chuyên đề tích phân toán 12

LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HỒN VIOLET.VN/VANLONGHANAM CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng cơng thức tích phân bất định : ∫ 0dx = C n ∫ x dx = x n +1 +C n +1 ∫ dx = x + C ∫ x dx = ln x + C n ≠ −1 ax C ln a ∫ cos xdx = sin x + C x x ∫ e dx = e + C x ∫ a dx = ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C ∫ sin 2 x dx = − cot x + C u′( x) 1 x−a ∫ u( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x − a dx = 2a ln x + a + C x a 2 ∫ x + a dx = x + a + ln x + x + a + C Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [ a; b] có nguyên hàm F (x) Giả sử u (x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [α , β ] có miền giá trị [ a; b] ta có : ∫ f [ u( x)].u ' ( x)dx = F ( x)[ u( x)] + C BÀI TẬP Tính tích phân sau : a) I1 = ∫ xdx x2 + 1 e e x dx ex − b) I = ∫ c) I = ∫ 1 + ln x dx x Bài làm : a) Đặt t = x + ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = dt x = → t = x = → t = Đổi cận :  2 xdx dt 1 Vậy : I1 = ∫ = ∫ = ln t = ln 21 t 2 x +1 b) Đặt t = e x − ⇒ dt = e x dx VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM x = → t = e − Đổi cận :  x = → t = e − 1 x Vậy : I = ∫ ex dx = e −1 e2 −1 ∫ e−1 e2 −1 dt = ln t = ln(e + 1) t e−1 x c) Đặt t = + ln x ⇒ tdt = dx x = → t = x = e → t = Đổi cận :  e I3 = ∫ 2 + ln x dx = ∫ t dt = t = (2 − 1) x 3 Tích phân lượng giác : β Dạng : I = ∫ sin mx cos nxdx α Cách làm: biến đổi tích sang tổng β m n Dạng : I = ∫ sin x cos x.dx α Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt t = tan x Nếu m chẵn n lẻ Đặt t = sin x (trường hợp lại ngược lại) β Dạng : I = ∫ α dx a sin x + b cos x + c Cách làm : 2t  sin x =  x  1+ t2 Đặt : t = tan ⇒  2 cos x = − t  1+ t2 β a sin x + b cos x dx Dạng : I = ∫ c sin x + d cos x α Cách làm : Đặt : a sin x + b cos x B (c cos x − d sin x) = A+ c sin x + d cos x c sin x + d cos x Sau dùng đồng thức β Dạng 5: I = ∫ α a sin x + b cos x + m dx c sin x + d cos x + n Cách làm : VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN Đặt : VIOLET.VN/VANLONGHANAM a sin x + b cos x + m B (c cos x − d sin x ) C = A+ + c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n Sau dùng đồng thức BÀI TẬP Tính tích phân : π π a) I1 = ∫ cos xdx π b) I = ∫ cos xdx (sin x + 1) c) I = ∫ tan xdx 0 Bài làm : a) Đặt : t = sin x + ⇒ dt = cos xdx x = → t =  Đổi cận :  π  x = → t = π 2 Vậy : I = ∫ cos xdx = ∫ dt4 = − 13 = (sin x + 1) 3t t b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = → t =  Đổi cận :  π  x = → t = π Vậy : ( I = ∫ cos xdx = ∫ − t ) 2 24 1 ( ) dt = ∫ + t − 2t dt  t5  = ∫  − t + t  =  15 0 c) Đặt : t = tan x ⇒ dt = (tan x + 1)dx x = → t =  Đổi cận :  π  x = → t = π Vậy : 1 t dt   I = ∫ tan xdx = ∫ = ∫ t − t + − dt t + 1 0 t +1 0 π  t5 t3  13 π =  − + t  − ∫ du = − 15 5 0 VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HỒN VIOLET.VN/VANLONGHANAM Tính tích phân sau : π a) I1 = ∫ π sin x cos x a sin x + b cos x cos x b) I = ∫ dx + cos x dx Bài làm : a) Đặt : t = a sin x + b cos x ⇒ dt = 2(−b + a ) sin x cos xdx x = → t = a  Đổi cận :  π x = → t = b  Nếu a ≠ b π Vậy : sin x cos x dx = 2 b − a2 a sin x + b cos x I1 = ∫ = t b − a2 b2 = a2 ( a−b b −a 2 = b2 )∫ a2 dt t a+b Nếu a = b π sin x cos x I1 = ∫ a sin x + b cos x Vậy : = π 2 2 sin x cos xdx a dx = ∫ π π 1 sin xdx = − cos x = ∫ 2a 4a 2a b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = → t =  Đổi cận :  π x = → t =  π cos x Vậy : I = ∫ + cos x dx = ∫ dt − 2t = ∫ dt −t 3 cos u ⇒ dt = − sin udu 2 π  t = → u =  Đổi cận :  t = → u = π  Đặt : t = VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN I2 = Vậy : = ∫ π ∫ du = 2π dt −t 2 = π ∫ π sin udu − cos u ( ) π = u π VIOLET.VN/VANLONGHANAM π Tính tích phân sau : π π b) I = ∫ sin x + cos x + dx a) I = ∫ dx sin x + cos x + 0 sin x + cos x + Bài làm : x  2dt  ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = 2  t +1  x = → t =  Đổi cận :  π  x = → t = 1 dt + t I1 = ∫ dt = ∫ 2 2t 1− t 0 ( t + 1) + + Vậy : 1+ t2 1+ t2 a) Đặt : t = tan x 1 =− = t+2 sin x + cos x + cos x − sin x C = A+ B + sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + Dùng đồng thức ta được: A = , B = , C = b)Đặt : π Vậy : I2 = ∫ π sin x + cos x + cos x − sin x   dx = ∫ 1 + + dx sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x +  0 π = ( x + ln sin x + cos x + ) 02 + I1 = π + ln + Bạn đọc tự làm : π cos3 x a) I1 = ∫ dx π sin x π b) I = ∫ cos3 x sin xdx VIOLET.VN/VANLONGHANAM π dx sin x + c) I = ∫ Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM π π π sin x − cos x + d) I = ∫ dx d) I = ∫ dx sin x + cos x + sin x + cos x + 3 c) I = ∫ sin x dx cos x + Tính nguyên hàm,tích phân hàm hữu tỷ dx 1 =− + C với ( a, n ) ∈ C × ( N − { 0,1} ) ta có : Dạng : I = ∫ ( n n − ( x − a ) n−1 x − a) dx = ln x + C Nếu n = , a ∈ R ta có : I = ∫ x−a α , β , a, b, c ∈ R dx :  ax + bx + c ∆ = b − 4ac < * Giai đoạn : α ≠ ,làm xuất tử thức đạo hàm tam thức ax + bx + c , Dạng : I = ∫ αx + β ( ) n sai khác số : I= α 2a ∫ 2aβ −b α 2ax + b α  2aβ dx  α dx = dx +  − b ∫ n n ∫ 2 2a ax + bx + c 2a  α  ax + bx + c ax + bx + c 2ax + b + ( ) * Giai đoạn : Tính I = ∫ ( ( ) ( n n dt  4a  − ∆ dx =   n ∫  − ∆  2a ax + b + t ax + bx + c t= dx ) ) −∆ ( ) n * Giai đoạn : Tính I = ∫ (t P ( x) ) +1 n dt tính hai phương pháp , truy hồi đặt t = tan φ m Dạng : I = ∫ Q ( x ) dx n Pm ( x ) am x m + + a1 x + a0 = Ta có : Qn ( x ) bn x n + + b1 x + b0 P ( x) R ( x) m r Nếu : deg( P ) ≥ deg( Q ) ta thực phép chia Q ( x ) = A( m − n ) ( x ) + Q ( x ) n n Rr ( x ) phân số Q ( x ) có deg( R ) < deg( Q ) n Nếu : deg( P ) < deg( Q ) ta có qui tắc sau : Pm ( x ) A1 An −1 An + + + n −1 ( x − a) ( x − a) ( x − a) ( x − a) n n Pm ( x ) Ai = ∑ n i Vdụ 1a : ( x − a ) i i=1 ( x − ) *Qt 1: n ∏ i =1 = i P ( x) A B C D m Vdụ 1b : ( x − a)( x − b)( x − c)2 = x − a + x − b + x − c + ( x − c ) VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN Pm ( x ) VIOLET.VN/VANLONGHANAM An−1 x + Bn−1 An x + Bn A1 x + B1 + + + n −1 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c m n Pt ( x ) Ai Ai x + B1 = + ∑ ∑ *Qt 3: n i m ( x − α ) ax + bx + c i =1 ( x − α ) k =1 ax + bx + c i P ( x) A Bx + C Vdụ : ( x − α ) axt + bx + c = x − α + ax + bx + c Pt ( x ) B1 x + C1 B2 x + C A = + + 2 Vdụ : ( x − α ) ax + bx + c ( x − α ) ax + bx + c ax + bx + c *Qt 2': ( ) n = ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) n với ∆ < ) ( ) ( ) ( ) ( ) BÀI TẬP Tính tích phân sau : a) I = ∫ dx x + 3x + b) I = ∫ (x dx + 3x + ) Bài làm : 1 dx dx   =∫ = ∫ − dx a) I = ∫ ( x + 1)( x + 2)  x + x +  x + 3x + = [ ln x + − ln x + ] = ln 1   dx dx = ∫  + − dx b) I = ∫ 2 2 ( x + 2) ( x + 1)( x + 2)  ( x + 3x + 2)  ( x + 1) 1   = − − − 2( ln x + − ln x + )  = OK  x +1 x + 0 Tính tích phân sau : a) I1 = ∫ dx x + 3x + b) I = ∫ ( 4x − dx x + ( x + 2) ) Bài làm : dx x = arctan + C với a > x +a a a dx  1  = ∫ − dx 2 x +1 x +  x +1 x +  a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh I = ∫ 1 dx I1 = ∫ = x + x + ∫0 ( )( ) ( 1 x  π =  arctan x − arctan  = 9−2 2 30 VIOLET.VN/VANLONGHANAM ) Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM 4x − A Bx + C x ( A + B ) + x( B + C ) + 2C + A = + = ( x + 2) x + x + x + ( x + 2) x + A + B =  A = −2   Do ta có hệ : 2 B + C = ⇔ B = 2C + A = C =   b) Đặt : ( Vậy : I = ∫ [ ) ( ) ( 4x − 2 2x   dx = − +  dx ∫ x + x + x + ( x + 2)   ) ] = − ln x + + ln x + = −2 ln + ln + ln − ln = ln Bạn đọc tự làm : a) I1 = ∫ 2 c) I = ∫ x +1 dx x ( x − 1) b) I = ∫ x −1 dx 4x3 − x d) I = ∫ x − 3x + dx 2 dx x + 2x − x HD: x +1 A B C A B = + x + 2x − x − x + 3 x A B C D  x −1  x−4 = + + +  d) = 1 + c) x − 3x + x − x + x + x − x − x  x( x + 1)( x − 1)  a) x ( x − 1) = x + x + x − b) Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận + cận dưới, … Chúng ta cần phải nhớ đẳng thức nầy xem bổ đề áp dụng BÀI TẬP 1 m n Chứng minh : ∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x ) dx n m Bài làm : m Xét I = ∫ x (1 − x ) dx n Đặt : t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM x = → t = x = → t = Đổi cận :  1 m n Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t ) t dt (đpcm) n m m n Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục đoạn [ − a, a ] : a ∫ f ( x ) dx = I= −a Bài làm : a I= a −a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1) −a Xét ∫ f ( x ) dx Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt −a  x = −a → t = a x = → t = Đổi cận :  V ậy : a a −a 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − t ) dt = −∫ f ( t ) dt Thế vào (1) ta : I = (đpcm) • Tương tự bạn đọc chứng minh : Nếu f (x) hàm chẳn liên tục đoạn a a −a [ − a, a ] I = ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x )dx Cho a > f ( x ) hàm chẵn , liên tục xác định R f ( x) Chứng minh : ∫ x dx = ∫ f ( x )dx a +1 −α α α f ( x) f ( x) f ( x) dx = ∫ x dx + ∫ x dx x +1 a +1 a +1 −α α ∫α a − α Bài làm : (1) Xét t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt  x = −α → t = α Đổi cận :  x = → t = f ( x) dx Đặt x +1 ∫α a − f ( x) f (− t) at f ( t ) dx = dt = Vậy : ∫ x ∫0 a −t + ∫0 at + a +1 −α α VIOLET.VN/VANLONGHANAM α Trang LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN Thế vào (1) ta : VIOLET.VN/VANLONGHANAM f ( x) a f ( x) f ( x) dx = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm) x +1 a +1 a +1 −α 0 α ∫α a − α x α Cho hàm số f ( x ) liên tục [ 0,1] Chứng minh : π ππ ∫0 x f ( sin x ) dx = ∫0 f ( sin x ) dx Bài làm : π Xét ∫ x f ( sin x ) dx Đặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt x = → t = π x = π → t = Đổi cận :  π π π Vậy : ∫ x f ( sin x ) dx = ∫ ( π − t ) f [ sin ( π − t ) ] dt = ∫ ( π − t ) f ( sin t ) dt 0 π π 0 = π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ t f ( sin t ) dt π π ⇒ 2∫ x f ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x )dx ⇒ π π π ∫ x f ( sin x ) dx = ∫ f ( sin x )dx 0 • Từ tốn , bạn đọc mở rộng tốn sau Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a, b] f ( a + b − x ) = f ( x ) Thì ta ln có : π b a+b ∫a x f ( x ) dx = ∫0 f ( x ) dx Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T Chứng minh : a +T T a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx Bài làm : a +T T a +T a a T T a +T T ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Vậy ta cần chứng minh a a a +T T ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a Xét ∫ f ( x ) dx Đặt t = x + T ⇒ dt = dx VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 10 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM x = → t = T x = a → t = a + T Đổi cận :  a +T a +T ∫ f ( t − T ) dt = ∫ f ( t )dt Vậy : T a +T T T a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx Hay : (đpcm) • Từ tốn , ta có hệ sau : Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T , ta ln T T ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx có : − T Bạn đọc tự làm : π −1 e) I = ∫π − π x sin x dx + cos x π x sin x 1+ 2x 2π x.sin x dx + cos x d) I = ∫ x + sin x dx 1+ x2 −1 f) I = ∫ dx ( ) g) I = ∫ ln sin x + + sin x dx ∗ ) b) I = ∫ sin x cos x ln x + x + dx c) I = ∫ ( a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx ∗ h) I = 2009π ∫ − cos x dx Tích phân phần : Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục đoạn [ a, b] , ta có : b b ∫ udv = [ uv] a − ∫ vdu a b a Trong lúc tính tính tích phân phần ta có ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit phải đặt u = ln x hay u = log a x *ưu tiên : Đặt u = ?? mà hạ bậc BÀI TẬP Tính tích phân sau : VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 11 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN π x a) I1 = ∫ x.e dx VIOLET.VN/VANLONGHANAM e c) I = ∫ ln xdx b) I = ∫ x cos xdx Bài làm : u = x ⇒ du = dx a) Đặt :  x x dv = e dx ⇒ v = e 1 x x x x Vậy : I1 = ∫ x.e dx = x.e − ∫ e dx = e − e = e − ( e − 1) = 1 u = x ⇒ du = xdx dv = cos xdx ⇒ v = sin x b) Đặt :  π π Vậy : I1 = ∫ x.e x dx = − x cos x − ∫ x sin xdx = π −2 ∫ x sin xdx (1) π 0 0 π Ta tính tích phân ∫ x sin xdx u = x ⇒ du = dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x Đặt :  π Vậy : π π π π ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x 02 + sin 02 = 0 x Thế vào (1) ta : I1 = ∫ x.e dx = π −8  u = ln x ⇒ du = dx x c) Đặt :  dv = dx ⇒ v = x e e Vậy : I = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x = e e e Tính tích phân sau : π a) I1 = ∫ e sin xdx x π b) I = ∫ x2 dx cos x eπ c) I = ∫ cos( ln x ) dx Bài làm : u = e x ⇒ du = e x dx a) Đặt :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π π x x x π Vậy : I1 = ∫ e sin xdx = − e cos x + ∫ e cos xdx = e + + J VIOLET.VN/VANLONGHANAM (1) Trang 12 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM u = e ⇒ du = e dx dv = cos xdx ⇒ v = sin x x x Đặt :  π π π x x x Vậy : J = ∫ e cos xdx = e sin x − ∫ e sin xdx = − I 0 Thế vào (1) ta : I1 = eπ + ⇒ I1 = eπ + u = x ⇒ du = dx  b) Đặt :  dv = cos x dx ⇒ v = tan x π Vậy : I = ∫ π π x π π = ( ) dx = x tan x − tan xdx = + ln cos x + ln ∫ cos x 4 π  u = cos( ln x ) ⇒ du = − sin ( ln x ) dx x c) Đặt :  dv = dx ⇒ v = x eπ eπ Vậy : I = ∫ cos( ln x ) dx = x cos( ln x ) + ∫ sin ( ln x ) dx = −( eπ + 1) + J eπ 1  u = sin ( ln x ) ⇒ du = cos( ln x ) dx x Đặt :  dv = dx ⇒ v = x eπ eπ Vậy : I = ∫ sin ( ln x ) dx = x sin ( ln x ) − ∫ cos( ln x ) dx = − I eπ Thế vào (1) ta : I = −( eπ + 1) ⇒ I = − eπ + Bạn đọc tự làm : ln a) I1 = −x ∫ x.e dx   − dx ln x ln x  e c) I = ∫  π e) I = ∫ sin x ln( tan x ) dx π π g) I ∗7 = ∫ x cos x e b) I = ∫ (1 − ln x ) dx ( ) d) I = ∫ ln x + + x dx e f) I = ∫ cos ( ln x ) dx π h) I ∗7 = ∫ + sin x e x dx + cos x Tích phân hàm trị tuyệt đối, , max : VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 13 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HỒN VIOLET.VN/VANLONGHANAM b Muốn tính I = ∫ f ( x ) dx ta xét dấu f ( x ) đoạn [ a, b] , khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I = ∫ max[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta xét dấu f ( x ) − g ( x ) đoạn [ a, b] a b Muốn tính I = ∫ min[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta xét dấu f ( x ) − g ( x ) đoạn [ a, b] a Tính tích phân sau : b) I1 = ∫ x + x − dx a) I1 = ∫ x − dx Bài làm : x a) x-2 - +   x2   x2 Vậy : I1 = ∫ x − dx = ∫ ( − x )dx + ∫ ( x + 2)dx = 2 x −  +  − x  1   2 1    = ( − ) −  −   + [ ( − 8) − ( − ) ] =    4 b) Lập bảng xét dấu x + x − , x ∈ [ 0,2] tương tự ta 0 ( ) ( ) I1 = ∫ x + x − dx = − ∫ x + x − dx + ∫ x + x − dx  x3   x3  I1 = 3 x − x −  + − x + x +  = 0  1  Tính I a = ∫ x x − a dx với a tham số : Bài làm : x x-a −∞ a - +∞ + (Từ bảng xét dấu ta đánh giá ) Nếu a ≤ 1 I a = ∫ x x − a dx = ∫ 0 (  x ax  a x − ax dx =  − = −  0 3 VIOLET.VN/VANLONGHANAM ) Trang 14 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM Nếu < a < a ( ) ( ) I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x − ax dx a a  ax x   ax x  a2 a3 = −  + − +  = − + 0  a 2  Nếu a ≥  x ax  a I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  − =− +  0 3 0 1 ( ) 2 Tính : a) I1 = ∫ (1, x ) dx ( ) I = ∫ max x , x dx 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : (1 − x ) ∀x ∈ [ 0,2] ( ) 2 x3 I = , x dx = x dx + dx = + x1 = Vậy : ∫ ∫ ∫ 3 0 2 b) Xét hiệu số : x( x − 1) ∀x ∈ [ 0,3] tương tự ta có ( ) 3 x2 x3 55 I = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = + = 0 2 Bạn đọc tự làm : π 3π a) I1 = ∫ ( x, x − 3) dx b) I = ∫ max( sin x, cos x ) dx c) I = ∫ sin x − cos x dx −2 d) I = ∫ max( x ,4 x − 3) dx d) I ∗ = ∫  x + x − + x − x − dx −2 Ngun hàm , tích phân hàm số vơ tỷ : Trong phần nầy ta nghiên cứu trường hợp đơn giản tích phân Abel ) ( Dạng 1: ∫ R x, ax + bx + c dx ta xét dạng hữu tỷ a > − ∆   2ax + b   → ax + bx + c =   1 +   4a   − ∆   ∆ < ∫ R ( x, ) ax + bx + c dx = ∫ S (t , ax +b t= −∆ ) + t dt Tới , đặt t = tan u a < − ∆   2ax + b   → ax + bx + c = −     Dạng 2:  4a   − ∆   ∆ < VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 15 ∫ R ( x, LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN ) ax + bx + c dx = ∫ S (t , VIOLET.VN/VANLONGHANAM ) − t dt ax + b t= −∆ Tới , đặt t = sin u  a > ∆  2ax + b  → ax + bx + c =  − 1  Dạng 3:  4a  − ∆  ∆ >  ) ∫ R ( x, ) ∫ S (t , ax + bx + c dx = t − dt ax + b t= ∆ Dạng (dạng đặc biệt) : ∫ ( αx + β ) dx Một số cách đặt thường gặp : 2 đặt x = a cos t ∫ S x, a − x dx ( ∫ S ( x, ∫ S ( x, ∫ S ( x,  ∫ S  x, a2 x2 ) + x )dx − a )dx đặt x = a tan t đặt x = ) ax + b   cx + d  Tính : I = ∫ đặt t = m (x dx ax + bx + c = t= ∫ αx + β sin u dt αt + µt + ζ 0≤t ≤π π π  đặt  ax + bx + c = t ( x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c =   ax + bx + c = ± a x ± t ; a>0  ax + bx + c dx m a cos t Tới đây, đặt t = + 4x + ) ax + b cx + d ; ad − cb ≠ Bài làm : ∫ (x dx + 4x + ) = ∫ t = x+2 (t dt ) +3 Đặt : t = tan u ⇒ dt = ( tan u + 1) du Ta có I = ∫ ( ) tan u + du ( ) = ∫ cos udu 3 tan u + 1 t x+2 = sin u + C = +C = +C 2 3 t +1 x + 4x + tan u VIOLET.VN/VANLONGHANAM tan u Trang 16 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HỒN Tính : a) I = ∫ xdx VIOLET.VN/VANLONGHANAM b) I = ∫ x2 + x + dx x x2 − 2x − Bài làm : xdx ∫ a) I= x + x +1 2 =∫ 3t − ∫ t2 +1 x +1 t= xdx 1  x +  + 2  dt = = 3t − ∫ x +1 t= t2 +1 dt ) ( t + − ln t + t + + C 2 1   + ln x + + x + x +  + C 2   dt b)Đặt : x = ⇒ dx = − t t dx dt t +1 I =∫ =− ∫ = − arcsin +C 2 x x2 − 2x −1 − ( t + ) x= = x2 + x + − t +1 x +1 = − arcsin x + C = − arcsin +C 2 Tìm nguyên hàm sau dx 1+ x + 1+ x a) I = ∫ b) I = ∫ dx x +1+ x +1 Bài làm : a)Đặt : t = + x ⇒ t = + x ⇒ 6t dt = dx Vậy : I = ∫ dx t dt   = = ∫ t − t +1− dt  ∫ t +1  t +t 1+ x + 1+ x t = 1+ x t = 1+ x  = 2t − 3t + 6t − ln t + + C = + x − 33 + x + 66 + x − ln + x + + C b) I = ∫ = Xét ∫  dx 1+ x − x +1  −2 x +1  =∫ dx = ∫  x + 1dx − ∫ dx  x x +1+ x +1 x  1 x +1 x+ x − ∫ dx 2 x x +1 dx x Đặt : t = VIOLET.VN/VANLONGHANAM x +1 x (1) ⇒ x= 2t ⇒ dx = − dt t −1 t −1 ( ) Trang 17 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN Vậy : x +1 dx = −2 x ∫ t dt ∫ ( t − 1) VIOLET.VN/VANLONGHANAM = OK x +1 t= x Tìm nguyên hàm sau : 2 a) I = ∫ x x + 9dx 2 b) I = 16∫ x x + 4dx Bài làm : x2 + = x − t a)Đặt : ⇒  t2 +   − t2 −  .  I1 = ∫    2t   2t  Vậy : =− ( ) ( )  162 6561   t4 6561   − 162 ln t −  + C t − + dt = −   ∫ 16  t t  16  4t  (  x − x2 + =−  16   x2 + = x − t b)Đặt : t2 − t2 + ⇒ dx = dt 2t 2t 2 t2 − t − 81 dt = − ∫ dt 4t 16 t5 x= ) − 162 ln x − x + − ⇒ x= ( t2 − 2t t2 + 4 − t2 − 4 t2 − .  I = 16 ∫    2t   2t  4t )  +C  x− x +9  ⇒ dx = dt = − ∫ (t 6561 ( ) t2 + dt 2t ) − 16 dt t5 t4 36 256  64   = −∫  t − + dt = −  − 36 ln t −  + C t t  t   4 (  x − x2 + = −   ) + 36 ln x − x + − (  +C  x − x2 +  64 ) Tính tích phân sau : a) −8 I1 = ∫ x − x dx dx dx −3 x − x b) I = ∫ Bài làm : I1 = ∫ 1 x − x dx = ∫ − ( x − 1) dx 21 2 VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 18 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM Đặt : x − = sin t ⇒ dx = cos tdt   x = → t = Đổi cận :  x = → t = π  π π π Vậy : I1 = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt = 1 + sin 2t  40 80 8 0  π  π  =  −  − ( + 0)  =    16 b) Đặt : t = − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t =  x = −8 → t = Đổi cận :  −8 3 dx tdt dt dx = ∫ = 2∫ Vậy : I = ∫ 1− t t 1− t −3 x − x 2 ( ) t −1   = − ln = − ln − ln 1 = ln t +1   Bạn đọc tự làm : a) I1 = ∫ dx x x2 + d) I = ∫ + x dx c) I = ∫ b) I = ∫ x − x dx d) I ∗5 = ∫ + x2 −1 1− x −1 dx ∗ d) I = (x dx +4 ) 1 + x2 + dx Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f ( x ) ≥ ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ a b b Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a b Nếu m ≤ f ( x ) ≤ ∀x ∈[ a, b] ⇒ m( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a ) a Trong trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 19 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM Chứng minh bất đẳng thức sau : a) ∫ x(1 − x ) dx ≤ x b) ≤ ∫ dx ≤ x +1 c) ∫ ( + x + − x )dx ≤ Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :  x + (1 − x )  x (1 − x ) ≤  = ∀x ∈ [ 0,1]    1 1 ( ) x − x dx ≤ dx = Vậy : ∫ (đpcm) ∫ 40 b) Xét hàm số : f ( x ) = Đạo hàm : x ∀x ∈ [1,2] x +1 − x2 f ′( x ) = (x ) +1 x = f ′( x ) = ⇔   x = −1   f (1) = Ta có :   f ( 2) =  x ≤ ≤ ∀x ∈ [1,2] x +1 2 2 x ⇒ dx ≤ dx ≤ ∫1 x + ∫1 dx Vậy : ∫ 2 x ⇒ ≤∫ dx ≤ x +1 Áp dụng Bunhicopxki ta có : + x + − x ≤ 12 + 12 + x + − x = ∀x ∈ [ 0,1] ∫( Vậy : ) + x + − x dx ≤ 2(1 − ) ∫( ) 1 + x + − x dx ≤ (đpcm) e − x sin x π ∫1 x + dx < 12e Chứng minh : VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 20 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN Bài làm : [ ∀x ∈ 1, ⇒ ] ⇒ − x ≤ −1 ⇒ e − x ≤ e − x sin x < 2 x +1 e x +1 ( Xét ∫ e( x VIOLET.VN/VANLONGHANAM e e − x sin x ⇒ ∫ dx < x +1 ) ∫ e( x 1 ) dx +1 ) dx +1 Đặt : x = tan t ⇒ dx = ( tan t + 1) dt π   x = → t = Đổi cận :  x = → t = π  π Do : ( tan ) π t + dt dt π =∫ = t + π e 12 ∫ π e( tan ) 4 Từ ta đpcm Bạn đọc tự làm : Chứng minh : π a) π ≤ ∫ 16 dx π ≤ + cos x 10 π b) * d ) Cho hàm số liên tục : sin x ax = y ( x − y )( x + y + a ) =   2 Xét : ay = x ⇔ ay = x a > a >   Với x = y ta : x = y x = a  ay = x ⇔  x = a >  ( n) (l) Với x + y + a = ta :  x + ax + a = x + y + a =  x = a  ⇔ ay = x ⇔ ay = x x = a > a >   ( n) (l) Ta lại có : VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 24 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM  y = ± ax ax = y   x2  ay = x ⇔  y = a a >   a >  Vậy diện tích cần tính : a a   x2  x2  S = ∫  ax − dx = ∫  a x − dx a a 0 0 a 3 x3  =  ax −  = a2 3a  2 ( dvtt ) Bạn đọc tự làm : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x − y + =  a)  x + y − = x =   y = x2  b)  y = x y =  x = y  c)  x + y − =0 y =   x2 y2 =1  + d)  a b a , b ≠  Hình vẽ tương ứng ↓↓↓ hình a hình c VIOLET.VN/VANLONGHANAM hình b hình d Trang 25 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM Với số nguyên dương n ta đặt : 15 + + 35 + + n Sn = n6 Tính lim nS→n∞ Bài làm : Sn = n       n    +   +   + +     n    n   n   n  n i = ∑   i =1 n  n  Xét hàm số f ( x ) = x ∀ ∈ [ 0,1] Ta lập phân hoạch [ 0,1] với điểm chia : = x0 < x1 < x2 < .xn−1 < xn = chiều dài phân hoạch l = xi − xi −1 = n n i i ( ) ( ) x − x f ζ =   Chọn ξ i = xi = ta có lim ∑ ∑ i i −1 i n→∞ n i =1 i =1 n  n  ⇒ lim S n = lim S n = ∫ x dx = l →0 n→∞ n Với số nguyên dương n ta đặt : Sn = 1 1 + + + + n +1 n + n + n+n Tính lim nS→n∞ Bài làm :    1 1  Sn = + + + + n n  +1 +1 +1 +   n n n n    n   =∑ i  i =1 n   + 1 n  ∀ ∈ [ 0,1] Xét hàm số f ( x ) = x +1 Ta lập phân hoạch [ 0,1] với điểm chia : VIOLET.VN/VANLONGHANAM Trang 26 LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN VIOLET.VN/VANLONGHANAM = x0 < x1 < x2 < .xn−1 < xn = chiều dài phân hoạch l = xi − xi −1 = n     1 i   ( ) ( ) lim x − x f ζ = ξ = x = Chọn i i ta có n→∞ ∑ i i −1 ∑ i i n  i =1 i =1 n   + 1 n  1 dx ⇒ lim S n = lim S n = ∫ = ln x + = ln x +1 l →0 n →∞ n VIOLET.VN/VANLONGHANAM n Trang 27