Đang tải... (xem toàn văn)
Phöông phaùp giaûi: B1: Vẽ đồ thị C của hàm fx Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y= m.. Tùy theo[r]
(1)Ngày soạn: 05/02/2009 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG I Mục tiêu: - Giúp học sinh nắm vững các nội dung liên quan đến các tính chất hàm số và đồ thị hàm số bao gồm: Tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, tiệm cận đồ thị hàm số - Học sinh biết cách sử dụng đạo hàm để thực các bài toán liên quan đến khái niệm trên II Chuẩn bị GV và HS: GV: giáo án, đồ dùng dạy học HS: ôn tập các nội dung kiến thức liên quan đến bài học III Tiến trình lên lớp: Ổn định lớp: 12A5: 12A6: 12B1: Nội dung: Vấn đề TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu hàm số I Kiến thức Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) gọi đồng biến trên khoảng K nếu: x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) + Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Qui tắc xét tính đơn điệu a Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > với x thuộc K thì hàm số đồng biến + Nếu f’(x) < với x thuộc K thì hàm số nghịch biến b Qui tắc B1: Tìm tập xác định hàm số B2: Tính đạo hàm hàm số Tìm các điểm xi (i = 1, 2,…,n) mà đó đạo hàm không xác định B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên B4: Nêu kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến II Các ví dụ Loại 1: Xét biến thiên hàm số Ví dụ Xét đồng biến và nghịc biến hàm số: 1 a y = x3 x x b y = -x x e y = x ( x 3), (x > 0) x-1 c y = x x d y = x +1 Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (2) Ví dụ Xét biến thiên các hàm số sau: a y = 3x x3 b y = x x c y = x x x 3- 2x x2 2x e y = f y = 25-x x+7 x 1 Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng xác định Phương pháp + Dựa vào định lí Ví dụ d y = Chứng minh hàm số y x x nghịch biến trên đoạn [1; 2] Ví dụ a Chứng minh hàm số y x đồng biến trên nửa khoảng [3; + ) b Hàm số y x nghịc biến trên nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] x Ví dụ Chứng minh 3 x a Hàm số y nghịch biến trên khoảng xác định nó 2x 1 b Hàm số y x x nghịch biến trên R Dạng Tìm giá trị tham số để hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu hàm số + Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai Ví dụ Tìm giá trị tham số a để hàm số f ( x) x3 ax x đồng biến trên R Ví dụ x3 Xác định m để hàm số y (m 1) x (m 3) x đồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 mx Cho hàm số y xm a Tìm m để hàm số tăng trên khoảng xác định b Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) c Tìm m để hàm số giảm trên (;1) Ví dụ 11 Cho hàm số y x3 3(2m 1) x (12m 5) x Tìm m để hàm số: a Liên tục trên R b Tăng trên khoảng (2; ) Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm số y x3 ax (2a a 7) x 2(a 1)(2a 3) đồng biến trên [2:+) Dạng Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên đoạn + f ( x) đồng biến trên [a; b] thì f (a ) f ( x) f () Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (3) + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f (a ) f ( x) f (b) Ví dụ Chứng minh các bất đẳng thức sau: x2 a tanx > sinx, 0< x < b + x x x, < x < + 2 2 x x c cosx > ,x d sinx > x , x>0 Ví dụ Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 b Chứng minh 2sin x tan x x, x (0; ) Ví dụ Cho hàm số f ( x) t anx - x a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 x3 b Chứng minh tan x x , x (0; ) Ví dụ Cho hàm số f ( x) x t anx, x [0; ] a Xét chiều biến thiên hàm số trên [0; b Chứng minh tan x ] x, x [0; ] Vấn đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Tìm cực trị hàm số Phương pháp: Dựa vào qui tắc để tìm cực trị hàm số y = f(x) Qui tắc I Qui tắc II B1: Tìm tập xác định B1: Tìm tập xác định B2: Tính f’(x) Tìm các điểm đó f’(x) = B2: Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = và kí f’(x) không xác định hiệu là xi là các nghiệm nó B3 Lập bảng biến thiên B3: Tính f ”(xi) B4: Từ bảng biến thiên suy các cực trị B4: Dựa vào dấu f ” (xi) suy cực trị ( f ”(xi) > thì hàm số có cực tiểu xi; ( f ”(xi) < thì hàm số có cực đại xi) * Chú ý: Qui tắc thường dùng với hàm số lượng giác việc giải phương trình f’(x) = phức tạp Ví dụ Tìm cực trị hàm số y x3 x 36 x 10 Qui tắc I Qui tắc II TXĐ: R TXĐ: R Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (4) y ' x x 36 y ' x x 36 y ' x x 36 y ' x x 36 x x 3 x -3 - + y' - + + + 71 y x x 3 y”= 12x + y’’(2) = 30 > nên hàm số đạt cực tiểu x = và yct = - 54 y’’(-3) = -30 < nên hàm số đạt cực đại x = -3 và ycđ =71 - 54 - Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71 x= là điểm cực tiểu và yct = - 54 Bài1 Tìm cực trị các hàm số sau: a y = 10 + 15x + 6x x3 b y = x x3 432 c y = x x 24 x d y = x - 5x + e y = -5x + 3x - 4x + f y = - x - 5x Bài Tìm cực trị các hàm số a y = x - x d y = x b y = x+1 c y = x2 1 x3 - 3x - x2 e y = f y = x - x 10 - x x2 Bài Tìm cực trị các hàm số: a y = x - sin2x + b y = - 2cosx - cos2x c y = sinx + cosx d y = sin2x e y = cosx + cos2x f y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Dạng Xác lập hàm số biết cực trị Để tìm điều kiện cho hàm số y = f(x) đạt cực trị x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = tìm m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị a thì f’(a) = không kể CĐ hay CT) Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + đạt cực tiểu x = LG y ' x mx m Hàm số đạt cực trị x = thì y’(2) = 3.(2)2 m.2 m m x Với m = ta hàm số: y = x3 – 3x2 + có : y ' x x y ' x = hàm số đạt x giá trị cực tiểu Vậy m = là giá trị cần tìm Bài Xỏc định m để hàm số y mx x x đạt cực đại x = Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (5) Bài Tỡm m để hàm số y x mx (m ) x có cực trị x = Khi đó hàm số có CĐ hay CT 3 2 Bài Tỡm m để hàm số y x mx m x đạt cực tiểu x = Bài Tìm các hệ số a, b, c cho hàm số: f ( x ) x ax bx c đạt cực tiểu điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Dạng Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn tính chất nào đó.’ Phương pháp B1: Tìm m để hàm số có cực trị B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: Hàm số y ax bx cx d (a 0) có cực trị và phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt p( x ) Cực trị hàm phân thức y Giả sử x0 là điểm cực trị y, thì giá trị y(x0) có thể Q( x ) P( x0 ) P '( x0 ) hoÆc y(x ) tính hai cách: y( x0 ) Q( x0 ) Q '( x0 ) Ví dụ Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu x mx m a y = x mx (m 6) x b y = x2 Hướng dẫn a TXĐ: R y ' x mx m Để hàm số có cực trị thì phương trình: x mx m cã nghiÖm ph©n biÖt m ' m2 m m 2 b TXĐ: \ 2 (2 x m)( x 2) ( x mx m 4) x x m y' ( x 2)2 ( x 2)2 Hàm số có cực đại, cực tiểu y ' có hai nghiệm phân biệt khác -2 x x m ' 4 4m m0 4 4m m Bài Tìm m để hàm số y x 3mx Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT? x m(m 1) x m luôn có cực đại và cực tiểu xm Bài Cho hàm số y x · 12 x 13 Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu đồ thị cách trục tung m Bài Hàm số y x 2(m 1) x mx Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu x mx Bài Cho hàm y Tìm m để hàm số có cực trị 1 x x mx m Bài Cho hàm số y Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu x2 Bài Tìm m để hàm sô y Dạng Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (6) Phương pháp + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất Ví dụ Bài Xỏc định m để hàm số y mx x x đạt cực đại x = 2 Bài Tỡm m để hàm số y x mx (m ) x có cực trị x = Khi đó hàm số có CĐ hay CT x mx đạt cực đại x = Bài Tìm m để hàm số y xm Bài Tỡm m để hàm số y x mx m x đạt cực tiểu x = Bài Tìm các hệ số a, b, c cho hàm số: f ( x ) x ax bx c đạt cực tiểu điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ q Bài 10 Tìm các số thực q, p cho hàm số f ( x ) xp đạt cực đại điểm x = -2 và f(-2) = -2 x 1 Bài 11 Tìm m để hàm số y x 3mx Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT? x m(m 1) x m Bài 12 Tìm m để hàm sô y luôn có cực đại và cực tiểu xm Bài 13 Cho hàm số y x · 12 x 13 Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu đồ thị cách trục tung m Bài 14 Hàm số y x 2(m 1) x mx Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu x mx Bài 15 Cho hàm y Tìm m để hàm số có cực trị 1 x Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) trên a; b : +B1: Tính đạo hàm hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên x y' b x0 a - x + y' y y b x0 a + GTLN GTNN Trong đó x0 thì f’(x0) không xác định Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm các giá trị xi a; b (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm không xác định B2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b) B3: GTLN = max{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b) } GTNN = Min{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b) } Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (7) Ví dụ Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số y x trên khoảng (0; ) x Hướng dẫn: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) x x 1 y ' x x 1 y x2 x Dễ thấy x 1 (0; ) Vậy Minf(x) = x = và hàm số không có giá trị lớn Ví dụ x3 Tính GTLN, GTNN hàm số y x x trên đoạn [-4; 0] Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], x 1 f '( x ) x x f '( x ) x x x 3 16 16 f (4) , f (3) 4, f (1) , f (0) 4 3 VËy Max y 4 x = -3 hoÆc x = y ' 1 + - y' + + + x[-4;0] 16 x = -4 hoÆc x = -1 x[-4;0] Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số (nếu có): a f(x) = x x x trªn [-4; 4] Min y b f(x) = x x trªn ®o¹n [-3; 1] c f(x) = x x 16 trªn ®o¹n [-1; 3] Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số (nếu có): x a f(x) = trªn nöa kho¶ng (-2; 4] x+2 d f(x) = x x x trªn ®o¹n [-4; 3] trªn kho¶ng (1; +) x- 1 3 d f(x) = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 b f(x) = x +2 + c f(x) = x - x Vấn đề 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) y = y0 là tiệm cận ngang hai điệu kiên sau thoả mãn: lim f ( x ) y0 , hoÆc lim f ( x ) y0 x x x = x0 là tiệm cận đứng (C) các điều kiện sau đựơc thoả mãn: lim , lim , lim , lim x x0 x x0 x x0 x x0 Đường thẳng y = ax + b ( a ) gọi là tiệm cận xiên hai điều kiện sau thoả mãn: lim [f ( x ) (ax + b)] = hoÆc lim [f ( x ) (ax+b)]=0 x x II Các dạng toán Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ y P( x ) Q( x ) Phương pháp Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (8) Tiệm cận đứng: Nghiệm mẫu không phải là nghiệm tử cho phép xác định tiệm cận đứng Tiệm cận ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao tử và mẫu + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên xác định cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ( x ) với lim ( x ) thì y = ax + b là x tiệm cận xiên Ví dụ Tìm các tiệm cận các hàm số: 2x- x2 x x+2 a y = b y = c y = x+2 x 3 x 1 Hướng dẫn 2x 1 2x 1 ; lim nên đường thẳng x= là tiệm cận đứng a Ta thấy lim x 2 x x 2 x 2 2x 1 x nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vì lim lim x x x 1 x b x2 x Nên x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số + lim x 3 x 3 1 Vậy y = x+ là tiệm cân xiên đồ thị + y x2 Ta thấy lim[y - (x + 2)]= lim x x x x 3 hàm số x2 Nên x = là đường tiệm cận đứng c Ta thấy lim x 1 x 1 x2 Nên x = -1 là tiệm cận đứng + lim x 1 x 1 x x x2 + lim Nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x x 1 1 x Dạng Tiệm cận hàm vô tỉ y ax bx c (a 0) Phương pháp b ( x) Ta phân tích ax bx c a x 2a b Với lim ( x ) đó y a ( x ) có tiệm cận xiên bên phải x 2a b Với lim ( x ) đó y a ( x ) có tiệm cận xiên bên tr ái x 2a VÝ dô T×m tiÖm cËn cña hµm sè: y x 18 x 20 Hướng dẫn Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (9) y 9( x 2)2 C¸c tÝnh giíi h¹n v« cùc cña hµm sè y lim f ( x ) xx L lim g( x ) xx L>0 L<0 f ( x) g( x ) DÊu cña g(x) Tuú ý + + Bµi T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau: 2x - - 2x a y = b y = x+2 3x + x+ 1 e y = f y = + 2x + x- Bµi T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè a y = b y = c y f ( x) lim x x g( x ) 0 + - + - - 3x -x + g y = x c y = -4 x+1 4-x h y = 3x + d y = x2 x x 1 x+ x+ x 1 x2 IV: RÚT KINH NGHIỆM Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net (10) Ngày soạn: 05/02/2009 CHỦ ĐỀ 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT I - Mục tiêu: Kiến thức: - Biết vận dụng sơ đồ KSHS để khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số đa thức, phân thức hữu tỷ quen thuộc - Thực các bài toán liên quan đến khảo sát Kĩ năng: Tăng cường kỹ giải toán, củng cố kiến thức đã học và tìm hiểu số kiến thøc míi n©ng cao vÒ khảo sát hàm số, c¸c bµi to¸n liªn quan Thái độ: Làm cho HS tự tin, hứng thú, kiên trì, sáng tạo học tập môn Toán II - Chuẩn bị thầy và trò: - Sách giáo khoa, biểu bảng biểu diễn đồ thị số hàm số III - Tiến trình tổ chức bài học: Ổn định lớp: 12A5: 12A6: 12B1: Nội dung: D¹ng 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ hµm sè y ax bx cx d (a 0) Phương pháp Tìm tập xác định XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè a T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc vµ c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã) T×m c¸c ®êng tiÖm cËn b LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè, bao gåm: + Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị + §iÒn c¸c kÕt qu¶ vµo b¶ng Vẽ đồ thị hàm số + VÏ ®êng tiÖm cËn nÕu cã + Xác định số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn + Nhận xét đồ thị: Chỉ tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh) VÝ dô Cho hµm sè: y x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Tuỳ theo giá trị m, biện luận số nghiệm phương trình: x x m Hướng dẫn a TX§: D - x 2 Sù biÕn thiªn cña hµm sè + y' a Giíi h¹n t¹i v« cùc + 3 3 y lim ( x x 1) lim x (1 ) x x x x -1 lim ( x x 1) lim x (1 ) x x x x c B¶ng biÕn thiªn x y ' 3 x x y ' 3 x x x Hàm số đồng biến trên các khoảng (;0) và (2; +) Vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2) + - -5 -2 Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 10 (11) Hàm số đạt cực đại điểm x= ; và yCĐ=y(2)= Hàm số đạt cực tiểu điểm x =0 và yCT = y(1) = -1 §å thÞ + Giao víi Oy: cho x = y Vậy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1) + y '' 6 x x §iÓm A (1; 1) + Nhận điểm A làm tâm đối xứng b Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị y x x và y =m Dựa vào đồ thị ta có kết biện luận: m > 3: Phương trình có nghiệm m phương trình có nghiệm -1< m < 3: Phương trình có nghiệm m = -1: Phương trình có nghiệm m < -1: Phương trình có 1nghiệm C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba Bµi 1(TNTHPT – 2008) Cho hµm sè y x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Biệm luận theo m số nghiệm phương trình x x m Bµi (TN THPT- lÇn – 2008) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm các giá trị m để phương trình x x m có nghiệm phân biệt Bài (TNTHPT - 2007) Cho hàm số y= x3 x có đồ thị là (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm A(2 ;4) Bài (TNTHPT - 2006) Cho hàm số y= x3 x có đồ thị (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : x3 x -m=0 Bài (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm số y= x3 x x có đồ thị là (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến điểm có hoành độ là nghiệm phương trình y’’=0 c/ Với giá trị nào m thì đường thẳng y=x+m2-m qua trung điểm đoạn thẳng nối cực đại vào cực tiểu Bài (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm số y= x3 3mx 4m3 a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m=1 b/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x=1 Bµi (§H- A- 2002) Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 11 (12) Cho hµm sè y x 3mx 3(1 m ) x m m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= b Tìm k để phương trình: x x k 3k có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Bµi (C§ SP MGTW- 2004) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 4m a Chứng minh đồ thị hàm số luôn có cực trị b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Bµi (§H-B- 2007) Cho hµm sè y x x 3(m 1) x 3m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1 b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách điểm O Bµi 10 (§H - D - 2004) Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm m để nghiệm phương trình y’’= thuộc đường thẳng y = x+ Bµi Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) a Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= Bµi Cho hµm sè y x 3(m 1) x 6(m 2) x a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2 b Với giá trị nào m hàm số có cực đại, cực tiểu Bµi (§H 2006- D) Cho hµm sè y x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C ) ®iÓm phÇn biÖt (Gîi ý ®êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0) Bµi Cho hµm sè y = (x - m)3 - 3x a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu điểm có hoành độ x = Bµi Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) c Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt d Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= Bµi 11 Cho hµm sè y = x mx m x a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m =1 b Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 12 (13) Dạng 2: Hàm bậc bốn trùng phương và số bài tập có liên quan I Một số tính chất hàm trùng phương Hµm sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè cho a Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu y ' x (2 ax b) có ba nghiệm phân biệt b 0 2a Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng NÕu hµm sè cã ba cùc trÞ trÞ chóng t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số VÝ dô (TNTHPT-2008) Cho hµm sè y x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x = -2 VÝ dô Cho hµm sè y x mx 3(m 1) x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0 b Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã cùc trÞ Bài tập hàm số trùng phương Bài Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a y= -x x b y = x x c y = x x 1 d y = x x e.y = -x +2x +3 f y = x +2x +1 2 Bµi Cho hµm sè y x m x a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1 b Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh tam giác vuông cân Bµi (§H §µ L¹t - 2002) a Giải phương trình x x b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x x c Biện luận theo m số nghiệm phương trình x x m Bµi (§H Th¸i Nguyªn - 2002) Cho hµm sè y x mx (C m ) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = b Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có cực trị Bµi (§H Vinh - 2002) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x x Xác định m để phương trình x x m có nghiệm phân biệt Bµi x4 2x2 Cho hµm sè y 4 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b Biện luận theo k số giao điểm (C) với đồ thị (P) hàm số y k x Bµi Cho hµm sè y x mx m m Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 13 (14) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = b Xác định m để đồ thị (Cm ) hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành điểm Bµi (§H CÇn th¬ - 2002) Cho hµm sè y x x m (Cm) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm các giá trị m để đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm chung với Ox c Chứng minh với m tam giác có đỉnh là ba cực trị là tam giác vuông cân D¹ng HAØM NHAÁT BIEÁN: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm y d c ax b : cx d B1: TXÑ D = R\ B2: Tính đạo hàm y’= a.d b.c cx d tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá a c d Tiệm cận đứng là x = c B3: Tieäm caän ngang laø: y B4: Laäp baûng bieán thieân X Ghi mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá F’(x) Xeùt daáu y/ F(x) Ghi khoảng tăng giảm hàm số B5:Tìm giao điểm đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm số điểm khác để dễ veõ B6:Vẽ đồ thị Dạng đồ thị hàm b1/b1 y’< x D 2/ Ví duï: Khaûo saùt haøm soá : y = MXÑ: D= R\ 1 y = x 12 y’> x D 2x x 1 > x D hàm số luôn đồng biến trên khỏang xác định nó TCÑ: x=–1 ; TCN: y = Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 14 (15) Laäp baûng bieán thieân - x y/ y + -1 + + + - Ñieåm ñaëc bieät: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) Đồ thị: CÁC DẠNG TOÁN KHÁC I BAØI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y f ( x, m) ( m laø tham soá ) Biện luận theo m số đường cong họ (C m ) qua điểm M ( x0 ; y ) cho trước PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Ta coù : Họ đường cong (C m ) qua điểm M ( x0 ; y ) y f ( x , m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m Tùy theo số nghiệm phương trình (1) ta suy số đường cong họ (Cm) qua M0 Cuï theå: Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong họ (Cm) qua M0 Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường cong họ (Cm) không qua M0 Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với m thì đường cong họ (Cm) qua M0 Trong trường hợp này ta nói M0 là điểm cố định họ đường cong (C m ) D¹ng 1: TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BAØI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y f ( x, m) ( m là tham số ) Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm) Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 15 (16) PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Bước 1: Gọi M ( x0 ; y ) là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) qua Khi đó phương trình: y f ( x0 , m) nghiệm đúng m (1) Bước 2: Biến đổi phương trình (1) các dạng sau: Daïng 1: Am B m Am Bm C m Daïng 2: A AÙp duïng ñònh lyù: Am B m (2) B A Am Bm C m B (3) C Bước 3: Giải hệ (2) (3) ta tìm ( x0 ; y ) Bµi tËp Bài Cho họ (Cm) y x 3(m 1) x 2(m m 1) x m(m 1) CMR: Khi m thay đổi thì họ đường cong luôn qua điểm cố định mx Bài Cho họ đồ thị (Cm): Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với xm m 1 x mx m Bài Cho họ (Cm) có phương trình: y Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm x 1 cố định Bµi Cho hµm sè (Cm): y x 3mx m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = b Chứng minh họ đường cong luôn qua điểm cố định mx , m 1 Gọi (Hm) là đồ thị hàm số đã cho Bµi Cho hµm sè: y xm a Chứng minh với m 1 , họ đường cong luôn qua điểm cố định b Gọi M là giao điểm tiệm cận Tìm tập hợp các điểm M m thay đổi Bài Cho hàm số: y (m 2) x 2(m 2) x (m 3) x m (C m ) Chứng minh họ đồ thị luôn qua ba điểm cố định và điểm cố định đó cùng nằm trên đường thẳng Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không qua Phương pháp: B1: Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm mµ hä ®êng cong kh«ng thÓ ®i qua B2: Khi có phương trình: y f ( x0 , m) vô nghiệm với m từ đó tìm (x0; y0) B3: KÕt luËn vÒ ®iÓm mµ hä ®êng cong kh«ng thÓ ®i qua Bµi Cho hµm sè y ( x 2)( x mx m 1) (C m ) T×m c¸c ®iÓm mµ (Cm) kh«ng thÓ ®i qua (3m 1) x m m Bµi Cho hµm sè y xm a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 16 (17) b Tìm các điểm trên đường thẳng x = 1, cho không thể có giá trị nào m để đồ thị hàm số ®i qua Bài Cho đồ thị hàm số y x 3(m 3) x 18mx (C m ) Chứng minh trên đường cong y = x2 cã hai ®iÓm mµ (Cm) kh«ng ®i qua víi mä m D¹ng I/Bài toán1: Tìm giao điểm hai đường: Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thị (C), y= g(x) có đồ thị (C’) Tìm giao điểm (C) vaø (C’) Phöông phaùp giaûi: B1: phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’): f(x) = g(x) (1) B2: Giải (1) giả sử nghiệm phương trình là x0,x1,x2 thì các giao điểm (C) và (C’) laø :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2)) Chuù yù: Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’) Ví duï: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d qua điểm A(0;1) có hệ số góc k bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø d Giaûi Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d là : x3 -3x +1 = kx + (1) x3-(3+k)x = x x(x2-3-k) = x k (2) g( x ) ta coù / (2)= 3+k Neáu 3+k < k<-3 Phöông trình (2) voâ nghieäm (1) coù nghieäm (C) vaø d coù giao ñieåm Neáu 3+k = k= -3 Phöông trình (2) coù nghieäm keùp x=0 (1) coù nghieäm boäi (C) vaø d coù giao ñieåm Neáu 3+k > k> -3 Maët khaùc g(0) = -3-k = k = -3 vaäy phöông trình (2) coù nghieäm phaân bieät khaùc khoâng (1) coù nghieäm phaân bieät (C) vaø d coù giao ñieåm Bài tập đề nghị: x x Bài 1: Cho đường cong (C): y= và đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc x 1 k bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa d vaø (C) Bài 2: Cho đường cong (C): y= (C) và đường thẳng y=k Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số giao điểm x 2 II c¸c øng dông: Bài toán1: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình f(x)= (m) Phöông phaùp giaûi: B1: Vẽ đồ thị (C) hàm f(x) (Thường đã có bài toán khảo sát hàm số ) B2: Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng y= (m) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 17 (18) Ví duï: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 ^y – 6x2 + 9x – m = Giaûi: Phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = x3 – 6x2 + 9x = m Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m >x dựa vào đồ thị ta có: Neáu m > phöông trình coù nghieäm Neáu m = phöông trình coù nghieäm Neáu 0< m <4 phöông trình coù nghieäm Neáu m=0 phöông trình coù nghieäm Neáu m < phöông trình coù nghieäm Bài tập đề nghị: Baøi 1: a/ Khaûo saùt haøm soá y= x4 – x2 + b/ Dùng đồ thị (C) hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – x2 + 5=m Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – có đồ thị (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương trình: x3 - 3x – 2=m có nghiệm phân biệt Bµi to¸n Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) các trường hợp : 1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (x0;f(x0)) là: y = f / (x ) (x–x0) + f(x0) 2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0 : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x0 là:y = f / (x ) (x–x0) + f(x0) 3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y0 : B1: Tìm f ’(x) B2:Do tung độ là y0 f(x0)=y0 giải phương trình này tìm x0 f /(x0) B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y0 là:y = f / (x ) (x–x0) + y0 4/ Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán laø k: B1: Goïi M0(x0;y0) laø tieáp ñieåm B2: Heä soá goùc tieáp tuyeán laø k neân : f ( x0 ) =k (*) B3: Giaûi phöông trình (*) tìm x0 f(x0) phöông trình tieáp tuyeán Chuù yù: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 18 (19) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1 5/ Bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(x1;y1) : B1:Phương trình đường thẳng d qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1) B2: d laø tieáp tuyeán cuûa (C) heä phöông trình sau coù nghieäm : f ( x) k ( x x1 ) y1 f ( x) k B3:Giải hệ này ta tìm k chính là hệ số góc tiếp tuyến vào (1) phương trình tiếp tuyeán Ví duï : Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Taïi ñieåm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ –2 c.Tại điểm có tung độä –8 d Bieát raèng heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng e.Bieát raèng tieáp tuyeán ñi qua ñieåm B(2;8) Giaûi: Ta coù y’= 3.x2 x a/ Tieáp tuyeán taïi A(-1;-1) (C ) coù f’(x0)= 3.(-1)2 = phöông trình tieáp tuyeán f(x ) laø: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1) f(x ) b/ Ta coù x0= -2 Ph.trình tieáp tuyeán laø y= 12(x+2) – =12x + 16 f '(x ) 12 c/ Ta có tung độä y0= –8 f(x0)= -8 x0 =-8 x0=-2 f’(x0)=12 Phương trình tiếp tuyeán laø: y= 12(x+2) – = 12x + 16 d/ Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng f’(x0)=3 x0 =3 x0= với x0=1 f(x0)=1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 với x0=-1 f(x0)= -1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2 e/Phương trình đường thẳng d qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + d laø tieáp tuyeán cuûa (C) heä phöông trình sau coù nghieäm : x k(x-2) + 8(1) x x3 = 3x2(x-2) + 2x3- 6x2 + = (2) 3 x k x Với x=2 k=12 phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16 Với x=-1 k=3 phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x – 5.Baøi taäp VN Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = c/ Bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005 e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x + 2006 f/Bieát tieáp tuyeán ñi qua A(1;-2) x x Baøi 2: Cho haøm soá y= có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) x 1 a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = c/ Tại điểm có tung độ y=- d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 19 Lop12.net (20) IV:RóT KINH NGHIÖM: Ngày soạn: 26/2/2009 chủ đề 3: nguyªn hµm – tÝch ph©n vµ øng dông I.Môc tiªu 1.KiÕn thøc: Giúp học sinh nắm vững phương pháp tính tích phân số dạng tích phân Hs n¾m ®îc nh÷ng øng dông c¬ b¶n cña tÝch ph©n 2.Kỹ năng:Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm nguyên hàm tích phân các dạng đã nªu 3.Tư và thái độ: -Biết quy lạ quen, biết tự đánh giá bài làm bạn và mình -Chủ động tích cực, có tinh thần hợp tác học tập II ChuÈn bÞ:+GV:gi¸o ¸n +HS:¤n tËp kt vÒ nguyªn hµm tÝch ph©n III.TiÕn tr×nh d¹y häc : ổn định 12A5: 12A6: 12B1: Néi dung: Dạng 1: Tích phân hàm lượng giác 1.Nêu các nguyên hàm các hàm lượng giác bản? dx tan ax c a cos ax a dx 2) cos axdx sin ax c 4) cot ax c a a sin ax d cos x ln cos x c 5) tan xdx cos x d sin x ln sin x c 6) cot xdx sin x 1) sin axdx cos ax c 3) C¸c d¹ng tÝch ph©n c¬ b¶n D1: sin n xdx ; cos n xdx +NÕu n ch½n th× h¹ bËc +NÕu n=3 th× h¹ bËc theo ct:sin3x=3sinx-4sin3x cos3x=4cos3x-3cosx theo trường hợp sau +n ,n=2p+1, thì biến đổi sau sin n xdx sin p x sin xdx (1 cos x) p d cos x D2:Chứa tích ít hàm số sin và cos bậc thì biến đổi tich thành tổng D3: f (sin x, cos x)dx Gi¸o ¸n «n tèt nghiÖp 12 Lop12.net 20 (21)