−2
|f(x)| dx=
1 Z
−2
|f(x)| dx+
1 Z
0
|f(x)| dx=
0 Z
−2
f(x) dx−
1 Z
0
f(x) dx
Chọn đáp án D
Câu 52 Cho hàm sốf(x)biếtf(0) = 1,f0(x)liên tục trên[0; 3]và Z
0
f0(x) dx= Tínhf(3)
A f(3) = B f(3) = 10 C f(3) = D f(3) =
Lời giải
Ta có Z
0
f0(x) dx= 9⇔ f(x)|30 = ⇔f(3)−f(0) = 9⇔f(3) = +f(0) = + = 10 Vậy f(3) = 10
Chọn đáp án B
Câu 53 Cho hàm sốf(x)đồng biến có đạo hàm cấp hai đoạn[0; 2] thỏa mãn2[f(x)]2−
f(x)·f00(x) + [f0(x)]2 = với ∀x∈[0; 2] Biết f(0) = 1; f(2) =e6 Tích phânI =
0 Z
−2
(2x+ 1)f(x) dxbằng
A +e B 1−e2. C. 1−e. D. 1−e−1.
Lời giải
2[f(x)]2−f(x)·f00(x) + [f0(x)]2 = ⇔f(x)·f00(x)−[f0(x)]2 = 2[f(x)]2
⇔ f(x)·f
00(x)−[f0(x)]2
[f(x)]2 = ⇔
Å f0(x)
f(x) ã0
=
⇔
Z Åf0(x) f(x)
ã0 dx=
Z
2dx⇔ f
0(x)
f(x) = 2x+ C1
⇔
Z f0(x)
f(x)dx =
Z
(20)Ta có
f(0) = 1⇒ln =C2 ⇒C2 =
f(2) =e6 ⇒6 = + 2C1 ⇒C1 =
⇒ ln|f(x)| =x2+x⇒f(x) = ex2+x
⇒ I =
0 Z
−2
(2x+ 1)ex2+xdx = ex2+x
−2 = 1−e
2
Chọn đáp án B
Câu 54 Gọi F(x)là nguyên hàm hàm số f(x) = e−x+ cosx Tìm khẳng định đúng.
A F (x) = e−x+ sinx+ 2019 B F (x) = e−x+ cosx+ 2019
C F (x) =−e−x+ sinx+ 2019 D.F (x) = −e−x−cosx+ 2019
Lời giải
Áp dụng công thức Z
( e−x+ cosx) dx=−e−x+ sinx+C, với C số Cho C = 2019ta có F (x) =−e−x+ sinx+ 2019
Chọn đáp án C
Câu 55 Nếuf(x) = (ax2+bx+c)√2x−1là nguyên hàm hàm số g(x) = 10x
2−7x+ 2
√
2x−1
trên khoảng
Å 2; +∞
ã
thì a+b+ccó giá trị
A B C D
Lời giải
Ta có:g(x) =f0(x) = (2ax+b)√2x−1+√
2x−1(ax
2+bx+c) = (2ax+b) (2x−1) + (ax
2+bx+c)
√
2x−1
= 5ax
2+ (3b−2a)x+c−b
√
2x−1
Theo ra:g(x) = 10x
2−7x+ 2
√
2x−1 nên
5ax2+ (3b−2a)x+c−b
√
2x−1 =
10x2−7x+ 2
√
2x−1 ⇒
5a= 10 3b−2a=−7 c−b=
⇔
a = b =−1 c=
Vậy a+b+c=
Chọn đáp án C
Câu 56 Cho f(x), g(x) hàm số liên tục [1; 3] thỏa mãn Z
1
[f(x) + 3g(x)] dx = 10;
3 Z
1
[2f(x)−g(x)] dx= Tính tích phân I =
3 Z
1
[f(x) +g(x)] dx
A I = B I = C I = D I =
Lời giải
Ta có
3 Z
1
[f(x) + 3g(x)] dx= 10
3 Z
1
[2f(x)−g(x)] dx=
⇔
3 Z
1
f(x) dx+
3 Z
1
g(x) dx= 10
2
3 Z
1
f(x) dx−
3 Z
1
g(x) dx=
⇔
3 Z
1
f(x) dx=
3 Z
1
(21)Vậy I =
3 Z
1
[f(x) +g(x)] dx=
3 Z
1
f(x) dx+
3 Z
1
g(x) dx= + =
Chọn đáp án A
Câu 57 Một bình cắm hoa dạng khối trịn xoay, biết đáy bình miệng bình có đường kính dm dm Mặt xung quanh bình phần mặt trịn xoay có đường sinh đồ thị hàm số y=√x−1 Tính thể tích bình cắm hoa
A 8π dm2 B 15π
2 dm
2. C. 14π
3 dm
3. D. 15π
2 dm
3.
Lời giải
x y
O
2
Vì đáy bình miệng bình có đường kính dm dm nên đáy miệng có bán kính đáy 1dm 2dm
Ta có √x−1 = 1⇔x= √x−1 = 2⇔x= Vậy thể tích bình hoa làS =π
5 Z
2
(√x−1)2dx= 15π dm
3
Chọn đáp án D
Câu 58 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = x3+x2 là
A x
4 + x3
3 +C B x
4+x3. C. 3x2+ 2x. D.
4x
4+
4x
3.
Lời giải
Z
x3+x2 dx= x
4
4 + x3
3 +C
Chọn đáp án A
Câu 59 Giá trị Z
−1
ex+1dx
A 1−e B e−1 C −e D e
Lời giải
Ta có Z
−1
ex+1dx= ex+1
−1
= e1−e0 = e−1
Chọn đáp án B
Câu 60 ChoF(x)là nguyên hàm củaf(x) =
x−1 khoảng(1; +∞)thỏa mãnF(e+1) =
Tìm F(x)
A F(x) = ln(x−1) + B F(x) = ln(x−1) +
C F(x) = ln(x−1) D.F(x) = ln(x−1)−3
(22)Ta có F(x) =
Z
1
x−1dx= ln(x−1) +C F(e + 1) = 4⇒ln e +C = 4⇒C = Vậy F(x) = ln(x−1) +
Chọn đáp án B
Câu 61 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = 2x−x2, y = 0 Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối trịn xoay tích
A Z
0
(2x−x2)dx B π
2 Z
0
(2x−x2)2dx C Z
0
(2x−x2)2dx D π
2 Z
0
(2x−x2)dx
Lời giải
Ta có 2x−x2 = 0⇔ "
x= x=
Theo công thức thể tích giới hạn đường ta có
V =π
2 Z
0
(2x−x2)2dx
Chọn đáp án B
Câu 62 Cho Z
0
f(x)dx= Z
0
g(x)dx=−1 Giá trị Z
0
[f(x)−5g(x) +x] dx
A 12 B C D 10
Lời giải
Ta có Z
0
[f(x)−5g(x) +x] dx=
2 Z
0
f(x)dx−5
2 Z
0
g(x)dx+
2 Z
0
xdx= 3−5·(−1) + 2(2
2 −0) = 10.
Chọn đáp án D
Câu 63 Họ nguyên hàm hàm số y= 3x(x+ cosx)là
A x3+ 3(xsinx+ cosx) +C B x3 −3(xsinx+ cosx) +C
C x3+ 3(xsinx−cosx) +C D.x3 −3(xsinx−cosx) +C
Lời giải
Ta có I =
Z
3x(x+ cosx)dx=
Z
3x2 + 3xcosxdx=x3+
Z
xcosxdx Tính J =
Z
xcosxdx Đặt (
x=u
cosxdx= dv ⇒
(
dx= du sinx=v
⇒J =xsinx−R
sinxdx=xsinx+ cosx+C
Vậy I =x3+ 3(xsinx+ cosx) +C.
Chọn đáp án A
Câu 64 Cho Z
3
5x−8
x2−3x+ 2dx = aln +bln +cln với a, b, c số hữu tỉ Giá trị
a−3b+c
bằng
A 12 B C D 64
(23)Ta có Z
3
5x−8
x2−3x+ 2dx= Z
3
Å x−1+
2 x−2
ã
dx= ln|x−1|
+ ln|x−2|
= ln 3−3 ln + ln =−ln + ln 3⇒
a=
b=−1⇒a−3b+c= c=
Chọn đáp án D
Câu 65
Cho hàm sốy=f(x)có đồ thịf0(x)trên[−3; 2] hình bên (phần cong đồ thị phần paraboly=ax2+bx+c). Biết f(−3) = 0, giá trị củaf(−1) +f(1)
A 23
6 B 31
6 C 35
3 D
2 x
y
O
−3 −2 −1
2
Lời giải
Paraboly =ax2+bx+c có đỉnhI(−2; 1) và qua điểm (−3; 0) nên ta có
− b
2a =−2 4a−2b+c= 9a−3b+c=
⇔
a =−1 b =−4 c=−3
⇒y=−x2 −4x−3
Do f(−3) = nên
f(−1) +f(1) = [f(1)−f(0)] + [f(0)−f(−1)] + [f(−1)−f(3)]
=
1 Z
0
f0(x) dx+
0 Z
−1
f0(x) dx+ −1 Z
−3
(−x2−4x−3) dx
=S1+S2+
−1 Z
−3
(−x2−4x−3) dx
= + +
8 =
31
Với S1, S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f0(x), trục Ox hai đường thẳngx=−1,x= x= 0,x=
Chọn đáp án B
Câu 66 Cho I = π
Z
0
ln(sinx+ cosx)
cos2x dx =aln +bln +cπ với a, b, c số hữu tỷ Giá trị abc
A 15
8 B
5
8 C
5
4 D
17 Lời giải
(24)dv = dx
cos2x, chọn v = tanx+ =
sinx+ cosx
cosx Khi
I = (tanx+ 2)·ln(sinx+ cosx)
π
0 −
π
Z
0
Å
1−2sinx cosx
ã dx
= ln3
√
2
2 −2 ln 2−(x+ ln(cosx))
π
0
= ln3
√
2
2 −2 ln 2− π −2 ln
√
2 = ln 3−
2ln 2− 4π
Vậy abc= 15
Chọn đáp án A
Câu 67 Cho hai hàm số f(x) f(−x) liên tục R thỏa mãn 2f(x) + 3f(−x) = +x2 Tính I =
2 Z
−2
f(x) dx
A I = π
20 B I = π
10 C I =− π
20 D I =− π 10 Lời giải
Đặt t=−x⇒dx=−dt
Đổi cận x=−2⇒t= 2; x= 2⇒t=−2, ta có
I =−
−2 Z
2
f(−t) dt=
2 Z
−2
f(−x) dx
Theo ta có
2f(x) + 3f(−x) =
4 +x2 ⇔2 Z
−2
f(x) dx+
2 Z
−2
f(−x) dx=
2 Z
−2
1 +x2 dx
⇔3I+ 2I =
2 Z
−2
1 +x2 dx
⇔I =
5
2 Z
−2
1 +x2 dx
Đặt x= tanu ta có dx=
cos2udu= (1 + tan
2u) du. Đổi cận x=−2⇒u=−π
4; x= 2⇒u= π
4, ta có
I =
π
Z
−π
2 (1 +u2)
4 + tan2udu= 10
π
Z
−π
du= 10u
π −π
4 =
10
π
4 + π
= π 20
(25)Câu 68 Cho Z
1
f(x) dx= Hãy tính Z
1
f(√x)
√
x dx
A I = B I = C I =
2 D I = Lời giải
Đặt t=√x⇒dt=
2√xdx⇒
√
xdx= 2dt
Đổi cận x= 1⇔t= 1; x= 4⇒t= 2, ta có
I =
2 Z
1
f(t) dt =
2 Z
1
f(x) dx= 2·2 =
Chọn đáp án A
Câu 69 Cho Z
−2
f(x) dx=
−2 Z
5
g(x) dx= TínhI =
5 Z
−2
[f(x)−4g(x)−1] dx
A I = 13 B I = 27 C I =−11 D I =
Lời giải
Theo tính chất tích phân ta có
I =
5 Z
−2
[f(x)−4g(x)−1] dx=
5 Z
−2
f(x) dx−4
5 Z
−2
g(x) dx−
5 Z
−2
dx= 8·4·(−3)−x
−2 = 13
Chọn đáp án A
Câu 70 Tích phân Z
0
x
x2+ 3dx
A
2log
3 B ln
3 C
1 2ln
3
7 D
1 2ln
7 Lời giải
Đặt u=x2+ ⇒du= 2xdx⇒xdx= 2du
Đổi cận x= 0⇒u= 3;x= ⇒u= 7, ta có
I =
7 Z
3
1 udu=
1 2ln|u|
3
= 2ln 7−
1 2ln =
1 2ln
7
Chọn đáp án D
Câu 71 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau?
A Z
2exdx= (ex+C) B Z
x3dx= x
4+C
4 C
Z
1
xdx= lnx+C D
Z
sinxdx=−cosx+C
Lời giải
Ta có Z 1
xdx= ln|x|+C nên mệnh đề phương án C sai
Chọn đáp án C
Câu 72 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = 52x?
A Z
52xdx= 2.52xln +C B Z
52xdx= 2.5
2x
(26)C Z
52xdx= 25
x
2 ln +C D
Z
52xdx= 25
x+1
x+ +C Lời giải
Ta có Z
52xdx=
52x
ln +C = 25x
2 ln +C
Chọn đáp án C
Câu 73 Cho hàm số y = f(x) có f0(x) liên tục [0; 2] f(2) = 16;
2 Z
0
f(x) dx = Tính
I =
1 Z
0
xf0(2x) dx
A I = B I = 20 C I = 12 D I = 13
Lời giải
Đặt t= 2x⇒dt= 2dx
Đổi cận x= 0⇒t= 0; x= 1⇒t= 2, ta có
I =
2 Z
0
t 2f
0 (t)1
2dt=
2 Z
0
tf0(t) dt
Đặt
u=t
dv =f0(t)dt
⇒
du= dt v =f(t)
, ta có
I =
tf(t)
−
2 Z
0
f(t) dt
=
1
4[2f(2)−4] =
4(2·16−4) =
Chọn đáp án A
Câu 74 Cho hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục [a;b] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định nàosai?
A
a
Z
a
kf (x) dx=
B
b
Z
a
xf(x) dx=x
b
Z
a
f(x) dx
C
b
Z
a
[f(x) +g(x)] dx=
b
Z
a
f(x) dx+
b
Z
a
g(x) dx
D
b
Z
a
f(x) dx=− a
Z
b
f(x) dx
Lời giải
Dựa vào đáp án ta dễ dàng nhận thấy đáp án A, C, D đúng, đáp án B sai
Chọn đáp án B
Câu 75 Cho f(x) hàm số chẵn, liên tục đoạn [−1; 1] Z
−1
(27)1 Z
−1
f(x)
1 +ex dx
A I = B I = C I = D I = 14
Lời giải
Đặt t=−x⇒dt =−dx
Đổi cận x= 1⇒t=−1; x=−1⇒t= 1, ta có
I =e
1 Z
−1
f(x)
1 + ex dx=−
−1 Z
1
f(−t) + e−tdt=
1 Z
−1
f(−x) + e1x
dx=
1 Z
−1
exf(−x)
1 + ex dx
Do f(x) hàm số chẵn nên f(x) =f(−x),∀x∈[−1; 1]⇒I =
1 Z
−1
exf(x)
1 + ex dx
Từ suy
I+I =
1 Z
−1
f(x) + ex dx+
1 Z
−1
exf(x)
1 + ex dx=
1 Z
−1
(ex+ 1)f(x)
1 + ex dx=
1 Z
−1
f(x) dx=
Vậy I =
Chọn đáp án C
Câu 76 Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = −t3+ 6t2 với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,s(t)là quãng đường khoảng thời gian t Tính thời điểm t vận tốc đạt giá trị lớn
A t = B t = C t= D t=
Lời giải
Vận tốc chất điểm thời điểm t làv(t) =s0(t) =−3t2+ 12t = 12−3(t−2)2 ≤12 Vậy thời điểmt = vận tốc đạt giá trị lớn
Chọn đáp án A
Câu 77 Tìm họ nguyên hàm hàm số y=x2 −3x+
x A x
3
3 − 3x
ln −
x2 +C, C ∈R B
x3
3 −3
x+
x2 +C, C ∈R
C x
3 − 3x
ln −ln|x|+C, C ∈R D x3
3 − 3x
ln + ln|x|+C, C ∈R Lời giải
Ta có Z Å
x2−3x+ x
ã
dx= x
3
3 − 3x
ln −
x2 +C,C ∈R
Chọn đáp án D
Câu 78 Cho tích phân I =
4 Z
0
f(x) dx= 32 Tính tích phân J =
2 Z
0
f(2x) dx
A J = 64 B J = C J = 16 D J = 32
Lời giải
Đặt t= 2x⇒ dt
2 = dx Đổi cận x= 0⇒t = 0; x= 2⇒t=
Khi đóJ =
4 Z
0
f(t) dt=
(28)Chọn đáp án C
Câu 79 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = 4x−3 A
Z 2
4x−3dx=
4ln|4x−3|+C B
Z 2
4x−3dx= ln
2x−
2
+C
C
Z 2
4x−3dx= 2ln
2x−
2
+C D
Z 2
4x−3dx= 2ln
Å
2x−
2 ã
+C
Lời giải
Ta có Z
2
4x−3dx=
Z
1 2x−
2
dx= 2ln
2x−3
2
+C
Chọn đáp án C
Câu 80 Cho hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) = cosx−1
sin2x Biết giá trị lớn
nhất F(x)trên khoảng (0;π) là√3 Chọn mệnh đề mệnh đề sau
A F Å
2π
ã =
√
3
2 B F Å
5π
ã
= 3−√3 C F
π
6
= 3√3−4 D F
π
3
=−√3
Lời giải
Ta có
F(x) =
Z
f(x)dx=
Z 2 cosx
sin2xdx−
Z 1
sin2xdx =
Z 2
sin2xd(sinx)−
Z 1
sin2xdx =−
sinx + cotx+C
Suy F0(x) =f(x) = cosx−1 sin2x
Trên khoảng(0;π), F0(x) = 0⇔2 cosx−1 = 0⇔x= π
x F0(x)
F(x)
0 π
3 π
+ −
−∞ −∞
√
3
√
3
−∞ −∞
Giá trị lớn F(x) khoảng (0;π) là√3 nên ta có
F π
=√3⇔ −3 √
3
3 +C =
√
3⇔C = 2√3
Vậy F(x) = −
sinx + cotx+
√
3 Do F π
= 3√3−4
Chọn đáp án C
Câu 81 Cho hàm sốy =f(x)có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên[0; 1]và thỏa mãn
Z
0
exf(x) dx=
1 Z
0
exf0(x) dx =
1 Z
0
exf00(x) dx6= Giá trị biểu thức ef
0(1)−f0(0) ef(1)−f(0)
A −1 B C D
(29)Đặt Z
0
exf(x) dx=
1 Z
0
exf0(x) dx=
1 Z
0
exf00(x) dx=k
k=
1 Z
0
exf00(x) dx=
1 Z
0
exdf0(x) = exf0(x)
0
−
1 Z
0
exf0(x) dx = exf0(x)
0
−k
Suy 2k= exf0(x)
0
k=
1 Z
0
exf0(x) dx = Z
0
exdf(x) = exf(x)
0
−
1 Z
0
exf(x) dx = exf(x)
0
−k
Suy 2k= exf(x)
0
Vậy ef
0(1)−f0(0) ef(1)−f(0) =
exf0(x)
0
exf(x)
0
=
Chọn đáp án B
Câu 82 Cho hàm sốf(x)xác định trênR\ {1}thỏa mãnf0(x) =
x−1,f(0) = 2018,f(2) = 2019
Tính S =f(3)−f(−1)
A S = ln 4035 B S = C S = ln D S =
Lời giải
Ta có f(x) =
Z
f0(x)dx=
Z
1
x−1dx= ln|x−1|+C
Khi đóf(−1) = ln +C1;f(0) =C2 = 2018; f(2) =C3 = 2019; f(3) = ln +C4
•
Z
f0(x)dx=
Z
1
x−1dx⇔f(3)−f(2) = ln 2⇔ln +C4−C3 = ln 2⇒C3 =C4
•
Z
−1
f0(x)dx=
Z
−1
1
x−1dx⇔f(0)−f(−1) =−ln ⇔C2−C1−ln =−ln 2⇒C1 =C2
Vậy S =f(3)−f(−1) =C4−C1 = 2019−2018 =
Chọn đáp án D
Câu 83 Cho hàm sốf(x)liên tục trênRvà thỏa mãn Z
0
f(x) dx= 7,
10 Z
3
f(x) dx= 8,
6 Z
3
f(x) dx=
9 Giá trị củaI =
10 Z
0
f(x) dx
A I = B I = C I = D I =
Lời giải
Ta có 10 Z
3
f(x) dx=
6 Z
3
f(x) dx+
10 Z
6
f(x) dx⇔
10 Z
6
f(x) dx=
10 Z
3
f(x) dx−
6 Z
3
f(x) dx= 8−9 =−1
Khi đóI =
10 Z
0
f(x) dx=
6 Z
0
f(x) dx+
10 Z
6
f(x) dx= 7−1 =
Chọn đáp án B
Câu 84 Tìm tất giá trị thực tham số a để tích phân 1+a
Z
1
dx
(30)A −1< a <3 B a <−1 C a6= 4, a6= D a <3
Lời giải
Tích phân 1+a
Z
1
dx
x(x−5) (x−4) tồn hàm số y =
1
x(x−5) (x−4) liên tục [1; +a] [1 +a;a]
Mà hàm số y=
x(x−5) (x−4) liên tục khoảng(−∞; 0);(0; 4); (4; 5); (5; +∞)
Nên hàm số liên tục trên[1; +a]hoặc [1 +a; 1]⇔0<1 +a <4⇔ −1< a <3 Vậy −1< a <3
Chọn đáp án A
Câu 85 Hàm số F (x) =x2ln (sinx−cosx) là nguyên hàm hàm số đây?
A f(x) = x
2
sinx−cosx
B f(x) = 2xln (sinx−cosx) + x
2
sinx−cosx C f(x) = 2xln (sinx−cosx) + x
2(cosx+ sinx)
sinx−cosx D f(x) = x
2(sinx+cosx)
sinx−cosx Lời giải
Vì F(x) nguyên hàm f(x)nên
f(x) = F0(x) = 2x·ln (sinx−cosx) +x2·(sinx−cosx)
0
sinx−cosx = 2x·ln (sinx−cosx) +x
2·sinx+ cosx
sinx−cosx
Chọn đáp án C
Câu 86 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f0(x)−xf(x) = 0, f(x) > 0,∀x∈R f(0) = Giá trị củaf(1)
A √1
e B
1
e C
√
e D e
Lời giải
Từ giả thiết ta có f
0(x)
f(x) =x⇒
Z
f0(x) f(x) dx=
Z
xdx⇒ln [f(x)] = 2x
2+C(dof(x)>0, ∀x∈ R) Do đóln [f(0)] =
2 ·0
2+C ⇒C = 0⇒lnf(x) =
2x
2 ⇒f(x) = e12x2
⇒f(1) =√e
Chọn đáp án C
Câu 87 Cho hàm sốf(x) = sin22x·sinx Hàm số nguyên hàm hàmf(x)
A y= 3cos
3−4
5sin
5x+C. B. y =−4
3cos
3x+
5cos
5x+C.
C y= 3sin
3x−
5cos
5x+C. D.y =−4
3sin
3x+
5sin
5x+C.
Lời giải
Ta có Z
f(x) dx=
Z
sin22x·sinxdx=
Z
sin3x·cos2xdx = −4
Z
sin2x·cos2x· d (cosx) = −4
Z
1−cos2x·cos2x· d (cosx) = −4
Z
cos2x−cos4x· d (cosx) =−4
3cos
3x+4
5cos
5x+C.
(31)Câu 88 Tích phân
π2
Z
0
sin√x−cos√x
dx=A+Bπ TínhA+B
A B C D
Lời giải
Đặt y=√x⇒t2 =x⇒2tdt= dx
Đổi cận x= 0⇒t= 0; x=π2 ⇒t=π Suy ra I = 2
π
Z
0
(sint−cost)tdt Đặt u=t; dv = (sint−cost) dt⇒ du= dt;v =−cost−sint
I =
t(−cost−sint)
π
0 +
π
Z
0
(cost+ sint) dt
=
h
π+ (sint−cost)
π
0 i
= + 2π
NênA= 4; B = 2⇒A+B =
Chọn đáp án B
Câu 89 Hàm số có đạo hàm 2x+ x2
A y = 2x
3−2
x3 B y=
x3+ 1
x C y=
3x3 + 3x
x D y=
x3 + 5x−1
x Lời giải
Ta xét Z Å
2x+ x2
ã
dx=x2−
x +C =
x3+Cx−1
x
Chọn C= ta hàm số thoả yêu cầu toán lày= x
3+ 5x−1
x
Chọn đáp án D
Câu 90 Công thức sau sai?
A Z
x3dx= 4x
4+C. B.
Z
dx
sin2x = cotx+C C
Z
sinxdx=−cosx+C D Z 1
xdx= ln|x|+C Lời giải
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm
Cách giải: Ta có Z
dx
sin2x =−cotx+C đáp án B sai
Chọn đáp án B
Câu 91 Nguyên hàm hàm số f(x) = 4x3+x−1 là:
A x4 +x2+x+C. B. 12x2+ +C. C. x4+
2x
2−x+C. D. x4−
2x
2−x+C.
Lời giải
Phương pháp: Sử dụng nguyên hàm Z
xndx= x
n+1
n+ +C Cách giải:
Z
f(x) dx= 4· x
4
4 + x2
2 −x+C =x
4+
2·x
2−x+C.
Chọn đáp án C
Câu 92 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = x(lnx+ 2)2? A
Z
f(x) dx=
lnx+ +C B
Z
f(x) dx= −1
lnx+ +C C
Z
f(x) dx= x
lnx+ +C D
Z
(32)Lời giải
Phương pháp:
Sử dụng bảng nguyên hàm Z dx
x2 =
−1
x +C công thức vi phân d [f(x)] = f 0(x)dx
Cách giải:
Z
f(x) dx=
Z
1
x(lnx+ 2)2dx=
Z
d(lnx+ 2) (lnx+ 2)2 =
−1
lnx+ +C
Chú ý: HS sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải toán cách đặt t= lnx+
Chọn đáp án B
Câu 93 Gọi F(x)là nguyên hàm hàm sốf(x) =x3−2x2+ 1thỏa mãn F(0) = Khi phương trình F(x) = có số nghiệm thực là:
A B C D
Lời giải
Phương pháp: Sử dụng công thức ngun hàm để tìm F(x)sau giải phương trình
Cách giải:
Ta có: F(x) =R (x3−2x2+ 1)dx= x
4
4 − 2x3
3 +x+C
Lại có: F(0) = 5⇔C = 5⇒F(x) = x
4
4 − 2x3
3 +x+ F(x) = ⇔ x
4
4 − 2x3
3 +x= ⇔x Åx4
4 − 2x3
3 + ã
= 0⇔
"
x= x≈ −1,04
Chọn đáp án B
Câu 94 Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H) quanh Ox với (H) giới hạn đồ thị hàm số y=√4x−x2 và trục hoành.
A 31π
3 B
32π
3 C
34π
3 D
35π Lời giải
Ta có √4x−x2 = 0⇔4x−x2 = 0⇔ "
x= x=
Thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H) quanh trục Oxlà
V =π
4 Z
0
Ä√
4x−x2ä2 dx=π Z
0
4x−x2 dx=π Å
2x2− x
3
3 ã
=
32π đvtt
Chọn đáp án B
Câu 95 Chof, glà hai hàm liên tục trên[1; 3]thoả: Z
1
[f(x) + 3g(x)] dx= 10, Z
1
[2f(x)−g(x)] dx=
6 Tính Z
1
[f(x) +g(x)] dx
A B C D
Lời giải
Đặt I1 = Z
1
f(x) dx, I2 = Z
1
(33)
3 Z
1
[f(x) + 3g(x)] dx= 10
3 Z
1
[2f(x)−g(x)] dx=
⇔
3 Z
1
f(x) dx+
3 Z
1
g(x) dx= 10
2
3 Z
1
f(x) dx−
3 Z
1
g(x) dx=
⇔
(
I1+ 3I2 = 10
2I1−I2 =
⇔
(
I1 =
I2 =
Vậy Z
1
[f(x) +g(x)] dx=I1+I2 =
Chọn đáp án B
Câu 96 Tính Z
(x−sin 2x) dx
A x
2 + cos 2x+C B x
2+
2cos 2x+C C x2
2 +
2cos 2x+C D x2
2 + sinx+C Lời giải
Z
(x−sin 2x) dx= x
2
2 +
2cos 2x+C
Chọn đáp án C
Câu 97 Giả sử I =
64 Z
1
dx
√
x+√3x =aln
3 +b với a, b số nguyên Khi giá trịa−b là:
A −17 B C −5 D 17
Lời giải
Đặt √6x=t⇔x=t6; t≥0 Khi ta có dx= 6t5· dt.
Ta có
I =
64 Z
1
dx
√
x+√3x =
2 Z
1
6t5·dt
t3+t2 = Z
1
6t3.dt
t+
=
2 Z
1
Å
t2−t+ 1−
t+ ã
·dt= Åt3
3 − t2
2 +t−ln|t+ 1| ã
1
= ln2 + 11
Do đóa= 6; b= 11 Vậy a−b =−5
Chọn đáp án C
Câu 98 Cho hàm số y =f(x) Đồ thị hàm số y =f0(x) [−5; 3] hình vẽ (phần cong đồ thị phần paraboly=ax2+bx+c)
O
x y
−4 −1
−5
(34)Biết f(0) = 0, giá trị 2f(−5) + 3f(2) bằng:
A 33 B 109
3 C
35
3 D 11 Lời giải
Từ đồ thị ta có f0(x) =
3x+ 14 nếu−5≤x≤ −4
−2
3(x+ 1) nếu−4≤x≤ −1
−x2 + 2x+ nếu−1≤x≤3
Suy f(x) =
3· x
2
2 + 14x+ C1 nếu−5≤x≤ −4
−2
3 Å
x2 +x
ã
+ C2 nếu−4≤x≤ −1
−x
3
3 +x
2+ 3x+ C
3 nếu−1≤x≤3
Mặt khác
f(0) = 0⇒C3 =
f(−1) =−2
3 Å
1 −1
ã
+ C2 =−
1
3 + 1−3⇒C2 =−2 f(−4) = 24−56 + C1 =−
16 +
8
3−2⇒C1 = 82
3
Khi đó2f(−5) + 3f(2) = 35
Chọn đáp án C
Câu 99 Họ nguyên hàm hàm số y= cosx+x
A sinx+1 2x
2+C. B. sinx+x2+C. C. −sinx+1
2x
2 +C. D. −sinx+x2+C.
Lời giải
Ta có F(x) =
Z
(cosx+x) dx= sinx+1 2x
2+C.
Chọn đáp án A
Câu 100 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 3x, y= 0, x= 0,x= Mệnh đề đúng?
A S =
Z
3xdx B S =π
Z
32xdx C S =π
Z
3xdx D S =
Z
32xdx
Lời giải
Ta có S =
Z
|3x| dx=
Z
3xdx
Chọn đáp án A
Câu 101 Tìm tất giá trị thực m thỏa mãn
m
Z
0
(2x+ 1) dx <2
A m <−2 B −2< m <1 C m≥1 D m >2
Lời giải
Ta có
m
Z
0
(2x+ 1)dx <2⇔ x2+x
m
0 <2⇔m
2+m−2<0⇔ −2< m <1.
Chọn đáp án B
Câu 102 Cho hàm số y=f(x) liên tục trênR Z
3
(35)Giá trị tích phân I =
2 Z
1
f(2x+ 1) dx
A B C D 12
Lời giải
Đặt t= 2x+ ⇒ dt = dx, x= 1⇒t= 3; x= ⇒t= Vậy I =
2
5 Z
3
f(t) dt =
Chọn đáp án B
Câu 103 Cho hàm sốy =f(x)có đạo hàm, liên tục trênR, nhận giá trị dương khoảng(0; +∞)
và thỏa mãn f(1) = 1, f0(x) =f(x)·(3x2+ 2mx+m)với m là tham số Giá trị tham số m để
f(3) =e−4
A m =−2 B m =√3 C m=−3 D m=
Lời giải
Theo giả thiết ta có f
0(x) f(x) = 3x
2+ 2mx+m⇒ Z
f0(x) f(x) dx=
Z
(3x2+ 2mx+m) dx Nênln[f(x)] = x3+mx2+mx+C ⇒f(x) = ex3+mx2+mx+C
Do f(1) = 1⇒e1+2m+C = 1⇒C =−2m−1
Vậy f(x) = ex3+mx2+mx−2m−1 ⇒f(3) =e−4 ⇔e26+10m =e−4 ⇔m=−3
Chọn đáp án C
Câu 104 Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm, liên tục
ï1 3;
ò
thỏa mãn f(x) +xf Å1
x ã
=x3−x.
Giá trị tích phân I =
3 Z
1
f(x)
x2+xdxbằng
A
9 B
16
9 C
2
3 D
3 Lời giải
Theo giả thiết f(x) +xf Å
1 x
ã
=x3−x. Đặt x=
t ⇒ dx=−
t2 dt;x= 3⇒t=
1 3;x=
1
3 ⇒t=
Suy I =
Z
3
f Å
1 t
ã
Å1 t
ã2 +1
t
·
Å
−1
t2
ã dt=
3 Z
1
tf Å
1 t
ã
t2 +t dt = Z
1
xf Å
1 x
ã
x2+x dx
⇒2I =
3 Z
1
f(x) +xf Å
1 x
ã
x2+x dx= Z
1
x3−x x2+xdx=
3 Z
1
(x−1) dx= 16
⇒I =
9
Chọn đáp án A
Câu 105 Cho hàm số f(x) =
(
7−4x2 khi0≤x≤1
4−x2 x >1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ
thị hàm số f(x) đường thẳngx= 0,x= 3,y =
A 16
3 B
20
(36)Lời giải
Phương pháp:Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳngx=a, x=b
(a < b) đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) S=
Z b
a
|f(x)−g(x)|dx
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
4−x2 = ⇔
"
x=
x=−2∈/(1; +∞) ⇔x= 7−4x2 = 0 ⇔x=±
√
7
2 ∈/ [0; 1]
⇒S =
1 Z
0
7−4x2 dx+
2 Z
1 4−x2
dx+
3 Z
2 4−x2
dx
=
1 Z
0
7−4x2 dx+
2 Z
1
7−4x2 dx+
3 Z
2
7−4x2 dx
= 7−1 + 16 −
11 −3 +
16 = 10
Câu 106 Cho hàm số f(x) xác định R thỏa mãn f0(x) = 4x+ f(1) = −1 Biết phương trình f(x) = 10 có hai nghiệm thực x1,x2 Tính tổng log2|x1|+ log2|x2|
A B 16 C D
Lời giải
Phương pháp:
Sử dụng công thức: f(x) =
Z
f0(x) dxđể tìm hàm số f(x)sau giải phương trình tính tổng đề yêu cầu
Ta có: f(x) =
Z
(4x+ 3) dx= 2x3+ 3x+C
Lại có: f(1) =−1⇒2·1 + 3·1 +C =−1⇔C =−6⇒f(x) = 2x2+ 3x−6
⇒f(x) = 10⇔2x2+ 3x−6 = 10⇔2x2+ 3x−16 = 0 (∗). Ta có: ac= 2·(−16) =−32<0⇒(∗) ln có hai nghiệm trái dấu Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2 =−
3 x1x2 =−8
Ta có: log2|x1|+ log2|x2|= log2|x1x2|= log2|−8|= log223 =
Chọn đáp án D
Câu 107 Cho hàm số f(x) liên tục trênR có Z
0
f(x) dx= Z
0
f(x) dx=
Tính Z
−1
(|4x−1|) dx
A B C
4 D
11 Lời giải
(37)Ta có: I =
1 Z
−1
f(|4x−1|) dx=
1 Z
−1
f(−4x+ 1) dx+
1 Z
1
f(4x−1) dx
XétI1 = Z
−1
f(−4x+ 1) dx Đặt −4x+ =t ⇒ dt =−4 dx Đổi cận:
x=−1⇒t = x=
4 ⇒t=
⇒I1 =−
1
0 Z
5
f(t) dt=
5 Z
0
f(t) dt =1
5 Z
0
f(x) dx=1
4·4 =
XétI2 = Z
1
f(4x−1) dx
Đặt 4x−1 = t⇒ dt= dx Đổi cận:
x= ⇒t= x=
4 ⇒t=
⇒I2 =
1
3 Z
0
f(t) dt=
3 Z
0
f(t) dt =
3 Z
0
f(x) dx=
4·8 = I =I1+I2 = + =
Chọn đáp án A
Câu 108 Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn
π
3 Z
0
tanxf(cos2x) dx =
8 Z
1
f(√3 x)
x dx =
Tính tích phân
√
2 Z
1
f(x2)
x dx
A B C D 10
Lời giải
Xét tích phân I1 =
π
3 Z
0
tanxf(cos2x) dx= Đặt t= cos2x⇒ dt=−2 sinxcosxdx. Khi x= 0⇒t= 1, x= π
3 ⇒t =
4 Ta có
I1 =−
π
3 Z
0
−2 sinxcosx cos2x f(cos
2x) dx= Z
1
f(t)
2t dt= ⇒
2 Z
1
f(x)
2x dx=
Xét tích phân I2 = Z
1
f(√3 x) x dx
(38)Khi x= 1⇒t= 1, x= 8⇒t= Ta có
I2 = Z
1
3t2f(t)
t3 dt = 6⇒ Z
1
f(x)
2x dx=
Xét tích phân I = √
2 Z
1
f(x2)
x dx
Đặt t=x2 ⇒ dt = 2xdx Khi x=
2 ⇒t =
2, khix=
√
2⇒t = Ta có
I = √
2 Z
1
2xf(x2)
2x2 dx= Z
1
f(t) 2t dt=
2 Z
1
f(x) 2x dx=
1 Z
1
f(x) 2x dx+
2 Z
1
f(x)
2x dx= + =
Chọn đáp án C
Câu 109 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = x2+ 3 là
A x
3 + 3x+C B x
3+ 3x+C. C. x
3
2 + 3x+C D x
2+ +C.
Lời giải
Sử dụng công thức Z
xndx= x
n+1
n+ +C(n 6=−1)
Chọn đáp án A
Câu 110 (2D3B2-1) Tích phân Z
0
1
2x+ 5dx
A
2ln
5 B
1 2ln
5
7 C −
4
35 D
1 2log
7 Lời giải
Sử dụng công thức
Z 1
ax+bdx=
aln|ax+b|+C
Chọn đáp án A
Câu 111 Diện tích S hình phẳng (H) giới hạn hai đường cong y=−x3+ 12xvà y=−x2
A S = 397
4 B S = 937
12 C S = 3943
12 D S = 793
4 Lời giải
Phương pháp:Diện tích hình phẳng(H)giới hạn đồ thị hàm sốy=f(x), y =g(x)trục hoành hai đường thẳngx=a, x=b tính theo cơng thứcS =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx
Cách giải: Giải phương trình−x3 + 12x=−x2 ⇔x3−x2−12x= 0⇔
x= x= x=−3
Diện tích S hình phẳng (H)
S =
4 Z
−3
−x3+ 12x
− −x2
dx= Z
−3
(39)=
0 Z
−3
−x3+ 12x+x2 dx+
4 Z
0
−x3+ 12x+x2 dx
=
0 Z
−3
−x3+ 12x+x2 dx+
4 Z
0
−x3+ 12x+x2 dx
= Å1
4x
4−6x2−
3x
3
ã
−3
+ Å1
4x
4−6x2−
3x
3
ã
0
= 0−
Å1 4·3
4−
6·32 +1 3·3
3
ã +
Å
−1
4·4
4
+ 6·42+ 3·4
3
ã
−0 = 937
12
Chọn đáp án B
Câu 112 Biết khoảng
Å3 2; +∞
ã
hàm số f(x) = 20x
2−30x+ 7
√
2x−3 có nguyên hàm
F(x) = (ax2+bx+c)√2x−3,(a, b, c∈
Z) Tổng S =a+b+c
A B C D
Lời giải
Phương pháp: f(x) có nguyên hàm F(x)⇔(F(x))0 =f(x)
Cách giải:
F (x) = ax2+bx+c√2x−3
⇒(F (x))0 = (2ax+b)√2x−3 + ax
2+bx+c
√
2x−3 =
(2ax+b) (2x−3) +ax2+bx+c
√
2x−3 = 5ax
2+ (3b−6a)x−3b+c
√
2x−3
f(x) có nguyên hàm F(x)⇔(F(x))0 =f(x),
5a= 20 3b−6a=−30
−3b+c=
⇔
a= b=−2 c=
⇒S =a+b+c=
Chọn đáp án D
Câu 113 Cho hàm số f(x) liên tục R f(2) = 16,
2 R
f(x) dx = Tính tích phân I =
1 R
x·f0(2x) dx
A 13 B 12 C 20 D
Lời giải
Phương pháp: Sử dụng công thức phần:
b
Z
a
udv = uv|ba− b
Z
a
vdu
Cách giải:
I =
2 Z
0
x·f0(2x) dx =
1 Z
0
xd (f(2x))
=
2x·f(2x)|
1 0−
1
1 Z
0
(40)=
2f(2)−
1 Z
0
f(2x) d(2x)
đặtt=2x
=
2f(2)−
2 Z
0
f(t) dt
=
2f(2)−
2 Z
0
f(x) dx= ·16−
1
4 ·4 = 8−1 =
Chọn đáp án D
Câu 114 Cho hình phẳng(H)giới hạn đồ thị hàm số sauy=√x, y = 1đường thẳngx=
(tham khảo hình vẽ) Thể tích khối trịn xoay sinh hình (H)khi quay quanh đường thẳng y=
bằng
x y
O 1
x=
4
y=
A
2π B
119
6 π C
7
6π D
21 π Lời giải
Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ Cho hai hàm số y= f(x), y =g(x) liên tục [a;b] Khi thể tích vật thể trịn xoay giới hạn hai đồ thị số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox là: V = π
b
Z
a
f2(x)−g2(x) dx
Cách giải: Đặt (
X =x−1 Y =y−1
Ta hệ trục tọa độ OXY
như hình vẽ:
x y
O 1
4
3 X
Y
O0
Ta có: y=√x⇔Y + =√X+ 1⇔Y =√X+ 1−1 Thể tích cần tìm
V = π
3 Z
0
Ä√
X+ 1−1ä2 dX =π
3 Z
0
Ä
X+ 2−2√X+ 1ä dX
= π Å1
2X
2
+ 2X−
3(X+ 1)
√
X+ ã
0
=π ïÅ9
2+ 6− 32
3 ã
−
Å
−4
3 ãò
= 7π
Chọn đáp án C
Câu 115 Cho hàm số f(x) liên tục R có đạo hàm thỏa mãn f0(x) + 2f(x) = 1,∀x ∈ R
f(0) = Tích phân R
(41)A
2 −
e2 B
3 −
1
4e2 C
1 4−
1
4e2 D −
1 2−
1 e2
Lời giải
Phương pháp: (f·g)0 =f0·g+f ·g0
Cách giải: Ta có
f0(x) + 2f(x) = ⇔ e2xf0(x) + e2x·2f(x) = e2x
⇔ e2x·f(x)0 = e2x
⇒ e2x·f(x) =
Z
e2xdx
⇔ e2x·f(x) = 2e
2x+C.
Mà
f(0) =
⇒1 =
2 +C
⇒C =
2
⇒e2x·f(x) = 2e
2x+1
2
⇔f(x) = e
2x+ 1
2e2x
1 Z
0
f(x) dx =
1 Z
0
e2x+ 1
2e2x dx
=
1 Z
0
Å 2+
1 2e
−2x
ã dx
= Å
1 2x−
1 4e
−2x
ã
0
= Å1
2− 4e2
ã
−
Å
−1
4 ã
= 4−
1 4e2
Chọn đáp án B
Câu 116 (2D3Y1-1) Nếu Z
f(x) dx= x
3
3 + e
x+C thì f(x) bằng
A f(x) = 3x2+ ex B f(x) = x
4
3 + e
x. C. f(x) = x2+ ex. D. f(x) = x
4
12 + e
x.
Lời giải
Ta có Z
f(x) dx= x
3
3 + e
x+C ⇒f(x) = x2+ ex.
Chọn đáp án C
Câu 117 (2D3Y1-1) Nguyên hàm hàm số f(x) = x2019, (x∈
R) hàm số hàm số đây?
A F (x) = 2019x2018+C, (C ∈
(42)C F (x) = x
2020
2020 +C, (C ∈R) D.F (x) = 2018x
2019+C, (C ∈ R)
Lời giải
Áp dụng công thức Z
xndx= x
n+1
n+ +C (n6=−1), ta có
Z
f(x) dx=
Z
x2019dx= x
2020
2020 +C Câu 118 (2D3B1-1) Cho hàm số f(x) thoả mãn f0(x) = 27 + cosx f(0) = 2019 Mệnh đề đúng?
A f(x) = 27x+ sinx+ 1991 B f(x) = 27x−sinx+ 2019
C f(x) = 27x+ sinx+ 2019 D.f(x) = 27x−sinx−2019
Lời giải
Ta có f0(x) = 27 + cosx⇒
Z
f0(x) dx=
Z
(27 + cosx) dx⇒f(x) = 27x+ sinx+C Lại có f(0) = 2019⇒27·0 + sin +C = 2019⇔C= 2019⇒f(x) = 27x+ sinx+ 2019
Chọn đáp án C
Câu 119 (2D3Y1-1) Hàm số F (x) = ex2
là nguyên hàm hàm số đây?
A f(x) = 2xex2 B f(x) =x2ex2 C f(x) = ex2 D f(x) = e
x2 2x Lời giải
Ta có f(x) = (F(x))0 =Äex2ä0 = 2xex2
Chọn đáp án A
Câu 120 (2D3K1-1) Cho hàm sốf(x)có đạo hàm trênRthoả mãnf0(x)−2018f(x) = 2018x2017e2018x
với mọix∈R, f(0) = 2018 Tínhf(1)
A f(1) = 2019e2018 B f(1) = 2019e−2018 C f(1) = 2017e2018 D f(1) = 2018e2018
Lời giải
Ta có: f0(x)−2018f(x) = 2018x2017e2018x ⇔e−2018xf0(x)−2018e−2018xf(x) = 2018x2017.
⇒(e−2018xf(x))0 = 2018x2017 ⇒e−2018xf(x) là1 nguyên hàm của2018x2017. Ta có:
Z
2018x2017dx=x2018 +C ⇒e−2018xf(x) = x2018+C0
Màf(0) = 2018⇒2018 =C0 ⇒e−2018xf(x) =x2018+ 2018⇒f(x) = x2018e2018x+ 2018e2018x
⇒f(1) = e2018+ 2018e2018 = 2019e2018.
Chọn đáp án A
Câu 121 (2D3Y1-1) Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục R Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?
A Z
f(x) g(x)
dx=
Z
f(x) dx
Z
g(x) dx
,(g(x)6= 0,∀x∈R)
B Z
f(x)−g(x) dx=
Z
f(x) dx−
Z
g(x) dx
C Z
k·f(x) dx=k
Z
f(x) dx,(k 6= 0, k ∈R)
D Z
f(x) +g(x) dx=
Z
f(x) dx+
Z
g(x) dx
Lời giải
Theo tính chất ngun hàm ta có mệnh đề sai Z
f(x) g(x)
dx=
Z
f(x) dx
Z
g(x) dx
(43)Chọn đáp án A Câu 122 Tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) = 3−x
A
−x
ln +C B − 3−x
ln +C C −3
−x+C. D. −3−xln +C.
Lời giải
Ta có Z
3−xdx=−3
−x
ln +C
Chọn đáp án B
Câu 123 Giả sử f(x) hàm số liên tục khoảng (α;β) a, b, c, b+c ∈ (α;β) Mệnh đề sau sai ?
A
b
Z
a
f(x) dx=
c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx B
b
Z
a
f(x) dx=
b+c
Z
a
f(x) dx− c
Z
a
f(x) dx
C
b
Z
a
f(x) dx=
b+c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
b+c
f(x) dx D
b
Z
a
f(x) dx=
c
Z
a
f(x) dx− c
Z
b
f(x) dx
Lời giải
Dựa vào tính chất tích phân, với f(x) hàm số liên tục khoảng (α;β) a, b,
c, b+c∈(α;β)ta ln có
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx
=
c
Z
a
f(x) dx− c
Z
b
f(x) dx
=
b+c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
b+c
f(x) dx
Vậy mệnh đề sai
b
Z
a
f(x) dx=
b+c
Z
a
f(x) dx− c
Z
a
f(x) dx
Chọn đáp án B
Câu 124 Giả sử f(x) hàm số liên tục khoảng (α;β) a, b, c, b+c ∈ (α;β) Mệnh đề sau sai?
A Z b
a
f(x) dx=
Z c
a
f(x) dx+
Z b
c
f(x) dx B Z b
a
f(x) dx=
Z b+c
a
f(x) dx−
Z a
c
f(x) dx
C Z b
a
f(x) dx=
Z b+c
a
f(x) dx+
Z a
c
f(x) dx D Z b
a
f(x) dx=
Z c
a
f(x) dx−
Z c
b
f(x) dx
Lời giải
Dựa vào tính chất tích phân, với f(x) hàm số liên tục khoảng (α;β)
a,b,c,b+c∈(α;β) ta có: Z b
a
f(x) dx=
Z c
a
f(x) dx+
Z b
c
f(x) dx=
Z c
a
f(x) dx−
Z c
b
f(x) dx=
Z b+c
a
f(x) dx+
Z b
b+c
f(x) dx Vậy mệnh đề sai
Z b a
f(x) dx=
Z b+c a
f(x) dx−
Z a c
f(x) dx
(44)Câu 125 Cho f(x) = x4 − 5x2 + 4 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=f(x) trục hoành Mệnh đề sau sai?
A S =
2 Z
−2
|f(x)|dx B S =
Z
f(x)dx
+
Z
f(x)dx
C S =
2 Z
0
|f(x)|dx D.S =
2 Z
0
f(x)dx
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số f(x) = x4−5x2+ 4 và trục hoành
x4−5x2+ = 0⇔
"
x2 = x2 =
⇔
"
x=±1 x=±2
Diện tích hình phẳng cần tìm
S =
2 Z
−2
|f(x)|dx (1)
=
Z
|f(x)|dx (2) (do f(x) hàm số chẵn)
=
1 Z
0
|f(x)|dx+
2 Z
1
|f(x)|dx
=
1 Z
0
f(x)dx
+
2 Z
1
f(x)dx
(3) (do khoảng(0; 1),(1; 2) phương trình f(x) = vơ nghiệm)
Từ (1), (2) (3) suy đáp án A, B, C đúng, đáp án D sai
Máy tính: Bấm máy kiểm tra, ba kết đầu nên đáp án đáp ánD
Chọn đáp án D
Câu 126 Tất nguyên hàm hàm số f(x) = x
sin2x khoảng (0;π)là A −xcotx+ ln (sinx) +C B xcotx−ln|sinx|+C
C xcotx+ ln|sinx|+C D.−xcotx−ln (sinx) +C
Lời giải F(x) =
Z
f(x)dx=
Z x
sin2xdx
Đặt
u=x dv=
sin2xdx
⇒
(
du=dx v =−cotx
Khi đó:
F(x) =
Z x
sin2xdx=−x.cotx+
Z
cotxdx=−x.cotx+
Z cosx
sinxdx=−x.cotx+
Z d(sinx)
sinx =−x.cotx+ ln|sinx|+C
Với x∈(0;π)⇒sinx >0⇒ln|sinx|= ln (sinx) Vậy F(x) = −xcotx+ ln (sinx) +C
(45)Câu 127 Tất nguyên hàm hàm số f(x) = x
sin2x khoảng (0;π)là
A xcotx−ln|sinx|+C B .−xcotx+ ln (sinx) +C
C −xcotx−ln (sinx) +C D.xcotx+ ln|sinx|+C
Lời giải F (x) =
Z
f(x)dx=
Z
x sin2xdx Đặt
u=x
dv =
sin2xdx
⇒
(
du=dx v =−cotx
Khi đó: F (x) =
Z x
sin2xdx = −x.cotx + Z
cotxdx = −x.cotx +
Z cosx
sinxdx = −x.cotx +
Z
d(sinx)
sinx =−x.cotx+ ln|sinx|+C
Với x∈(0;π) suy sinx >0 suy ln|sinx|= ln (sinx) Vậy F (x) = −xcotx+ ln (sinx) +C
Chọn đáp án B
Câu 128 Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) +f0(x) = e−x,∀x ∈
R f(0) = Tất nguyên hàm f(x)e2x
A (x−1)ex+C. B. (x−2)ex+ex+C.
C (x+ 1)ex+C. D.(x+ 2)e2x+ex+C.
Lời giải
Chọn C
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Chuẩn hóaa= (đơn vị dài) Khi đóSA=√11Đặt OC =OD =b >0;OS =c >0 ta có:
SA2 =SC2 =SO2+OC2 =b2+c2 ⇒b2+c2 = 11(1) Tọa độ điểmB(0;−b; 0), C(b; 0; 0), D(0;b; 0), S(0; 0;c) Mặt phẳng (SBC) có phương trình xb + −yb + zc = ⇒ vtpt (SBC) là:
Å1 b;−
1 b;
1 c
ã
Theo giả
thiết ta có: |cos(n1;n2)| =
1 10 ⇔
|1| √
1.√2 = 10 ⇔
1 c2
2 b2 +
1 c2
= 10 ⇔
9 c2 =
2 b2 ⇔ 9b
2 −2c2 = 0 Kết
hợp (1) (2) ta được: b2 = c2 = ⇒ b = √2 c = (do b, c > 0) Vậy CD = OC√2 = 2;SO = ⇒VS.ABCD =
1
3.SABCD.SO= 3.2
2.3 = 4 (đơn vị thể tích) Vậy V
S.ABCD = 4a3
Câu 129
Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An làm mũ “cách điệu” cho ơng già Noel có dáng khối trịn xoay Mặt cắt qua trục mũ hình vẽ bên Biết OO0 = cm, OA = 10 cm, OB = 20 cm, đường cong AB phần parabol có đỉnh điểm
A Thể tích mũ
A 2750π
3 (cm
3). B. 2500π
3 (cm
3).
C 2050π
3 (cm
3). D. 2250π
3 (cm
3).
x y
O O0
A B
(46)Ta gọi thể tích mũ V
Thể tích khối trụ có bán kính đáy OA= 10 cm đường cao OO0 = cm V1
Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường cong AB hai trục tọa độ quanh trụcOy làV2 Ta có V =V1+V2
V1 = 5.102π = 500π (cm3)
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Do parabol có đỉnh A nên có phương trình dạng (P) : y=a(x−10)2.
x y
O O0
A(10; 0) B(0; 20)
y=
5(x−10)
2
Vì (P)qua điểm B(0; 20) nên a=
Do đó, (P) :y =
5(x−10)
2 Từ suy rax= 10−√5y (do x <10).
Suy V2 =π 20 Z
0
Ä
10−p5yä2dy=π Å
3000− 8000
3 ã
= 1000 π (cm
3).
Do đóV =V1+V2 =
1000
3 π+ 500π = 2500
3 π (cm
3).
Chọn đáp án B
Câu 130 Giả sử f(x)và g(x) hàm số liên tục R a, b, c số thực Mệnh đề sau sai ?
A
b
Z
a
f(x) dx+
c
Z
b
f(x) dx+
a
Z
c
f(x) dx=
B
b
Z
a
cf(x) dx=c
b
Z
a
f(x) dx
C
b
Z
a
f(x)g(x) dx=
b
Z
a
f(x) dx· b
Z
a
g(x) dx
D
b
Z
a
(f(x)−g(x)) dx+
b
Z
a
g(x) dx=
b
Z
a
f(x) dx
Lời giải
Theo tính chất tích phân ta có:
b
Z
a
f(x) dx+
c
Z
b
f(x) dx+
a
Z
c
f(x) dx=
c
Z
a
f(x) dx+
a
Z
c
f(x) dx=
a
Z
a
f(x) dx=
b
Z
a
cf(x) dx=c
b
Z
a
f(x) dx, với c∈R
b
Z
a
(f(x)−g(x)) dx+
b
Z
a
g(x) dx=
b
Z
a
f(x) dx− b
Z
a
g(x) dx+
b
Z
a
g(x) dx=
b
Z
a
f(x) dx
Chọn đáp án C
Câu 131 Tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) = sin 5x
A
5cos 5x+C B cos 5x+C C −cos 5x+C D −
(47)Lời giải
Ta có Z
sin 5xdx=
Z
sin 5xd(5x) =−1
5cos 5x+C
Chọn đáp án D
Câu 132 ChoF(x)là nguyên hàm củaf(x) = √
x+ thỏa mãnF(2) = Giá trịF(−1)bằng
A √3 B C 2√3 D
Lời giải F(x) =
Z
f(x) dx=
Z
1
√
x+ 2dx=
√
x+ +C
Theo đề bàiF(2) = nên 2√2 + +C = ⇔C= ⇒F(−1) = 2√−1 + = Vậy F(−1) =
Chọn đáp án D
Câu 133 Tính thể tích V vật thể giới hạn hai mặt phẳngx= x= 4, biết cắt mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Oxtại điểm có hồnh độ x(0< x <4) thiết diện nửa hình trịn có bán kính R=x√4−x
A V = 64
3 B V = 32
3 C V = 64π
3 D V = 32π
3 Lời giải
Ta có diện tích thiết diện làS(x) = 2πR
2 =
2πx
2(4−x) =
2π(4x
2−x3).
Thể tích vật thể cần tìm là:V =
4 Z
0
S(x) dx= 2π
4 Z
0
4x2 −x3 dx= 2π
Å 3x
3−
4x
4
ã
0
= 32π
Chọn đáp án D
Câu 134
Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) = 3x
3−
x2 −
3x+ trục hồnh hình vẽ bên Mệnh đề sau sai?
A S =
1 Z
−1
f(x) dx−
3 Z
1
f(x) dx B S =
3 Z
1
f(x) dx
C S =
1 Z
−1
f(x) dx D S =
3 Z
−1
|f(x)| dx
x y
−1
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y=f(x) trục hoành:
1 3x
3−
x2−
3x+ = 0⇔
x=−1 x= x=
Từ hình vẽ ta thấy f(x)>0,∀x∈(−1; 1) f(x)>0,∀x∈(1; 3) Do đóS =
3 Z
−1
|f(x)| dx=
1 Z
−1
f(x) dx−
3 Z
1
f(x) dx=
1 Z
−1
f(x) dx Suy phương án A, C, D
(48)Câu 135 Cho Cho hàm số y=f(x) Hàm số y=f0(x) có bảng biến thiên hình vẽ đây:
x
f0(x)
−∞ −1 +∞
−∞ −∞
1
−1
−1
+∞
+∞
Hàm số g(x) =f(x)−x có điểm cực trị?
A B C D
Lời giải
Ta có g0(x) = f0(x)−1;g0(x) = ⇔f0(x) =
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y=f0(x) ta có f0(x) = ⇔
"
x=−1 x=x0 >1
Bảng xét dấu củag0(x) sau:
x g0(x)
−∞ −1 x0 +∞
− − +
Vậy hàm sốg(x) = f(x)−x có điểm cực trị
Chọn đáp án D
Câu 136 Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương R có bảng xét dấu đạo hàm
x g0(x)
−∞ −1 +∞
− + + − +
Hàm số y= log2(f(2x)) đồng biến khoảng
A (1; 2) B (−∞;−1) C (−1; 0) D (−1; 1)
Lời giải
Đặt g(x) = log2(f(2x)), ta có g0(x) = 2f 0(x) f(2x) ln
Theo giả thiết ta có f(2x)>0 với mọix∈R Do
g0(x)≥0⇔f0(2x)≥0⇔
"
−1≤2x≤1
2x≥2
⇔
−
2 ≤x≤ x≥1
và có dấu xảy hữu hạn điểm, suy hàm sốy=g(x)đồng biến khoảng
Å
−1
2;
ã
và (1; +∞) Vậy hàm số đồng biến trên(1; 2)
Chọn đáp án A
Câu 137 Gọi S tập hợp tất số nguyênm cho tồn hai số phức phân biệtz1, z2 thỏa mãn đồng thời phương trình|z−1|=|z−i| |z+ 2m|=m+ Tổng tất phần tử
(49)A B C D
Lời giải
Giả sử z =x+yi (x, y ∈R) Ta có |z+ 2m|=m+ 1≥0
TH1: m+ = 0⇔m =−1⇒z = (loại) khơng thỏa mãn phương trình |z−1|=|z−i|
TH2: m+ >0⇔m >−1 (1) Theo ta có
(
|z−1|=|z−i| |z+ 2m|=m+
⇔
(
|(x−1) +yi|=|x+ (y−1)i| |(x+ 2m) +yi|=m+
⇔
(
(x−1)2+y2 =x2+ (y−1)2 (x+ 2m)2+y2 = (m+ 1)2
⇔
(
y=x
(x+ 2m)2 = (m+ 1)2
⇔
(
y=x
2x2+ 4mx+ 3m2−2m−1 = 0(∗)
Để tồn hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn thỏa mãn yêu cầu đề phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt
⇔∆0 = 4m2−2(3m2−2m−1) = 2(−m2+ 2m+ 1)>0⇔1−√2< m <1 +√2 (2)
Từ (1), (2) vàm ∈Z ta nhận đượcS ={0; 1; 2} Vậy tổng phần tử S + + =
Chọn đáp án D
Câu 138 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vuông tạiAvàBvớiAB =BC =a,
AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AC SD
A a
√
6
6 B
a√6
2 C
a√6
3 D
a√3 Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz cho
A(0; 0; 0),B(a; 0; 0), C(a;a; 0), D(0; 2a; 0) S(0; 0;a) Khi ta có
# »
AC = (a;a; 0), SD# » = (0; 2a;−a), SA# » = (0; 0;−a),
[AC;# » SD] = (# » −a;a; 2a)
[AC;# » SD]# » ·SA# »=−a·0 +a·0 + 2a·(−a) =−2a2 Vậy ta có
d(AC, SD) = |[ # »
AC;SD]# » ·SA# »| |[AC;# » SD]# »| =
2a2
√
a2+a2+ 4a2 =
√
6 a
B
A D
S
C
a
a a
2a
x
y z
Chọn đáp án C
Câu 139
Người ta sản xuất vật lưu niệm(N)bằng thủy tinh suốt có dạng khối trịn xoay mà thiết diện qua trục hình thang cân (xem hình vẽ) Bên trong(N)có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính làR = cm, r= cm tiếp xúc với tiếp xúc với mặt xung quanh (N), đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai mặt đáy
(N) Tính thể V tích vật lưu niệm
A V = 485π (cm
3). B. V = 81π (cm3).
C V = 72π (cm3). D. V = 728π
9 (cm
(50)Lời giải
L J
K
S
F N
G
D
C
I
H M
E
Gọi tâm hai đường trịn trong(N)làC vàD Ta có GS tiếp tuyến chung hai đường tròn K J Khi DJ ⊥GS,CK ⊥GS
Kẻ DN k GS (N ∈ IS), DHKJ hình chữ nhật nên HK = DJ = cm, ta có
CH = cm
Ta có tam giác DHC đồng dạng với tam giácGJ D nên DJ
CH = GD
CD ⇒DG=
DJ ·CD
CH = cm, từ
đó suy raGF = cm
Ta lại có tam giác DHC đồng dạng với tam giác GF S nên DS
DC = GF
DH ⇒ GS =
DC·GF DH = DC·GF
√
DC2 −CH2 =
√
3 cm, từ suy F S =√GS2−GF2 = 3√3 cm. Vì tam giác GEL đồng dạng với tam giác GF S nên EL
F S = GE
GF ⇒ EL =
GE·F S GF =
3√3 =
√
3
cm
Vì (N) khối nón cụt nên V(N) =
1 3(EL
2+F S2+EL·F S)·EF = 728π
9
Chọn đáp án D
Câu 140
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnhA1,A2,B1, B2 hình vẽ bên Người ta chia elip Parabol có đỉnh B1, trục đối xứng B1B2 qua điểmM, N Sau sơn phần tơ đậm với giá 200.000 đồng/m2 trang trí đèn led phần cịn lại với giá
500.000 đồng/m2 Hỏi kinh phí sử dụng gần với giá trị đây? Biết A1A2 = 4m,B1B2 = 2m,M N = 2m
M B2
B1
A2
A1
N
A 2.431.000 đồng B 2.057.000 đồng C 2.760.000 đồng D 1.664.000 đồng
(51)Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm A1A2 Tọa độ đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0;−1),B2(0; 1) Phương trình đường Elip(E) : x
2
4 + y2
1 = 1⇔y =± …
1− x
2
4
Ta có M Ç −1; √ å ,N Ç 1; √ å
∈(E)
Parabol(P)có đỉnhB1(0;−1)và trục đối xứng làOxnên(P) có phương trình y=ax2−1, (a >0), qua M, N
x y
−2
−1
M B2
B1
A2
O A1
N
⇒a=
√
3
2 + 1⇒(P)có phương trình y= Ç√
3 +
å
x2−1 Diện tích phần tơ đậm
S1 = Z
0 "
1− x
2
4 − Ç√
3 +
å x2+
# dx= Z √
4−x2dx−
3 Ç√
3 +
å +
Đặt x= sint, t∈h−π
2; π
i
⇒dx= costdt Đổi cận: x= 0⇒t= 0;x= ⇒t= π
⇒S1 =
π
6 Z
0 p
4−4 sin2t·2 costdt−
3 Ç√
3 +
å
+ =
π
6 Z
0
cos2tdt− √ 3 + = π Z
(1 + cos 2t) dt− √
3 +
4
3 = (2t+ sin 2t)
π − √ 3 + = π + √ +
Diện tích hình Elip S =πab = 2π
⇒ Diện tích phần lạiS2 =S−S1 =
5π − √ −
Kinh phí sử dụng 200000S1+ 500000S2 ≈2341000 (đồng)
Chọn đáp án A
Câu 141 Giả sử hàm f có đạo hàm cấp R thỏa mãn f0(1) = f(1−x) +x2f00(x) = 2x
với mọix∈R Tích phân Z
0
xf0(x) dx
A B C D
3 Lời giải
Từ giả thiếtf(1−x) +x2f00(x) = 2x⇒f(1) = Suy
1 Z
0
x2f00(x) dx=
1 Z
0
2xdx−
1 Z
0
f(1−x) dx
Đặt (
u=x2
dv =f00(x) dx
⇒
(
du= 2xdx v =f0(x)
Khi Z
0
x2f00(x) dx=x2f0(x)
−2 Z
xf0(x) dx= 1−2I
Mà Z
0
2xdx−
1 Z
0
f(1−x) dx=x2
− Z
f(x) dx= 1−
1 Z
0
f(x) dx= 1−xf(x)
+ Z
xf0(x) dx= 1+I Suy 1−2I = +I ⇒I =
(52)Câu 142 Tính tích phân I =
2 Z
1
x−1 x dx A I = 1−ln B I =
4 C I = + ln D I = ln Lời giải
Ta có
I =
2 Z
1
x−1 x dx=
2 Z
1
Å 1−
x ã
dx = (x−ln|x|)|21
= (2−ln 2)−(1−ln 1) = 1−ln
Chọn đáp án A
Câu 143 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) =
1−2x Å
−∞;1
2 ã
A
2ln|2x−1|+C B
2ln|1−2x|+C C −
2ln|2x−1|+C D ln|2x−1|+C Lời giải
Trên khoảng
Å
−∞;1
2 ã
, ta có Z
f(x)dx=−1
2
Z
1
1−2xd(1−2x) =−
2ln|2x−1|+C
Chọn đáp án C
Câu 144 Gọi (D) hình phẳng giới hạn đường y= x
4, y= 0,x = 1, x= Tính thể tích
vật thể trịn xoay tạo thành quay hình(D) quanh trục Ox
A 15
16 B
15π
8 C
21π
16 D
21 16 Lời giải
Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình (D) quanh trục Ox
V =π·
4 Z
1 x
4
2
dx= πx
3
48
1
= 21π 16
Chọn đáp án C
Câu 145 Biết hàm số F(x) = mx3 + (3m+n)x2 −4x+ nguyên hàm hàm số
f(x) = 3x2+ 10x−4 Tính mn
A mn= B mn= C mn= D mn=
Lời giải
Vì F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nên F0(x) =f(x),∀x∈R Khi đó,3mx2+ 2(3m+n)x−4 = 3x2+ 10x−4,∀x∈
R⇔ (
3m =
2(3m+n) = 10
⇔
(
m= n=
Vậy m.n=
Chọn đáp án B
Câu 146 Tích phân I =
1 Z
0
(x−1)2
x2+ 1 dx= a−lnb a, b số nguyên Tính giá trị biểu thức a+b
(53)Lời giải
Ta có
I =
1 Z
0
(x−1)2 x2+ 1 dx
=
1 Z
0
Å
1− 2x
x2+ 1
ã dx
= x
0
−ln x2 +
0
= 1−ln
⇒
(
a=
b = ⇒a+b =
Chọn đáp án D
Câu 147 Cho hình phẳng D giới hạn hai đường y = 2(x2−1);y= 1−x2 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành D quay quanh trục Ox
A 64π
15 B
32
15 C
32π
15 D
64 15 Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm sốy= 2(x2−1) y= 1−x2 là
2(x2−1) = 1−x2 ⇔x=±1
Lấy đối xứng đồ thị hàm số y= 2(x2−1)qua trụcOx ta đồ thị hàm số y= 2(1−x2).
Ta có 2(1−x2)≥1−x2,∀x∈[−1; 1]
Khi đoạn [−1; 2] phần thể tích hàm số y = 2(x2−1)
chứa phần thể tích hàm sốy= 1−x2
x y
O
−1 1
−2
y= 2x2−2
y= 1−x2
y=−2x2+
Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm
V =π
1 Z
−1
2(x2−1)2 dx= 64π 15
Chọn đáp án A
Câu 148 Cho hàm số f(x) có đạo hàm f0(x) = (x−1)(x2 −3)(x4 −1) với mọi x ∈
R So sánh
f(−2),f(0), f(2) ta
A f(2)< f(0) < f(−2) B f(0)< f(−2)< f(2)
C f(−2)< f(2) < f(0) D.f(−2)< f(0)< f(2)
Lời giải
Ta có f0(x) = (x−1)(x2−3)(x4−1) =x7−x6−3x5+ 3x4−x3+x2+ 3x−3.
I1 = Z
−2
f0(x)dx=
Z
−2
(x7−x6−3x5+ 3x4−x3+x2+ 3x−3)dx=−464
105 <0
(54)I2 = Z
0
f0(x)dx=
Z
(x7−x6−3x5+ 3x4−x3+x2+ 3x−3)dx=− 44
105 <0
⇒f(2)−f(0) <0⇒f(2) < f(0) Vậy f(2) < f(0)< f(−2)
Chọn đáp án A
Câu 149 Cho F(x) nguyên hàm hàm số f(x) =
cos2x Biết F π
4 +kπ
=k với
k∈Z Tính F(0) +F(π) +F(2π) +· · ·+F(10π)
A 55 B 44 C 45 D
Lời giải
Ta có Z
f(x)dx=
Z
dx
cos2x = tanx+C
Suy F(x) =
tanx+C0, x∈
Å −π 2; 3π ã
tanx+C1, x∈ π
2; π
tanx+C2, x∈
Å 3π ; 5π ã · · ·
tanx+C9, x∈
Å 17π ; 19π ã
tanx+C10, x∈
Å 19π ; 21π ã ⇒ F π
4 + 0π
= +C0 = ⇒C0 =−1
F
π
4 +π
= +C1 = 1⇒C1 =
F
π
4 + 2π
= +C2 = ⇒C2 =
· · ·
F
π
4 + 9π
= +C9 = ⇒C9 =
F π
4 + 10π
= +C10 = 10⇒C10 = Vậy F(0) +F(π) +F(2π) +· · ·+F(10π) = tan 0−1 + tanπ+ tan 2π+ +· · ·+ tan 10π+ = 44
Chọn đáp án B
Câu 150 Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục R thỏa mãn Z
0
f(x)dx= 1, f(1) = cot Tính tích phânI =
Z
f(x) tan2x+f0(x) tanxdx
A −1 B 1−ln(cos 1) C D 1−cot
Lời giải
Ta có I =
Z
f(x) tan2x+f0(x) tanxdx=
Z
f(x) tan2xdx+
Z
f0(x) tanxdx Mà
Z
f(x) tan2xdx=
Z
f(x) Å
1 cos2x −1
ã dx=
Z
f(x) cos2xdx−
Z f(x)dx= Z f(x)
cos2xdx−1 Z
0
f0(x) tanxdx=
Z
tanxd(f(x)) = f(x)·tanx|10−
Z
f(x)
cos2xdx= 1− Z
0
f(x) cos2xdx Vậy I =
Chọn đáp án C
Câu 151 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2+ sinx
A x3 + cosx+C. B. 6x+ cosx+C. C. x3−cosx+C. D. 6x−cosx+C.
Lời giải
Z
3x2+ sinx dx= 3· x
3
3 −cosx+C =x
3−
cosx+C
Chọn đáp án C
(55)thức
A S =
b
Z
a
|f(x)|dx B S =π
b
Z
a
|f(x)|dx C S =
b
Z
a
f(x) dx
D S =
π
b
Z
a
f(x) dx
Lời giải
Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳngy= 0, x=a, x=b(a < b)và đồ thị hàm số y=f(x)là S=
b
Z
a
|f(x)|dx
Chọn đáp án A
Câu 153
Diện tích hình phẳng bơi đậm hình vẽ xác định theo cơng thức
A Z
−1
2x2−2x−4 dx B Z
−1
2x2+ 2x−4 dx
C Z
−1
−2x2+ 2x+ dx D
2 Z
−1
−2x2−2x+ dx x
y
O
−1
y=x2−2x−1
y=−x2+
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy cơng thức tính diện tích hình phẳng cần tính
Z
−1
−x2+ 3−x2+ 2x+
dx=
2 Z
−1
−2x2+ 2x+
dx
Chọn đáp án C
Câu 154 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = x+ x2+ 3x+ 2
A ln|x+ 1|+ ln|x+ 2|+C B ln|x+ 1|+ ln|x+ 2|+C
C ln|x+ 1| −ln|x+ 2|+C D.−ln|x+ 1|+ ln|x+ 2|+C
Lời giải
Ta có:
I =
Z
f(x)dx=
Z x+ 3
x2+ 3x+ 2dx=
Z x+ 3
(x+ 1)(x+ 2)dx =
Z Å 2
x+ − x+
ã
dx= ln|x+ 1| −ln|x+ 2|+C
Chọn đáp án C
Câu 155 Biết tồn số nguyên a, b, c cho
Z
2
(4x+ 2) lnxdx=a+bln +cln Giá trị củaa+b+c
A 19 B −19 C D −5
Lời giải
Đặt I =
3 Z
2
(56)Đặt (
u= lnx
dv = (4x+ 2)dx
⇔
du= dx x
v = 2x2+ 2x= 2x(x+ 1)
Khi
I = [2x(x+ 1) lnx]|3 2−
3 Z
2
2x(x+ 1) x dx
I = 24 ln 3−12 ln 2−2
3 Z
2
(x+ 1)dx
I = 24 ln 3−12 ln 2−2 Åx2
2 +x ã
32
I = 24 ln 3−12 ln 2−2 Å15
2 −4 ã
I = 24 ln 3−12 ln 2−7 = a+bln +cln
⇒
a=−7
b=−12⇒a+b+c=−7−12 + 24 = c= 24
Chọn đáp án C
Câu 156 Cho hàm số f(x) >0 với x ∈ R, f(0) = f(x) = √x+ 1·f0(x) với x ∈ R Mệnh đề đúng?
A 4< f(3) <6 B f(3)<2 C 2< f(3)<4 D f(3) >6
Lời giải
Phương pháp:
+) Từ giả thiết suy f
0(x) f(x) =
1
√
x+
+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm vế
Cách giải:
Theo ta có: f(x) = √x+ 1f0(x) (*) Do f(x)>0∀x∈R nên từ (*) ta có f
0(x) f(x) =
1
√
x+
Lấy nguyên hàm vế ta được: Z f0(x)
f(x) dx=
Z 1
√
x+ 1dx
⇔ln|f(x)|dx = 2√x+ +C ⇔lnf(x) = 2√x+ +C ⇔f(x) =e2√x+1+C.
Ta có f(0) = 1⇒1 = e2+C ⇔2 +C = 0⇔C =−2.
Do đóf(x) =e2√x+1−2 ⇒f(3) =e2 ≈7,4>6.
Chọn đáp án D
Câu 157 Cho hàm số y = 2x
2 có đồ thị (P) Xét điểm A, B thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại
AvàB của(P)vng góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi(P)và đường thẳngAB
9
4 Gọi x1, x2 hoành độ A B Giá trị (x1+x2)
2
A B C 13 D 11
(57)(P) :y= 2x
2
Tập xác định: D =R Ta có y0 =x
Giả sử A Å
x1;
1 2x
2
ã ;B
Å x2;
1 2x
2
ã
∈(P)(x1 6=x2)
Phương trình tiếp tuyến điểmAcủa(P)lày=x1(x−x1) +
1 2x
2 ⇔
y=x1x−
1 2x
2 1(d1)
Phương trình tiếp tuyến điểmB của(P)lày =x2(x−x2) +
1 2x
2 ⇔
y=x2x−
1 2x
2 2(d2)
Do (d1)⊥(d2)nên ta có x1x2 =−1⇔x2 =
−1 x1
x y
O x1
1 2x
2
x2
2x 2
Phương trình đường thẳng AB:
x−x1
x2−x1
=
y−1
2x
2
1 2x
2 2−
1 2x
2
⇔
2(x−x1) x
2 2−x
2
= Å
y−1
2x
2
ã
(x2−x1)
⇔ (x−x1)(x2+x1) = 2y−x21
⇔ (x1+x2)x−2y−x1x2 =
⇔ y =
2[(x1+x2)x−x1x2] =
2[(x1 +x2)x+ 1]
Do diện tích hình phẳng giới hạn AB, (P) là:
S=
x2
Z
x1
(x1+x2)x+ 1−x2
dx
⇔
4 =
Å
(x1+x2)
x2
2 +x− x3
3 ã
xx2
1
⇔
4 =
ï
(x1+x2)
Å x22
2 − x21
2 ã
+ (x2−x1)−
x32 −x31
ò
⇔
4 =
2(x1+x2) x
2 −x
2
+ (x2−x1)−
x3 2−x31
3
⇔ 27 = x1x22−x 1+x
3 −x
2 1x2
+ (x2−x1)−2x32+ 2x
⇔ 27 = 3x1x22−3x1x22+x 2−x
3
1+ 6(x2−x1)
⇔ 27 =−3(x2−x1) + (x2−x1) x21+x 2−1
+ 6(x2−x1)
⇔ 27 = 3(x2−x1) + (x2−x1) x21+x22 −1
⇔ 27 = (x2−x1) x21+x 2+
⇔ 27 = (x2−x1) x21+x
2−2x1x2
⇔ 27 = (x2−x1)(x2−x1)
= (x2−x1)
⇔ x2−x1 =
Thay x2 =
−1 x1
ta có:
−1 x1
(58)⇔ −1−x21−3x1 =
⇔
x1 =
−3−√5
2 ⇒x2 = +√5 x1 =
−3 +√5
2 ⇒x2 =
−2
−3 +√5
⇔ (x1 +x2)2 =
Chọn đáp án B
Câu 158 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 2x+
A F(x) = 2x2+x B F(x) =
C F(x) =C D.F(x) = x2+x+C
Lời giải
Ta có
F(x) =
Z
f(x) dx=
Z
(2x+ 1) dx=x2+x+C
Chọn đáp án D
Câu 159 Cho F(x) nguyên hàm hàm số f(x) = ex2
(x3−4x) Hàm số F (x2+x) có điểm cực trị?
A B C D
Lời giải
Ta có
F(x) =
Z
ex2 x3−4x
dx =
Z
ex2 x2−4
xdx =
2 ·
Z
(x2−4) d(ex2) =
ï
(x2−4)·ex2 −2·
Z
xex2dx ò
= 2·(x
2−5)ex2 +C
Đặt g(x) =F(x2+x).
Suy g(x) =F(x2+x) =
2·[(x
2+x)2 −5]·e(x2+x)2 +C
⇒g0(x) = (x2+x) (2x+ 1)e(x2+x)2ỵ
(x2+x)2−4ó.
g0(x) =x(x+ 1)(2x+ 1) (x2+x−2) (x2+x+ 2)e(x2+x)2
g0(x) = 0⇔
x= x=±1 x= −1 x=−2
Vậy hàm sốF (x2+x)có điểm cực trị.
Chọn đáp án B
Câu 160 Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB = 6, AC = M trung điểm cạnh
AC Khi thể tích khối trịn xoay tam giác BM C quanh cạnh AB
(59)Lời giải
Khi quay tam giácBM C quanh cạnhABtạo khối trịn xoay tích là:V =
3π·AC
2·AB−1
3π·AM
2·AB=
3π·8
2·6−1
3π·4
2·6 =
96π
B
A M C
N
Chọn đáp án C
Câu 161 Cho hàm sốf(x)>0vớix∈R,f(0) = 1vàf(x) = √x+ 1·f0(x)với mọix∈R Mệnh đề đúng?
A f(3)<2 B 2< f(3) <4 C 4< f(3)<6 D f(3) < f(6)
Lời giải
Do giả thiết f(x)>0với x∈Rvà f(x) =√x+ 1·f0(x) suy √x+ 1>0 Khi đóf(x) =√x+ 1·f0(x)⇔ f
0(x) f(x) =
1
√
x+
Suy Z
f0(x) f(x) dx=
Z
1
√
x+ 1dx (∗)
Mà Z
f0(x) f(x) dx=
Z
df(x)
f(x) = ln|f(x)|+C1 Vìf(x)>0 nên
Z
f0(x)
f(x) dx= lnf(x) +C1
Mặt khác Z
1
√
x+ dx=
Z
d (x+ 1)
√
x+ =
√
x+ +C2 Từ (∗) suy lnf(x) = 2√x+ +C ⇒f(x) = e2
√
x+1+C.
Do f(0) = nên e2+C = 1⇔2 +C= ⇔C =−2 suy f(x) = e2 √
x+1−2. Khi đóf(3) = e2
√
3+1−2 = e2 vàf(6) = e2√7−2 suy ra f(3)< f(6).
Chọn đáp án D
Câu 162 Cho Z
2x(3x−2)6dx =A(3x−2)8 +B(3x−2)7+C với A, B, C ∈ R Tính giá trị biểu thức 12A+ 7B
A 23
252 B
241
252 C
52
9 D
7 Lời giải
Ta có
Z
2x(3x−2)6dx =
3
Z
3x(3x−2)6dx =
3
Z
(3x−2)7+ 2(3x−2)6dx
=
ï 1
3·8·(3x−2)
8
+
3·7·(3x−2)
7
ò +C =
36·(3x−2)
8+
63·(3x−2)
7+C.
Suy A= 36, B =
4
63 nên 12A+ 7B =
Chọn đáp án D
Câu 163 Tìm nguyên hàm hàm số y =x2−3x+
(60)A x
3 − 3x2
2 −ln|x|+C B x3
3 − 3x2
2 + x2 +C
C x
3 − 3x2
2 −lnx+C D
x3
3 − 3x2
2 + ln|x|+C Lời giải
I =
Z Å
x2−3x+ x
ã
dx= x
3
3 − 3x2
2 + ln|x|+C
Chú ý giải: Dùng dấu giá trị tuyệt đối cóln|x|, học sinh chọn nhầm đáp án C
Chọn đáp án D
Câu 164 Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [0; 10] Z 10
0
f(x) dx= Z
2
f(x) dx= Tính P =
Z
f(x) dx+
Z 10
f(x) dx
A P =−4 B P = 10 C P = D P =
Lời giải
Ta có: Z 10
0
f(x) dx=
Z
f(x) dx+
Z
f(x) dx+
Z 10
f(x) dx
⇒P =
Z
f(x) dx+
Z 10
f(x) dx=
Z 10
f(x) dx−
Z
f(x) dx= 7−3 =
Chọn đáp án D
Câu 165 Biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x) = x−cosx
x2 Hỏi đồ thị hàm số y=F(x) có điểm cực trị?
A B Vô số điểm C D
Lời giải
Ta có F(x) =
Z
f(x) dx⇒F0(x) =f(x)
⇒F0(x) = ⇔ x−cosx
x2 = (x6= 0)⇔g(x) =x−cosx= Xét hàm số g(x) =x−cosx ta cóg0(x) = + sinx≥0,∀x∈R
Do hàm số g(x)đồng biến R⇒ phương trình g(x) = có nghiệm
Chọn đáp án A
Câu 166 Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f(0) = Biết
Z
0
f2(x) dx=
1 Z
0
f0(x) cosπx dx=
3π
4 Tích phân
1 Z
0
f(x) dx
b
Z
a
f(x) dx
A
π B
2
π C
4
π D
1 π Lời giải
Phương pháp
Sử dụng phương pháp phần tích phân Z
0
f0(x) cosπx dx=
3π
Xét Z
0 h
f(x) +ksinπx
i2
(61)1 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
−ksinπx dx
Cách giải Đặt
u= cosπx dv=f0(x) dx
⇒
du=−π
2sin πx
2 dx v =f(x)
⇒
1 Z
0
f0(x) cos πx
2 dx = cos πx
2 f(x)
+ π Z
f(x) sinπx dx
= f(1)·cosπ
2 −f(0)·cos + π
1 Z
0
f(x) sinπx dx = π Z
f(x) sinπx dx=
3π ⇒
1 Z
0
f(x) sinπx dx=
3
Xét tích phân Z
0 h
f(x) +ksinπx
i2
dx= ⇔
1 Z
0 h
f2(x) + 2kf(x) sinπx +k
2sin2πx
2
i
dx=
⇔
1 Z
0
f2(x) dx+ 2k
1 Z
0
f(x) sinπx +k
2 Z
0
sin2πx
2 dx=
⇔
2+ 2k +
1 2k
2 = 0
⇔ k =−3
Khi ta có Z
0 h
f(x)−3 sinπx
i2
dx= ⇔f(x)−3 sinπx
2 = ⇔f(x) = sin πx Vậy Z
f(x)dx=
1 Z
0
sinπx
2 dx=−3
cosπx π
= −6 π cos πx
=−6
π
cosπ
2 −cos
= π
Chọn đáp án A
Câu 167 Cho hàm số y = f(x) liên tục R thỏa mãn f(2x) = 3f(x),∀x ∈ R Biết
Z
0
f(x)dx= Tính tích phân I =
2 Z
1
f(x)dx
A I = B I = C I = D I =
Lời giải
Ta có I =
2 Z f(x)dx= Z f(x)dx− Z f(x)dx= Z
f(x)dx−1 =J −1, Ñ
với J =
2 Z f(x)dx é
Mặt khác ta có =
1 Z
0
f(x)dx=
1 Z
0
3f(x)dx=
1 Z
0
f(2x)dx= ⇒
1 Z
0
f(2x)dx =
(62)Đổi cận: (
x= ⇒t = x= ⇒t =
⇒
1 Z
0
f(2x)dx=
2 Z
0
f(t)dt=
2 Z
0
f(x)dx= ⇒J =
Vậy I =
2 Z
1
f(x)dx= 3−1 =
Chọn đáp án C
Câu 168
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=f(x), trục hoành hai đường thẳngx =a, x=b (a < b)
(phần tơ đậm hình vẽ) Tính theo cơng thức đây?
A S=− c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx
B S=
b
Z
a
f(x) dx
C S=
c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx
D S=
b
Z
a
f(x) dx
x y
O a
b c
Lời giải
Ta có: S =
b
Z
a
|f(x)|dx=
c
Z
a
|f(x)|dx+
b
Z
c
|f(x)|dx=− c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx
Chọn đáp án A
Câu 169 Cho hình phẳng (H)giới hạn đồ thị y= 2x−x2 và trục hoành Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho (H) quay quanh Ox
A V = 16
15π B V = 16
15 C V =
3 D V = 3π Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm 2x−x2 = 0⇔ "
x= x=
Thể tíchV =π
2 Z
0
(2x−22)2dx=π
2 Z
0
(4x2−4x3+x4) dx=π Å
4x
3
3 −x
4+ x
5 ã
2 =
16 15π
Chọn đáp án A
Câu 170 Cho hàm số f(x) liên tục trênR Z
0
f(x) + 3x2 dx= 10 Tính Z
0
f(x) dx
A −18 B −2 C 18 D
(63)Ta có: Z
0
f(x) + 3x2 dx= 10⇔
2 Z
0
f(x) dx= 10−
2 Z
0
3x2dx= 10−x2
2 =
Chọn đáp án D
Câu 171 Tìm tập xác định D hàm số y= (4x2−1)−3
A D = Å
−∞;−1
2 ã
B D =R C D =R\
ß
−1
2;
™
D D = Å
−1
2;
ã
Lời giải
Điều kiện xác định là4x2−16= 0⇔x6=±1
2
Vậy tập xác định hàm số D =R\
ß
−1
2;
™
Chọn đáp án C
Câu 172 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2+ sinx là
A F(x) =x3+ sinx+C. B. F(x) = x3−cosx+C.
C F(x) = 3x3−sinx+C. D.F(x) = x3+ cosx+C.
Lời giải
Ta có: F(x) =
Z
f(x) dx=
Z
3x2+ sinx
dx=x3−cosx+C
Chọn đáp án B
Câu 173
Một vật chuyển động trong4giờ với vận tốcv(km/h)phụ thuộc thời gian
t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnhI(1; 3)và trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển kể từ lúc xuất phát
A s= 50
3 (km) B s = 10 (km) C s= 20 (km) D s = 64
3 (km)
x y
O
4 12
Lời giải
Ta có v(t) = at2+bt+ccó dạng parabol đỉnh I(1; 3), qua điểm A(0; 4) và B(4; 12).
−b 2a = a+b+c= v(0) =
⇒
−b 2a = a+b+c= + +c=
⇒
b =−2a a+b =−1 c=
⇒
b=−2a
a+ (−2a) = −1 c=
⇒
b=−2 a= c=
Do đóv(t) = t2−2t+
Quãng đường vật di chuyển kể từ lúc xuất phát tính sau
s=
4 Z
0
v(t) dt =
4 Z
0
t2−2t+
dt = Åt3
3 −t
2+ 4t
ã
0
= Å43
3 −4
2+ 4.4
ã
−0 = 64
3 (km)
Chọn đáp án D
Câu 174 Cho hàm số f(x) liên tục f(3) = 21, Z
0
f(x)dx = Tính tích phân I =
1 Z
0
(64)f0(3x)dx
A I = B I = 12 C I = D I = 15
Lời giải
Đặt 3x=t⇒dx= dt
3 Đổi cận
(
x= 0⇒t= x= 1⇒t= I =
3 Z
0
t 3f
0 (t)dt
3 =
3 Z
0
xf0(x)dx
Đặt (
u=x
dv=f0(x)dx ⇒
(
du=dx v =f(x)
Suy I =
Ñ xf(x)
3 0−
3 Z
0
f(x)dx é
=
Chọn đáp án A
Câu 175 Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục khoảng(0; +∞), biếtf0(x) + (2x+ 1)f(x) = 0,
f(x) = 0, f0(x)>0, f(2) =
6 Tính giá trị củaP =f(1) +f(2) + .+f(2019) A P = 2020
2019 B P = 2019
2020 C P = 2018
2019 D P = 2021 2020 Lời giải
Ta có f0(x) + (2x+ 1)f(x) = 0⇒ −f
0(x)
f(x) = 2x+ 1⇒
Z −
f0(x) f(x) dx=
Z
(2x+ 1)dx
Suy
f(x) =x
2+x+c⇒f(x) =
x2+x+c Màf(2) =
1
6 ⇒c= ⇒f(x) = x2+x =
1 x−
1 x+ P =f(1) +f(2) + .+f(2019) =
1 − 2+
1 2−
1 +
1
3 − .+ 2019 −
1 2020 =
2019 2020
Chọn đáp án B
Câu 176 Cho hàm số f(x) thỏa mãn f0(x) = 2− sinx f(0) = 10 Mệnh đề đúng?
A f(x) = 2x+ cosx+ B f(x) = 2x+ cosx+
C f(x) = 2x−5 cosx+ 10 D.f(x) = 2x−5 cosx+ 15
Lời giải
Ta có: f0(x) = 2−5 sinx⇒f(x) = R (2−5 sinx) dx= 2x+ cosx+C Màf(0) = 10⇒C= ⇒f(x) = 2x+ cosx+
Chọn đáp án A
Câu 177 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = 2x+ sin 2x
A x2 −1
2cos 2x+C B x
2+
2cos 2x+C C x
2−2 cos 2x+C. D. x2+ cos 2x+C.
Lời giải
Ta có Z
2x+ sin 2x=x2−
2cos 2x+C
Chọn đáp án A
Câu 178 Tính tích phân Z
0
2 2x+ 1dx A ln B
(65)Ta có Z
0
2
2x+ 1dx=
Z
1
2x+ 1d(2x+ 1) = ln|2x+ 1|
= ln
Chọn đáp án C
Câu 179 Cho Z
0
x
4 + 2√x+ 1dx= a
3+bln 2+cln 3, vớia, b, clà số nguyên Tínha+b+c
A B C D
Lời giải
Đặt t=√x+ 1⇒t2 =x+ 1⇒2tdt=dx Đổi cận: x= ⇒t = 1;x= 3⇒t = Ta có I =
Z
x
4 + 2√x+ 1dx=
Z
2(t2−1)t
4 + 2t dt=
Z
t3−t
t+ dt=
Z
(t+ 2)(t2−2t+ 3)−6
t+ dt =
Z
Å
t2−2t+ 3−
t+ ã
dt = 3t
3−
t2+ 3t−6 lnt =
3 −12 ln + ln
Suy a= 7;b =−12;c= ⇒a+b+c= 7−12 + =
Chọn đáp án A
Câu 180 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = xcos 2x
A xsin 2x
2 −
cos 2x
4 +C B xsin 2x−
cos 2x +C C xsin 2x+ cos 2x
2 +C D
xsin 2x +
cos 2x +C Lời giải
Đặt u=x⇒ du= dx; dv = cos 2xdx⇒v =
2sin 2x Suy I =
Z
xcos 2xdx=
2xsin 2x−
Z
sin 2xdx=
2xsin 2x+
4cos 2x+C
Chọn đáp án D
Câu 181 Với cách đổi biến u=√1 + lnx tích phân Z e
1
lnx
x√1 + lnxdx trở thành A
3
Z
(u2−1) du B
9
Z
(u2 −1) du C
Z
(u2−1) du D
9
Z
u2−1 u du Lời giải
Với u=√1 + lnx⇒u2 = + lnx⇒ u 2−1
3 = lnx⇒ 2u
3 du= xdx
Khi đó, Z e
1
lnx
x√1 + lnxdx=
Z
u2−1
3 · 2u
3 u du=
2
Z
(u2−1) du
Chọn đáp án B
Câu 182
Cho hàm số y = ax4 +bx2 +c có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua điểm
A(−1; 0), tiếp tuyến d A (C) cắt (C) hai điểm có hồnh độ Diện tích hình phẳng giới hạn d, đồ thị (C) hai đường thẳngx= 0,x= có diện tích 28
5 (phần gạch chéo hình
vẽ) Tính diện tích giới hạn d, đồ thị (C)và hai đường thẳng x=−1,
x=
A
5 B
1
4 C
2
9 D
1
5 x
y
−1 O
Lời giải
Ta có y0 = 4ax3+ 2bx.
(66)Phương trình hồnh độ giao điểm củad (C) là(−4a−2b)(x+ 1) =ax4+bx2+c.
Theo giả thiết, x = x = hai nghiệm phương trình này, thay x = x =
vào ta
(
−4a−2b=c
−12a−6b= 16a+ 4b+c ⇔
(
4a+ 2b+c= (1) 28a+ 10b+c= (2)
Mặt khác, diện tích phần gạch chéo
28 =
Z
(−4a−2b)(x+ 1)−(ax4+bx2+c) dx =
ï
(−4a−2b) Åx2
2 +x ã
−
Åax5
5 + bx3
3 +cx ãò
=(−4a−2b)·4−
Å32 a+
8 3b+ 2c
ã
Tương đương với 112
5 a+ 32
3 b+ 2c=− 28
5 (3)
Từ (1), (2) (3) suy a= 1, b=−3, c =
Do đó,(C) :y=x4−3x2+ 2, d:y = 2x+ Suy diện tích hình giới hạn bởid, đồ thị(C)và hai đường thẳngx=−1,x= làS =
Z
−1
(x4−3x2+ 2)−(2x+ 2) dx=
Chọn đáp án D
Câu 183 Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] c ∈ [a;b] Tìm mệnh đề mệnh đề sau
A
c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx=
a
Z
b
f(x) dx B
b
Z
a
f(x) dx+
c
Z
a
f(x) dx=
b
Z
c
f(x) dx
C
b
Z
a
f(x) dx− c
Z
a
f(x) dx=
c
Z
b
f(x) dx D
b
Z
a
f(x) dx+
a
Z
c
f(x) dx=
b
Z
c
f(x) dx
Lời giải
Theo tính chất tích phân suy
a
Z
c
f(x) dx+
b
Z
a
f(x) dx=
b
Z
c
f(x) dx
Chọn đáp án D
Câu 184 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = tan22x+1
2 A
Z Å
tan22x+
ã
dx= tan 2x−2x+C B Z Å
tan22x+1
ã
dx= tan 2x− x
2 +C C
Z Å
tan22x+
ã
dx= tan 2x−x+C D Z Å
tan22x+1
ã
dx=
2tan 2x− x +C Lời giải
Ta có
Z Å
tan22x+1
ã dx=
Z Å 1
cos22x −
1
ã dx =
2tan 2x− x +C
(67)Câu 185 Cho a > b >−1 Tích phânI =
b
Z
a
ln(x+ 1) dx biểu thức sau đây?
A I = (x+ 1) ln(x+ 1)
b
a
−a+b B I = (x+ 1) ln(x+ 1)
b
a
−b+a
C I = x+
b
a
D.I =xln(x+ 1)
b
a
+
b
Z
a
x x+ 1dx Lời giải
Ta có
I =
b
Z
a
ln(x+ 1) d(x+ 1)
= (x+ 1) ln(x+ 1)
b
a −
b
Z
a
(x+ 1) d (ln(x+ 1))
= (x+ 1) ln(x+ 1)
b
a
−(b−a)
= (x+ 1) ln(x+ 1)
b
a
−b+a
Chọn đáp án B
Câu 186 Tính tổng T = C
0 2018
3 − C12018
4 + C22018
5 − C32018
6 +· · · −
C20172018 2020 +
C20182018 2021
A
4121202989 B
1
4121202990 C
1
4121202992 D
1 4121202991 Lời giải
Ta có x2(1−x)2018 =x2·
2018 P
k=0
Ck2018xk(−1)k=
2018 P
k=0
Ck2018xk+2(−1)k
Do Z
0
x2(1−x)2018dx=
1 Z
0 2018 X
k=0
Ck2018xk+2(−1)kdx
Mặt khác Z
0 2018 X
k=0
Ck2018xk+2(−1)kdx=
2018 X
k=0
Ck2018 x
k+3
k+ 3(−1)
k
0
=
2018 X
k=0
Ck2018 ·(−1) k
k+ =T
Đặt t= 1−x⇒ dt=−dx.Đổi cận x= ⇒t= x= ⇒t = Khi
Z
0
x2(1−x)2018dx=
0 Z
1
t2018(1−t)2(−dt)
=
1 Z
0
t2018(t2−2t+ 1) dt
= Å
t2021
2021 −2· t2020
2020 + t2019
2019 ã
0
= 2021 −
2 2020 +
1 2019
=
1010·2019·2021 =
(68)Chọn đáp án B Câu 187 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x(2017 +
√
2019−x2) trên tập xác định Tính M −m.
A √2019 +√2017 B 2019√2019 + 2017√2017
C 4036 D.4036√2018
Lời giải
Tập xác định D =ỵ−√2019;√2019ó
Ta có
y0 = 2017 +√2019−x2− √ x
2019−x2 ·x
= 2017 + 2019−2x
2
√
2019−x2
= 2017·
√
2019−x2+ 2019−2x2
√
2019−x2 Ta có y0 = ⇔2017·√2019−x2+ 2019−2x2 = 0.
Đặt t=√2019−x2 >0. Khi đó2017t+ 2t2−2019 = 0⇔
t= (thỏa mãn) t=−2019
2 (loại)
Với t= ⇒√2019−x2 = 1⇔2019−x2 = 1⇔x=±√2018 (thỏa mãn). Bảng biến thiên
x y0
y
−√2019 −√2018 √2018 √2019
− + −
−2017√2019
−2017√2019
−2018√2018
−2018√2018
2018√2018 2018√2018
2017√2019 2017√2019
Dựa vào bảng biến thiên, ta có M = 2018√2018, m =−2018√2018⇒M −m= 4036√2018
Chọn đáp án D
Câu 188 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 2x+ cosx
A x2 −sinx+C. B. x2+ sinx+C. C. 2 + sinx+C. D. 2−sinx+C.
Lời giải
Z
(2x+ cosx) dx=x2+ sinx+C
Chọn đáp án B
Câu 189 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường cong y = −x3+ 3x2−2, trục hoành và hai đường thẳngx= 0, x=
A S =
2 B S =
2 C S =
(69)Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành −x3+ 3x2−2 = 0⇔ "
x=
x= 1±√3
Diện tích cần tính
S =
2 Z
0
| −x3+ 3x2−2|dx
=
1 Z
0
| −x3+ 3x2−2|dx+
2 Z
1
| −x3+ 3x2−2|dx
=
Å
−1
4x
4+x3−2x
ã
0
+
Å
−1
4x
4 +x3−2x
ã
1
=
−5
4
+
5
=
Chọn đáp án A
Câu 190 Tính tích phân
π
Z
0
xcosxdx
A I = π
2 B I = π
2 −1 C I = π −
1
2 D I = π Lời giải
I = π
Z
0
xcosxdx= π
Z
0
xd(sinx) = xsinx
π
0 −
π
Z
0
sinxdx= π
2 + cosx
π
0 =
π −1
Chọn đáp án B
Câu 191
Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường y2 = 4x y = x
(với 0≤ x≤ 4) minh họa hình vẽ bên (phần tơ đậm) Cho (H) quay quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành
A 11π B 32
3 π C 15
7 π D 10π
1
−2
−1
O x
y y=x
y2 = 4x
Lời giải
y2 = 4x⇒y = 2√x (xéty≥0) Thể tích khối trịn xoay cần tính
V =π
4 Z
0
(2√x)2dx−π
4 Z
0
x2dx= 2πx2
0
− π
3x
3
0
= 32 π
Chọn đáp án B
Câu 192 Cho f(x) hàm số liên tục a > Giả sử với x ∈ [0;a], ta có f(x) >0
f(x)·f(a−x) = Tính
a
Z
0
dx
1 +f(x) kết A a
(70)Lời giải
f(x)·f(a−x) = ⇒f(x) = f(a−x)
I =
a
Z
0
dx
1 +f(x) =
a
Z
0
dx +
f(a−x) =
a
Z
0
f(a−x) +f(a−x)dx
= − a
Z
0
f(a−x)
1 +f(a−x)d(a−x) = −
0 Z
a
f(t) +f(t)dt
=
a
Z
0
f(t)
1 +f(t)dt =
a
Z
0
f(x) +f(x)dx
2I =
a
Z
0
dx +f(x)+
a
Z
0
f(x)
1 +f(x)dx=
a
Z
0
dx=a Vậy I = a
Chọn đáp án D
Câu 193 Cho y=f(x) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn[−6; 6] Biết Z
−1
f(x) dx=
Z
1
f(−2x) dx= TínhI =
6 Z
−1
f(x) dx
A I = B I = 11 C I = D I = 14
Lời giải
3 Z
1
f(−2x) dx= ⇔ −1
2
3 Z
1
f(−2x) d(−2x) = 3⇔ −1
2 −6 Z
−2
f(t) dt= 3⇔
−2 Z
−6
f(t) dt=
I =
6 Z
−1
f(x) dx=
2 Z
−1
f(x) dx+
6 Z
2
f(x) dx= + −6 Z
−2
f(−t) d(−t) = + −2 Z
−6
f(t) dt= 14
Chọn đáp án D
Câu 194 Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm liên tục đoạn[0; 1]thỏa mãn3f(x)+xf0(x)≥x2018 với mọix∈[0; 1] Giá trị nhỏ tích phân
1 Z
0
f(x) dx
A
2019×2021 B
1
2018×2021 C
1
2018×2019 D
1 2021×2022 Lời giải
Đặt I =
1 Z
0
(71)Vì x∈[0; 1]⇒x2−1≤0 nên
3f(x) +xf0(x)≥x2018
⇔ 3(x2−1)f(x) +x(x2−1)f0(x)≤(x2−1)x2018
⇔ 3x2f(x) +x3f0(x)−[3f(x) +xf0(x)]≤x2020−x2018
⇒
1 Z
0
x2f(x) dx+
1 Z
0
x3df(x)−
3I+
1 Z
0
xdf(x)
≤
1 Z
0
x2020dx−
1 Z
0
x2018dx
⇒
1 Z
0
x2f(x) dx+x3f(x)
0
−3
1 Z
0
x2f(x) dx−
ñ
3I+xf(x)
0
−I
ô
≤
2021 − 2019
⇒ f(1)−[2I+f(1)]≤ −2
2019·2021
⇒ I ≥
2019·2021
Chọn đáp án A
Câu 195 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x+
x+ 2, trục hoành đường
thẳng x=
A 3−ln B 3−2 ln C + ln D + ln
Lời giải
Cho x+
x+ = 0⇔x=−1
Diện tích hình phẳng cần tìm
S =
2 Z
−1
x+ x+
dx=
2 Z
−1
Å
1−
x+ ã
dx= (x−ln|x+ 2|)
−1 = 3−2 ln
Chọn đáp án B
Câu 196 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên[0; 1] thỏa mãn Z
0
x(f0(x)−2) dx=f(1)
Giá trị I =
1 Z
0
f(x) dx
A B C −1 D −2
Lời giải
Đặt (
u=x
dv = (f0(x)−2) dx
⇒
(
du= dx v =f(x)−2x
Ta có
f(1) =x(f(x)−2x)
−
1 Z
0
(f(x)−2x) dx
⇔ f(1) =f(1)−2−
1 Z
0
f(x) dx
⇔
1 Z
0
(72)Chọn đáp án D Câu 197 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = cos3x+ π
6
A Z
f(x) dx=−1
3sin
3x+π
+C B Z
f(x) dx= sin3x+π
+C
C Z
f(x) dx= 3sin
3x+π
+C D Z
f(x) dx= sin
3x+π
+C
Lời giải
Z
f(x) dx=
Z
cos3x+ π
dx= 3sin
3x+ π
+C
Chọn đáp án C
Câu 198
Tính diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) hình sau
A S =
3 B S = 11
3 C S = 10
3 D S =
x y
O
f(x) =√x
g(x) =x−2
2
2
Lời giải
Dựa vào hình vẽ, ta có
S=
2 Z
0
√
xdx+
4 Z
2
√
x−x+ dx= 3x
3
0
+ Å
2 3x
3 −x
2
2 + 2x ã
2
= 10
Chọn đáp án C
Câu 199 Nguyên hàm Z
1 + lnx
x dx (x >0)bằng A x+ ln2x+C B ln2x+ lnx+C C
2ln
2x+ lnx+C
D x+1 2ln
2x+C
Lời giải
Đặt u= + lnx⇒ du=
xdx Do
Z
1 + lnx x dx=
Z
udu= u
2
2 +C =
(1 + lnx)2
2 +C = 2ln
2
x+ lnx+C
Chọn đáp án C
Câu 200 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng
y= 8x, y=x đồ thị hàm số y=x3 là phân số tối giản Khi đóa+b bằng
A 66 B 33 C 67 D 62
Lời giải
Ta có 8x=x⇔x=
8x=x3 ⇔ "
x= x= 2√2 x3 =x⇔
"
(73)Diện tích hình phẳng cần tìm
S =
1 Z
0
|8x−x| dx+
2√2 Z
1
8x−x3 dx
=
1 Z
0
(8x−x) dx+
2√2 Z
1
8x−x3
dx
= 2x
2
0
+ Å
4x2− x
4
4 ã
2√2
1
= 63
Suy a= 63 b= nên a+b= 67
Chọn đáp án C
Câu 201 Họ nguyên hàm hàm số y=x2−3x+
x A F(x) = x
3
3 − 2x
2+ lnx+C. B. F(x) = x
3 − 2x
2 + ln|x|+C.
C F(x) = x
3
3 + 2x
2+ lnx+C. D.F(x) = 2x−3−
x+C Lời giải
Ta có F(x) =
Z Å
x2−3x+ x
ã
dx= x
3
3 − 2x
2+ ln|x|+C.
Chọn đáp án B
Câu 202 Cho
b
Z
a
f(x) dx=−2và
b
Z
a
g(x) dx= Tính I =
b
Z
a
[2f(x)−3g(x)] dx
A I =−13 B I = 13 C I =−5 D I =
Lời giải I =
b
Z
a
[2f(x)−3g(x)] dx=
b
Z
a
f(x) dx−3
b
Z
a
g(x) dx= 2·(−2)−3·3 =−13
Chọn đáp án A
Câu 203 Cho biết Z
0
f(x) dx= 2018 Tính tích phân I =
1 Z
−1
f(|x|) dx + 2018x
A I = e2018 B I = 2018 C I = 1009 D I = 2019
Lời giải
Đặt x=−t ⇒dx =−dt Đổi cậnx= ⇒t=−1;x=−1⇒t = Ta có
I =
1 Z
−1
f(|x|) dx + 2018x =−
−1 Z
1
f(| −t|) dt + 2018−t =
1 Z
−1
2018t·f(|t|) dt + 2018t =
1 Z
−1
2018x·f(|x|) dx + 2018x
Khi đó2I =
1 Z
−1
f(|x|) dx=
1 Z
0
f(|x|) dx⇒I =
1 Z
0
f(|x|) dx
Vì hàm y=f(|x|) hàm số chẵn trên[−1; 1], nên I =
1 Z
0
f(|x|) dx=
1 Z
0
f(x) dx= 2018
(74)Câu 204 Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số f(x) = (x+ 1)
3
x3 ,(x6= 0)
A F(x) =x−3 ln|x| −
x +
2x2 +C B F(x) = x−3 ln|x|+
3 x +
1
2x2 +C
C F(x) =x+ ln|x| −
x −
2x2 +C D.F(x) = x−3 ln|x|+
3 x −
1
2x2 +C
Lời giải
Ta có f(x) = + x +
3 x2 +
1
x3, F(x) =x+ ln|x| −
3 x−
1 2x2 +C
Chọn đáp án C
Câu 205 Một ô tơ chạy với vận tốc 10(m/s) người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −2t+ 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?
A 25 m B 44
5 m C
25
2 m D
45 m Lời giải
Khi v = t= 5, qng đường tô đến dừng
S=
5 Z
0
(10−2t) dt= 25 (m)
Chọn đáp án A
Câu 206 Cho hình (H) hình phẳng giới hạn đường cong x =y2 đường thẳng x =a với
a >0 Gọi V1 V2 thể tích vật thể xoay sinh quay hình(H)quanh trục hồnh trục tung Kí hiệu ∆V giá trị lớn V1 −
V2
8 đạt a =a0 > Hệ
thức sau đúng?
A 5∆V = 2πa0 B 5∆V = 4πa0 C 4∆V = 5πa0 D 2∆V = 5πa0
Lời giải
Ta có V1 =π
a
Z
0
xdx= πa
2
2 ; V2 = 2π √
a
Z
0
(a2−y4) dy= 8πa
2√a
5 ;V1 − V2
8 = π 10a
2(5−2√a).
Do ∆V ≤ π
20
Å√a+√a+√a+√a+ 10−4√a
ã5 = 32π
20 = 8π
5 Dấu xảy a=a0 = 4⇒5∆V = 2πa0
Chọn đáp án A
Câu 207 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn elip (E)có phương trình x
a2 +
y2
b2 = 1, với a, b >0
A S =π Å1
b + a
ã2
B S =π(a+b)2 C S =πab D S = πa
2b2
a+b Lời giải
S = 4b a
a
Z
0
√
a2−x2dx=πab.
Chọn đáp án C
Câu 208 Giả sử f hàm số liên tục đoạn h0;π
i
với f0;π
(75)
π
Z
0
x2f(x)
(xsinx+ cosx)2 dx= 4−π +π
π
Z
0
xf0(x)
cosx(xsinx+ cosx)dx= Tính π
Z
0
f(x) cos2xdx
A I = B I = π
4−π C I =
4 +π D I = π +π Lời giải
Ta có
4−π +π =
π
Z
0
x2f(x)
(xsinx+ cosx)2 dx= π
Z
0
xf(x) cosx ·
xcosx
(xsinx+ cosx)2 dx= π
Z
0
xf(x) cosx d
Å −1 xsinx+ cosx
ã
= −xf(x)
cosx ·
1 xsinx+ cosx
π
0
+ π
Z
0
f(x) cos2xdx+
π
Z
0
xf0(x)
cosx(xsinx+ cosx)dx = −2π
4 +π +I
⇒ I = 4−π
4 +π + 2π
4 +π =
Chọn đáp án A
Câu 209 Một xe buýt bắt đầu từ nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t) = 10 + 3t2 (m/s) (khi bắt đầu chuyển động từ A t= 0) đến nhà chờ xe buýt B cách 175 m Hỏi thời gian xe từ A đến B giây?
A B C D
Lời giải
Ta có
b
Z
0
v(t) dt= 175
⇔ b
Z
0
(10 + 3t2) dt= 175
⇔ (10t+t3)
b
0 = 175
⇔ 10b+b3 = 175
⇔ b =
Vậy xe từ A đến B mất5 giây
Chọn đáp án D
Câu 210 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [1; 2] thỏa mãn f(2) = 0, Z
1
(f0(x))2dx=
5 12+ ln
2
2 Z
1
f(x)
(x+ 1)2 dx=−
5 12+ ln
3
2 Tính tích phân
2 Z
1
f(x) dx
A
4 + ln
3 B ln
2 C
3 4−2 ln
3
2 D 4+ ln
(76)Ta có
2 Z
1
f(x)
(x+ 1)2dx=
1
2 Z
1
f(x) d Å
x−1 x+
ã =
2f(x)
1
−
2
2 Z
1
x−1 x+ ·f
0
(x) dx=−1
2
2 Z
1
x−1 x+ ·f
0
(x) dx
Vậy
−
12+ ln =−
1
2 Z
1
x−1 x+ ·f
0 (x) dx
⇔ −
2 Z
1
x−1 x+ ·f
0
(x) dx=−5
6 + ln
2 (1)
Mà
2 Z
1
Å x−1 x+
ã2
dx= 3−4 ln
3 ⇒
2 Z
1
ñ 4·
Å x−1 x+
ã2ô
dx= 12−ln
3
2 (2)
Mặt khác Z
1
(f0(x))2dx= 12+ ln
2 =
5 12 −ln
3
2 (3)
Từ (1), (2) và3, ta
2 Z
1
ñ ·
Å x−1 x+
ã2ô dx−
2 Z
1
x−1 x+ ·f
0
(x) dx+
2 Z
1
(f0(x))2dx=
⇔
2 Z
1
ï
f0(x)−1
2
Åx−1 x+
ãò2
dx=
⇒ f0(x) =
Åx−1 x+
ã
⇒ f(x) =
Z Å
1−
x+ ã
dx=
2x−ln|x+ 1|+C
Màf(2) = 0⇒c= ln 3−1 Vậy
2 Z
1
f(x) dx= −ln
3
Chọn đáp án C
Câu 211 Sân vận động Sports Hub (Singapore) sân có mái vịm kỳ vĩ giới Đây nơi diễn lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á tổ chức Singapore năm 2015 Nền sân Elip (E) có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m (Hình 3) Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vng góc với trục lớn (E) cắt Elip (E) M, N (Hình a) ta thiết diện ln phần hình trịn có tâm I (phần tơ đậm Hình b) với M N
là dây cung góc M IN’ = 900 Để lắp máy điều hịa khơng khí cho sân vận động
(77)M
N
C A
E
M N
I
Hình a Hình b
A 57793 m3 B 115586 m3 C 32162 m3 D 101793m3
Lời giải
Ta có 2a= 150⇒a= 75, 2b= 90⇒b = 45 Phương trình Elip có dạng x
752 +
y2
452 = Gọi M(x, y)∈(E)⇒N(x,−y)∈(E)⇒M N = 2|y|= 2· 45
75
√
752−x2 =
5
√
752−x2. Diện tích phần gạch sọc tính
1
4S(I,IM)−S4IM N = 4πIM
2−
2IM
2 =
Åπ −
1
ã
IM2 = Åπ
4 −
ã ÅM N
√
2 ã2
Khi đó, thể tích phần khơng gian bên mái che bên mặt sân, tính 75
Z
−75
Å π −
1
ã Å M N
√
2 ã2
dx= Å
π −
1
ãZ75
−75
18 25(75
2−x2) dx≈115586m3.
Chọn đáp án B
Câu 212
Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường
y =f(x), trục hoành hai đường thẳng x =−1, x =
(như hình vẽ bên) Đặt a =
0 Z
−1
f(x) dx, b =
2 Z
0
f(x) dx,
mệnh đề đúng?
A S =b−a B S =b+a
C S =−b+a D S =−b−a −1
1
x y
O
Lời giải
Ta có diện tích hình phẳng
S=
2 Z
−1
|f(x)|dx=−
0 Z
−1
f(x) dx+
2 Z
0
f(x) dx=−a+b
Chọn đáp án A
Câu 213 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = 3x+ A
Z
f(x) dx= 3x2+ 2x+C B Z
f(x) dx= 2x
(78)C Z
f(x) dx= 3x2−2x+C D Z
f(x) dx= 2x
2+ 2x+C.
Lời giải
Z
f(x) dx= 2x
2
+ 2x+C
Chọn đáp án D
Câu 214 Biết I =
π
2 Z
0
ex·sinxdx= e
a+ 1
b với a∈R, b∈N Khi sina+ cos 2a+b
A B C D
Lời giải
Đặt (
u= sinx dv = exdx
⇒
(
du= cosxdx
v = ex Ta
I = exsinx
π
2
0
− π
2 Z
0
excosxdx
Xét
π
2 Z
0
excosxdx, đặt (
u= cosx dv = exdx
⇒
(
du=−sinxdx v = ex
, ta có
π
2 Z
0
excosxdx= excosx
π
2
0
+
π
2 Z
0
exsinxdx= excosx
π
2
0
+I
Do đó, I = exsinx
π
2
0
−excosx
π
2
0
−I ⇔2I = exsinx
π
2
0
−excosx
π
2
0
= eπ2 + 1. Vậy a= π
2, b= suy sina+ cos 2a+b =
Chọn đáp án D
Câu 215 Cho Z
1
√
25−x2
x dx=a+b·
√
6 +c·ln Ç
5√6 + 12 5√6−12
å
+d·ln vớia,b, c,d số hữu tỉ Tính tổng a+b+c+d
A −
20 B −
3
2 C −
3
24 D −
3 25 Lời giải
Ta có Z
1
√
25−x2
x dx=
4 Z
1
x√25−x2
x2 dx=I Đặtt =
√
25−x2 ⇒ (
−tdt =xdx
x2 = 25−t2
(79)Đổi cận x= 1⇒t= 2√6,x= ⇒t= Khi đó,
I =
3 Z
2√6
−t2dt
25−t2
=
3 Z
2√6
ï
1− 25
25−t2
ò dt
=
3 Z
2√6
ï 1−5
2 Å 1
5−t + +t
ãò dt
= t+5 2ln
5−t +t
2√6
= + 2ln
1 4−2
√
6−
2ln
5−2√6 + 2√6 = 3−5 ln 2−2√6 +
2ln
5√6 + 12 5√6−12
Vậy a= 3, b =−2, c=
2, d=−5suy a+b+c+d=−
Chọn đáp án B
Câu 216 Tính tích phân I =
π
2 Z
0
xcosxdx
A π
2 −1 B π
2 + C D
π Lời giải
Đặt (
u=x
dv = cosxdx ⇒
(
du= dx v = sinx
Ta có I = (xsinx)
π
2
− π
2 Z
0
sinxdx= (xsinx)
π
2
+ cosx
π
2
= π −1
Chọn đáp án A
Câu 217 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= ex
và đường thẳngy = 0; x= x= tính cơng thức sau đây?
A V =
1 Z
0
e2xdx B V =π
1 Z
0
ex2dx C V =
1 Z
0
ex2dx D V =π
1 Z
0
e2xdx
Lời giải
Thể tích cần tính làV =π
1 Z
0
(ex)2dx=π
1 Z
0
e2xdx
Chọn đáp án D
Câu 218 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = √2x+
A Z
f(x) dx= 3x
√
2x+ +C B Z
f(x) dx=
3(2x+ 3)
√
2x+ +C
C Z
f(x) dx=
3(2x+ 3)
√
2x+ +C D Z
(80)Lời giải
XétI =
Z √
2x+ dx
Đặt t=√2x+ 3, suy t2 = 2x+ 3 Khi đó tdt = dx Ta có
I =
Z √
2x+ dx=
Z
t2dt = 3t
3+C =
3(2x+ 3)
√
2x+ +C
Chọn đáp án B
Câu 219 Cho Z
0
f(2x+ 1) dx= 12
π
Z
0
f sin2x
sin 2xdx= Tính Z
0
f(x) dx
A 26 B 22 C 27 D 15
Lời giải
Với I1 = Z
0
f(2x+ 1) dx= 12
Đặt t= 2x+ ⇒ dt = dx⇒ dx= dt
Đổi cận x= 0⇒t= 1, x= ⇒t= Do đó, I1 =
3 Z
1
f(t)dt =
1
3 Z
1
f(t) dt⇒
3 Z
1
f(x) dx= 24
Với I2 =
π
Z
0
f sin2x
sin 2xdx=
Đặt t= sin2x⇒ dx= sin 2xdx Đổi cận x= 0⇒t= 0, x= π
2 ⇒t =
Do đó, I2 = Z
0
f(t) dt⇒
1 Z
0
f(x) dx=
Vậy Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
f(x) dx+
3 Z
1
f(x) dx= + 24 = 27
Chọn đáp án C
Câu 220
Tính diện tích hình phẳng giới hạn nửa đường trịny=√2−x2, đường thẳng AB biết A(−√2; 0), B(1; 1) (phần tô đậm hình vẽ)
A π+
√
2
4 B
3π+ 2√2
4 C
π−2√2
4 D
3π−2√2
4 x
y
−√2 A
1 O
B
Lời giải
Phương trình đường thẳng d: x+
√
2 +√2 =
y
1 ⇒d: y=
1 +√2(x+
√
(81)Diện tích hình phẳng cần tìm
S =
1 Z
−√2
ï√
2−x2−
1 +√2(x+
√
2) ò
dx
=
1 Z
−√2
√
2−x2dx−
1 +√2 Å
x2 +
√
2x ã
−√2
= I− + √
2
2 Trong đóI =
1 Z
−√2
√
2−x2dx.
Tính I =
1 Z
−√2
√
2−x2dx.
Đặt x=√2 sint, t ∈h−π
2; π
i
⇒ dx=√2 costdt Đổi cận x=−√2⇒t=−π
2, x= 1⇒t= π
Do đóI = π
Z
−π
2|cost| ·costdt = π
Z
−π
(1 + cos 2t) dt= 3π +
1
Do đó, S = 3π −
√
2
Chọn đáp án D
Câu 221 Cho I =
2 Z
1
x+ lnx (x+ 1)2 dx=
a b ln 2−
1
c, với a, b, c số nguyên dương a
b phân số
tối giản Tính giá trị biểu thức S = a+b c A S =
3 B S =
6 C S =
2 D S = Lời giải
Ta có I =
2 Z
1
x+ lnx (x+ 1)2dx=
2 Z
1
x
(x+ 1)2dx+ Z
1
lnx
(x+ 1)2dx=I1+I2
Trong đóI1 = Z
1
x
(x+ 1)2dx, I2 = Z
1
lnx (x+ 1)2 dx Tính
I1 = Z
1
x
(x+ 1)2 dx = Z
1
ï 1 x+ −
1 (x+ 1)2
ò dx=
ï
ln(x+ 1) + x+
ò
1
= ln 3−ln 2−
6
Tính I2 = Z
1
lnx (x+ 1)2 dx
Đặt
u= lnx v0 =
(x+ 1)2
⇒
u0 = x v =−
(82)Suy
I2 = −
lnx x+
1
+
2 Z
1
1
x(x+ 1)dx=− ln
3 + ln x x+
1
= −ln
3 + ln
3 + ln = ln
3 −ln + ln
Do đóI = 3ln 2−
1
6 Suy a= 2, b = c= Vậy S=
Chọn đáp án B
Câu 222
Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục đoạn [−3; 3] Biết diện tích hình phẳng S1, S2 giới hạn đồ thị hàm số y =
f(x) với đường thẳng y = −x−1 M, m Tính tích phân
Z
−3
f(x) dx
A +m−M B 6−m−M C M −m+ D m−M −6
x y
1
−3
−4
−2
0
−1
−6
S1 S2
Lời giải
Tính diện tíchS1 Ta có
S1 = Z
−3
[−x−1−f(x)] dx=M ⇔
1 Z
−3
f(x) dx=−M−
1 Z
−3
(x+ 1) dx
Tính diện tíchS2 Ta có
S2 = Z
1
[f(x) +x+ 1] dx=m⇔
3 Z
1
f(x) dx=m−
3 Z
1
(x+ 1) dx
Do
3 Z
−3
f(x) dx=m−M −
3 Z
−3
(x+ 1) dx=m−M −6
Chọn đáp án D
Câu 223 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = cos 3x
A
3sin 3x+C B −
3sin 3x+C C −3 sin 3x+C D −sin 3x+C Lời giải
Ta có Z
cos 3xdx=
3sin 3x+C
Chọn đáp án A
(83)A S =
b
Z
a
f(x)dx B S =
b
Z
a
|f(x)|dx C S =π
b
Z
a
f2(x)dx D S =
b
Z
a
f2(x)dx
Lời giải
Diện tích miền D giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b
(a < b) S =
b
Z
a
|f(x)|dx
Chọn đáp án B
Câu 225 Biết Z
2
x2−3x+ 2
x2−x+ 1 dx = aln +bln +cln +d (với a, b, c, d số nguyên) Tính giá trị biểu thức T =a+ 2b2+ 3c3+ 4d4.
A T = B T = C T = D T =
Lời giải
Ta có Z
2
x2−3x+ x2−x+ 1 dx=
3 Z
2
Å
1− 2x−1
x2 −x+ 1
ã
dx= x−ln|x2−x+ 1|
2 = 1−ln + ln
⇒a=−1, b= 1, c= 0,d= ⇒T =
Chọn đáp án D
Câu 226 Cho hàm số y =f(x) liên tục có đạo hàm đoạn [1; 2], f(1) = f(2) = 2018 Tính I =
2 Z
1
f0(x)dx
A I =−2016 B I = 2018 C I = 2016 D I = 1016
Lời giải
Ta có I =
2 Z
1
f0(x)dx=f(2)−f(1) = 2016
Chọn đáp án C
Câu 227 Cho hàm số f(x) xác định, liên tục có đạo hàm R thỏa mãn f(x) 6= với
x∈Rvà 3f0(x) + 2f2(x) = Tínhf(1) biết f(0) =
A
5 B
4
5 C
3
5 D
2 Lời giải
Ta có 3f0(x) + 2f2(x) = 0⇔ f
0(x) f2(x) =−
2
3 Lấy tích phân hai vế ta
1 Z
0
f0(x)
f2(x)dx=− Z
0
2
3dx⇔ − f(x)
=−2
3x
⇔
f(1) −1 = ⇔
1 f(1) =
5
3 ⇔f(1) =
Chọn đáp án C
Câu 228 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1]thỏa mãn f(0) = 1, Z
0
[f0(x)]2dx=
1 30,
1 Z
0
(2x−1)f(x)dx=−
30 Tính
1 Z
0
f(x)dx
A
30 B
11
30 C
11
12 D
(84)Lời giải
Ta có −
30 =
Z
f(x)d(x2−x) = (x2−x)f(x)
−
Z
(x2−x)f0(x)dx⇔
Z
(x2−x)f0(x)dx= 30
Ta tìm m thỏa mãn
0 =
Z
f0(x) +m(x2−x)2dx =
Z
[f0(x)]2dx+ 2m
Z
f0(x)(x2 −x)dx+m2
Z
(x2 −x)2dx ⇒
m=−1
Do vậy, f0(x)−(x2−x) = 0⇒f0(x) =x2−x⇒f(x) = x
3 − x2
2 +C
Màf(0) = 1⇒C = 1⇒
1 Z
0
f(x)dx=
1 Z
0
Åx3
3 − x2
2 + ã
dx= 11 12
Chọn đáp án C
Câu 229 Tính tích phân I =
2019π
Z
0
√
1−cos 2xdx
A I = 4038√2 B I = 2019√2 C I = D I = 2√2
Lời giải
Ta có
I =
2019π
Z
0
√
1−cos 2xdx=
2019π
Z
0 p
2 sin2xdx=√2
2019π
Z
0
|sinx|dx
= √2 Ñ π
Z
0
|sinx|dx+
2π
Z
π
|sinx|dx+
3π
Z
2π
|sinx|dx+· · ·+
2019π
Z
2018π
|sinx|dx é
= 2019√2
π
Z
0
sinxdx
Mà
π
Z
0
sinxdx= Suy I = 4038√2
Chọn đáp án A
Câu 230 Cho hàm sốf(x)liên tục đoạn[0; 1]thỏa mãn điều kiệnf(x) + 2f(1−x) = 3x2−6x,
∀x∈[0; 1] Tính tích phân I =
1 Z
0
f 1−x2 dx
A I =−
15 B I = C I =−
15 D I = 15 Lời giải
Đặt t= 1−x, x∈[0; 1]⇔t ∈[0; 1] Ta có
f(x) + 2f(1−x) = 3x2 −6x⇔f(x) + 2f(1−x) = 3(x−1)2−3
⇔ f(1−t) + 2f(t) = 3t2−3⇔2f(x) +f(1−x) = 3x2−3
Xét hệ phương trình (
f(x) + 2f(1−x) = 3x2−6x 2f(x) +f(1−x) = 3x2−3
⇔
(
f(x) + 2f(1−x) = 3x2−6x 4f(x) + 2f(1−x) = 6x2−6
(85)Khi đóf(1−x2) = (2−x2)2−3 = x4−4x2+ 1. Suy I =
1 Z
0
f 1−x2
dx=
1 Z
0
x4−4x2+
dx=−
15
Chọn đáp án C
Câu 231 Tại thời điểm t trước lúc đỗ xe điểm dừng xe, xe chuyển động với vận tốc 60 km/h Chiếc xe di chuyển trạng thái phút bắt đầu đạp phanh chuyển động chậm dần thêm8 phút dừng hẳn điểm đỗ xe Tính quãng đường mà xe từ thời điểm t nói đến dừng hẳn
A km B km C km D 6km
Lời giải
Vận tốc xe bắt đầu phanh v = 60 +at (km/h), mà xe dừng chạy phút = 15
thì dừng hẳn nên = 60 + 2a
15 ⇔a = −450 (m/h
2) Khi quãng đường xe kể từ lúc đạp phanh
2 15 Z
0
(60−450t) dt=
Vậy tổng quãng đường cần tính là60·
60+ = km
Chọn đáp án C
Câu 232 Cho f(x) có đạo hàm liên tục đoạn[a;b]với f(a) = Đặt M = max
[a;b] |f(x)| Tìm giá trị nhỏ
b
Z
a
[f0(x)]2 dx
A M(b−a) B M2(b−a). C. M
b−a D M b−a Lời giải
Gọi x0 ∈[a;b], cho |f(x0)|=M Ta có
Đ x0
Z
a
f0(x) dx é2
≤ x0
Z
a
[f0(x)]2 dx· x0
Z
a
dx⇔[f(x0)−f(a)]2 ≤(x0−a)
x0
Z
a
[f0(x)]2 dx
⇔ f2(x0)≤(x0−a)·
x0
Z
a
[f0(x)]2 dx⇔M2 ≤(x0−a)·
x0
Z
a
[f0(x)]2 dx
Mà(x0−a)·
x0
Z
a
[f0(x)]2 dx≤(b−a)· x0
Z
a
[f0(x)]2 dx
Suy M2 ≤(b−a)· x0
Z
a
[f0(x)]2 dx⇒ x0
Z
a
[f0(x)]2 dx≥ M
2
b−a
Dấu xảy khif0(x) = tức chẳng hạn f(x) = x
Chọn đáp án C
(86)A S =
b
Z
a
f(x) dx B S =
a
Z
b
|f(x)|dx C S =
b
Z
a
|f(x)|dx D S =− a
Z
b
f(x) dx
Lời giải
Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng
x=a,x=b tính theo cơng thức S =
b
Z
a
|f(x)|dx
Chọn đáp án C
Câu 234 Cho F(x) = cos 2x−sinx+C nguyên hàm hàm số f(x) Tính f(π)
A f(π) = −3 B f(π) = C f(π) = −1 D f(π) =
Lời giải
f(x) = F0(x) = −2 sin 2x−cosx, suy f(π) =
Chọn đáp án B
Câu 235 ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x) = x
2+x+ 1
x+ vàF(0) = 2018 TínhF(−2)
A F(−2)khơng xác định B F(−2) =
C F(−2) = 2018 D.F(−2) = 2020
Lời giải
Z
f(x) dx=
Z Å
x+ x+
ã
dx= x
2
2 + ln|x+ 1|+C
Ta có F(0) = 2018 nên C = 2018 Suy F(−2) = 2020
Chọn đáp án D
Câu 236 Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol y=x2, đường thẳngy=−x+ 2và trục hồnh đoạn [0; 2] (phần gạch sọc hình vẽ)
A
5 B
5 C
3 D
7
x y
O 1 2
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có:
Paraboly =x2 cắt trục Ox điểm có hồnh độ
Paraboly =x2 cắt đường thẳng y=−x+ 2 tại điểm có hồnh độ 1. Đường thẳng y=−x+ 2cắt trục Ox điểm có hồnh độ
Diện tích hình phẳng cho làS =
1 Z
0
x2dx+
2 Z
1
(−x+ 2) dx=
Chọn đáp án B
Câu 237 Biết
π
Z
0
xsinx+ cosx+ 2x sinx+ dx=
π2
a + ln b
c với a, b, clà số nguyên dương b
c phân
số tối giản TínhP =a·b·c
(87)Lời giải
π
Z
0
xsinx+ cosx+ 2x
sinx+ dx = π
Z
0
x(sinx+ 2) + cosx sinx+ dx
= π
Z
0
Å
x+ cosx sinx+
ã dx
= ïx2
2 + ln|sinx+ 2| ò
π
0
= π
2
8 + ln P =a·b·c= 48
Chọn đáp án C
Câu 238 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x y = √x quay quanh trục hồnh Thể tíchV khối trịn xoay tạo thành
A V = π
6 B V = π
2 C V =π D V = Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểmx=√x⇔
"
x= x=
Thể tích khối trịn xoay
V =π
1 Z
0
|x2−x|dx=π
1 Z
0
(x−x2) dx= π
Chọn đáp án A
Câu 239 Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [1; 3] thỏa f(4− x) = f(x) ∀x ∈ [1; 3]
Z
1
x.f(x) dx=−2 Giá trị Z
1
f(x) dx
A B −1 C −2 D
Lời giải
Đặt t= 4−x⇒ dx=−dt Với x= 1⇒t = 3, x= 3⇒t=
3 Z
1
x·f(x) dx=−
1 Z
3
(4−t)·f(4−t) dt=
3 Z
1
(4−x)·f(x) dx
Suy
3 Z
1
x·f(x) dx=
3 Z
1
f(x) dxhay Z
1
f(x) dx=−1
Chọn đáp án B
Câu 240 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A Z
0 dx=C B
Z
1
xdx= ln|x|+C C
Z
xadx= x
a+1
a+ +C D
Z
dx=x+C
Lời giải
Đáp án Z
xadx= x
a+1
(88)Chọn đáp án C Câu 241 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = cos(2x+ 3)
A Z
f(x) dx=−sin(2x+ 3) +C B Z
f(x) dx=−1
2sin(2x+ 3) +C C
Z
f(x) dx= sin(2x+ 3) +C D Z
f(x) dx=
2sin(2x+ 3) +C Lời giải
Z
f(x) dx=
2sin(2x+ 3) +C
Chọn đáp án D
Câu 242 Giá trị b để
b
Z
1
(2x−6) dx= 0?
A b = b = B b = b= C b= b= D b= b=
Lời giải
Ta có
b
Z
1
(2x−6) dx= (x2−6x)
b
1
=b2−6b+
Do
b
Z
1
(2x−6) dx= 0⇔b2−6b+ = 0⇔
"
b = b =
Chọn đáp án D
Câu 243 Biết I =
4 Z
3
x2−x+ 2
x+√x−2dx =
a−4√b
c Với a, b, c số nguyên dương Tính a+b+c
A 39 B 27 C 33 D 41
Lời giải
Ta có Z
3
x2−x+ 2
x+√x−2dx=
4 Z
3
(x−√x−2) dx= Åx2
2 −
Ä√
x−2ä3 ã
3
= 25−8
√
2
6 =
25−4√8
Suy a= 25; b= 8; c= Vậya+b+c= 39
Chọn đáp án A
Câu 244 Cho hàm số f(x) liên tục trênR
π
Z
0
f(tanx) dx= TínhI =
1 Z
0
f(x) dx
A I = B I = C I = D I =
Lời giải
Từ
π
Z
0
f(tanx) dx= Ta đặtt = tanx, ta Z
0
f(t)
t2+ 1 dt =
Từ
π
Z
0
x2f(x)
x2+ 1 dx= 2⇔ Z
0
(x2+ 1−1)f(x)
x2+ 1 dx= ⇒ Z
0
f(x)dx−
1 Z
0
f(x)
x2+ 1dx=
⇒
1 Z
0
f(x) dx= +
1 Z
0
f(x)
x2+ 1dx= + =
(89)Câu 245 Cho hàm số f(x) thỏa mãn f0(x)>0,∀x∈[1; 2] Z
1
[f0(x)]3
x4 dx=
7
375 Biết f(1) = 1,
f(2) = 22
15, tínhI =
2 Z
1
f(x) dx
A P = 71
60 B P =
5 C P = 73
60 D P = 37 30 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: [f
0(x)]3
x4 +
x2
125 + x2
125 ≥3 …
[f0(x)]3
x4 ·
x2
25· x2
25 =
3f0(x) 25
Lấy tích phân hai vế BĐT trên, ta có:
Z
1
[f0(x)]3
x4 dx+2 Z
1
x2
125 dx≥
2 Z
1
3f0(x) 25 ⇔
2 Z
1
[f0(x)]3
x4 dx+2·
7 375 ≥
3
25[f(2)−f(1)]⇔
2 Z
1
[f0(x)]3
x4 dx≥
7 375
Kết hợp với giả thiết ta có dấu “=” BĐT xảy
[f0(x)]3
x4 =
x2
125 ⇔[f
0(x)]3 = x
125 ⇔f
0(x) = x2
5 ⇒f(x) = x3
15+C
Màf(1) = 1⇒1 =
15+C ⇒C = 14
15 ⇒f(x) =
x3+ 14
15
Ta có I =
2 Z
1
x3+ 14
15 dx= 71 60
Chọn đáp án A
Câu 246 Nguyên hàm hàm số f(x) = x.e2x là:
A F(x) = 2e
2x
Å x−
2 ã
+C B F(x) = 2e2x
Å x−1
2 ã
+C
C F(x) = 2e2x(x−2) +C. D.F(x) =
2e
2x(x−2) +C.
Lời giải
Ta có F(x) =
Z
x.e2xdx
Đặt (
u=x
dv =e2xdx ⇒
du= dx v = e
2x
2
⇒F(x) = xe
2x
2 −
Z
e2xdx= 2e
2x
(x−1
2) +C
Chọn đáp án D
Câu 247 Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn
π
Z
0
f(tanx) dx = Z
0
x2f(x)
x2+ 1 dx =
Tính tích phânI =
1 Z
0
f(x) dx
A B C D
Lời giải
Với J = π
Z
0
f(tanx) dx=
Đặt t= tanx⇒ d tanx= dt ⇒ dt
1 +t2 = dx Đổi cận x= 0⇒t= 0;x= π
(90)Ta có J =
1 Z
0
f(t) t2+ 1dt=
1 Z
0
f(x)
x2+ 1dx=
Vậy I =
1 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
(x2+ 1)f(x)
x2+ 1 dx= Z
0
x2f(x)
x2+ 1 dx+ Z
0
f(x)
x2+ 1dx= + =
Chọn đáp án A
Câu 248 Biết Z
1
lnx x2 dx=
b
c+aln (với a số thực,b, c số nguyên dương b
c phân số
tối giản) Tính giá trị 2a+ 3b+c
A B −6 C D
Lời giải
Với I =
2 Z
1
lnx x2 dx
Đặt
u= lnx dv = dx
x2
⇒
du= dx x v = −1
x
⇒I = −1
2 ln +
Vậy a= −1
2 , b= 1, c= ⇒2a+ 3b+c=
Chọn đáp án A
Câu 249 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (H) :y = x−1
x+ trục tọa
độ Khi giá trị củaS
A S = ln 2−1(đvdt) B S = ln 2−1(đvdt)
C S = ln 2−1(đvdt) D.S = ln + 1(đvdt)
Lời giải
Ta có hồnh độ giao điểm của(H) với Ox làx= TrụcOy có phương trình x=
Vậy S =
1 Z
0
x−1 x+
dx=
1 Z
0
x−1 x+ 1dx
=|x−2 ln(x+ 1)|
= ln 2−1
Chọn đáp án C
Câu 250 Giá trị thực dương tham số m cho
m
Z
0
xe √
x2+1
dx= 2500e √
m2+1
là
A m = 2250√2500−2. B. m =√21000−1. C. m=√21000+ 1. D. m= 2250√2500+ 2.
Lời giải
Đặt t=√x2+ 1 ⇒t2 =x2+ 1 ⇒tdt =xdx. Đổi cận: x= 0⇒t= 1,x=m⇒t =√m2+ 1.
⇒I =
m
Z
0
xe √
x2+1 dx=
√
m2+1
Z
1
(91)Đặt (
u=t dv = etdt
⇒
(
du= dt v = et
I = tet
√
m2+1
1 −
√
m2+1
Z
1
etdt
= √m2+ 1·e
√
m2+1
−e− et
√
m2+1
1
= √m2+ 1·e
√
m2+1
−e−e √
m2+1 + e = Ä√m2+ 1−1äe
√
m2+1
Theo giả thuyết
Ä√
m2+ 1−1äe
√
m2+1
= 2500e √
m2+1
⇔ √m2+ 1−1 = 2500
⇔ m2+ = 2500+ 12
⇔ m =
»
(2500+ 1)2−1
⇔ m =»(2500+ + 1) (2500+ 1−1)
⇔ m = 2250√2500+ 2.
Chọn đáp án D
Câu 251 Cho hình phẳng(H)giới hạn đườngy=xvày=x2 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (H)xung quanh trục Ox
A 2π
15 B
3π
25 C
π
30 D
π Lời giải
Xét phương trình x=x2 ⇔x2−x= 0 ⇔ "
x= x=
Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (H)xung quanh trụcOx
là
V =π
1 Z
0
x2−x4
dx=π Åx3
3 − x5
5 ã
0
= 2π
15 O x
y
1
Chọn đáp án A
Câu 252 Tích phânI =
21000
Z
1
x2+ 4x+ 1
x2+x dx
A I = 21000+ lnỵ2996(1 + 21000)2ó. B. I = 21000−1 + lnỵ2996(1 + 21000)2ó.
(92)Lời giải
I =
21000
Z
1
x2+ 4x+ 1
x2+x dx
=
21000
Z
1
(x2+x) + (2x+ 1) +x x2+x dx
=
21000
Z
1
Å
1 + 2x+ x2+x +
x x2+x
ã dx
=
21000 Z
1
dx+
21000 Z
1
2x+ x2+xdx+
21000 Z
1
1 x+ 1dx
= x
21000
1
+
21000
Z
1
d (x2+x)
x2+x + ln|x+ 1|
21000
1
= 21000−1 + lnx2+x
21000
1
+ ln 21000+ 1−ln
= 21000−1 + (ln|x|+ ln|x+ 1|)
21000
+ ln 21000+
−ln = 21000−1 + ln 21000+ ln 21000+ 1−ln + ln 21000+ 1−ln = 21000−1 + ln 21000−2 ln + ln 21000 +
= 21000−1 + ln 21000 −ln 22+ ln 21000 + 12 = 21000−1 + ln 2998+ ln 21000+ 12
= 21000−1 + lnỵ2998 21000+ 12ó
Chọn đáp án C
Câu 253 Cho tích phân Z
0
f(x) dx= Tính tích phân I =
e Z
1
f(lnx3)
2x dx
A
2 B C
1
6 D
Lời giải
Đặt t= lnx3 ⇒ dt= x3 ·3x
2dx=
xdx⇒ dx 2x =
1 6dt
⇒I =
6
3 Z
0
f(t) dt=
3 Z
0
f(x) dx= 6·1 =
1
Chọn đáp án C
Câu 254 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = |x2 −4| và
y= x
2
2 + A S = 32
3 B S = 16 C S = 64
(93)Lời giải
|x2 −4|= x
2
2 + ⇔
x2−4≥0 x2−4 = x
2
2 +
x2−4<0
−(x2−4) = x
2
2 +
⇔ (
x2−4≥0 x2 = 16
(
x2−4<0 3x2 =
⇔
x= x=−4 x=
Suy S = Z −4
|x2−4| −
Å x2
2 + ã dx+ Z
|x2−4| −
Å x2
2 + ã dx = −2 Z −4
Åx2
2 −8 ã dx + Z −2
−3x2
2 dx + Z
−3x2
2 dx + Z
Åx2
2 −8 ã dx =
Åx3
6 −8x ã −2 −4 +
−x3
2 −2 +
−x3
2 +
Åx3
6 −8x ã = 20
3 + + + 20
3 = 64
3
Chọn đáp án C
Câu 255 Cho nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = acos4x−bcosx với a, b ∈
R biết
F(0) =Fπ
= Khẳng định sau đúng?
A a
b = 3π
16 B cos Åb
a ã
≈0,83 C ab <0 D cosa b
= 0,45
Lời giải
Ta có
f(x) = acos4x−bcosx = a
Å
1 + cos 2x
ã2
−bcosx = a
4 + cos 2x+ cos
22x
−bcosx = a
4 Å
1 + cos 2x+1 + cos 4x
ã
−bcosx
Suy
F(x) =
Z Åa +
a
2cos 2x+
1 + cos 4x
8 −bcosx ã
dx = 3a
8 x+ a
4sin 2x+ a
(94)Mặt khác
F(0) = F π
2
= ⇔
C = 3aπ
16 −b =
⇒ 3aπ
16 −b= ⇔ b a =
3π 16
⇔ a
b = 16
3π ⇒cos Åb
a ã
≈0,83
Chọn đáp án B
Câu 256 Cho hàm sốf xác định, liên tục có đạo hàm trênR, đạo hàm củaf liên tục
R Giả sử Z
1
f(x) dx= 735
1024,f(1) = 2,f Å
1
ã = 17
64 TínhI = π
Z
0
(sin 4x+ sin 2x)f0(cos2x) dx
A 1245
1024 B 1245
128 C
1245
256 D
1245 512 Lời giải
Ta có I =
π
3 Z
0
2 sin 2x(cos 2x+ 1)f0(cos2x) dx = π
Z
0
4 sin 2xcos2xf0(cos2x) dx Đặt t= cos2x⇒dt=−sin 2xdx
Đổi cận x= π
3 ⇒t=
4; x= 0⇒t=
I =
1 Z
1
tf0(t) dt=tf(t)
1
−
1 Z
1
f(t) dt= 2−
4 · 17 64 −
735 1024 =
1245 1024
Chọn đáp án A
Câu 257 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = sinx−cosx
A Z
f(x) dx=−sinx+ cosx+C B Z
f(x) dx= sinx+ cosx+C
C Z
f(x) dx=−sinx−cosx+C D Z
f(x) dx= sinx−cosx+C
Lời giải
Ta có Z
(sinx−cosx) dx=−cosx−sinx+C =−sinx−cosx+C
Chọn đáp án C
Câu 258 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = 3x+ x2
A Z
f(x) dx= 3x+
x+C B
Z
f(x) dx=
x
ln + x +C C
Z
f(x) dx= 3x−
x +C D
Z
f(x) dx=
x
ln − x+C Lời giải
Ta có
Å 3x
ln − x+C
ã0 =
xln 3
ln − Å
−
x2
ã
= 3x+
x2
Chọn đáp án D
Câu 259 Tính tích phân I =
1 Z
0
(95)A I = 2018 +
1
2019 B I = 2020 +
1
2021 C I = 2019 +
1
2020 D I = 2017 +
1 2018 Lời giải
Ta có I =
1 Z
0
x2018+x2019 dx= Å
x2019
20019 + x2020
2020 ã
= 2019 +
1 2020
Chọn đáp án C
Câu 260 Cho (H)là hình phẳng giới hạn đường y=√2x; y= 2x−2và trục hồnh Tính diện tích (H)
A
3 B
16
3 C
10
3 D
8 Lời giải
Hoành độ giao điểm đường cong y = √2x đường thẳngy= 2x−2là
√
2x= 2x−2⇔x=
Đồ thị hàm số y= 2x−2 cắt Ox điểm (1; 0) Diện tích hình phẳng
S=
1 Z
0
√
2xdx+
2 Z
1
Ä√
2x−2x+ 2ä dx
=
O x
y
y=√2x y= 2x−2
Chọn đáp án A
Câu 261 Cho tích phân I =
12 Z
1 12
Å
1 +x−
x ã
ex+1xdx = a
b ·e
c
d trong đó a, b, c, d là số nguyên
dương a
b, c
d phân số tối giản Tính bc−ad
A 24 B
6 C 12 D
Lời giải
Ta có I =
12 Z
1 12
Å
1 +x−
x ã
ex+x1 dx=
12 Z
1 12
ex+1xdx+
12 Z
1 12
Å x−
x ã
ex+1xdx.
XétI1 = 12 Z
1 12
ex+x1 dx.
Đặt
u= ex+1x
dv = dx
⇒
du= Å
1−
x2
ã
ex+x1 dx
v =x
Do
I1 =xex+
x
12 12
−
12 Z
1 12
Å x−
x ã
(96)Suy
I =xex+1x
12 12
= 143 12 e
145 12. Vậy a= 143, b= 12, c= 145, d= 12 bc−ad= 24
Chọn đáp án A
Câu 262 Cho hàm số f(x) liên tục trênR có Z
1
f(x) dx= Tính giới hạn dãy số
un=
1 n
ñ f(1) +
… n +n ·f
Ç… n+
n å
+ … n
6 +n ·f Ç…
n+ n
å
+· · ·+
… n 4n−3·f
Ç…
4n−3 n
åô
A limun= B limun=
2
3 C limun = D limun = Lời giải
Ta có:
un=
f(1) n +
1 n
1 …
1 + n
f Ç…
1 + n
å
+… 1 + 2·3
n f
Ç…
1 + 2·3 n
å
+· · ·+…
1 + 3(n−1) n
f Ç…
1 + 3(n−1) n
å
⇒limun=
1 Z
0
1
√
1 + 3xf Ä√
1 + 3xä dx
Đặt t=√1 + 3x⇒ dt =
2√1 + 3xdx⇒limun=
2 Z
1
f(t) dt =
Chọn đáp án B
Câu 263 Cho hàm số f(x) =
12 x≤3 x2−3x
√
x+ 1−2 x >3
Tính tích phân I =
8 Z
0
f(x) dx
A I = 2441
15 B I = 1906
15 C I = 1606
15 D I = 2541
15 Lời giải
Dễ dàng chứng minh hàm sốy =f(x)liên tục x=
I =
8 Z
0
f(x) dx=
3 Z
0
f(x) dx+
8 Z
3
f(x) dx=
3 Z
0
12 dx+
8 Z
3
x2−3x
√
x+ 1−2dx
= 12x|30+
8 Z
3
xÄ√x+ + 2ä dx= 91 +
8 Z
3
x√x+ dx
XétJ =
8 Z
3
x√x+ dx
Đặt t=√x+ 1⇒t2 =x+ 1⇒2tdt= dx Đổi cận x= 3⇒t= 2;x= 8⇒t= Vậy J =
3 Z
2
t2 t2−1 dt = 1076
15 ⇒I = 2441
15
(97)Câu 264 Cho Z
1
f(x) dx= 9, tính I =
1 Z
0
f(3x+ 1) dx
A I = B I = C I = D I = 27
Lời giải
Ta có I =
1 Z
0
f(3x+ 1) dx=
1 Z
0
f(3x+ 1) d(3x+ 1) =
4 Z
1
f(t) dt=
Chọn đáp án B
Câu 265 Một vật chuyển động thẳng có vận tốc gia tốc thời điểmtlần lượt làv(t)m/s vàa(t)
m/s2 Biết rằng1giây sau chuyển động, vận tốc vật là1m/s đồng thờia(t)+v2(t)·(2t−1) = Tính vận tốc vật sau3 giây
A v(3) =
13 m/s B v(3) =
7 m/s C v(3) =
12 m/s D v(3) = m/s Lời giải
Ta có a(t) +v2(t)(2t−1) = 0⇔ a(t)
v2(t) = 1−2t⇔
Å 1 v(t)
ã0
= 2t−1
⇒
v(t) =t
2−t+C.
Màv(1) = 1⇒C = ⇒v(t) =
t2−t+ 1 ⇒v(3) =
1
7 (m/s)
Chọn đáp án B
Câu 266 Biết Z
f(2x) dx= sin2x+ lnx+C, tìm nguyên hàm Z
f(x) dx
A Z
f(x) dx= sin2 x
2 + lnx+C B
Z
f(x) dx= sin2 x
2 + lnx+C C
Z
f(x) dx= sin2x+ lnx−ln +C D Z
f(x) dx= sin22x+ lnx−ln +C
Lời giải
Gọi F(x)là 1nguyên hàm f(x) Khi
Z
f(2x) dx= F(2x)
2 +C = sin
2x+ lnx+C.
⇒F(2x) = sin2x+ lnx+C= sin2
2· x
2
+ ln
2·x
2
+C
⇒F(x) = sin2 x + ln
x
2 +C = sin
2 x
2 + lnx+C
Chọn đáp án B
Câu 267 Biết Z
1
f(x) dx= 1, tính Z
1
1
√
xf
√
x
dx
A I = B I = C I = D I =
2 Lời giải
Đặt t=√x⇒,dt= dx 2√x
Đổi cận: x= 1⇒t= 1, x= 4⇒t= Khi đóI =
2 Z
1
f(t) dt=
Chọn đáp án B
(98)A
c
Z
a
f(x) dx=
c
Z
b
f(x) dx− a
Z
b
f(x) dx B
c
Z
a
f(x) dx=
b
Z
c
f(x) dx+
a
Z
b
f(x) dx
C
c
Z
a
f(x) dx=
a
Z
b
f(x) dx+
c
Z
a
f(x) dx D
c
Z
a
f(x) dx=
c
Z
b
f(x) dx+
a
Z
b
f(x) dx
Lời giải
Theo tính chất tích phân
Chọn đáp án A
Câu 269 Cho Z
3
1
x2−3x+ 2dx=aln +bln 3,(a, b∈Z) Mệnh đề đúng?
A a+b+ = B a+ 3b+ = C a−2b= D a+b=−2
Lời giải
4 Z
3
1
x2 −3x+ 2dx= Z
3
Å x−2 −
1 x−1
ã
dx= (ln(x−2)−ln(x−1))|43
= ln 2−ln 3−(ln 1−ln 2) = ln 2−ln ⇒a = 2;b=−1 Vậy a+ 3b+ = khẳng định
Chọn đáp án B
Câu 270 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) =
x
e3
A
x
e3ln3
e
+C B
x
−2 ln 3·e2 +C C
3xln 3
e3 +C D
3x
e3ln 3 +C
Lời giải
Ta có Z 3x
e3 dx=
3x
e3ln 3 +C
Chọn đáp án D
Câu 271 Tìm hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) = −sinx(4 cosx+ 1)thỏa mãn
F π
=−1
A F(x) = cos 2x+ cosx−1 B F(x) = −2 cos 2x+ cosx−3
C F(x) = cos 2x+ cosx D.F(x) = −cos 2x−cosx−2
Lời giải
Ta có Z
[−sinx(4 cosx+ 1)] dx=−
Z
(2 sin 2x+ sinx) dx= cos 2x+ cosx+C Ta có F π
2
= cosπ+ cosπ
2 +C =−1⇔C =
Vậy F (x) = cos 2x+ cosx
Chọn đáp án C
Câu 272 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x3 −3x2 và
y=x2+x−4
A S = 253
12 B S = 125
12 C S = 16
3 D S = 63
4 Lời giải
Ta thấy x3−3x2 =x2+x−4⇔x3−4x2−x+ = 0⇔
(99)Khi đóS =
1 Z
−1
x3−4x2−x+ dx +
4 Z
1
x3−4x2−x+ dx =
16 +
63 =
253 12
Chọn đáp án A
Câu 273 Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh trục Oxcủa hình giới hạn đường thẳng
y= 1−x2 Ox
A 16
15 B
16π
15 C
4
3 D
4π Lời giải
Thể tích khối trịn xoayV =π
1 Z
−1
1−x22 dx= 16π 15
Chọn đáp án B
Câu 274 Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn y0 =x2y và f(−1) = 1 Tính f(2).
A e + B e3. C. 2e. D. e2.
Lời giải
Ta có
f0(x) =x2 ·f(x)
⇔f0(x)·ex
3 +x2·e x3
3 ·f(x) =
⇔ hex
3 ·f(x)
i0
=
⇒f(2)·e233 −f(−1)·e (−1)3
3 =
⇔f(2) = e3
Chọn đáp án B
Câu 275 Tính tích phân I =
2 Z
0
maxx2,3x−2 dx
A 17
6 B
17
3 C
7
3 D
7 Lời giải
Ta có I =
1 Z
0
x2dx+
2 Z
1
(3x−2) dx= +
5 =
17
Chọn đáp án A
Câu 276 Cho hàm số y = f(x) liên tục có đạo hàm R Biết f(0) =
f(3)
= Tìm giá trị nhỏ củaI =
3 Z
0
f0(x) dx
A −1 B −3 C −2 D
Lời giải
Ta có I =
3 Z
0
f0(x) dx=f(3)−f(0) Ta có
(100)⇔ |f(3)−f(0)| ≤2
⇔ −2≤f(3)−f(0)≤2
Chọn đáp án C
Câu 277 Mệnh đề bốn mệnh đề sau sai?
A Z
1
xdx= lnx+C B
Z
0 dx=C
C Z
exdx= ex+C D Z
cosxdx= sinx+C
Lời giải
Mệnh đề Z
1
xdx= lnx+C sai
Chọn đáp án A
Câu 278
Cho parabol (P1) : y = −x2 + cắt trục hoành hai điểm A, B đường thẳng d : y = a (0 < a < 4) Xét parabol (P2) qua
A, B có đỉnh thuộc đường thẳngy =a Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn bởi(P1)vàd,S2 diện tích hình phẳng giới hạn
(P2) trục hoành Biết S1 = S2 (tham khảo hình vẽ bên) Tính
T =a3−8a2+ 48a.
A T = 32 B T = 64 C T = 72 D T = 99 O x
y
y=a
A B
Lời giải
Đường thẳng y=a cắt (P1) hai điểm có hồnh độ −
√
4−a và√4−a Vậy
S1 =
√
4−a
Z
−√4−a
(−x2+ 4−a) dx= ·
√
4−a·(4−a)
Parabol (P2) có dạng y = m(x2−4) Chú ý cịn qua điểm (0;a) nên m = −
a Vậy (P2) :y=−
a 4x
2+a Từ suy ra
S2 = Z
−2
−a
4x
2+a dx= 8a
3
Từ ta có
16(4−a)3
9 =
64a2
9 ⇔a
3−8a2+ 48a = 64.
Chọn đáp án B
Câu 279 Cho hàm số y =f(x) liên tục R Biết
x2
Z
0
f(t) dt = ex2 +x4−1 với ∀x∈ R Giá trị f(4)
A f(4) = e4+ 4. B. f(4) = 4e4. C. f(4) = 1. D. e4+ 8.
(101)Gọi F(x)là nguyên hàm f(x) Từ giả thiết ta cóF(x2)−F(0) = ex2
+x4−1 Lấy đạo hàm hai vế ta
2x·f(x) = 2x·ex2 + 4x3 ⇔f(x) = ex2 + 2x
Vậy f(4) = e4+
Chọn đáp án D
Câu 280 Biết F(x) = (ax2+bx+c)ex là nguyên hàm hàm sốf(x) = (x2+ 5x+ 5)ex Giá
trị của2a+ 3b+clà
A 10 B C D 13
Lời giải
Ta có F0(x) = (ax2+bx+c)ex+ (2ax+b)ex = (ax2+ (2a+b)x+b+c)ex Từ giả thiết ta có hệ
a= 2a+b = b+c=
⇔
a= b= c=
Vậy 2a+ 3b+c= 13
Chọn đáp án D
Câu 281
Cho hàm số y=f(x)liên tục Rvà có đạo hàm đến cấp hai R Biết hàm sốy=f(x)đạt cực trị tạix=−1, có đồ thị hình vẽ đường thẳng∆ tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh
độ Tính Z
1
f00(x−2) dx
A B C D O x
y
−1
−3
∆
Lời giải
Đường thẳng ∆ :y = 3x−3 Vậyf0(2) = Từ giả thiết ta có
4 Z
1
f00(x−2) dx=
2 Z
−1
f00(x) dx=f0(2)−f0(1) = 3−0 =
Chọn đáp án A
Câu 282 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y=x2−2x y= 2x2−x−2là
A
2 B C D
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểmx2−2x= 2x2 −x−2⇔x= 1∨x=−2. Vậy S =
1 Z
−2
(x2−2x)−(2x2−x−2) dx=
9
(102)Câu 283 Cho f(x), g(x) hai hàm liên tục [1; 3] thỏa mãn Z
1
[f(x) + 3g(x)] dx = 10,
3 Z
1
[2f(x)−g(x)] dx= Tính Z
1
[f(x) +g(x)] dx
A B C D
Lời giải Ta có Z
[f(x) + 3g(x)] dx= 10
3 Z
1
[2f(x)−g(x)] dx=
⇔ Z
f(x) dx=
3 Z
1
g(x) dx=
⇒
3 Z
1
[f(x) +g(x)] dx= + =
Chọn đáp án C
Câu 284 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trênh0;π
i
thỏa mãn f(0) =
π
Z
0
[f0(x)]2 dx= π
2
Z
0
sinxf(x) dx= π
4 Tích phân π
Z
0
f(x) dx
A B C π
2 D
π Lời giải Ta có π = π Z
sinxf(x) dx= π
Z
0
f(x) d cosx= cosxf(x)
π − π Z
cosxf0(x) dx⇒
π
Z
0
cosxf0(x) dx=−π
4 Mặt khác π Z
cos2xdx=
π
Z
0
(1 + cos 2x) dx=
Å x+1
2sin 2x ã π = π
Như ta có = π
Z
0
[f0(x)]2 dx−2 π
Z
0
cosxf0(x) dx+ π
Z
0
cos2xdx= π
Z
0
[f0(x)−cosx]2 dx≥0 Dấu xảy f0(x) = cosx⇒f(x) = sinx+C Màf(0) = 0⇒C = Vậy
π
Z
0
f(x) dx= π
Z
0
sinxdx=−cosx
π
=
Chọn đáp án B
Câu 285 Nguyên hàm hàm số y= 2−3x A
3ln|2−3x|+C B −3 ln|2−3x|+C C −
3ln|2−3x|+C D ln|2−3x|+C Lời giải
Z
1
2−3xdx=−
Z
1
2−3xd(2−3x) = −
3ln|2−3x|+C
(103)Câu 286 Cho hai hàm số f(x), g(x) hai hàm số liên tục có F(x), G(x) nguyên hàm f(x), g(x) Xét mệnh đề sau:
(I).F(x) +G(x) nguyên hàm f(x) +g(x) (II).kF(x)là nguyên hàm hàm số kf(x), (k∈R) (III) F(x)·G(x) nguyên hàm f(x)·g(x) Mệnh đề mệnh đềđúng?
A (I) (III) B (I) (II) C (II) (III) D (III)
Lời giải
Chỉ có mệnh đề (I) (II) hai mệnh đề
Chọn đáp án B
Câu 287 Cho hàm số y = 3x
3 +mx2 −2x−2m−
3 có đồ thị (C) Biết m = a
b với a, b ∈ N ∗,
(a;b) = m ∈
Å 0;5
6 ã
sao cho hình phẳng giới hạn đồ thị (C) đường thẳng x = 0,
x= 2, y= có diện tích Tính P = 2a2+b2.
A 18 B C D 12
Lời giải
Xét phương trình
3x
3+mx2−2x−2m−1
3 = 0⇔m = 3x
3−2x−
3
2−x2 (do x=±
√
2 nghiệm phương trình)
Xét hàm số f(x) = 3x
3−2x−
3
f0(x) = x2−2⇒f0(x) = 0⇔x=±√2 Ta có bảng biến thiên sau
x f0(x)
f(x)
0 √2
− +
−1
3
−1
3
−4 √
2 +
−4 √
2 +
−5
3
−5
3
Dễ thấy với x > √2thì 2−x2 <0 mà
3x
3−2x−
3 <0 nên 3x
3−2x−
3
2−x2 <0 nên phương trình vơ nghiệm
Với x >√2thì m = 3x
3−2x−
3 2−x2 >
1
Å 3x
3−2x−
3 ã
≥
6
Như phương trìnhm = 3x
3−2x−
3
2−x2 vô nghiệm với m ∈
Å 0;5
6 ã
(104)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị(C) đường thẳngx= 0,x= 2, y=
V =
2 Z
0
Å
−1
3x
3−
mx2+ 2x+ 2m+1
ã dx
= Å
−
12x
4− mx3
3 +x
2
+ 2mx+1 3x
ã
0
= 10 +
4m =
⇒ m =
2
Nêna = 1, b= P = 2a2+b2 = 6.
Chọn đáp án C
Câu 288 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = (x−1)e2x, trục hoành các
đường thẳngx= 0,x=
A e
4 − e2
2 −
4 B e4
4 − e2
2 +
4 C e4
4 + e2
2 +
4 D e4
4 + e2
2 − Lời giải
Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y= (x−1)e2x và trục hoành nghiệm phương trình
(x−1)e2x = 0⇔x= Diện tích hình phẳng giới hạn đường
S =
2 Z
0
|(x−1)e2x|dx
=
1 Z
0
(1−x)e2xdx+
2 Z
1
(x−1)e2xdx
=
1 Z
0
(1−x) d(e2x) +
1 Z
0
(x−1) d(e2x)
=
2(1−x)e
2x
0
+
1 Z
0
e2xdx+
2(x−1)e
2x
1
−1
2
2 Z
1
e2xdx
= e
4
2 − 2+
1 4e
2x
0
−1
4e
2x
1
= e
4
4 + e2
2 −
Chọn đáp án D
Câu 289 Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ phần 2mặt phẳng song song vng góc với bán kính, hai mặt phẳng cách tâm khối cầu dm để làm lu đựng nước Tính thể tích nước mà lu chứa (coi độ dày bề mặt không đáng kể)
A 132π dm3 B 41π dm3 C 100
3 π dm
3. D. 43π dm3.
(105)Đặt trục tọa độ hình vẽ Thể tích tính cách cho đường trịn có phương trình x2 +y2 = 25⇔ y2 = 25−x2 quay quanh trụcOx
Thể tích lu
V =π
3 Z
−3
(25−x2) dx=π(25x− x
3
3 )
−3
= 132π dm3
x
O I
5 dm
3 dm dm
Chọn đáp án A
Câu 290 Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a;b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x), y =g(x) hai đường thẳng x = a, x =b (a < b) Diện tích hình phẳngD tính theo cơng thức
A S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx B S =
a
Z
b
|f(x)−g(x)| dx
C S =π
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx D.S =
b
Z
a
[f(x)−g(x)] dx
Lời giải
Theo lý thuyết S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx
Chọn đáp án A
Câu 291 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 4x3+ sinx−2 là
A x4+ cosx−2x+C. B. x
4 + cosx+C C 12x+ cosx+C D.x4 −cosx−2x+C
Lời giải
Ta có Z
4x3+ sinx−2
dx=x4 −cosx−2x+C
Chọn đáp án D
Câu 292 Tích phân Z
0
a
ax+ 3adx,(a >0) A 16a
225 B alog
3 C ln
3 D
2a 15 Lời giải
Ta có Z
0
a
ax+ 3adx=
2 Z
0
1
x+ dx= ln(x+ 3)|
2
0 = ln 5−ln = ln
5
Chọn đáp án C
(106)Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = √3x2, cung trịn có phương trình y = √4−x2 (với 0 ≤ x ≤ 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H)
S = aπ−
√
b
c ,(a, b, c∈Z) Tính T =a+b+c
A B 13 C 11 D 12
O x
y
2
Lời giải
Ta có √3x2 =√4−x2 ⇒3x4 = 4−x2 ⇔3x4+x2−4 = 0⇔ "
x2 =
x2 =−4 ⇒x= ∈[0; 2]
Diện tích của(H) tính theo cơng thức
S =
2 Z
0
√
3x2
dx+
2 Z
1
√
4−x2 dx=
1 Z
0
√
3xdx+
2 Z
1
√
4−x2dx.
Tính I1 = Z
0
√
3x2dx=
√
3x3
3
0
=
√
3
Tính
I2 = Z
1
√
4−x2dx
=
0 Z
π
»
4−(2 cost)2d(2 cost) =−4 Z
π
|sint|sintdt
= π
Z
0
sin2tdt= π
Z
0
1−cos 2t dt =
Å
t− sin 2t
2 ã
π
0
= 2π −
√
3
Vậy S = 2π −
√
3 +
√
3 =
4π−√3
6 ⇒a= 4, b= 3, c= ⇒a+b+c= 13
Chọn đáp án B
Câu 294 Biết I =
2 Z
1
dx
(2x+ 2)√x+ 2x√x+ =
√
a−√b−c
2 với a, b, c số nguyên dương
Tính P =a−b+c
A P = 24 B P = 12 C P = 18 D P = 22
Lời giải
Ta có
I =
2 Z
1
dx
(x+ 1)√x+x√x+ =
2 Z
1
dx
√
x+ 1·√x √x+ +√x
=
2 Z
1
√
x+ 1−√x
√
x+ 1·√x dx=
2 Z
1
Å
√
x −
√
x+ ã
dx
= Ä2√x−2√x+ 1ä =
√
2−√3−1 =
√
2−2√3−2
2 =
√
32−√12−2
(107)Vậy a= 32, b = 12, c= ⇒P =a−b+c= 32−12 + = 22
Chọn đáp án D
Câu 295 Cho e Z
1
lnx
√
x dx=a
√
e +b với a, blà số hữu tỉ Tính P =a·b
A P =−8 B P = C P =−4 D P =
Lời giải
Ta có e Z
1
lnx
√
x dx=
e Z
1
ln√x
2√x dx=
e Z
1
ln √x
d √x
= √
e Z
1
lnxdx= (xlnx−x)|
√
e =−2
√
e +
Vậy a=−2và b = 4⇒P =a·b =
Chọn đáp án A
Câu 296 Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục đoạn[0; 1]thỏa mãnf(1) = 0, Z
0
[f0(x)]2 dx=
7và Z
0
x2f(x) dx=
3 Tích phân
1 Z
0
[f(x) + 2] dx
A 17
5 B C
15
4 D
Lời giải
Ta có Z
0
x2f(x) dx=
3 ⇔ f(x)· x3
3
0
−
1 Z
0
x3 ·f
0
(x) dx= ⇔ −
1 Z
0
x3 ·f
0
(x) dx=
⇔
1 Z
0
x3f0(x) dx=−1
⇒
1 Z
0
14x3f0(x) dx=−14
Ta lại có Z
0
49x6dx=
Suy Z
0
[f0(x)]2 dx+
1 Z
0
14x3f0(x) dx+
1 Z
0
49x6dx= 7−14 + = 0⇔
1 Z
0
f0(x) + 7x32 dx=
⇒f0(x) = −7x3 ⇒f(x) = −7 x
4 + C⇒f(1) =−7
4 + C = 0⇒C =
4 ⇒f(x) =
−7 x
4+7
4
Vậy Z
0
[f(x) + 2] dx=
1 Z
0
Å
−7
4x
4+7
4 + ã
dx= 17
(108)Câu 297
Cho (H) hình phẳng giới hạn đường cong y = √x nửa đường tròn có phương trìnhy=√4x−x2 (với0≤x≤4) (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích của(H)
A 4π+ 15
√
3
24 B
8π−9√3 C 10π−9
√
3
6 D
10π−15√3
6 x
y
O
Lời giải
Với 0≤x≤4thì √4x−x2 =√x⇔x2−3x= 0 ⇔ "
x= x=
Vậy diện tích cần tính
S =
3 Z
0
Ä√
4x−x2−√xä dx= Z
0
√
4x−x2dx− Z
0
√
xdx=
3 Z
0
√
4x−x2dx−2√3.
Đặt x−2 = sint ⇒ dx= costdt, suy
Z
0
√
4x−x2dx=
π
6 Z
−π2
2p1−sin2tcostdt=
π
6 Z
−π2
2(1 + cos 2t) dt = (2t+ sin 2t)
π
6
−π
2
= 8π+
√
3
Vậy S = 8π+
√
3 −2
√
3 = 8π−9
√
3
Chọn đáp án B
Câu 298 Cho hai hàm số y =f(x)và y =g(x) liên tục đoạn [a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) hai đường thẳngx=a, x=b(a < b) tính theo cơng thức
A S =
b
Z
a
(f(x)−g(x)) dx B S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx
C S =
b
Z
a
(f(x)−g(x)) dx
D.S =π
b
Z
a
(f(x)−g(x)) dx
Lời giải
Công thức S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx
Chọn đáp án B
Câu 299 Cho lim
x→+∞
√
3x−2
x+ =a số thực Khi giá trị a
2 bằng
A B C D
Lời giải
Ta có lim
x→+∞
√
3x−2
x+ = limx→+∞
√
3−
x +
x
=√3⇒a=√3⇒a2 =
(109)Câu 300 Biết √ Z dx
1 +x+√1 +x2 =a
√
3 +b√2 +c+1 2ln(3
√
2−3)vớia, b, clà số hữu tỉ Tính
P =a+b+c
A P =
2 B P =−1 C P =−
2 D P = Lời giải Ta có √ Z dx
1 +x+√1 +x2 =
√
3 Z
1
(1 +x−√1 +x2) dx
2x =
Å1 2lnx+
1 2x ã √ − √ Z
x√1 +x2
2x2 dx
= 2ln
√
3 +
√
3−1 −I
XétI = √
3 Z
1
x√1 +x2
2x2 dx
Đặt t=√1 +x2, đó tdt=xdx. Ta có I = Z √ t2
2(t2−1)dt
= t √ +1 2 Z √ Å 1 t−1−
1 t+
ã dt = ï t+
2ln t−1 t+
ò √ = ñ
2−√2 + 2ln 3− 2ln √
2−1
√
2 + ô
=
ỵ
2−√2 ln√3−ln(√2−1)ó
Vậy I =
√
3 +
√
2−
2 + 2ln(3
√
2−3) Do đóP =a+b+c=−1
2
Chọn đáp án C
Câu 301 Cho hàm số y=f(x)liên tục đoạn [0; 1], thỏa mãn Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
xf(x) dx=
Z
0
[f(x)]2dx= Giá trị tích phân Z
0
[f(x)]3dx
A B C 10 D 80
Lời giải
Xét Z
0
[f(x) + (ax+b)]2dx=
1 Z
0
[f(x)]2dx+
1 Z
0
[f(x)·(ax+b)] dx+
1 Z
0
(ax+b)2dx
= + 2a
1 Z
0
xf(x) dx+ 2b
1 Z
0
f(x) dx+
3a(ax+b)
= + 2(a+b) + a
2
3 +ab+b
2.
Cần xác định a, bsao cho a
3 + (2 +b)a+b
(110)Có ∆(a) =b3+ 4b+ 4−
4 3(b
2+ 2b+ 4) =−(b−2)
3 ≤0 nên (1) ⇔b = a=−6
Ta có Z
0
[f(x)−6x+ 2] dx= nên f(x) = 6x−2
Vậy Z
0
[f(x)]3dx=
1 Z
0
(6x−2)3dx= 10
Chọn đáp án C
Câu 302 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = sin 2x
A F(x) =−1
2cos 2x+C B F(x) = cos 2x+C C F(x) =
2cos 2x+C D.F(x) = −cos 2x+C Lời giải
Ta có Z
sin 2xdx=−cos 2x
2 +C
Chọn đáp án A
Câu 303 Nếu
d
Z
a
f(x) dx=
d
Z
b
f(x) dx= (với a < d < b)
b
Z
a
f(x) dx
A B C
2 D 10 Lời giải
Ta có
b
Z
a
f(x) dx=
d
Z
a
f(x) dx+
b
Z
d
f(x) dx=
d
Z
a
f(x) dx− d
Z
b
f(x) dx= 5−2 =
Chọn đáp án A
Câu 304 Cho Z
0
2x+
2−x dx=a·ln +b (với a, blà số nguyên) Khi giá trị a
A −7 B C D −5
Lời giải
Ta có Z
0
2x+
2−x dx=−
1 Z
0
2(x−2) +
x−2 dx=−
1 Z
0
Å
2 + x−2
ã
dx=−(2x+ ln|x−2|)
0
= ln 2−2
Do đóa=
Chọn đáp án B
Câu 305 Một ô tô chạy với vận tốc v0 m/s gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với gia tốc a(t) = −8t m/s2 t thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển 12m Tính v0
A √3
1269 m/s B √3
36m/s C 12m/s D 16m/s
Lời giải
Ta có v(t) =
Z
a(t) dt=−4t2+C
(111)Tại thời điểm ô tô dừng hẳn t=t1 ta có v(t1) = 0⇔ −4t21+C = 0⇔t1 =
√
C
Kể từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển 12m,
t1
Z
0
v(t) dt= 12 ⇔
Å
−4
3t
3+Ct
ã
t1
0
= 12
⇔ −4
3t
3
1+Ct1 = 12⇔ −
4 3·
C√C +
C√C = 12
⇔ C√C = 36⇔C =√3 1296
Vậy v0 =
3
√
1296
Chọn đáp án A
Câu 306 Cho hàm số y = f(x) liên tục [0; 4] Z
0
f(x) dx = 1, Z
0
f(x) dx = Tính I =
1 Z
−1
f(|3x−1|) dx
A I = B I = C I =
3 D I = Lời giải
Đặt 3x−1 = t⇒ dx= dt
Khi x=−1 t =−4; x= t= Ta có I =
3
2 Z
−4
f(|t|) dt ⇒3I =
0 Z
−4
f(|t|) dt+
2 Z
0
f(|t|) dt =
0 Z
−4
f(−t) dt+
2 Z
0
f(t) dt=J+
Tính J =
0 Z
−4
f(−t) dt Đặt −t=x⇒ dt =−dx Khi t=−4thì x= 4; t= x=
Suy J =−
0 Z
4
f(x) dx=
4 Z
0
f(x) dx=
Vậy 3I = 4⇔I =
Chọn đáp án C
Câu 307 Cho hàm sốf(x)liên tục R, thỏa mãn
π
Z
0
f(tanx) dx= Z
0
x2f(x)
x2+ 1 dx= Tính
Z
0
f(x) dx
A B C D
Lời giải
XétA = π
Z
0
f(tanx) dx
(112)Khi x= t = 0; x= π
4 t=
Ta có A=
1 Z
0
f(t) t2+ 1dt=
1 Z
0
f(x)
x2+ 1dx⇒ Z
0
f(x)
x2+ 1dx= (1)
Mà theo giả thiết, ta có Z
0
x2f(x)
x2+ 1 dx= (2)
Lấy(1) cộng (2) vế với vế, ta Z
0
x2f(x) +f(x)
x2+ 1 dx= 4⇔ Z
0
f(x) dx=
Chọn đáp án D
Câu 308 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (0; +∞), biết f0(x) + (2x+ 4)f2(x) = 0,
f(x)>0∀x >0 vàf(2) =
15 Tính S =f(1) +f(2) +f(3) A S =
15 B S = 11
15 C S = 11
30 D S = 30 Lời giải
Từ giả thiết, ta có
f0(x)
f2(x) =−(2x+ 4) ⇒
Z f0(x)
f2(x)dx=− Z
(2x+ 4) dx⇒
Z df(x)
f2(x) =− Z
(2x+ 4) dx
Suy
f(x) =x
2+ 4x+C Vì f(2) =
15 ⇒C = nên f(x) =
1 x2+ 4x+ 3 Do đóS =f(1) +f(2) +f(3) =
8 + 15 +
1 24 =
7 30
Chọn đáp án D
Câu 309 Cho F(x)là nguyên hàm hàm sốf(x) = + 2x+ 3x2 thỏa mãn F(1) = 2 Tính
F(0) +F(−1)
A −3 B −4 C D
Lời giải
Ta có F(x) =
Z
(1 + 2x+ 3x2)dx=x+x2+x3+c
MàF(1) = 2⇒c=−1 hay F(x) =x+x2+x3−1 Do đóF(0) +F(−1) =−3
Chọn đáp án A
Câu 310 Cho hàm số f(x) =
(
x x≥1
1 x <1 Tính tích phân I =
2 Z
0
f(x) dx
A I = B I = C I =
2 D I = Lời giải
Ta có I =
2 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
f(x) dx+
2 Z
1
f(x) dx=
1 Z
0
1 dx+
1 Z
0
xdx=
Chọn đáp án D
Câu 311 Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) +x·f0(x) = 3x2+ 2x, ∀x∈R Tính f(1)
(113)Lời giải
Theo giả thiết f(x) +x·f0(x) = 3x2+ 2x, ∀x∈ R Ta có (xf(x))0 = 3x2 + 2x⇒
1 Z
0
(xf(x))0 dx=
1 Z
0
(3x2+ 2x) dx= 2⇒(xf(x))
0
= 2⇒f(1) =
Chọn đáp án A
Câu 312
Cho (H) hình phẳng giới hạn y=√x, y =x−2
và trục hồnh (hình vẽ) Quay(H)xung quanh trụcOx
Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành
A 10π
3 B 16π
3 C 7π
3 D 8π
3
x y
O
y=√x
y=x−2
2
2
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta có
V(H) =π Z
0
(√x)2 dx−π
4 Z
2
(x−2)2 dx= 16π
Chọn đáp án B
Câu 313 Biết Z
1
4dx
(x+ 4)√x+x√x+ =
√
a+√b−√c−d với a, b, c, d số nguyên dương Tính P =a+b+c+d
A 48 B 46 C 54 D 52
Lời giải
Ta có
I =
2 Z
1
4 dx
(x+ 4)√x+x√x+ =
2 Z
1
4
p
x(x+ 4) √x+ +√xdx=
2 Z
1
√
x+ 4−√x
p
x(x+ 4) dx
Khi đó,
I =
2 Z
1
Å 1
√
x −
√
x+ ã
dx=Ä2√x−2√x+ 4ä
1
= 2√2−2√6−2 + 2√5 =√8 +√20−√24−2
Suy a= 8, b = 20, c= 24, d= Do đó, P = 54
Chọn đáp án C
Câu 314 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp R f(0) = 0, f0(1) = 2,
1 Z
0
[f0(x)]2dx= 39 ,
1 Z
0
(x2+x)f00(x) dx=
2 Tính tích phân I =
2 Z
0
f(x) dx
A I = 14
3 B I = 14 C I =
(114)Ta có
2 =
1 Z
0
(x2+x)f00(x) dx=
1 Z
0
(x2+x) df0(x) = (x2+x)f0(x)|1 0−
1 Z
0
(2x+ 1)f0(x) dx
⇒
1 Z
0
(2x+ 1)f0(x) dx= 13 (1)
⇒
1 Z
0
4[f0(x)]2−12(2x+ 1)f0(x) + 9(2x+ 1)2 dx=
⇒
1 Z
0
[2f0(x)−3(2x+ 1)]2 dx=
⇒2f0(x)−3(2x+ 1) = 0⇒f(x) = 3(x
2+x)
2 +C
Từ f(0) = 0⇒f(x) = 3(x
2+x)
2 Vậy I =
2 Z
0
3(x2+x)
2 dx=
Chọn đáp án D
Câu 315 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) =√xlnx
A Z
f(x) dx= 9x
3
2(3 lnx−2) +C B
Z
f(x) dx= 3x
3
2(3 lnx−2) +C C
Z
f(x) dx= 9x
3
2(3 lnx−1) +C D
Z
f(x) dx= 9x
3
2(3 lnx−2) +C Lời giải
Đặt (
u= lnx
dv =√xdx ⇒
du= xdx v =
3x
Ta có Z
f(x) dx= 3x
3
2 lnx−
Z
2 3x
3 ·
xdx= 3x
3
2 lnx−
Z
x12 dx= 9x
3
2(3 lnx−2) +C
Chọn đáp án D
Câu 316 Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol
(P) : y=x2 đường thẳng d: y= 2x quay xung quanh trục Ox
A π
2 Z
0
x2−2x2 dx B π
2 Z
0
4x2dx−π
2 Z
0
x4dx
C π
2 Z
0
4x2dx+π
2 Z
0
x4dx D.π
2 Z
0
2x−x2
dx
(115)Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) :y=x2 và đường thẳng d:y = 2x
x2 = 2x⇔
"
x= x=
Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol
(P) :y=x2 và đường thẳng d:y= 2x quay xung quanh trục Oxlà
V =π
2 Z
0
4x2dx−π
2 Z
0
x4dx
O x
y
2
Chọn đáp án B
Câu 317 Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn f(tanx) = cos2x,∀x ∈
R Tính I =
Z
0
f(x) dx
A +π
8 B C
2 +π
4 D
π Lời giải
Đặt x= tant với t∈−π
2; π
, suy dx=
cos2t · dt Khi x= t =
Khi x= t = π
Ta có
I = π
Z
0
f(tant)·
cos2tdt=
π
Z
0
cos2t·
cos2t · dt=
π
Z
0
dt = t|π4
0 =
π
Chọn đáp án D
Câu 318 Cho hàm số f(x) liên tục R+ thỏa mãn f0(x) ≥ x+
x,∀x ∈ R
+ và f(1) = 1 Tìm giá trị nhỏ f(2)
A B C
2+ ln D Lời giải
Ta có f(2)−f(1) =
2 Z
1
f0(x) dx≥
2 Z
1
Å x+
x ã
dx= Å
x2
2 + lnx ã
1
=
2 + ln
Do đóminf(2) =
2+ ln +f(1) =
2+ ln
Chọn đáp án C
Câu 319 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = ex−1, trục tọa độ phần đường thẳngy = 2−xvớix≥1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quayDquanh trục hồnh
A V = +
e2−1
2e2 B V =
π(5e2−3)
6e2 C V =
1 2+
e−1
e π D V = +
e2−1
2e2
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểmex−1 = 2−x⇔ex−1+x−2 = (1) Hàm sốf(x) = ex−1+x−2đồng biến trên
(116)Đường thẳng y= 2−x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x= Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành
V = π
1 Z
0
(ex−1)2dx+π
2 Z
1
(2−x)2dx
= π
1 Z
0
e2x−2dx+π
2 Z
1
(2−x)2dx
= 2πe
2x−2 0−
1
3π(2−x)
3
= 2π
Å 1−
e2
ã +1
3π=
π(5e2−3) 6e2
Chọn đáp án B
Câu 320 Xét hàm số y =f(x)liên tục miền D= [a;b] có đồ thị đường cong(C) Gọi
S phần giới hạn (C)và đường thẳng x=a, x=b Người ta chứng minh độ dài đường cong S
b
Z
a
»
1 + (f0(x))2dx Theo kết trên, độ dài đường congS là phần đồ thị của
hàm số f(x) = lnx bị giới hạn đường x= 1, x=√3là m−√m+ ln1 +
√
m
√
n với m, n∈Z
thì giá trị m2−mn+n2 bao nhiêu?
A B C D
Lời giải
Ta có S = √
3 Z
1
… +
x2dx=
√
3 Z
1
x√1 +x2
x2 dx Đặt u=√1 +x2 ⇒u2 = +x2 ⇒udu=xdx. Khi x= u=√2
Khi x=√3 u= Nên
S =
2 Z
√
2
u2
u2−1du= Z
√
2
du+
2 Z
√
2
1
(u−1)(u+ 1)du
=
2 Z
√
2
du+1
2 Z
√
2
Å u−1−
1 u+
ã du
= u|2√
2+
1 ln
u−1 u+
√
2
= 2−√2 + ln1 +
√
2
√
3
Do đóm = 2, n= Bởi vậym2−mn+n2 =
Chọn đáp án B
Câu 321 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 5x
A
x
ln +C B
x·ln +C. C. x+1
x+ +C D
x+1+C.
Lời giải
Áp dụng công thức Z
axdx= a
x
(117)Z
5xdx=
x
ln +C
Chọn đáp án A
Câu 322 Gọi Dlà hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2−4x+ 3, trục hoành hai đường thẳngx= 1, x= Thể tích khối trịn xoay tạo thành quayD quanh trục hoành
A 16
15 B
4π
3 C
16π
15 D
4 Lời giải
Thể tích khối trịn xoay
V =π
3 Z
1
(x2−4x+ 3)2dx=π
3 Z
1
(x4 −8x3+ 22x2−24x+ 9) dx= 16π 15
Chọn đáp án C
Câu 323 Cho hàm số y =f(x) liên tục đoạn [1; 2] Z
1
(x−1)f0(x) dx=a Tính Z
1
f(x) dx
theo a b=f(2)
A a−b B a+b C b−a D −b−a
Lời giải
Áp dụng công thức
β
Z
α
udv =uv
β α
− β
Z
α
vdu, ta có
a=
2 Z
1
(x−1)f0(x) dx=
2 Z
1
(x−1) d (f(x)) = (x−1)f(x)
1−
2 Z
1
f(x) dx
= f(2)−
2 Z
1
f(x) dx=b−
2 Z
1
f(x) dx
Từ suy Z
1
f(x) dx=b−a
Chọn đáp án C
Câu 324 Cho hàm số y = f(x) liên tục R\ {0} thỏa mãn 2·f(3x) + 3·f Å2
x ã
=−15x
2 ,
9 Z
3
f(x) dx=k Tính I =
3 Z
1
f Å
1 x
ã dx
A I =−45 +k
9 B I =
45−k
9 C I =
45 +k
9 D I =
45−2k Lời giải
Từ giả thiết2·f(3x) + 3·f Å2
x ã
=−15x
2 , suy
2
3 Z
1
f(3x) dx+
3 Z
1
f Å2
x ã
dx=
3 Z
1
Å
−15x
2 ã
(118)Xét tích phân K =
3 Z
1
f(3x) dx
Đặt t= 3x⇒ dx=
3dt Với x= 1⇒t = 3; x= 3⇒t= Suy
K =
9 Z
3
f(t)1 3dt=
k
Xét tích phân L=
3 Z
1
f Å2
x ã
dx
Đặt
t =
x ⇔x= 2t ⇒ dx= dt Với x= 1⇒t=
2; x= ⇒t =
2 Suy
L=
3 Z
1
f Å1
t ã
2 dt = 2I
Vậy ta có
2· k
3 + 3·2I =−30⇔I =− 45 +k
9
Chọn đáp án A
Câu 325 Cho hàm số f(x) xác định R \ {0} thỏa mãn f0(x) =
x2+x4, f(1) = a
f(−2) =b Giá trị biểu thứcf(−1)−f(2)
A a+b B b−a C a−b D −a−b
Lời giải
Ta có f(x) =
Z
f0(x) dx=
Z
1
x2+x4 dx= Z Å
1 x2 −
1 x2+ 1
ã
dx=−1
x−arctanx+C
Do hàm sốf(x)có đạo hàm trênR\ {0}nên liên tục khoảng(−∞; 0) (0; +∞) Do đó, hàm sốf(x)có dạng
−
x −arctanx+C1, x <0
−
x −arctanx+C2, x >0
Thay x= 1, ta a=−1
1 −arctan +C2 ⇒C2 =a+ + π
Thay x=−2, ta b=−
−2 −arctan(−2) +C1 ⇒C1 =b−
2−arctan
Do
f(−1)−f(2) = ï
−
−1−arctan(−1) +b−
2 −arctan ò
−
ï
−1
2−arctan +a+ + π ò
=b−a
Chọn đáp án B
Câu 326 Cho
π
2 Z
0
(4 cos 2x+ sin 2x) ln(cosx+ sinx) dx = cln 2− a
b, a, b, c ∈ N ∗, a
b
phân số tối giản TínhT =a+b+c
A T =−11 B T = C T = D T =
(119)Gọi I tích phân cho Ta có
[ln(cosx+ sinx)]0 = −sinx+ cosx cosx+ sinx =
(−sinx+ cosx)(cosx+ sinx) (cosx+ sinx)2
= cos 2x+ sinxcosx cos2x+ sin2x+ sinxcosx
= cos 2x+ sin 2x sin 2x−3 cos 2x+
Đặt (
u= ln(cosx+ sinx) dv = (4 cos 2x+ sin 2x) dx
⇒
du= cos 2x+ sin 2x sin 2x−3 cos 2x+ dx v =
2·(4 sin 2x−3 cos 2x+ 5)
Suy
I =
2(4 sin 2x−3 cos 2x+ 5)·ln(cosx+ sinx)
π
2
0
−1
2
π
2 Z
0
(4 cos 2x+ sin 2x) dx
= ln 2−1
2 Å
2 sin 2x−
2cos 2x ã
π
2
0
= ln 2−
2 Å3
2 +
ã
= ln 2−3
2
Vậy c= 4, a= 3, b= Suy T =a+b+c=
Chọn đáp án D
Câu 327 Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số f(x) = e2x
A F(x) = ex+C B F(x) = e
x
2 +C C F(x) = e
2x+C. D. F(x) = e
2x
2 +C Lời giải
Ta có F(x) =
Z
e2xdx= e
2x
2 +C
Chọn đáp án D
Câu 328 Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục đoạn[−1; 3]và thỏa mãn f(−1) = 4;f(3) = Tính tích phânI =
3 Z
−1
5f0(x) dx
A I = 20 B I = C I = 10 D I = 15
Lời giải
Ta có I =
3 Z
−1
5f0(x) dx= 5f(x)|3−1 = (f(3)−f(−1)) = 15
Chọn đáp án D
Câu 329 Cho hàm số y=f(x) liên tục trên[a;b] Mệnh đề sai?
A
b
Z
a
f(x) dx=− a
Z
b
f(x) dx
B
b
Z
a
f(x) dx=
c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx, ∀c∈R
C
b
Z
a
f(x) dx=
b
Z
a
(120)D
a
Z
a
f(x) dx=
Lời giải
Ta hàm số y = f(x) có liên tục c hay khơng, nên biểu thức
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx+
b
Z
c
f(x) dx, ∀c∈R sai
Chọn đáp án B
Câu 330 Cho Z
1
f(x) dx= 12, tính giá trị tích phân I =
6 Z
2
fx
dx
A I = 24 B I = 10 C I = D I = 14
Lời giải
Đặt u= x
2 ⇒du= dx
2 ⇒dx= 2du
Đổi cận
Với x= suy u= Với x= suy u= Suy I =
3 Z
1
f(u) du= 24
Chọn đáp án A
Câu 331 Cho hàm sốf(x) =ax3+bx2+cx+d (a6= 0) thỏa mãn (f(0)−f(2)) (f(3)−f(2))>0. Mệnh đề đúng?
A Hàm số f(x) có hai cực trị
B Phương trìnhf(x) = ln có3 nghiệm phân biệt
C Hàm số f(x) khơng có cực trị
D Phương trình f(x) = ln có nghiệm
Lời giải
Ta có f0(x) = 3ax2+ 2bx+c.
Do (f(0)−f(2)) (f(3)−f(2))>0nên ta có hai trường hợp:
(
f(0)−f(2)>0 f(3)−f(2)>0
⇒
f(2)−f(0) =
2 Z
0
f0(x) dx <0
f(3)−f(2) =
3 Z
2
f0(x) dx >0
Từ suy ∃x1 ∈ (0; 2), f0(x1) <0 ∃x2 ∈(2; 3), f0(x2) >0, suy f0(x1)f0(x2) <0, suy f0(x) = có nghiệm khoảng (x1;x2), kết hợp f0(x) = phương trình bậc hai suy raf0(x) = ln có hai nghiệm phân biệt
Vậy hàm số có hai cực trị (
f(0)−f(2)<0 f(3)−f(2)<0
Tương tự, hàm số có hai cực trị
(121)Chọn đáp án A Câu 332 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2−4x+ (P) và các tiếp tuyến kẻ từ điểmA
Å3 2;−3
ã
đến đồ thị (P) Tính giá trị củaS
A S = B S =
8 C S =
4 D S = Lời giải
Ta có y0 =f0(x) = 2x−4
Giả sử đường thẳng dtiếp xúc với đồ thị(P)tại điểmM(x0;y0), suy đường thẳngd có dạng
d: y=f0(x0)(x−x0) +y0 Đường thẳng d qua điểm A, nên ta có
(2x0−4)
Å3 2−x0
ã
+x20−4x0 + =−3
⇔3x0−6−2x20+ 4x0+x20−4x0+ =
⇔ −x20 + 3x0 = 0⇔ "
x0 =
x0 =
x y
3
−3 O
3
3
(P)
d1
d2
A
Với x0 = 0⇒y0 = 3, suy phương trình tiếp tuyến d1 điểm M1(0; 3) lày =−4x+ Với x0 = 3⇒y0 = 0, suy phương trình tiếp tuyến d2 điểm M2(3; 0) lày = 2x−6 Từ suy diện tích hình giới hạn
3
Z
0
(x2−4x+ 3)−(−4x+ 3) dx+
3 Z
3
(x2−4x+ 3)−(2x−6) dx=
9
Chọn đáp án C
Câu 333
Gọi (H)là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=
−x2 + 4x trục hoành Hai đường thẳng y = m,
y = n chia hình (H) thành phần có diện tích (ta tham khảo hình vẽ) Tính giá trị biểu thức T = (4−m)3+ (4−n)3.
A T = 320
9 B T = 75
2 C T = 512
15 D T = 405
x y
O
y=m
y=n
Lời giải
Hoành độ giao điểm parabol trục hoành nghiệm phương trình
−x2+ 4x= ⇔
"
x= x=
Diện tích hình phẳng (H)là S =
4 Z
0
−x2+ 4x dx=
(122)Ta có
−x2+ 4x=y⇔x2−4x+y= ⇔
"
x= 2−p
4−y x= +p4−y
(y <4)
Suy diện tích hình giới hạn y=n, y=−x2+ 4x và trục hoành là
S1 =
n Z Ä
2 +p4−yä−Ä2−p4−yä
dy = n Z
2p4−ydy= −4
p
(4−y)3
3 n = 32 −
4p(4−n)3
3
Tương tự ta có diện tích hình giới hạn bởiy =m,y=−x2+ 4xvà trục hồnh là
S2 =
32 −
4p(4−m)3
3
Để hai đường thẳng y=n, y=m chia(H) thành ba phần có diện tích
S1 =
32 S2 =
64 ⇔ 32 −
4p(4−n)3
3 =
32 32
3 −
4p(4−m)3
3 = 64 ⇔
4p(4−n)3
3 =
64 4p(4−m)3
3 = 32 ⇔
(4−n)3 = 256 (4−m)3 = 64
9
Từ suy T = (4−m)3+ (4−n)3 = 320
9
Chọn đáp án A
Câu 334 Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn
Z f √x+ 1
√
x+ dx=
2 √x+ + x+ +C
Tìm họ nguyên hàm hàm sốf(2x)trên tập R+
A x+
2 (x2+ 4) +C B
x+
x2+ 4 +C C
2x+
4 (x2 + 1) +C D
2x+
8 (x2+ 1) +C
Lời giải
Ta có
Z f √x+ 1
√
x+ dx=
Z
2fÄ√x+ 1ä dÄ√x+ 1ä =
√
x+ +
√
x+ 12+
+C, suy
Z
fÄ√x+ 1ä dÄ√x+ 1ä =
√
x+ +
√
x+ 12 + +C
Từ suy Z
f(2x) dx=
Z
f(2x) d(2x) = 2·
2x+
(2x)2+ 4 +C =
2x+
8 (x2+ 1) +C
Chọn đáp án D
Câu 335 Biết
a+√b
Z
4
1
√
−x2 + 6x−5dx =
π
6, a, b ∈ Z
+ và 4 < a+√b < 5 Tính tổng
S =a+b
A S = B S = C S = D S =
Lời giải
Ta có π
6 =
a+√b
Z
4
1
√
−x2+ 6x−5dx=
a+√b
Z
4
1
p
4−(x−3)2 dx (∗)
Đặt x−3 = sint, suy dx= costdt Đổi cận: x= 4⇒t= π
6 x=a+
√
b ⇒t= arcsin Ç
a+√b−3
å
Thay vào(∗) ta có π
6 = arcsin a+ √ b−3 Z π p
4−4 sin2t ·2 costdt= arcsin Ç
a+√b−3
å
− π
(123)Từ suy arcsin Ç
a+√b−3
å = π
3 ⇒
a+√b−3
2 =
√
3
2 ⇒a= 3, b=
Vậy S =a+b =
Chọn đáp án D
Câu 336 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = x −
1
x2 +x khoảng (0; +∞)
A F(x) = ln|x|+ x +
x2
2 +C B F(x) = lnx−lnx
2+x
2 +C C F(x) = lnx−
x+ x2
2 +C D.F(x) = ln|x|+ x+
x2 +C Lời giải
Ta có F(x) = ln|x|+ x +
x2
2 +C
Chọn đáp án A
Câu 337 Cho hàm số y=f(x)liên tục R thỏa mãn Z
0
f(x) dx= 20,
5 Z
0
f(x) dx= Tính
Z
3
f(x) dx
A 22 B 18 C −18 D −22
Lời giải
5 Z
3
f(x) dx=
5 Z
0
f(x) dx−
3 Z
0
f(x) dx=−18
Chọn đáp án C
Câu 338 Một ô tô chuyển động thẳng với vận tốc ban đầu 10m/s gia tốc a(t) = −2t+
m/s2, t khoảng thời gian tính giây Hỏi từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc lớn xe qng đường bao nhiêu?
A 128
3 m B
248
3 m C 70m D 80m Lời giải
Ta có vận tốc tơ v(t) =
Z
a(t)dt =
Z
(−2t+ 8)dt = −t2 + 8t+C Vì vận tốc ban đầu 10
m/s nên ta có v(t) = −t2 + 8t+ 10 = −(t−4)2+ 26≥ 26 Vậy vận tốc lớn ô tô 26 m/s, đạt t = Do quãng đường xe kể từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc lớn là:
S =
4 Z
0
v(t)dt =
4 Z
0
(−t2+ 8t+ 10)dt= 248
Chọn đáp án B
Câu 339 Cho (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =√lnx, y = x = Tính thể tíchV khối trịn xoay thu quay hình (H)quanh trục Ox
A V = 2πln B V = 2π(ln 2−1) C V =π(2 ln 2−1) D V =π(ln + 1)
(124)Ta có lnx= 0⇔x= 1, suy thể thích V =π
2 Z
1
lnxdx=π(2 ln 2−1)
Chọn đáp án C
Câu 340 Có hàm số y=f(x) liên tục trên[0; 1] thỏa mãn
Z
0
(f(x))2018dx=
1 Z
0
(f(x))2019dx=
1 Z
0
(f(x))2020dx
A B C D
Lời giải
Từ giả thiết ta có
Z
0
(f(x))2018dx+
1 Z
0
(f(x))2020dx−2
1 Z
0
(f(x))2019dx= 0⇔
1 Z
0
(f(x))2018(f(x)−1)2dx=
Do f(x) = f(x) = Vì f(x) liên tục nên f(x) = 0,∀x∈ [0; 1] f(x) = 1,∀x∈
[0; 1]
Chọn đáp án B
Câu 341 Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục R, thỏa mãn f(0) = f(2) = 0,
max
[0;2] |f
00(x)|= 1 và
2 Z
0
f(x) dx
= Tính
3
Z
1
f(x) dx
A 11
12 B
11
24 C
37
12 D
37 24 Lời giải
2 Z
0
(2x−x2) dx≥
2 Z
0
f00(x)(2x−x2) dx
=
f0(x)(2x−x2)
0
−
2 Z
0
f0(x)(2−2x) dx
=
2 Z
0
f0(x)(2−2x) dx
=
f(x)(2−2x)
0
−
2 Z
0
f(x)(−2) dx
=2
2 Z
0
f(x) dx
(125)
Mà Z
0
(2x−x2) dx=
3 Từ suy
2 Z
0
(2x−x2) dx=
2 Z
0
f00(x)(2x−x2) dx
⇔ |f00(x)|= ⇔
"
f00(x) =−1 f00(x) =
Mặt khác f00(x)liên tục [0; 2] nên "
f00(x) =−1,∀x∈[0; 2] f00(x) = 1, ∀x∈[0; 2]
1 f00(x) =−1 f(x) = −x
2
2 +C1x+C2 Vìf(0) =f(2) = 0nên f(x) =− x2
2 +x
Khi
3
Z
1
f(x) dx
= 11 24
2 f00(x) = f(x) = x
2
2 +C1x+C2 Vì f(0) =f(2) = 0nên f(x) = x2
2 −x
Khi
3
Z
1
f(x) dx
= 11 24
Chọn đáp án B
Câu 342 Tìm nguyên hàm I =
Z
e−x+ 2x
dx
A I =−e−x+x2+C B I = e−x+x2 +C
C I =−e−x−x2+C. D.I = e−x−x2+C.
Lời giải I =
Z
e−x+ 2x dx=−e−x+x2+C
Chọn đáp án A
Câu 343 Giả sử F(x)là nguyên hàm hàm số f(x) = ex, biếtF(0) = 4 Tìm F(x).
A F(x) = ex+ 2. B. F(x) = ex+ 3. C. F(x) = ex+ 4. D. F(x) = ex+ 1.
Lời giải
Do F(x) nguyên hàm f(x) = ex nên F(x) = ex +C Lại có F(0) = 4 nên C = 3 hay
F(x) = ex+ 3.
Chọn đáp án B
Câu 344 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2 và y= 2x.
A S =
3 (đvdt) B S =
14
3 (đvdt) C S =
20
3 (đvdt) D S =
4
3 (đvdt) Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
x2 = 2x⇔
"
x= x=
Diện tích hình phẳng cần tìm
S =
2 Z
0
2x−x2
dx=
3 x
y
(126)Chọn đáp án D
Câu 345 Cho f,g hai hàm số liên tục trên[1; 3], đồng thời thỏa mãn Z
1
[f(x) + 3g(x)] dx= 10
và Z
1
[2f(x)−g(x)] dx= Tính Z
1
[f(x) +g(x)] dx
A B C D
Lời giải
Đặt a=
3 Z
1
f(x) dx, b =
3 Z
1
g(x) dx Theo giả thiết ta có
(
a+ 3b= 10 2a−b =
⇒
(
a= b=
Vậy Z
1
[f(x) +g(x)] dx=a+b =
Chọn đáp án A
Câu 346 Tìm số thực m >1thỏa mãn
m
Z
1
(lnx+ 1) dx=m
A m = e + B m = 2e C m= e2 D m= e
Lời giải
Ta có
m =
m
Z
1
(lnx+ 1) dx=x(lnx+ 1)
m
1 −
m
Z
1
dx
=m(lnm+ 1)−1−x
m
1
=mlnm
Do m >1nên m= e
Chọn đáp án D
Câu 347 Cho hàm số f(x) có đạo hàm [a;b] f(a) = f(b) Hỏi mệnh đề sau đúng?
A
b
Z
a
f0(x)ef(x)dx= e B
b
Z
a
f0(x)ef(x)dx=
C
b
Z
a
f0(x)ef(x)dx= ln(b−a) D
b
Z
a
f0(x)ef(x)dx=
Lời giải
Ta có
b
Z
a
f0(x)ef(x)dx=
b
Z
a
ef df =ef
b a
= ef(b)−ef(a) =
(127)Câu 348 Chof(x) =alnÄx+√x2+ 1ä+bx2017+2018vớia, b∈
R Biết rằngf(log (log e)) = 2019 Tính giá trị f(log (ln 10))
A 2019 B 2020 C 2018 D 2017
Lời giải
Ta có
f(x) = alnÄx+√x2+ 1ä+bx2017+ 2018
=aln√
x2+ 1−x+bx 2017
+ 2018 =−alnÄ√x2+ 1−xä+bx2017+ 2018
=−aln»(−x)2+ + (−x)−b(−x)2017+ 2018
= 4036−f(−x),
mà log(ln 10) = log
log e =−log(log e) nên
f(log (ln 10)) = 4036−f(log (log e)) = 4036−2019 = 2017
Chọn đáp án D
Câu 349 Cho hàm số f(x) liên tục có đạo hàm R thỏa mãn f(2) = −2, Z
0
f(x) dx =
Tính tích phânI =
4 Z
0
f0 √x
dx
A I =−10 B I = C I =−5 D I =−18
Lời giải
Đặt t=√x, suy dx= 2tdt Khi x= thi t = 0, x= t = Do
I =
2 Z
0
2tf0(t) dt = 2tf(t)
0−2
2 Z
0
f(t) dt= 2·2f(2)−2·1 = −10
Chọn đáp án A
Câu 350 Nguyên hàm hàm số y=x2−3x+
x A x
3
3 − 3x2
2 −ln|x|+C B x3
3 − 3x2
2 + x2 +C
C x
3 − 3x2
2 + lnx+C D
x3 −
3x2
2 + ln|x|+C Lời giải
Ta có Z Å
x2−3x+ x
ã
dx= x
3
3 − 3x2
2 + ln|x|+C
Chọn đáp án D
Câu 351 Trong hàm số sau: (I) f(x) = tan2x+ 2, (II) f(x) =
cos2x, (III) f(x) = tan
2x+ 1. Hàm số có nguyên hàm hàm số g(x) = tanx?
A Chỉ (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II), (III) D (I), (II), (III)
(128)Cách 1:
Ta có Z
tan2x+ 2dx=
Z Å
1 + cos2x
ã
dx=x+ tanx+C Và
Z
2
cos2xdx= tanx+C Và
Z
tan2x+
dx=
Z 1
cos2xdx= tanx+C
Cách 2:
Ta có g0(x) = (tanx)0 = + tan2x.
Chọn đáp án B
Câu 352 Cho hình (H) giới hạn đường y =−x2 + 2x, trục hồnh Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích
A 496π
15 B
32π
15 C
4π
3 D
16π 15 Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của(H) Ox:−x2+ 2x= 0⇔x= 0 và x= 2. Khi đóV =π
2 Z
0
−x2+ 2x2dx=π
2 Z
0
x4−4x3+ 4x2
dx= 16π 15
Chọn đáp án D
Câu 353 Cho I =
2 Z
0
f(x)dx= Khi J =
2 Z
0
[4f(x)−3] dxbằng
A B C D
Lời giải
Ta có J =
2 Z
0
[4f(x)−3] dx=
2 Z
0
f(x)dx−3
2 Z
0
dx= 4·3−3·x =
Chọn đáp án B
Câu 354 Cho hình phẳng (H) giới hạn đườngy =x2, y = 2x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay(H) xung quanh trụcOx
A 32π
15 B
64π
15 C
21π
15 D
16π 15 Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm:x2−2x= 0⇔x= 0 và x= 2. Thể tích khối trịn xoay V =π
2 Z
0 x
22−(2x)2 dx=
64π 15
Chọn đáp án B
Câu 355 Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25
mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả
A 33750000 đồng B 3750000 đồng C 12750000 đồng D 6750000 đồng
Lời giải
(129)x y −3 −9 O
Ta có hệ phương trình =c 4a−
3
2b+c=
4a+
2b+c=
⇔
a=−1 b = c=
Vậy(P) :y=−x2 +9
4
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:S =
Z
−32 Å
−x2+9
ã
dx= (m)
Số tiền phải trả
2×1500000 = 6750000 (đồng)
Chọn đáp án D
Câu 356 Cho Z
1
dx
x5+x3 =aln +bln +c, với a, b, c số hữu tỉ Giá trị a+ 2b+ 4c
A B −1 C −5
8 D Lời giải Ta có Z dx x5+x3 =
2 Z
1
xdx
x4(x2+ 1) =I Đặt t=x
2+ 1⇒x2 =t−1,xdx=
2dt Vớix= ⇒t= 2; x= 2⇒t= Khi
I =
5 Z
2
dt (t−1)2t =
1 Z dt (t−1)2 −
1 Z dt t−1+
1 Z dt t =−
2(t−1)
−
2ln|t−1|
+ 2ln|t|
= 2ln 5−
3 2ln +
3
Suy a=
2, b=− 2, c=
3
8 ⇒a+ 2b+ 4c=−1
Chọn đáp án B
Câu 357 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y=x2 và y=|x−2| bằng
A 13
2 B
21
2 C
9
2 D
1 Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm x2 =|x−2| ⇔ "
x2 =x−2 x2 =−x+
⇔
"
x=
x=−2 Suy diện tích hình
phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2 và |x−2| là
S =
1 Z
−2
|x2− |x−2||dx=
Z −2
(x2− |x−2|) dx
= Z −2
[x2−(−x+ 2)] dx
= Å x3 + x2
2 −2x ã −2 =
(130)Câu 358 Tìm họ nguyên hàm Z
(2x−1) lnxdx A F(x) = (x2−x) lnx− x
2
2 +x+C B F(x) = (x
2−x) lnx+x
2 −x+C C F(x) = (x2+x) lnx− x
2
2 +x+C D.F(x) = (x
2−x) lnx−x
2 −x+C Lời giải
Đặt
u= lnx
dv = (2x−1) dx
⇒
du= xdx v =x2−x
F(x) =
Z
(2x−1) lnxdx= (x2−x) lnx−
Z
(x−1) dx= (x2−x) lnx−x
2
2 +x+C
Chọn đáp án A
Câu 359 Tìm họ nguyên hàm Z
sin2xdx A x
2 + sin 2x
4 +C B x +
sin 2x
2 +C C x −
sin 2x
4 +C D x −
sin 2x +C Lời giải
Z
sin2xdx=
Z
1−2 cos 2x dx=
x −
sin 2x +C
Chọn đáp án D
Câu 360 Với cách đổi biến u=√4x+ tích phân Z
−1
x√4x+ dx trở thành
A Z
1
u2(u2−5)
8 du B
1 Z
−1
u2(u2−5)
8 du C
3 Z
1
u2(u2−5)
4 du D
3 Z
1
u(u2−5)
8 du Lời giải
Đặt u=√4x+ ⇒x= u
2−5
4 dx= u 2du
Đổi cận: x −1
u
Suy ra, Z
−1
x√4x+ dx=
3 Z
1
u2(u2−5)
8 du
Chọn đáp án A
Câu 361 Tìm họ nguyên hàm Z
1 2x−1dx A I = ln|2x−1|
2 +C B I = ln(2x−1) +C C I = ln|2x−1|+C D.I = ln(2x−1)
2 +C Lời giải
Z 1
2x−1dx=
ln|2x−1|
2 +C
Chọn đáp án A
Câu 362 Cho hàm số y=x4−3x2+m có đồ thị là (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Gọi
(131)A B C
2 D
5 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm (C) trục hoành:
x4 −3x2 +m = 0 (1) Đặt t = x2, t ≥ 0, ta phương trình t2 −3t +m = 0 (2) Ta có (C) cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương ⇔
∆>0 S >0 P >0
⇔
9−4m >0 3>0 m >0
⇔0< m <
x y
x2 x3
x1 x4
O
Gọi nghiệm phương trình(1) làx1 < x2 < x3 < x4, x1, x2, x3, x4 6= Do đồ thị(C)nhận trục tung trục đối xứng nên ta có
S1 = Z
x2
(x4−3x2+m) dx S2 =
x2
Z
x1
(−x4+ 3x2−m) dx
Vì S1 =S2 nên
x2
Z
x1
(−x4+ 3x2−m) dx=
0 Z
x2
(x4 −3x2+m) dx⇔
Å
−x
5
5 +x
3
2−mx2
ã
−
Å
−x
5
5 +x
3
1 −mx1
ã
=−
Å x52
5 −x
3
2+mx2
ã
⇔ x
5
5 −x
3
1+mx1 =
Suy
x5
5 −x
3
1+mx1 =
x41−3x21+m =
⇔
x5
5 −x
3 1+ (3x
2 −x
4
1)x1 =
m= 3x21−x41
⇔
x21 = m =
Chọn đáp án D
Câu 363 Cho hàm sốf(x)có đạo hàm trên[0; 1]thỏa mãnf(1) = 1, Z
0
xf(x) dx= 15,
1 Z
0
[f0(x)]2dx=
49
45 Tích phân
1 Z
0
[f(x)]2dx
A
9 B
1
6 C
4
(132)Đặt (
u=xf(x) dv = dx
⇒
(
du= [f(x) +xf0(x)] dx v =x
Khi
1 Z
0
xf(x) dx=x2f(x)
0−
1 Z
0
x[f(x) +xf0(x)] dx
=f(1)−
1 Z
0
xf(x) dx−
1 Z
0
x2f0(x) dx
Suy Z
0
x2f0(x) dx= 1−2·
15 =
15 Khi dự đốn dạngf
0(x) =mx2, với m∈
R Ta có
1 Z
0
[mx2−f0(x)]2dx=
1 Z
0
m2x4dx−
1 Z
0
2mx2f0(x) dx+
1 Z
0
[f0(x)]2dx
= m
2
5 − 14m
15 + 49 45 =
(3m−7)2
45
Ta cần Z
0
[mx2−f0(x)]2dx= 0⇔ (3m−7)
2
45 = 0⇔m=
3 Như ta có
1 Z
0
ï7 3x
2−
f0(x) ò2
dx=
Suy f0(x) = 3x
2 ⇒ f(x) = 7x
9 +C Từ f(1) = ⇒ C =
9 Khi f(x) = 7x3
9 +
9 thỏa mãn
1 Z
0
xf(x) dx= 15 Vậy
1 Z
0
[f(x)]2dx=
1 Z
0
Å7x3
9 +
ã2
dx=
Chọn đáp án A
Câu 364 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x) liên tục [a;b], trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b (với a < b) cho công thức sau đây?
A S =
b
Z
a
|f(x)| dx B S =π
b
Z
a
|f(x)| dx C S =π
b
Z
a
f2(x) dx D S =
b
Z
a
f(x) dx
Lời giải
Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =f(x) liên tục [a;b], trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b (với a < b) cho công thứcS =
b
Z
a
|f(x)| dx
Chọn đáp án A
Câu 365 Tính tích phân I =
e Z
1
(133)A I =
2 B I =
e2−2
2 C I =
e4 +
4 D I =
e2−1 Lời giải
Đặt (
u= lnx dv =xdx
⇒
du= xdx v = x
2
2
Khi
I = x
2lnx
2
e
1
−1
2
e Z
1
xdx= x
2lnx
2
e
1
−x
2
4
e
1
= e
2
2 − Å
e2 −
1
ã = e
4+ 1
4
Chọn đáp án C
Câu 366 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = ex+ cosx+ 2018là
A F(x) = ex+ sinx+ 2018x+C B F(x) = ex−sinx+ 2018x+C
C F(x) = ex+ sinx+ 2018x D.F(x) = ex+ sinx+ 2018 +C
Lời giải
Ta có
F(x) =
Z
f(x) dx=
Z
(ex+ cosx+ 2018) dx= ex+ sinx+ 2018x+C
Chọn đáp án A
Câu 367
Cho (H) hình phẳng giới hạn y=√x, y =x−2
và trục hồnh (hình vẽ) Diện tích (H)bằng
A 10
3 B 16
3 C
3 D
x y
O
f(x) =√x
g(x) =x−2
2
2
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta có
S(H) = Z
0
√
x dx+
4 Z
2
√
x−(x−2) dx=
2 3x
3
0
+ Åx2
2 − 3x
3 −2x
ã
2
= 10 ·
Chọn đáp án A
Câu 368 Biết Z
1
dx
(x+ 1)√x+x√x+ =
√
a−√b−√cvới a,b, clà số nguyên dương Tính
P =a+b+c
A P = 44 B P = 42 C P = 46 D P = 48
Lời giải
Ta có
(x+ 1)√x+x√x+ =
√
x+ 1−√x
√
x+ 1·√x =
√
x −
√
(134)Suy
2 Z
1
dx
(x+ 1)√x+x√x+ =
2 Z Å 1 √ x − √
x+ ã dx = Z
2√xdx−
2 Z
1
2
2√x+ 1d(x+ 1) = Ä
2√x−2√x+ 1ä
=Ä2√2−2√3ä−Ä2−2√2ä =√32−√12−2 =√32−√12−√4
Do đóa= 32,b = 12, c= VậyP =a+b+c= 48
Chọn đáp án D
Câu 369 Cho hàm số f(x) xác định R\ {−1; 1} thỏa mãn f0(x) =
x2−1· Biết
f(−3) +f(3) = f Å −1 ã +f Å ã
= Tính T =f(−2) +f(0) +f(4)
A T = + ln9
5 B T = + ln
5 C T = + 2ln
9
5 D T = + 2ln
6 Lời giải
Ta có f(x) =
Z
1
x2−1dx=
1
Z Å 1
x−1 − x+
ã
dx= 2ln
x−1 x+
+C
Với x∈(−∞;−1) ta có f(x) = 2ln
x−1 x+
+C1 Với x∈(1; +∞) ta cóf(x) =
2ln
x−1 x+
+C3 Màf(−3) +f(3) = 0⇔
2ln
−3−1
−3 +
+C1+
1 2ln
3−1 +
+C3 =
⇔
2ln +C1+ 2ln
1
2+C3 = 0⇔C1+C3 =
Do đóf(−2) =
2ln +C1;f(4) = 2ln
3 5+C3
Với x∈(−1; 1) ta có f(x) = 2ln
x−1 x+
+C2
f Å −1 ã +f Å1 ã
= 2⇔
2ln −1
2 −1
−1
2+
+C2+
1 2ln 2−1 +
+C2 =
⇔
2ln +C2+ 2ln
1
3+C2 = 2⇔C2 =
Do vớix∈(−1; 1): f(x) = 2ln
x−1 x+
+ ⇒f(0) = Vậy T =f(−2) +f(0) +f(4) = +
2ln 5·
Chọn đáp án C
Câu 370 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [0; 1] thỏa mãn Z
0
[f0(x)]2 dx =
1 Z
0
(x+
1)exf(x) dx= e
2−1
4 f(1) = Tính
1 Z
0
f(x) dx
A e−1
2 B
e2
4 C e−2 D
(135)Lời giải
Ta có
e2−1
4 =
1 Z
0
(x+ 1)exf(x) dx= [xexf(x)]
−
1 Z
0
xexf0(x) dx=−
1 Z
0
xexf0(x) dx
⇒2
1 Z
0
xexf0(x) dx=−e
2−1
2
Ta lại có Z
0
x2e2xdx= e
2 −1
4
1 Z
0
[f0(x)]2 dx= e
2−1
4
Khi
1 Z
0
[f0(x)]2 dx+
1 Z
0
xexf0(x) dx+
1 Z
0
x2e2xdx=
⇔
1 Z
0
[f0(x) +xex]2 dx=
Vì [f0(x) +xex]2 ≥
0, ∀x∈[0; 1] f0(x) liên tục trên[0; 1] nên Z
0
[f0(x) +xex]2 dx≥0 Đẳng thức xảy
f0(x) +xex = 0⇔f0(x) =−xex ⇔f(x) = (1−x)ex+C
Lại có f(1) = nên C = Vậy f(x) = (1−x)ex.
Do
1 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
(1−x)exdx= (2−x)ex
0 = e−2
Chọn đáp án C
Câu 371 Tính nguyên hàm hàm số f(x) = ex
Å
2017− 2018e
−x
x5
ã A
Z
f(x) dx= 2017ex+ 2018
x4 +C B Z
f(x) dx= 2017ex+504,5 x4 +C
C Z
f(x) dx= 2017ex− 504,5
x4 +C D Z
f(x) dx= 2017ex−2018
x4 +C
Lời giải
Ta có Z
f(x) dx=
Z
ex Å
2017− 2018e
−x
x5
ã dx=
Z Å
2017ex− 2018
x5
ã
dx= 2017ex+504,5 x4 +C
Chọn đáp án B
Câu 372 Biết Z
0
x3+ 2x2+ 3
x+ dx= a +bln
3
2,(a, b >0) Tìm giá trị k để
ab
Z
8
dx < lim
x→+∞
(k2+ 1)x+ 2017
(136)A k < B k 6= C k >0 D k ∈R
Lời giải
Ta có Z
0
x3+ 2x2+ 3
x+ dx=
1 Z
0
Å
x2+ x+
ã dx=
Åx3
3 + ln(x+ 2) ã
= 3+ ln
3 2·
⇒
(
a= b =
⇒ ab
Z
8
dx=
9 Z
8
dx= Mặt khác lim
x→+∞
(k2+ 1)x+ 2017
x+ 2018 =k
2 + 1.
⇒ ab
Z
8
dx < lim
x→+∞
(k2+ 1)x+ 2017
x+ 2018 ⇔1< k
2
+ 1⇔k 6=
Chọn đáp án B
Câu 373 Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn Z
0
2x2+ 4x+ 1
√
2x+ dx =
3 Z
1
(au4 +bu2 +c) du, u=√2x+ Tính giá trị S =a+b+c
A S = B S = C S = D S =
Lời giải
Đặt u=√2x+ 1⇒u2 = 2x+ 1⇒x= u
2−1
2 ·
Đổi cận x
u
Khi Z
0
2x2+ 4x+
√
2x+ dx=
3 Z
1
2 Å
u2−1
ã2 +
Å u2−1
2 ã
+
u ·udu=
3 Z
1
(u4+ 2u2 −1) du
⇒
a= b= c=−1
⇒S =a+b+c=
Chọn đáp án D
Câu 374 Cho hình phẳng(H)giới hạn đường congy= ln√x
x, trục hồnh đường thẳngx= e
Khối trịn xoay tạo thành quay(H) quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?
A S = π
2 B S = π
3 C S = π
6 D S =π Lời giải
Hoành độ giao điểm của(H) với trục Ox nghiệm phương trình ln√x
x = ⇔x=
Khi thể tíchV =π
e Z
1
ln2x
x dx=π
e Z
1
ln2xd(lnx) = π· ln
3
x
e
= π 3·
Chọn đáp án B
Câu 375 Cho hàm sốf(x)xác định trênR\{1}thỏa mãnf0(x) =
x−1,f(0) = 2017,f(2) = 2018
Tính S =f(3)−f(−1)
A S = B S = ln C S = ln 4035 D S =
(137)Ta có f(x) =
Z
f0(x) dx=
Z
1
x−1dx= ln|x−1|+C
⇒f(0) =C = 2017 f(2) =C = 2018⇒f(x) =
(
ln|x−1|+ 2017 nếux <1 ln|x−1|+ 2018 nếux >1
⇒
(
f(3) = ln + 2018 f(−1) = ln + 2017
⇒S=f(3)−f(−1) =
Chọn đáp án A
Câu 376 Biết ln có hai số avà b đểF(x) = ax+b
x+ (4a−b6= 0) nguyên hàm hàm sốf(x)
thỏa mãn 2f2(x) = (F(x)−1)f0(x) Khẳng định đầy đủ nhất?
A a = 1, b= B a= 1, b=−1 C a= 1, b∈R\{4} D a∈R, b∈R
Lời giải
Ta có f(x) = F0(x) = 4a−b (x+ 4)2; f
0(x) = −2(4a−b) (x+ 4)3 Thay vào biểu thức, ta có
2f2(x) = (F(x)−1)f0(x)⇔4a−b=−(a−1)x−b+
⇔(a−1)x+ 4(a−1) = (1) (1) với x6=−4 khia= 1, 4a−b6= 0⇒b 6=
Chọn đáp án C
Câu 377 Cho hai hàm số y=f(x)và y=g(x)liên tục đoạn[a;b] vàf(x)≥g(x), ∀x∈[a;b] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đường thẳng x =a, x = b Mệnh đề làsai?
A S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx B S =
b
Z
a
[f(x)−g(x)] dx
C S =
b
Z
a
[g(x)−f(x)] dx D.S =
b
Z
a
f(x)−g(x) dx
Lời giải
Vì f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]nên f(x)−g(x)≥0, ∀x∈[a;b] Vậy S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx=
b
Z
a
f(x)−g(x) dx
=
b
Z
a
[f(x)−g(x)] dx
Chọn đáp án C
Câu 378 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 2x(1 + 3x3)là
A x2(1 + 3x2) +C. B. 2x(x+x3) +C. C. x2(x+x3) +C. D. x2
Å
1 + 6x
3
5 ã
+C
Lời giải
Ta có Z
2x + 3x3
dx=
Z
2x+ 6x4
dx=x2+6x
5
5 +C =x
2
Å
1 + 6x
3
5 ã
+C
Chọn đáp án D
Câu 379 Cho F(x) nguyên hàm hàm số f(x) = ax+ b
x2 (x 6= 0) Biết F(−1) = 1,
F(1) = 4, f(1) = Giá trị củaM = 2a−b
A M =
2 B M = C M =
(138)Lời giải
Ta có Z
f(x) dx=
Z Å
ax+ b x2
ã
dx= ax
2
2 − b x +C
Theo giả thiết, ta có hệ phương trình
F(−1) = F(1) = f(1) =
⇔
a+b+C = a−b+C = a+b =
⇒
a= b=−3
2·
Vậy M = 2a−b = + =
9 2·
Chọn đáp án A
Câu 380 Biết
k
Z
1
lnxdx= + 2k (k >1) Khẳng định khẳng định đúng?
A k ∈(1; 4) B k ∈(6; 9) C k ∈(18; 21) D k ∈(11; 14)
Lời giải
Đặt (
u= lnx dv = dx
⇒
du= xdx v =x
Suy
k
Z
1
lnxdx=xlnx
k
1
− k
Z
1
dx=klnk−x
k
1
=klnk−k+
Theo giả thiết, ta có klnk−k+ = + 2k⇔lnk = 3⇔k = e3 ∈(18; 21)
Chọn đáp án C
Câu 381
Cho đường trịn nội tiếp hình vng cạnh3a (như hình vẽ bên) Gọi
S hình phẳng giới hạn đường trịn hình vng (phần nằm bên ngồi đường trịn bên hình vng) Tính thể tích vật
thể trịn xoay quay S quanh trục M N M N
A V = 9πa
3
2 B V = 9πa3
4 C V = 9πa
3. D. V = 27πa3.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó, đường trịn tâmO, bán kínhR =
2 có phương trình
x2+y2 = 4·
Từ đồ thị suy thể tích khối trịn xoay cần tính
V = 2πa3
Z
0
ï9 4−
Å9 −x
2
ãò
dx= 9πa
3
4 ·
M N x
y
O
−3
2
3
−3
2
Chọn đáp án B
(139)A π
4 +
6 B
π +
1
3 C
π
2 + D π −
1 Lời giải
Phương trình đường trịn (C)là x2+y2 = 2.
Tọa độ giao điểm của(P)và(C)là nghiệm hệ phương trình (
y =x2
x2+y2 = ⇒x
2 = 1⇒x=±1.
Từ đồ thị, diện tích hình phẳng (H)là
S =
1 Z
0
Ä√
2−x2−x2ä dx= π
2 +
x −1
y
O
Chọn đáp án B
Câu 383 Cho hai hàm sốf(x),g(x)liên tục trênR Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?
A Z
[f(x) +g(x)] dx=
Z
f(x) dx+
Z
g(x) dx
B Z
[f(x)·g(x)] dx=
Z
f(x) dx·
Z
g(x) dx
C Z
[f(x)−g(x)] dx=
Z
f(x) dx−
Z
g(x) dx
D Z
kf(x) dx=k
Z
f(x) dx
Lời giải
Ta có Z
(2·x) dx=x2+C, cịn Z
2 dx·
Z
xdx= 2x·x
2
2 +C nên
Z
(2·x) dx6=
Z
2 dx·
Z
xdx
Chọn đáp án B
Câu 384 Tìm hàm sốF(x)biết F(x)là nguyên hàm hàm sốf(x) =√xvàF(1) =
A F(x) = 3x
√
x B F(x) = 3x
√
x+1
3 C F(x) = 2√x+
1
2 D F(x) = 3x
√
x−
3 Lời giải
Xét
Z √
xdx
Đặt t=√x⇒t2 =x và dx= dt Khi đó
Z √
xdx trở thành Z
t·2tdt= 3t
3+C. Như
Z √
xdx= 3x
√
x+C ⇒F(x) = 3x
√
x+C Vì F(1) = nên C =
3
Vậy F(x) = 3x
√
x+
Chọn đáp án B
Câu 385 Cho hàm số y=f(x)liên tục trênR Z
0
xf(x2) dx= Hãy tínhI =
4 Z
0
f(x) dx
A I = B I = C I =
(140)Xét tích phân Z
0
xf(x2) dx= Đặt x2 =t⇒xdx=
2dt
Đổi cận: x= t = ; x= t= Do
2 Z
0
xf(x2) dx= ⇔
2
4 Z
0
f(t) dt= ⇔
4 Z
0
f(t) dt= ⇒
4 Z
0
f(x) dx= hay I =
Chọn đáp án D
Câu 386 Cho F(x) = a
x(lnx+b)là nguyên hàm hàm số f(x) =
1 + lnx
x2 , đóa,b số nguyên Tính S =a+b
A S =−2 B S = C S = D S =
Lời giải
XétI =
Z
f(x) dx=
Z
1 + lnx x2 dx Đặt
u= + lnx dv =
x2 dx
⇒
du= xdx v =−1
x
Khi
I =−1
x(1 + lnx) +
Z
1
x2 dx=−
1
x(1 + lnx)−
x +C=−
x(lnx+ 2) +C ⇒a=−1;b=
Vậy S =a+b =
Chọn đáp án B
Câu 387 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đườngy=x2,y=−1
3x+
3 trục hoành A 11
6 B
61
3 C
343
162 D
39 Lời giải
x y
O
1
Phương trình hồnh độ giao điểm đườngy =x2, y=−1
3x+
x2 =−1
3x+ ⇔3x
2+x−4 = 0⇔
x= x=−4
3
Hoành độ giao điểm đường thẳng y=−1
3x+
3 với trục hoành làx=
Hoành độ giao điểm paraboly=x2 với trục hồnh là x= 0. Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S =
1 Z
0
x2dx+
4 Z
1
Å
−1
3x+
ã
dx= x
3
3
0
+ Å
−1
6x
2
+4 3x
ã
1
= 11
Chọn đáp án A
(141)t(s) v(m)
O 50
10
Biết sau 10 s xe đạt đến vận tốc cao 50m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét?
A 1000
3 m B
1100
3 m C
1400
3 m D 300 m Lời giải
Quãng đường xe diện tích hình phẳng giới hạn Parabol trục Ox Gọi (P) :y=ax2+bx+c Do(P) qua gốc tọa độ nên c= 0.
Đỉnh(P) làI(10; 50) nên
− b
2a = 10
− ∆
4a = 50
⇔
(
b=−20a b2 =−200a
⇔
b = 10 a=−1
2
Ta có 10 Z
0
Å
−1
2x
2+ 10x
ã
dx= 1000
Vậy quãng đường xe 1000
3 m
Chọn đáp án A
Câu 389
Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị(C):y=f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b (như hình vẽ bên) Giả sử
SD diện tích hình phẳng D Chọn công thức
trong phương án A, B, C, D đây?
A SD =−
0 Z
a
f(x) dx− b
Z
0
f(x) dx
B SD =
0 Z
a
f(x) dx− b
Z
0
f(x) dx
C SD =−
0 Z
a
f(x) dx+
b
Z
0
f(x) dx
D SD =−
0 Z
a
f(x) dx+
b
Z
0
f(x) dx
x y
O
y =f(x)
a
b
(142)Dựa đồ thị ta thấy:
- Đồ thị cắt trục hoành tạiO(0; 0)
- Trên đoạn [a; 0], đồ thị phía trục hoành nên |f(x)|=−f(x) - Trên đoạn [0;b], đồ thị phía trục hồnh nên |f(x)|=f(x) Do đóSD =
b
Z
a
|f(x)|dx=−
0 Z
a
f(x) dx+
b
Z
0
f(x) dx
Chọn đáp án C
Câu 390 Tính nguyên hàm Z
cos 3xdx
A −1
3sin 3x+C B
3sin 3x+C C −3 sin 3x+C D sin 3x+C Lời giải
Z
cos 3xdx=
Z
cos 3xd(3x) =
3sin 3x+C
Chọn đáp án B
Câu 391
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f0(x) R đồ thị hàm số f0(x) cắt trục hồnh điểm a, b, c, d
(hình bên) Chọn khẳng định khẳng định sau
A f(c)> f(a)> f(b)> f(d)
B f(a)> f(c)> f(d)> f(b)
C f(a)> f(b)> f(c)> f(d)
D f(c)> f(a)> f(d)> f(b) x
y
0
S2
S1 S3
a b c d
Lời giải
Từ đồ thị hàm sốf0(x), ta có dấu f0(x)và bảng biến thiên hình bên
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy raf(a)vàf(c)cùng lớn f(b)và f(d)
x y0
y
−∞ a b c d +∞
+ − + − + f(a)
f(a) f(b) f(b)
f(c) f(c)
f(d) f(d)
S1 < S2 ⇒
a
Z
b
f0(x) dx <
c
Z
b
f0(x) dx⇒f(a)−f(b)< f(c)−f(b) ⇒f(a)< f(c)
S2 < S3 ⇒
c
Z
b
f0(x) dx <
c
Z
d
f0(x) dx⇒f(c)−f(b)< f(c)−f(d) ⇒f(b)> f(d) Vậy ta có f(c)> f(a)> f(b)> f(d)
Chọn đáp án A
Câu 392 Giả sử tích phân I =
5 Z
1
1
(143)a+b+c A S =
3 B S =
3 C S =
3 D S = Lời giải
Đặt t= +√3x+ 1⇒3x+ = (t−1)2 ⇒ dx=
3(t−1) dt
Đổi cận x= 1⇒t= 3;x= 5⇒t= Khi
I =
5 Z
3
t−1 t dt =
2
5 Z
3
Å 1−
t ã
dt=
3(t−ln|t|)
=
4 3+
2 3ln 3−
2 3ln
Suy a= 3, b=
2
3, c=−
Vậy S =
Chọn đáp án D
Câu 393 Cho hàm số f(x) thỏa mãn Z
0
(x + 3)f0(x) dx = 15 f(1) = 2, f(0) = Tính
Z
0
f(x) dx
A I =−12 B I =−10 C I = 12 D I = 10
Lời giải
Đặt u=x+ dv =f0(x) dx, ta có du= dx v =f(x) Do
Z
0
(x+ 3)f0(x) dx= (x+ 3)f(x) 0−
1 Z
0
f(x) dx
= 4f(1)−3f(0)−
1 Z
0
f(x) dx
Suy 4·2−3·1−
1 Z
0
f(x) dx= 15
Vậy Z
0
f(x) dx=−10
Chọn đáp án B
Câu 394 Biết Z
2
dx
x2−x = aln +bln +cln 5, với a, b, c số nguyên khác Tính P =
a2+ 2ab+ 3b2−2c.
A B C D
Lời giải
Ta có Z
2
dx x2−x =
5 Z
2
Å x−1−
1 x
ã
dx= (ln|x−1| −ln|x|)
2
= ln 4−ln + ln
Suy a= 1, b = 1, c=−1.Vậy P =
Chọn đáp án D
(144)A S = ln −
1
2 B S =
ln + C S =
ln + D S = 47 50 Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường ta có:
2x=−x+ 3⇔x= 1;2x = 1⇔x= 0;−x+ = 1⇔x= 2.
Diện tích cần tìm
S =
1 Z
0
(2x−1) dx+
2 Z
1
(−x+ 3−1) dx= ln −
1 2·
x
1
y
2
O
y= 2x
y=−x+
y=
Chọn đáp án A
Câu 396 Cho hàm số f(x) liên tục R có Z
0
f(x) dx = 2; Z
0
f(x) dx = Tính I =
1 Z
−1
f(|2x−1|) dx
A I = B I = C I =
3 D I = Lời giải
I =
1 Z
−1
f(|2x−1|) dx=
1 Z
−1
f(1−2x) dx+
1 Z
1
f(2x−1) dx
=−1
2
1 Z
−1
f(1−2x)d(1−2x) +
1 Z
1
f(2x−1)d(2x−1)
=−1
2
0 Z
3
f(t) dt+
1 Z
0
f(t) dt=−1
2
0 Z
3
f(x) dx+1
1 Z
0
f(x) dx= ·6 +
1
2·2 =
Chọn đáp án B
Câu 397 Cho tích phân
π
2 Z
π
3
sinx
cosx+ 2dx=aln 5+bln 2vớia, b∈Z Mệnh đề sau đúng? A 2a+b = B a−2b = C 2a−b= D a+ 2b =
Lời giải
Đặt t= cosx+ ⇒ dt=−sinxdx
x= π
3 ⇒t= 2, x= π
2 ⇒t =
I =
5 Z
2
1
t dt= lnt
2
= ln 5−2 ln
(145)Chọn đáp án A
Câu 398 Nguyên hàm I =
Z
2x2−7x+ x−3 dx
A I =x2−x+ ln|x−3|+C. B. I =x2−x−2 ln|x−3|+C.
C I = 2x2−x+ ln|x−3|+C. D.I = 2x2−x−2 ln|x−3|+C.
Lời giải I =
Z 2x2−7x+ 5
x−3 dx=
Z Å
2x−1 + x−3
ã
dx=x2−x+ ln|x−3|+C
Chọn đáp án A
Câu 399 Nguyên hàm hàm số f(x) = x−sin 6x
A Z
f(x) dx= x
2
2 −
cos 6x
6 +C B
Z
f(x) dx= x
2
2 − sin 6x
6 +C C
Z
f(x) dx= x
2
2 +
cos 6x
6 +C D
Z
f(x) dx= x
2
2 + sin 6x
6 +C Lời giải
Z
(x−sin 6x) dx= x
2
2 +
cos 6x +C
Chọn đáp án C
Câu 400 Cho hai tích phân Z
−2
f(x) dx=
−2 Z
5
g(x) dx= Tính Z
−2
[f(x)−4g(x)−1] dx
A I =−11 B I = 13 C I = 27 D I =
Lời giải
5 Z
−2
[f(x)−4g(x)−1] dx=
5 Z
−2
f(x) dx+ −2 Z
5
g(x) dx−
5 Z
−2
dx
= + 4·3−[5−(−2)] = 13
Chọn đáp án B
Câu 401 Tính tích phân
π
Z
0
x2cos 2xdx cách đặt (
u=x2
dv= cos 2xdx Mệnh đề
đúng?
A I = 2x
2
sin 2x
π
0
− π
Z
0
xsin 2xdx B I = 2x
2
sin 2x
π
0
−2
π
Z
0
xsin 2xdx
C I = 2x
2sin 2x
π
0
+
π
Z
0
xsin 2xdx D.I = 2x
2sin 2x
π
0
+
π
Z
0
xsin 2xdx
Lời giải
Ta có (
u=x2
dv= cos 2xdx ⇒
du= 2x v =
2sin 2x
Áp dụng cơng thức ta cóI = 2x
2sin 2x
π
0
− π
Z
0
xsin 2xdx
(146)Câu 402 Cho tích phân I =
π
2 Z
0
x2+ (2x+ cosx) cosx+ 1−sinx
x+ cosx dx = aπ
2+b−ln c
π, với a, b, c
là số hữu tỉ Giá trị biểu thứcP =ac3 +b là
A B
4 C
3
2 D
Lời giải
I =
π
2 Z
0
x2+ (2x+ cosx) cosx+ 1−sinx x+ cosx dx
=
π
2 Z
0
(x+ cosx)2+ 1−sinx
x+ cosx dx
=
π
2 Z
0
(x+ cosx) dx+
π
2 Z
0
1−sinx x+ cosxdx
=
π
2 Z
0
(x+ cosx) dx+
π
2 Z
0
d(x+ cosx) x+ cosx
= Åx2
2 + sinx ã
π
2
+ ln|x+ cosx|
π
2
= π
2
8 + + ln π =
8π
2 + 1−ln2
π
Suy a=
8; b= 1;c=
Vậy P =
Chọn đáp án D
Câu 403 Cho hàm sốf(x)có đạo hàm R thỏa f0(x)−2018f(x) = 2018·x2017·e2018x với mọi
x∈Rvà f(0) = 2018 Giá trị f(1)
A 2019e2018. B. 2018e−2018. C. 2018e2018. D. 2017e2018.
Lời giải
Theo đề bài, ta có
f0(x)−2018·f(x) = 2018·x2017·e2018x
⇔e−2018x·f0(x)−2018·e−2018x·f(x) = 2018·x2017
⇔
e−2018x·f0(x) = 2018·x2017
⇔e−2018x·f(x) +C =
Z
2018x2017dx
⇔e−2018x·f(x) +C =x2018
Thay x= ta f(0) +C = ⇔2018 +C = 0⇔C =−2018
(147)Thay x= ta
e−2018·f(1)−2018 = 1⇔ f(1)
e2018 = 2019⇔f(1) = 2019e 2018.
Chọn đáp án A
Câu 404 Cho hàm số y =f(x) liên tục [a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy =f(x), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b (a < b)
A S =
a
Z
b
|f(x)| dx B S =
b
Z
a
f(x) dx C S =
b
Z
a
|f(x)| dx D S =
a
Z
b
f(x) dx
Lời giải
Diện tích hình phẳng cần tìm S=
b
Z
a
|f(x)| dx
Chọn đáp án C
Câu 405 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = x3+ 2x
A x
4 −x
2+C. B. x
4
4 +x
2+C. C. x
4
4 +C D x
2+C.
Lời giải
Ta có Z
f(x) dx=
Z
x3+ 2x
dx= x
4
4 +x
2+C.
Chọn đáp án B
Câu 406 Tính tích phân I =
1 Z
0
dx x+
A ln B C D ln3
2 Lời giải
I =
1 Z
0
dx
x+ = ln|x+ 1|
0 = ln
Chọn đáp án A
Câu 407
Một vật chuyển động trong4giờ với vận tốcv (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị hình vẽ Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật 4giờ
A 28,5 (km) B 27 (km) C 24 (km) D 26,5 (km)
t v
9
0 Lời giải
Giả sử phương trình parabol có dạng y=ax2+bx+c(a6= 0) Vì parabol qua O(0; 0) nên c=
Do tọa độ đỉnh I(2; 9) nên
− b
2a = 4a+ 2b=
⇒
a=−9
4 b=
⇒v(t) = −9
4t
(148)Quãng đường vật chuyển động trong3 đầu Z
0
Å
−9
4t
2+ 9t
ã
dt= 81 (km)
Vận tốc vật thời điểmt = làv(3) = 27
4 ⇒ quãng đường vật 1giờ cuối 27
4
(km)
Vậy quãng đường vật trong4 81
4 + 27
4 = 27 (km)
Chọn đáp án B
Câu 408 Cho Z
1
ln(9−x2) dx=aln +bln +c (với a, b, c∈Z) Tính S =|a|+|b|+|c|
A S = 34 B S = 13 C S = 18 D S = 26
Lời giải
Có Z
1
ln(9−x2) dx=xln(9−x2)
−
2 Z
1
2x2
x2 −9dx= ln 5−3 ln 2−2 Z
1
dx−3
2 Z
1
Å 1 x−3 −
1 x+
ã dx
= ln 5−3 ln 2−2−3 ln
x−3 x+
= ln 5−6 ln 2−2⇒S = 13
Chọn đáp án B
Câu 409 Cho hàm số f(x) xác định R\ {−1} thỏa mãn f0(x) =
x+ f(0) = 2018 Giá
trị biểu thứcf(3)−f(1)
A ln B ln C ln D ln
Lời giải f(x) =
Z
1
x+ 1dx = ln|x+ 1|+C Vì f(0) = 2018 nên C = 2018 ⇒ f(x) = ln|x+ 1|+ 2018 ⇒ f(3)−f(1) = ln 4−ln = ln
Chọn đáp án A
Câu 410 Cho hàm số f(x) = a
(x+ 1)3 +bxe
x Tìm a và b biết rằng f0(0) =−22 và
1 Z
0
f(x) dx=
A a =−2, b=−8 B a= 2, b= C a= 8, b= D a=−8, b =−2
Lời giải
Ta có f0(x) =− 3a
(x+ 1)4 +b(x+ 1)e
x, suy ra −3a+b =f0(0) =−22 Lại có
5 =
1 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
ï a
(x+ 1)3 +bxe
x
ò dx=
ï
− a
2(x+ 1)2 +b(x−1)e
x
ò
0
= 3a +b
nên ta có hệ phương trình
−3a+b=−22
3a
8 +b =
⇒
(
a= b =
Chọn đáp án C
Câu 411 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = 3√x+x
A Z
3√x+x dx=x√x+x
2
2 +C B
Z
3√x+x dx= 2x
√
x+x
2
(149)C Z
3√x+x dx= 2x√x+x
2
2 +C D
Z
3√x+x dx= 3x
√
x+x
2
2 +C Lời giải
Z
3√x+x dx=
Z Å 3x
1 +x
ã
dx= 2x
3 + x
2
2 +C = 2x
√
x+ x
2
2 +C
Chọn đáp án C
Câu 412 Cho hàm số f(x)liên tục đoạn [−2; 2]và hàm số chẵn Biết Z
0
f(2x) dx= Tính
I =
2 Z
−2
f(x) dx
A I = 16 B I = C I = D I =
Lời giải
Đặt t= 2x⇒ dt= dx, với x= ⇒t= x= ⇒t= Ta có
1 Z
0
f(2x) dx=
2 Z
0
f(t) dt⇔
2 Z
0
f(t) dt = 2×4 =
Vì f(x) hàm chẵn [−2; 2] nên I =
2 Z
−2
f(x) dx=
2 Z
0
f(x) dx=
2 Z
0
f(t) dt = 2×8 = 16
Chọn đáp án A
Câu 413 Cho hình (H) hình phẳng giới hạn đường y=√x+ 1, y = 1−x trục Ox Diện tích S hình (H)bằng bao nhiêu?
A S =
3 B S =
6 C S =
2 D S = Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
√
x+ = 1−x
⇔
(
x+ = 1−2x+x2 x≤1
⇔
(
x2−3x= x≤1
⇔x=
Đồ thị y=√x+ cắt Ox điểmx=−1và đồ thị y= 1−x
cắt Ox x= Vậy S =
0 Z
−1
√
x+ dx+
1 Z
0
(1−x) dx
= +
1 =
6
x y
O
−1
y=√x+
y= 1−x
(150)Câu 414 Cho hàm số y = f(x) liên tục [a;b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x= b(a < b) Diện tích hình D tính theo cơng thức
A S =
b
Z
a
|f(x)|dx B S =
b
Z
a
f|x|dx C S =
b
Z
a
f(x) dx
D S =
b
Z
a
f(x) dx
Lời giải
Ta có S =
b
Z
a
|f(x)|dx
Chọn đáp án A
Câu 415 Tích phân Z
0
2x+
x+ dx A 4−5 ln3
5 B 4−5 log
3 C + ln
3 D 4−5 ln Lời giải
Ta có Z
0
2x+ x+ dx=
2 Z
0
Å
2−
x+ ã
dx= (2x−5 ln|x+ 3|)
0
= 4−5 ln
Chọn đáp án D
Câu 416 Cho đường trịn (C) có phương trình x2 +y2 = 5, đường thẳng d có phương trình
y= Biết dcắt (C)tại hai điểm phân biệt A, B Gọi(H)là hình phẳng giới hạn bởidvà cung nhỏ
AB (C) Quay hình (H) xung quanh đường thẳng d ta khối trịn xoay tích V Giá trị V gần với số sau đây?
A 46,1 B 12,4 C 11,3 D 33,5
Lời giải
Tọa độ giao điểm d (C)là nghiệm hệ (
y= x2+y2 =
⇔
(
x2 = y=
⇔
(
x=−2 y=
(
x= y=
Vậy giao điểm làA(−2; 1) B(2; 1)
Phương trình nửa đường trịn phía trụcOx lày =√5−x2. Gọi I giao điểm d Oy, suy I(0; 1) Tịnh tiến hệ trục tọa
x y
d
O
−2
B A
độ theo OI# » = (0; 1) thành hệ trục XIY với (
x−0 = X y−1 =Y
⇔
(
x=X y =Y +
, trục IX nằm trùng với đường thẳngd Khi hình phẳng quay quanh trục IX
Đối với hệ trục XIY phương trình nửa đường trịn Y = √5−X2 −1 Do đó, thể tích khối trịn xoay V =π
2 Z
−2
Ä√
5−X2−1ä2 dX = 44π
3 −10 arcsin
√
5 ≈11,295
Chọn đáp án C
Câu 417 Cho hàm sốf(x)có đạo hàm khơng âm đoạn [0; 1]thỏa (f(x))4·(f0(x))2·(x2+ 1) =
(151)A 2< f(1) <
2 B
2 < f(1)<3 C
2 < f(1)<2 D 3< f(1)< Lời giải
Ta có: (f(x))4·(f0(x))2·(x2+ 1) = + (f(x))3
⇔(f(x))2·f0(x)·√x2+ = »1 + (f(x))3
⇔ √
x2+ 1 =
(f(x))2·f0(x) »
1 + (f(x))3
⇔
1 Z
0
1
√
x2+ 1dx=
2
1 Z
0
dÄ1 + (f(x))3ä 2»1 + (f(x))3
⇔lnÄx+√x2+ 1ä
0
= ×
»
1 + (f(x))3
0
⇔lnÄ1 +√2ä = ×
»
1 + (f(1))3−3
⇔f(1)≈2,605
Chọn đáp án B
Câu 418 Hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b], gọi S diện tích hình giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), trục hồnh hai đường thẳng x=a; x=b Khi đó:
A S =
b
Z
a
|f(x)|dx B S =
a
Z
b
|f(x)|dx C S =
a
Z
b
f(x) dx D S =
b
Z
a
f(x) dx
Lời giải
Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng tích phânS =
b
Z
a
|f(x)|dx
Chọn đáp án A
Câu 419 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = e12x.
A Z
f(x) dx= 2e12x+C. B. Z
f(x) dx= 2e
1 2x+C.
C Z
f(x) dx= e12x+C. D. Z
f(x) dx= 3e
1 2x+C.
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm Z
e12xdx= 2e
2x+C.
Chọn đáp án A
Câu 420 Cho Z
1
f(x) dx= −4, Z
1
f(x) dx = 6, Z
2
g(x) dx = Tích phân Z
2
[4f(x)−g(x)] dx có giá trị
A 12 B C 48 D 32
Lời giải
Ta có Z
1
f(x) dx+
5 Z
2
f(x) dx=
5 Z
1
f(x) dx
Suy Z
2
f(x) dx=
5 Z
1
f(x) dx−
2 Z
1
(152)Do Z
2
[4f(x)−g(x)] dx=
5 Z
2
f(x) dx−
5 Z
2
g(x) dx= 4·10−8 = 32
Chọn đáp án D
Câu 421 Giả sử tích phân I =
5 Z
1
1
1 +√3x+ 1dx=a+bln +cln Lúc A a+b+c=
3 B a+b+c=
3 C a+b+c=
3 D a+b+c= Lời giải
Đặt t=√3x+ ⇒t2 = 3x+ 1 ⇒2tdt= dx⇒ dx= 2t
3 dt
Đổi cận "
x= ⇒t= x= ⇒t= I =
3
4 Z
2
t
1 +tdt=
4 Z
2
Å
1−
t+ ã
dt=
3(t−ln|t+ 1|)
2
= 3+
2 3ln 3−
2 3ln
Vậy a= 3; b=
2
3; c=−
3 suy a+b+c= +
2 −
2 =
4
Chọn đáp án A
Câu 422
Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn < a < b < c < d hàm số
y=f(x) Biết hàm số y=f0(x) có đồ thị hình vẽ Gọi M m
lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y =f(x)
trên đoạn [0;d] Khẳng định sau khẳng định đúng?
A M +m=f(0) +f(c) B M +m =f(d) +f(c)
C M +m=f(b) +f(a) D M +m =f(0) +f(a)
O x
y
a b c d
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số f0(x) ta có bảng biến thiên cho hàmf(x) x
f0(x)
f(x)
0 a b c d
− + − +
Dưạ vào BBT ta có M ∈ {f(0), f(b), f(d)} m∈ {f(a), f(c)}
Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn (H1) :
x= 0, x=a y=
y=f0(x)
Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn (H2) :
x=a, x=b y= y=f0(x)
(153)Gọi S3 diện tích hình phẳng giới hạn (H3) :
x=b, x =c y= y=f0(x)
Gọi S4 diện tích hình phẳng giới hạn (H4) :
x=c, x =d y= y=f0(x)
Ta có
S1 =
a
Z
0
|f0(x)|dx=−f(x)
a
0 =f(0)−f(a), S2 =
b
Z
a
|f0(x)|dx=f(x)
b
a =f(b)−f(a)
Dễ dàng thấy S1 > S2 nên f(0)−f(a)> f(b)−f(a)⇒f(0)> f(b) Ta có
S3 =
c
Z
b
|f0(x)|dx=−f(x)
c
b =f(b)−f(c) S4 = d
Z
c
|f0(x)|dx=f(x)
d
c =f(d)−f(c)
Do S3 > S4 nên f(b)> f(d) Từ suy f(0) > f(b)> f(d) M =f(0) Mặt khác S3 > S2 nên f(a)> f(c) hay m=f(c)
Vậy M +m =f(0) +f(c)
Chọn đáp án A
Câu 423
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f0(x) cắt trụcOxtại ba điểm có hồnh độa < b < c hình vẽ Xét mệnh đề sau:
(1): f(c)< f(a)< f(b)
(2): f(c)> f(b)> f(a)
(3): f(a)> f(b)> f(c)
(4): f(a)> f(b)
Trong mệnh đề có mệnh đề đúng?
O
x y
a b c
A B C D
Lời giải
Từ đồ thị hàm sốy =f0(x)ta có bảng biến thiên sau
x y0 y
−∞ a b c +∞
+ − + −
f(a) f(a)
f(b) f(b)
f(c) f(c)
Từ ta thấy mệnh đề (4)
(154)diện tích hình phẳng giới hạn đường y=f0(x), trục Ox, x=b, x =c Do
b
Z
a
(−f0(x)) dx <
c
Z
b
f0(x) dx⇔ −f(x)
b
a
< f(x)
c
b
⇔ −(f(b)−f(a))< f(c)−f(b)⇔f(a)< f(c).Mà f(a)> f(b)⇒f(a)> f(b)> f(c), hay mệnh đề (3)
Chọn đáp án C
Câu 424 Cho Z
−1
f(x) dx= Tính I =
2 Z
−1
f(2x+ 1) dx
A I = B I =
2 C I = D I = Lời giải
Đặt 2x+ =t ⇒ dx= 2dt
Với x=−1⇒t =−1
Với x= 2⇒t =
Suy I =
2 Z
−1
f(2x+ 1) dx=
5 Z
−1
f(t)·
2dt=
5 Z
−1
f(x) dx=
Chọn đáp án A
Câu 425 Cho bốn mệnh đề sau I)
Z
cos2xdx= cos
3x
3 +C
II) Z
2x+
x2+x+ 2018dx= ln(x
2+x+ 2018) +C. III)
Z
3x 2x+ 3−x
dx=
x
ln +x+C
IV) Z
3xdx= 3x·ln +C
Trong mệnh đề có mệnh đề sai?
A B C D
Lời giải
Ta xét mệnh đề cho Mệnh đề(I) sai
Z
cos2xdx=
Z
1 + cos 2x dx=
1
Å
x+sin 2x
ã +C
Mệnh đề(II) Z
2x+
x2+x+ 2018dx= Z
d(x2+x+ 2018)
x2+x+ 2018 = ln(x
2+x+ 2018) +C. Mệnh đề(III)đúng
Z
3x 2x+ 3−x
dx=
Z
(6x+ 1) dx=
x
ln +x+C
Mệnh đề(IV) sai Z
3xdx=
x
ln +C
Vậy có2 mệnh đề
Chọn đáp án C
Câu 426 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = √2 + cosx, trục hoành đường thẳngx= 0, x= π
2 Khối tròn xoay tạo thành quayD quanh trục hồnh tíchV bao
nhiêu?
A V =π−1 B V =π+ C V =π(π−1) D V =π(π+ 1)
Lời giải
(155)V =π π
Z
0
(2 + cosx) dx= (2x+ sinx)
π
0 =π(π+ 1)
Chọn đáp án D
Câu 427 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = sin 3x A
Z
sin 3xdx=−cos 3x
3 +C B
Z
sin 3xdx= cos 3x +C C
Z
sin 3xdx=−sin 3x
3 +C D
Z
sin 3xdx=−cos 3x+C
Lời giải
Áp dụng công thức Z
sinkxdx=−coskx
k +C
Chọn đáp án A
Câu 428 Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] f(x) > 0, ∀x ∈ [a;b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy=f(x), trục hoành hai đường thẳngx=a,x=b(a < b) Thể tích vật thể trịn xoay quayD quanh Ox tính theo cơng thức
A S =
Z b a
[f(x)]2 dx B S =π
Z b a
[f(x)]2 dx
C S =
Z b
a
f(x2) dx D.S =π
Z b
a
f(x2) dx
Lời giải
Thể tích vật thể trịn xoay quayDquanh Oxđược tính theo cơng thứcS =π
Z b
a
[f(x)]2 dx
Chọn đáp án B
Câu 429 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 2√x+ 3x
A
3x
√
x+3x
2
2 +C B 2x
√
x+3x
2
2 +C C 2x
√
x+ 3x
2
2 +C D 4x
√
x+3x
2
2 +C Lời giải
Đặt √x=t ⇒x=t2 ⇒dx= 2tdt Ta Z
2t+ 3t22tdt =
Z
4t2+ 6t3 dt= 3t
3+
2t
4+C =
3x
√
x+ 3x
2
2 +C
Chọn đáp án A
Câu 430 Biết e Z
1
xlnxdx=ae2+b với a, b∈Q Tính T =a+b
A T =
4 B T = C T =
2 D T = 10 Lời giải
e Z
1
xlnxdx=
e Z
1
lnxdx2 =
Ñ
x2lnx e 1−
e Z
1
xdx é
=
Å e2−1
2x
2 e
ã =
4e
2+1
4 Vậy T =
Chọn đáp án C
Câu 431 Cho hình (H)là hình phẳng giới hạn hai đồ thị hai hàm số y=x2 vày =x+ Tính diện tíchS hình (H)
A S =
2 B S =−
2 C S =
(156)Xét phương trình x2 =x+ 2 ⇔ "
x=−1 x=
Vậy S =
2 Z
−1
|x2−x−2|dx=−
2 Z
−1
(x2−x−2) dx=−
Å 3x
3−
2x
2−2x
ã
−1 =
9
Chọn đáp án C
Câu 432
Cho hàm sốy =f(x)có đồ thịy=f0(x)cắt trục Oxtại ba điểm có hồnh độ
a < b < c hình vẽ Mệnh đề đúng?
A f(a)> f(b)> f(c)
B f(c)> f(a)> f(b)
C f(b)> f(a)> f(c)
D f(c)> f(b)> f(a) x
y
0
c b a
Lời giải
Gọi S1 diện tích hàm số y = f0(x) trục Ox đoạn [a;b] S2 diện tích hàm sốy=f0(x)và trục Ox đoạn [b;c] Ta có
S1 =−
b
Z
a
f0(x) dx=f(a)−f(b) S2 =
c
Z
b
f0(x) dx=f(c)−f(b) Từ đồ thị ta có S2 > S1 >0⇒f(c)> f(a)> f(b)
x y
0
c b a
Chọn đáp án B
Câu 433 Cho hàm số f(x) liên tục R hàm số chẵn, biết Z
−1
f(x)
1 + ex dx = Tính
1 Z
−1
f(x) dx
A
2 B C D
Lời giải
Ta có Z
−1
f(x) + ex dx=
0 Z
−1
f(x) + ex dx+
1 Z
0
f(x) + ex dx
Đặt I =
0 Z
−1
f(x) + ex dx
Đặt x=−t ⇒ dx=−dt Với x=−1⇒t= 1;x= 0⇒t= I =−
0 Z
1
f(−t) + e−tdt=
1 Z
0
etf(t)
1 + et dt =
1 Z
0
exf(x)
(157)1 Z
−1
f(x) + exdx=
0 Z
−1
f(x) + exdx+
1 Z
0
etf(x)
1 + ex dx=
1 Z
0
(ex+ 1)f(x)
1 + ex dx=
1 Z
0
f(x) dx ⇒
1 Z
0
f(x) dx=
Vậy Z
−1
f(x) dx=
0 Z
−1
f(x) dx+
1 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
f(x) dx=
Chọn đáp án D
Câu 434 Cho hàm số f(x)có đạo hàm khơng âm [0; 1] thỏa mãn [f(x)]4·[f0(x)]2·(x2+ 1) =
1 + [f(x)]3 và f(x)>0, ∀x ∈[0; 1] biết f(0) = 2 Hãy chọn khẳng định khẳng định sau
A 3< f(1) <
2 B
2 < f(1)<3 C
2 < f(1)<2 D 2< f(1)< Lời giải
Ta có
[f(x)]4 ·[f0(x)]2· x2+ = + [f(x)]3 ⇒ [f(x)]2·f0(x)·√x2+ =»1 + [f(x)]3
⇒ 3·[f(x)]
2·f0(x) 2p1 + [f(x)]3 =
3 2√x2+ 1
⇒ h»1 + [f(x)]3i
0
=
2√x2+ 1
⇒
Z
h»
1 + [f(x)]3i
0
dx=
Z
1
√
x2+ 1dx
Màf(0) = nên ta p1 + [f(1)]3−3 =
2ln Ä
1 +√2ä⇒f(1)≈2,6
Chọn đáp án B
Câu 435
Một quạ khát nước, tìm thấy lọ có nước cổ lọ lại cao khơng thò mỏ uống nên gắp viên bi (hình cầu) bỏ vào lọ để nước dâng lên Hỏi quạ cần bỏ vào lọ viên bi để uống nước? Biết viên bi có bán kính
4 (đvđd) khơng thấm nước,
cái lọ có hình dáng khối tròn xoay với đường sinh
2
đồ thị hàm bậc 3, mực nước ban đầu lọ vị trí mà mặt thống tạo thành hình trịn có bán kính lớn R= 3, mực nước mà quạ uống vị trí mà hình trịn có bán kính nhỏ r= khoảng cách hai mặt bằng2, minh họa hình vẽ
A 15 B 16 C 17 D 18
(158)Đặt bình vào hệ trục Oxy cho O trùng với tâm đường tròn lớn, Oxtrùng với trục bình, qua tâm hai đường trịn lớn bé
Khi đường sinh bình đồ thị hàm bậc ba có hai điểm cực trị A(3; 0) B(2; 1)
Gọi hàm bậc ba y=ax3+bx2+cx+d ta có hệ
y0(0) = y0(2) = y(0) = y(2) =
⇔
c= d= 3a+b = 4a+ 2b=−1
⇔(a;b;c;d) = Å
1 2;−
3 2; 0;
ã
O x
y
Từ thể tích phần bình từ đường tròn lớn lên đường tròn nhỏ
V1 =π Z
0
Å 2x
3−3
2x
2+ 3
ã2
dx= 314π 35
Thể tích viên bi V2 =
4 3π
Å
ã3 = 9π
16 Ta có V1
V2
= 5024
315 ≈15,95
Do số viên bi cần phải thả vào lọ là16 viên
Chọn đáp án B
Câu 436 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = cosx
A Z
cosxdx= sinx+C B Z
cosxdx=−sinx+C
C Z
cosxdx= sin 2x+C D Z
cosxdx=−1
2sinx+C Lời giải
Ta có Z
cosxdx= sinx+C
Chọn đáp án A
Câu 437 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y =√x, trục Ox hai đường thẳngx= 1;x= quay quanh trục hoành tính cơng thức nào?
A V =π
4 Z
1
xdx B V =
4 Z
1
√
x dx C V =π2 Z
1
xdx D V =π
4 Z
1
√
xdx
Lời giải
Thể tích V =π
4 Z
1
xdx
Chọn đáp án A
Câu 438 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = 5x+ 1.
A
x
ln +x+C B
xln +x+C. C. 5xlnx+x+C. D. 5x+x+C.
Lời giải
Ta có Z
(5x+ 1) dx=
x
lnx +x+C
Chọn đáp án A
Câu 439 Cho F(x)là nguyên hàm hàm f(x) =
(159)A F(2) =
2ln + B F(2) =
2ln 3−2 C F(2) = ln + D F(2) = ln 3−2 Lời giải
Ta có Z
1
2x−1dx=
2ln|2x−1|+C Mà F(1) = 2⇔C = Vậy F(2) =
2ln +
Chọn đáp án A
Câu 440 Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Oxhình phẳng giới hạn hai đồ thịy =x2−4x+ 6 và y=−x2−2x+ 6.
A 3π B π−1 C π D 2π
Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
x2−4x+ =−x2−2x+ 6⇔2x2−2x= 0⇔
"
x= x=
Thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = x2−4x+ 6, y =−x2−2x+ là:
V =π
1 Z
0 x
2−4x+ 62− −x2 −2x+ 62
dx=π
1 Z
0
36x2−12x3−24x
dx
= 3π
Chọn đáp án A
Câu 441 Cho I =
Z e
lnx
x(lnx+ 2)2 dx có kết dạng I = lna+b (với a >0, b ∈R) Khẳng định sau đúng:
A 2ab=−1 B 2ab= C −b+ ln 2a =−
1
3 D −b+ ln 2a =
1 Lời giải
Đặt t= lnx⇒ dt= dx
x Khi đó:
I =
1 Z
0
tdt (t+ 2)2 =
1 Z
0
Å 1 t+ −
2 (t+ 2)2
ã dt=
Å
ln|t+ 2|+ t+
ã
0
= ln3 −
1
Vậy lna+b = ln3 2−
1
3 ⇔ −b+ ln 2a =
1
Lưu ý.Với toán này, đọc đề khơng kĩ dễ rơi vào phương án nhiễu số a, bở khơng Nhiều em học sinh sau giải đượcI = ln3
2−
3 = lna+b (∗)
đã vội vàng kết luậna=
2, b =−
3, đó2ab=−1 rơi vào phương án nhiễu đề Dễ thấy a=
2e, b=
3 thỏa mãn (∗)nhưng 2ab6=−1
Chọn đáp án D
Câu 442 Giả sử Z
(2x+ 3) dx
x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + = −
g(x) +C (C số) Tính tổng
nghiệm phương trình g(x) =
A −1 B C D −3
Lời giải
Ta có
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = x2+ 3x
x2+ 3x+
+1 = x2 + 3x2+2 x2+ 3x
(160)Do
Z
(2x+ 3) dx
x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + =
Z
(x2+ 3x+ 1)0 dx (x2+ 3x+ 1)2 =−
1
x2+ 3x+ 1 +C
Vậy
g(x) =
1 x2+ 3x+ 1
Suy g(x) =x2+ 3x+ 1 Do đó g(x) = 0⇔x2+ 3x+ = 0.
Vậy theo định lí Viet, tổng nghiệm phương trình g(x) = là−3
Chọn đáp án D
Câu 443 Giá trị I =
9
3 √
4 Z
1
3 √
6
x2sin πx3
ecos(πx3) dx gần số số sau đây:
A 0,046 B 0,036 C 0,037 D 0,038
Lời giải
Xét tích phân I =
9
3 √
4 Z
1
3 √
6
x2sin πx3
ecos(πx3) dx Đặt t= cos (πx3)⇒dt=−3πx2sin (πx3) dx.
Đổi cận: x= √31
6 ⇒t=
√
3 ; x=
9
√
4 ⇒t = cos 729π
4 = cos
π
4 + 182π
=
√
2
Vậy I =−
3π √
2 Z
√
3
etdt =−
3πe
t
√
2
√
3
= e √
3 −e
√
2
3π ≈0,037
Chọn đáp án C
Câu 444 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2+ 2x+ 5 là
A F(x) =x3+x2+ 5. B. F(x) = x3+x+C.
C F(x) =x3+x2+ 5x+C. D.F(x) = x3+x2+C.
Lời giải
Rõ ràng nguyên hàm f(x) = 3x2+ 2x+ 5 là F(x) = x3+x2+ 5x+C.
Chọn đáp án C
Câu 445 Tích phânI =
1 Z
0
(2x−1)dx có giá trị
A B C D
Lời giải I =
1 Z
0
(2x−1)dx= x2−x
=
Chọn đáp án D
Câu 446 Cho hàm số y = f(x) liên tục R thỏa mãn f(4−x) = f(x) ∀x ∈ R Biết
Z
1
xf(x)dx= 5, tính I =
3 Z
1
f(x)dx
A I =
2 B I =
2 C I =
2 D I = 11
(161)Lời giải
Trong tích phân Z
1
xf(x)dx,đặtx= 4−t,ta được5 =
1 Z
3
(4−t)f(4−t)d(4−t) =
3 Z
1
(4−t)f(t)dt=
4
2 Z
1
f(t)dt−
3 Z
1
tf(t)dt Suy Z
1
f(x)dx=
3 Z
1
f(t)dt =
Chọn đáp án A
Câu 447 Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x= a, x =b Thể tích V khối tròn xoay thu quayD quanh trục hồnh tính theo cơng thức
A V =π
b
Z
a
f2(x)dx B V =π2
b
Z
a
f2(x)dx C V =π2
b
Z
a
f(x)dx D V = 2π
b
Z
a
f2(x)dx
Lời giải
Chọn đáp án A
Câu 448 Cho parabol (P) :y=x2+ 2và hai tiếp tuyến của(P)tại điểm M(−1; 3)vàN(2; 6) Diện tích hình phẳng giới hạn (P) hai tiếp tuyến
A
4 B
13
4 C
7
4 D
21 Lời giải
Phương trình tiếp tuyến (P) N(2; 6) (d1) : y =
4x−2
Phương trình tiếp tuyến của(P)tại M(−1; 3)là(d2) :y =
−2x+
(d1) cắt (d2) điểm
Å 2;
ã
Ta có diện tích
S =
Z
−1
(x2+ + 2x−1)dx+
2 Z
1
(x2+ 2−4x+ 2)dx=
x y
O
(P) :y=x2+ (d1) :y= 4x−2
(d2) :y =−2x+
−1
2
Chọn đáp án C
Câu 449 Biết Z
1
ln(x+ 1) dx = aln +bln +c, với a, b, c số nguyên Tính S = a+b+c
A S = B S = C S = D S =−2
Lời giải
Đặt
u= ln(x+ 1) dv = dx
ta có
du= x+ dx v =x+
từ suy Z
1
ln(x+ 1) dx= (x+ 1) ln(x+ 1) 1−
2 Z
1
dx= ln 3−2 ln 2−1 Vậy a+b+c=
(162)Câu 450 Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm Biết 1000cm3 dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20.000đ Hỏi từ dưa hấu thu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể
A 183.000đ B 180.000đ C 185.000đ D 190.000đ
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình Elip x
2
142+
y2
Å 25
2
ã2 = Suy phương trình nửa đường
Elip nằm phía trục hồnh lày = 25 28
√
196−x2. Thể tích dưa hấu
V =π
14 Z
−14
Å 25 28
√
196−x2
ã2
dx= 9162cm3
Vậy từ dưa hấu thu số tiền là20.000·
9.162 = 183.000đ
O x
y
14
−14
25
−25
2
Chọn đáp án A
Câu 451 Cho hàm số y = f(x) xác định R \
ß1
™
thỏa mãn f0(x) =
3x−1, f(0) = 1, f
Å
ã
= Giá trị biểu thức f(−1) +f(3)
A ln + B ln 2−2 C ln + D ln +
Lời giải
Ta có Z
3
3x−1dx= ln|3x−1|+C từ suy f(x) =
ln|3x−1|+C1, nếux >
1 ln|3x−1|+C2, nếux <
1
f(0) = 1⇒C2 = 1, f
Å2
ã
= 2⇒C1 =
Vậy f(−1) +f(3) = ln + + ln + = ln +
Chọn đáp án A
Câu 452 Cho Z
−1
f(x) dx= Z
−1
g(x) dx=−1, Tính I =
2 Z
−1
[x+ 2f(x)−3g(x)] dx
A I = 11
2 B I =
2 C I = 17
2 D I = Lời giải
I =
2 Z
−1
[x+ 2f(x)−3g(x)] dx=
2 Z
−1
xdx+
2 Z
−1
f(x) dx−3
2 Z
−1
g(x) dx= 17
Chọn đáp án C
Câu 453 Một ô tô chạy với vận tốc 200 m/s người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 200 +at(m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh vàaÄm/s2ä gia tốc Biết được1500 m xe dừng hẳn, hỏi gia tốc xe bao nhiêu?
A a =−200
13 m/s
2. B. a=−100
13 m/s
2. C. a= 40
3 m/s
2. D. a=−40
3 m/s
(163)Lời giải
Thời điểm xe dừng 200 +at= 0⇒t=−200
a
Khi ta có
−200 a
Z
0
(200 +at) dt= 1500⇔ −200
2
2a = 1500⇔a=− 40
3
Chọn đáp án D
Câu 454 Cho Z
0
f(x) dx= 16 Tính I =
2 Z
0
f(2x) dx
A I = 32 B I = C I = 16 D I =
Lời giải
Ta có I =
2 Z
0
f(2x) dx=
2 Z
0
f(2x) d(2x) =
4 Z
0
f(u) d(u) =
Chọn đáp án B
Câu 455 Cho hàm số f(x) có đạo hàm R thỏa mãn f(x) > 0, ∀x ∈ R Biết f(0) =
f0(x)
f(x) = 2−2x, hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f(x) = m có hai
nghiệm thực phân biệt?
A B C D
Lời giải
Theo ta có Z
f0(x) f(x) dx=
Z
(2−2x) dx⇔ln|f(x)|= 2x−x2+C (1)
Thay x= vào (1) ta C = 0, từ suy ln|f(x)|= 2x−x2 ⇔f(x) = e2x−x2
Phương trình f(x) = m có hai nghiệm phân biệt khi phương trình m = e2x−x2 có hai nghiệm phân biệt tương đương với −x2+ 2x−lnm = 0 có hai nghiệm phân biệt tương đương với
∆0 = 1−lnm >0⇔0< m <e, từ suy m = m=
Chọn đáp án B
Câu 456 Cho hàm sốf(x)liên tục đoạn[0; 3] Nếu Z
0
f(x) dx= 2thì tích phân Z
0
[x−2f(x)] dx
có giá trị
A
2 B
1
2 C D
Lời giải
Ta có Z
0
[x−2f(x)] dx= x
2
2
0
−2
3 Z
0
f(x) dx=
2 −4 =
Chọn đáp án B
(164)Cho hình phẳng (H) giới hạn
4 đường trịn có bán
kínhR= 2, đường congy =√4−xvà trục hồnh (như hình vẽ) Tính thể tích V khối tạo thành cho hình (H)quay quanh trục Ox
A V = 40π
3 B V =
53π C V = 67π
6 D V =
77π
x
−2 −1
y
−1
Lời giải
Phần đường trịn có phương trình hàm số y =√4−x2, nên thể tích quay hình giới hạn quanh trục Ox
π
0 Z
−2
(4−x2) dx+π
4 Z
0
(4−x) dx= 40π
Chọn đáp án A
Câu 458 Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số: f(x) = x2−3x
A F(x) =x3−
2x
2+C. B. F(x) = x3−3x2+C.
C F(x) = x
3
3 − 2x
2+C. D.F(x) = 2x−3 +C.
Lời giải
Họ nguyên hàm hàmf(x) =x2−3x làF(x) = x
3 − 3x2
2 +C
Chọn đáp án C
Câu 459 Khẳng định sau sai?
A Nếu Z
f(x) dx=F(x) +C Z
f(u) du=F(u) +C
B NếuF(x)và G(x) nguyên hàm hàm số f(x) F(x) =G(x)
C Z
[f1(x) +f2(x)] dx= Z
f1(x) dx+ Z
f2(x) dx
D Z
kf(x) dx=k
Z
f(x) dx (k số vàk 6= 0)
Câu 460 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = x2√4 +x3.
A 2√4 +x3+C. B.
9 »
(4 +x3)3+C. C. 2»(4 +x3)3+C. D.
9 »
(4 +x3)3+C.
Lời giải
Đặt t=√4 +x3 ⇒t2 = +x3 ⇒2tdt = 3x2dx⇒x2dx=
3tdt
Ta có Z
f(x)dx=
Z
2 3t
2dt=
9t
3+C =
9 »
(4 +x3)3+C.
Chọn đáp án B
Câu 461 Tính tích phân 100 Z
0
xe2xdx
A
4(199e
200+ 1). B.
4(199e
200−1). C.
2(199e
200+ 1). D.
2(199e
200−1).
Lời giải
Đặt (
u=x dv = e2xdx
⇒
du= dx v =
2e
(165)⇒I =x· e
2x
2
100
0
−
100 Z
0
1 2e
2xdx= 50e200−1
4e
200+1
4 = 199e
200+ 1
Chọn đáp án A
Câu 462 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đườngy = x
4,y= 0,x= 1,x=
quay quanh trụcOx
A 21
16 B
21π
16 C
15
16 D
15π Lời giải
Thể tích cần tính V =π
4 Z
1 x
4
2
dx= 21π 16
Chọn đáp án B
Câu 463 ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x) = ex2(x3−4x) Hàm sốF(x)có điểm cực trị?
A B C D
Lời giải
Ta có F0(x) =f(x) = ex2(x3−4x)
Khi đó,F0(x) = 0⇔x3−4x= 0⇔
x= x=−2 x=
Bảng biến thiên:
x F0(x)
F(x)
−∞ −2 +∞
− + − +
+∞
+∞
CT CT
CĐ CĐ
CT CT
+∞
+∞
Suy hàm sốF(x) có3 điểm cực trị
Chọn đáp án C
Câu 464 Cho hàm số y = f(x) hàm lẻ liên tục [−4; 4] biết Z
−2
f(−x) dx =
Z
1
f(−2x) dx= TínhI =
4 Z
0
f(x) dx
A I = 10 B I =−6 C I = D I =−10
Lời giải
Với giả thiết Z
−2
f(−x) dx= 2, ta đặt t=−x Khi =
0 Z
−2
f(−x) dx=−
0 Z
2
f(t) dt=
2 Z
0
(166)Mặt khác Z
1
f(−2x) dx= 4, ta đặtt= 2x Khi với giả thiết f(x) hàm số lẻ ta có
4 =
2 Z
1
f(−2x) dx=
4 Z
2
f(−t) dt=−1
2
4 Z
2
f(t) dt ⇒
4 Z
2
f(t) dt=−8
Vậy Z
0
f(x) dx= + (−8) =−6
Chọn đáp án B
Câu 465 Họ nguyên hàm Z
x√3 x2+ dx bằng
A
8
√
x2+ +C. B.
8
√
x2+ +C. C.
8
p
(x2+ 1)4+C. D.
8
p
(x2 + 1)4+C.
Lời giải
Ta có Z
x√3x2+ dx=
2
Z
(x2+ 1)13 d(x2+ 1) = »
(x2+ 1)4+C.
Chọn đáp án C
Câu 466 Họ nguyên hàm Z
sinxdxbằng
A cosx+C B −sinx+C C −cosx+C D sinx+C
Lời giải
Có Z
sinxdx=−cosx+C
Chọn đáp án C
Câu 467 Tìm a để diện tích S hình phẳng giới hạn (P) : y = x
2−2x
x−1 , đường thẳng d: y=x−1 x=a, x= 2a (a >1)bằng ln
A a = B a= C a= D a=
Lời giải
Ta có x 2−2x
x−1 =x−1⇒x
2−2x=x2−2x+ 1⇒ vô nghiệm.
⇒ S =
2a
Z
a
x2 −2x
x−1 −(x−1)
dx =
2a
Z
a
−1 x−1
dx =
2a
Z
a
1
x−1dx = ln(x−1)
2a a
= ln2a−1
a−1 = ln
⇔ 2a−1
a−1 = 3⇔a=
Chọn đáp án D
Câu 468 Tính thể tích phần vật thể tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số (P) : y= 2x−x2 và trục Ox.
A V = 19π
15 B V = 13π
15 C V = 17π
15 D V = 16π
15 Lời giải
Hoành độ giao điểm đồ thị với trụcOx nghiệm phương trình 2x−x2 = ⇔
"
(167)Khi thể tích quay hình phẳng D
V =π
2 Z
0
(2x−x2)2dx=π
2 Z
0
(4x2−4x3+x4) dx
=π Å4x3
3 −x
4+ x5
5 ã
= 16π 15 ·
Chọn đáp án D
Câu 469 Cho Z
1
[3f(x) + 2g(x)] dx= Z
1
[2f(x)−g(x)] dx=−3 Khi Z
1
f(x) dx
A 11
7 B −
5
7 C
6
7 D
16 Lời giải
Ta có
2 Z
1
[3f(x) + 2g(x)] dx=
2 Z
1
[2f(x)−g(x)] dx=−3
⇔
3
2 Z
1
f(x) dx+
2 Z
1
g(x) dx=
2
2 Z
1
f(x) dx−
2 Z
1
g(x) dx=−3
⇔
2 Z
1
f(x) dx=−5
7
2 Z
1
g(x) dx= 11
Chọn đáp án B
Câu 470 Tính I =
Z
8 sin 3xcosxdx=acos 4x+bcos 2x+C Khi a−b
A B −1 C D
Lời giải
Ta có I =
Z
(sin 4x+ sin 2x) dx=−cos 4x−2 cos 2x+C⇒
(
a=−1
b=−2 ⇒a−b =
Chọn đáp án C
Câu 471 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc v0(t) =
t+ (m/s
2) Vận tốc ban đầu vật là6 m/s Tính vận tốc vật sau10giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị)
A 11 m/s B 12 m/s C 13 m/s D 14 m/s
Lời giải
Vận tốc v =
Z
v0(t) dt =
Z
3
t+ dt = ln|t+ 1|+C
Vì v(0) = 6⇒C= ⇒v(t) = ln|t+ 1|+ 6⇒v(10) = ln 11 + = 13 m/s
Chọn đáp án C
Câu 472 Tất nguyên hàm hàm số f(x) = cos 2x
A sin 2x+C B
2sin 2x+C C −
2sin 2x+C D sin 2x+C Lời giải
Ta có: Z
cos 2xdx=
2sin 2x+C
Chọn đáp án B
(168)A V =π
1 Z
0
√
2x+ dx B V =π
1 Z
0
(2x+ 1) dx
C V =
1 Z
0
(2x+ 1) dx D.V =
1 Z
0
√
2x+ dx
Lời giải
Ta có V =π
1 Z
0
Ä√
2x+ 1ä2 dx=π
1 Z
0
(2x+ 1) dx
Chọn đáp án B
Câu 474 Tích phân Z
0
dx
√
3x+
A
3 B
3
2 C
1
3 D
2 Lời giải
Đặt t=√3x+ ⇒t2 = 3x+ ⇒2tdt= dx⇒ 2t
3 dt = dx
Đổi cận: x= 0⇒t= 1;x= ⇒t= Khi
Z
0
dx
√
3x+ =
1 Z
0
1
t ·tdt=
1 Z
0
dt= 3t
0
=
Chọn đáp án D
Câu 475 Chof(x)liên tục trênRvà thỏa mãnf(2) = 16,
1 Z
0
f(2x) dx= Tích phân Z
0
xf0(x) dx
bằng
A 30 B 28 C 36 D 16
Lời giải
Đặt t= 2x⇒ dx= dt
2 , ta có: x= 0⇒t= 0, x= 1⇒t=
1 Z
0
f(2x) dx=
2 Z
0
f(t) dt= ⇒
2 Z
0
f(t) dt= ⇒
2 Z
0
f(x) dx=
Khi
2 Z
0
xf0(x) dx=
2 Z
0
xd (f(x)) = xf(x)
0
−
2 Z
0
f(x) dx= 2f(2)−4 = 28
Chọn đáp án B
Câu 476
Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm Người thiết kế sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (được tơ mầu sẫm hình vẽ bên) Diện tích cánh hoa viên gạch
A 800 cm2 B 800
3 cm
2. C. 400
3 cm
(169)Lời giải
Chọn hệ tọa độ hình vẽ (1 đơn vị trục bằng10cm= 1dm), cánh hoa tạo đường parabol có phương trình lày = x
2
2, y=−x
2
2 , x=− y2
2, x= y2
2
Diện tích cánh hoa (nằm góc phần tư thứ nhất) diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x
2
2 ,y =
√
2x hai đường thẳngx= 0;x=
Do diện tích cánh hoa
Z
0
Å√
2x− x
2
2 ã
dx= Ç
2√2
√
x3−x
6 å
0
=
Vậy diện tích cánh hoa
3 dm
2 = 400
3 cm
2.
x y
O
2
Chọn đáp án C
Câu 477 Cho hàm sốf(x)thỏa mãn(f0(x))2+f(x)·f00(x) = 15x4+12x,∀x∈
Rvàf(0) =f0(0) = Giá trị f2(1) bằng
A
2 B
5
2 C 10 D
Lời giải
Ta có
(f0(x))2+f(x)·f00(x) = 15x4+ 12x
⇔ [f0(x)·f(x)]0 = 15x4+ 12x
⇔ f0(x)·f(x) = 3x5+ 6x2+C1
Do f(0) =f0(0) = nên ta có C1 = Do đó:
f0(x)·f(x) = 3x5+ 6x2+
⇔
Å 2f
2
(x) ã0
= 3x5+ 6x2 +
⇔ f2(x) = x6+ 4x3+ 2x+C2
Màf(0) = nên ta có C2 = Vậy f2(x) = x6+ 4x3+ 2x+ suy f2(1) =
Chọn đáp án D
Câu 478 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] f(0) +f(1) = Biết
Z
0
f2(x) dx= 2,
1 Z
0
f0(x) cos (πx) dx= π Tính
1 Z
0
f(x) dx
A π B
π C
2
π D
(170)Đặt (
u= cos (πx) dv =f0(x) dx
⇔
(
du=−πsin (πx) dx v =f(x)
Khi đó:
1 Z
0
f0(x) cos (πx) dx = cos (πx)f(x)
0
+π
1 Z
0
f(x) sin (πx) dx
= −(f(1) +f(0)) +π
1 Z
0
f(x) sin (πx) dx=π
1 Z
0
f(x) sin (πx) dx
⇒
1 Z
0
f(x) sin (πx) dx=
Cách 1: Ta có
Z
0
[f(x)−ksin (πx)]2 dx =
1 Z
0
f2(x) dx−2k
1 Z
0
f(x) sin (πx) dx+k2
1 Z
0
sin2(πx) dx
=
2−k+ k2
2 = 0⇔k =
Do Z
0
[f(x)−sin (πx)]2 dx= ⇒f(x) = sin (πx)
Vậy Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
sin (πx) dx= π
Cách 2: Sử dụng BĐT Holder
b
Z
a
f(x)g(x) dx
6
b
Z
a
f2(x) dx· b
Z
a
g2(x) dx
Dấu “=” xảy ra⇔f(x) =kg(x),∀x∈[a;b] Áp dụng vào ta có
1 =
1 Z
0
f(x) sin (πx) dx
6 Z
0
f2(x) dx·
1 Z
0
sin2(πx) dx=
4, suy f(x) =ksin (πx)
Mặt khác: Z
0
f(x) sin (πx) dx= ⇔k
1 Z
0
sin2(πx) dx=
2 ⇔k = 1⇒f(x) = sin (πx)
Vậy Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
sin (πx) dx= π
Chọn đáp án C
Câu 479 Xác định m để đồ thị hàm số (C) : y = 5x4 −8x2 +m cắt trục hoành điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hồnh có phần phần
A
16 B
16
9 C D
(171)Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị(C) trục hoành 5x4 −8x2+m= 0. Đặt t=x2,t ≥0 Ta có 5t2−8t+m = 0. (1)
Đồ thị (C) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
∆0 >0 P > S >
⇔
16−5m >0 m
5 >0 >0
⇔0< m < 16
Ta có hàm số y = f(x) = 5x4 −8x2 +m hàm số chẵn nên S1 +S2 = S3 ⇒ S2 =
1
2S3 Gọi x1 < x2 < x3 < x4 bốn hoành độ giao điểm (Cm) với trục hồnh ta có
S2 =
1 2S3 ⇒
x4
Z
x3
(−f(x)) dx=
x3
Z
0
f(x) dx
⇔ x4
Z
x3
f(x) dx+
x3
Z
0
f(x) dx= ⇔ x4
Z
0
f(x) dx= 0⇔ x4
Z
0
(5x4−8x2+m) dx=
⇔
Å x5−
3x
3+mx
ã
x4
0
= ⇔x54−
3x
3
4+mx4 = ⇔
x4 =
x44 −8
3x
2
4+m= (2)
Với x4 = 0⇒m = (loại) Xét(2) ⇔(5x4
4−8x24+m)−4x44+
16 x
2
4 = 0⇔4x44−
16 x
2
4 = 0⇔x24 =
4
3 ⇒m = 16
9 (nhận)
Chọn đáp án B
Câu 480 Biết
π
Z
0
(x−sin 2x) dx= a bπ
2 trong đóa,b là số thực và a
b (tối giản) Tínha+b
A −3 B C D
Lời giải
Ta có
π
Z
0
(x−sin 2x) dx = Åx2
2 + 2cos 2x
ã
π
0
= π
2
2 + −
1 =
π2
2 Suy a = 1, b = a+b=
Chọn đáp án C
Câu 481 Cho hàm số f(x) xác định liên tục đoạn [a;b] Đẳng thức sai?
A
b
Z
a
f(x) dx=
b
Z
a
f(x) dt B
b
Z
a
f(x) dx=
b
Z
a
f(t) dt
C
b
Z
a
f(x) dx=− a
Z
b
f(t) dt D
b
Z
a
f(x) dx=
a
Z
b
f(t) d(−t)
Lời giải
Ta có
b
Z
a
f(x) dx=
b
Z
a
f(t) dt
(172)Câu 482 Cho hàm số f(x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện Z
0
f0(x) dx = 5,
Z
2
f0(2u) du= 6, f(0) = Giá trị f(10)
A B 20 C −4 D −20
Lời giải
Đặt x= 2u⇒ dx= du
Đổi cận u= 2⇒x= 4,u= ⇒x= 10 Khi
5 Z
2
f0(2u)du =
5 Z
2
f0(x)dx =
1
5 Z
2
f0(x) dx
Mà Z
2
f0(2u)du= 6⇒
2
5 Z
2
f0(x) dx= ⇒
5 Z
2
f0(x) dx= 12
Ta có 10 Z
0
f0(x) dx =
4 Z
0
f0(x) dx +
10 Z
4
f0(x) dx = + 12 = 17 Mà 10 Z
0
f0(x) dx = f(10) − f(0)
⇒f(10) = 20
Chọn đáp án B
Câu 483 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 3x+ A ln|3x+ 1|+C B
3x+ +C C
(3x+ 1)2 +C D ln|3x+ 1|+C
Lời giải
Ta có
Z 3
3x+ 1dx= ln|3x+ 1|+C
Chọn đáp án A
Câu 484 Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = xlnx,
y= 0, x= e quay quanh trục Ox
A 5e 3+ 2
27 π B
5e3−2
27 π C
5e3 + 2
25 π D
5e3−2
25 π Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểmxlnx= 0⇔x= Thể tích khối trịn xoay sinh V =π
e Z
1
x2ln2x
dx=π
e Z
1
x2ln2xdx
Xét e Z
1
x2ln2xdx
Đặt u= ln2x⇒ du=
xlnx, dv =x
2dx⇒v = x
3 Ta
e Z
1
x2ln2xdx
= x
3
3 ln
2x e
1
−2
3
e Z
1
(173)Xét e Z
1
x2lnxdx Đặtu= lnx⇒ du=
xdx, dv =x
2dx⇒v = x
3 Ta
e Z
1
x2lnxdx= x
3
3 lnx
e
1
−
3
e Z
1
x2dx= x
3
3 lnx
e
1
−
9x
3 e
1
= e
3
3 − e3
9 +
Khi e Z
1
x2ln2xdx = e
3
3 −
Å e3
3 − e3
9 +
ã =
27e
3−
27 =
5e3−2
27 Vậy thể tích khối tròn xoay
V = 5e
3−2
27 π
Chọn đáp án B
Câu 485 Một đào có dạng hình cầu đường kính cm Hạt khối trịn xoay sinh hình Ê-líp quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F1, F2 Biết tâm Ê-líp trùng với tâm khối cầu độ dài trục lớn, trục nhỏ 4cm cm Thể tích phần cùi (phần ăn được) đào a
bπ(cm
3)với a, b là số thực và a
b (tối giản), a−b
A 97 B 36 C D 103
Lời giải
Xét Elip có độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ 4và Ta có a= 2,
b= Phương trình tắc Ê-líp
x2
4 + y2
1 =
Gọi V1 thể tích khối cầu V2 thể tích khối trịn xoay sinh hình Ê-líp quay quanh trục Ox Khi thể tích V phần cùi (phần ăn được) đào làV =V1−V2
Ta có V1 =
4 3πR
3 =
3π3
3 = 36π.
x y
Ta có V2 = 2π Z
0
1− x
2
4
dx= 2π
2 Z
0
Å 1− x
2
4 ã
dx= 2π Å
x− x
3
12 ã
0
= 2π·4
3 = 8π
3
Khi đóV =V1−V2 = 36π−
8π =
100π
3 Khi a= 100, b= suy a−b= 97
Chọn đáp án A
(174)Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f0(x) hình bên Đặt h(x) = f(x)− x
2
2 Mệnh đề
đúng?
A Hàm số y=h(x) đồng biến khoảng (−2; 3)
B Hàm số y=h(x) nghịch biến khoảng (0; 1)
C Hàm số y=h(x) nghịch biến khoảng (2; 4)
D Hàm số y=h(x) đồng biến khoảng (0; 4)
x y
2
2
O
−2
−2
Lời giải
Ta có h(x) = 2f(x) − x2 nên h0(x) = 2f0(x) − 2x = (f0(x)−x)
Vẽ đường thẳng y = x cắt đồ thị ba điểm (−2;−2),
(2; 2),(4; 4) tạo hai miền (H1),(H2)có diện tích S1
S2 Trong
S1 = Z
2
(x−f0(x))dx >0
nên 0<2
4 Z
2
(x−f0(x))dx= x2−2f(x)
2
=h(2)−h(4) Do đóh(2) > h(4)
x y
2
2
O
−2
−2
S1
Ta có f(x)là hàm liên tục nênh(x)cũng hàm liên tục, ∀x∈(2; 4), màh(2) > h(4)nên suy hàm sốy =h(x) nghịch biến khoảng (2; 4)
Chọn đáp án C
Câu 487 Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = e2018x A
Z
f(x) dx= e2018x+C B Z
f(x) dx= 2018 ·e
2018x+C.
C Z
f(x) dx= 2018·e2018x+C D Z
f(x) dx= e2018x·ln 2018 +C
Lời giải
Ta có Z
f(x) dx=
Z
e2018xdx= 2018e
2018xd(2018x) =
2018 ·e
2018x+C.
Chọn đáp án B
Câu 488 BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x) = sin 2xvàFπ
= 1.TínhFπ
A F
π
6
=
4 B F
π
6
= C F
π
6
=
4 D F
π
6
= Lời giải
Ta có
π
Z
π
sin 2xdx= =F
π
4
−F
π
6
⇒F
π
6
=F
π
4
−1
4 = 1− =
3
(175)Câu 489 Một học sinh làm tích phân I =
1 Z
0
dx
1 +x2 theo bước sau Bước 1: Đặtx= tant, suy dx= (1 + tan2t) dt.
Bước 2: Đổi cậnx= ⇒t= π
4;x= 0⇒t=
Bước 3:I = π
Z
0
1 + tan2t
1 + tan2tdt= π
Z
0
dt=t
π
4
= 0− π
4 =− π
Các bước làm trên, bước sai?
A Bước B Bước C Bước D Không bước
Lời giải
Bước bị sai Sửa I = π
Z
0
1 + tan2t
1 + tan2tdt=
π
Z
0
dt=t
π
4
= π
4 −0 = π
Chọn đáp án C
Câu 490 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (H) :y = x−1
x+ trục tọa
độ Khi giá trị củaS
A ln 2−1 B ln 2−1 C ln + D ln +
Lời giải
Đồ thị hàm số H cắt trục tọa độ điểm
(0;−1) (1; 0)
Vậy diện tích S=
1 Z
0
Å
−x−1
x+ ã
dx= ln 2−1
O
x y
−3 −2 −1
−1
y = 2x−1 x+
Chọn đáp án B
Câu 491 Tính tích phân I =
5 Z
1
dx
x√3x+ ta kết I =aln +bln
Giá trịS =a2+ab+ 3b2 là
A B C D
Lời giải
Đặt t=√3x+ ⇒t2 = 3x+ 1 ⇒2tdt= 3dx. Đổi cận: x= 1⇒t= 2;x= 5⇒t=
I =
5 Z
1
dx x√3x+ =
2
4 Z
2
tdt t2−1
3 ·t =
4 Z
2
(176)=
4 Z
2
Å t−1 −
1 t+
ã
dt= ln
t−1 t+
2
= ln 3−ln
Khi đóa= 2, b=−1⇒a2+ab+ 3b2 = 4−2 + = 5.
Chọn đáp án D
Câu 492 Cho hàm số f(x) liên tục R+ thỏa mãnf0(x)≥x+
x,∀x∈R
+ và f(1) = 1 Khẳng định sau đúng?
A f(2)≥5 B f(2)≥4 C f(2)≥
2+ ln D f(2) ≥
2+ ln Lời giải
Lấy tích phân hai vế ta có:
Z
1
f0(x)dx≥
2 Z
1
Å x+
x ã
dx⇔f(2)−f(1)≥
Åx2
2 + lnx ã
1
⇔f(2)−1≥
2 + ln 2⇔f(2) ≥
2 + ln
Chọn đáp án C
Câu 493 Cho số thực a >0 Giả sử hàm số f(x) liên tục dương đoạn [0;a] thỏa mãn
f(x)·f(a−x) = Tính tích phân I =
a
Z
0
1
1 +f(x)dx? A I = 2a
3 B I = a
2 C I = a
3 D I =a Lời giải
Đặt t=a−x⇒dt =−dx
Đổi cận x= 0⇒t=a;x=a⇒t= Ta có f(x)·f(a−x) = 1⇒f(x) =
f(a−x)
Vậy I =
0 Z
a
−dt +
f(t) =−
0 Z
a
f(t)
1 +f(t)dt=−
0 Z
a
1 +f(t)−1 +f(t) dt
=
a
Z
0
1 +f(t)−1 +f(t) dt =
a
Z
0
Å
1−
1 +f(t) ã
dt=
a
Z
0
Å
1−
1 +f(x) ã
dx= x|a0−I =a−I Do ta có I =a−I ⇔I = a
2
Chọn đáp án B
Câu 494 Tích phân Z
0
e−xdx
A e−1 B
e −1 C e−1
e D
1 e Lời giải
Ta có Z
0
e−xdx= −e−x =
e−1 e
Chọn đáp án C
Câu 495 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳngx= 0, x=π, đồ thị hàm số y= cosx
(177)A S =
π
Z
0
cosxdx B S =
π
Z
0
cos2xdx C S =
π
Z
0
|cosx|dx D S =π
π
Z
0
|cosx|dx
Lời giải
Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng tích phân ta cóS =
π
Z
0
|cosx|dx
Chọn đáp án C
Câu 496 Họ nguyên hàm hàm số y= cos 3x
A sin 3x
3 +C B − sin 3x
3 +C C sin 3x+C D −sin 3x+C Lời giải
Áp dụng công thức Z
cos(ax+b) dx= sin(ax+b)
a +C ta có
Z
cos 3xdx= sin 3x +C
Chọn đáp án A
Câu 497 Biết Z
0
2x2+ 3x+ 3
x2+ 2x+ 1 dx=a−lnb vớia, blà số nguyên dương TínhP =a 2+b2.
A P = 13 B P = C P = D P = 10
Lời giải
I =
1 Z
0
2x2+ 3x+ x2+ 2x+ 1 dx=
1 Z
0
Å
2− x−1
(x+ 1)2
ã dx
=
1 Z
0
Å
2−
x+ + (x+ 1)2
ã dx
= Å
2x−ln|x+ 1| −
x+ ã
0
= 3−ln
Suy P = 13
Chọn đáp án A
Câu 498 Cho I =
m
Z
0
(2x−1)e2xdx Tập hợp tất giá trị tham số thực m để I < m khoảng (a;b) Tính P =a−3b
A P =−3 B P =−2 C P =−4 D P =−1
Lời giải
Ta có: I =
m
Z
0
(2x−1)e2xdx Đặtu= 2x−1⇒ du= dx; dv = e2x ⇒v =
2e
2x.
Vậy I = 2e
2x(2x−1)
m
0
− m
Z
0
e2xdx= e2m(m−1) +
Ta có I < m⇔e2m(m−1) + 1< m⇔(m−1)(e2m−1)<0⇔0< m <1 Vậy m∈(0; 1) theo đóP = 0−3·1 = −3
Chọn đáp án A
Câu 499 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x+y−2 = 0; y =√x;
y= quay quanh trục Ox
A
6 B
6π
5 C
2π
3 D
(178)Lời giải
Đặt f(x) = 2−x; g(x) =√x; h(x) = Xét2−x=√x⇔
(
2−x>0 (2−x)2 =x ⇔
(
x62
x2−5x+ = ⇔x=
Ta có (H1) :
y=√x y=
x= 0, x=
và (H2) :
x+y−2 = y =
x= 1, x=
Cho (H1), (H2) quay quanhOxcó thể tích V1, V2 thể tích cần tìm làV =V1 +V2
x y
4
0
2
V1 =π Z
0
g2(x) dx=π
1 Z
0
xdx=π Å
x2
ã
0
= π
V2 =π Z
1
f2(x) dx=π
2 Z
1
(2−x)2dx=
2 Z
1
(x−2)2d(x−2) =π· (x−2)
3
3
1
= π
Vậy V =V1+V2 =
π +
π =
5π
Chọn đáp án D
Câu 500 Biết
π
Z
0
xsin2018x
sin2018x+ cos2018xdx =
πa
b a, b số nguyên dương Tính P = 2a+b
A P = B P = 10 C P = D P = 12
Lời giải
Đặt f(x) = sin
2018x
sin2018x+ cos2018x Đặt t=π−x
π
Z
0
xf(x) dx=−
0 Z
π
(π−t)f(π−t) dt
=
π
Z
0
(π−t)f(π−t) dt =
π
Z
0
(π−x)f(π−x) dx=
π
Z
0
(π−x)f(x) dx
=
π
Z
0
πf(x) dt− π
Z
0
xf(x) dt
Suy
π
Z
0
xf(x) dx= π
π
Z
0
f(x) dx
XétI1 =
π
Z
0
f(x) dx Đặtt = π −x
I1 =−
−π
Z
π
f(π
2 −t) dt= π
Z
−π
cos2018t
cos2018t+ sin2018tdt =
π
Z
0
cos2018t
cos2018t+ sin2018tdt
= π
Z
0
cos2018x
(179)XétI2 =
π
Z
0
cos2018x
cos2018x+ sin2018xdx Đặt t= π
2 −x
I2 =
π
Z
0
cos2018
π
2 −t
cos2018π
2 −t
+ sin2018
π
2 −t
dt =
π
Z
0
sin2018t
cos2018t+ sin2018tdt
= π
Z
0
sin2018x
cos2018x+ sin2018xdx
Khi đóI1 = 2I2 =I2+I2 =
π
Z
0
dx= π
2 Suy
π
Z
0
xf(x) dx= π 2I1 =
π2
4
Suy a= 2;b = Do 2a+b=
Chọn đáp án A
Câu 501 Tìm họ nguyên hàm hàm số y= (x+ 1)2
A Z
1
(x+ 1)2 dx=
2
(x+ 1)3 +C B Z
1
(x+ 1)2 dx=
−1
x+ +C C
Z 1
(x+ 1)2 dx=
1
x+ +C D
Z 1
(x+ 1)2 dx=
−2
(x+ 1)3 +C
Lời giải
Z 1
(x+ 1)2dx=
Z 1
(x+ 1)2d(x+ 1) =
−1
x+ +C
Chọn đáp án B
Câu 502 Cho hàm sốf(x)liên tục trên[a;b] Giả sử hàm sốu=u(x)có đạo hàm liên tục trên[a;b]
vàu(x)∈[α;β],∀x∈[a;b], nữaf(u)liên tục đoạn [α;β] Mệnh đề sau đúng?
A
b
Z
a
f(u(x))·u0(x) dx=
b
Z
a
f(u) du B
u(b) Z
u(a)
f(u(x))·u0(x) dx=
b
Z
a
f(u) du
C
b
Z
a
f(u(x))·u0(x) dx=
u(b) Z
u(a)
f(u) du D
b
Z
a
f(u(x))·u0(x) dx=
b
Z
a
f(x) du
Lời giải
Ta có
b
Z
a
f(u(x))·u0(x) dx=
u(b) Z
u(a)
f(u) du
Chọn đáp án C
Câu 503 Tính tích phân I =
π
2 Z
0
sinπ −x
dx
A I = π
4 B I =−1 C I = D I = Lời giải
Ta có I = cosπ −x
π
2
(180)Chọn đáp án C Câu 504 Cho f(x) = x
cos2x
−π
2; π
và F(x) nguyên hàm x·f0(x) thỏa mãn
F(0) = Biết α∈−π
2; π
và tanα= TínhF(α)−10α2+ 3α.
A −1
2ln 10 B −
4ln 10 C
2ln 10 D ln 10 Lời giải
Theo cơng thức tích phân phần ta có Z
x·f0(x) dx=x·f(x)−
Z
f(x) dx
Cũng theo cơng thức tích phân phần lại có Z
f(x) dx=
Z
x·(tanx)0dx=x·tanx−
Z
tanxdx=x·tanx+ ln|cosx|+C
Do
F(x) =
Z
x·f0(x) dx=x·f(x)−x·tanx−ln|cosx|+C
Mà F(0) = nên F(x) = x·f(x)−x·tanx−ln|cosx| Lại có tanα = nên
cos2α = 10 Từ
F(α)−10α2+ 3α=−ln√1
10 = 2ln 10
Chọn đáp án C
Câu 505 Cho In =
1 Z
0
e−nxdx
1 + e−x, n ∈N Đặt un = (I1 +I2) + (I2+I3) +· · ·+n(In+In+1)−n
Biết limun=L Mệnh đề sau đúng?
A L∈(−1; 0) B L∈(−2;−1) C L∈(0; 1) D L∈(1; 2)
Lời giải
Ta có
In+In−1 = Z
0
e−nx+ e−(n−1)x
1 + e−x dx=
1 Z
0
e−(n−1)xdx= −
n−1e −(n−1)x
0
=−
n−1 Ä
e−(n−1)−1ä
Do đó(n−1) (In−1+In) = 1−
1
en−1 Suy
un =−
ñÅ e
ãn +
Å e
ãn−1
+· · ·+1 e ô
Nên−un =
1 e
n+1
−1
1 e −1
−1và limun=
1
1−e Vậy L∈(−1; 0)
Chọn đáp án A
Câu 506 Cho số thực a >0 Giả sử hàm số f(x) liên tục dương đoạn [0;a] thỏa mãn
f(x)·f(a−x) = 1,∀x∈[0;a] Tính tích phân I =
a
Z
0
1
1 +f(x)dx A I = 2a
3 B I = a
(181)Đặt t=a−x
I =−
0 Z
a
1
1 +f(a−t)dt=
a
Z
0
1
1 + f1(t) dt=
a
Z
0
f(t) +f(t)dt
Từ ta cóI+I =
a
Z
0
dx=a Do I = a
Chọn đáp án B
Câu 507 Biết diện tích hình phẳng giới hạn đường y = sinx, y = cosx, x = 0, x=a, với
a∈hπ
4; π
i
2 Ä
−3 + 4√2−√3ä Hỏi số a thuộc khoảng sau đây?
A
Å 7 10;
ã
B
Å51 50;
11 10
ã
C
Å11 10;
3
ã
D
Å 1;51
50 ã
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= sinx, y= cosx, x= 0, x=a
S =
a
Z
0
|sinx−cosx|dx=
π
4 Z
0
|sinx−cosx|dx+
a
Z
π
4
|sinx−cosx|dx
=
π
4 Z
0
(cosx−sinx) dx− a
Z
π
4
(cosx−sinx) dx
= 2√2−1−cosa−sina
Theo ta có
Ä
−3 + 4√2−√3ä=−2 + 4√2−2 cosa−2 sina ⇔sina+ π
=
√
3 + 2√2 = sin
5π 12
⇒a+π
4 = 7π
12 ⇔a= π
3 ≈1,047⇒a∈ Å51
10; 11 10
ã
Chọn đáp án B
Câu 508 Cho hai hàm số y =f(x) y = g(x) liên tục [a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x =b (a < b) tính theo cơng thức
A S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx B S =π
b
Z
a
(f(x)−g(x)) dx
C S =
b
Z
a
(f(x)−g(x)) dx D.S =
b
Z
a
f(x)−g(x) dx
Lời giải
Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =f(x), y =g(x) hai đường thẳngx=a, x=b (a < b) S =
b
Z
a
|f(x)−g(x)| dx
(182)Câu 509 Giá trị tích phân I =
1 Z
0
x
x+ 1dx
A I = + ln B I = + ln C I = 1−ln D I = 2−ln
Lời giải
Ta có
I =
1 Z
0
x
x+ dx=
1 Z
0
x+ 1−1 x+ dx=
1 Z
0
Å
1−
x+ ã
dx=
1 Z
0
dx−
1 Z
0
1 x+ 1dx =x
0−ln(x+ 1)
0 = 1−ln
Chọn đáp án C
Câu 510 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [0; 1] thoả mãn f(1) = 0,
1 Z
0
[f0(x)]2 dx =
1 Z
0
(x+ 1)exf(x) dx= e
2−1
4 Tích phân
1 Z
0
f(x) dx
A e−1
2 B
e2
4 C
e
2 D e−2 Lời giải
Đặt I =
1 Z
0
[f0(x)]2 dx=
1 Z
0
(x+ 1)exf(x) dx= e
2−1
4
Xét
1 Z
0
exf(x) dx= xexf(x)|10−
1 Z
0
xd (exf(x)) =−
1 Z
0
(xexf(x) +xexf0(x)) dx
Suy
1 Z
0
xexf0(x) dx=−
1 Z
0
xexf(x) dx−
1 Z
0
exf(x) dx=−I = 1−e
2
4
Khi
1 Z
0
f0(x) (f0(x) +xex) dx=
1 Z
0
Ä
[f0(x)]2+xexf0(x)ä dx=
1 Z
0
[f0(x)]2 dx+
1 Z
0
xexf0(x) dx=
Do f(x) có đạo hàm liên tục [0; 1], xex liên tục trên [0; 1] ⊂
R, Z
0
[f0(x)]2 dx 6= 0, suy
f0(x)6= với x∈[0; 1] nên
f0(x) = −xex ⇒f(x) =−
Z
xex =−
Z
xdex =−xex+
Z
(183)Từ f(1) = 0suy C= Vậy f(x) =−xex+ex. Do đó
1 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
(−xex+ex) dx=−
1 Z
0
xexdx+
1 Z
0
exdx=−
1 Z
0
xdex+
1 Z
0
exdx
=−xex
+
1 Z
0
exdx=−e+ 2ex
=−e+ 2(e−1) = e−2
Chọn đáp án D
Câu 511 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = sin 2x
A cos 2x+C B cos 2x+C C
2cos 2x+C D −
2cos 2x+C Lời giải
Nguyên hàm hàm sốf(x) = sin 2xlà −1
2cos 2x+C
Chọn đáp án D
Câu 512 Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = 2x2 −1 và nửa đường trịn có phương trình y=√2−x2 với (−√2≤x≤√2)(phần tơ đậm hình vẽ).
x y
O
−1
√
2
√
2
Diện tích (H)
A 3π+
6 B
3π+ 10
3 C
3π+ 10
6 D
3π−2 Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm paraboly =f(x) = 2x2−1và nửa đường tròn
y=g(x) = √2−x2 (−√2≤x≤√2)là
2x2−1 =√2−x2
⇔
(
2x2 ≥1
2−x2 = 4x4−4x2+
⇔
x2 ≥
2
4x4−3x2−1 =
⇔
x≤ − √
2
2 ∨x≥
√
2
x2 = x2 =−1
4 (vô lý)
⇔
x≤ − √
2
2 ∨x≥
√
2 x= 1∨x=−1
⇔
"
x= x=−1
S =
1 Z
−1
|f(x)−g(x)|dx=
1 Z
−1
|2x2−1−√2−x2|dx= Z
−1
(184)=
1 Z
−1
√
2−x2dx−2 Z
−1
x2dx+
Z
−1
1 dx=A−2B+C
Trong đó:
A=
1 Z
−1
√
2−x2dx
Đặt x=√2 sint ⇒ dx=√2 costdt với t∈[−π;π]
Đổi cận: x= 1⇒t= π
4; x=−1⇒t=− π
Khi đóA= π
Z
−π
√
2−2cos2t·√2 costdt= Z π4
−π
2|cost| ·costdt
= π
Z
−π
cos2tdt = π
Z
−π
2·
Å
cos 2t+
ã dt
= π
Z
−π
cos 2tdt+ π
Z
−π
1 dt=
2·sin 2t
π −π4 +t
π −π4 =
1 2·2 +
π
2 = + π B =
Z
−1
x2dx= x
3
3
−1
= C =
1 Z
−1
1 dx=
Suy S =A−2B+C = + π −2·
2 3+ =
3π+ 10
Chọn đáp án C
Câu 513 Cho hàm sốf(x) xác định trênR\
ß1
™
thỏa mãnf0(x) =
2x−1,f(0) = 1và f(1) =
Giá trị biểu thức f(−1) +f(3)
A + ln 15 B + ln 15 C + ln 15 D ln 15
Lời giải
Ta có f(x) = ln|2x−1|+C=
ln(2x−1) +C1 khix≥
1 ln(1−2x) +C2 khix <
1
Do f(0) = f(1) = 2nên ta có C1 = C2 = Vậy f(−1) +f(3) = + ln + ln = + ln 15
Chọn đáp án C
Câu 514 Tính tích phân I =
3 Z
0
dx x+ A I =− 21
100 B I = ln
2 C I = 4581
5000 D I = log Lời giải
I =
3 Z
0
dx
x+ = ln|x+ 2|
3
= ln 5−ln = ln5
(185)Câu 515
Cho H hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn đường có phương trìnhy= 10
3 x−x
2,y = (
−x x≤1
x−2 x >1 Diện
tích H
A 11
2 B 13
2 C 11
6 D
14
O x
y
−1
1
3
Lời giải
Ta có S =
1 Z
0
Å10 x−x
2+x
ã dx+
3 Z
1
Å10 x−x
2−x+ 2
ã
dx= 13
Chọn đáp án B
Câu 516 Cho hàm số y=πx có đồ thị C Gọi D là hình phẳng giới hạn bởiC, trục hoành hai
đường thẳng x = 2, x = Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức
A V =π3
3 Z
2
πxdx B V =π2
3 Z
2
πxdx C V =π
2 Z
3
π2xdx D V =π
3 Z
2
π2xdx
Lời giải
Ta có: V =π
3 Z
2
(πx)2 dx=π
3 Z
2
π2xdx
Chọn đáp án D
Câu 517 Cho hàm số f(x) xác định khoảng (0; +∞)\ {e} thỏa mãn f0(x) = x(lnx−1), f
Å e2
ã
= ln f(e2) = 3 Giá trị biểu thức f
Å e
ã
+f(e3) bằng
A (ln + 1) B ln C ln + D ln +
Lời giải
Ta có f(x) =
Z
f0(x) dx=
Z
1
x(lnx−1)dx=
Z
d (lnx−1)
lnx−1 = ln|lnx−1|+C =
(
ln (lnx−1) +C1 x >e
ln (1−lnx) +C2 0< x < e
Vì f Å1
e2
ã
= ln 6⇒ln Å
1−ln e2
ã
+C2 = ln 6⇒ln +C2 = ln 6⇒C2 = ln 6−ln = ln Vì f(e2) = 3⇒ln (ln e2−1) +C1 = 3⇒C2 =
Do đóf Å1
e ã
+f(e3) = ln Å
1−ln1 e
ã
+ ln + ln (ln e3−1) + = ln + ln + = (ln + 1)
Chọn đáp án A
Câu 518 Biết Z
0
πx3+ 2x+ ex3·2x
π+ e·2x dx =
1 m +
1 e lnnln
Å
p+ e e +π
ã
với m, n, p số nguyên dương Tính tổngS =m+n+p
A S = B S = C S = D S =
(186)1 Z
0
πx3+ 2x+ ex3·2x
π+ e·2x dx=
1 Z
0
x3(π+ e·2x) + 2x
π+ e·2x dx=
1 Z
0
Å
x3+
x
π+ e·2x
ã dx=
1 Z
0
x3dx+
1 Z
0
2x
π+ e·2x dx
= x
4
4
0
+ ln
1 Z
0
d (2x)
π+ e·2x =
1 4+
1
e·ln 2ln|π+ e·2
x|
0
= 4+
1 e·ln ln
π+ 2e π+ e =
1 4+
1 e·ln 2ln
Å
1 + e e +π
ã
Suy S =
Chọn đáp án A
Câu 519 Họ nguyên hàm hàm số exe+ 4 là
A exe+1+ 4x+C B e2xe−1+C C ex e+1
e + + 4x+C D xe+1
e + + 4x+C Lời giải
Ta có: Z
(exe+ 4) dx= e
Z
xedx+
Z
4 dx= ex
e+1
e + + 4x+C
Chọn đáp án C
Câu 520 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = cosx+
x2 (0; +∞)
A cosx+ lnx+C B sinx−
x +C C −3 sinx+
x+C D cosx+ x+C Lời giải
Ta có: Z
(3 cosx+
x2) dx= Z
cosxdx+
Z 1
x2dx= sinx−
1 x +C
Chọn đáp án B
Câu 521 Cho số dương avà hàm số f(x)liên tục Rthỏa mãnf(x) +f(−x) =a, ∀x∈R Giá trị biểu thức
Z a
−a
f(x)dxbằng
A 2a2. B. a2. C. a. D. 2a.
Lời giải
Đặt x=−t, suy dx=−dt Khi
I =
Z a
−a
f(x)dx=−
Z −a
a
f(−t)dt=
Z a
−a
f(−t)dt=
Z a
−a
[a−f(t)] dx=
Z a
−a
adx−I
⇒I =
2
Z a
−a
adx=
2a·(a+a) = a
2.
Chọn đáp án B
Câu 522 Trong hàm số sau, hàm số nguyên hàm hàm sốf(x) = x3?
A y = x
4
4 −1 B y= x4
4 + C y= x4
4 D y= 3x
2.
Lời giải
Ta có
Z
x3dx= x
4
4 +C
Suy hàm sốy = 3x2 không phải nguyên hàm của y=x3.
Chọn đáp án D
Câu 523 Cho F(x)là nguyên hàm hàm số y=x2 Giá trị biểu thức F0(4)
A B C D 16
Lời giải
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có F0(x) = x2 Suy ra F0(4) = 16.
(187)Câu 524
Cho hàm số y = f(x) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Gọi
Dlà hình phẳng giới hạn đồ thị cho trụcOx Quay hình phẳngDquanh trụcOxta khối trịn xoay tíchV xác định theo công thức đây?
A V =π2 Z
1
(f(x))2dx B V =
Z
(f(x))2dx
C V =
Z
(f(x))2dx D V =π
Z
(f(x))2dx
x y
O
−1
y=f(x)
Lời giải
Theo cơng thức tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xung quanh trục Ox, ta có
V =π
Z
(f(x))2dx
Chọn đáp án D
Câu 525 Cho số dương a thỏa mãn hình phẳng giới hạn đường parabol y = ax2 −2
y= 4−2ax2 có diện tích bằng 16 Tìm giá trị củaa.
A B
2 C
1
4 D
Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax2−2 = 4−2ax2 ⇔x2 =
a ⇔x=±
√
2
√
a
Đặt m=
√
2
√
a >0 Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol
S =
Z m
−m
|3ax2−6|dx=
Z m
−m
(6−3ax2)dx= (6x−ax3)|−m→m = 12m−2am3 =
8√2
√
a
Từ suy
√
2
√
a = 16⇔a=
Chọn đáp án B
Câu 526
Cho hàm sốy =f(x)liên tục trênRvà có đồ thị hình vẽ bên Tính diện tíchS hình phẳng đánh dấu hình
A S=
Z b
a
f(x) dx−
Z c
b
f(x) dx
B S=
Z b
a
f(x) dx+
Z c
b
f(x) dx
C S=−
Z b
a
f(x) dx+
Z c
b
f(x) dx
D S=
Z b
a
f(x) dx−
Z b
c
f(x) dx
x y
O
y=f(x)
a b c
Lời giải
Ta có S =
Z b
a
f(x) dx
+
Z c
b
f(x) dx
=
Z b
a
f(x) dx−
Z c
b
f(x) dx
Chọn đáp án A
Câu 527 Cho hàm số f(x) =
(
1−2x x >0
cosx x≤0 Tính giá trị biểu thức I =
1 Z
−π
(188)A Đáp án khác B I =
2 C I = D I = Lời giải
Ta có
I =
1 Z
−π
f(x) dx=
0 Z
−π
f(x) dx+
1 Z
0
f(x) dx=
0 Z
−π
cosxdx+
1 Z
0
(1−2x) dx
= sinx|0−π
2 + (x−x
2
) =
Chọn đáp án C
Câu 528 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = 22x.
A F(x) = 22x·ln B F(x) =
2x
ln +C C F(x) =
x
ln +C D.F(x) =
x·ln +C.
Lời giải
Ta có F(x) =
Z
f(x) dx=
Z
22xdx=
Z
4xdx=
x
ln +C
Chọn đáp án C
Câu 529 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x2 −2x và y =
−x2+ 4x.
A S = 12 B S = C S = 11
3 D S = 27 Lời giải
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm
x2−2x=−x2+ 4x⇔x2−3x= ⇔
"
x= x=
Suy diện tích hình giới hạn
S =
3 Z
0
|x2−2x−(−x2 + 4x)|dx=
3 Z
0
(2x2−6x) dx
=
Chọn đáp án B
Câu 530 Cho I =
1 Z
0
(2x−m2) dx Có giá trị nguyên dương m đểI+ ≥0
A B C D
Lời giải
Ta có I =
1 Z
0
(2x−m2) dx= (x2 −m2x)
0 = 1−m 2.
Để I+ 3≥0⇔4−m2 ≥0⇔m2 ≤4⇔ −2≤m ≤2. Từ suy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn
Chọn đáp án D
Câu 531 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm hai mặt phẳng x =
(189)A V = 2π B V = 5π C V = 4π D V = 3π
Lời giải
Do thiết diện nửa đường trịn với đường kính √5x2 nên diện tích thiết diện
S(x) = π
Ç√ 5x2
2 å2
2 =
5πx4
8
Từ suy thể tích vật thể
V =
2 Z
0
S(x) dx=
2 Z
0
5πx4
8 dx= 4π
Chọn đáp án C
Câu 532
Một vật chuyển động trong4giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời giant(h) có đồ thị vận tốc hình vẽ bên Trong khoảng thời gian1giờ kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) trục đối xứng song song với trục tung Khoảng thời gian lại vật chuyển động chậm dần Tính quãng đường S mà vật
giờ (kết làm tròn đến hàng phần trăm)
A S = 23,71km B S = 23,58 km
C S = 23,56km D S = 23,72 km
t
1
v
4
O Lời giải
Trong đầu, ta gọi phương trình vận tốc vật v =at2+bt+c, suy ra v0 = 2at+b.
Theo giả thiết ta có
v(0) = v(2) = v0(2) =
⇔
c=
4a+ 2b+ = 4a+b =
⇔
a=−5
4 b = c=
Suy v(t) = −5
4t
2+ 5t+ 4, từ ta cóv(1) = 31
4
Trong sau, gọi phương trình vận tốcv(t) = at+b Theo giả thiết ta có
v(1) =a+b = 31 v(4) = 4a+b=
⇔
a=−5
4 b=
Suy v(t) = −5
4t+
Quãng đường vật
S=
1 Z
0
Å
−5
4t
2 + 5t+ 4
ã dt+
4 Z
1
Å
−5
4t+ ã
(190)Chọn đáp án A Câu 533 Cho hai hàm số f(x) g(x) có đạo hàm [1; 4] thỏa mãn hệ thức sau với
x∈[1; 4]
f(1) = 2g(1) = f0(x) =
x√x · g(x) g0(x) = −
x√x · f(x)
Tính I =
4 Z
1
[f(x)g(x)] dx
A I = ln B I = C I = ln D I =
Lời giải
Theo ta có
[f(x)g(x)]0 =f0(x)g(x) +g0(x)f(x) = x√x−
2
x√x =− x√x
⇒f(x)g(x) = −
Z
1
x√xdx=
√
x +C
Kết hợp với giả thiết ta có
f(1)g(1) = = √2
1+C ⇒C =
Từ suy
I =
4 Z
1
[f(x)g(x)] dx=
4 Z
1
2
√
xdx=
Chọn đáp án B
Câu 534 Cho hàm sốf(x)liên tục đoạn[a;b] Chọn mệnh đềsaitrong mệnh đề sau?
A
b
Z
a
f(x) dx=
b
Z
a
f(u) du
B
b
Z
a
[f(x)·g(x)] dx=
b
Z
a
f(x) dx· b
Z
a
g(x) dx
C
a
Z
a
f(x) dx=
D
b
Z
a
[f(x) +g(x)] dx=
b
Z
a
f(x) dx+
b
Z
a
g(x) dx
Lời giải
Ta có Z
0
(x·x) dx= 3x
3 =
1
1 Z
0
xdx·
1 Z
0
xdx= 2x
2 0·
1 2x
2 =
1
⇒
1 Z
0
(x·x) dx6=
1 Z
0
xdx·
1 Z
0
xdx⇒ b
Z
a
[f(x)·g(x)] dx=
b
Z
a
f(x) dx· b
Z
a
g(x) dx mệnh đề sai
(191)Câu 535 Biết Z
1
ln(9−x2) dx=aln +bln +cvới a, b, c∈Z Tính S =a+b+c
A S = B S =−2 C S =−3 D S =−1
Lời giải
Ta có Z
1
ln(9−x2) dx= ln(9−x2) 1−
2 Z
1
xd ln(9−x2)
= ln 5−ln +
2 Z
1
x2
9−x2 dx
= ln 5−2 ln +
2 Z
1
Å
−2 +
x+ − x−3
ã dx
= ln 5−2 ln + (−2x+ ln|x+ 3| −3 ln|x−3|)
= ln 5−6 ln 2−2
Vậy S =−3
Chọn đáp án C
Câu 536 Cho I =
Z
sin 2x
cos4x+ sin4xdx Đặt t= cos 2x mệnh đề đúng?
A I =
Z −1
t2+ 1 dt B I =
Z 1
t2+ 1dt C I =
1
Z −1
t2+ 1 dt D I =
Z 1
t2 + 1dt
Lời giải
Ta có sin 2x
cos4x+ sin4x =
sin 2x
1−2 sin2xcos2x =
sin 2x 1−1
2sin 22x =
2 sin 2x + cos22x
dt=−2 sin 2xdx⇒2 sin 2xdx=−dt ⇒I =
Z −
1 t2+ 1 dt
Chọn đáp án A
Câu 537 Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường
y=x12e x
2, y= 0, x= 1, x= quanh trục Ox
A V =π(e2 −e). B. V =πe2. C. V =π(e2+ e). D. V =πe.
Lời giải
Áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay ta có
V =π
2 Z
1
xexdx=π
2 Z
1
xdex
= πxex|21−π
2 Z
1
exdx=π Ä2e2−ex− ex|21ä=πe2
Chọn đáp án B
Câu 538 Tìm nguyên hàm I hàm sốy = ex−3x2.
A I = ex−x3+C. B. I = ex+x3+C. C. I = ex+ 6x+C. D. I = ex−6x+C.
Lời giải I =
Z
(ex−3x2) dx= ex−x3+C
Chọn đáp án A
(192)điểm cạnh dài qua hai mút cạnh dài đối diện Tính tỉ số k diện tích phần mảnh vườn nằm miền hai parabol với diện tích phần đất lại?
A =
3 B =
√
3
3 C =
1
2 D =
2 + 3√2 Lời giải
Giả sử mảnh vườn gắn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ bên Khi phương trình hai parabol có đỉnh trung điểm AB, CD
lần lượt y= 9x
2 và y=−2
9x
2+ 2 Xét phương trình
2 9x
2 =−2
9x
2+ 2 ⇒x=±3
√
2
Miền diện tích giới hạn parabol (như hình vẽ) có diện tích
O x
y
−3 y=−29x
2+ 2
y=29x2
−3√2
3√2
B A
C D
S = 3√2
2
Z
−3√2
−2
9x
2+ 2−
9x
2
dx= 3√2
2
Z
−3√2
Å 2−4
9x
2
ã
dx= 4√2
Ta có SABCD = 12⇔k =
4√2 12−4√2 =
2 + 3√2
Chọn đáp án D
Câu 540 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp R f(0) = 0, f0(1) = 2,
1 Z
0
[f0(x)]2dx= 39 ,
1 Z
0
(x2+x)f00(x) dx=
2 Tính tích phân I =
2 Z
0
f(x) dx
A I = 14
3 B I = 14 C I =
3 D I = Lời giải
Ta có
2 =
1 Z
0
(x2+x)f00(x) dx=
1 Z
0
(x2+x) df0(x) = (x2+x)f0(x)|1 0−
1 Z
0
(2x+ 1)f0(x) dx
⇒
1 Z
0
(2x+ 1)f0(x) dx= 13 (1)
⇒
1 Z
0
4[f0(x)]2−12(2x+ 1)f0(x) + 9(2x+ 1)2
dx=
⇒
1 Z
0
[2f0(x)−3(2x+ 1)]2 dx=
⇒2f0(x)−3(2x+ 1) = 0⇒f(x) = 3(x
2+x)
2 +C
Từ f(0) = 0⇒f(x) = 3(x
2+x)
2 Vậy I =
2 Z
0
3(x2+x)
2 dx=
Chọn đáp án D
Câu 541 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 3x2 + 1, trục hoành hai đường thẳngx= 0,x=
A S = B S = 12 C S = 10 D S =
(193)Ta có S =
2 Z
0
3x2+ dx=
2 Z
0
(3x2+ 1) dx= (x3+x)
= 10
Chọn đáp án C
Câu 542 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = ex+ e−x là
A ex+ e−x+C. B. ex−e−x+C. C. e−x−ex+C. D. 2e−x+C.
Lời giải
Ta có Z
(ex+ e−x) dx= ex−e−x+C
Chọn đáp án B
Câu 543
1 Z
0
x−1
x2−2x+ 2dxbằng
A ln B −ln C ln√2 D −ln√2
Lời giải
Ta có Z
0
x−1
x2−2x+ 2dx=
1
1 Z
0
1
x2−2x+ 2d(x
2−2x+ 2) =
2ln
x2−2x+
=−1
2ln
Chọn đáp án D
Câu 544 Biết
π
Z
0
5 sinx+ cosx
sinx+ cosx dx=aπ+ lnb, với a, blà số hữu tỉ Tính S =a+b A S = +√2 B S = 11
4 C S =
4 D S = Lời giải
Phân tích5 sinx+ cosx=α(sinx+ cosx) +β(−sinx+ cosx)⇒α= 3, β =−2 Suy
π
Z
0
5 sinx+ cosx sinx+ cosx dx=
π
Z
0
Å
3−2−sinx+ cosx sinx+ cosx
ã dx
= (3x−2 ln|sinx+ cosx|)
π
0
= 3π −2 ln
√
2 = 3π + ln
1
⇒S =a+b =
4 + =
5
Chọn đáp án C
Câu 545 Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=√x, đường thẳng y = 2−x trục hồnh Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trụcOx
A 7π
6 B 4π
3 C 5π
6 D 5π
4
O
x y
2
(194)Ta có √x=−x+ 2⇔
(
−x+ ≥0
x= (−x+ 2)2
⇔
(
x≤2
x2−5x+ =
⇔x=
Thể tíchV =π
1 Z
0
√
x2 dx+π
2 Z
1
(−x+ 2)2dx=π ñ
x2
0
+ Å
x3 −2x
2+ 4x
ã
1
ô = 5π
6
Chọn đáp án C
Câu 546 Cho hàm sốf(x)xác định trênR\{−1; 2}thỏa mãnf0(x) =
x2−x−2,f(−2) = ln 2+2 f(−2)−2f(0) = Giá trị biểu thứcf(−3) +f
Å1
ã
bằng
A + ln B + ln5
2 C 2−ln D + ln Lời giải
Ta có f(x) =
Z
f0(x) dx=
Z
3
x2−x−2dx= Z Å
−
x+ + x−2
ã
dx= ln
x−2 x+
+C
⇒f(x) =
lnx−2
x+ +C1, x∈(−∞;−1) ln2−x
x+ +C2, x∈(−1; 2) lnx−2
x+ +C3, x∈(2; +∞)
Xét điều kiện (
f(−2) = ln + f(−2)−2f(0) =
⇒
(
C1 =
C2 =−1
Suy f(−3) +f Å1
2 ã
= ln5
2 + + ln 1−1 = + ln
Chọn đáp án D
Câu 547 Cho hàm sốy=f(x)là hàm số chẵn liên tục đoạn [−π;π]thỏa mãn
π
Z
0
f(x) dx=
2018 Tính
π
Z
−π
f(x) 2018x+ 1dx
A 2018 B 4036 C D
2018 Lời giải
Đặt t=−x⇒ dt=−dx Đổi cận x=−π ⇒t=π; x=π⇒t=−π Khi
I =
π
Z
−π
f(x)
2018x+ 1dx=− π
Z
−π
f(−t)
2018−t+ 1(−dt) = π
Z
−π
2018t·f(t)
2018t+ 1 dt= π
Z
−π
2018x·f(x)
2018x+ 1 dx
⇒2I =
π
Z
−π
f(x)
2018x+ 1dx+ π
Z
−π
2018x·f(x) 2018x+ 1 dx=
π
Z
−π
f(x) dx=
π
Z
0
f(x) dx= 4036⇒I = 2018
Chọn đáp án A
Câu 548 Cho Z
−2
f(x) dx= Tính tích phân I =
1 Z
−2
[2f(x)−1] dx
A −9 B C −3 D
Lời giải I =
1 Z
−2
[2f(x)−1] dx=
1 Z
−2
f(x) dx−
1 Z
−2
(195)Chọn đáp án B
Câu 549 Tích phân Z
1
(x+ 3)2dx
A 61
9 B C 61 D
61 Lời giải
2 Z
1
(x+ 3)2dx=
2 Z
1
(x2+ 6x+ 9) dx= Å
x3
3 + 6x2
2 + 9x ã
1
= 61
Chọn đáp án D
Câu 550 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = cos 2x
A −sin 2x+C B −2 sin 2x+C C sin 2x+C D sin 2x+C
Lời giải
Z
2 cos 2xdx= 2·
2sin 2x+C
Chọn đáp án C
Câu 551 Cho Z
1
x
3x+√9x2−1dx=a+b
√
2, với a, blà số hữu tỉ Khi giá trị củaa
A 26
27 B −
26
27 C −
27
26 D −
25 27 Lời giải
Nhân tử mẫu với lượng liên hợp của3x+√9x2−1ta được
I =
1 Z
1
x
3x+√9x2−1dx= Z
1
x(3x−√9x2−1) dx= 3 Z
1
x2dx−
1 Z
1
x√9x2−1 dx
Đặt u= 9x2−1⇒ du= 18xdx đổi cận, ta
I =x3
1
−
18
1 Z
1
√
9x2−1·18xdx=x3
1
−
18
8 Z
0
√
udu= 26 27 +
Ñ
−u
3
27 é
0
= 26 27 −
16√2 27
Chọn đáp án A
Câu 552
Cho(H)là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy= e,
y = ex y = (1−e)x+ (tham khảo hình vẽ bên) Diện tích (H)
A S = e +
2 B S = e + C S = e +
2 D S = e−1
2
x −2 −1
y
−1
O
y= e
y= ex
(196)Lời giải
Dựa vào hình vẽ, ta xác định nhanh hoành độ giao điểm cặp đồ thị hàm số
x=−1, x= 0, x=
S =
0 Z
−1
(e−(1−e)x+ 1) dx+
1 Z
0
(e−ex) dx= e +
Chọn đáp án A
Câu 553 Cho hàm sốf(x)xác định trênR\{−1; 1}và thỏa mãnf0(x) =
x2−1,f(−3)+f(3) = Tính giá trị biểu thức f(0) +f(4)
A P = + 2ln
3
5 B 2ln
3
5 C + ln
5 D ln + Lời giải
f0(x) =
x2−1 ⇒f(x) = Z
1
x2−1dx=
1 2ln
1−x +x
+C
Theo giả thiết, ta có
f(−3) +f(3) = 0⇔
2ln + 2ln
1
2 + 2C = ⇔C =
Vậy f(0) +f(4) = 2ln +
1 2ln
3
5 + 2C = 2ln
3
Chọn đáp án B
Câu 554 Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục đoạn[0; 1]thỏa mãnf(1) = 0và Z
0
[f0(x)]2dx=
1 Z
0
(x+ 1)exf(x) dx= e
2−1
4 Tính tích phân
1 Z
0
f(x) dx
A I = e−2 B I = 2−e C I = e−1
2 D I = e Lời giải
Tính Z
0
(x+ 1)exf(x) dx Đặt (
u=f(x)
dv = (x+ 1)exdx ⇒
(
du=f0(x) dx v =xex
1 Z
0
(x+ 1)exf(x) dx=xexf(x)
0
−
1 Z
0
xexf0(x) dx= ef(1)−
1 Z
0
xexf0(x) dx=−
1 Z
0
xexf0(x) dx
Mà Z
0
(x+ 1)exf(x) dx= e
2−1
4 ⇒
1 Z
0
xexf0(x) dx= 1−e
2
4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
Å 1−e2
4 ã2
= Ñ 1
Z
0
xexf0(x) dx é2
≤
Ñ 1
Z
0
(xex)2dx
é Ñ 1
Z
0
[f0(x)]2dx é
⇔
Å1−e2
4 ã2
≤ e
2−1
4
1 Z
0
[f0(x)]2dx⇔ e
2−1
4 ≤
1 Z
0
(197)Dấu xảy khif0(x) =axex, với a∈
R Ta có
1 Z
0
xexf0(x) dx= 1−e
2
4 ⇒
1 Z
0
a(xex)2dx= 1−e
2
4 ⇔a·
e2−1
4 =
1−e2
4 ⇔a=−1
Suy f0(x) = −xex⇒f(x) =−ex(x−1) +C, mà f(1) = nên C = Vậy
1 Z
0
f(x) dx=
1 Z
0
−ex(x−1) dx= e−2
Chọn đáp án A
Câu 555 Cho hàm số y=f(x) liên tục trên[0; +∞)
x2
Z
0
f(t) dt=xsin(πx) Tínhf(4)
A f(4) = π−1
4 B f(4) = π
2 C f(4) =
2 D f(4) = π Lời giải
Gọi F(x)là nguyên hàm hàm số f(x) Ta có
x2
Z
0
f(t) dt =F(x)
x2
0
=F(x2)−F(0) =xsin(πx) Lấy đạo hàm hai vế, ta 2xF0(x2) = sinπx+πxcosπx Thay x= vào ta được4F0(4) = 2π ⇔F0(4) = π
2 ⇔f(4) = π
Chọn đáp án B
Câu 556 Cho hàm số y = f(x) liên tục, xác định đoạn [a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x =a, x =b tính theo cơng thức
A S =
b
Z
a
|f(x)| dx B S =
b
Z
a
f(x) dx C S =− b
Z
a
f(x) dx D S =
a
Z
b
|f(x)| dx
Lời giải
Câu hỏi lý thuyết
Chọn đáp án A
Câu 557 Nguyên hàm F(x)của hàm số f(x) = 3−
sin2x
A F(x) = 3x−tanx+C B F(x) = 3x+ tanx+C
C F(x) = 3x+ cotx+C D.F(x) = 3x−cotx+C
Lời giải F(x) =
Z Å
3−
sin2x ã
dx= 3x+ cotx+C
Chọn đáp án C
Câu 558 Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàmf0(x)liên tục đoạn[1; 4],f(1) = 12và Z
1
f0(x) dx= 17 Giá trị f(4)
A 29 B C 19 D
Lời giải
Ta có Z
1
(198)Chọn đáp án A Câu 559 Cho hình phẳng (S) giới hạn đường cong có phương trình y =√2−x2 và trục Ox, quay(S) xung quanh trụcOx Thể tích khối trịn xoay tạo thành
A V =
√
2π
3 B V = 4√2π
3 C V = 4π
3 D V = 8π
3 Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong y=√2−x2 và trục Ox là
√
2−x2 = 0⇔x=±√2.
Thể tích khối trịn xoay V =π √
2 Z
−√2
(2−x2) dx=π Å
2x− x
3
3 ã
√
2
−√2
=
√
2π
Chọn đáp án A
Câu 560 Cho Z
0
dx
√
x+ +√x+ =a
√
b−
3
√
a+2
3,a, b∈N
∗ Tính a+ 2b.
A a+ 2b = B a+ 2b= C a+ 2b=−1 D a+ 2b =
Lời giải
Ta có
1 Z
0
dx
√
x+ +√x+ =
1 Z
0
√
x+ 2−√x+
dx
√
x+ +√x+ √x+ 2−√x+
=
1 Z
0
Ä√
x+ 2−√x+ 1ä dx
=
ỵ
(x+ 2)32 −(x+ 1)
ó
= 2√3−
3
√
2 +
Suy a= b = Vậy a+ 2b=
Chọn đáp án B
Câu 561 Cho hàm sốf(x)xác định trênR\{−2; 1}thỏa mãnf0(x) =
x2+x−2,f(−3)−f(3) = f(0) =
3 Giá trị biểu thứcf(−4) +f(−1)−f(4) A
3ln +
3 B ln 80 + C 3ln
4
5+ ln + D 3ln
8 5+ Lời giải
Ta có f(x) =
Z 1
(x+ 2)(x−1)dx=
1 3ln
x−1 x+
+C1,∀x∈(−∞;−2)
1 3ln
x−1 x+
+C2,∀x∈(−2; 1)
1 3ln
x−1 x+
+C3,∀x∈(1; +∞)
Trên khoảng(−∞;−2), ta có f(−3) =
3ln +C1
Trên khoảng(−2; 1), ta có f(0) = 3ln
1
2 +C2 =
3 ⇒C2 =
3(1 + ln 2)
Do đóf(−1) = 3ln +
(199)Trên khoảng(1; +∞), ta có f(3) = 3ln
2 +C3
Theo giả thiết f(−3)−f(3) = 0⇔C1−C3 =
1 3ln
1 10
Khi
f(−4) +f(−1)−f(4) = 3ln
5
2 +C1+ 3ln
1 +
1 −
1 3ln
1 2−C3 =
3ln +
2 3ln
1 +
1 −
1 3ln
1 +
1 3ln
1 10 =
3ln +
Chọn đáp án A
Câu 562 Cho hàm số y =f(x)xác định liên tục R thỏa mãn đồng thời điều kiện sau
f(x) >0,∀x∈ R; f0(x) = −ex·f2(x),∀x ∈ R f(0) =
2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị
điểm có hồnh độx0 = ln
A 2x+ 9y−2 ln 2−3 = B 2x−9y−2 ln + =
C 2x−9y+ ln 2−3 = D.2x+ 9y+ ln 2−3 =
Lời giải
f0(x) =−ex·f2(x)
⇔ −f
0(x) f2(x) = e
x
⇔
ln Z
0
ï
−f
0(x) f2(x)
ò dx=
ln Z
0
exdx
⇔
Å 1 f(x)
ã
ln
0 = e
x
ln
⇔
f(ln 2) − f(0) =
⇔ f(ln 2) =
f0(ln 2) =−eln 2·f2(ln 2) =−2·
Å1
ã2 =−2
9
Vậy phương trình tiếp tuyến y=−2
9(x−ln 2) +
3 ⇔2x+ 9y−2 ln 2−3 =
Chọn đáp án A
Câu 563 Cho hàm số y = f(x) > xác định, có đạo hàm đoạn [0; 1] thỏa mãn: g(x) = + 2018
x
Z
0
f(t) dt, g(x) = f2(x) Tính Z
0
»
g(x) dx
A 1011
2 B
1009
2 C
2019
2 D 505 Lời giải
Vì f(x)>0 g(x) =f2(x) nên g(x)>0.
g(x) = + 2018
x
Z
0
f(t) dt nên g(0) = + 2018
0 Z
0
(200)Ta có
g(x) = + 2018
x
Z
0
f(t) dt
⇒ g0(x) = 2018f(x) = 2018»g(x)
⇒ g
0(x)
p
g(x) = 2018
⇒ t
Z
0
g0(x)
p
g(x)dx= 2018
t
Z
0
dx
⇒ 2»g(t)−1= 2018t
⇒ »g(t) = 1009t+
⇒
1 Z
0
»
g(t) dt=
1 Z
0
(1009t+ 1) dt= 1011
Chọn đáp án A
Câu 564 Cho hàm số y=f(x)liên tục đoạn [a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) tính theo cơng thức
A
a
Z
b
|f(x)|dx B π
b
Z
a
f(x) dx C π
b
Z
a
|f(x)|dx D
b
Z
a
|f(x)|dx
Lời giải
Chọn đáp án D
Câu 565 Họ nguyên hàm hàm số f(x) = 1−x+x2
A F(x) =x− x
2
2 + x3
3 +C B F(x) = − x2
2 + x3
3 +C C F(x) =−1 + 2x+C D.F(x)x−x2+x3+C
Lời giải
Chọn đáp án A
Câu 566 Tập nghiệm bất phương trình log2(x−2)<3là
A (−∞; 10) B (2; 6) C (2; 10) D [2; 10)
Lời giải
Điều kiện: x >2
Phương trình tương đương với: x−2<8⇔x <10
Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình (2; 10)
Chọn đáp án C
Câu 567 Tích phân Z
0
3e3xdx
A e3−1. B. e3+ 1. C. e3. D. 2e3.