Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc .. Tìm để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất..[r]
(1)đề chính thức đề thi thử đại học - NĂM 2009 Môn Toán (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) I: PHÇN CHUNG CHO TÊT C¶ THÝ SINH 2x C©u I Cho hµm sè y có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Với điểm M thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ C©u II 3sin 2x - 2sin x 2 sin x cos x 2 x 4x y y Giải hệ phương trình : x y x y 22 Giải phương trình: C©u III 1.TÝnh tÝch ph©n sau: sin x e sin x cos x dx 2 Cho số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z Chứng minh rằng: xy 625 z + 15 yz x + zx 81 y 45 xyz C©u IV Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a , mặt bên hợp với đáy góc Tìm để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn II, PHÇN RI£NG (ThÝ sinh chØ lµm mét phÇn ; phÇn hoÆc phÇn ) Phần 1( Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn ) Câu Va Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( ; 0) Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x-2y+2= , AB =2AD Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d1 ) và (d ) có phương trình (d1 ); C©u VIa x 1 y 1 z - ; (d ) : x - y 1 z Lập phương trình mặt phẳng chứa (d ) và (d ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : 10 x 8 x m(2 x 1) x Phần ( Dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao ) Câu Vb Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các cạnh hình vuông Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng ( ) và ( ' ) có phương trình x t x -2 t' ' : y -1 2t ; : y t' z z 4t' Viết phương trình đường vuông góc chung ( ) và ( ' ) Câu VIb Giải và biện luận phương trình : mx ( m x 2mx 2) x 3x x ******** HÕt ******** Lop12.net (2) Trường THPT TrÇn Nh©n T«ng Kỳ thi thử đại học- cao đẳng n¨m 2009 (lÇn II) Hướng dẫn chấm môn toán C©u I.1 Néi dung Kh¶o s¸t hµm sè y= §iÓm 2x x 1 1,00 Tập xác định: R\{1} Sù biÕn thiªn: 2( x 1) (2 x 1) 3 ( x 1) ( x 1) + ChiÒu biÕn thiªn: y ' 0,25 Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) vµ (1;+∞) Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị TiÖm cËn: lim y lim x 1 x 1 lim y lim x 1 x 1 2x x 1 2x x 1 0,25 Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 2x 2 x x lim y lim x VËy ®êng th¼ng y= lµ tiÖm cËn ngang * B¶ng biÕn thiªn: x -∞ y' y +∞ - - 0,5 +∞ -∞ 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận A, B Tìm M để chu vi tam 1,00 giác IAB đạt giá trị nhỏ Gäi M x0 ;2 (C) x0 * TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: y 3 ( x x0 ) x0 ( x0 1) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A Lop12.net 0,25 (3) C©u Néi dung §iÓm 1;2 x0 B(2x0-1; 2) ; I(1; 2) x0 2.3 (®vdt) * Ta cã: SIAB= IA IB= x0 0,25 * IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB (HS tù chøng minh) x0 x0 x0 x0 * VËy cã hai ®iÓm M tháa m·n ®iÒu kiÖn 0,5 M1( 3;2 ) M2( 3;2 ) Khi đó chu vi AIB = II.1 Giải phương trình: sin x sin x 2 sin x cos x * Phương trình sin x sin x 2 sin x cos x sin x cos x 1,00 §iÒu kiÖn: sin2x => * Từ phương trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx 0,5 (2sin2x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= * 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0 cos x sin x (lo¹i) sin x sin x sin x(2 cos x 1) * 0,5 2cosx -1 =0 (do sinx 0) cos x k 2 (kZ) 3 Giải hệ phương trình: cos x II.2 1,00 x x y y x y x y 22 * Hệ phương trình tương đương với ( x 2) ( y 3) ( x 2) ( y 3) ( x 2) y x 22 ( x 4)( y 3) x 20 Lop12.net (4) C©u Néi dung §iÓm x2 u u v Dat * Thay vào hệ phương trình ta có: y 3 v u.v 4(u v) 0,25 u u hoÆc v v x x 2 x vào cách đặt ta các nghiệm hệ là : ; ; ; y y y 0,25 x ; y 0,5 /2 III.1 TÝnh tÝch ph©n sin x e sin x cos xdx 1,00 §Æt sin2x= t => dt= 2sinx cosxdx §æi cËn: x=0 => t=0; 1 t u du dt t §Æt t e dt dv v e III.2 1 t x= t Khi đó I= e (1 t )dt 20 0,5 Dïng tÝch ph©n tõng phÇn ta cã I= e 0,5 Cho số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z Chứng minh rằng: xy 1,00 625 z + zx 81 y 15 yz x 45 xyz Bất đẳng thức 4 x + y + 25 z x 25 z 9y 45 36 2 VT ( x y z ) ( ) 9(.3 x.3 y.5 z ) x y 5z ( x.3 y.5 z ) Lop12.net 0,5 (5) C©u Néi dung §Æt t = §iÓm ( x.3 y.5 z ) ta cã x y 5z ( x.3 y.5 z ) đó t §iÒu kiÖn < t XÐt hµm sè f(t)= 9t + DÊu b»ng x¶y khi: t=1 hay x=1; y= IV 36 t =45 0,5 1 ; z= Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a,mặt bên hợp với đáy góc 1,00 Tính để thể tích V hình chóp đạt giá trị lớn * TÝnh V= * Ta cã tan a (2 tan ) 0,5 tan 1 tan 2 2 tan tan tan 27 (2 tan ) V max 4a 3 27 đó tan =1 = 45 o 1 2 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 ; AB có phương trình: x- 2y+2= 0; Va.1 0,5 1,00 AB= 2AD Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm Ta cã tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (C) cã t©m I vµ b¸n kÝnh R= IA Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên AB ,khi đó IH= 0, 1 25 đường tròn (C) có phương trình là: x y A(-2; 0); 2 0, B(2; 2) Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0) Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng (d1) và (d2)có phương trình: Va.2 x 2t d1: y 1 3t z t x y 1 z ; d2: 1,00 Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d2) + Ta cã: (d1) // (d2) ( HS ph¶i chøng minh ®îc) Lop12.net 0,25 (6) C©u Néi dung §iÓm Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoÆc n»m trªn mÆt ph¼ng (P) lµ: ph¸p tuyÕn lµ: u1 (2;3;1) vµ M 1M (3;2;1).VËy (P) cã vÐc t¬ n u1 , M 1M (1;1;5) 0,25 0, Mặt phẳng (P) qua M1(1; -1; 2) Vậy phương trình (P) là: x+ y- 5z +10 =0 VIa Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 1,00 m( 2x+1) x =10x 8 x NhËn xÐt : 10x 8 x = 2(2x+1)2 +2(x2 +1) 2x Phương trình tương đương với : ( §Æt 2x x 1 x2 1 ) m( x2 1 )20 t §iÒu kiÖn : -2< t Rót m ta cã: m= LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn 2, tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: m Vb.1 2x 12 2t t 0,25 0,75 , ta có kết m để phương hoÆc -5 < m 4 Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt c¸c ®iÓm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phương tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng trªn 1,00 + Gi¶ sö ®êng th¼ng AB qua M vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ n ( a; b) (a2 + b2 0) => véc tơ pháp tuyến BC là: n1 ( b; a ) Phương trình AB có d¹ng: a(x-2) +b(y-1)= 0,5 ax + by -2a-b =0 BC cã d¹ng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD lµ h×nh vu«ng nªn d(P; AB) = d(Q; BC) Hay b a2 b2 3b 4a b 2a b a a2 b2 Trường hợp 1: b= -2a; Phương trình các cạnh cần tìm là: AB: x- 2y = ; CD : x- 2y-2 =0 BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y -4 =0 Trường hợp 2: b= -a Khi đó Vb AB: -x + y+ =0 BC: -x –y + 2= AD: -x –y +3 =0 CD: -x + y+ =0 x t Cho (): y 1 2t z x 2 2u ; (’) y 2u z 4u Viết phương trình đường vuông góc chung () và (’) Lop12.net 0,25 0,25 1,0 (7) C©u Néi dung + Gäi ®êng vu«ng gãc chung cña () vµ (’) lµ d Khi đó u d u , u ' (4;2;1) §iÓm 0,25 + Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa () vµ (d) th× () qua N(3; -1; 4) vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn: n1 u , u d (2;1;10) Vậy phương trình () là: 2x- y + 10z - 47 =0 0,25 + Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa (’) vµ (d) th× () qua M(-2; 0; 2) vµ cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn: n2 u ' , u d (6;18;12) 0,25 Vậy phương trình () là: x + 3y- 2z + =0 Do đó đường vuông góc chung và ’ là giao tuyến hai mặt phẳng: 2x – y + 10z – 47 = vµ x + 3y – 2z + =0 VI.b +Lập phương trình tham số (d).(HS tự làm) 0,25 Gi¶i vµ biÖn luËn: mx (m x 2mx 2) x 3x x 1,0 ( mx ) mx ( x 1) ( x 1) * Phương trình tương đương với: Xét hàm số: f(t)= t t , hàm số này đồng biến trên R 0,5 f ( mx ) f ( x 1) mx x * Giải và biện luận phương trình trên ta có kết cần tìm + m phương trình có nghiệm x= 2 m 1 +m=-1 phương trình nghiệm x Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng điểm tối đa Lop12.net 0,5 (8)