Cơ học môi trường liên tục

Tãm l¹i, c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ ngμnh khoa häc nghiªn cøu, thiÕt lËp c¸c tÝnh chÊt, c¸c quy luËt chuyÓn ®éng cña m«i tr−êng (continuum) víi gi¶ thiÕt r»ng m«i tr−êng lμ liªn tôc[r]

cơ học

môi trờng liên tục

Lời nói đầu

Cơ học môi tr−ờng liên tục lμ ngμnh khoa học nghiên cứu chuyển vị, biến dạng vμ ứng suất môi tr−ờng liên tục điều kiện cân hay chuyển động tác động bên ngoμi nh− ngoại lực, chuyển vị, nhiệt độ, v.v Cơ học môi tr−ờng liên tục lμ sở chung để nghiên cứu vμ phát triển ngμnh cụ thể nh− thủy khí động lực, lý thuyết đμn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, nhiệt động lực học, v.v Cuốn sách nμy đ−ợc biên soạn sở bμi giảng học môi tr−ờng liên tục của tác giả cho lớp kỹ s− chất l−ợng cao (PFIEV) vμ kỹ s− cơng trình Tr−ờng Đại học Xây dựng Mục đích tác giả lμ giúp cho cho ng−ời đọc khơng có cái nhìn tổng quan môn học tr−ờng kỹ thuật mμ cung cấp những khái niệm bản, ph−ơng pháp cần thiết vμ ứng dụng có tính minh hoạ học mơi tr−ờng liên tục tính tốn kỹ thuật Đồng thời sách nμy sử dụng lμm tμi liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên thuộc ngμnh kỹ thuật nh− xây dựng, giao thông, thủy lợi, hμng hải, khí, v.v , học viên cao học vμ cán khoa học trẻ lĩnh vực chuyên ngμnh Cơ học vật rắn biến dạng

Xin cảm ơn Tr−ờng Đại học Xây dựng, Bộ môn sức bền vật liệu tạo điều kiện vμ ủng hộ việc hoμn thμnh sách nμy Đặc biệt xin cảm ơn GS TSKH Đμo Huy Bích, GS TS Nguyễn Văn Phó, GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, PGS TS Lê Ngọc Hồng, PGS TS Lê Ngọc Thạch vμ PGS TS Tô Văn Tấn đồng nghiệp Bộ môn sức bền vật liệu Tr−ờng Đại học Xây dựng đọc kỹ vμ cho nhiều ý kiến xác đáng nội dung nh− cách trình bμy

Cuốn sách nμy không tránh khỏi sai sót, mong nhận đ−ợc góp ý đồng nghiệp Các ý kiến góp ý ln đ−ợc đón nhận cách trân trọng vμ xin gửi về: Bộ môn sức bền vật liệu - Tr−ờng Đại học Xây dựng, 55 đ−ờng Giải phóng, Hμ Nội, Tel (04)38691462

Môc lôc

Lời nói đầu

Mục lục

Danh mơc ký hiƯu

Mở đầu

0.1 Khái niệm học môi trờng liên tục 0.2 Các giả thiết học môi trờng liên tục 10

Chơng Khái niệm ten xơ

1.1 Khái niệm đại l−ợng vô h−ớng, véc tơ vμ ten xơ 13 1.2 Tr−ờng vô h−ớng 14

1.3 VÐc t¬ vμ tr−êng vÐc t¬ 15

1.4 Ten xơ hệ tọa độ Descartes vng góc 20

Chơng Trạng thái biến dạng

2.1 Nghiờn cứu chuyển động theo Lagrange vμ Euler 38 2.2 Ten xơ biến dạng hệ tọa độ Descartes vng góc 44 2.3 Nghiên cứu trạng thái biến dạng môi tr−ờng liên tục 55 2.4 Các ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng 60

2.5 Ten xơ tốc độ biến dng 63

Chơng Trạng thái ứng suất

3.1 Ngoại lực 66

3.2 Trạng thái ứng suÊt 67

3.3 Ph−ơng trình vi phân cân hay chuyển động 70

3.4 Ten x¬ øng suÊt 75

3.5 Nghiên cứu trạng thái ứng suất môi trờng liên tục 78 3.6 Phân tích ten xơ ứng suất thnh ten xơ lệch v ten xơ cầu 84

Chơng Các phơng trình học môi trờng liên tục

4.1 Định luật bảo ton khối lợng 92

4.2 nh luật biến thiên động l−ợng Định luật biến thiên mômen động l−ợng 94 4.3 Các trình nhiệt động lực môi tr−ờng 97

4.4 Định luật nhiệt động lực học thứ 98

4.5 Định luật nhiệt ng lc hc th hai 102

4.6 Các phơng trình học môi trờng liên tục 105

Chơng Lý thuyết đn hồi tuyến tính

5.1 Định luật Hooke tổng quát 110

5.5 Cách giải bμi toán đμn hồi theo ứng suất Ph−ơng trình Beltrami – Michell 128 5.6 Định lý Kirchhoff nghiệm bμi toán đμn hồi tĩnh 131 5.7 Cách đặt bμi toán thuận vμ ng−ợc lý thuyết đμn hồi Nguyên lý cục

Saint Venant Nguyên lý độc lập tác dng 133

5.8 Kéo nén thẳng hình lăng trụ 136

5.9 Xoắn thẳng hình lăng trụ 138

Ch−ơng Bμi toán phẳng lý thuyết đμn hồi hệ tọa độ Descartes vng góc

6.1 Trạng thái biến dạng phẳng 144

6.2 Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng 147 6.3 Các phơng trình bi toán phẳng 151

6.4 Hm ứng suất Airy 153

6.5 Hμm ứng suất có dạng đa thức đại số 158

6.6 Hμm øng suÊt cã dạng chuỗi lợng giác 167

6.7 Phơng pháp sai phân hữu hạn 170

Chng Bi toỏn phng lý thuyết đμn hồi hệ tọa độ cực

7.1 Các phơng trình 178

7.2 Tr−ờng hợp ứng suất khơng phụ thuộc vμo góc cực: Bμi tốn đối xứng trục vμ

bμi to¸n n thn tóy cong 182

7.3 Bμi tốn nêm chịu lực tập trung đỉnh 189 7.4 Bμi toán bán phẳng chịu lực tập trung biên 194 7.5 Bμi tốn bán khơng gian chịu lực tập trung trờn biờn 199

Chơng Tấm mỏng đn hồi

8.1 Định nghĩa v giả thiết 201

8.2 Quan hệ chuyển vị v biến dạng 202

8.3 øng lùc Quan hÖ vËt lý 203

8.4 Phơng trình vi phân cân 206

8.5 Điều kiện biên 211

8.6 Phân loại bi toán mỏng 214

8.7 Uốn hình chữ nhật 216

8.8 Phơng pháp sai phân 220

8.9 Bi tốn hệ tọa độ cực 224

Ch−¬ng Phơng pháp phần tử hữu hạn bi toán đn hồi tuyến tính

9.1 Phơng pháp phần tử hữu hạn 228

9.6 Phng pháp ma trận độ cứng động lực 264

Ch−¬ng 10 Lý thut dỴo

10.1 Quan hƯ øng suất biến dạng ngoi giới hạn đn hồi 273 10.2 Điều kiện dẻo Mặt chảy v đờng cong chảy 276

10.3 Các lý thuyết dẻo đơn giản 280

10.4 Về lý thuyết dẻo 287

10.5 Cách đặt bμi toán vμ ph−ơng pháp giải lý thuyết dẻo 289 10.6 Các đ−ờng tr−ợt trạng thái biến dạng phẳng 292 10.7 Bμi toán ống hình trụ chịu áp lực 298

Ch−¬ng 11 Lý thuyÕt tõ biÕn

11.1 ảnh h−ởng thời gian đến ứng suất vμ biến dạng 302

11.2 Lý thuyÕt tõ biÕn 305

11.3 Các mô hình học vật thể biến dạng 308 11.4 Cách đặt bμi toán vμ ph−ơng pháp giải lý thuyết từ biến 313 11.5 Một số ví dụ tính toán theo lý thuyết từ biến ổn định 316

Ch−¬ng 12 C¬ häc chÊt láng vμ chÊt khÝ

12.1 áp suất thủy tĩnh Ten xơ ứng suất nhít 320

12.2 ChÊt láng nhít tuyÕn tÝnh Newton 321

12.3 ChÊt láng lý t−ëng 324 12.4 Kh¸i niệm dòng chảy dừng, dòng không xoáy, dòng chảy cã thÕ 327

Bμi tËp 329

Tμi liƯu tham kh¶o 351

Danh mục ký hiệu Hệ tọa độ, ten xơ

x1 , x2 , x3 Các tọa độ Euler hệ Descartes vng góc

X1 , X2 , X3 Các tọa độ Lagrange hệ Descartes vng góc

x, y, z Tọa độ Descartes vng góc r, θ, z Tọa độ cực (trụ)

i

er Véc tơ đơn vị hệ trục tọa độ

ν, ξ, η Hệ tọa độ mặt cắt có pháp tuyến ngoμi νr t Thời gian

V MiỊn kh«ng gian môi trờng liên tục chiếm chỗ S Mặt biªn cđa thĨ tÝch V

( 1, 2, 3) (;l l1,l2,l3)

r rν ν ν

ν Véc tơ pháp tuyến ngoi mặt ij Ten x¬ Kronecker

eijk Ten x¬ Levi – Civita

ai , aij , aijk Ten x¬ hạng (véc tơ), hạng 2, hạng

I1 , I2 , I3 BÊt biÕn thø nhÊt, thø hai v thứ ba ten xơ hạng hai

∇ To¸n tư nabla

Δ, Δ1 To¸n tư Laplace ba chiÒu, hai chiÒu

cij Ma trËn côsin phơng

grad Građiên hm vô hớng div, rot Đive v rôta trờng vÐc t¬

J Ma trận Jacobian phép biến đổi det(A) Định thức ma trận A

Hằng số, đặc tr−ng học vật liệu E Môđun đμn hồi Young

G Môđun đμn hồi tr−ợt ν Hệ số nở ngang Poisson ρ Mật độ khối l−ợng λ, μ Các hng s Lamộ

K Môđun biến dạng thể tích D Độ cứng trụ

Et Môđun tái bỊn

σtl Giíi h¹n tû lƯ

ch , ch Giới hạn chảy kéo, trợt túy

b (b,k , b,n) Giới hạn bền (khi kÐo, nÐn)

σdh Giíi h¹n bỊn di hạn

H Môđun đn hồi tức thời

η HƯ sè nhít hay hƯ sè c¶n cđa vËt liƯu λ*, μ*

χ* HƯ sè nhít khèi cđa chÊt láng

Môi trờng liên tục m Khối lợng

Rr Véc tơ động l−ợng môi tr−ờng

Hr Véc tơ mô men động l−ợng môi tr−ờng K Động môi tr−ờng

U Nội môi trờng hay ®μn håi toμn phÇn cho vËt thĨ ®μn håi

u Nội riêng (mật độ nội năng) môi tr−ờng hay đμn hồi đơn vị khối l−ợng cho vật thể đμn hồi Q Nhiệt ca mụi trng

A Công môi trờng b Hằng số xạ nhiệt

(c1,c2,c3)

cr Véc tơ vận tốc truyền nhiệt T Nhiệt độ tuyệt đối (Kelvin) k Hệ số truyền nhiệt Fourier S Entrôpi môi tr−ờng

s Mật độ entrôpi p áp suất nhiệt động θ& Tốc độ biến dạng thể tích

W Thế biến dạng đơn vị thể tích W* Cơng bù

W Thế biến dạng thể tích WD Thế biến dạng hình dáng

WP Công biến dạng dẻo

Chuyển vị, biến dạng

( ) ( )

( r z)

z y x

u u u u

u u u u u u u u

, ,

, , ; ,

, 2 3

1

θ

r

r r

Chuyển vị điểm vật chất hệ tọa độ Descartes vμ hệ tọa độ cực (trụ)

(v1,v2,v3)

vr Vận tốc chuyển động

(w1,w2,w3)

wr Gia tốc chuyển động

Gij Ten xơ biến dạng hữu hạn Green

Aij Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi

ij Ten xơ biến dạng bé

ij Ten xơ quay tuyÕn tÝnh

rr Véc tơ quay tuyến tính θ Biến dạng thể tích tỷ đối

Biến dạng góc

tb Độ dÃn trung bình ten xơ biến dạng bé

1 , , Các biến dạng ten xơ biÕn d¹ng bÐ

D ij

Ten xơ lệch biến dạng

S ij

ε Ten xơ cầu biến dạng Γ C−ờng độ biến dạng tr−ợt εu C−ờng độ biến dạng

ij

ε Ten xơ h−ớng biến dạng eij Ten xơ tốc độ bin dng

ij Ten xơ xoáy biến dạng ij

ε& Ten xơ tốc độ biến dạng bé

u

ε& C−ờng độ tốc độ bin dng E

Biến dạng đn hồi P

Biến dạng dẻo, biến dạng d C Biến dạng từ biến

w Độ cđa tÊm Ngo¹i lùc, øng st

( ) ( )

( r z)

z y x F F F F

F F F F F F F F

, ,

, , ; , ,

θ

r

r r

Lực thể tích hệ tọa độ Descartes vμ hệ tọa độ cực (trụ)

(K1,K2,K3)

Kr Lùc khèi

(P P P ) P (Px Py Pz) Pν ν1, ν2, ν3 ; ν ν , ν , ν

r r

Lực mặt biên có pháp tuyến νr

( ν1, ν2, ν3)

ν p p p

p

r VÐc t¬ øng suÊt ton phần mặt cắt có pháp tuyến r ij Ten x¬ øng suÊt

ν

σr Véc tơ ứng suất pháp mặt cắt có pháp tuyÕn νr

ξη

σr VÐc t¬ øng suất tiếp mặt phẳng

tb Giá trị ứng suất pháp trung bình ten xơ ứng suất

σ1 , σ2 , σ3 C¸c øng suÊt chÝnh cđa ten x¬ øng st D

ij

σ Ten x¬ lƯch øng st

S ij

Ten xơ cầu ứng suất τ1 , τ2 , τ3 C¸c øng suÊt tiÕp chÝnh

T C−ờng độ ứng suất tiếp σu C−ờng độ ứng suất

ij

σ Ten x¬ chØ h−íng øng st

ij

σ& Ten xơ tốc độ ứng suất τij Ten xơ ứng suất nhớt

S Hμm tæng øng suÊt φ Hμm xo¾n Saint Venant Ψ Hμm øng suÊt Prandtl

Nx , Ny , Sx , Sy , S, Qx , Qy ,

Mx , My , Mxy , Myx , H

Các thnh phần ứng lực mặt trung bình p Tải trọng ngang phân bố cña tÊm

F Hμm øng lùc

Phơng pháp phần tử hữu hạn

M, C, K Ma trận khối l−ợng, cản, độ cứng hệ

U Véc tơ chuyển vị nút hệ hệ tọa độ tổng thể P Véc tơ tải trọng quy nút hệ

ue Tr−ờng chuyển vị phần tử hệ tọa độ địa ph−ơng

Ue Véc tơ chuyển vị nút hệ tọa độ phần tử

Ne=(N1 , N2 , ) Hμm d¹ng phần tử hữu hạn

Be Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử

e , e Véc tơ thnh phần biến dạng, ứng suất phần tử

De Ma trận số đn hồi phần tử hữu hạn

Me , Ce , Ke Ma trận khối l−ợng, cản, độ cứng phần t

PV , PS Véc tơ tải trọng thĨ tÝch, lùc mỈt quy vỊ nót

0 0; ε σ P

P Véc tơ tải trọng quy nút ứng suất, biến dạng ban đầu PC Véc tơ tải trọng tập trung nút hệ tọa độ tổng thể

Te

Ma trận chuyển đổi chuyển vị nút từ hệ tọa độ địa ph−ơng sang hệ tọa độ tổng thể

A DiƯn tÝch tiÕt diƯn

I M« men qu¸n tÝnh cđa tiÕt diƯn Ae DiƯn tích phần tử tam giác phẳng

h Độ dầy phần tử tam giác phẳng, phần tử i Sè ¶o i= −1

Kˆ Ma trận độ cứng động lực

Uˆ Véc tơ biên độ phức chuyển vị nút Pˆ Véc tơ biên độ phức tải trọng quy nút

ω Tần số dao động

ωi Tần số dao động riêng hệ

λ Tham số động lực

Φe Biên độ chuyển vị dọc trục hay chuyển vị ngang

*

e

q Biên độ tải trọng dọc trục hay tải trọng ngang Eˆ Môđun đμn hồi phức

μ1 , μ2 HƯ sè c¶n nhít cđa vËt liƯu vμ m«i tr−êng

K1 , K2 , K3 , K4 C¸c hμm Krylov

4

1, e , e , e e q q q

q v q Các thnh phần v véc tơ tải trọng e

Mở đầu

0.1 khái niệm học Môi tr−êng liªn tơc

0.1.1 Đối t−ợng, mục đích vμ phạm vi học môi tr−ờng liên tục

Đối t−ợng học môi tr−ờng liên tục lμ vật thể hữu hạn có cấu tạo vật chất liên tục vμ khoảng cách điểm chúng thay đổi thời gian chuyển động Các vật thể nμy đ−ợc gọi lμ “môi tr−ờng liên tục” hay “continuum” Khái niệm “môi tr−ờng” đ−ợc dùng để vật thể với ý nghĩa lμ kích th−ớc vật thể lớn nhiều so với kích th−ớc hạt vật chất, phân tử, mạng tinh thể cấu tạo nên vật chất Tính chất “liên tục” đ−ợc hiểu lμ điểm hình học khơng gian vật thể, ta ln lấy đ−ợc phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó, nghĩa lμ vật chất lấp đầy khơng gian vật thể Mục đích học môi tr−ờng liên tục lμ thiết lập tính chất chung vμ quy luật chuyển động môi tr−ờng liên tục nh− quy luật lực chất lỏng tác dụng lên vật chuyển động nó; liên quan tải trọng ngoμi vμ biến dạng vật thể rắn, v.v

Nếu học lý thuyết nghiên cứu cân hay chuyển động chất điểm, hệ chất điểm rời rạc vμ vật rắn tuyệt đối học mơi tr−ờng liên tục lμ phần rộng lớn học, nghiên cứu chuyển động mơi tr−ờng có biến dạng nh− chất khí, chất lỏng, vật rắn biến dạng vμ môi tr−ờng đặc biệt nh− tr−ờng điện từ, tr−ờng xạ, tr−ờng hấp dẫn, v.v Các ph−ơng trình cân hay chuyển động học môi tr−ờng liên tục lμ mở rộng ph−ơng trình học lý thuyết Cơ học môi tr−ờng liên tục lμ sở chung để phát triển lý thuyết đμn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, thủy động lực học, khí động lực học, nhiệt động lực học vμ nhiều ngμnh khác vật lý vμ học Tính chất chung vμ liên hệ mật thiết ngμnh học vμ vật lý kể trên, mμ tiên t−ởng nh− khác nhau, bắt buộc ta phải nghiên cứu chúng nh− thể thống

0.1.2 Nội dung v phơng pháp học môi trờng liên tục

Các nghiên cứu học môi trờng liên tục phát triển theo hai hớng:

- Nghiên cứu tính chất học môi trờng, tức l phát v nghiên cứu quy luật vật lý môi trờng chịu tác dụng lùc ngoμi

Bản thân việc giải bμi tốn cụ thể học mơi tr−ờng liên tục toán học đ−ợc xem lμ học mơi tr−ờng liên tục Điều giải thích chí tr−ờng hợp đơn giản nhất, bμi tốn học mơi tr−ờng liên tục đ−ợc đặt mặt tốn học khó vμ khơng thể giải đ−ợc cách có hiệu ph−ơng tiện tốn học đại Do buộc phải thay đổi cách đặt bμi tốn vμ tìm cách giải gần dựa sở giả thuyết vμ kiến thức học khác

0.2 Các giả thiết học môi trờng liên tục

0.2.1 Quan điểm tợng vĩ m«

Cấu trúc phân tử vμ lực t−ơng tác chúng phức tạp, lúc nμo biết đ−ợc Ta theo dõi chuyển động hạt bản, chúng nhiều vμ ch−a biết tr−ớc lực t−ơng tác chúng với Điều quan trọng lμ cần ý rằng, thông th−ờng không cần thiết phải biết chuyển động hạt

Trên thực tế, ta cần số đặc tr−ng trung bình quy −ớc dựa quy luật vμ giả thuyết chung thu đ−ợc thực nghiệm vật thể có kích th−ớc vĩ mơ hay lμ hữu hạn Đây lμ quan điểm t−ợng vĩ mô - ý đến trình, hiệu ứng vμ tính chất quan trọng vật thể hữu hạn mμ ta quan sát sử dụng t−ợng khác thiên nhiên vμ kỹ thuật Một ph−ơng pháp khác nghiên cứu môi tr−ờng vật chất đ−ợc phát triển vật lý lμ ph−ơng pháp thống kê dựa quan điểm xác xuất sử dụng đặc tr−ng trung bình từ tập hợp lớn hạt Các ph−ơng pháp thống kê dùng giả thuyết bổ sung tính chất hạt, t−ơng tác chúng vμ giản −ớc tính chất vμ t−ơng tác nμy Cần l−u ý nhiều tr−ờng hợp không tồn sở để xây dựng ph−ơng pháp nh− Tuy nhiên chúng lμ ph−ơng tiện hiệu để giải bμi tốn, ph−ơng trình t−ơng ứng thu đ−ợc vơ phức tạp

0.2.2 Gi¶ thut vỊ tÝnh chÊt liên tục môi trờng

Tt c vt chất cấu tạo từ hạt riêng lẻ nh−ng chúng có nhiều thể tích mμ ta quan tâm, nên xem gần nh− môi tr−ờng chiếm chỗ không gian cách liên tục

Việc lý t−ởng hóa nh− lμ cần thiết, nghiên cứu chuyển động môi tr−ờng liên tục, ta sử dụng công cụ tính tốn lμ phép tính vi phân vμ tích phân hμm liên tục

0.2.3 Gi¶ thut kh«ng gian Euclide

Khơng gian lμ tập hợp điểm đ−ợc cho tr−ớc số gọi lμ tọa độ điểm Không gian Euclide lμ khơng gian mμ ta xây dựng hệ tọa độ Descartes cho điểm khơng gian Vị trí điểm khơng gian hoμn toμn xác định nhờ hệ tọa độ Descartes vng góc cho toμn khơng gian x, y, z Khoảng cách hai điểm M1(x1,y1,z1) vμ điểm M2(x2,y2,z2) xác

định theo công thức

( ) ( ) ( )2

2 2 2

1 x y y z z

x

r= − + − + − (0.2.1)

Cơ học môi tr−ờng liên tục giả thiết không gian lμ Euclide ba chiều Cơ học xây dựng trong không gian Euclide gọi lμ học Newton Kinh nghiệm chứng tỏ không gian vật lý thực phạm vi không lớn với độ xác cao xem lμ khơng gian Euclide

Không phải không gian nμo vẽ hệ tọa độ Descartes cho toμn không gian Để đơn giản ta xét không gian hai chiều Rõ rμng lμ mặt phẳng ta vẽ hệ tọa độ Descartes có hai tọa độ cho toμn mặt phẳng Trên mặt cầu bán kính cong khác khơng, ta khơng thể vẽ hệ có hai tọa độ, để khoảng cách hai điểm lμ độ dμi cung đ−ờng trịn lớn đ−ợc xác định công thức (0.2.1) Trên mặt cầu vẽ hệ tọa độ Descartes miền lân cận bé điểm Trong tr−ờng hợp không gian ba chiều khơng phải lúc nμo vẽ hệ tọa độ Descartes cho toμn không gian

Để tránh nhầm lẫn điểm môi tr−ờng liên tục vμ điểm không gian môi tr−ờng liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm “điểm” để vị trí khơng gian cố định, khái niệm “phần tử”, “chất điểm” hay “hạt” để vật chất chứa thể tích vơ bé môi tr−ờng liên tục

0.2.4 Giả thuyết thời gian tuyệt đối hệ quy chiếu qn tính

trong hệ lμ quy chiếu qn tính, hệ lμ hệ quy chiếu qn tính Do hệ quy chiếu chuyển động thẳng hệ quy chiếu quán tính lμ hệ quy chiếu quán tính

Cơ học mơi tr−ờng liên tục giả thiết thời gian tuyệt đối, lý t−ởng, trôi qua nh− đối với ng−ời quan sát hệ quy chiếu quán tính: tμu hỏa, máy bay, giảng đ−ờng, v.v ta dùng thời gian tuyệt đối, lý t−ởng hóa để mơ tả thực tế vμ khơng kể đến hiệu ứng lý thuyết t−ơng đối hẹp

Trên đây, ta đ−a ba giả thuyết dùng để xây dựng lý thuyết chuyển động vật thể biến dạng Các kết luận rút từ lý thuyết nμy th−ờng phù hợp với thực nghiệm, nh−ng lúc nμo Trong tr−ờng hợp cần thiết, mơ hình khơng gian vμ thời gian xác hóa vμ mở rộng Nh−ng tất cả mở rộng sau nμy xây dựng sở học Newton dựa vμo giả thuyết trình bμy Bản chất giả thuyết trở nên dễ hiểu trình phát triển lý thuyết sau ny

Chơng

khái niƯm vỊ ten x¬

1.1 Khái niệm đại l−ợng vô h−ớng, véc tơ vμ ten xơ

Trong tốn học vμ vật lý nói chung, đặc biệt học nói riêng, ta th−ờng gặp loại đại l−ợng khác nhau:

- Đại l−ợng vô h−ớng lμ đại l−ợng mμ đ−ợc đặc tr−ng số theo đơn vị đo chọn nh− nhiệt độ, khối l−ợng, tỷ khối, l−ợng, độ ẩm, v.v - Đại l−ợng véc tơ lμ đại l−ợng mμ đ−ợc đặc tr−ng khơng số

số đo theo đơn vị đo xác định, mμ h−ớng khơng gian nh− chuyển dịch chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực, v.v Cần phân biệt ba loại véc tơ: véc tơ tự có điểm đặt chọn tùy ý; véc tơ tr−ợt có điểm đặt thay đổi dọc theo véc tơ đó, ví dụ lực đặt vμo vật thể rắn lμ véc tơ tr−ợt; véc tơ buộc có điểm đặt cố định, ví dụ nh− xét chuyển động điểm vật chất phải lấy điểm tác dụng lực lμ vị trí điểm vật chất Việc nghiên cứu véc tơ buộc vμ véc tơ tr−ợt dẫn đến việc nghiên cứu véc tơ tự do, d−ới ta xét véc tơ tự

- Đại l−ợng ten xơ đặc tr−ng cho trạng thái vật thể nh− trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất môi tr−ờng liên tục, phân bố mơmen qn tính trục khác qua điểm nμo vật thể rắn, xung l−ợng tr−ờng điện từ, độ cong điểm không gian phi Euclide, v.v

Ten xơ lμ đại l−ợng tổng quát bao hμm đại l−ợng vô h−ớng vμ véc tơ Dựa vμo khái niệm ten xơ, ta bao quát đặc tr−ng tất đại l−ợng, xem chúng lμ ten xơ hạng không (vô h−ớng), hạng (véc tơ) vμ hạng

Ten xơ có đặc điểm chung lμ khơng phụ thuộc vμo cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả chúng, nghĩa lμ hệ tọa độ cho ten xơ hệ thống đại l−ợng nμo đấy, gọi lμ thμnh phần ten xơ Nếu thμnh phần ten xơ cho hệ tọa độ, đ−ợc xác định hệ tọa độ nμo khác, định nghĩa ten xơ bao hμm quy luật biến đổi thμnh phần

phép biến đổi hệ tọa độ lμ nguyên nhân để sử dụng có hiệu phép tính ten xơ học vμ vật lý

1.2 Tr−êng v« h−íng

Tr−ờng vơ h−ớng lμ hμm vô h−ớng tọa độ điểm miền xác định hμm số ϕ(x1,x2,x3,t) với x1 , x2 , x3 lμ tọa độ khơng gian, cịn t lμ thời gian

Građiên tr−ờng vô h−ớng lμ véc tơ có h−ớng mμ hμm ϕ tăng nhanh vμ có độ

lớn đạo hμm theo h−ớng

3 2 1

e x e x e x

grad r r r

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂ ∂ = ∇

= ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ (1.2.1)

với er1,er2,er3 lμ véc tơ ph−ơng đơn vị hệ tọa độ sở Ox1x2x3 , ký hiệu∇ đọc lμ ‘nabla’ Về mặt hình học, véc tơ građiên vng góc với mặt mức (hay mặt đẳng trị) đ−ợc xác định từ ph−ơng trình ϕ(x1,x2,x3,t)=const Khi véc tơ pháp tuyến đơn vị νr điểm cho tr−ớc mặt nμy lμ

2

3

2

1

3 2 1

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂ ∂ = =

x x

x

e x e x e x grad

grad

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ν

r r

r

r (1.2.2)

Ký hiƯu Δ víi

2 2 2 2

x x

x ∂

∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇∇ =

Δϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (1.2.3)

đ−ợc gọi lμ toán tử Laplace, đọc lμ ‘laplacien’ Ph−ơng trình vi phân đạo hμm riêng

0

2 2 2 2

= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ

x x x

ϕ ϕ ϕ

ϕ (1.2.4)

đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình Laplace vμ nghiệm ph−ơng trình Laplace đ−ợc gọi lμ hμm điều hòa Theo định lý trung bình hμm điều hịa, giá trị hμm điều hịa điểm nμo trung bình số học giá trị hμm số mặt cầu (vμ theo thể tích) với tâm điểm cho Ph−ơng trình

0

2 2 2 2 2 2 2

2 =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂ = Δ

x x x x x x

ϕ ϕ ϕ

ϕ (1.2.5)

Ví dụ 1.2.1: Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) cho tr−ớc nằm trục tọa độ nh− hình 1.2.1

Giải: Phơng trình mặt phẳng qua ba ®iÓm A, B, C lμ

0 )

, ,

( = + + − =

c x b x a x x x x

ϕ

VÐc tơ građiên có dạng

3

1 1

e c e b e a

gradϕ = r + r + r

Do đó, véc tơ pháp tuyến mặt phẳng lμ

2

2

3

1

1

1 1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ + =

=

c b

a

e c e b e a grad

grad

r r r r

ϕ ϕ ν

Nếu mặt phẳng ABC nghiêng ba trục tọa độ (a = b = c), véc tơ pháp tuyến lμ

3

1

3

1

1

e e

er r r

r= ± + ± + ±

ν , th«ng th−êng ta hay chän ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

3 , ,

νr

1.3 VÐc t¬ vμ tr−êng véc tơ

1.3.1 Các phép tính véc tơ

Trong không gian ba chiều, ta lập hệ tọa độ Descartes vng góc Ox1x2x3 lμ

tam diện thuận theo quy tắc bμn tay phải Một véc tơ ar không gian đ−ợc xác định ba hình chiếu a1 , a2 , a3 trục tọa độ (hình 1.3.1) vμ a1 , a2 , a3 đ−ợc gọi lμ tọa độ vng góc hay lμ thμnh phần véc tơ ar Độ dμi

của véc tơ ar xác định theo công thức

2 2

1 a a

a

ar = + + (1.3.1)

Đờng chéo OB hình bình hnh dựng véc tơ OA= v ar AB= l tổng hai véc tơ br OB=ar +br, còn đờng chéo CA l hiệu véc tơ ny CA=ar −br (h×nh 1.3.2)

Tích vơ h−ớng (hay tích trong) hai véc tơ ar vμ br lμ đại l−ợng vơ h−ớng có giá trị tích độ dμi véc tơ với cơsin góc chúng

H×nh 1.2.1 C

B

A

x3

x1 x2

ν

e1 e2

e3 O

H×nh 1.3.1 x3

x1 x2

a

a1 a2

) , cos(

.b ba a b a b

ar r= r r= r r r r (1.3.2) Nếu véc tơ ar vng góc với véc tơ br tích vơ h−ớng hai véc tơ nμy khơng Tích vơ h−ớng véc tơ đơn vị tọa độ lμ

⎩ ⎨ ⎧

≠ = =

=

j i

j i e

ei j ij

0 r δ

r (1.3.3)

Nếu br =1 hình chiếu véc tơ ar lên véc tơ br tích vơ h−ớng hai véc tơ nμy Tọa độ ai lμ tích vơ h−ớng véc tơ ar vμ véc tơ đơn vị ei

r

i i ae

a = r.r (1.3.4)

Tích véc tơ (hay tích ngoμi, tích có h−ớng) hai véc tơ ar vμ br lμ véc tơ cr có độ lớn diện tích hình bình hμnh dựng véc tơ ar,br vμ có h−ớng vng góc với mặt phẳng véc tơ nμy cho tam diện hình thμnh véc tơ

c b

ar, r,r lμ tam diƯn thn (h×nh 1.3.3) ) , sin( ; c ab a b b

a

cr = rìr r = r r r r (1.3.5) Biểu diễn d−ới dạng định thức

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ×

3

3

3

det

b b b

a a a

e e e b

a

r r r r

r (1.3.6)

Tích véc tơ tính giao hoán tức lμ

d a b b a

cr= r×r =−r×r =−v

Tích hỗn hợp (hay tích véc tơ kép) ba véc tơ ar,br,cr lμ đại l−ợng vơ h−ớng có giá trị thể tích hình hộp giới hạn véc tơ nμy Tích hỗn hợp nμy lμ số d−ơng véc tơ ar,br,cr lập thμnh tam diện thuận

[ ]

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = × =

3

3

3

det ) (

c c c

b b b

a a a c

b a c b

arrr r r r (1.3.7)

1.3.2 Biến đổi thμnh phần véc tơ quay trục tọa độ

Giả thiết hệ trục tọa độ Descartes ban đầu xi với véc tơ đơn vị eri xoay quanh gốc tọa độ O trở thμnh hệ trục tọa độ Descartes x′ với véc tơ đơn vị i e ′i

r nh− H×nh 1.3.3

a b c=a×b

d=b×a

H×nh 1.3.2 a

b a

b

a+b

O A

B C

trên hình 1.3.4 Ký hiệu C =( )cij l ma trận côsin góc hợp trục x i với trục cũ xj v l góc véc tơ e i

r vμ vÐc t¬

j

er Theo (1.3.2), ta cã

j i j i j

i

ij x x e e ee

c =cos( ′, )=cos(r′,r )= r′r (1.3.8)

Các véc tơ đơn vị e ′ri biểu diễn qua véc tơ đơn vị cũ erj

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ′ ′

3

3

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3

e e e C e e e

c c c

c c c

c c c

e e e

r r r r

r r r

r r

(1.3.9)

Ngợc lại, ký hiệu C=( )cij l ma trận cô sin góc hợp trục cị xi víi trơc

míi x′ , ta cã j

j i j i j

i

ij x x e e ee

c′ =cos( , ′)=cos(r,r′)=r r′ (1.3.10) So s¸nh (1.3.8) vμ (1.3.10), ta thÊy r»ng c'ij=cji tøc lμ ma trËn C′=( )cij′ vμ ma trËn C=( )cij lμ chun vÞ cđa

Từ (1.3.10), ta biểu diễn véc tơ sở cũ eri qua véc tơ sở erj

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

′ ′ ′ ′ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

′ ′ ′ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

3

3

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3

e e e C e e e

c c c

c c c

c c c

e e e

r r r r

r r r

r r

(1.3.11)

So sánh (1.3.9) vμ (1.3.11), ta thấy ma trận C′=( )cij′ vμ ma trận C =( )cij lμ nghịch đảo

H×nh 1.3.4 e1

2

e′

1

x′

3

e′

3

x′

x3

x1 x2

a

e2

e3 O

1

e′

2

x′

H×nh 1.3.5 e1

2

e′

1

x′

3

3 e

e′ =

3

3 x

x′ =

x1 x2

e2

O

1

e′

2

x′

Nh vậy, ma trận côsin phơng ( )cij lËp thμnh mét ma trËn trùc giao

T

C C

C′= −1= (1.3.12)

Khi hệ trục tọa độ Descartes ban đầu Ox1x2x3 quay mặt phẳng Ox1x2 góc θ

ng−ợc chiều kim đồng hồ quanh trục x3 trở thμnh hệ trục ta mi Ox1x2x3 nh

trên hình 1.3.5, ma trận côsin phơng có dạng

( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = = 0 cos sin sin cos cos 90 cos 90 cos 90 cos cos 90 cos 90 cos 90 cos cos 0 0 0 θ θ θ θ θ θ θ θ ij c

C (1.3.13)

Bây ta xét thay đổi thμnh phần véc tơ ar quay hệ trục tọa độ Khi thân véc tơ ar không thay đổi, nh−ng thμnh phần tọa độ ai véc tơ ar

trong hệ trục cũ xj thay đổi thμnh a′ hệ trục i x′ Ta có khai triển i

i i

i i

i

ie ae

a

a=∑ =∑ ′ ′

= = r r r 3 (1.3.14)

víi ai aei

r r.

= vμ ai′=aei′

r

r Sư dơng (1.3.8) kÕt hợp với (1.3.9), ta đợc

= = = = = = ′ = ′ 3 i j ij i j ij i j ij i

i ae a c e c ae c a

a rr r r r r (1.3.15)

T−¬ng tù, sư dơng (1.3.10) kÕt hỵp víi (1.3.11) ta cã

∑ ∑ ∑ = = = ′ = ′ = ′ ′ = = 3 i j ji i j ji i j ij i

i ae a c e c ae c a

a rr r r rr (1.3.16)

1.3.3 Tr−êng vÐc t¬

Tr−ờng véc tơ lμ hμm véc tơ tọa độ điểm miền không gian xác định hμm số ar(x1,x2,x3,t) với x1 , x2 , x3 lμ tọa độ không gian, t lμ thời gian Đại l−ợng vô h−ớng

( ) 3 2 1 x a x a x a a a div ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = r

r (1.3.17)

đợc gọi l đive (hay phân kỳ) trờng véc tơ ar Đại lợng véc tơ

( )

2 1 2 3 1 2 3 3 det e x a x a e x a x a e x a x a a a a x x x e e e a a

rot r r r

r r r r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇

= (1.3.18)

Các đại l−ợng div( )ar ;rot( )ar đóng vai trị quan trọng nghiên cứu mơi tr−ờng liên tục Giá trị đive liên quan đến l−ợng vật chất qua mặt thể tích vơ cùng bé bao quanh điểm xét Véc tơ rôta liên quan đến chuyển động quay chất điểm quanh điểm xét

Ví dụ 1.3.1: Khai triển véc tơ ar(1,2,1) thμnh hai véc tơ ar=σrv+τrv véc tơ σrv theo ph−ơng pháp tuyến với mặt phẳng ABC nghiêng với ba trục tọa độ (ví dụ 1.2.1), véc tơ τv

r nằm mặt phẳng ABC

Gii: Vộc t pháp tuyến ngoμi mặt phẳng ABC nghiêng ba trục tọa độ lμ

(1 3,1 3,1 3)

r Hình chiếu véc tơ ar lên phơng pháp tuyến r l

3 3

=

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ = = a

v

r r r ν

σ

v thu đợc véc tơ rv

⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =

3

3

3

3

3

3

3

ν σ σrv rv r

Từ ta xác định đ−ợc véc tơ τrv nằm mặt phẳng ABC

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − =

3

3

3

3

3

3

1

v

a σ

r r r

Độ di véc tơ v

r theo (1.3.1) lμ

3

1

2

1 2

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ν

τr

§Ĩ kiĨm tra kết tính, dựa vo điều kiện véc tơ rv vuông góc với véc tơ rv nên tích vô hớng hai véc tơ ny không

0

3

3 3

=

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ = ν

τ σrv r

2 2

2

1 16

6 = + = = + +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

Ví dụ 1.3.2: Xác định thμnh phần véc tơ ar(1,2,1) hệ tọa độ mặt phẳng Ox1x2 xoay quanh trục x3 góc 600 ng−ợc chiều kim đồng hồ

Giải: Theo (1.3.13) v (1.3.15), thnh phần cđa vÐc t¬ ar hƯ trơc míi lμ

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

′ ′ ′

000

134

232

1

1 0

0 2

0

1

3

a a a

1.4 Ten xơ hệ tọa độ Descartes vng góc

1.4.1 Hệ thống phần tử Quy tắc số Einstein

a) Hệ thống phần tử đ−ợc đặc tr−ng hay nhiều số vμ đ−ợc xếp theo thứ tự nμo đấy, ví dự nh− , aij , aijk , với số i,j,k có giá trị 1,2,3 Do hệ

thèng cã mét chØ sè gåm phÇn tư l a1 , a2 , a3 đợc gọi l hệ thèng h¹ng nhÊt,

hƯ thèng aij cã hai chØ sè gåm phÇn tư lμ a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33

đợc gọi l hệ thống hạng hai, v.v

b) Ta đ−a vμo hai qui tắc quan trọng số gọi lμ qui tắc Einstein:

- Trong đơn thức, số nμo gặp lần, ta gọi lμ số tự Chỉ số nμy lấy giá trị 1,2,3 Ví dụ đơn thức aibjk , số i,j,k lμ số tự

- Trong đơn thức, số nμo lặp lại hai lần, biểu thị tổng theo số

từ đến Ví dụ ∑

=

= + +

=

1 3 2 1

i i i i

ib ab a b a b ab

a Chỉ số gọi lμ số câm vμ

có thể thay chữ khác aibi =ajbj =ambm

Sử dụng quy tắc ny, công thức (1.3.15) cã d¹ng

j ij i c a

a′= (1.4.1)

vμ (1.3.16) cã d¹ng

j ji i c a

a = ′ (1.4.2)

- ChØ số no xuất hai lần không biểu thị tổng; biểu thị tổng phải ghi riêng Dùng quy ớc trên, tổng ta viÕt dÊu tỉng Σ n÷a

Một hệ thống lμ đối xứng hai số nμo đấy, ta hốn vị hai số cho nhau, phần tử hệ thống không đổi dấu vμ giá trị Chẳng hạn hệ thống aij lμ đối xứng, aij = aji Hệ thống đối xứng có dạng đặc biệt dùng rộng

rãi phép tính ten xơ lμ ký hiệu Kronecker (1.3.3) Sử dụng ký hiệu nμy, cơng thức (1.3.12) có dạng đơn giản

ij jk ikc

c =δ (1.4.3)

Hệ thống aij lμ phản đối xứng, ta hoán vị hai số i, j cho nhau, phần tử

thay đổi đấu aij = - aji , từ suy a11=a22=a33=0

HƯ thèng Levi - Civita lμ hƯ thèng h¹ng ba eijk cã tÝnh chất:

eijk=1 ijk l hoán vị chẵn 1,2,3; vÝ dô e123=e231=e312=1

eijk=-1 ijk lμ hoán vị lẻ 1,2,3; ví dụ e132=e213=e321=-1

eijk=0 hai chØ sè bÊt kú b»ng nhau; vÝ dô e112=e232=0

Sử dụng ký hiệu Levi - Civita, định thức ma trận hạng ba có dạng

k j i ijka a a

e a a a

a a a

a a a

3 33

32 31

23 22 21

13 12 11

det =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

(1.4.4)

1.4.2 Định nghĩa ten xơ

a) Ten xơ hạng không lμ đại l−ợng vơ h−ớng có 30=1 thμnh phần vμ thμnh

phần nμy không thay đổi phép biến đổi trục tọa độ

b) Ten xơ hạng lμ hệ thống ai gồm 31=3 thμnh phần cho hệ tọa độ

Descartes nμo mμ hệ tọa độ nμy thay đổi theo quy luật (1.4.1) chúng thay đổi theo quy luật

j ij i c a

a′= (1.4.5)

Ta thấy tọa độ véc tơ cho tr−ớc hệ tọa độ lập thμnh ten xơ hạng Ng−ợc lại thμnh phần ten xơ hạng xem lμ tọa độ véc tơ nμo

Bộ ba số (ρ, t0, H) với ρ lμ khối l−ợng riêng, t0 lμ nhiệt độ, H lμ độ cao điểm

®ang xét ten xơ hạng c) Ten xơ hạng hai l hệ thống aij gồm 3

2=9 thμnh phần cho hệ tọa độ

Descartes nμo mμ hệ tọa độ nμy thay đổi theo quy luật (1.4.1) chúng thay đổi theo quy luật

kl jl ik ij c c a

Ta gặp ten xơ hạng hai nghiên cứu trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất môi tr−ờng liên tục, phân bố mơmen qn tính trục qua điểm nμo vật thể rắn, xung l−ợng tr−ờng điện từ, độ cong điểm không gian phi Euclide, v.v

d) Ten xơ hạng n l hệ thống aijkl gồm 3

n thμnh phần cho hệ tọa độ

Descartes nμo mμ hệ tọa độ nμy thay đổi theo quy luật (1.4.1) chúng thay đổi theo quy luật

ir js kt lu rstu

ijkl c c c c a

a′ = L (1.4.7)

Từ định nghĩa ten xơ, ta thấy thμnh phần ten xơ hệ tọa độ lμ tổ hợp bậc thμnh phần ten xơ hệ tọa độ cũ Do tất thμnh phần ten xơ không hệ tọa độ nμo khơng h ta mi

1.4.3 Phân biệt ten xơ víi ma trËn

Theo định nghĩa ten xơ, thμnh phần hệ thống aijkl lập thμnh ten xơ xác định, đó, thμnh phần cij lμ ten xơ mμ lμ thμnh phần ma trận phép biến đổi tọa độ, thiết lập mối quan hệ hai hệ tọa độ khác Đối với ten xơ có hạng bé hay hai, ta biểu diễn ten xơ d−ới dạng ma trận nh−ng ng−ợc lại, ma trận lμ ten xơ

Dới dạng ma trận, công thức (1.4.6) có dạng

( ) ( ) T ij ij C a C

a = (1.4.8)

Mặt khác từ (1.3.12) suy det( )cij =±1 nªn

( )aij det( )cik det( )cjl det( )akl det( )akl

det ′ = × × = (1.4.9)

nghĩa lμ định thức thμnh phần ten xơ hạng hai lμ bất biến phép biến đổi trục tọa độ

1.4.4 Các phép tính đại số ten xơ

Đối với ten xơ, ta thực số phép tính bất biến, tức lμ phép tính mμ kết chúng khơng phụ thuộc vμo cách chọn hệ tọa độ:

a) Tổng ten xơ hạng: Việc lấy tổng (cộng hay trừ) thực cho ten xơ hạng, kết cho ta ten xơ hạng có thμnh phần tổng các thμnh phần t−ơng ứng ten xơ cho Ví dụ, aijk v bijk l cỏc ten

xơ hạng ba cijk=aijkbijk l ten xơ hạng ba

quả cho ta ten xơ có hạng giảm hai đơn vị Ví dụ, với ten xơ hạng bốn aijkl ,

phÐp cuén aikjk theo chØ sè thứ v cho ta ten xơ hạng hai cij= aikjk Với ten

xơ hạng hai aij , phÐp cn aii cho ta mét v« h−íng l ten xơ hạng không

c) Phép nhân ten xơ: Phép nhân áp dụng cho hai ten xơ có hạng cách lấy tích có thnh phần ten xơ ny với thnh phần ten xơ kia, kết nhận đợc ten xơ có hạng tổng hạng các ten xơ thnh phần Ví dụ tích ten xơ hạng ba aijk v ten xơ blm cho ta ten xơ hạng năm cijklm=aijkblm Cũng giống nh phép nhân ma trận, phép nhân ten xơ tính giao hoán

d) Phộp hoỏn v số: Từ ten xơ cho, ta lập ten xơ có hạng vμ thμnh phần nh−ng thứ tự thμnh phần khác cách hoán vị chỉ số ten xơ cho Ví dụ, với ten xơ aijk , lập ten xơ bijk cách ký hiệu số i, j, k thμnh j, k, i , tức lμ bjki= aijk

Nh− vậy, kết phép tính đại số ten xơ cho ta ten xơ mi

1.4.5 Dấu hiệu ngợc lại ten x¬

D−ới đây, ta phát biểu dấu hiệu ng−ợc lại ten xơ d−ới dạng đơn giản, tất nhiên điều mở rộng cho hệ thống hng bt k

Chẳng hạn, ta có hệ thøc

i jk c

b k j i

a( , , ) = (1.4.10)

vμ biết ci lμ ten xơ xác định, bjk lμ ten xơ tùy ý hệ thống a(i,j,k) lμ

mét ten x¬, tøc lμ a(i,j,k)=aijk

Một tr−ờng hợp riêng quan trọng mệnh đề nμy lμ: Giả sử có xi , yj , zk lμ thμnh phần ba véc tơ tùy ý, biết aijkxiyjzk lμ bất biến ta kết luận aijk lμ ten xơ hạng ba Đôi ng−ời ta dùng tính chất nμy để định nghĩa ten xơ phép biến đổi tuyến tính

1.4.6 Giá trị vμ ph−ơng ten xơ hạng hai đối xứng

Một tính chất quan trọng ten xơ hạng hai đối xứng với thμnh phần lμ số thực lμ tồn ba ph−ơng trực giao với

Ph−ơng (hay trục chính) νj ten xơ hạng hai đối xứng aij lμ ph−ơng mμ véc tơ aijνj đồng ph−ơng với véc tơ νi , tức lμ aijνj =aδijνj hay

(aij −aδij)νj =0 (1.4.11)

với a gọi lμ giá trị ten xơ aij ph−ơng νj Mặt khác, thμnh

1

2 2

1 + + =

=ν ν ν ν

νj j (1.4.12)

Vì νj khơng đồng thời không nên từ (1.4.11), suy

( ) det det

33 32

31

23 22

21

13 12

11

= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− =

−

a a a

a

a a a a

a a

a a a

aij δij (1.4.13)

Ph−ơng trình (1.4.13) đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình đặc tr−ng ten xơ aij

Theo (1.4.9), ph−ơng trình nμy bất biến phép biến đổi trục tọa độ nên nghiệm lμ bất biến Khai triển (1.4.13), ta có

0

3 2

3− + − =

I a I a I

a (1.4.14)

trong

( ) ( )

( ) ( ) 12 33 31 22 23 11 31 23 12 33 22 11

2 31 23 12 11 33 33 22 22 11

33 22 11

2

deta a a a a a a a a a a a a a

I

a a a a a a a a a a I

a a a a a I

ij ij

ij ii ij

− −

− +

= =

− − − +

+ =

+ + = =

(1.4.15)

lμ bất biến ten xơ hạng hai đối xứng aij

Vì aij l số thực nên phơng trình bậc ba (1.4.14) phải có nghiệm

thực ar nμo Ta lập hệ trục Descartes x′ cho trục hệ tọa độ nμy i trùng với ph−ơng giá trị ar biết Trong hệ trục x′ nμy, ten xơ ai ij

vẫn lμ ten xơ đối xứng vμ có dạng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

′ ′

′ ′ =

′

33 32

23 22

0

0

a a

a a a a

r

ij (1.4.16)

Phơng trình (1.4.13) có dạng

( ) 0

0

0

det det

33 32

23

22 =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− ′ ′

′ −

′ − =

− ′

a a a

a a a a a a

a

r ij

ij δ (1.4.17)

Khai triÓn (1.4.17) theo hng (hay cột) ta có

(ar −a)[a2 −(a′22 +a′33)a+(a′22a′33 −a′232)]=0

Ph−ơng trình bậc ba nμy có nghiệm a=ar biết Ph−ơng trình bậc hai

( ) ( )

[ 22 33 22 33 232 ]

2 − ′ + ′ + ′ ′ − ′ =

cã biÖt thøc

( 22′ + 33′ )2−4( ′22 ′33 − 23′2)=( ′22 − 33′ )2 +4 23′2 >0 =

Δ a a a a a a a a

nên hai nghiệm lμ số thực Nh− vậy, ba nghiệm ph−ơng trình đặc tr−ng (1.4.14) lμ số thực, ta ký hiệu lần l−ợt lμ a1 , a2 , a3 với quy −ớc a1 ≥ a2 ≥ a3 (về giá trị đại số)

Giả sử ar vμ as lμ hai nghiệm khác (1.4.14), từ (1.4.11) vμ (1.4.12) ta xác định đ−ợc ph−ơng s

j r j ν

ν ; t−¬ng øng

( ) ( )

0 = −

= −

s j ij s ij

r j ij r ij

a a

a a

ν

Nhân phơng trình đầu với s i

v phơng trình sau với r i

ν trừ với ý tới ten xơ aij vμ δij đối xứng, ta c

(ar as)ijirjs =0 vì aras nên =0

s j r i ijν ν

δ tøc lμ hai vÐc t¬ νrr

vμ νrs

trực giao Nếu có hai giá trị chính nhau, chẳng hạn a1=a2 , hai ph−ơng vng góc nằm mặt phẳng trực giao với ph−ơng thứ ba (t−ơng ứng với a3) lμ ph−ơng Nếu ba giá trị a1=a2=a3 thì ba ph−ơng trực giao với lμ ph−ơng

Trong hệ tọa độ gồm trục chính, ten xơ aij có dạng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

3

0

0

0

a a a

aij (1.4.18)

vμ c¸c bÊt biÕn (1.4.15) cã d¹ng

3

1 3 2

3 1

a a a I

a a a a a a I

a a a I

=

+ + =

+ + =

(1.4.19)

Bây ta xét cực trị hm số

j i ij

a

aν = νν (1.4.20)

với véc tơ phơng phải thoả mÃn điều kiện rng buộc (1.4.12) ii =1 Sử dụng phơng pháp nhân tử Lagrange, ta tìm cực trị cña hμm sè

( −1)

− =aij i j a i i

trong a lμ thừa số Lagrange Từ điều kiện tồn cực trị

3 , , ;

0 =

= ∂

∂

i F

i

ν (1.4.22)

ta nhận lại đ−ợc ph−ơng trình (1.4.11) Nh− vậy, ten xơ hạng hai đối xứng aij , đại l−ợng aν xác định theo (1.4.20) đạt giá trị cực trị theo ph−ơng

1.4.7 Biểu thức giá trị ten xơ hạng hai đối xứng

Giả thiết ta biết đ−ợc giá trị aj vμ ph−ơng νj ten xơ hạng

hai đối xứng aij , lập ten xơ

ij ij

ij a a

d′ = − 0δ (1.4.23)

trong a0 lμ số vô h−ớng Sử dụng phép biến đổi

(aij −aδij)vj =[aij −a0δij−(a−a0)δij]vj =(dij′ −d′δij)vj =0

Nh− vậy, giá trị d ′ ten xơ i d ′ xác định qua giá trị aij i ten

x¬ aij bëi hƯ thøc

0

a a

di′= i − (1.4.24)

v ngợc lại Đồng thời phơng ten xơ d ij trùng với phơng của ten xơ aij

Xét trờng hợp

( )aij (a a a ) atb

I

a0 = 1 = 11+ 22+ 33 =

3

1

(1.4.25)

Khi ten xơ

ij tb ij

ij a a

d = − δ (1.4.26)

cã bÊt biÕn thứ không, bất biến thứ hai v thø ba lμ

( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( )]

( )ij ( )ij ( tb)( tb)( tb) ( )ij [ ( )ij ] ( ) ( )ij ij ij ij

ij

a I a I a

I a

I d d d d d d d d

I

a I a

I a a a a

a a

a a

a d

I

2 3

3

1

2

2 31 23 12 11 33 33 22 22 11

3 27

2 det

3

6

− +

= − −

− = =

− =

+ + + −

+ −

+ −

− =

(1.4.27)

Nh− I2( )dij ≤0 vμ khơng giá trị ten xơ aij

nhau Ten x¬ dij cã giá trị dạng giải tích

( ) ϑ π ( ) ϑ π ( )cosϑ

3 ;

3 cos

2 ;

3 cos

2

2

2

2

1 I dij d I dij d I dij

d ⎟ =− −

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + −

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − −

với tham số ϑ xác định theo công thức ( ) ( ) [ ] ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ − − = ; 3 cos

3 ϑ π

ϑ ij ij d I d I (1.4.29)

Từ ta có

( ) ( ) ( ) ϑ τ π ϑ τ π ϑ τ sin sin sin 2 3 2 ij ij ij d I d d d I d d d I d d − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − = (1.4.30)

Sử dụng hệ thức (1.4.24), (1.4.27) ta xác định đ−ợc giá trị ten xơ aij thơng qua bất biến lμ

( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ϑ π ϑ π ϑ cos 3 3 cos 3 3 cos 3 2 1 3 2 1 2 2 1 1 ij ij ij tb ij ij ij tb ij ij ij tb a I a I a I d a a a I a I a I d a a a I a I a I d a a − − = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = + = (1.4.31)

với tham số ϑ xác định theo công thức

( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) { } ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ − − + − = ; 27 cos 2

3 ϑ π

ϑ ij ij ij ij ij ij a I a I a I a I a I a I (1.4.32)

1.4.8 Phân tích ten xơ hạng hai thμnh ten xơ đối xứng vμ ten xơ phn i xng

Với ten xơ hạng hai bÊt kú aij , ta lËp ten x¬ míi cách hoán vị số v lập tổng

( ij ji) ij ( ij ji)

ij = a +a = a −a

2 ;

2

1 ω

ε (1.4.33)

Từ ta thu đ−ợc ten xơ εij lμ ten xơ đối xứng, tức lμ εij=εji , ten xơ ωij lμ ten xơ

phản đối xứng, tức lμ ωij=−ωji , vμ

( ij ji)

ij

a = ε +ω (1.4.34)

Ten xơ đối xứng εij có ba giá trị lμ số thực Ten xơ phản đối xứng ωij có

12

31

23

1 =−ω ;r =−ω ;r =−ω

r (1.4.35)

1.4.9 Tr−êng ten x¬

Nếu điểm khơng gian, ta cho tr−ớc ten xơ có hạng nμo vμ có giá trị thay đổi từ điểm nμy sang điểm khác, ta có tr−ờng ten xơ với hạng xác định (bằng với hạng ten xơ cho) Các phép tính đại số ten xơ đ−ợc chuyển sang tr−ờng ten xơ cách tự động D−ới đây, ta xem xét phép tính vi phân tr−ờng ten xơ

Xét tr−ờng ten xơ nμo đấy, chẳng hạn tr−ờng ten xơ hạng hai

( )M a (x1,x2,x3)

a

aij = ij = ij

Khi tr−ờng ten xơ thay đổi từ điểm M đến điểm lân cận M1 dọc theo đ−ờng cong nμo

đó x1 =x1( )t ;x2 =x2( )t ;x3 =x3( )t thμnh phần ten xơ thay đổi lμ

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]

ij k k ij

ij ij

ij ij

da dx x a

t x t x t x a dt t x dt t x dt t x a M a M a

= ∂

∂ ≈

− + +

+ =

− 1 2 3 1 2 3

1 , , , ,

(1.4.36)

Mặt khác, cij không phụ thuộc vo cách chọn điểm M nên thực vi phân

hai vÕ cña (1.4.6), ta cã

kl jl ik ij c c da

a

d ′ = (1.4.37)

Nh− vậy, hệ thống daij lμ ten xơ hạng ten xơ aij vμ đ−ợc gọi lμ vi phân tuyệt đối tr−ờng ten xơ aij

Theo (1.4.2) ta cã kl k l

c xx =′

∂ ∂

, kết hợp với (1.4.6) thu đợc

l mn kl jn im k l l ij k ij

x a c c c x x x a x a

∂ ∂ =

′ ∂ ∂ ∂

′ ∂ = ′ ∂

′ ∂

(1.4.38)

Do đó, ∂aij ∂xk lμ lμ ten xơ vμ có hạng cao hạng tr−ờng ten xơ aij

một bậc, đ−ợc gọi lμ đạo hμm tuyệt đối tr−ờng ten xơ aij Khi cơng thức

(1.4.36) cã thĨ viÕt d−íi d¹ng

k k ij

ij dx

x a da

∂ ∂

= (1.4.39)

v xem ten xơ daij l kết phép cn cđa hai ten x¬ ∂aij ∂xk vμ dxk

Xét ten xơ hạng hai đối xứng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

33 22 21

12 11

0

0

a a a

a a

aij (1.4.40)

Khi mặt phẳng Ox1x2 xoay quanh trục x3 góc θ ng−ợc chiều kim đồng hồ (hình

1.4.1), theo công thức (1.3.13) ta thu đợc

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝

⎛ −

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

′ ′ ′

′ ′ = ′

1 0

0 cos sin

0 sin cos

0

0

1 0

0 cos sin

0 sin cos

0

0

33 22 21

12 11

33 22 21

12 11

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

a a a

a a

a a a

a a aij

trong

33 33

12 22

11 22 11 22

22 11 12

21 12

12 22

11 22 11 11

2 sin

cos

2

2 sin 2

cos

2 sin

cos

2

a a

a a

a a a a

a a a

a a

a a

a a a a

= ′

− −

− + = ′

− − =

′ = ′

+ −

+ + = ′

θ θ

θ θ

θ θ

(1.4.41)

Vì thμnh phần a33 không thay đổi (a33′ =a33) nên

ta xét hệ thống {a11,a12,a21,a22} phép quay quanh trục x3 Khi ta viết (1.4.41) d−ới dạng (1.4.8)

( ) ( )aij′ =C aij CT ;i, j=1,2 (1.4.42)

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

θ θ

θ θ

cos sin

sin cos

;

22 21

12 11

C a a

a a

aij (1.4.43)

Nh− vËy, ta cã thể xem hệ thống {a11,a12,a21,a22} nh ten xơ hạng hai

kh«ng gian hai chiỊu” hƯ trôc Ox1x2 quay quanh trôc x3

Bây giờ, ta xác định giá trị vμ ph−ơng ten xơ aij Từ (1.4.40), ta thấy ten xơ aij có giá trị lμ a33 vμ ph−ơng t−ơng ứng lμ ph−ơng x3 Hai ph−ơng cịn lại nằm mặt phẳng Ox1x2 Ký hiệu α lμ góc trục x1

với ph−ơng cần tìm vμ quy −ớc góc α lμ d−ơng quay ng−ợc chiều kim đồng hồ từ chiều dng ca trc x1 n phng chớnh

Các phơng l nghiệm hệ phơng trình

min max

O

θ x2

x1 x’2

x’1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

0 sin

cos

22 21

12 11

α α

a a a

a a a

(1.4.44)

Từ điều kiện tồn nghiệm không đồng thời không (1.4.44), ta nhận đ−ợc ph−ơng trình xác định giá trị

( ) det det

22 21

12

11 =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

= −

a a a

a a a a

aij δij (1.4.45)

Theo (1.4.42), ph−ơng trình nμy bất biến phép quay trục tọa độ quanh trục x3 Khai triển (1.4.45), ta đ−ợc

0

2

2− + =

I a I

a (1.4.46)

với I1 , I2 lμ bất biến quay hệ trục tọa độ quanh trục x3

( )

( ) 12 22 11 22 21

12 11

22 11

det a a a

a a

a a a

I

a a a I

ij ij

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

+ =

(1.4.47)

Giải phơng trình (1.4.46) thu đợc giá trị chÝnh

2 12 22 11 22

11

2 12 22 11 22

11 max

2

2

a a

a a

a a

a a

a a

a a

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

− + =

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

+ + =

(1.4.48)

Cùng với giá trị a33 , ta có ba giá trị ten xơ aij Việc đánh s th

tự a1a2a3 cha thực đợc m phải dựa vo số liệu cụ thể

Gọi max , min l góc phơng có giá trị lớn amax v phơng có giá trị

chÝnh bÐ nhÊt amin víi trơc x1 (quy −íc dÊu dơng nh hình 1.4.1) từ

⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

0 sin

cos

min max,

min max,

max, 22 21

12

max, 11

α α a

a a

a a

a

ta đợc

min 22

12

max 22

12

max ;

a a

a tg

a a

a tg

− − = −

−

= α

α (1.4.49)

Sö dơng c¸c bÊt biÕn (1.4.47), ta cã

( )( ) 11 22 max

2 12

22 max 22

2 12

max× = − − = − + =−

a a a a

a a

a a a

a tg

suy phơng nμy vu«ng gãc víi

Cần l−u ý rằng, từ (1.4.41) ta xác định đ−ợc ph−ơng

22 11

12

max,

2

a a

a tg

− =

α (1.4.51)

từ

K , , , ; 90

2

1

22 11

12

max, ⎟⎟+ =

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

−

= k k

a a

a arctg α

tøc lμ hai phơng vuông góc với Tuy nhiên, công thức (1.4.51) không cụ thể hai phơng phơng no l phơng có giá trị lớn nhất, phơng no l phơng có giá trị bé

Vì thμnh phần a′22 đ−ợc xác định qua bất biến thứ (1.4.47) nên từ (1.4.41) ta nhận đ−ợc công thức xác định thμnh phần a11′ ; a12′ hệ trục Ox1x2 quay

quanh trôc x3 lμ

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − −

+ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨

⎧ +

= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

′ ′

θ θ

2 sin

2 cos

2

0

22 11 12

12 22

11 22

11

12 11

a a a

a a

a a

a

a a

(1.4.52)

Trong søc bÒn vËt liệu, thnh phần ứng suất {x,xy,yx,y} v biến dạng

{εx,εxy,εyx,εy} đóng vai trị nh− hệ thống {a11,a12,a21,a22}

Ví dụ 1.4.1: Tìm tích ten xơ hai véc tơ br(1,2,3) vμ cr(4,5,6) sau thực phép cuộn ten xơ để lấy tổng

Gi¶i: TÝch ten x¬ cđa hai vÐc t¬ (tÝch diat ⊗) lμ ten xơ hạng hai với thnh

phần aij l tích thnh phần véc tơ tơng ứng aij =bicj nên

( )

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

18 15 12

12 10

6

ij

a

Để lấy tổng, ta thực việc đồng hai số

32 18 10

33 22

11 + + = + + =

=a a a

aii

Ví dụ 1.4.2: Xác định ten xơ hạng hai đối xứng aij hệ trục mặt phẳng

Ox1x2 xoay quanh trôc x3 mét gãc 60

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ij a

Giải: Theo (1.3.13), ta có ma trận cô sin chØ ph−¬ng lμ

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 2 3

C vμ

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 2 3 T C

Sư dơng (1.4.6) hay (1.4.8) ta cã ( ) T ij kl

jl ik

ij c c a C a C

a′ = = từ thu đ−ợc thμnh phần ten xơ hạng hai đối xứng aij hệ tọa độ

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − + − + = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ 3 3 3 4 17 4 3 4 4 19 0 2 3 0 2 3 ij a

Sö dơng (1.4.2), ta cã thĨ thÊy aij =ckicljakl′ =CT( )a′ij C

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − + − + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 2 3 3 3 3 4 17 4 3 4 4 19 0 2 3 ij a

Ví dụ 1.4.3: Xác định thμnh phần ten xơ aij hệ trục Ox1x2x3 ban đầu

quay quanh trôc x3 mét gãc 45

0 ng−ợc chiều kim đồng hồ, sau quay quanh trục x 1

mới góc 300 ng−ợc chiều kim đồng hồ

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 2 6 ij a

Gi¶i: Sau phÐp quay quanh trơc x3 mét gãc 45

0 ng−ợc chiều kim đồng hồ, ta có

Sau phÐp quay thø hai, ta cã ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′′ 1995 7133 7133 8005 1962 1962 2 0 2824 2824 6 2 0 ij a

NÕu tìm tích hai phép quay liên tiếp, ta đợc ma trận côsin phơng

⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 4 2 / 6 2 1 0 2 2 2 0 C

từ thu đ−ợc kết

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′′ 1995 7133 7133 8005 1962 1962 / 4 4 2 6 4 2 / 6 2 ij a

Ví dụ 1.4.4: Tìm giá trị vμ ph−ơng ten xơ hạng hai đối xứng

( ) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 2 3 ij a

Giải: Theo (1.4.15), ta xác định đ−ợc bất biến

( ) ( ) ( )

( )3.( )( ) ( ) ( )2 2 4.( )3 24 2 4 1 1 2 2 − = − − − − − − − + = − = − − − − − + + = = + + = I I I

Sư dơng c¸c c«ng thøc (1.4.31) – (1.4.32), ta cã

( ) ( ) ( )( )

( )

{6 4}

2 24 27 cos 3 = − − − − + − − = ϑ

suy ϑ =π Từ ta nhận đ−ợc giá trị

( ) ( )

( )

Với a1=6, ph−ơng trình xác định ph−ơng (1.4.11) vμ (1.4.12) có dạng 0 2 3 2 = + + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − ν ν ν ν ν ν suy ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = − − = − − − = + − − 2 2 3 2 3 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν

Từ ta tìm đ−ợc nghiệm ν1 =±1 2;ν2 =m12;ν3 =± 2, nh−ng ph−ơng (1 2,−12, 2)

νr v phơng r(1 2,1 2, 2) l ngợc chiều nên ta cần chọn nghiệm r(12,12, 2) l đợc

Tng t, phng trỡnh xỏc nh ph−ơng ứng với a2=2 có dạng

1 0 2 2 3 2 2 = + + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − ν ν ν ν ν ν suy ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + − = − − − = + − − 2 2 3 2 3 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν

có nghiệm ν1 =m12;ν2 =±1 2;ν3 =± 2 vμ chọn ph−ơng νr(−1 2,12, 2) Ph−ơng trình xác định ph−ơng ứng với a3=-2 có dạng

1 0 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 = + + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − ν ν ν ν ν ν suy ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + − = − + − = + − 2 3 3 2 3 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν

cã nghiÖm ν1 =± 2;ν2 =± 2;ν3 =0 vμ chän ph−¬ng ν( 2, 2,0)

r

Từ ta đ−ợc ma trận cơsin ph−ơng ph−ơng có dạng

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 2 2 2 2 2 2 v v v C r r r

Khi hệ tọa độ gồm trục chính, ten xơ aij có dạng

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ 0 0 ij a

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 T ij C a C vμ ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′ 2 3 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 C a CT ij

Ví dụ 1.4.5: Tìm giá trị vμ ph−ơng ten xơ hạng hai đối xứng

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 d d d d d d aij

trong d>0 lμ số

Giải: Theo (1.4.15), ta xác định đ−ợc bất biến

3 2 2

1 0 0;I 0.0 0.0 0.0 d d d 3d ;I 2d.d.d 0 2d

I = + + = = + + − − − =− = + − − − =

Sư dơng c¸c c«ng thøc (1.4.31) – (1.4.32), ta cã

( ) ( ) ( )( )

( )

{0 3 }

2 2 27 cos 2 3 − = − − − − + − = d d d ϑ

suy ϑ =π Từ ta nhận đ−ợc giá trị

( ) ( )

( d ) d a d d a d d a − = − − − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = cos 3 3 cos 3 2 3 cos 3 2 2 2 π π π π π

Nh− vậy, ph−ơng trình đặc tr−ng có nghiệm đơn a1=2d vμ nghiệm kép a2,3=-d

Với a1=2d, ph−ơng trình xác định ph−ơng (1.4.11) vμ (1.4.12) có dạng

cã nghiƯm ν1 =±1 3;ν2 =±1 3;ν3 =±1 vμ chän νr1(1 3,1 3,1 3) Với nghiệm kép a2,3=-d, phơng trình (1.4.11) vμ (1.4.12) cã d¹ng

1 0 d 2 = + + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ν ν ν ν ν ν d d d d d d d d suy ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + = + + = + + 0 2 3 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν d d d d d d d d d

Các ph−ơng trình nμy có vơ số nghiệm, ph−ơng nằm mặt phẳng trực giao với ph−ơng thứ (t−ơng ứng với a1=2d) lμ ph−ơng Ta tiến hnh chn

các phơng ny nh sau:

- Tr−ớc hết, chọn ph−ơng nμo vng góc với ph−ơng νr1, ví dụ chọn ph−ơng νr2(1 2,−1 2,0)

0 2 3 2 = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ν νr r

- Sau đó, ta chọn véc tơ ν3

r lμ tÝch vÐc t¬ cđa

1

νr vμ νr2 theo hÖ thøc (1.3.6)

3 2 6 2 3

det e e e

e e e r r r r r r r r

r = + −

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ì =

Ma trận côsin phơng phơng có dạng

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 6 2 3 3 v v v C r r r

Khi hệ tọa độ gồm trục chính, ten xơ aij có dạng

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′ d d d aij 0 0 0

Cã thĨ kiĨm tra l¹i kết cách sử dụng (1.4.6) hay (1.4.8) nh sau

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = d d d d d d d d d C a

C ij T

vμ ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′ 0 6 2 3 0 0 0 6 d d d d d d d d d C a C ij T

Ví dụ 1.4.6: Xác định giá trị vμ ph−ơng ten xơ hạng hai

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 3 ij a

Giải: Ten xơ aij có giá trị a=6 Sử dụng công thức (1.4.48), ta cã

10 3 2 2 ; 10 3 2 2 2 2

max ⎟ + = −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = a a

Do giá trị ten xơ aij lμ a1 =3+ 10;a2 =6;a3 =3− 10

Ph−¬ng tơng ứng với giá trị a2=6 l r(0 1), hai phơng

li xỏc nh theo công thức (1.4.49)

( ) ( ) ( ) ( 0)

min

max 54.2175

10 3 ; 7825 35 10

3 = −

− − − = = + − −

= tg tg tg

tgα α

suy

min

max =35.7825 ;α =−54.2175

α Từ ta nhận đ−ợc ph−ơng αmax lμ

(0.8112 0.5847 0)

νr vμ ph−¬ng chÝnh αmin lμ νr(0.5847 −0.8112 0) Ma trận côsin phơng có dạng

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 8112 5847 0 5847 8112 v v v C r r r

Trong hệ tọa độ trục chính, ten xơ aij có dạng

Ch−¬ng

trạng thái biến dạng

trỏnh nhm lẫn điểm môi tr−ờng liên tục vμ điểm không gian môi tr−ờng liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm “điểm” để vị trí khơng gian cố định, cịn khái niệm “phần tử”, “chất điểm” hay “hạt” để vật chất chứa thể tích vơ bé mơi tr−ờng liên tục

2.1 nghiên cứu chuyển động theo Lagrange vμ Euler

Tại thời điểm t bất kỳ, môi tr−ờng liên tục chiếm miền nμo không gian Nếu hệ tọa độ xác định, ta t−ơng ứng phần tử môi tr−ờng liên tục với điểm không gian chúng chiếm chỗ thời điểm t, thì ta nói thời điểm ta biết hình thái (hay cấu hình) mơi tr−ờng liên tục

2.1.1 Hệ tọa độ đồng hμnh vμ hệ tọa độ quy chiếu quán tính

Để cho thuận tiện, ta đặt hình thái ban đầu vμ hình thái xét vμo hai hệ trục tọa độ khác nhau:

- Tại hình thái ban đầu, ta chọn hệ tọa độ OX1X2X3 gắn chặt với môi tr−ờng gọi lμ

hệ tọa độ đồng hμnh Khi đó, phần tử mơi tr−ờng chiếm điểm M0 có bán kính véc

t¬ Xr lμ

i iE

X E X E X E X

Xr = 1r1 + r2 + 3r3 = r (2.1.1)

Các đại l−ợng (X1 , X2 , X3) gọi lμ tọa độ vật chất, chúng xác định tọa độ

chất điểm riêng môi tr−ờng Tất phần tử môi tr−ờng liên tục đứng yên hệ tọa độ đồng hμnh di động tọa độ Xi không thay đổi

nh−ng thân hệ tọa độ chuyển động, giãn co lại vμ bị uốn cong, Khái niệm hệ tọa độ đồng hμnh lμ mở rộng khái niệm hệ tọa độ riêng vật rắn học lý thuyết

- Tại hình thái sau, ta chọn hệ tọa độ ox1x2x3 gắn chặt với trái đất, toa tμu, gọi lμ

hệ tọa độ quy chiếu Khi đó, mơi tr−ờng chiếm miền nμo khơng gian, phần tử M0 lúc đầu chiếm vị trí M có bán kính véc tơ x

r lμ

i ie

x e x e x e x

xr= 1r1+ 2r2 + 3r3 = r (2.1.2)

Các đại l−ợng (x1 , x2 , x3) gọi lμ tọa độ không gian, chúng xác định vị trí tức thời

chuyển động vật hay môi tr−ờng không chịu tác động lực ngoμi) xảy ra với vận tốc không đổi, đ−ợc gọi lμ hệ quy chiếu quán tính Nếu hai hệ chuyển động thẳng với nhau, hệ lμ hệ quy chiếu qn tính, hệ lμ hệ quy chiếu quán tính Do hệ quy chiếu chuyển động thẳng hệ quy chiếu quán tính lμ hệ quy chiếu quán tính Tất định luật Newton học th−ờng đ−ợc phát biểu hệ quy chiếu qn tính vμ khơng phụ thuộc vμo việc chọn hệ quy chiếu quán tính

Khi nghiên cứu chuyển động môi tr−ờng liên tục, ta hiểu tồn hệ quy chiếu quán tính ng−ời quan sát vμ hệ tọa độ đồng hμnh gắn chặt vμo mơi tr−ờng liên tục

2.1.2 Chun vÞ

Chuyển vị lμ thay đổi vị trí phần tử vật chất không gian Véc tơ

i ie

u u M

M0 = r = r (2.1.3)

gọi l véc tơ chuyển vị phần tử M0 (hình 2.1.1) v

oO X x

ur= r− r − (2.1.4) D−ới đây, đơn giản, ta giả thiết hệ tọa độ vật chất vμ hệ tọa độ khơng gian có thể đặt trùng lên (cùng gốc, ph−ơng vμ chiều),

X x

ur = r− r (2.1.5.a) hay lμ

i i

i x X

u = − (2.1.5.b)

Nếu môi tr−ờng chuyển động, phần tử mơi tr−ờng chuyển động theo đ−ờng khác không gian đ−ợc gọi lμ quỹ đạo chuyển động Quy luật chuyển động phần tử vật chất (X1 , X2 , X3) có dạng

(X X X t) x x (X X X t) x x (X X X t)

x

x1 = 1 1, 2, 3, ; 2 = 2 1, 2, 3, ; 3 = 3 1, 2, 3, (2.1.6.a) hay lμ

( 1, 2, 3, ); =1,2,3 =x X X X t i

xi i (2.1.6.b)

Tọa độ x1 , x2 , x3 xác định vị trí thời điểm t phần tử t−ơng ứng với điểm X1 , X2

, X3 thời điểm ban đầu Bμi toán học mơi tr−ờng liên tục lμ xác định

c¸c hμm sè (2.1.6) X3

O X r

xr

o

x1 x3

x2

X1 X2

ur

t=0 t=t0

M0 M

2.1.3 BiÕn Lagrange

Hệ thức (2.1.6) xác định t−ơng ứng phần tử hình thái ban đầu vμ vị trí chúng hình thái Cách mơ tả chuyển động môi tr−ờng liên tục nh− gọi lμ cách mô tả chuyển động theo quan điểm Lagrange Các tọa độ vật chất X1 , X2 , X3 đặc tr−ng cho phần tử riêng môi tr−ờng vμ thời gian t đ−ợc

gäi lμ c¸c biÕn Lagrange:

- Nếu X1 , X2 , X3 cố định, t thay đổi, hệ thức (2.1.6) cho quy luật chuyển động

một phần tử vật chất xác định

- Nếu X1 , X2 , X3 thay đổi, t cố định, hệ thức (2.1.6) thể phân bố

phần tử mơi tr−ờng thời điểm

- Nếu X1 , X2 , X3 vμ t thay đổi, hệ thức (2.1.6) xác định quy luật chuyển động

m«i tr−êng

Tóm lại, mơ tả chuyển động theo Lagrange dựa lịch sử chuyển động phần tử riêng biệt thuộc môi tr−ờng liên tục

2.1.4 BiÕn Euler

Giả thiết hμm (2.1.6) liên tục vμ có đạo hμm riêng liên tục Tại thời điểm t cố định (t=const), hμm xi =xi(X1,X2,X3,t) lμ hμm đơn trị, định thức ma trận Jacobian

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ =

3 3

3 2 2

3 1

X x X

x X

x

X x X

x X x

X x X

x X

x

X x J

j i

(2.1.7)

phải khác không (det( )J ≠0) vμ tõ (2.1.6) ta cã thĨ gi¶i ngợc lại

( 1, 2, 3, ); =1,2,3 = X x x x t i

Xi i (2.1.8)

lμ hμm liên tục đơn trị

Bây ta không quan tâm đến lịch sử chuyển động phần tử riêng biệt mμ muốn xem xét:

- Cái xảy điểm không gian cho tr−ớc gắn liền với hệ tọa độ cố định (hệ quy chiếu) thời điểm khác ?

Cách mô tả chuyển động môi tr−ờng liên tục nh− gọi lμ cách mô tả chuyển động theo quan điểm Euler Các tọa độ không gian x1 , x2 , x3 xác định vị trí tức thời

cđa phÇn tư vËt chất thuộc môi trờng v thời gian t đợc gọi l biến Euler Sự khác hai quan điểm Lagrange v Euler thể chỗ:

- Theo quan điểm Lagrange, ta quan tâm đến quy luật thay đổi đại l−ợng đặc tr−ng phần tử cho tr−ớc môi tr−ờng vμ sử dụng biến lμ tọa độ vật chất X1 , X2 , X3 vμ t Trong thực tế mô tả nh− th−ờng chi tiết vμ phức tạp nh−ng ln ln đ−ợc thể thiết lập định luật vật lý - Theo quan điểm Euler, ta quan tâm đến quy luật thay đổi đại l−ợng nμy

một nơi cho tr−ớc không gian vμ sử dụng biến lμ tọa độ không gian x1 , x2 , x3 vμ t Nếu cố định x1 , x2 , x3 (2.1.8) phần tử vật chất X1 , X2 , X3 môi tr−ờng qua điểm không gian cho tr−ớc thời điểm t khác Quan điểm Euler thích hợp với việc nghiên cứu dòng chảy vμ th−ờng đ−ợc dùng thực tế

Ví dụ, chuyển động n−ớc dịng sơng nghiên cứu cách theo dõi chuyển động hạt n−ớc từ th−ợng nguồn đến cửa sông (quan điểm Lagrange), cách quan sát thay đổi dòng n−ớc chỗ định sông (quan điểm Euler) mμ không cần theo dõi chuyển động hạt n−ớc riêng lẻ suốt dọc sông

2.1.5 Vận tốc, gia tốc chuyển động

Chuyển động vμ chảy dùng để mô tả thay đổi tức thời liên tục hình thái mơi tr−ờng liên tục Có thể mơ tả chuyển động mơi tr−ờng liên tục theo biến Lagrange nh− (2.1.6) hay theo biến Euler nh− (2.1.8)

L−ợng thay đổi theo thời gian đại l−ợng đặc tr−ng nμo cho phần tử riêng biệt thuộc môi tr−ờng chuyển động gọi lμ đạo hμm vật chất (hay đạo hμm toμn phần) theo thời gian đại l−ợng Đạo hμm vật chất thể l−ợng thay đổi đại l−ợng xét đ−ợc xác định ng−ời quan sát chuyển động với phần tử môi tr−ờng

Vận tốc chuyển động tức thời lμ đạo hμm vật chất theo thời gian vị trí phần tử xi

i i

i x

dt dx

v = = & hay x dt

x d v r&

r

r = = (2.1.9)

Sử dụng (2.1.5), tr−ờng vận tốc (2.1.9) xác định qua tr−ờng chuyển vị

( )

dt du dt

X u d dt dx

v i i i i

i =

+ =

= hay

dt u d v

r

vì phần tử vật chất chuyển động tọa độ vật chất Xi không phụ thuộc

vμo thêi gian t Theo Lagrange, ui =ui(Xr,t) nªn

( ) ( )

t t X u dt

t X du

vi i i

∂ ∂ =

= , ,

r r

hay ( )

t t X u v

∂ ∂

= ,

r r

r (2.1.11)

Theo Euler, ui =ui( txr, ) tọa độ xi thay đổi theo thời gian t nên theo

quy tắc đạo hμm hμm hợp

( ) ( ) ( ) ( )

t x v x

t x u t

t x u dt

t x du

v k

k i i

i

i ,

, ,

, r r r

r

∂ ∂ + ∂ ∂ =

= (2.1.12)

hay lμ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )v x t u x t

t t x u dt

t x u d t x

v , , , r r, r r,

r r r

r r

r + ∇

∂ ∂ = =

víi toán tử nabla có dạng (1.2.1) Cần lu ý công thức vận tốc (2.1.12) cho dới dạng không hiển vế phải có giá trị ny Toán tư vi ph©n

( ) ( ) ( ) ( )

t x v x t

dt d

k k

, r L L

L

∂ ∂ + ∂ ∂

= (2.1.13)

đ−ợc gọi lμ toán tử đạo hμm vật chất

Bây giờ, ta mở rộng cho đại l−ợng đặc tr−ng cho tính chất mơi tr−ờng, chẳng hạn đại l−ợng aij lμ vơ h−ớng, véc tơ hay ten xơ Theo quan điểm Lagrange aij aij( )X,t

r

= nên đạo hμm vật chất theo thời gian lμ

( )

t t X a dt

daij ij

∂ ∂ = ,

r

(2.1.14)

Theo quan điểm Euler aij =aij( )xr,t nên đạo hμm vật chất theo thời gian lμ

( ) ( ) ( ) ( )

k k ij ij

k k

ij ij

ij

v x

t x a t

t x a dt dx x

t x a t

t x a dt da

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂

∂ + ∂ ∂

= , , , ,

r r

r r

(2.1.15)

trong đó:

- Số hạng thứ đặc tr−ng tốc độ thay đổi đại l−ợng aij điểm không gian cố định

- Số hạng thứ hai gọi lμ tốc độ kéo theo đại l−ợng aij chuyển động phần tử môi tr−ờng thay đổi

phụ thuộc vμo thời gian ∂vi ∂t =0 chuyển động môi tr−ờng đ−ợc gọi lμ dừng Trong chuyển động dừng, quỹ đạo vμ đ−ờng dòng trùng

Gia tốc chuyển động lμ đạo hμm vật chất theo thời gian vận tốc chuyển động Theo Lagrange, ta có

( ) ( )

t t X v dt

t X dv

wi i i

∂ ∂ =

= , ,

r r

hay ( ) ( )

t t X v dt

t X v d w

∂ ∂ =

= , ,

r r r

r

r (2.1.16)

Theo Euler, ta cã

( ) ( ) ( ) ( ) ( )v x t

x t x v t

t x v dt

t x dv t x

w k

k i i

i

i ,

, ,

,

, r

r r

r r

∂ ∂ + ∂ ∂ =

= (2.1.17)

hay lμ

( ) ( ) ( ) ( )v x t v x t t

t x v t x

w , , r r, r r,

r r r

r + ∇

∂ ∂ =

Ví dụ 2.1.1: Cho ph−ơng trình chuyển động mơi tr−ờng liên tục

( ) 2 3( ) 3

1

1 X e X e ;x X X e e ;x X

x = t + t − = + t − −t =

Tìm chuyển vị, vận tốc, gia tốc theo biÕn Lagrange vμ theo biÕn Euler

Gi¶i: Theo biÕn Lagrange: Tõ (2.1.5), chun vÞ ur(u1,u2,u3) lμ

( 1) 3( 1); 2 2 2 3( ); 3 3 3

1 1

1 = − = − + − = − = − = − =

−

X x u e e X X x u e

X e

X X x

u t t t t

Theo (2.1.11) ta xác định đ−ợc vận tốc v(v1,v2,v3) r

( ) ; ( );

3

2

1

1 ∂ =

∂ = +

= ∂ ∂ = +

= ∂ ∂

= −

t u v e e X t u v e X X t u

v t t t

vμ gia tốc wr(w1,w2,w3) xác định theo (2.1.16)

( ) ; ( ); 23

2 3

2 2

1

1 =

∂ ∂ = −

= ∂ ∂ = +

= ∂ ∂

= −

t u w

e e X t

u w

e X X t

u

w t t t

Theo biến Euler: Định thức cña ma trËn Jacobian (2.1.7) lμ

( )

1 0

1

1

det

det = ≠

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

= t −t t

t t

e e e

e e

J

nên ta tìm đợc hm ngợc

( ) 2 3( ) 3

1

1 xe x e ;X x x e e ;X x

Từ theo (2.1.5), chuyển vị ur(u1,u2,u3) lμ

(1 ) (31 ); 2 2 2 3( ); 3 3 3

1 1

1 = − = − + − = − = − = − =

− −

−

X x u e e x X x u e x e x X x

u t t t t

Vận tốc chuyển động lμ đạo hμm vật chất chuyển vị theo (2.1.12)

( ) ( ) ( ) ( )

0

1

3

3

1

3

1

1

=

− + + + +

=

− + + −

+ +

=

− −

− −

− −

v

v e e v v x e e v

v e v

v e e

x e x v

t t t

t

t t

t t

Giải hệ ba phơng trình ny, ta đợc vận tốc vr(v1,v2,v3)

( );

; 2 3 3

3

1 = + = + =

−

v e e x v x x

v t t

Gia tốc chuyển động wr(w1,w2,w3) xác định theo (2.1.17)

( ) 0 ( ) ( ); ;

1 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 3 3

1 = + + = + = − + + + − = − =

− −

−

w e e x v e e v v e

e x w x x v v v

w t t t t t t

2.2 Ten xơ biến dạng hệ tọa độ Descartes vng góc

Biến dạng lμ thay đổi hình dạng mơi tr−ờng từ hình thái ban đầu nμo (ch−a biến dạng) đến hình thái (biến dạng) Khi nghiên cứu biến dạng môi tr−ờng ta khơng cần l−u ý đến hình thái trung gian, nh−ng nghiên cứu sự chảy (trạng thái chuyển động liên tục môi tr−ờng), ta phải ý đến trình thay đổi hình thái

2.2.1 Độ đo biến dạng Biến dạng dμi t−ơng đối

Ký hiệu P0 l phần tử lân cận phần tử M0 , biến dạng phần tử M0 v P0 chiếm

các vị trí M v P (hình 2.2.1) Bình phơng khoảng cách vô bÐ M0P0 b»ng

j i j i

dX dX X

X X

X X d X d ds

∂ ∂ ∂

∂ = =

r r r r

2

0 (2.2.1)

v hình thái biến dạng, bình phơng khoảng cách MP

j i j i

dx dx x

x x

x x d x d ds

∂ ∂ ∂

∂ =

= r r r r

2 (2.2.2)

HiÖu sè

0

ds

ds − xác định độ đo biến dạng lân cận phần tử M0 thuộc mơi tr−ờng liên tục từ hình thái ban đầu đến hình thái biến dạng tiếp sau

Xr

x dr

O X1 , x1

X3 , x3 X2 , x2

M

u d ur + r

M0 P0

P

H×nh 2.2.1

ur xr X

d Xr + r

Xr

X dr

u dr

l k l k j i j i dX dX X X X X dx dx x x x x X d X d x d x d ds ds ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − r r r r r r r

r. . . .

2 (2.2.3) V× r»ng i i k k k k i i dx x X dX X X X d dX X x dx x x x d ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = r r r r r r ;

nªn ta cã thĨ viÕt (2.2.3) d−íi d¹ng

l k l k l k dX dX X X X X X x X x ds ds ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = − r r r r 2 (2.2.4) vμ j i j i j i dx dx x X x X x x x x ds

ds ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = − r r r r 2 (2.2.5) Đại lợng 0

0 = −

− = ds ds ds ds ds ν

ε (2.2.6)

đ−ợc gọi lμ biến dạng dμi t−ơng đối đoạn vật chất theo ph−ơng νr Khi

( )

0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + ds ds ν ε hay lμ 2 2 ds ds ds − = + ν ν ε

ε (2.2.7)

Bây giờ, ta xác định biểu thức 2

ds

ds − theo biến Lagrange vμ Euler hệ trục tọa độ OX1X2X3 vμ ox1x2x3 lμ hệ trục Descartes vng góc đặt trùng đ−ợc

lên (cùng gốc, ph−ơng vμ chiều) Khi ur=xr−Xr vμ từ (2.1.5), ta có

i i i k k k x u x x x X X X X u X x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂

∂r r r r r r

; (2.2.8)

2.2.2 Ten xơ biến dạng hữu hạn Green

Thay (2.2.8) vμo (2.2.4) ta cã

C¸c hƯ thøc (2.2.4) vμ (2.2.9) cho ta l k kl l k l i k i k l l k l k kl l i k

i dX dX G dX dX

X u X u X u X u dX dX X x X x ds

ds2 02 ⎟⎟ =2

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ ∂ ∂ =

− δ (2.2.10)

víi k i k i X u X x ∂ ∂ ∂ ∂

; lμ građiên vật chất biến dạng, chuyển vị v Gkl lμ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ ∂ ∂ = = l i k i k l l k kl l i k i lk kl X u X u X u X u X x X x G G δ (2.2.11)

Do dXk , dXj lμ thμnh phÇn cđa hai vÐc t¬ tïy ý vμ

2

ds

ds − lμ bất biến quay trục tọa độ nên dựa vμo dấu hiệu ng−ợc ten xơ (1.4.10), từ (2.2.10) ta suy hệ thống Gkl lμ ten xơ hạng hai đối xứng đ−ợc gọi lμ ten xơ biến dạng hữu hạn Green (theo

biÕn Lagrange) Khai triÓn (2.2.11) theo chØ sè

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 3 3 2 1 1 31 3 3 2 2 3 23 3 2 2 1 1 2 12 3 2 3 33 2 2 2 2 22 2 1 1 11 2 2 2 2 X u X u X u X u X u X u X u X u G X u X u X u X u X u X u X u X u G X u X u X u X u X u X u X u X u G X u X u X u X u G X u X u X u X u G X u X u X u X u G (2.2.12)

Để thấy rõ ý nghĩa vật lý thμnh phần ten xơ biến dạng hữu hạn Green, ta xét tr−ờng hợp riêng ph−ơng đoạn thẳng phân tố ds nằm theo trục tọa độ X1 Khi ds=dX1;dX2 =dX3 =0 vμ theo (2.2.7), biến dạng dμi t−ơng đối 11 theo

phơng trục X1 có dạng

11 2 2 11 11 2 G ds ds ds = − = +ε ε

Phơng trình bậc hai ny có nghiệm dơng

1 11

11 = + G −

T−ơng tự, ta có biến dạng dμi t−ơng đối theo ph−ơng trục tọa độ X2 , X3

1

1 ;

1

1 22 33 33

22 = + G − ε = + G −

ε (2.2.13.b)

Tiếp đến, ta xét thay đổi góc hai phần tử dX1 , dX2 thời điểm ban đầu

nằm trục tọa độ OX1 vμ OX2 Góc ϕ12 hai phần tử dx1 , dx2 hình thái biến dạng lμ tích vơ h−ớng

( 11) (1 22) 12

12 2

1.dx dxdx cosϕ ε dX ε dX cosϕ

x

dr r = = + +

Sư dơng c«ng thøc (2.2.4), (2.2.11) vμ (2.2.13), ta cã

22 11

12

1 12

2

2

cos

G G

G dx

dx x d x d

+ +

= = r r

Đặt

⎞ ⎜

⎝ ⎛ − =

= 12 12

12

2 2

1γ π ϕ

ε

lμ mét nưa biÕn d¹ng góc mặt phẳng OX1X2 , suy

( 11)( 22)

12 12

2

2 arcsin

2

G G

G + +

=

ε (2.2.14.a)

Tơng tự, ta có biến dạng góc 23 , 31 trong mặt phẳng OX2X3 , OX3X1

( )( ) ( 33)( 11)

31 31

33 22

23 23

2

2 arcsin

2 ;

2

2 arcsin

2

G G

G G

G G

+ +

= +

+

= ε

ε (2.2.14.b)

Vậy thμnh phần đ−ờng chéo ten xơ biến dạng hữu hạn Green xác định biến dạng dμi theo ph−ơng trục tọa độ vμ thμnh phần cịn lại xác định biến dạng góc mặt phẳng tọa độ Sáu thμnh phần biến dạng nμy mô tả đầy đủ trạng thái biến dạng điểm

Thay (2.2.10) vμo (2.2.6), ta xác định đ−ợc độ dãn dμi t−ơng đối εν phần tử vật

chất theo phơng r(1,2,3) không gian

1

1

1

1 2

0

0 2

0

0 = − + − = + − = + −

−

= ij i j

j i ij

G ds

dX dX G ds

ds ds ds

ds

ds νν

εν (2.2.15)

v× r»ng

0

ds dXi

i =

ν Tr−ờng hợp riêng, phần tử vật chất theo ph−ơng trục tọa độ, hệ thức (2.2.15) dẫn hệ thức (2.2.13)

Thay (2.2.8) vμo (2.2.5) thu đuợc j i j i i j j i dx dx x u x u x x x u x x x u ds

ds ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =

− 02 r r r r r r

2

(2.2.16)

Các hệ thức (2.2.5) vμ (2.2.16) dẫn đến

j i ij j i j k i k i j j i j i j k i k

ij dxdx A dxdx

x u x u x u x u dx dx x X x X ds

ds2 02 ⎟⎟ =2

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − =

− δ (2.2.17)

víi i k i k x u x X ∂

; gọi l građiên không gian biến dạng, chuyển vị v Aij l

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − = = j k i k i j j i j k i k ij ji ij x u x u x u x u x X x X A A δ (2.2.18)

Do dxk , dxj lμ thμnh phÇn cđa hai vÐc t¬ tïy ý vμ

2

ds

ds − lμ bất biến quay trục tọa độ nên dựa vμo dấu hiệu ng−ợc ten xơ (1.4.10), từ (2.2.17) ta suy hệ thống Aij lμ ten xơ hạng hai đối xứng đ−ợc gọi lμ ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi

(theo biÕn Euler) Khai triÓn (2.2.18) theo chØ sè

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = 3 3 2 1 1 3 31 3 3 2 2 3 23 3 2 2 1 1 2 12 3 2 3 33 2 2 2 2 22 2 1 1 11 2 2 2 2 x u x u x u x u x u x u x u x u A x u x u x u x u x u x u x u x u A x u x u x u x u x u x u x u x u A x u x u x u x u A x u x u x u x u A x u x u x u x u A (2.2.19)

Các thμnh phần ten xơ biến dạng Green hay ten xơ biến dạng Almansi bao gồm hai thμnh phần: thμnh phần lμ tuyến tính vμ thμnh phần chứa số hạng phi tuyến đạo hμm bậc chuyển vị Nói cách khác, ten xơ biến dạng hữu hạn phân thμnh tổng hai ten xơ: ten xơ biến dạng tuyến tính vμ ten xơ biến dạng phi tuyến thc s

2.2.4 Ten xơ biến dạng bé Cauchy

Khi građiên chuyển vị lμ bé ten xơ biến dạng hữu hạn Green (2.2.11) vμ Almansi (2.2.18) đ−a ten xơ biến dạng bé, bỏ qua số hạng tích građiên

i k i k k i k i

x u x X X

u X

x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂

; ;

; nªn

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

k l l k kl

X u X u

2

ε

vμ

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

i j j i ij

x u x u

ε

Nếu chuyển vị vμ građiên chuyển vị lμ bé, gọi chung lμ biến dạng bé, khác biệt tọa độ vật chất vμ tọa độ không gian phần tử môi tr−ờng khơng đáng kể Do đó, ta xem hai ten xơ biến dạng bé trùng

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = =

k l l k k

l l k kl

kl

x u x u X

u X u

2

1

ε

(2.2.20)

Hệ thức (2.2.20) đợc gọi l hệ thức Cauchy biến dạng tuyến tính Cũng građiên chuyển vị l bé v ui = xi Xi nªn

1 << − ∂

∂ = ∂ ∂ − ∂

∂ = ∂

∂

ij j i j i j i j i

X x X

X X

x X

u δ

suy ij

j i

X

x δ

≈ ∂

∂

Từ ta thu đ−ợc

( ) ( ) ( ) ( )

i ij j i

j j

i X x x

x x

X ∂

∂ = ∂

∂ = ∂

∂ ∂ ∂ = ∂

∂L L L δ L

(2.2.21)

Nghĩa lμ, tr−ờng hợp biến dạng bé, đạo hμm theo biến Lagrange vμ Euler lμ nh− vμ không cần phân biệt mô tả Lagrange Euler

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = 1 31 3 23 2 12 3 33 2 22 1 11 ; ; ; ; ; x u x u x u x u x u x u x u x u x

u ε ε ε ε ε

ε (2.2.22)

ý nghÜa vËt lý cđa c¸c hƯ thøc (2.2.22) kh¸ rõ rng nh hình 2.2.2:

- Ba h thức đại l−ợng ε11 , ε22 , ε33 thể độ dãn

đoạn vật chất tr−ớc biến dạng h−ớng theo trục tọa độ Thật

( 1) 1 ( 1)

1

1B dx u u x dx u u x dx

A = + + ∂ ∂ − = +∂ ∂

nên độ dãn dμi đoạn vật chất AB lμ

( ) 1 1 1 1 11 x u dx dx dx x u AB AB B A AB AB B A ∂ ∂ = − ∂ ∂ + = − ≈ − =

ε (2.2.22.a)

- Ba hệ thức sau đại l−ợng ε12 , ε23 , ε31 thể thay đổi góc

hai đoạn vật chất tr−ớc biến dạng h−ớng theo trục tọa độ Các đại l−ợng nμy đ−ợc gọi lμ biến dạng tr−ợt

( )

( ) ( ( ) )

1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 12 12 12 1 2 x u x u dx x u u dx x u u dx x u u dx x u u D A D D B A B B tg tg ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + − ∂ ∂ + + ∂ ∂ + − ∂ ∂ + = + = + ≈ + = − = =γ π ϕ α β α β ε (2.2.22.b) H×nh 2.2.2 1 1 dx x u u ∂ ∂ + 2 2 dx x u u ∂ ∂ + u1 u2 2 1 dx x u u ∂ ∂ + x1 x2 dx1

A B

D C

Với biến dạng bé, từ hệ thức (2.2.15) ta xác định đ−ợc độ dãn dμi t−ơng đối εν

phÇn tư vËt chÊt theo phơng (1,2,3)

r không gian lμ

j i ij

ds ds

ds ε νν

εν = − =

0

0 (2.2.23)

Khi ph−ơng νr trùng với ph−ơng trục tọa độ, từ (2.2.23) ta nhận lại đ−ợc kết (2.2.22.a) D−ới dạng ma trận, hệ thức (2.2.23) có dạng

( )

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

=

3

33 32 31

23 22 21

13 12 11

v v v v

v v

j i ij

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε ν

ν ε εν

Ký hiÖu ν(ν1,ν2,ν3)

r vμ ds

0 lμ véc tơ ph−ơng vμ độ dμi đoạn M0P0 , ta có

0

ds dXj

j =

ν (hình 2.2.1) Khi đó, véc tơ chuyển vị t−ơng đối đơn vị độ dμi theo Lagrange ph−ơng νr lμ

j j i j j i i

X u ds

dX X

u ds

du ν

∂ ∂ = ∂

∂ =

0

(2.2.24)

T−ơng tự, ta có véc tơ chuyển vị t−ơng đối đơn vị độ dμi theo Euler

Với biến dạng bé, từ (2.2.21), ta suy véc tơ chuyển vị t−ơng đối đơn vị độ dμi theo Lagrange vμ theo Euler lμ trùng Khi đó, hình thái biến dạng, véc tơ đơn vị ban đầu νr trở thμnh

j j i i j j i i i i

x u ds

dx x u ds

du ν ν ν

ν

∂ ∂ + = ∂

∂ + =

+ (2.2.25)

Ta xét thay đổi góc hai véc tơ ph−ơng νr vμ ηr Tại hình thái ch−a biến dạng, véc tơ ph−ơng νr vμ ηr tạo với góc ϕνη0 ≠0 Tại hình thái biến dạng, góc hai véc tơ ph−ơng nμy lμ ϕνη (hình 2.2.2), thay đổi góc hai véc tơ nμy lμ γνη =ϕνη0 −ϕνη

Do biến dạng bé (∂ui ∂xj <<1) nên từ (2.2.25), ta suy hình thái biến dạng, véc tơ đơn vị ban đầu νr vμ ηr có độ dμi đơn vị Từ ta có

i j ij i

j i

j j i j

j i i j j i i

x u x u x

u x

u ν η η ϕ ν η ϕ ε ν η

ν

ϕνη cos νη cos νη

cos ⎟⎟ = +

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + ≈

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + = V× r»ng

0

0

sin

sin

sin cos

nªn ta ®−ỵc i j ij i j i j j i x u x

u ε ν η

ϕ η ν ϕ γ νη νη

νη 0

sin sin = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂

= (2.2.26)

Khi ph−ơng νr vμ ηr trùng với ph−ơng trục tọa độ, từ (2.2.26) ta nhận lại đ−ợc kết (2.2.22.b) D−ới dạng ma trận, hệ thức (2.2.26) có dạng

( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 33 32 31 23 22 21 13 12 11 sin sin ν ν ν ε ε ε ε ε ε ε ε ε η η η ϕ η η η ε ε ε ε ε ε ε ε ε ϕ γ νη νη

νη v v v

2.2.5 Ten x¬ quay

Nhờ ten xơ biến dạng bé, ta biểu diễn chuyển vị t−ơng đối phần tử P0 l

lân cận phần tử M0

( ) ( )P u M dujej

u u

dr= r 0 −r 0 = r

với erjlμ véc tơ đơn vị trục tọa độ Do

( ij ij) i j j i j i i j j i i j j i i j e dX e dX X u X u X u X u e dX X u u

dr r r = ε +ω r

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = 2 (2.2.27) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = j i i j ij X u X u

ω (2.2.28)

gọi lμ ten xơ quay tuyến tính phản đối xứng theo Lagrange Để thấy rõ ý nghĩa vật lý thμnh phần ten xơ quay (2.2.28), ta xét quay đ−ờng phân giác góc DAB hình 2.2.2 Tại hình thái ch−a biến dạng, đ−ờng phân giác tạo thμnh góc

π/4 với trục x1 Tại hình thái biến dạng, đờng phân giác góc D1A1B1 tạo với

trục x1 mét gãc

(α β) π (α β) π α ϕ α+ = + ⎢⎣⎡ − + ⎥⎦⎤= + − 2 12

Nh− vËy, ph©n tè ABCD quay mét gãc

( ) ( ) 12

2 1 2

4 α β ω

π β α π = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − = − − + x u x u

Ten xơ phản đối xứng hạng hai ωij xem lμ véc tơ kép rr với thμnh phần

12

31

23

1 =−ω ;r =−ω ;r =−ω

j k ijk jk

ijk i

X u e e

r

∂ ∂ −

= −

=

2

1 ω

(2.2.29)

Nếu ten xơ biến dạng εij đồng khơng, lân cận M0 chuyển vị t−ơng đối lμ quay vô bé nh− cố thể

j k ijk j ij j ji

i dX dX e r dX

du =ω =−ω =

hay lμ

X d r u

dr= rì r

Véc tơ kép rr đợc gọi l véc tơ quay tuyến tính theo Lagrange T−¬ng tù nh− vËy víi ten x¬ quay vμ vÐc t¬ quay tuyÕn tÝnh theo Euler

Do chuyển vị phần tử P0 lân cận phần tử M0

j i ijdX e

X d r u u d

ur+ r =r+r× r +ε r (2.2.30)

gåm ba thμnh phÇn:

- BiÕn dạng tuý l ijdXierj - Sự quay P0 quanh M0 lμ r dX

r r ì - Chuyển động tịnh tiến từ M0 đến M lμ ur

Hai thμnh phần sau biểu thị chuyển động lân cận phần tử M0 nh− cố thể

Véc tơ chuyển vị εijdXierj liên quan đến biến dạng tuý Nh− vậy, ứng suất xuất mơi tr−ờng liên tục lμ phần biến dạng t nμy, khơng liên quan đến chuyển động lân cận phần tử nh− cố thể

Ví dụ 2.2.1: Xác định ten xơ biến dạng hữu hạn Green vμ Almansi chuyển động cho vớ d 2.1.1

Giải: Các chuyển vị theo biÕn Lagrange lμ

( 1) 3( 1); 2 2 2 3( ); 3 3 3

1 1

1 = − = − + − = − = − = − =

−

X x u e e X X x u e

X e

X X x

u t t t t

Ten xơ biến dạng hữu hạn Green xác định theo công thức (2.2.12)

( ) ( ) (( )) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+ − − −

−

− − −

=

− −

−

t t

t t

t t

t

t t

t t t

ij

e e

e e

e e

e

e e

e e e

G

2

2

1

2

2

2 2

2

1 2

0

0

Các chuyển vị theo biến Euler lμ

(1 ) (31 ); 2 2 2 3( ); 3 3 3

1 1

1 = − = − + − = − = − = − =

− −

−

X x u e e x X x u e x e x X x

Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi xác định theo công thức (2.2.19) ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) ( )⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − − − = − − − − − − − − − t t t t t t t t t t t t ij e e e e e e e e e e e e A 2 2 2 2 2 2 0

Nếu bỏ qua thnh phần phi tuyến, ten xơ Green v Almansi có dạng

( ) (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = − − − − − − − 0 1 ; 0 1 2 2 2 2 t t t t t t t ij t t t t t t t ij e e e e e e e A e e e e e e e G

VÝ dô 2.2.2: Trạng thái biến dạng điểm hệ trôc Ox1x2x3 lμ

( )

10 2 6 − × ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ij ε

Xác định biến dạng dμi theo ph−ơng nghiêng với ba trục tọa độ Ox1′x2′x3′ lμ kết quả hai phép quay liên tiếp: quay quanh trục x3 góc 45

0 ng−ỵc chiỊu kim

đồng hồ, sau quay quanh trục x1 góc 30

0 ng−ợc chiều kim đồng hồ (xem

vÝ dô 1.4.3)

Giải: Sau hai phép quay, ta đ−ợc ten xơ biến dạng hệ trục tọa độ Ox1′x2′x3′ lμ

( )

10 1995 7133 7133 8005 1962 1962 − × ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ′′ ij ε

Với ten xơ biến dạng bé, biến dạng dμi t−ơng đối εν phần tử vật chất theo

ph−ơng nghiêng ba trục tọa độ Ox1′x2′x3′ xác định theo (2.2.23)

4 10 273 3 10 1995 7133 7133 8005 1962 1962 3

1 − = × −

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ν ε

Ví dụ 2.2.3: Xác định thay đổi góc véc tơ νr(1 3,1 3,1 3) vμ véc tơ

(1 2,−1 2,0)

ηr biÕn d¹ng điểm môi trờng có ten xơ biến dạng l

( )

Giải: Tại hình thái ch−a biến dạng, véc tơ νr vng góc với véc tơ ηr νiηi =0 Tại hình thái biến dạng, véc tơ nμy khơng cịn vng góc với nữa, thay đổi góc véc tơ xác định theo hệ thức (2.2.26)

( ) 10

0

2 10

0

2

3 3 sin

2 − =− × −

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ×

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

− ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

π γνη

Ví dụ 2.2.4: Xác định ten xơ quay tuyến tính ωij tr−ờng chuyển vị dầm

công xôn chịu tải trọng tập trung P đầu tự (hình 2.2.3) có dạng

( ) [3 ( )];

) , ( ;

6 ) ,

(

2 2

1 2 2 1 2

1

1 = − − =− Lx −x + x L−x u =

EI P x

x u x x Lx EI Px x

x

u

với E l môđun đn håi, ν lμ hƯ sè Poisson

Gi¶i: Theo (2.2.28) ta cã

( )

0 ;

0

3 6

1

23 13

2 2 1

1 12

= =

− − −

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ =

ω ω

ν

ω Lx x x

EI P x

u x u

tại trục trung hòa x2=0

( 2)

1

12

6EI Lx x

P −

− =

ω

Kết nμy trùng với kết xác định góc nghiêng trục trung hịa x2=0 từ sức bền vật liệu

2.3 nghiªn cøu trạng thái biến dạng môi trờng liên tục

2.3.1 Bất biến ten xơ biến dạng Phơng BiÕn d¹ng chÝnh

Các ten xơ biến dạng Gij , Aij , εij lμ ten xơ hạng hai đối xứng, nên ta áp dụng ph−ơng pháp xác định ph−ơng nh− trình bμy mục 1.4.6 Điều có nghĩa lμ điểm vật thể biến dạng tồn ba ph−ơng, gọi lμ các ph−ơng (hay trục chính), ban đầu trực giao với sau biến dạng cũn trc giao vi

Các phơng ten xơ biến dạng aij (l ten xơ biến dạng Gij , Aij

, ij ) đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình

( )

1

2 2

1 + + =

=

= −

ν ν ν ν ν

ν δ j j

j ij ij a

a

(2.3.1) H×nh 2.2.3

x1 x2

P

Các giá trị ten xơ biến dạng aij gọi lμ biến dạng hay độ dãn

chính Các biến dạng đ−ợc xác định từ ph−ơng trình

( ) det det

33 32

31

23 22

21

13 12

11

= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− =

−

a a a

a

a a a a

a a

a a a

aij δij (2.3.2)

Khai triển ra, ta đợc

0

3 2

3− + − =

I a I a I

a (2.3.3)

trong

( ) 12 33 31 22 23 11 31 23 12 33 22 11

2 31 23 12 11 33 33 22 22 11

33 22 11

2

det a a a a a a a a a a a a a

I

a a a a a a a a a I

a a a a I

ij ii

− −

− +

= =

− − − +

+ =

+ + = =

(2.3.4)

lμ bất biến ten xơ biến dạng quay trục tọa độ

Ký hiệu a1 , a2 , a3 lμ biến dạng với quy −ớc a1 ≥ a2 ≥ a3 (về giá trị đại số)

Biến dạng lμ biến dạng dμi theo ph−ơng pháp tuyến mặt Trong hệ tọa độ gồm trục chính, ten xơ biến dạng aij có dạng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

3

0

0

0

a a a

aij (2.3.5)

v bất biến (2.3.4) có dạng

3

1 3 2

3 1

a a a I

a a a a a a I

a a a I

=

+ + =

+ + =

(2.3.6)

Trong tr−ờng hợp biến dạng bé, lân cận phần tử M, ta lấy ph−ơng biến dạng lμm trục tọa độ Xét thể tích tr−ớc vμ sau biến dạng hình hộp phân tố có cạnh h−ớng theo trục tọa độ Tr−ớc biến dạng, thể tích hình hộp phân tố lμ dV0 =dx1dx2dx3 Sau biến dạng, tác dụng lực, phân tố hình hộp giữ ngun hình dáng vμ tích dV lμ

(1 11) (dx11 22) (dx2 33)dx3 (1 11 22 33)dx1dx2dx3

dV = +ε +ε +ε ≈ +ε +ε +ε

Do

( )ij

I dV

dV

dV ε ε ε ε

θ 11 22 33

0

0 = + + =

−

nghĩa lμ bất biến thứ I1 ten xơ biến dạng bé εij thể thay đổi t−ơng đối thể tích điểm xét mơi tr−ờng

Đại lợng

( )

3

1

1

θ ε

εtb = I ij = (2.3.8)

đ−ợc gọi lμ độ dãn trung bình ten xơ biến dạng

Nếu điểm mơi tr−ờng liên tục có ba biến dạng khơng, trạng thái biến dạng điểm đ−ợc gọi lμ trạng thái biến dạng phẳng Nếu ba biến dạng khác khơng, trạng thái biến dạng điểm đ−ợc gọi lμ trạng thái biến dạng khối (hay thể tích)

Đối với ten xơ biến dạng bé εij , độ dãn dμi t−ơng đối εν theo h−ớng khác

trong không gian xác định theo hệ thức (2.2.23) với điều kiện véc tơ ph−ơng thoả mãn điều kiện νiνi =1, t−ơng tự hệ thức (1.4.20) – (1.4.22) Do đó, ta kết luận rằng, ten xơ biến dạng bé εij , độ dãn dμi t−ơng đối εν đạt giá trị cc

trị theo phơng

2.3.2 Ten xơ lệch v ten xơ cầu biến dạng biến dạng bé

Ten xơ biến dạng bÐ εij cã thĨ viÕt d−íi d¹ng tỉng hai ten x¬ D

ij S ij

ij ε ε

ε = + (2.3.9)

víi

ij tb ij D ij ij tb S

ij ε δ ε ε ε δ

ε = ; = − (2.3.10)

D−íi d¹ng ma trËn, hƯ thøc (2.3.10) cã d¹ng

( ) ( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− = ⎟

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

tb ij tb ij tb ij D ij tb tb tb S

ij

ε ε ε

ε

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε ε

ε ε ε ε

32 31

23 21

13 12

;

0

0

0

Ten x¬ S ij

ε gọi lμ ten xơ cầu biến dạng có thμnh phần εijS =0(i≠ j) nên theo (2.2.22), ten xơ nμy khơng lμm thay đổi góc hai phần tử vật chất h−ớng theo trục tọa độ Do bất biến thứ I1( )εijS =θ ≠0 nên ten xơ S

ij

ε liên quan đến thay đổi thể tích lân cận phần tử M xét môi tr−ờng Ten xơ nμy có biến dạng εS =εS =εS =εtb

3

1 , tức lμ ph−ơng lμ ph−ơng vμ biến dạng

Ten x¬ D ij

ε gọi lμ ten xơ lệch biến dạng Do bất biến thứ I1( )εijD =0 nên ten xơ lệch biến dạng khơng lμm thay đổi thể tích mμ lμm thay đổi hình dạng phân tố vật chất lân cận điểm xét Các bất biến thứ hai vμ thứ ba lμ

( ) [( ) ( ) ( ) ( )]

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) [ ( )]

( ) ( ) ( tb)( tb)( tb) ( )ij [ ( )ij ] ( ) ( )ij ij D

ij D

ij

ij ij

D ij

I I I

I I

I I

I

ε ε ε

ε ε

ε ε ε ε ε ε

ε

ε ε

ε ε ε

ε ε

ε

ε ε ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

2 3

3

1

2

2 3 2

2 31 23 12

11 33 33 22 22 11

3 27

2 det

3

1

6

1

− +

= − −

− = =

− =

− + − + − −

=

+ + +

− + −

+ −

− =

(2.3.11)

Từ (2.3.11) ta suy I2( )εijD ≤0 Bất biến thứ hai khơng biến dạng ten xơ biến dạng bé εij Trong lý thuyết đμn hồi vμ đặc biệt lμ lý thuyết dẻo sau nμy, bất biến ( )D

ij

I2 ε đóng vai trị quan trọng biểu thị tổng hợp thay đổi hình dáng phần tử mụi trng

Biểu thức giải tích biến d¹ng chÝnh D D D

3

1 ;ε ;ε

ε xác định theo công thức (1.4.28) Mặt khác, sử dụng hệ thức (1.4.23) vμ (1.4.24), ta suy biến dạng D

i

ten xơ lệch biến dạng D ij

ε xác định qua biến dạng εi ten xơ biến dạng εij hệ thức i tb

D

i ε ε

ε = v ngợc lại Đồng thời, phơng ten xơ lệch biến dạng D

ij

trùng với phơng ten xơ biến dạng εij

2.3.3 C−ờng độ biến dạng bin dng

Biến dạng có giá trị 1 , 2 , 3 biến dạng trợt chÝnh lμ

3 1 2

3 ε ε ;γ ε ε ;γ ε ε

γ = − = − = − (2.3.12)

Đại lợng

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)

31 23 12 11 33 33 22 22 11

2 2

1

3 2

3

2 γ +γ +γ = − ε = ε −ε + ε −ε + ε −ε + ε +ε +ε =

Γ D

ij

I (2.3.13)

đ−ợc gọi lμ c−ờng độ biến dạng tr−ợt (biến dạng cắt) Tr−ờng hợp biến dạng tr−ợt túy ε11 =ε22 =ε33 =ε23 =ε31 =0;γ12 =2ε12 =γ Γ= γ C−ờng độ biến dạng

tr−ợt liên quan đến góc tr−ợt mặt tr−ợt tổng hợp có h−ớng bát diện với pháp tuyến r(1 3,1 3,1 3)

Đại lợng

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) 31 23 12 11 33 33 22 22 11

2

3

2

3 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε = Γ = − D = − + − + − + + +

ij

chỉ khác Γ hệ số 3 đ−ợc gọi lμ c−ờng độ biến dạng Đại l−ợng εu biểu thị c−ờng độ ten xơ lệch bin dng

2.3.4 Ten xơ hớng biến dạng

T−ơng tự nh− ten xơ cầu, ta biểu diễn ten xơ lệch biến dạng thμnh ten xơ đặc tr−ng phân bố biến dạng vμ hệ số nhân xác định c−ờng độ biến dạng Từ (2.3.14), ten xơ lệch biến dạng D

ij

ε cã d¹ng

ij u D

ij ε ε

ε

2

= (2.3.15)

với εij lμ ten xơ h−ớng biến dạng đặc tr−ng cho phân bố biến dạng lμm thay

đổi hình dáng phần tử mơi tr−ờng bao gồm thμnh phần

( ) ( ) ( )

u u

u u

tb u

tb u

tb

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε ε

3 ;

3 ;

3 ;

3 ;

3 ;

3

2 31

31 23 23

12 12 33

33 22

22 11

11 = = =

− =

− =

−

= (2.3.16)

Ten xơ h−ớng biến dạng εij có bốn thμnh phần độc lập I1( )εij =0 vμ từ (2.3.14)

suy đồng thức

( ) ( ) ( ) 6( 312)

2 23 12 11 33 33 22 22

11−ε + ε −ε + ε −ε + ε +ε +ε ≡

ε

Trạng thái biến dạng lân cận điểm xác định sáu thμnh phần ten xơ biến dạng εij Đồng thời ta biểu thị trạng thái biến dạng qua sáu đại l−ợng độc lập

khác lμ: biến dạng dãn trung bình εtb , c−ờng độ biến dạng εu , vμ bốn thμnh phần

độc lập ten xơ h−ớng biến dạng εij nh− sau

ij u ij tb

ij ε δ ε ε

ε

2 +

= (2.3.17)

Ví dụ 2.3.1: Xác định biến dạng vμ biến dạng dμi theo ph−ơng

( 2, 2,0)

νr hệ tọa độ ten xơ biến dạng bé

( )

10

2

2

3

2

1

−

× ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

− −

− =

ij ε

Giải: Từ ví dụ 1.4.4, ta xác định đ−ợc biến dạng ε1=6ì10 -4; ε

2=2×10 -4; ε3=-2×10

-4 Theo (2.3.5), hệ tọa độ ten xơ ε

ij cã d¹ng

( )

10 0

0

0

−

× ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− =

′

ij

Biến dạng dμi theo ph−ơng νr hệ tọa độ xác định theo (2.2.23) lμ 4 10 2 10 0 0 2

1 − = × −

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ =

2.4 Phơng trình tơng thÝch biÕn d¹ng

Các thμnh phần ten xơ biến dạng hữu hạn Green (2.2.12), Almansi (2.2.19) hay ten xơ biến dạng bé (2.2.22) lμ độc lập chúng biểu thị qua ba thμnh phần véc tơ chuyển vị (2.1.5) Do tồn liên hệ vi phân thμnh phần ten xơ biến dạng Các ph−ơng trình nμy đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng Ng−ời phát vμ thiết lập ph−ơng trình phụ thuộc nμy lμ Saint Venant

Trong tr−ờng hợp tổng quát, ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng nhận đ−ợc từ điều kiện mơi tr−ờng liên tục hình thái ban đầu vμ hình thái biến dạng lμ tập hợp điểm không gian Euclide ba chiều nên ten xơ Riemann – Christoffel khơng hai hình thái

Trong trờng hợp biến dạng bé, cách khử ẩn chuyển vị ui hệ thức

Cauchy (2.2.20) hay (2.2.22), ta rút đ−ợc ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng Saint Venant Ví dụ, lấy đạo hμm bậc hai ε11 theo x2 vμ lấy đạo hμm bậc

hai cña ε22 theo x1 cộng kết quả, ta có

2 12 2 2 2 2 2 1 22 2 11 2 x x x u x u x x x x u x x u x

x ∂ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ε ε ε (2.4.1)

Ph−ơng trình (2.4.1) thể liên hệ thμnh phần biến dạng mặt phẳng tọa độ Ox1x2 T−ơng tự, ta có hai ph−ơng trình

1 31 2 11 2 33 23 2 33 2 22 2 ; x x x x x x x

x ∂ ∂

∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ε ε ε ε ε ε (2.4.2)

Mặt khác, đạo hμm ba công thức cuối (2.2.22) theo x3 , x1 , x2 ta có

3 2 2 31 3 2 23 2 2 12 ; ; x x u x x u x x x u x x u x x x u x x u

x ∂ ∂

∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ε ε ε

Cộng hai phơng trình đầu với trừ phơng trình cuối, ta có

1 2 31 23 12 x x u x x

x ∂ ∂

Lấy đạo hμm theo x2 suy

1

22

2

2

2

2

2 31

23

12

2

1

1

x x x

u x x x

x x

u x

x x

x ∂ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂ ∂

∂ = ∂ ∂ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

∂ ε

(2.4.3)

Phơng trình (2.4.3) thể liên hệ ba thnh phần biến dạng góc v biến dạng di theo trục x2 Tơng tự, ta có hai phơng trình

2

33

3 12

31

23 3

11

1 23

12

31

;

x x x

x x x x x x

x x

x ∂ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

∂ ε ε ε ε ε ε ε ε

(2.4.4)

Các phơng trình (2.4.1) (2.4.4) đợc viết gọn lại l

0

2

2

= ∂ ∂

∂ − ∂ ∂

∂ − ∂ ∂

∂ + ∂ ∂

∂

k i

jl l

j ik j

i kl l

k ij

x x x x x x x x

ε ε

ε ε

(2.4.5)

với sáu cặp số ijkl = 1122, 2233, 3311, 1213, 2123, 3132

Vế trái (2.4.5) thể hệ tọa độ Descartes, ten xơ Riemann – Christoffel hai hình thái ban đầu vμ biến dạng không

Mặt khác, ta thay thμnh phần biến dạng (2.4.5) hệ thức Cauchy (2.2.20) hay (2.2.22), ph−ơng trình nμy đồng khơng Vì vậy, ph−ơng trình nμy đ−ợc gọi lμ đồng thức Saint Venant

Về mặt vật lý, điều kiện t−ơng thích biến dạng đảm bảo tính liên tục mơi tr−ờng Khi cho sáu thμnh phần ten xơ biến dạng lμ tuỳ ý, khơng thoả mãn điều kiện t−ơng thích biến dạng, môi tr−ờng lμ liên tục tr−ớc biến dạng (hình 2.4.1.a) sau biến dạng khơng cịn liên tục (hình 2.4.1.b) mμ có gián đoạn (hình 2.4.1.c)

Về mặt tốn học, điều kiện t−ơng thích biến dạng lμ điều kiện để xác định chuyển vị cách đơn trị biết giá trị ten xơ biến dạng nh− lμ hμm liên tục tọa độ Đối với môi tr−ờng đơn liên (hình 2.4.2.a) điều kiện t−ơng thích (2.4.5) lμ điều kiện cần vμ đủ để từ hệ thức Cauchy (2.2.20) hay (2.2.22) tìm đ−ợc ba chuyển vị đơn trị vμ liên tục Đối với môi tr−ờng đa liên (hình 2.4.2.b) điều kiện t−ơng thích (2.4.5) lμ điều kiện cần Để (2.4.5) trở thμnh điều

H×nh 2.4.1

kiện đủ cho việc xác định đ−ợc ba chuyển vị đơn trị vμ liên tục, ta cần viết thêm điều kiện phụ

Ví dụ nh− hình 2.4.2.c, để đ−a miền đa liên miền đơn liên, ta dùng nhát cắt (thể nét đứt) nối biên với biên ngoμi Điều kiện (2.4.5) lμ điều kiện đủ miền đơn liên vừa tạo, miền đa liên cho, ta cần thêm điều kiện phụ lμ: chuyển vị điểm K nằm nhát cắt tính bờ KT vμ tính bờ d−ới K

D cịng ph¶i nh−

Trong cách giải bμi toán sau nμy, chuyển vị lμ hμm liên tục biết tr−ớc, biến dạng đ−ợc xác định theo hệ thức Cauchy (2.2.20) vμ ph−ơng trình (2.4.5) trở thμnh đồng thức, ta khơng cần l−u ý đến chúng Nh−ng cách nμo ta biết tr−ớc biến dạng, để tìm chuyển vị, ph−ơng trình liên tục biến dạng (2.4.5) lại cần thiết vμ có nghĩa định cỏch gii bi toỏn

Ví dụ 2.4.1: Trạng thái môi trờng cho ten xơ ij (hình 2.2.3) với

( 1); 22 2( 1); 12 0; 23 0; 31 0; 33

2

11 = − =− − ε = ε = ε = ε =

ν ε

ε x L x

EI P x

L x EI

P

KiÓm tra thnh phần ten xơ ny có thỏa mÃn phơng trình tơng thích biến dạng không ?

Giải: Các ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng (2.4.5) cịn ph−ơng trình (2.4.1), ph−ơng trình cịn lại đồng khơng Ta có

( ) ( ) ( )0

2

2

2

1

2

2

2

12 2

1 22 2 11

= ∂ ∂

∂ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡− −

∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ −

∂ ∂ = ∂ ∂

∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂

x x x

L x EI

P x

x L x EI

P x x x x

x

ν ε

ε ε

Nh− vậy, điều kiện tơng thích biến dạng Saint Venant đợc thoả mÃn

Ví dụ 2.4.2: Trạng thái biến dạng môi trờng cho ten xơ ij (hình 2.4.3) với

( )

0 ;

0 ;

0 ;

3

3

4

1 ;

4

6

33 31

23 2 2 22

2 2 12

3 2

2 11

= =

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − +

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

+ =

ε ε

ε ν

ε

ν ε

ν ε

x x x x h h EI q

x h x EI

q x

x h h x

x EI q

H×nh 2.4.2

a) b) KT KD

Kiểm tra thnh phần ten xơ ny có thỏa mÃn phơng trình tơng thích biến dạng không ?

Gi¶i: Ta cã

( )

2

1 22

2

2 11 2

1 12

;

x EI

q x

x EI

q x

x EI

q x

x

ν ε

ν ε

ν ε

− = ∂ ∂

− = ∂ ∂ +

− = ∂ ∂

∂

nªn phơng trình (2.4.1) trở thnh

( )

2

2

2

12 2

1 22 2 11

2

2

2 x

EI q x

EI q x

EI q x EI

q x

x x

x =

+ + −

− = ∂ ∂

∂ − ∂ ∂ + ∂

∂ ε ε ε

Nh vậy, điều kiện tơng thích biến dạng Saint Venant thỏa mÃn điểm trên lớp trung hòa x2=0

2.5 ten x tốc độ biến dạng

Ten xơ biến dạng đóng vai trò chủ chốt vμ định lý thuyết biến dạng vật rắn Đối với chất lỏng vμ chất khí, tính chất biến dạng thật đóng vai trị nhiều, thể chủ yếu qua thay đổi thể tích Ví dụ, rót chất lỏng từ bình nμy sang bình khác, chất lỏng nh− vậy, rót chất lỏng xẩy biến dạng lớn vμ phức tạp đ−ợc Đồng thời, nghiên cứu chuyển động chất lỏng vμ chất khí nh− nghiên cứu vật rắn có biến dạng lớn, với tính chất đμn hồi, xuất tính chất nhớt, dẻo Trong tr−ờng hợp nμy, ng−ời ta th−ờng biểu diễn trình biến dạng đặc tr−ng khác đóng vai trị lớn hơn, lμ ten xơ tốc độ biến dạng Có thể thân biến dạng khơng quan trọng, nh−ng biến dạng đó xảy nhanh nh− nμo lại quan trọng

Ký hiệu vr lμ vận tốc chuyển động phần tử M0 mơi tr−ờng liên tục Khi đó, vận tốc chuyển động phần tử P0 lân cận với phần tử M0 xét lμ

j i i j j

j dxe

x v v e dv v v d

vr r r r r r

∂ + = +

= +

Građiên trờng vận tốc cho ta ten xơ građiên vận tốc ∂vj ∂xi Ten x¬ nμy cã thĨ

phân tích thμnh ten xơ đối xứng vμ phản đối xứng

ij ij j i i j j

i i j i

j

e x

v x v x

v x v x

v

ζ

+ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

2

1

(2.5.1) x1

b H×nh 2.4.3

x3 x2

h x2

q

Ten xơ đối xứng

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

i j j i ij

x v x v e

2

(2.5.2)

gọi lμ ten xơ vận tốc biến dạng (hay tốc độ biến dạng) Ten xơ phản đối xứng

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ =

j i i j ij

x v x v

ζ (2.5.3)

gọi l ten xơ xoáy

i vi bin dạng bé, ten xơ vận tốc biến dạng eij lμ đạo hμm vật chất theo thời gian

của ten xơ biến dạng bé Euler εij (xác định theo (2.2.20))

ij i j j i i

j j i ij

e x v x

v x

u x u dt

d dt

d

= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

2

1

ε

(2.5.4)

Các thμnh phần đ−ờng chéo lμ tốc độ dãn t−ơng đối đoạn vật chất dọc theo trục tọa độ, phần tử khác đặc tr−ng tốc độ tr−ợt, tức lμ tốc độ thay đổi góc đoạn vật chất h−ớng theo trục tọa độ C−ờng độ tốc độ biến dạng đ−ợc định nghĩa t−ơng tự nh− c−ờng độ biến dạng (2.3.14)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31 23 12

11 33 33 22 22 11

2

3

2 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε& = − &D = & − & + & − & + & − & + & + & + &

ij

u I (2.5.5)

T−ơng tự, ten xơ xoáy ζij lμ đạo hμm vật chất theo thời gian ten xơ quay tuyến tính Euler ωij (xác định theo (2.2.28))

Nếu ten xơ vận tốc biến dạng đồng khơng chuyển động lân cận phần tử M lμ quay nh− vật rắn tuyệt đối Nếu ten xơ xoáy vận tốc khơng điểm tr−ờng vận tốc gọi lμ tr−ờng khơng xốy

Cũng t−ơng tự ten xơ biến dạng, thμnh phần ten xơ tốc độ biến dạng phải thỏa mãn điều kiện t−ơng thích biến dạng t−ơng tự (2.4.5) để xác định đ−ợc tr−ờng vận tốc vr đơn trị vμ

Trong tr−ờng hợp biến dạng xảy từ từ vμ nhiệt độ khơng cao lắm, tính chất học mơi tr−ờng phụ thuộc vμo tốc độ biến dạng, thực tế xem nh− không phụ thuộc vμo tốc độ biến dạng Do điều quan trọng lμ tốc độ biến dạng, mμ lμ gia số vô bé thμnh phần biến dạng dεij

( ) ( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

∂ ∂ + ∂ ∂ =

i j j

i ij

x du x

du d

2

ε (2.5.6)

gọi l ten xơ gia số biến dạng Chú ý dij l vi phân thnh

phần ten xơ biến dạng ij Chỉ trờng hợp biến dạng bé dij l

thμnh phần biến dạng εij , tồn quy luật tổ hợp đơn giản biến dạng,

tức lμ quy luật cộng tuyến tính Trong tr−ờng hợp tổng qt, ng−ời ta khơng lấy tích phân nμy, tích phân nμy thực biết trình biến dạng, tức lμ biết dεij nh− lμ hμm số tham số nμo

Ví dụ 2.5.1: Xác định ten xơ tốc độ biến dạng theo biến Euler cho chuyển động ví dụ 2.1.1

Giải: Theo ví dụ 2.1.1, chuyển vị ur(u1,u2,u3) v vận tèc vr(v1,v2,v3) cã d¹ng

( ) ( ) ( ) ( );

;

0 ; ;

1

3

2 1

3

2

1

= +

= +

=

= −

= −

+ − =

−

− −

−

v e e x v x x v

u e e x u e x e x u

t t

t t t

t

Ten xơ tốc độ biến dạng xác định theo công thức (2.5.2) lμ

( ) ( ) ( ) ⎟⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+

+ =

−

−

0

1

0

2

1

2

2

t t

t t ij

e e

e e e

Nếu sử dụng công thức (2.2.20), ta nhận đợc

( ) (( )) ( ) ( ) ⎟⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− − −

=

− −

− − −

0

0

1

1

2

1

2

t t t

t t

t t

ij

e e e

e e

e e

ε

vμ đạo hμm ten xơ nμy lμ

( ) ( ) ⎟⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+

+ =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− −

− − −

0

0

0

2

2

2

t t t

t t

t t

ij

e e e

e e

e e

dt dε

Nh− vậy, trờng hợp biến dạng lớn

dt d

eij ij

Đẳng thøc

dt d

eij ij

ε

Chơng

trạng thái ứng suÊt

3.1 Ngo¹i lùc

3.1.1 Mật độ khối l−ợng

Mật độ khối l−ợng (hay tỷ khối) điểm môi tr−ờng liên tục lμ tỷ số khối l−ợng vμ thể tích mơi tr−ờng Ký hiệu khối l−ợng phân tố tích ΔV lμ

Δm th× tû khèi ρ điểm môi trờng l dV dm V m

V Δ =

Δ =

→ Δlim0

ρ (3.1.1)

Tû khèi ρ lμ mét hm vô hớng cho dới dạng hm biÕn Lagrange

(X1,X2,X3,t) ρ( )Xr,t

ρ

ρ = = (3.1.2)

hay cịng cã thĨ hμm cđa biÕn Euler

( )

[X x1,x2,x3,t ,t] *( )x,t

r r

ρ ρ

ρ = = (3.1.3)

3.1.2 Lùc khèi Lùc thÓ tÝch

Lực khối tác dụng lên điểm môi trờng liên tục v phân bố ton thể tích, ngời ta gọi l lực thể tích Lực ny tỷ lệ với khối lợng phần tử môi trờng v hớng phụ thuộc vo vị trÝ cđa phÇn tư VÝ dơ vỊ lùc khèi lμ lùc qu¸n tÝnh, träng lùc,

Nếu khối l−ợng Δm phân tố thể tích ΔV có tác dụng lực khối QΔ c−ờng r độ lực khối Kr (hay lμ giá trị lực khối điểm) xác định

dm Q d m Q K

m

r r

r =

Δ Δ =

→

Δlim0 (3.1.4)

C−ờng độ lực thể tích Fr (hay giá trị lực thể tích điểm) lμ dV

Q d V Q F

V

r r r

= Δ Δ =

lim0 (3.1.5)

Từ ta thÊy

i

i F

K =

ρ hay ρKr =Fr (3.1.6)

Lực tác dụng lên mặt biên môi tr−ờng liên tục, lμ kết tác dụng t−ơng hỗ môi tr−ờng liên tục với môi tr−ờng xung quanh (ví dụ lực tiếp xúc, áp suất, ) đ−ợc gọi lμ lực mặt Giả sử lực RΔ tác dụng lên phần tử mặt r ΔS có pháp tuyến ngoμi νv, véc tơ lực mặt Prν tác dụng lên đơn vị diện tích mặt bên xác định hệ thức

dS R d S R P

S

r r r

= Δ Δ =

→ Δlim0

ν (3.1.7)

ChØ sè nói lên lực tác dụng lên phần tử mặt có pháp tuyến ngoi v Lực tập trung xem l trờng hợp giới hạn lực thể tích hay lực mặt

3.2 Trạng thái ứng suÊt

Giữa phần tử vật chất môi tr−ờng liên tục tồn lực liên kết vật chất để giữ cho mơi tr−ờng có hình dáng định Khi môi tr−ờng chịu tác động ngun nhân nμo đó, ví dụ nh− ngoại lực, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị c−ỡng bức, v.v lực liên kết vật chất nμy thay đổi, môi tr−ờng bị biến dạng đặt lại phần tử vật chất L−ợng thay đổi lực liên kết phần tử vật chất môi tr−ờng liên tục chịu tác động nguyên nhân đ−ợc gọi lμ nội lực

Theo định nghĩa, ta nhận thấy trạng thái ban đầu ch−a có tác động bên ngoμi, nội lực môi tr−ờng liên tục không, tức lμ ta thừa nhận nguyên lý “môi tr−ờng liên tục trạng thái tự nhiên” Mặc dầu nội lực khác điểm, nh−ng quan điểm vĩ mơ ta coi lμ tr−ờng lực thay đổi từ điểm nμy sang điểm khác, với ý nghĩa trung bình Điều nμy cho phép ta xem ứng suất (liên quan đến nội lực) lμ hμm số liên tục tọa độ không gian, thời gian v vi phõn c

3.2.1 Trạng thái ứng suất điểm

lm xut hin vμ xác định nội lực môi tr−ờng liên tục, ta dùng ph−ơng pháp mặt cắt Xét môi tr−ờng liên tục nằm cân d−ới tác động hệ ngoại lực đặt T−ởng t−ợng có mặt cắt S với pháp tuyến νr cắt qua môi tr−ờng, chia môi tr−ờng lμm hai phần V1 vμ V2 nh− hình 3.2.1.a Mơi tr−ờng nằm cân

bằng nên phần cân Để phần V1 cân bằng, ngoi ngoại

lc t lên V1 , ta phải đặt thêm vμo phần V1 lực tác dụng t−ơng hỗ phần V2

Xét phân tố diện tích ΔA thuộc mặt cắt S có diện tích dần tới không mμ chứa điểm A Hợp lực nội lực tác động phân tố diện tích ΔA bao gồm một lực t−ơng đ−ơng PΔ vμ mômen Mr Δ Nguyên lý ứng suất Cauchy khẳng r định ΔA co điểm A tỷ số lực ΔPr ΔA dần tới giới hạn xác định cịn tỷ số mơmen ΔMr ΔA dn ti khụng

Đại lợng

dA P d A P p

A

r r

r =

Δ Δ =

→ Δlim0

ν (3.2.1)

đ−ợc gọi lμ ứng suất toμn phần phần tử mặt cắt có pháp tuyến ngoμi νr qua điểm xét A (hình 3.2.1.c) Nh− vậy, ứng suất toμn phần phụ thuộc vμo vị trí điểm xét mμ cịn phụ thuộc vμo h−ớng mặt cắt qua điểm Nói chung, ứng suất toμn phần khơng h−ớng theo pháp tuyến, có thμnh phần σrν theo ph−ơng pháp tuyến gọi lμ ứng suất pháp vμ thμnh phần σrξη nằm mặt phẳng S gọi lμ ứng suất tiếp, tức lμ

ξη ν

ν r r r σr σr

r = + + = +

3 2

1e p e p e

p

p v v v (3.2.2)

trong pνi lμ thμnh phần véc tơ ứng suất toμn phần theo trục xi Thứ nguyên

của thnh phần ứng suất l [Lực]/[Chiều di]2, ví dơ kN/cm2, N/m2,

H×nh 3.2.1 A S

V1

V2

a)

A S

ν

x1 x2

x3

ΔA V1

b)

ν

σr

ν

−

pr

A ξη

σr

x1 x2

x3

ΔA

ξ

η

ν p r

ν

Theo định luật phản tác dụng pr−ν =−prν tức lμ lực tác dụng phần môi tr−ờng bên nμy lên phần bên phần tử mặt ΔA prνΔA lực phần môi tr−ờng bên tác dụng lμ pr−νΔA=−prνΔA (hình 3.2.1.c)

Ta phát biểu cách đơn giản: ứng suất toμn phần biểu thị nội lực tác dụng trên đơn vị diện tích mặt cắt qua điểm nμo mơi tr−ờng Tập hợp tất ứng suất toμn phần prν mặt cắt qua điểm xét xác định trạng thái ứng suất điểm môi tr−ờng

Ta cần phân biệt hai cách xác định ứng suất:

- Nếu ứng suất xác định theo môi tr−ờng trạng thái không biến dạng, ta gọi lμ ứng suất giả định

- Nếu ứng suất xác định theo môi tr−ờng trạng thái biến dạng, ta gọi lμ ứng suất thực

Trong tr−ờng hợp biến dạng bé, hai loại ứng suất nμy không khác biệt lắm, nh−ng tr−ờng hợp biến dạng hữu hạn, ứng suất giả định khác ứng suất thực nhiều

3.2.2 Ký hiƯu øng st vμ quy c dÊu

Để xác định trạng thái ứng suất điểm môi tr−ờng, tr−ớc hết, ta cần xác định thμnh phần ứng suất ba mặt phẳng toạ độ hệ trục toạ độ vng góc ox1x2x3 cng i qua im ang xột

Các thnh phần ứng suất đợc viết với hai số ij (với i,j=1,2,3), chØ sè thø nhÊt i

chØ ph−¬ng pháp tuyến mặt cắt, số thứ hai j phơng ứng suất Thnh phần ứng suất ph¸p cã hai chØ sè nh− nhau, øng suÊt tiÕp cã hai chØ sè kh¸c VÝ dơ σ11 lμ ứng suất pháp mặt có pháp tuyến theo phơng cđa trơc x1 ; σ23 lμ øng st tiÕp trªn mặt có pháp tuyến theo phơng trục x2 v ứng suÊt tiÕp nμy cã

ph−ơng theo trục x3 Chín thμnh phần ứng suất ba mặt phẳng tọa ox1x2x3

thờng đợc thể dạng bảng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

σij (3.2.3)

Dấu ứng suất σij đ−ợc quy định nh− sau:

b) Nếu pháp tuyến mặt cắt (chỉ số thứ i) h−ớng theo chiều âm trục i t−ơng ứng vμ chiều ứng suất (chỉ số thứ hai j) h−ớng theo chiều âm trục j t−ơng ứng ứng suất lμ d−ơng

c) Các trờng hợp khác với điều nêu ứng suất l âm

Hình 3.2.2 thể thnh phần ứng suất mặt phân tố hình hộp qua điểm xét với dấu thnh phần ứng suất ny l dơng Các thnh phần ứng suất điểm khác thuộc môi trờng có giá trị khác v l hm liên tôc theo biÕn Lagrange

3 , , , ; ) , , ,

( 1 2 3 =

= ij X X X t i j

ij σ

σ (3.2.4)

hay theo biÕn Euler

3 , , , ; ) , , ,

( 1 2 3 =

= ij x x x t i j

ij σ

σ (3.2.5)

3.3 Ph−ơng trình vi phân cân hay chuyển động

Xét môi tr−ờng liên tục chịu tác động ngoại lực bao gồm lực thể tích

(F1,F2,F3)

Fr , lùc qu¸n tÝnh ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

−

− 23

2

2 2

1 2

2

, ,

dt u d dt

u d dt

u d dt

u

d ρ ρ ρ

ρ r (đối với bμi tốn động

lùc) vμ lùc mỈt Prν(Pν1,Pν2,Pν3) Do môi trờng liên tục nằm trạng thái cân nên phần tử vật chất môi trờng nằm trạng thái cân

3.3.1 Phng trỡnh vi phân cân hay chuyển động Navier – Cauchy

Đối với phân tố hình hộp đợc tách từ môi trờng liên tục có kích thớc dx1 ,

dx2 , dx3 theo c¸c trơc x1 , x2 , x3 , thμnh phÇn øng suÊt 11 hai mặt vuông góc với trục x1 v cách khoảng dx1 có giá trị 11(x1,x2,x3) v 11(x1+dx1,x2,x3)

Sử dụng khai triển Taylor lân cËn ®iĨm (x1 , x2 , x3) vμ bá qua vô bé bậc

cao, ta nhận đợc

1

3 11 11 1 11

) , , ( ) , , ( ) , ,

( dx

x x x x x

x x x

x dx x

∂ +

=

+ σ σ

σ (3.3.1)

T−ơng tự với thμnh phần ứng suất khác, ta biểu diễn thμnh phần ứng suất tác động mặt phân tố hình hộp nh− hình 3.3.1 Sử dụng nguyên lý D’Alembert, ta xét cân theo ph−ơng trục x1 của phân tố

σ21 σ11

x1 x2

x3

σ12

σ13 σ22

σ23 σ33 σ32 σ31

σ12 σ11 σ13

σ31 σ33

σ32 σ21 σ22 σ23

0 2 1 31 21 11 3 31 31 2 21 21 1 11 11 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dx dx dx dt u d F dx dx dx dx dx dx dx dx dx x dx dx dx x dx dx dx x ρ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (3.3.2)

Sau đơn giản, ta thu đ−ợc

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 31 21 11 dt u d F x x x ρ σ σ (3.3.3.a)

Trong trờng hợp bi toán tĩnh, vế phải (3.3.3) không Tơng tự, ta có hai phơng trình cân theo phơng trục x2 , x3

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 33 23 13 2 2 32 22 12 0 dt u d F x x x dt u d F x x x ρ σ σ σ ρ σ σ σ (3.3.3.b) H×nh 3.3.1 dx3 dx1 dx2 F3 F2 3 31 31 dx x ∂ ∂ + σ σ 1 13 13 dx x ∂ ∂ + σ σ 3 32 32 dx x ∂ ∂ + σ σ 3 33 33 dx x ∂ ∂ + σ σ 2 23 23 dx x ∂ ∂ + σ σ 2 22 22 dx x ∂ ∂ + σ σ 2 21 21 dx x ∂ ∂ + σ σ 1 12 12 dx x ∂ ∂ + σ σ 1 11 11 dx x ∂ ∂ + σ σ σ21 x2 x1 x3 σ22 σ23 σ12

σ11 σ13

σ31 σ33

σ32

Các ph−ơng trình vi phân cân hay chuyển động (3.3.3) đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình cân Navier – Cauchy Vì số ẩn ph−ơng trình cân v−ợt số ph−ơng trình nên ta nói lμ bμi tốn siêu tĩnh Vấn đề xác định trạng thái ứng suất, biến dạng môi tr−ờng đ−ợc giải quyết, biết thêm quan hệ ứng suất vμ biến dạng

3.3.2 Định luật đối ứng ứng suất tiếp

Xét cân mômen trục song song với trục x3 vμ qua tâm phân tố

hình hộp Khi lực thể tích Fr vμ lực quán tính 2

2

dt u

d r

ρ

− kh«ng gây mômen, có ứng suất mặt bên gây mômen

2

2

2 21 2 21 21

1 12 1 12 12

dx dx dx dx

dx dx dx x dx

dx dx dx

dx dx dx

x σ

σ σ

σ σ

σ ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + = +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ +

Sau đơn giản, ta thu đ−ợc

21

12 σ

σ = (3.3.4.a)

T−¬ng tù, ta cã

13 31 32

23 σ ;σ σ

σ = = (3.3.4.b)

Các hệ thức (3.3.4) thể định luật đối ứng ứng suất tiếp (hình 3.3.2)

Nh− vậy, từ chín thμnh phần ứng suất cịn sáu thμnh phần ứng suất độc lập xác định trạng thái ứng suất điểm môi tr−ờng liên tục

3.3.3 §iỊu kiƯn biªn theo øng st

§èi víi phần tử vật chất nằm sát biên S có pháp tuyến ngoi r(1,2,3), phân tố vật chất đợc tách từ môi trờng liên tục có dạng hình tứ diện nh hình 3.3.3 với ba mặt vuông góc AOB, BOC, COA nằm bên môi trờng, mặt thứ t ABC l mặt ngoi môi trờng Ký hiệu dS, dS1 , dS2 , dS3 lμ diƯn tÝch c¸c mặt ABC, COB, COA, AOB tơng ứng (hình 3.3.3), ta cã

3

2

1

1 dS.ν ;dS dS.ν ;dS dS.ν

dS = = = (3.3.5)

Lực ngoμi tác động lên phân tố bao gồm lực thể tích Fr(F1,F2,F3), lực quán tính

2

dt u

d r

ρ

− (đối với bμi toán động lực) vμ lực mặt Prν(Pν1,Pν2,Pν3)

Sư dơng nguyªn lý DAlembert, ta xét cân theo phơng trục x1 ph©n tè

0

2

1 31 21

11 ⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + +

− −

− dV

dt u d F dS P dS dS

dS σ σ ρ

σ ν

Do thÓ tÝch dV lμ v« cïng bÐ bËc ba cã thĨ bá qua so víi diƯn tÝch dS lμ v« cïng bÐ bËc hai, kÕt hỵp víi (3.3.5) ta cã

1 31 21

11ν σ ν σ ν

σ + + v =P (3.3.6.a)

Tơng tự, ta có hai phơng trình cân theo phơng trục x2 , x3

3 33 23 13

2 32 22 12

ν ν

σ ν σ ν σ

σ ν σ ν σ

P v

P v

= +

+

= +

+

(3.3.6.b)

VỊ mỈt học, phơng trình (3.3.6) l điều kiện cân biên môi trờng Về mặt toán học, phơng trình (3.3.6) l điều kiện biên phơng trình (3.3.3) nên (3.3.6) gọi l điều kiện biên theo ứng suất hay điều kiện biên tĩnh

3.3.4 Về việc chuyển ph−ơng trình cân hay chuyển động hệ tọa độ thuộc hình thái ban đầu

Các ph−ơng trình cân hay chuyển động (3.3.3), (3.3.6) viết theo biến Euler (thuộc hình thái biến dạng) có cấu trúc đơn giản nhiều so với viết theo biến Lagrange (thuộc hình thái ban đầu) Nh−ng cách mơ tả theo Euler nh− có chỗ khơng thuận lợi, nhiều bμi tốn lý thuyết đμn hồi, ta th−ờng biết tr−ớc vị trí ban đầu điểm vật thể vμ phải tìm tr−ờng chuyển vị gây biến dạng vật thể, tức lμ vị trí điểm vật thể sau biến dạng nằm số đại

H×nh 3.3.3 σ21

σ11

x1 x2

x3

σ12

σ22 σ23

σ33

σ32 σ13 σ31

O

ν

pν2

pν1 pν3

A B

l−ợng phải tìm Các điều kiện biên d−ới dạng lực ngoμi cho tr−ớc (3.3.6) hay chuyển vị cho tr−ớc biểu diễn theo tọa độ Xi thuộc hình thái ban đầu Các ph−ơng

trình vi phân cân hay chuyển động (3.3.3) viết theo biến xi , biến nμy lại

chứa đại l−ợng phải tìm lμ chuyển vị Vì vậy, lý thuyết biến dạng hữu hạn hay lý thuyết đμn hồi phi tuyến, ng−ời ta phải chuyển ph−ơng trình vi phân theo biến Euler ph−ơng trình vi phân theo biến Lagrange Trong phạm vi lý thuyết biến dạng bé hay lý thuyết đμn hồi tuyến tính, giả thiết biến dạng vμ tốc độ chuyển vị lμ bé nên đạo hμm theo biến Lagrange vμ Euler lμ nh− vμ không cần phân biệt mô tả Lagrange Euler (hệ thức (2.2.21)) Bỏ qua số hạng phi tuyến biểu thức đạo hμm vật chất (hệ thức (2.1.13)), ph−ơng trình cân hay chuyển động (3.3.3) có dạng

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 33 23 13 2 2 32 22 12 2 31 21 11 0 t u F x x x t u F x x x t u F x x x ρ σ σ σ ρ σ σ σ ρ σ σ σ (3.3.7)

Trong giáo trình ny, ta sử dụng phơng trình cđa lý thut biÕn d¹ng bÐ cã d¹ng (3.3.7)

Ví dụ 3.3.1: Tr−ờng ứng suất mơi tr−ờng xác định

( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 0 3 1 cm kN x x x x x x x x x ij ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = σ

Xác định lực phân bố thể tích để ph−ơng trình vi phân cân đ−ợc thỏa mãn toμn môi tr−ờng

Giải: Từ (3.3.3), ta xác định đ−ợc

Do đó, lực thể tích phân bố mơi tr−ờng lμ ( ) 3

4

0 x kN cm

Fr = − T

3.4 Ten x¬ øng suất

3.4.1 ứng suất ton phần mặt cắt nghiêng Ten xơ ứng suất

Xét cân phân tố hình tứ diện nằm bên môi trờng nh hình 3.3.3 với mặt cắt nghiêng ABC có ph¸p tun ngoμi lμ νr(ν1,ν2,ν3) Ký hiƯu prν(pv1,pv2,pv3) lμ øng suất ton phần mặt cắt nghiêng Tơng tự nh (3.3.6), ta có điều kiện cân phân tố lμ

3 33 23 13

3 32 22 12

3 31 21 11

v p

v p

v p

σ ν σ ν σ

σ ν σ ν σ

σ ν σ ν σ

ν ν ν

+ +

=

+ +

=

+ +

=

(3.4.1)

Hệ thức (3.4.1) thể ứng suất toμn phần mặt cắt qua điểm xét môi tr−ờng đ−ợc xác định qua thμnh phần ứng suất ba mặt phẳng trực giao qua điểm nμy Do đó, trạng thái ứng suất điểm bất kỳ môi tr−ờng liên tục hoμn toμn xác định đ−ợc biết thμnh phần ứng suất ba mặt phẳng trực giao qua điểm

Từ (3.4.1) ta thấy, biến đổi hệ tọa độ mμ véc tơ pháp tuyến νr khơng đổi véc tơ ứng suất toμn phần prν không đổi Dựa vμo dấu hiệu ng−ợc lại ten xơ (1.4.10), ta suy σij lμ ten xơ hạng hai gọi lμ ten xơ ứng suất Kết hợp với định

lý đối ứng ứng suất tiếp (3.3.4), ta kết luận ten xơ ứng suất σij lμ ten

xơ hạng hai đối xứng có sáu thμnh phần độc lập Nh− vậy, trạng thái ứng suất một điểm môi tr−ờng liên tục đ−ợc đặc tr−ng ten xơ hạng hai đối xứng có sáu thμnh phần độc lập gọi lμ ten xơ ứng suất

ViÕt d−íi d¹ng ten xơ, phơng trình cân (3.3.3) có dạng

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ = + ∂ ∂

2

0

dt u d F

x

i i

j

ji ρ

σ

(3.4.2)

Định luật đối ứng ứng suất tiếp có dạng

(i j)

ji ij =σ ≠

σ (3.4.3)

C«ng thức ứng suất mặt cắt nghiêng (3.4.1) có dạng

j ji i

pν =σ ν (3.4.4)

j i ij e

prν =σ ν r hay d−íi d¹ng ma trËn

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

3

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3

ν ν ν σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

ν ν ν

p p p

3.4.2 øng suÊt ph¸p vμ øng suất tiếp mặt cắt nghiêng

Giá trị ứng suất pháp l hình chiếu ứng suất ton phần theo phơng pháp tuyến v đợc ký hiệu l σν Tõ (3.4.4), ta cã

j i ij kj j i ik j j k i ik e e

p ν σ ν ν σ νν δ σ νν

σν = rν.r= r r = = (3.4.5)

hay d−íi d¹ng ma trËn

( ) ( )

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =

=

3

33 32 31

23 22 21

13 12 11 3

ν ν ν σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ ν ν ν ν

ν ν σ σ

ν ν ν ν

ν

p p p

r

Do véc tơ ứng suất pháp có dạng

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = =

3

ν ν ν σ ν σ ν σ

σrν rν r ν r ν (3.4.6)

Theo (3.2.2), øng suÊt tiÕp cã d¹ng

ν ν

ξη σ

σr = pr − r (3.4.7)

Độ di véc tơ ứng suất tiếp l

2

3

2

1

2

ν ν ν ν ν

ν

ξη σ σ

σr = pr − r = p + p + p − r (3.4.8)

3.4.3 Định lý tơng hỗ ứng suất

Xét mặt cắt qua điểm A môi trờng cã ph¸p tun ngoμi ν(ν1,ν2,ν3)

r ,

có véc tơ ứng suất ton phần pr(pv1,pv2,pv3) Ta lấy mặt cắt khác qua điểm A, có pháp tuyến ngoi r(1,2,3) v véc tơ ứng suất toμn phÇn prν′(pv′1,pv′2,pv′3) Sư dơng hƯ thøc (3.4.4), ta cã

i j ij m m i j ij i

j ij m m i j

ij e e p e e

pν.νr′=σ ν r.ν′ r =σ ν ν′; rν′.νr=σ ν′r.ν r =σ ν′.ν r

ν ν ν

ν r r r

r . .

′

= ′ p

p (3.4.9)

Hệ thức (3.4.9) thể định lý t−ơng hỗ ứng suất “Hình chiếu véc tơ prν lên pháp tuyến νr′ hình chiếu véc tơ p′rν lên pháp tuyến νr” Tr−ờng hợp riêng, ph−ơng véc tơ νr vng góc với ph−ơng véc tơ νr′, ta có định lý đối ứng ứng suất tiếp (3.4.3)

Ví dụ 3.4.1: Tr−ờng ứng suất môi tr−ờng xác định ten xơ

( ) ( ) ( ) 2 3 2

1 2

2

2

0

0

3

0

cm kN

x x x x x

x x x

x

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− =

σ

Xác định ứng suất toμn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp điểm A(1,3,2) mặt phẳng tiếp xúc điểm với mặt trụ cho ph−ơng trình 2x12 + x22 =11

Giải: Đặt ϕ =2x12 +x22 −11, ph−ơng trình mặt trụ lμ ϕ=0 Theo (1.2.2), ta xác định đ−ợc véc tơ pháp tuyến ngoμi mặt tiếp xúc điểm A(1,3,2) lμ

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )4 (0.5547 0.8321 0)

6

2

0

2 2

2

2

1 =

+ + =

+ +

= =

x x

x x grad

grad

ϕ ϕ νr

Ten xơ ứng suất ij điểm ny l

( )

8 0

0

0

cm kN

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

− =

σ

Theo (3.4.4), véc tơ ứng suất ton phần l

2

0 5547

9923

0 8321

5547

8 0

0

0

cm kN p

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧− = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

− =

ν

vμ độ lớn ứng suất toμn phần lμ

( ) (2 )2

0230 5547 9923

4 kN cm

prν = − + + =

Theo (3.4.5), độ lớn ứng suất pháp lμ

( ) 2.3077 2

0 5547

9923 8321 5547

cm kN

− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛− =

vμ véc tơ ứng suất pháp xác định theo (3.4.6) lμ

2

0 9201

2801

0 8321

5547 3077

cm kN

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × −

= ν σr

Véc tơ ứng suất tiếp xác định theo (3.4.7)

2

0 4748

7122

0 9201

2801

0 5547

9923

cm kN p

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧− = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧− = − = ν ν

ξη σ

σr r r

vμ độ lớn ứng suất tiếp lμ

( ) (2 )2 2

4615 4748 7122

cm kN =

+ +

− = ξη

σr

§Ĩ kiĨm tra kÕt tính, dựa vo điều kiện véc tơ ứng suất pháp vuông góc với véc tơ ứng suất tiếp nên tích vô hớng hai véc tơ ny không

( )

0 4748

1722 9201 2801

=

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧− −

− = ξη ν σ σr r

Ngoμi cã thÓ kiÓm tra dùa vμo hÖ thøc (3.4.8)

( ) (2 )2

2

0230 3077 4615

4 + − = kN cm

= + ν ξη σ

σr r

3.5 nghiên cứu trạng thái ứng suất môi trờng liên tục

3.5.1 Bất biến ten x¬ øng suÊt Ph−¬ng chÝnh øng suÊt chÝnh

Ten xơ ứng suất σij lμ ten xơ hạng hai đối xứng, nên ta áp dụng ph−ơng pháp

xác định ph−ơng (hay trục chính) nh− trình bμy mục 1.4.6 Điều có nghĩa lμ điểm vật thể biến dạng tồn ba mặt phẳng trực giao lẫn với pháp tuyến h−ớng theo ph−ơng chính, gọi lμ mặt chính, mặt nμy có ứng suất pháp, khơng có ứng suất tiếp

Các ph−ơng ten xơ ứng suất σij đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình

( )

1

2 2

1 + + =

=

= −

ν ν ν ν ν

ν σδ σ j j

j ij ij

(3.5.1)

( ) det det

33 32

31

23 22

21

13 12

11

= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− =

−

σ σ σ

σ

σ σ σ σ

σ σ

σ σ σδ

ij ij (3.5.2)

Khai triển ra, ta đợc

0

3 2

3 − + − =

I I

Iσ σ

σ (3.5.3)

trong

( ) 12 33 31 22 23 11 31 23 12 33 22 11

2 31 23 12 11 33 33 22 22 11

33 22 11

2

detσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

− −

− +

= =

− − − +

+ =

+ + = =

ij ii

I I I

(3.5.4)

lμ bất biến ten xơ ứng suất quay trục tọa độ

Ký hiệu σ1 , σ2 , σ3 lμ ứng suất với quy −ớc σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 (về giá trị đại số)

Các ứng suất lμ giá trị ứng suất pháp mặt Trong hệ tọa độ gồm trục chính, ten xơ ứng suất σij có dạng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

3

0

0

0

σ σ σ

σij (3.5.5)

vμ c¸c bÊt biÕn (3.5.4) cã d¹ng

3

1 3 2

3 1

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

=

+ +

=

+ + = I I I

(3.5.6)

Bất biến thứ I1 thể ứng suất gây biến đổi thể tích vμ đại l−ợng

( )ij

tb I σ

3

= (3.5.7)

đợc gọi l ứng suất pháp trung bình ten xơ øng suÊt

H×nh 3.5.1

Nếu điểm mơi tr−ờng có ứng suất khác khơng, trạng thái ứng suất điểm đ−ợc gọi lμ trạng thái ứng suất đơn hay chiều (hình 3.5.1.a) Nếu có hai ứng suất khác khơng, ta có trạng thái ứng suất phẳng (hình 3.5.1.b) Nếu ba ứng suất khác khơng, ta có trạng thái ứng suất khối (hỡnh 3.5.1.c)

Đối với ten xơ ứng suất ij , ứng suất pháp mặt cắt nghiêng theo phơng

khỏc khụng gian xỏc nh theo hệ thức (3.4.5) với điều kiện véc tơ ph−ơng phải thoả mãn điều kiện νiνi =1, t−ơng tự hệ thức (1.4.20) – (1.4.22) Do đó, ta kết luận rằng, ten xơ ứng suất σij , ứng suất pháp σν đạt giá trị

cực trị theo phơng

3.5.2 Giá trị cực trị ứng suất tiếp

Trong hệ tọa độ gồm trục chính, ten xơ ứng suất có dạng (3.5.5), ứng suất toμn phần mặt cắt nghiêng có pháp tuyến ngoμi ν(ν1,ν2,ν3)

r lμ

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

3

2

1

3

3

0

0

0

ν σ

ν σ

ν σ ν

ν ν σ σ σ ν

pr (3.5.8)

Bình ph−ơng độ dμi véc tơ ứng suất toμn phần lμ

2 3 2 2 2

2 σ ν σ ν σ ν

ν

ν = p = + +

p r (3.5.9)

Theo (3.4.5), giá trị ứng suất pháp mặt cắt nghiêng ny lμ

( )

3 2 2 1 3

2

1

1 σν σ ν σ ν

ν σ

ν σ

ν σ ν ν ν

σν = + +

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= (3.5.10)

Bình ph−ơng độ dμi véc tơ ứng suất tiếp xác định theo (3.4.8) lμ

( 2)2 3 2 2 1 3 2 2 2

2 σ σ ν σ ν σ ν σν σ ν σ ν

σξη = rξη = + + − + + (3.5.11)

Ngoμi ta cßn cã hƯ thøc

1

2 2

1 + + =

=ν ν ν ν

νj j (3.5.12)

Ta cần xác định mặt cắt có ứng suất tiếp cực trị Sử dụng ph−ơng pháp nhân tử Lagrange, lập hμm số

( 1) ( 32) (2 1)

2 2 1 3 2 2 2

2 − − = + + − + + − −

= j j j j

F σξη λν ν σ ν σ ν σ ν σν σ ν σ ν λν ν (3.5.13)

( ) ( ) ( )

0

0

3 3

2 2

1 1

= − −

= − −

= − −

λ σ σ σ ν

λ σ σ σ ν

λ σ σ σ ν

ν ν ν

(3.5.14)

Hiển nhiên, hệ ba phơng trình (3.5.14) có tổ hỵp nghiƯm

1 ;

0 ;

0 ; ;

0

0 ; ;

3

1

3

1

3

1

± = =

=

= ±

= =

= =

± =

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν

ν

(3.5.15)

t−ơng ứng với σν =σ1 ;σ2 ;σ3, ứng suất tiếp khơng mặt Nếu ν2 ≠0;ν3 ≠0, từ ph−ơng trình thứ hai vμ thứ ba (3.5.14), ta có

(σ2 σ3)

σν = +

suy ν1 =0;22 =1 2;32 =1 Tơng tự, ta nhận đợc tổ hợp nghiệm

2 ;

2 ;

0

2 ;

2 ;

0

2 ;

2 ;

0

2

3

1

2

3

1

± = ±

= =

± = ±

= =

± = ±

= =

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν

ν

(3.5.16)

T−¬ng ứng với ba tổ hợp nghiệm (3.5.16), công thức (3.5.11) cho kÕt qu¶

2 max, 2 max, 2 max,

2 ;

2 ;

2 ⎟⎠

⎞ ⎜

⎝ ⎛ − = ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − = ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

= σ σ σ σ σ σ σ σ

σξη ξη ξη

H×nh 3.5.2 a)

1

3

b)

1

3

d)

1

3

c)

1

3

e)

1

3

f)

1

hay ; ; 2 max, 3 max, max, σ σ σ τ σ σ σ τ σ σ σ

τ = ξη = − = ξη = − = ξη = − (3.5.17)

Nh− vËy c¸c øng suất tiếp cực trị mặt có pháp tuyến nghiêng góc 450

với trục nh hình 3.5.2 Những mặt ny đợc gọi l mặt trợt Giá trị ứng suất tiếp cực trị đợc gọi l ứng suất tiếp

3.5.3 Biểu diễn trạng thái ứng suất vòng tròn Mohr

Các kết vừa nhận đợc có thĨ minh häa b»ng vßng trßn Mohr øng st ThËt vËy, tõ (3.5.10), (3.5.11), (3.5.12) gi¶i theo ν1,ν2,ν3 ta cã

( )( )

( )( ) ( ( )( )( ) ) ( 3( 1)( )(3 2) )

2 2 3 2 3 2

1 ; ; σ σ σ σ

σ σ σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ ν ξη ν ν ξη ν ν ξη ν ν − − − − + = − − − − + = − − − − + =

Tõ gi¶ thiÕt 1 > 2 > 3 , thu đợc

( )( )

( )( )

( )( )

20 2 2 3 2 2 2 10 2 2 2 2 30 2 3 2 2 2 2 2 2 2 R R R R R R = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≥ = − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤ = − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≥ = − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ξη ν ξη ν ξη ν (3.5.18)

Nh vậy, phơng trình quan hệ ứng suất pháp v ứng suất tiếp mặt

cắt có pháp tuyến ngoi r(1,2,3) l đờng tròn mặt phẳng ( , )

(hình 3.5.3):

- Đờng tròn tâm C1 bán kính R1 - Đờng tròn tâm C2 bán kính R2 - Đờng tròn tâm C3 b¸n kÝnh R3

Vì có hai ba ph−ơng trình (3.5.18) lμ độc lập nên đ−ờng trịn nμy cắt nhau điểm A có hoμnh độ lμ ứng suất pháp σν vμ tung độ lμ ứng sut tip

Hơn nữa, từ (3.5.18) ta cịng suy giao ®iĨm A n»m miỊn giới hạn ba đờng tròn mặt phẳng ( , ) l:

- Vòng tròn tâm C1 bán kính R10

- Vòng tròn tâm C2 bán kÝnh R20

Ta cã øng suÊt tiÕp lín nhÊt

2

3 max

σ σ σξη = − =

BC

tơng ứng với ứng suất pháp

2

3 1

σ σ σν = + =

OC

v véc tơ côsin phơng mặt c¾t

lμ ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

± ±

2 , ,

2

r (các trờng hợp c) v d) hình 3.5.3)

Ví dụ 3.5.1: Cho ten x¬ øng suÊt

( )

6 0

0

0

cm kN

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = σ

Xác định ứng suất toμn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp mặt cắt có pháp tuyến νr(1 2,0,1 2) hệ tọa độ trục Xác định ứng suất tiếp

Gi¶i: Tõ vÝ dơ 1.4.6, ten xơ ứng suất hệ trục có dạng

( ) 2

10 0

0

0 10

cm kN

ij

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− +

= ′ σ

Véc tơ ứng suất toμn phần xác định theo (3.5.8)

2

1147

0 3574

2

0

10 0

0

0 10

cm kN p

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− +

= ν

có độ lớn lμ

( )2 ( )2

3589 1147 0

3574

4 kN cm

pν = + + − =

r

Độ lớn véc tơ ứng suất pháp xác định theo (3.5.10)

2

3 1147

0 3574 2

cm kN

= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ = ν σ H×nh 3.5.3

3

1 σ

σ +

3

2 σ

σ +

σ3 σ1

O

σν σξη

σ2 C1 B

C2 C3

R2 R1 σξη

σν

2

2

1 σ

σ +

R20 R30 R10

Véc tơ ứng suất pháp xác định theo (3.4.6)

2

2

0

cm kN ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =σ ν σrν rν r

Véc tơ ứng suất tiếp xác định theo (3.4.7)

2

2361

0 2361

2

0 1147

0 3574

cm kN p

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = −

= ν ν

ξη σ

σr r r

Độ dμi véc tơ ứng suất tiếp xác định lμ

( )2 ( )2

3.1623 2361

2361

2 + + − = kN cm

= ξη σr

Các ứng suất tiếp xác định theo (3.5.17) lμ

( ) ( )

2 10

6 10 ; 10

10 10 ;

10

10

3

1

− = − + = −

= +

− − = +

= − −

= τ τ

τ kN/cm2

3.6 Phân tích ten xơ ứng suất thnh Ten xơ lệch v ten xơ cầu

3.6.1 Ten xơ lệch v ten xơ cầu ứng suất

Ten xơ øng st σij cã thĨ viÕt d−íi d¹ng tỉng hai ten xơ (hình 3.6.1)

D ij S ij

ij σ σ

σ = + (3.6.1)

víi

ij tb ij D ij ij tb S

ij σ δ σ σ σ δ

σ = ; = − (3.6.2)

D−íi d¹ng ma trËn, hƯ thøc (3.6.2) cã d¹ng

( ) ( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− = ⎟

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

tb ij tb ij tb ij D

ij tb tb tb S

ij

σ σ σ

σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ

32 31

23 21

13 12

;

0

0

0

H×nh 3.6.1 σ11

σ22

σ33

σ11−σtb σ22−σtb

σ33−σtb σtb

σtb

Ten x¬ S ij

σ gäi lμ ten x¬ cầu ứng suất Do thnh phần ijS =0(i j) vμ c¸c øng suÊt chÝnh σS =σS =σS =σtb

3

1 nên ten xơ ny thể trạng thái kéo hay nén lân

cn im M xét môi tr−ờng lμ theo ph−ơng Ten xơ D

ij

σ gọi lμ ten xơ lệch ứng suất Nếu đặt vμo môi tr−ờng lực kéo (nén) phía thμnh phần ten xơ lệch ứng suất không thay đổi Ten xơ lệch ứng suất có bất biến thứ không, bất biến thứ hai vμ thứ ba lμ

( ) [( ) ( ) ( ) ( )]

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) [ ( )]

( ) ( ) ( tb)( tb)( tb) ( )ij [ ( )ij ] ( ) ( )ij ij D

ij D

ij

ij ij

D ij

I I I

I I

I I

I

σ σ σ

σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ

σ σ

σ σ σ

σ σ

σ

σ σ σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

2 3

3

1

2

2 3 2

2 31 23 12

11 33 33 22 22 11

3 27

2 det

3

1

6

1

− +

= − −

− = =

− =

− + −

+ −

− =

+ + +

− + −

+ −

− =

(3.6.3)

Tõ (3.6.3) ta suy 2( )≤0

D ij

I σ Bất biến thứ hai không ứng suất ten xơ ứng suất σij Ph−ơng trình đặc tr−ng (3.5.3) ten xơ

lƯch øng suÊt D ij

σ cã d¹ng

( )D +I2DI3 =0 (3.6.4) Phơng trình (3.6.4) có ba nghiÖm thùc D D D

3

1 ;σ ;σ

σ vμ I1( )σijD =0 nªn ta cã

3

1 + + =

D D

D σ σ

(3.6.5)

Biểu thức giải tích øng suÊt chÝnh D D D

3

1 ;σ ;σ

σ xác định theo công thức (1.4.28) Mặt khác, sử dụng hệ thức (1.4.23) vμ (1.4.24), ta suy ứng suất D

i

σ cđa ten x¬ lƯch øng st D ij

σ xác định qua ứng suất σi ten xơ

øng suÊt σij bëi hÖ thøc D i tb

i σ σ

σ = v ngợc lại Đồng thời, phơng cđa ten x¬ lƯch øng st D

ij

trùng với phơng ten xơ ứng suÊt σij

Cũng từ hệ thức (1.4.23) vμ (1.4.24), ta suy ứng suất tiếp (xác định theo

(3.5.17)) cđa ten x¬ lƯch øng suÊt D

ij

σ còng lμ øng st tiÕp chÝnh cđa ten x¬ øng st

σij Tõ c«ng thøc (1.4.30), ta cã

( ) ( ) ( )σ ϑ σ

σ σ

τ

π ϑ σ

σ σ σ

τ

π ϑ σ

σ σ σ

τ

ξη ξη ξη

sin

3 sin

3 sin

2

1 max,

2

3 max,

2

2 max,

D ij

D ij D ij

I I I

− = − = =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + −

− = − = =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − −

− = − = =

với tham số ϑ xác định theo công thức

( ) ( )

[ ] ⎟⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ ≤ ≤ −

− =

3

;

3 3

cos

3

3 ϑ π

σ σ ϑ

D ij D ij

I I

(3.6.7)

Nh− vậy, trạng thái ứng suất chung σij bao gồm trạng thái kéo nén phía S ij

v trạng thái ứng suất D ij

σ víi c¸c øng st chÝnh tháa m·n hƯ thøc (3.6.5) NÕu ký hiƯu τ1 =λ1;τ3 =λ2 th× =(1+2) Các ứng suất ny lại phân thnh

hai trạng thái ứng suất

2 2

3 1

; ;

0

0 ; ;

λ τ λ τ τ

τ λ τ λ τ

− = ′′ − = ′′ = ′′

= = =

Mỗi trạng thái xuất mặt cắt nghiêng 450 so víi c¸c trơc chÝnh, nã lμ

trạng thái trợt túy, ứng suất pháp

3.6.2 C−ờng độ ứng suất

Với ý nghĩa vừa nêu τi (công thức 3.6.6), ta gọi đại l−ợng

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) 31 23 12 11 33 33 22 22 11

3 2

2

6

2 τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ = + + = − + − + − + + +

−

= D

ij

I

T (3.6.8)

lμ c−ờng độ ứng suất tiếp Tr−ờng hợp tr−ợt túy, thμnh phần σ12=τ , thμnh

phần khác khơng, ta có T=τ lμ ứng suất tr−ợt Đại l−ợng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31 23 12

11 33 33 22 22 11

2

2

3

3 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ = = − D = − + − + − + + +

ij

u T I (3.6.9)

gọi lμ c−ờng độ ứng suất Tr−ờng hợp kéo nén đơn giản, thμnh phần σ11=σ ,

thμnh phần khác khơng, ta có σu=σ lμ ứng suất kéo nén Tr−ờng hợp trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, thμnh phần σ11=σ, σ12=τ, thμnh phần cịn lại

kh«ng, ta cã 2

3τ

σ

σu = +

Các đại l−ợng T , σu vμ tham số ϑ có liên hệ với ứng

suất tiếp bát diện Thật vậy, ta xét mặt cắt nghiêng với ba trục có pháp tuyến νr(1 3,1 3,1 3) (hình 3.6.2) Khi đó, ứng suất pháp σν xác định theo

(3.5.10) lμ

(σ σ σ ) σtb

σν = 1+ 2 + 3 =

1 H×nh 3.6.2

x1

x2 x3

σtb

O

ϑ

ν

σξη

pν

Giá trị ứng suất tiếp xác định theo (3.5.11) lμ

( ) ( ) ( ) ( )D

ij

I σ

σ σ σ

σ σ

σ

σξη 2

1 3 2

3

1

− =

− + − + − =

mμ chØ kh¸c víi T vμ σu mét hƯ sè nhân Góc l góc phụ góc phơng øng

suÊt tiÕp chÝnh thø ba τ3 vμ ph−¬ng øng suÊt tiÕp σξη

Các đại l−ợng c−ờng độ ứng suất (3.6.9) vμ c−ờng độ biến dạng (2.3.14) đ−ợc sử dụng học vật rắn nh− lμ đại l−ợng đặc tr−ng để mở rộng kết thực nghiệm từ trạng thái ứng suất đơn sang trạng thái ứng suất khác

3.6.3 Ten x¬ chØ h−íng øng st

Ta biĨu diƠn ten xơ lệch D ij

dới dạng

ij u D ij σ σ

σ = (3.6.10)

víi σij lμ ten x¬ chØ h−íng øng st có thnh phần

u u

u u

tb u

tb u

tb

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ

σ 31

31 23 23 12 12 33

33 22

22 11

11 ; ; ; = ; = ; =

− = −

= −

= (3.6.11)

Ten xơ h−ớng ứng suất σij có bốn thμnh phần độc lập I1( )σij =0 vμ từ (3.6.9) suy đồng thức

(σ11−σ22) (2 + σ22−σ33) (2 + σ33−σ11)2 +6(σ122 +σ232 +σ312)≡2

Trạng thái ứng suất điểm xác định sáu thμnh phần ten xơ ứng suất

σij Đồng thời biểu thị trạng thái ứng suất qua sáu đại l−ợng độc lập khác lμ:

ứng suất pháp trung bình σtb , c−ờng độ ứng suất σu vμ bốn thμnh phần độc lập ten xơ h−ớng ứng suất σij nh− sau

ij u ij tb

ij σ δ σ σ

σ = + (3.6.12)

VÝ dơ 3.6.1: Cho ten x¬ øng st

( )

4

2

2

2

cm kN

ij

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

− −

− =

σ

- Xác định ten xơ lệch ứng suất, tìm ứng suất vμ ph−ơng ten xơ lệch ứng suất

Giải: Xác định ứng suất trung bình σtb theo (3.5.7)

2

2

4 1

cm kN

tb =

+ + =

σ

Ten xơ lệch ứng suất xác định theo (3.6.2) lμ

( )

2

2

2

2

1

2 2

2

1

2

2

cm kN

D ij

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

− − −

− −

= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− − −

− − =

σ

Việc xác định ứng suất vμ ph−ơng ten xơ lệch ứng suất tiến hμnh nh− ví dụ phần 1.4 Tuy vậy, sử dụng hệ thức (1.4.23), (1.4.24) vμ kết tính ví dụ 1.4.4 a1 =6;a2 =2;a3 =−2, ta xác định đ−ợc ứng suất ten xơ lệch ứng suất lμ

2

2

1 4; 2 0; 2 4kN cm

D D

D = − = σ = − = σ =− − =−

σ

Trong hệ tọa độ trục chính, ten xơ lệch ứng suất D ij

σ cã d¹ng

( ) 2

4 0

0 0

0

cm kN

D ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− =

σ

Đồng thời, ma trận cô sin phơng ph−¬ng chÝnh cđa ten x¬ lƯch øng st D ij

trùng với ma trận cô sin phơng phơng ten xơ ứng suất ij l

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

− =

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =

0

2 2

2 2

2 2

3

v v v C

r r r

Theo (3.5.17), c¸c øng suÊt tiÕp chÝnh cđa ten x¬ lƯch øng st D ij σ lμ

2

2

1

2 ;

4 ;

2

) (

cm kN = − = −

= − − = =

− −

= τ τ

Mặt khác, ứng suất tiếp ten x¬ øng suÊt σij lμ

2

2

1

2 ;

6 ;

2

) (

cm kN = − = −

= − − = =

− −

= τ τ

τ

Nh− vËy øng st tiÕp chÝnh cđa ten x¬ øng st σij cịng chÝnh lμ øng st tiÕp chÝnh cđa ten x¬ lƯch øng suÊt D

ij σ

( )

0 0

0

0

cm kN

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

− =

σ

- Xác định thμnh phần ten xơ ứng suất hệ trục mặt phẳng Ox1x2 xoay quanh trục x3 góc 450 theo chiều kim đồng hồ

- Xác định ứng suất vμ ph−ơng ten xơ ứng suất σij

- Xây dựng vòng tròn Mohr cho trạng thái ứng suÊt khèi

- Xác định giá trị ứng suất tiếp ten xơ ứng suất σij

Giải: Sử dụng hệ thức (1.4.41), ta xác định đ−ợc thμnh phần ten xơ ứng suất quay góc θ=-450 mặt phẳng Ox

1x2 (h×nh 3.6.3.b)

( )

0 0

0

0 10

cm kN

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

− =

′

σ

Các ứng suất bao gồm σmax , σmin xác định theo hệ thức (1.4.48)

1

9

9 ;

11

9

9

3

2

2

max ⎟ + = − =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = =

+ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + +

= σ

σ

vμ σ3=σ33=0 kN/cm

2 Từ đó, hệ tọa độ chính, ten xơ ứng suất có dạng

( )

0 0

0

0 11

cm kN

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

σ

Các ph−ơng gồm αmax , αmin xác định theo (1.4.49)

) 26 (

) ( ;

) 63 ( 11

)

(

min 22

12

0 max

22 12

max tg

a a

a tg

tg a

a a

tg =

− − − = − − = −

= −

− − = − −

= α

α

vμ trục Ox3 nên ma trận côsin phơng phơng l

⎜

⎜ ⎜ ⎝

⎛ −

= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =

1

0

0 4472 8944

0 8944 4472

3

v v v C

r r r

Từ hình 3.6.3.a vμ 3.6.3.c, ta nhËn thÊy ph−¬ng cđa vÐc t¬ øng st chÝnh σmax lμ

ph−¬ng héi tơ cđa hai øng st tiÕp σ12=-3 kN/cm

2 §iỊu nμy cã thĨ chøng minh

Vịng trịn Mohr ứng suất đ−ợc thể hình 3.6.3.e (đơn vị kN/cm2)

C¸c øng suÊt tiÕp chÝnh lμ

2

2

1

2 11 ;

5

11 ;

0

cm kN = − = −

= − = =

−

= τ τ

τ

2 kN/cm2

3 kN/cm2 10 kN/cm2

x2

x1 x’2

x’1 450

b) kN/cm2

9 kN/cm2

4 kN/cm2 x2

x1

a)

xmax kN/cm2

11 kN/cm2 63.40 x2

x1 26.60

xmin

c)

3

1 d)

11 kN/cm2

H×nh 3.6.3 e)

(6.0,5.0)

(5.5,5.5)

1 11

0 σν

σξη

g) 5.5 kN/cm2

5.5 kN/cm2

1

450

Nh− vậy, với trạng thái ứng suất không gian (tức lμ kể đến thnh phn ng sut

3=33=0) max=5.5 kN/cm2, phơng ứng suất tiếp lớn nằm mặt phẳng

cđa trơc Ox1x3 vμ nghiªng 45

0 so với trục Ox

1 v Ox3 (hình 3.6.3.g) NÕu chØ xÐt

trạng thái ứng suất phẳng (không kể đến ứng suất σ33) τmax=5.0 kN/cm

2, ph−¬ng

øng st tiÕp lín nhÊt n»m mặt phẳng trục Ox1x2 v nghiêng 45

0 so víi c¸c

trơc Ox1 vμ Ox2

Trờng hợp 1 =max ;2 =33;3 =min ứng suất tiếp lớn trạng thái không gian chÝnh lμ øng st tiÕp lín nhÊt n»m mỈt phẳng Ox1x2 v

nghiêng 450 so với phơng chÝnh α

max vμ αmin VÝ dô nh− bi toán uốn

ngang phẳng theo søc bỊn vËt liƯu, ta cã σ1 =σmax >0;σ2 =0;σ3 =min <0 nên ứng suất tiếp nằm mặt phẳng Ox1x2 v có phơng nghiêng 45

0 so víi

Ch−¬ng

các phơng trình cơ học môi trờng liên tục

4.1 Định luật bảo ton khèi l−ỵng

Mơi tr−ờng biến dạng lμ vật thể vật chất, lμ mơi tr−ờng có tính qn tính đặc tr−ng khối l−ợng Có thể xét khối l−ợng toμn vật thể, nh− phần nμo môi tr−ờng Theo định nghĩa, khối l−ợng toμn vật thể tổng khối l−ợng phần hợp thμnh môi tr−ờng

4.1.1 Phát biểu định luật

Ký hiệu ρ lμ mật độ khối l−ợng môi tr−ờng, từ hệ thức (3.1.1) ta đ−ợc dm=ρdV Khối l−ợng thể tích hữu hạn V lμ

( )

∫

=

V

dV t x x x

m ρ 1, 2, 3, (4.1.1)

trong tích phân lấy theo thể tích di động V vμ mật độ ρ phần tử mơi tr−ờng thay đổi thể tích chuyển động thay đổi

Định luật bảo toμn khối l−ợng khẳng định “tổng khối l−ợng vật chất chứa thể tích V khơng thay đổi q trình chuyển động hay lμ tổng khối l−ợng lμ số theo thời gian”, tức lμ

0 = dt dm

(4.1.2)

Định luật nμy đ−ợc phát biểu cách khác “tại thời điểm t, độ biến thiên khối l−ợng vật chất thể tích V đơn vị thời gian khối l−ợng vật chất vμo miền qua bề mặt S đơn vị thời gian”

4.1.2 Phơng trình liên tục khối lợng theo biến Euler

Độ biến thiên mật độ vật chất đơn vị thời gian lμ ∂ρ ∂t, nên độ biến thiên của khối l−ợng vật chất thể tích V lμ dV

t

V∫ ∂

∂ρ

Ký hiÖu l(l1,l2,l3)

r

l véc tơ pháp

ngc chiều pháp tuyến ngoμi lr) vμ l−ợng vật chất vμo diện tích S đơn vị thời gian lμ vldS

S

r r

∫

− ρ Theo định luật bảo toμn khối l−ợng

dS l v dS

l v dV

t S S i i

V ∫ ∫

∫ =− =−

∂

∂ρ ρrr ρ

Sử dụng công thức Gauss – Ostrogradsky biến đổi tích phân mặt thμnh tích phân khối, ta nhận đ−ợc

( )

0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂ ∂ = ∂

∂ + ∂ ∂ = +

∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫

∫ dV

x v x

v t dV

x v dV

t dS l v dV

t V i

i i

i

V i

i V

i i S V

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

Sử dụng hệ thức (2.1.13) đạo hμm vật chất, hệ thức (1.3.17) đive vμ thể tích vật chất V chọn tuỳ ý nên ta có

0 ) ( = +

= ∂ ∂

+ div v

dt d x v dt

d

i

i ρ ρ r

ρ ρ

(4.1.3)

Ph−ơng trình (4.1.3) lμ ph−ơng trình liên tục khối l−ợng (để phân biệt với ph−ơng trình liên tục biến dạng) viết theo biến Euler

Đối với môi tr−ờng khơng nén đ−ợc, mật độ vật chất không phụ thuộc vμo thời gian dρ dt =0, nên ph−ơng trình liên tục có dạng

0 ) ( = =

∂ ∂

v div x v

i

i r (4.1.4)

Sử dụng định luật bảo toμn khối l−ợng, hμm f(x1,x2,x3,t) (vô h−ớng, véc tơ, ten xơ, ), ta có

dV dt df dm dt df dm f dt

d dV f dt

d

V M

M V

ρ

ρ ∫ ∫ ∫

∫ = = = (4.1.5)

trong tích phân lấy theo thể tích vật chất V di động vμ mật độ ρ môi tr−ờng thay đổi thể tích chuyn ng cú th thay i

4.1.3 Phơng trình liên tục khối lợng theo biến Lagrange

Theo biến Lagrange, định luật bảo toμn khối l−ợng có dạng

(X X X t )dV (x x x t)dV

V

V∫ ∫

= , , ,

, ,

, 2 3 0 0 1 2 3

1

0

ρ ρ

( ) det

det dV

X x dV

J dV

j i

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ = =

Từ

( 0) [ ( ) ] ( )

0 , , , , , det

0

dV J t t X x dV

t X X X

V

j i

V∫ ∫

= ρ ρ

Do thể tích V0 chọn tuỳ ý nên

( )J det

0 ρ

ρ = (4.1.6)

Điều ny có nghĩa l tích det(J) không phô thuéc vμo thêi gian, tøc lμ

det =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂

j i

X x dt

d

(4.1.7)

Phơng trình (4.1.7) gọi l phơng trình liên tục khối lợng viÕt theo biÕn Lagrange

Các ph−ơng trình liên tục (4.1.3), (4.1.7) có ý nghĩa quan trọng chất lỏng vμ chất khí, chất rắn ph−ơng trình nμy đ−ợc xem lμ tự động thoả mãn chất rắn có mật độ khối l−ợng lớn nên xem thay đổi khối l−ợng lμ không đáng kể

4.2 Định luật biến thiên động l−ợng Định luật biến thiên mômen động l−ợng

4.2.1 Định luật biến thiên động l−ợng

Tại thời điểm t, ta xét môi tr−ờng liên tục chiếm thể tích V vμ có mặt biên S khơng gian Môi tr−ờng liên tục chịu tác động lực thể tích Fr toμn thể tích, cịn mặt biên S có pháp tuyến ngoμi lr(l1,l2,l3) chịu tác động lực mặt Prl Khi đó, động l−ợng tổng cộng khối l−ợng môi tr−ờng liên tục chứa thể tích V lμ

dV v R

V∫

= rρ

r

(4.2.1)

víi vr lμ tr−êng vËn tèc thĨ tÝch V cđa môi trờng liên tục

nh lut bin thiờn động l−ợng khẳng định “biến thiên động l−ợng miền nμo môi tr−ờng liên tục tổng lực tác dụng lên miền đó”, tức lμ

dS P dV F dV v dt

d

S l V

V∫ ∫ ∫

+

= r r

Ngoμi ra, phơng trình (4.2.2) đợc viết dới dạng phơng trình xung dt

dS P dt dV F dV v d

S l V

V∫ ∫ ∫

+

= r r

rρ (4.2.3)

Nếu ngoμi ngoại lực phân bố thể tích V vμ mặt biên S cịn có lực tập trung điểm hay lực tập trung dọc theo đ−ờng cong nμo tác dụng lên khối l−ợng thể tích V phải thêm tổng chúng vμo vế phải ph−ơng trình (4.2.2) hay (4.2.3)

Ph−ơng trình động l−ợng (4.2.2) lμ ph−ơng trình động lực học mơi tr−ờng liên tục vμ lμ ph−ơng trình xuất phát chuyển động môi tr−ờng liên tục, kể chuyển động gián đoạn (khi đặc tr−ng chuyển động vμ trạng thái môi tr−ờng liên tục lμ hμm liên tục tọa độ khắp nơi thể tích V) vμ q trình va chạm (khi đặc tr−ng chuyển động vμ trạng thái môi tr−ờng liên tục lμ hμm gián đoạn thời gian)

Trong tr−ờng hợp riêng, môi tr−ờng chuyển động liên tục, thay hệ thức (3.3.6) vμo biểu thức tích phân mặt (4.2.2) vμ dùng công thức Gauss – Ostrogradsky để biến đổi tích phân nμy tích phân khối, ta đ−ợc

∫ ∫

∫ ∫

∫ ⎟⎟⎠

⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ ∂ ∂ = +

= +

V

i j

ji S

j ji V

i S

li V

i F dV

x dS

l dV

F dS P dV

F σ σ

Sư dơng hƯ thøc (4.1.5), ta cã

∫

∫ =

V i V

i dV

dt dv dV

v dt

d ρ ρ

suy

0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− + ∂ ∂

∫

V

i i

j ji

dV dt dv F

x ρ

σ

Do môi tr−ờng chuyển động liên tục vμ thể tích V tùy ý, từ ta nhận lại đ−ợc ph−ơng trình cân hay chuyển động Navier – Cauchy (3.3.3)

4.2.2 Định luật biến thiên mômen động l−ợng

Mô men động l−ợng phần tử môi tr−ờng liên tục chứa thể tích V đ−ợc xác định lμ

( ) ∫

∫ × +

=

V V

dV h dV v r

Hr r r ρ rρ (4.2.4)

- rr(x1,x2,x3) lμ véc tơ bán kính phần tử môi tr−ờng liên tục điểm O đứng yên nμo (gắn với hệ toạ độ quán tính)

- vr lμ vận tốc chuyển động phần tử môi tr−ờng liên tục

- hr lμ mật độ mô men động l−ợng riêng môi tr−ờng liên tục Mô men nμy phải đ−ợc kể đến xét chuyển động môi tr−ờng liên tục tr−ờng điện từ, tr−ờng hợp cổ điển học môi tr−ờng liên tục, ng−ời ta th−ờng bỏ qua mô men động l−ợng riêng nμy

Khi khơng có mơ men động l−ợng riêng vμ ngẫu lực khối, ngẫu lực mặt phân bố, định luật biến thiên mô men động l−ợng khẳng định “đạo hμm theo thời gian mô men động l−ợng phần môi tr−ờng liên tục chứa thể tích V tùy ý điểm O mơ men (cũng điểm đó) lực thể tích vμ lực mặt tác động lên phần mơi tr−ờng liên tục đó”, tức lμ

( ) ∫( ) ∫( )

∫ × = × + ×

S l V

V

dS P r dV F r dV v r dt

d r r ρ r r r r

(4.2.5)

Ph−ơng trình mơmen động l−ợng (4.2.5) lμ ph−ơng trình sở chuyển động môi tr−ờng liên tục, kể chuyển động gián đoạn (khi đặc tr−ng chuyển động vμ trạng thái môi tr−ờng liên tục lμ hμm liên tục tọa độ khắp nơi thể tích V) vμ q trình va chạm (khi đặc tr−ng chuyển động vμ trạng thái môi tr−ờng liên tục lμ hμm gián đoạn thời gian)

Trong tr−ờng hợp riêng, môi tr−ờng chuyển động liên tục, thay hệ thức (3.3.6) vμo biểu thức tích phân mặt (4.2.5) vμ dùng công thức Gauss – Ostrogradsky để biến đổi tích phân khối, ta đ−ợc

( ) ∫( ) ∫ ( ) ∫( ) ∫

∫ ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ × + ×

= ×

∂ ∂ = ×

= ×

V

i j ji V

ji i j V

i ji j

S

i j ji S

l e dV

x r dV e

e dV e r x dS e l r dS P

rr r r σ r r σ r r r σ r σ r

Theo hÖ thøc (4.1.5), ta cã

( ) ∫ ( ) ∫ ∫

∫ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ × = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ × + ×

= ×

= ×

V V

V V

dV dt

v d r dV dt

v d r v r dt

d dV

v r dt

d dV v r dt

d r r ρ r r ρ r r r r ρ r r ρ

do

( )

1

1 + × =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ − −

× ∫

∫

V

ji j i V

i j ji

dV e

e dV e x F

dt v d

r σ ρ σ

ρ

ρ r r r

r r r

(eri×erj)σji =0

hay lμ σij =σji, tức lμ ta nhận lại đ−ợc định luật đối ứng ứng suất tiếp

4.3 q trình nhiệt động lực mơi tr−ờng

Đối t−ợng nghiên cứu t−ợng vật lý lμ môi tr−ờng vật chất, ta gọi lμ hệ vật lý Phần cịn lại khơng thuộc hệ gọi lμ mơi tr−ờng xung quanh Hệ tác dụng lên môi tr−ờng xung quanh vμ ng−ợc lại, môi tr−ờng xung quanh tác dụng lên hệ Nếu tác dụng môi tr−ờng xung quanh lên hệ yếu (xem nh− không đáng kể), ta có hệ lập Nếu khơng có trao đổi khối l−ợng với môi tr−ờng xung quanh, ta có hệ kín Sau nμy ta xét hệ kớn

4.3.1 Trạng thái môi trờng liên tục

Trong tr−ờng hợp tổng quát, trạng thái môi tr−ờng liên tục xét đ−ợc xác định số đặc tr−ng động lực học nh− lμ chuyển vị, biến dạng, ứng suất, vμ đặc tr−ng nhiệt động học nh− lμ nhiệt độ, truyền nhiệt,

Trạng thái môi tr−ờng liên tục lμ trạng thái nhiệt động lực học vμ thay đổi trạng thái lμ trình nhiệt động lực, tuân theo định luật nhiệt động lực học

Trạng thái hệ nhiệt động lực (môi tr−ờng liên tục) xác định số đại l−ợng nhiệt động vμ động học, đại l−ợng nμy gọi lμ tham số trạng thái Các tham số trạng thái lμ tham số vĩ mô, đ−ợc xây dựng nh− tham số thống kê trung bình theo quan điểm vĩ mơ Ví dụ trạng thái khơng khí đứng n đ−ợc xác định bằng hai tham số lμ áp suất p vμ tỉ khối ρ Đối với vật rắn biến dạng theo lý thuyết đμn hồi cổ điển, tham số trạng thái lμ sáu thμnh phần biến dạng εij vμ nhiệt độ T

cùng số vật lý lμ mơđun đμn hồi E, hệ số Pốt xơng ν vμ tỷ nhiệt c Tuy nhiên không loại trừ khả lμ số tham số xác định trạng thái mơi tr−ờng liên tục lμ vơ hạn (ví dụ với mơi tr−ờng liên tục có tính di truyền εij vμ T lμ hμm của thời gian t)

Các tham số nμy đ−ợc chia thμnh tham số ngoμi vμ tham số Hệ lμ nhất (hay đồng nhất) tham số khơng phụ thuộc vị trí điểm Các tham số nμy tất lμ độc lập, chúng có mối liên hệ hμm gọi lμ ph−ơng trình trạng thái, tham số đ−ợc mơ tả ph−ơng trình nμy đ−ợc gọi lμ các hμm trạng thái

4.3.2 Quá trình nhiệt động lực

Việc chuyển từ trạng thái nμy sang trạng thái khác tạo thμnh trình nhiệt động lực học, q trình đó, tất tham số trạng thái thay đổi theo thời gian Các q trình nhiệt động lực lμ liên tục hay gián đoạn, d−ới ta xét quá trình nhiệt động lực liên tục

Nếu tốc độ thay đổi trạng thái theo thời gian lμ chậm, cho hệ chuyển cách liên tục qua trạng thái cân liên tiếp, trình nh− gọi lμ trình tựa tĩnh Quá trình biến đổi nhanh trạng thái gọi lμ q trình khơng dừng Trong q trình nhiệt động lực, nhiệt độ khơng thay đổi, ta có q trình đẳng nhiệt vμ khơng có trao đổi nhiệt hệ vμ môi tr−ờng xung quanh, ta có q trình đoạn nhiệt

Q trình nhiệt động lực lμ thuận nghịch khơng thuận nghịch Quá trình thuận nghịch xảy trở lại trạng thái ban đầu hệ vμ mơi tr−ờng xung quanh mμ q trình ng−ợc đó, hệ qua tất trạng thái trung gian nh− q trình thuận Q trình lμ khơng thuận nghịch không thoả mãn điều kiện vừa nêu Các trình biến dạng đμn hồi lμ trình thuận nghịch, cịn q trình biến dạng dẻo vật rắn lμ q trình khơng thuận nghịch

Cũng cần phân biệt trình với chu trình l trình m kết l môi trờng quay vị trí ban đầu không gian trạng thái

4.4 nh lut nhit ng lực học thứ

Định luật thứ nhiệt động lực phát biểu chuyển hoá lẫn vμ nhiệt trình nhiệt động nh−ng khơng biết chuyển hố nμy lμ thuận nghịch hay không thuận nghịch Định luật nμy lμ áp dụng nguyên lý bảo toμn l−ợng vμo trình nhiệt động lực học Tiêu chuẩn không thuận nghịch thể định luật thứ hai nhiệt động lực học, thiết lập hạn chế entrôpi

4.4.1 Phát biểu định luật

“Tổng biến thiên động vμ biến thiên nội môi tr−ờng liên tục hai trạng thái trình tổng cơng học ngoại lực vμ dịng l−ợng khác mμ môi tr−ờng liên tục nhận đ−ợc hai trạng thái”

A Q dU

dK+ =δ +δ (4.4.1)

trong đó:

- dK vμ dU lμ biến thiên động vμ nội môi tr−ờng hai trạng thái lân cận trình nhiệt động Dấu d gia số t−ơng ứng lμ vi phân hμm nμo

- Q v A l gia số công nhiệt v công hệ nhận đợc hai trạng

thái lân cận trình nhiệt động Dấu δ gia số t−ơng ứng lμ vi phân hμm nμo

Vì hai trạng thái gần ứng với hai thời điểm cách khoảng thời gian dt, nên sau chia l−ợng bé cho dt, ta nhận đ−ợc tốc độ biến thiên đại l−ợng đơn vị thời gian vμ (4.4.1) có dạng

dt A dt

Q dt dU dt

dK δ δ

+ =

+ (4.4.2)

Theo (4.4.2), định luật thứ nhiệt động lực phát biểu d−ới dạng “Tốc độ thay đổi theo thời gian động vμ nội tổng công suất vμ nhiệt mμ môi tr−ờng liên tục nhận đ−ợc”

4.4.2 Biểu thức tốc độ thay đổi động vμ nội

Ký hiệu u lμ nội đơn vị khối l−ợng (hay mật độ nội năng, nội riêng), U lμ nội toμn thể tích V mơi tr−ờng Khi

∫

=

V

udV

U ρ

vμ sư dơng hƯ thøc (4.1.5), ta nhận đợc

=

=

V V

dV dt du udV

dt d dt

dU ρ ρ

(4.4.3)

Ký hiÖu

∫

=

V

dV v

K

2 1ρ

lμ động chuyển động phần tử vật chất mơi tr−ờng,

∫

∫ = ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞

=

V V

dV v dt

d dV

v dt

d dt dK

2

1ρ ρ (4.4.4)

Ký hiệu cr(c1,c2,c3) lμ véc tơ vận tốc truyền nhiệt qua đơn vị diện tích vng góc với dịng nhiệt; l(l1,l2,l3)

r

lμ véc tơ pháp tuyến ngoμi diện tích mặt dS Dịng nhiệt l−ợng vμo diện tích mặt dS đơn vị thời gian lμ −crlrdS (dấu trừ biểu thức thể h−ớng dịng nhiệt truyền vμo mơi tr−ờng có chiều ng−ợc với pháp tuyến ngoμi) Khi nhiệt vμo môi tr−ờng qua toμn mặt

S đơn vị thời gian lμ −∫ =−∫

S i i S

dS l c dS l

crr

Ký hiệu b lμ số xạ nhiệt (tức lμ l−ợng nhiệt xạ đơn vị khối l−ợng đơn vị thời gian) l−ợng nhiệt xạ toμn vật chất nằm thể tích V mơi tr−ờng đơn vị thời gian lμ ∫

V

bdV

ρ Nhiệt đ−ợc cấp truyền nhiệt vμ xạ Do đó, nhiệt đơn vị thời gian công suất nhiệt mμ môi tr−ờng nhận đ−ợc lμ

∫ ∫

∫

∫ − = − ∂∂

=

V i i V

S i i V

dV x c bdV dS

l c bdV dt

Q ρ ρ

δ

(4.4.5)

4.4.4 Biểu thức công suất

Công suất toμn môi tr−ờng ngoại lực gồm cơng suất lực thể tích Fr(F1,F2,F3) vμ công suất lực mặt Prl(Pl1,Pl2,Pl3) thực chuyển động lực nhân với vận tốc chuyển động v(v1,v2,v3)

r lμ

∫ ∫

∫

∫ + = +

=

S i li V

i i S

l V

dS v P dV v F dS v P dV v F dt

A rr rr

δ

Sử dụng điều kiện biên (3.3.6) vμ biến đổi tích phân mặt thμnh tích phân khối nhờ cơng thức Gauss – Ostrogradsky, ta có

( )

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ + = + = + ∂∂

=

V V j

i ij i

i

V S

i j ij i

i S

i li V

i

i dV

x v dV

v F dS v l dV

v F dS v P dV v F dt

A σ

σ δ

(4.4.6)

4.4.5 Biểu thức định luật thứ nhiệt động lc hc

Đặt hệ thức (4.4.3) (4.4.6) vo phơng trình (4.4.2) ta có

( )

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ + + ∂∂

∂ ∂ − =

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

V V j

i ij i

i V i

i V

V V

dV x

v dV

v F dV x c bdV dV

dt du dV

v dt

d ρ ρ σ

ρ

2

hay lμ

( )

0

2

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− ∂ ∂ + − ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+

∫

V i

i i i j

i ij

dV b x c v F x

v v

u dt

d σ ρ

Vì thể tích khảo sát V l thuộc môi trờng nên

( )

0

2

= − ∂ ∂ + − ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ b

x c v F x

v v

u dt

d

i i i i j

i

ij ρ

σ

ρ (4.4.7)

Mặt khác từ ph−ơng trình chuyển động (3.4.2)

dt dv F

x

i i

j

ji ρ

σ

= +

sau nhân hai vế phơng trình với vi , thu đợc

( )

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =

= + ∂ ∂

2

2

v dt

d v

v dt

d v

dt dv v

F v

x i i i

i i

i i j

ji ρ ρ ρ

σ

(4.4.8)

Trừ hai vế (4.4.7) cho (4.4.8), ta nhận đợc kÕt qu¶

i i j

i ij

x c b x v dt

du

∂ ∂ − + ∂ ∂

=σ ρ

ρ Tõ c«ng thøc (2.5.1), ta cã khai triĨn

ij ij i j j i i

j j i j

i

e x v x v x

v x v x

v ζ

+ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

2

1

trong ten xơ vận tốc biến dạng eij lμ ten xơ đối xứng, ten xơ xoáy ζij lμ ten xơ phản

đối xứng Do ten xơ σij lμ đối xứng nên tích σijζij=0,

dt dq e x

c b

e dt

du

ij ij i

i ij

ij ∂ = +

∂ − +

= σ

ρ ρ

σ ρ

1

1

(4.4.9)

víi

i i

x c b

dt dq

∂ ∂ − =

ρ

(4.4.10)

l công suất nguồn nhiệt đa vo môi trờng, dq l công nhiệt hai trạng thái lân cận, cách khoảng thời gian dt

Biểu thức (4.4.9) thể cụ thể định luật nhiệt động lực học thứ vμ phát biểu lμ “Tốc độ biến thiên nội riêng tổng công suất ứng suất vμ công suất nguồn nhiệt đ−a vμo môi tr−ờng liên tục” Biểu thức (4.4.9) chứa số đặc tr−ng nhiệt động lực học môi tr−ờng liên tục:

( )T grad k

cr= hay

i i

x T k c

∂ ∂

= (4.4.11)

- Hằng số xạ nhiệt b đ−ợc xác định từ thực nghim

4.4.6 Định luật bảo ton

Nếu môi tr−ờng xét không tiếp thu nguồn nhiệt từ bên ngoμi (δQ=0) nội năng U phụ thuộc vμo biến dạng đ−ợc gọi lμ l−ợng biến dạng, l−ợng nμy tuý lμ l−ợng học Khi định luật bảo toμn thứ nhiệt động lực trở thμnh định luật bảo toμn l−ợng học

dt A dt dU dt

dK δ

=

+ (4.4.12)

hay dK+dU =δA Lấy tích phân theo trình biến đổi từ trạng thái L1 tới trạng thái L2 , ta có ΔK+ΔU = A( )L Nh− vậy, định luật bảo toμn l−ợng học đ−ợc phát biểu d−ới dạng “Tổng biến thiên động vμ biến thiên l−ợng biến dạng sẽ cơng ngoại lực sinh q trình”

Đối với biến dạng bé, ten xơ vận tốc biến dạng eij lμ đạo hμm vật chất theo thời gian

của ten xơ biến dạng bé Euler ij (hệ thức (2.5.4)), nên trờng hợp ny, biểu thức (4.4.9) nội riêng u l

dt d e

dt

du ij

ij ij

ij

ε σ ρ σ

ρ

1

= =

hay d−íi d¹ng sè gia

ij ijd

du σ ε

ρ = (4.4.13)

4.5 Định luật nhiệt động lực học thứ hai

Định luật thứ hai giả thiết tồn hai hμm trạng thái lμ nhiệt độ tuyệt đối T vμ entrôpi S Nhiệt độ tuyệt đối T lμ hμm không âm nhiệt độ th−ờng Entrôpi S cũng nh− nội U lμ hμm đơn trị trạng thái bên hệ nhiệt động lc

4.5.1 Khái niệm entrôpi

Trong lý thuyết nhiệt nghiên cứu chu tr×nh Carnot, ta thÊy r»ng

mét chu trình kín thuận nghịch C tổng tỷ số biến thiên nhiệt Q v

nhit tuyệt đối T không

0 =

∫

C T

Q

δ

Vì vậy, trình nhiệt động thuận nghịch khơng kín L hai trạng thái A vμ B giá trị tích phân

( )

∫

L

AB T

Q

không phụ thuộc trình (hay đờng lấy tích phân), m phụ thuộc vo trạng thái đầu v cuối

T ú, ta có định nghĩa hμm trạng thái S lμ hμm mμ gia số ΔS hai trạng thái đầu A vμ cuối B trình giá trị tích phân lấy trong trình L

( ) ( )

( )

∫

= − =

Δ

L AB T

Q A

S B S

S δ (4.5.2)

Hμm S đ−ợc gọi lμ entrôpi môi tr−ờng vμ lμ đặc tr−ng q trình nhiệt động Entrơpi có tính cộng, nghĩa lμ entrôpi hệ khối l−ợng vật chất tổng entrôpi khối l−ợng vật chất riêng biệt entrôpi chuỗi q trình tổng entrơpi q trình Entrơpi thay đổi t−ơng tác với mơi tr−ờng xung quanh thay đổi bên môi tr−ờng Bản chất sâu xa entrôpi đ−ợc Boltzman giải thích từ hệ thức

W k

S = log

trong W lμ xác suất đo mức độ chuyển động hỗn loạn hạt, nguyên tử, phân tử tạo nên vật chất

Từ định nghĩa (4.5.2), ta thấy entrơpi xác định xác tới số cộng

( ) ( )

( )

∫

+ =

L AB T

Q A

S B

S δ (4.5.3)

với S(A) lμ giá trị entrơpi gốc tính tốn Ta th−ờng quy định S(A)=0 trạng thái có nhiệt độ T=00K Khi hμm S lμ đơn trị vμ có đơn vị tính tốn lμ Jun/Kelvin

(J/K) Nếu q trình lμ thuận nghịch entrơpi S xác định theo

( )

∫

=

L AB T

Q

S δ (4.5.4)

Vi ph©n cđa hμm entr«pi lμ

T Q

dS =δ (4.5.5)

0 = −

T Q

dS δ

Nếu ký hiệu s lμ entrôpi môi tr−ờng đơn vị khối l−ợng, gọi lμ mật độ entrơpi, entrơpi mơi tr−ờng lμ

∫

=

V

sdV

S ρ (4.5.6)

4.5.2 Định luật nhiệt động lực thứ hai

Định luật nhiệt động lực thứ hai khẳng định “đối với chu trình khơng thuận nghịch hiệu

T Q

dS l lợng không ©m”, tøc lμ

0 ≥ −

T Q

dS δ (4.5.7)

Dấu lấy trình thuận nghịch, dấu bất đẳng thức lấy với q trình khơng thuận nghịch Từ (4.5.7) suy TdS≥δQ hay lμ

*

Q Q

TdS = + (4.5.8)

Đại lợng *

Q

δ gọi lμ nhiệt l−ợng không đ−ợc đền bù Tr−ờng hợp trình thuận nghịch δQ* =0, ng−ợc lại với δQ* =0 q trình nói chung khơng thuận nghịch Từ định luật nhiệt động lực học thứ hai (4.5.7) suy δQ* ≥0

Trên đơn vị khối l−ợng môi tr−ờng, hệ thức (4.5.8) có dạng

; *

* ≥

+

= q q q

Tds δ δ δ (4.5.9)

trong điều kiện δq* =0 ch−a phải lμ điều kiện đủ tính thuận nghịch trình Các hệ thức (4.4.9) vμ (4.5.9) lμ cần thiết để xây dựng mô hình cụ thể mơi tr−ờng

Thay cho bất đẳng thức (4.5.9), định luật nhiệt động lực thứ hai đ−a tiêu chuẩn để phân biệt trình nhiệt động thuận nghịch vμ khơng thuận nghịch theo nhận xét tốc độ biến thiên mật độ entrôpi nh− sau

0

≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ + −

T c x b

dt

ds i

i

ρ (4.5.10)

4.6 c¸c phơng trình học môi trờng liên tục

4.6.1 Hệ phơng trình học môi trờng liên tục

T cỏc kt trên, ta thấy để nghiên cứu chuyển động mơi tr−ờng liên tục có xét đến hiệu ứng vμ nhiệt, ta phải sử dụng hệ thức sau vμ lμ cách đặt bμi tốn học mơi tr−ờng liên tục:

a) Phơng trình hình học Cauchy (2.2.22) gồm phơng trình

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

i j j i ij

x u x u

ε (4.6.1)

b) Phơng trình liên tục khối lợng (4.1.3) gồm phơng tr×nh

0 = ∂ ∂ +

i i

x v dt

dρ ρ

(4.6.2)

c) Ph−ơng trình cân hay chuyển động Navier – Cauchy (3.4.2) gồm ph−ơng trình

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ = + ∂ ∂

2

0

dt u d F

x

i i

j

ji ρ

(4.6.3)

d) Phơng trình lợng (4.4.9) gồm phơng trình

i i ij

ij

x c b

e dt

du

∂ ∂ − + =

ρ σ

ρ

1

(4.6.4)

e) Phơng trình truyền nhiệt Fourier (4.4.11) gồm phơng tr×nh

i i

x T k c

∂ ∂

= (4.6.5)

trong lực thể tích Fi vμ số xạ nhiệt b ó bit Cỏc phng trỡnh ny

đợc viết theo biến Euler hình thái biến dạng

Nh− vậy, ta có 14 ph−ơng trình chứa 22 ẩn số bao gồm: mật độ ρ; ba thμnh phần vận tốc vi thân chuyển vị ui ; sáu thμnh phần ứng suất độc lập σij ; sáu

thμnh phần biến dạng độc lập εij ; ba thμnh phần véc tơ dòng nhiệt ci ; nội

riêng u; mật độ entrôpi s; nhiệt độ tuyệt đối T

Ngoμi ra, cần thiết ta cịn phải kiểm tra tính thuận nghịch q trình nhiệt động theo bất đẳng thức Clausius – Duhem (4.5.10)

0

1 ≥

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ + −

T c x b

dt

ds i

i

Dấu điều kiện lấy với trình thuận nghịch, dấu bất đẳng thức lấy với q trình khơng thuận nghịch

§Ĩ lËp thnh hệ kín ta cần thêm phơng trình bổ sung chia lμm nhãm:

- Nhóm thứ lμ ph−ơng trình lấy từ kết lý thuyết nhiệt động học gọi lμ ph−ơng trình trạng thái nhiệt động lực

- Nhóm thứ hai lμ ph−ơng trình đặc tr−ng tính chất vật lý loại môi tr−ờng liên tục hay cịn gọi lμ ph−ơng trình xác định liên hệ thμnh phần độc lập ten xơ ứng suất vμ thμnh phần độc lập ten xơ biến dạng Tr−ờng hợp mơi tr−ờng tính đến t−ợng (quá trình đẳng nhiệt hay đoạn nhiệt) ph−ơng trình sở lμ (4.6.1) – (4.6.3) có 10 ph−ơng trình chứa 16 ẩn gồm mật độ ρ; ba thμnh phần vận tốc vi thân chuyển vị ui ; sáu

thμnh phần ứng suất độc lập σij ; sáu thμnh phần biến dạng độc lập εij Sáu ph−ơng trình cịn lại lμ ph−ơng trình xác định Trong nhiều tr−ờng hợp cụ thể khác số ph−ơng trình giảm nhiều nh− bμi toán tĩnh tham số trạng thái không phụ thuộc thời gian

4.6.2 Ph−ơng trình xác định môi tr−ờng thuận nghịch

Đối với môi tr−ờng liên tục mμ trình nhiệt động lực xảy lμ thuận nghịch (chẳng hạn mơi tr−ờng đμn hồi), từ ph−ơng trình l−ợng (4.6.4) vμ ph−ơng trình cân entrơpi (4.6.6) suy

Tds dq dq d

du= ij ij + ; =

1σ ε

ρ

hay lμ

Tds d

du= σij εij +

ρ

1

(4.6.7)

Nh− vậy, bốn tham số trạng thái σij , εij , T, s có hai tham số độc lập:

a) Chọn tham số độc lập lμ εij vμ s lμm tham số xác định trạng thái mơi tr−ờng, đó l−ợng riêng u lμ hμm biến dạng εij vμ entrôpi s tức lμ

( )s u

u= εij, , từ

ds ds

u d

u

du ij

ij

∂ + ∂

∂

= ε

ε (4.6.8)

Mặt khác, tính đối xứng εij nên hμm l−ợng riêng u phải thoả

ji ij

u u

ε

ε ∂

∂ = ∂

∂

So s¸nh (4.6.7) vμ (4.6.8) vμ chó ý r»ng hμm σij vμ T kh«ng phơ thc hiĨn vμo dij v ds, ta nhận đợc

s u T u

ij ij

∂ ∂ = ∂

∂

= ;

1

ε σ ρ hay lμ

s u T u u

ji ij ij

∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂

= ;

2

(4.6.9)

Nh vậy, lợng u l ten xơ ứng suất

b) Chọn tham số độc lập lμ εij vμ T lμm tham số xác định trạng thái môi tr−ờng, lập hμm số nhiệt động lực f(εij,T)=u−sT gọi lμ l−ợng tự Helmholtz Sau số biến đổi ta thu đ−ợc

T f s f

ij

ij ∂

∂ − = ∂

∂

= ;

1

ε σ

(4.6.10)

Nh vậy, lợng tự Helmholtz f lμ thÕ cđa ten x¬ øng st

c) Chọn tham số độc lập lμ σij vμ T lμm tham số xác định trạng thái môi tr−ờng, lập

hμm số nhiệt động lực Z(σij T) u sT ρσijεij

1

, = − − gọi lμ nhiệt động Gibbs Sau số biến đổi ta thu đ−ợc

T Z s

Z

ij ij

∂ ∂ − = ∂

∂ −

= ;

1

σ ε

ρ (4.6.11)

Nh− vậy, hμm nhiệt động Gibbs Z lμ ten xơ biến dạng d) Nếu trình lμ đoạn nhiệt dq=0 từ (4.6.7) rút

ij ijd

du σ ε

ρ

1

= (4.6.12)

§iỊu nμy cã nghÜa σijdεij

ρ

1

lμ vi phân toμn phần Khi hμm u gọi lμ công

ij ij

d u

du ε

ε ∂

∂ = suy

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂ = ∂

∂ =

ji ij ij

ij

u u u

ε ε ε

σ

ρ

1

(4.6.13)

d) Nếu trình lμ đẳng nhiệt T=const ds lμ vi phân toμn phần nên dq vμ nh− du lμ vi phân toμn phần, từ suy σijdεij

ρ

1

l vi phân ton phần

Lập luận tơng tự, ta lại nhận đợc hệ thức (4.6.13)

e) Khi trình biến dạng lμ đoạn nhiệt hay đẳng nhiệt, xét hμm số

u u = ρσijεij −

1

*

(4.6.14)

C«ng thøc (4.6.12) cã d¹ng

ij ij ij

ij ij

ijd d d

du ε σ

ρ ε σ ρ ε

σ ρ

1

1

− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ = =

với u lμ vi phân toμn phần q trình nμy Từ suy

ij ij ij

ij d

u

d ε σ

ρ ε

σ ρ

1

1 =−

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − hay lμ

ij ij

u

σ ε ρ ∂

∂

= *

1

(4.6.15)

Do hμm số u* xác định theo (4.6.14) lμ ten xơ biến dạng

Các hệ thức (4.6.9), (4.6.10), (4.6.11), (4.6.13), (4.6.15) gọi lμ ph−ơng trình xác định, tuỳ thuộc vμo việc cho tr−ớc hμm trạng thỏi no

4.6.3 Đặc điểm chất rắn

khơng có khác biệt (hệ thức (2.2.21)) Trong học vật rắn biến dạng, ta dùng một hệ tọa độ Descartes chung vμ ký hiệu lμ xi

Hệ ph−ơng trình học vật rắn biến dạng lμ ph−ơng trình chung (4.6.1) ,(4.6.3) – (4.6.6), ph−ơng trình bổ sung lμ sáu ph−ơng trình trạng thái quan hệ ứng suất vμ biến dạng hay tốc độ biến dạng Trong phần lớn lý thuyết vật rắn biến dạng, ảnh h−ởng vμ nhiệt xét riêng biệt theo nguyên lý cộng tác dụng

Chơng

lý thuyết đn hồi tuyến tính

5.1 Định luật Hooke tổng qu¸t

5.1.1 Vật thể đμn hồi lý t−ởng, khơng vμ bất đẳng h−ớng

ứng suất xuất vật thể lμ biến dạng lμm thay đổi xếp phần tử vật chất Nếu lực ngoμi tác dụng lên vật thể thay đổi, biến dạng điểm thay đổi vμ nh− ứng suất thay đổi Từ suy phải tồn liên hệ nμo ứng suất vμ biến dạng Nói chung, ch−a có sở nμo để khẳng định phụ thuộc lμ đơn trị Trạng thái ứng suất điểm thời điểm nμo phụ thuộc vμo trạng thái biến dạng, mμ phụ thuộc vμo lịch sử trình biến dạng Vì tr−ờng hợp tổng quát, ta có liên hệ phiếm hμm ứng suất vμ biến dạng

Trong trình biến dạng, có tr−ờng hợp cất tải ngoμi, vật thể trở trạng thái ban đầu với hoμn lại công lực ngoμi tiêu hao cho biến dạng, tức lμ trình biến dạng thuận nghịch Vật thể có tính chất nh− gọi lμ vật thể đμn hồi lý t−ởng Thực tế khơng có vật thể đμn hồi lý t−ởng, nh−ng với biến dạng bé, ta coi vật thể lμ đμn hồi Việc tính tốn kết cấu vμ cơng trình dựa khái niệm đμn hồi cho kết phù hợp với thực nghiệm Mặt khác, có tr−ờng hợp cất tải ngoμi, vật thể biến dạng d−, hay biến dạng dẻo tức lμ biến dạng không thuận nghịch Trong phần nμy, ta nghiên cứu vật thể có biến dạng bé thuận nghịch Tính chất thuận nghịch q trình biến dạng vật thể đμn hồi lý t−ởng cho ta khẳng định trạng thái ứng suất vμ trạng thái biến dạng có t−ơng ứng – một, thμnh phần ứng suất lμ hμm số (không phải phiếm hμm) thμnh phần ten xơ biến dạng vμ ng−ợc lại

Vật thể đμn hồi đ−ợc gọi lμ (hay đồng nhất) nh− tính chất đμn hồi nh− điểm, ng−ợc lại lμ vật thể không

Ta cịn chia mơi tr−ờng đμn hồi đẳng h−ớng vμ bất đẳng h−ớng Môi tr−ờng lμ đμn hồi đẳng h−ớng nh− tính chất đμn hồi nh− h−ớng không gian Do điều kiện chế tạo vμ biện pháp gia công học lμm cho môi tr−ờng chừng mực nμo khơng vμ khơng đẳng h−ớng, ta có mơi tr−ờng gần vμ gần đẳng h−ớng

Lực ngoμi tác dụng gây biến dạng vật thể Nó sinh công lμm thay đổi động năng, nội vμ nhiệt l−ợng vật thể Theo quy luật nhiệt động lực học, ta thấy trình biến dạng lμ đẳng nhiệt hay đoạn nhiệt không đoạn nhiệt, nh−ng lμ trình nhiệt động thuận nghịch, lực Thế của vật thể đμn hồi gọi lμ đμn hồi Trong trình biến dạng, vật thể tích lũy l−ợng đμn hồi, lực ngoμi triệt tiêu nhờ l−ợng biến dạng nμy mμ vật thể trở lại trạng thái ban đầu, đμn hồi ln xác định d−ơng

Khi theo hệ thức (4.6.12), phân tố cơng lực

ij ijd

du σ ε

ρ

1 =

lμ vi phân toμn phần hμm số liên tục, đơn trị, xác định d−ơng Hμm nμy phụ thuộc trạng thái biến dạng thời điểm xét vμ đại l−ợng đặc tr−ng cho vật thể ch−a biến dạng u=u( )εij Hμm u đ−ợc gọi lμ đμn hồi đơn vị khối l−ợng Đối với toμn vật thể, ta có

∫

∫ =

=

V V

udV d

dudV

dU ρ ρ

Khơng tính đến số tích phân, ta thu đ−ợc

∫

=

V

udV

U ρ (5.1.1)

Hμm U đợc gọi l đn hồi ton phần vật thể biến dạng Mặt khác từ hệ thức (4.6.13), ta cã

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂ =

ji ij ij

u u

ε ε ρ σ

2

(5.1.2)

§−a vμo hμm sè

u

W =ρ0 (5.1.3)

gọi lμ đμn hồi đơn vị thể tích vật thể ch−a biến dạng W lμ hμm số xác định d−ơng

Giả thiết vật thể có mật độ vật chất khơng đổi ρ = ρ0 =const vμ có biến dạng bé nên liên hệ (5.1.2) có dạng

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

ji ij ij

W W

ε ε σ

2

(5.1.4)

XÐt hμm sè

* *

u

W =ρ (5.1.5)

với hμm số u* xác định theo (4.6.14)

u u = σijεij −

ρ

1

*

Sử dụng giả thiết vật thể có mật độ vật chất khơng đổi ρ=ρ0 vμ có biến dạng bé nên từ hệ thức (4.6.15), ta có hệ thức

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

ji ij

ij

W W

σ σ

ε * *

2

(5.1.6)

C«ng thøc (5.1.6) gäi l công thức Castigliano v hm W* đợc gọi l c«ng bï

Cơng thức Green (hay cơng thức Castigliano) cho phép xác định thμnh phần ứng suất (hay biến dạng) qua thμnh phần biến dạng (hay ứng suất), lμ biểu thức tổng quát vật thể đμn hồi lý t−ởng (tuyến tính, phi tuyến), không vμ bất đẳng h−ớng

5.1.3 Định luật Hooke cho vật thể đμn hồi tuyến tính, vμ bất đẳng h−ớng

Định luật Hooke biểu thị quy luật chung thμnh phần ten xơ ứng suất vμ thμnh phần ten xơ biến dạng môi tr−ờng đμn hồi tuyến tính, bất đẳng h−ớng vμ khơng tổng quát Khi thμnh phần ứng suất σij lμ hμm tuyến tính thμnh phần biến dạng εij

Từ hệ thức (5.1.4), ta suy hμm đμn hồi đơn vị thể tích W, xác định theo hệ thức (5.1.3), có dạng

kl ij ijkl ij

ij b

a W

W ε ε ε

2

0 + +

= (5.1.7)

víi W lμ bÊt biÕn t thc vμo tõng m«i tr−êng Trong biĨu thøc (5.1.7), W0 lμ h»ng

số, ten xơ aij vμ bijkl lμ hμm tọa độ điểm, thoả mãn điều kiện đối xứng

ijlk jilk jikl klij ijkl

ji ij

b b b b b

a a

= = = =

=

(5.1.8)

D−ới ta xét môi tr−ờng nhất, ten xơ aij , bijkl lμ số môi tr−ờng Đặt (5.1.7) vμo công thức Green (5.1.4), suy

kl ijkl ij

ij a b ε

T¹i trạng thái ban đầu (trạng thái tự nhiên), môi trờng đn hồi biến dạng v ứng suÊt, tøc lμ t¹i εij =0 ta cã W =0;σij =0 Tõ (5.1.9) suy W0=0 vμ

aij=0, v× vËy

kl ij ijkl

b

W ε ε

2

= (5.1.10)

vμ

kl ijkl ij b ε

σ = (5.1.11)

Do tính chất đối xứng (5.1.8), ten xơ hạng bốn bijkl (gồm 3

4=81 thμnh phÇn) chØ cßn

21 thμnh phần độc lập Số l−ợng hệ số đμn hồi tồn môi tr−ờng thực bất đẳng h−ớng có tính chất đμn hồi hoμn toμn khác theo h−ớng khác không gian

Các hệ thức (5.1.10) vμ (5.1.11) rằng, lý thuyết đμn hồi tuyến tính, thμnh phần ten xơ ứng suất liên hệ tuyến tính với thμnh phần ten xơ biến dạng bé vμ hμm đμn hồi W lμ hμm đẳng cấp bậc hai thμnh phần biến dạng

Hệ thức (5.1.11) thể định luật Hooke tổng qt cho mơi tr−ờng đμn hồi tuyến tính, vμ bất đẳng h−ớng Hệ thức nμy viết d−ới dạng ma trận

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

31 23 12 33 22 11

66 56 55

46 45 44

36 35 34 33

26 25 24 23 22

16 15 14 13 12 11

31 23 12 33 22 11

ε ε ε ε ε ε

σ σ σ σ σ σ

h h h

h h h

h h h h

h h h h h

h h h h h h

(5.1.12)

vμ ta viết nửa đ−ờng chéo đối xứng (hij=hji ; i,j=1,6) Từ hai hệ thức (5.1.10) vμ (5.1.11), ta nhận đ−ợc công thức Clapeyron

ij ij

W =σ ε

2 (5.1.13)

đồng thời, đμn hồi W lμ hμm xác định d−ơng

Hệ thức định luật Hooke giải ng−ợc lại thμnh phần ten xơ biến dạng, thμnh phần nμy lμ hμm tuyến tính thμnh phần ten xơ ứng suất

kl ijkl ij b σ

ε = ′ (5.1.14)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ji ij ij ij W W W σ σ σ ε (5.1.15)

5.1.4 Định luật Hooke cho vật thể đμn hồi tuyến tính, vμ có cấu trúc đối xứng

Nếu cấu trúc thân vật liệu có mặt hay trục đối xứng số hằng số đμn hồi 21:

a) Giả thiết cấu tạo tự nhiên vật liệu có mặt phẳng đối xứng đμn hồi, ta chọn mặt phẳng lμ mặt phẳng (x1 , x2) Khi ta dùng phép biến đổi

3 2

1 x ;x x ;x x

x′= ′ = ′ =− có thμnh phần chuyển vị u3 thay đổi dấu

3 2

1 u ;u u ;u u

u′= ′ = ′ =− cịn thμnh phần biến dạng khác khơng thay đổi dấu trừ ε13′ =−ε13 ;ε′23 =−ε23 Do tính chất bất biến đμn hồi nên số hạng

của W chứa thμnh phần biến dạng ε13 , ε23 dạng bậc phải triệt tiêu, tức lμ h15 =h16 =h25 =h26 =h35 =h36 =h45 =h46 =0 Vì vậy, số số đμn hồi độc lập cịn lμ 13 vμ định luật Hooke có dạng

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 31 23 12 33 22 11 66 56 55 44 34 33 24 23 22 14 13 12 11 31 23 12 33 22 11 0 0 0 0 ε ε ε ε ε ε σ σ σ σ σ σ h h h h h h h h h h h h h (5.1.16)

Mơ hình nμy đ−ợc sử dụng cho tấm, vỏ với mặt đối xứng lμ mặt trung bình b) Giả thiết cấu tạo tự nhiên vật liệu có ba mặt phẳng đối xứng đμn hồi vng

góc lẫn Khi ta chọn mặt phẳng nμy lμ mặt phẳng tọa độ vμ phép biến đổi trục tọa độ t−ơng tự nh− trên, ta có thêm số hạng biểu thức đμn hồi W chứa thμnh phần biến dạng ε13 , ε23 , ε12 dạng

bậc phải triệt tiêu, tức lμ h14 =h24 =h34 =h56 =0 Vì vậy, số số đμn hồi độc lập lμ vμ định luật Hooke có dạng

Vật thể có ba mặt phẳng đối xứng đμn hồi nh− gọi lμ vật thể trực h−ớng Các vật thể trực h−ớng th−ờng gặp kỹ thuật lμ gỗ, bê tơng cốt thép có bố trí cốt thép khơng đồng theo hai ph−ơng, sμn có hệ dầm trục giao, vật liệu l−ợn sóng, Đặc điểm quan trọng ph−ơng trình xác định vật thể trực h−ớng lμ ứng suất pháp liên quan đến biến dạng dμi, ứng suất tiếp liên quan đến biến dạng góc

c) Vật liệu trực h−ớng có tính chất nh− theo ba ph−ơng đ−ợc gọi lμ vật liệu đối xứng lập ph−ơng Khi biểu thức đμn hồi khơng đổi ta thay trục x1 cho trục x2 , hay trục x2 cho trục x3 , hay trục x1 cho trục x3 Điều nghĩa

lμ biểu thức đμn hồi không đổi thay lẫn cho thμnh phần biến dạng ε11 ;ε22 ;ε33 hay ε12 ;ε23 ;ε31, từ ta suy hệ số chứa thμnh phần biến dạng nμy phải h11 =h22 =h33;h12 =h13 =h23 ;h44 =h55 =h66 Vì

vậy, số số đμn hồi độc lập cịn lμ vμ định luật Hooke có dạng

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

31 23 12 33 22 11

44 44 44 11 12 11

12 12 11

31 23 12 33 22 11

0 0

0 0

0 0

0 0

ε ε ε ε ε ε

σ σ σ σ σ σ

h h h h h h

h h h

(5.1.18)

d) Vật thể đẳng h−ớng lμ vật thể có tính chất đối xứng hoμn toμn, mặt phẳng nμo lμ mặt phẳng đối xứng, tính chất vật thể nh− theo ph−ơng Khi quay hệ trục tọa độ góc bất kỳ, số đμn hồi khơng đổi, từ ta có thêm h44 =h11−h12

Ký hiệu h12 =λ;h44 =2μ , số đμn hồi λ vμ μ gọi lμ số Lamé Vì vậy, số số đμn hồi độc lập lμ vμ định luật Hooke có dạng

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ +

+ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

31 23 12 33 22 11

31 23 12 33 22 11

2 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0 0

0 0

ε ε ε ε ε ε

μ μ μ μ λ λ λ

λ μ λ λ

λ λ

μ λ

σ σ σ σ σ σ

(5.1.19)

5.2 Định luật Hooke cho vật thể đμn hồi tuyến tính, vμ đẳng h−ớng

5.2.1 Định luật Hooke cho vật thể đμn hồi tuyến tính, vμ đẳng h−ớng

Từ (5.1.19), ta viết lại định luật Hooke cho vật thể đμn hồi tuyến tính, vμ đẳng h−ớng d−ới dạng

ij ij

ij με λθδ

σ = + (5.2.1)

trong δij lμ ký hiệu Kronecker (1.3.3), θ lμ biến dạng thể tích tỷ đối vμ lμ bất

biÕn thø nhÊt cña ten xơ biến dạng

( )ij tb

I ε ε ε ε ε

θ = 1 = 11+ 22+ 33 =3 (5.2.2)

còn εtb lμ độ dãn trung bình ten xơ biến dạng

Khai triển (5.2.1) theo số ta có sáu ph−ơng trình độc lập

31 31

33 33

23 23

22 22

12 12

11 11

2 ;

2

2 ;

2

2 ;

2

με σ

λθ με

σ

με σ

λθ με

σ

με σ

λθ με σ

= +

=

= +

=

= +

=

Hệ thức (5.2.1) lμ hệ thức ten xơ nên tồn hệ tọa độ Descartes vng góc nμy tồn hệ tọa độ Descartes vng góc khác có đ−ợc phép biến đổi trực giao D−ới dạng ma trận, hệ thức (5.2.1) có dạng

( ) ( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + +

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

1 0

0

0

2 11 22 33

33 32 31

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

ε ε ε λ ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε μ σ

σ σ

σ σ σ

σ σ σ

σij (5.2.3)

Từ hệ thức (5.2.1), ta thấy trục x1 , x2 , x3 lμ trục ten xơ biến dạng từ ε12 =ε23 =ε31 =0 suy σ12 =σ23 =σ31 =0 Do vật thể đμn hồi tuyến tính, vμ đẳng h−ớng, ph−ơng ten xơ biến dạng trùng với ph−ơng ten xơ ứng suất Cauchy lấy hệ nμy lμm định nghĩa tính chất đẳng h−ớng vật thể đμn hồi

Biểu thức (5.1.7) đμn hồi W cho vật liệu đμn hồi tuyến tính, vμ đẳng h−ớng chứa bất biến ten xơ biến dạng bé

( )[I ( )ij ] I ( )ij

W λ 2μ 1 ε 4μ 2 ε

2 = + − (5.2.4)

Đối với vật thể đẳng h−ớng chịu kéo dọc trục x1 , trạng thái ứng suất điểm lμ

trạng thái ứng suất đơn

0 ;

0 22 33 12 23 31

11 ≠ σ =σ =σ =σ =σ =

σ (5.2.5)

v trạng thái biến dạng tơng ứng l

0 ;

; 11 12 23 31

33 22 11

11= = =− ε =ε =ε =

σ ν ε ε σ ε

E

E (5.2.6)

trong E lμ mơđun đμn hồi kéo, nén hay môđun đμn hồi Young, ν lμ hệ số nở

ngang Poisson Các số đμn hồi E, ν đ−ợc xác định từ thí nghiệm kéo hay nén

đơn giản mẫu vật liệu Đặt hệ thức (5.2.5) vμo (5.2.1) ta có

;

;

2με11+λθ =σ11 με22+λθ = 22+ = (5.2.7) Cộng theo vế ba phơng trình trên, ta cã

11

2

1 σ

μ λ θ

+ =

thay gi¸ trị tìm đợc vo phơng trình thứ (5.2.7) v với phơng trình thứ (5.2.6) ta rót

( )

11 11

11

2

3 ε ε

μ λ

μ λ μ

σ =E

+ + =

Từ

( )

μ λ

μ λ μ

+ +

=

E (5.2.8)

Mặt khác, từ hai phơng tr×nh sau cđa (5.2.7), ta cã

( ) 11

33 22

2

2 μ λ μ σ

λ θ

μ λ ε

ε

+ −

= −

= =

So sánh với phơng trình thứ hai (5.2.6), ta suy

(λ μ)

λ ν

+ =

2 (5.2.9)

Từ (5.2.8) vμ (5.2.9), giải ng−ợc lại λ, μ ta thu đ−ợc

( ν)( ν) μ ( ν)

ν λ

+ = −

+ =

1 ; 1

E E

(5.2.10)

Do đμn hồi W xác định d−ơng nên λ, μ lμ số d−ơng vμ E>0 nên suy

1

0 ;

0 11 22 33 23 31

12 ≠ σ =σ =σ =σ =σ =

(5.2.11)

v trạng thái biến dạng tơng øng lμ

0 ;

2 11 22 33 23 31

12

12 = ε =ε =ε =ε =ε =

σ ε

G (5.2.12)

trong G lμ mơđun đμn hồi tr−ợt So sánh với (5.2.1), ta suy

μ

=

G (5.2.13)

Ký hiÖu

( )ij tb

I

S = 1σ =σ11+σ22 +σ33 =3σ (5.2.14) lμ hμm tỉng øng st vμ cịng lμ bÊt biÕn thø nhÊt cđa ten x¬ øng st; σtb lμ ứng

suất pháp trung bình ten xơ ứng suÊt Tõ (5.2.1), suy

( )

K S K E

tb tb tb

3

1

3 = − = =

= ε ν σ σ

θ (5.2.15)

H»ng sè

( ν) λ 3μ

2

1

3 − = +

= E

K (5.2.16)

gọi l môđun biến dạng thể tích

Đến đây, ta thấy số sáu số đμn hồi λ, μ, E, ν, G, K có hai số độc lập Nếu lấy đôi lμm số độc lập số khác đ−ợc biểu diễn qua đôi số nμy

5.2.3 Các dạng khác định luật Hooke

Từ định luật Hooke (5.2.1), ta biểu diễn thμnh phần biến dạng qua thμnh phần ứng suất nh− sau

ij ij

ij S

E

E δ

ν σ ν

ε =1+ − (5.2.17)

víi S lμ hμm tỉng øng st (5.2.14) cßn δij lμ ký hiÖu Kronecker

Khai triển (5.2.7) theo số ta có sáu ph−ơng trình độc lập

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ 33 11 22 ] 31 31

33

23 23

11 33 22

22

12 12

33 22 11

11

1 ;

1

1 ;

1

1 ;

1

σ ν ε

σ σ ν σ ε

σ ν ε

σ σ ν σ ε

σ ν ε

σ σ ν σ ε

E E

E E

E E

+ = +

− =

+ = +

− =

+ = +

D−íi d¹ng ma trËn, hƯ thøc (5.2.17) cã d¹ng

( ) ( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

1 0

0

0 1

33 22 11 33

32 31

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

σ σ σ ν σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ ν ε

ε ε

ε ε ε

ε ε ε ε

E E

ij (5.2.18)

Mặt khác, từ (5.2.15) ta có

( ) tb

tb tb

E ε λ μ ε

ν

σ

2

1− = +

= LËp ten x¬ míi

( ) tb ij

ij

tbδ λ μ ε δ

σ = +2

sau trừ hai vế hệ thức (5.2.1) cho ten xơ nμy ta thu đ−ợc

( ij tb ij)

ij tb

ij σ δ μ ε ε δ

σ − =2 − hay lμ

D ij D

ij με

σ =2 (5.2.19)

víi D ij

σ lμ ten x¬ lƯch øng suÊt (3.6.2) vμ D ij

ε lμ ten x¬ lƯch biÕn d¹ng (2.3.10)

Đặt biểu thức (5.2.19) vμo biểu thức c−ờng độ ứng suất (3.6.9) vμ biểu thức c−ờng độ biến dạng (2.3.14), ta nhận đ−ợc liên hệ c−ờng độ ứng suất vμ c−ờng độ biến dạng

u

u με

σ =3 (5.2.20)

T−ơng tự ta nhận đ−ợc liên hệ c−ờng độ ứng suất tiếp vμ c−ờng độ biến dạng tr−ợt có dạng

Γ =μ

T (5.2.21)

Mặt khác từ (5.2.19), ta có

u u D ij u

D ij

u ε με

ε σ

σ

σ

3 =

KÕt hỵp víi (5.2.19), hƯ thøc (3.6.10) cđa ten x¬ chØ h−íng øng st vμ hƯ thøc (2.3.15) ten xơ hớng biến dạng, ta thu đợc

ij ij ε

σ = (5.2.22)

Nh− vậy, định luật Hooke (5.2.1) vật liệu đμn hồi, tuyến tính vμ đẳng h−ớng đặc tr−ng hệ thức (5.2.15), (5.2.20) vμ (5.2.22) thay cho biểu thức (5.2.1) hay biểu thức (5.2.17)

ij ij u u

tb

tb Kε σ με σ ε

σ =3 ; =3 ; =

HƯ thøc (5.2.22) thĨ hiƯn tÝnh chÊt vÐc tơ biến dạng đn hồi Các ten xơ hớng nghĩa l điểm vật thể biến dạng đn hồi, trục ten xơ ứng suất v trục ten xơ biến dạng trïng nhau, tû sè cđa øng st lƯch chÝnh b»ng tỷ số biến dạng lệch Nói cách khác, điểm vật thể biến dạng đn hồi, phân bố ứng suất lệch v biến dạng lệch trùng HƯ thøc (5.2.15) vμ hƯ thøc (5.2.20) thĨ hiƯn tính chất vô hớng biến dạng vật thể Hệ thøc (5.2.15) chØ r»ng biÕn d¹ng nÐn thĨ tÝch l đn hồi v tỷ lệ với áp suất thủy tÜnh HÖ thøc (5.2.20) cho ta thÊy hÖ sè tû lệ phần ứng suất lệch v biến dạng lệch không phụ thuộc vo dạng trạng thái ứng suất, tức l không phụ thuộc vo dạng lực ngoi

5.2.4 BiĨu thøc c«ng cđa néi lùc

Tõ biĨu thøc thÕ ®μn håi (5.2.4), sư dơng hƯ thøc (2.3.11) ta cã

( )[ ( )] ( ) ( )[ ( )] ( ) [ ( )]

( )

[ ] [ ( )] 2

2

1

2

2

2

4

2

3

2

2

Γ + = −

+ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + =

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ +

− +

= −

+ =

μ θ ε

μ ε

μ λ

ε ε

μ ε

μ λ ε μ ε

μ λ

K I

I

I I

I I

I W

D ij ij

ij D

ij ij

ij ij

trong θ lμ biến dạng thể tích, Γ lμ c−ờng độ biến dạng tr−ợt Từ

( )( ) ( )( 2 3 1)

2 2 2

3

2

1

1

2

1

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ν ε

ε ε ν

μ θ

θ

− − − + + +

+ + + −

=

Γ + =

+ =

E E

K W

W

W D

(5.2.23)

trong Wθ lμ l−ợng biến dạng thể tích vμ WD lμ l−ợng lμm thay đổi hình dáng vật thể Sử dụng (5.2.15) vμ (5.2.21), đμn hồi W biểu diễn qua ứng suất trung bình σtb vμ c−ờng độ ứng suất tiếp T d−ới dạng

( ) ( 2 3 1)

2 2 2

3

2

3

2

2

1

σ σ σ σ σ σ σ σ σ ν σ

σ σ ν

μ σ

θ

− −

− + + +

+ + + −

=

+ =

+ =

E E

T K

W W

W D tb

(5.2.24)

( )

10

2

2

2

1

−

× ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

− −

− =

ij ε

với E=2.104 kN/cm2, ν=0.25 Xác định thμnh phần ten xơ ứng suất Giải: Xác định số Lamé λ, μ theo (5.2.10)

( )( ) ( )( )

( ) ( )

4

2 4

10 25

10

2

10 25 25

10 25

1

cm kN E

cm kN E

× = +

= + =

× = ×

− +

× =

− + =

ν μ

ν ν

ν λ

Xác định biến dạng thể tích θ theo hệ thức (5.2.2)

( ) ( ) 4 33

22 11

1 1 410 10

−

− = ×

+ + = + + =

= ε ε ε ε

θ I ij

Theo định luật Hooke (5.2.1), ta có

( )

2

4

4

2000 11 2627 2627

2627 4000 8000

2627 8000 4000

1 0

0

0 10 10 10

2

2

2

10

cm kN

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

− −

− =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × × × + × ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

− −

− ×

× ×

= − −

σ

Sau có ten xơ ứng suất, ta xác định đ−ợc ứng suất mặt cắt nghiêng, ứng suất chính, ph−ơng chính, ứng suất tiếp chính, nh− lμm ch−ơng Cần l−u ý vật thể đμn hồi, tuyến tính, vμ đẳng h−ớng ph−ơng ten xơ ứng suất ln ln trùng với ph−ơng ten xơ biến dạng

Ví dụ 5.2.2: Cho ten xơ ứng suất ®iĨm cđa vËt thĨ ®μn håi tun tÝnh

( )

6 0

0

0

cm kN

ij

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

σ

với E=2.104 kN/cm2, ν=0.25 Xác định thμnh phần ten xơ biến dạng Giải: Xác định hμm tổng ứng suất S theo hệ thức (5.2.14)

( ) 33

22 11

1 12kN/cm

I

S = σij =σ +σ +σ = + + =

( ) 4 10 250 0 250 875 875 000 1 0 0 12 10 25 0 3 10 25

1 × −

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × × − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × + = ij ε

Sau có ten xơ biến dạng, ta xác định đ−ợc biến dạng dμi theo ph−ơng bất kỳ, biến dạng chính, ph−ơng chính, ten xơ lệch biến dạng, nh− lμm ch−ơng

5.3 cách đặt bμi toán lý thuyết đμn hồi tuyến tính, vμ đẳng h−ớng

Cho vật thể đμn hồi tuyến tính, nhất, đẳng h−ớng có mật độ vật chất ρ, thể tích V, giới hạn mặt biên S, chịu ngoại lực Fr(F1,F2,F3) phân bố thể tích, ngoại lực P(P1,P2,P3)

r

phân bố phần diện tích bề mặt S1 , chịu

chuyển vị cỡng phần diện tích bề mặt S2

Bμi toán tổng quát lý thuyết đμn hồi dẫn tới việc xác định tr−ờng ứng suất, chuyển vị vμ biến dạng phát sinh vật thể Nếu gia tốc chuyển động khơng ta có bμi toán tĩnh Ng−ợc lại, bμi toán động lực ta phải thêm lực quán tính vμo ph−ơng trỡnh liờn quan

5.3.1 Các phơng trình

5.3.1.1 Phơng trình hình học Cauchy liên hệ biến dạng bé v chuyển vị theo công thức (2.2.20)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = k l l k kl x u x u

ε (5.3.1)

Khai triển theo số ta có sáu ph−ơng trình độc lập

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = 1 31 3 33 3 23 2 22 2 12 1 11 ; ; ; x u x u x u x u x u x u x u x u x u

Các thnh phần biến dạng phải thỏa mÃn sáu phơng trình tơng thích biến dạng Saint Venant theo công thức (2.4.5)

với sáu cặp số ijkl lμ: 1122, 2233, 3311, 1213, 2123, 3132 Khai triển theo số ta có sáu ph−ơng trình độc lập

2 33 12 31 23 3 31 2 11 2 33 11 23 12 31 23 2 33 2 22 22 2 31 23 12 2 12 2 22 2 11 ; ; ; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

5.3.1.2 Ph−ơng trình cân hay chuyển động Navier – Cauchy xác định theo công thức (3.3.3) hay (3.3.7)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + ∂ ∂ 2 t u F x i i j ji ρ σ (5.3.3)

Khai triển theo số ta có ba ph−ơng trình độc lập

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 33 23 13 2 2 32 22 12 2 31 21 11 0 t u F x x x t u F x x x t u F x x x ρ σ σ σ ρ σ σ σ ρ σ σ σ

5.3.1.3 Định luật Hooke tổng quát cho vật liệu đμn hồi tuyến tính, vμ đẳng h−ớng với hai số đμn hồi độc lập thể dạng khác nhau:

a) Biểu thức ứng suất theo biến dạng theo công thøc (5.2.1)

ij ij

ij με λθδ

σ = + (5.3.4)

trong λ, μ lμ số Lamé, θ lμ biến dạng thể tích tỷ đối Khai triển theo số ta có sáu ph−ơng trình độc lập

31 31 33 33 23 23 22 22 12 12 11 11 ; 2 ; 2 ; με σ λθ με σ με σ λθ με σ με σ λθ με σ = + = = + = = + =

b) BiĨu thøc cđa biÕn d¹ng theo øng suÊt theo c«ng thøc (5.2.17)

ij ij ij S E E δ ν σ ν

trong E lμ mơđun đμn hồi kéo hay nén, ν lμ hệ số nở ngang Poisson, S lμ hμm tổng ứng suất Khai triển theo số ta có sáu ph−ơng trình độc lập

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ 33 11 22 ] 31 31

33

23 23

11 33 22

22

12 12

33 22 11

11

1 ;

1

1 ;

1

1 ;

1

σ ν ε

σ σ ν σ ε

σ ν ε

σ σ ν σ ε

σ ν ε

σ σ ν σ ε

E E

E E

E E

+ = +

− =

+ = +

− =

+ = +

− =

c) Ngoμi ra, ta cịng cã thĨ sư dơng c¸c quan hƯ (5.2.15), (5.2.20) vμ (5.2.22) thay cho c¸c biĨu thøc (5.3.4) hay (5.3.5)

Hệ ph−ơng trình bμi tốn đμn hồi tuyến tính, nhất, đẳng h−ớng gồm 15 ph−ơng trình độc lập:

- ph−ơng trình (5.3.1) thể quan hệ biến dạng vμ chuyển vị - ph−ơng trình cân hay chuyển động (5.3.3)

- ph−ơng trình định luật Hooke (5.3.4) hay (5.3.5) thể quan hệ ứng suất vμ bin dng

Các ẩn số cần tìm gồm 15 hμm Èn: - thμnh phÇn cđa vÐc tơ chuyển vị ui

- thnh phn ca ten xơ biến dạng đối xứng εij

- thμnh phần ten xơ ứng suất đối xứng σij

Nh− vậy, bμi toán đμn hồi gồm 15 ph−ơng trình, 15 ẩn hμm lμ hệ khép kín đủ để giải Về mặt toán học, bμi toán đμn hồi thuộc lớp bμi toán biên nên giải bμi tốn, ta cần có thêm điều kiện biên Ngoμi ra, bμi toán động lực vμ tựa tĩnh, ta cần có thêm điều kiện ban đầu

5.3.2 Điều kiện biên

Trong lý thuyt đμn hồi tuyến tính, giả thiết mặt biến dạng vật thể khác với mặt khơng biến dạng ban đầu Khi bỏ qua vô bé bậc cao, ta coi điều kiện biên phải đ−ợc thỏa mãn mặt không biến dạng, tức lμ mặt ban đầu biết Các điều kiện biên lμ ba dạng sau:

a) Điều kiện biên theo ứng suất: Trên biên S1 vật thể cho biết tr−ớc lực mặt Pνi , ứng suất phải thỏa mãn điều kiện

i j jiν Pν

σ = (5.3.6)

3 33 23 13

2 32 22 12

1 31 21 11

ν ν ν

σ ν σ ν σ

σ ν σ ν σ

σ ν σ ν σ

P v

P v

P v

= +

+

= +

+

= +

+

b) Điều kiện biên theo chuyển vị: Trên biên S2 vật thể cho biết tr−ớc chuyển vị ui0 đạo hμm chuyển vị theo tọa độ xj Khi nghiệm chuyển vị bμi toán cần thỏa mãn điều kiện lμ phải chuyển vị cho tr−ớc biên S2

30

20

10

2

2

;

;u u u u

u u

S S

S = = = (5.3.7)

hoặc t−ơng ứng với đạo hμm chuyển vị cho tr−ớc theo tọa độ xj

c) Điều kiện biên hỗn hợp: Khi phần biên S1 vật thể cho bit trc cỏc

điều kiện biên theo ứng suất v phần biên S2 cho biết trớc điều kiện biên theo chuyển vị

5.3.3 Điều kiện ban ®Çu

Trong bμi tốn động lực vμ bμi tốn tựa tĩnh, đại l−ợng cần tìm phụ thuộc vμo biến không gian vμ thời gian, chẳng hạn chuyển vị ui(x1,x2,x3,t) Do ngoμi điều kiện biên, ta cần biết thêm điều kiện ban đầu lμ điều kiện thời điểm ban đầu t=t0 hay t=0 Ví dụ thời điểm ban đầu t=0, ta biết đ−ợc chuyển vị vμ đạo hμm chuyển vị theo thời gian

( ) ( ) ( ) ( 3)

* 3

2 *

1 , ,

, , , ;

, , ,

,

, v x x x

t t x x x u x x x u t

x x x

u i

t i

i t

i ∂ =

∂ =

=

= (5.3.8)

5.3.4 C¸ch chọn ẩn bi toán đn hồi

Bμi tốn đμn hồi gồm 15 ph−ơng trình với 15 ẩn hμm, ta cần chọn ẩn số bản tr−ớc, sau dùng hệ thức biết để tìm đại l−ợng cịn lại Tùy thuộc vμo yêu cầu, mức độ giải nh− cơng cụ tính tốn mμ có cách chọn ẩn sau đây:

a) Lấy ba thμnh phần chuyển vị chất điểm vật thể lμ ui(x1,x2,x3,t) lμm ẩn số Sau xác định đ−ợc chuyển vị, ta tính đ−ợc thμnh phần biến dạng theo ph−ơng trình Cauchy (5.3.1), tiếp đến xác định thμnh phần ứng suất theo định lut Hooke (5.3.4)

b) Lấy sáu thnh phần ứng suất chất điểm vật thể l ij(x1,x2,x3,t) lm ẩn số Do có ba phơng trình cân (5.3.3) cho sáu hm số ij

định thμnh phần biến dạng theo định luật Hooke Các chuyển vị tìm đ−ợc qua thμnh phần biến dạng nhờ ph−ơng trình Cauchy (5.3.1)

c) Ngoi hai cách giải trên, số bμi to¸n ta cịng cã thĨ sư dơng c¸ch chän ẩn hỗn hợp: phần ẩn l chuyển vị v phần ẩn l ứng suất

5.4 cách giải bi toán đn hồi theo chuyển vị phơng trình Lamé

Theo cỏch chn n lμ ba thμnh phần chuyển vị ui(x1,x2,x3,t) phần tử vật chất vật thể, ta cần thu gọn hệ 15 ph−ơng trình có 15 ẩn bμi tốn đμn hồi ph−ơng trình đạo hμm riêng hμm chuyển vị với điều kiện biên vμ điều kiện ban đầu tng ng

5.4.1 Các phơng trình Lamé

Sử dụng hệ thức Cauchy (5.3.1), thay thnh phần biến dạng ij biểu

thc ca chuyn vị vμo định luật Hooke (5.3.4), ta có

ij i

j j i ij

x u x

u λθδ

μ

σ ⎟⎟+

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

sau đặt vμo ph−ơng trình cân hay chuyển động (5.3.3), thu đ−ợc

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + ∂

∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

∂ + ∂ ∂

∂

2 2

0 t

u F

x x

x u x

x

u i

i j ij j

i j j

j

i λδ θ ρ (5.4.1)

Theo định nghĩa toán tử Laplace (1.2.3)

i j

j i j i

j i i j

j i

x x

u x x x

u u u x

x u

∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂

∂ = ∂ ∂

∂ Δ = ∇ = ∂ ∂

∂ θ

;

2

vμ

i j ij

x

x ∂

∂ = ∂

∂θ

nên phơng trình (5.4.1) đợc viết lại nh− sau

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + ∂ ∂ + +

Δ 22

t u F

x

u i

i i

i ρ

θ μ λ

μ (5.4.2)

( )

( )

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + ∂

∂ + + Δ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + ∂

∂ + + Δ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + ∂ ∂ + + Δ

2 3

3

2 2

2

2

1

0 0

t u F

x u

t u F

x u

t u F

x u

ρ θ

μ λ μ

ρ θ

μ λ μ

ρ θ

μ λ μ

Hệ ba ph−ơng trình (5.4.2) với ba ẩn hμm lμ ba chuyển vị ui(x1,x2,x3,t) dùng để giải bμi toán đμn hồi vμ đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình Lamé Hệ ph−ơng trình (5.4.2) lμ kết hợp điều kiện cân (5.3.3), hình học (5.3.1) vμ vật lý (5.3.4) bμi toán đμn hồi Sau xác định đ−ợc chuyển vị, ta tính đ−ợc thμnh phần biến dạng theo ph−ơng trình Cauchy (5.3.1), tiếp đến xác định thμnh phần ứng suất theo định luật Hooke (5.3.4)

Kết hợp định luật Hooke (5.3.4) vμ ph−ơng trình Cauchy (5.3.1), ta biểu diễn điều kiện biên theo ứng suất (5.3.6) qua thμnh phần chuyển vị

i j i j j i k

k j

ji P

x u x u x

u

ν

ν μ

λ ν

σ =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

= (5.4.3)

Ngoμi bμi toán động lực vμ bμi tốn tựa tĩnh, cịn phải kể đến điều kiện ban đầu có dạng (5.3.8)

5.4.2 Mét sè hƯ qu¶

Ta xét số hệ ph−ơng trình Lamé bμi tốn tĩnh khơng có lực thể tích hay lực thể tích Fi lμ số Lấy đạo hμm (5.4.2) theo biến xi

( ) ( ) ⎟⎟+( + )Δ =( +2 )Δ =0

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ Δ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂

∂ + + Δ ∂

∂ λ μ θ μ λ μ θ λ μ θ

μ

i i i

i i

i x

u x

x u

x

suy

0

2 2 2 2

= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ

x x x

θ θ θ

θ (5.4.4)

tøc lμ bμi to¸n tÜnh, kh«ng cã lùc thĨ tÝch hay lùc thĨ tÝch lμ số biến dạng thể tích l hm điều hòa Đồng thời, từ hệ thức (5.2.15) ta suy

0

2 2 2 2

= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ

x S x

S x

S

S (5.4.5)

Mặt khác, tác động toán tử Laplace Δ vμo ph−ơng trình (5.4.2) khơng có lực thể tích hay lực thể tích Fi lμ số

( ) ( ) ( ) ( )=0

∂ Δ ∂ + + Δ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ + + Δ Δ

i i

i i

x u

x

u λ μ θ μ λ μ θ

μ

Sư dơng (5.4.4), ta suy

0

2 2 2 2 2 2 2

2 =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂ =

Δ i i i i

i u

x u x

u x

u x

x x

u (5.4.6)

Nh− vËy, bμi to¸n tÜnh, kh«ng cã lùc thĨ tÝch hay lùc thĨ tích l số thì chuyển vị ui l hm điều hòa kép hay song điều hòa

Theo tính chất hμm song điều hịa, đạo hμm hμm song điều hòa lμ hμm song điều hịa Do thμnh phần ten xơ biến dạng lμ tổ hợp đạo hμm bậc chuyển vị lμ hμm song điều hòa Từ định luật Hooke, ta suy thμnh phần ten xơ ứng suất lμ hμm song điều hòa Nh−

0 ;

0 ;

0 2

2 = Δ = Δ =

Δui εij σij (5.4.7)

nghĩa lμ bμi tốn đμn hồi tĩnh, khơng có lực thể tích hay lực thể tích lμ hằng số thμnh phần chuyển vị ui , biến dạng εij , ứng suất σij lμ hμm

điều hòa kép hay song điều hòa Hệ nμy có ý nghĩa quan trọng, cho phép đoán nhận sơ dạng nghiệm bμi toán đμn hồi Tất nhiên lμ điều kiện cần, điều kiện đủ lμ chuyển vị, biến dạng vμ ứng suất phải thỏa mãn ph−ơng trình nh− ph−ơng trình (5.4.2) chuyển vị

5.5 cách giải bi toán đn hồi theo ứng suất phơng trình Beltrami Michell

Theo cỏch chn ẩn lμ sáu thμnh phần ứng suất σij(x1,x2,x3,t) chất điểm vật thể, ta cần thu gọn hệ 15 ph−ơng trình có 15 ẩn bμi tốn đμn hồi về ph−ơng trình đạo hμm riêng hμm ứng suất với điều kiện biên vμ điều kiện ban đầu t−ơng ứng

Theo định luật Hooke, thμnh phần biến dạng liên hệ tuyến tính với thμnh phần ứng suất Vì từ ph−ơng trình cân vμ ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng, ta suy đạo hμm bậc hai ứng suất có liên hệ với sáu ph−ơng trình đạo hμm riêng, lμ ph−ơng trình Beltrami – Michell Nh− vậy, cách chọn ẩn lμ ứng suất ph−ơng trình Saint Venant (5.3.2) giữ vai trị quan trọng Cũng nhờ ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng mμ chuyển vị đ−ợc xác định đơn trị vμ thơng qua việc tích phân phng trỡnh hỡnh hc Cauchy (5.3.1)

5.5.1 Các phơng tr×nh Beltrami – Michell

Xét bμi tốn tĩnh lý thuyết đμn hồi, ph−ơng trình cân hay chuyển động (5.3.3) có vế phải khụng

Thay biến dạng ứng suất vo phơng trình tơng thích biến dạng (5.3.2) đầu tiên, ta có

( )

[ ] [ ( )] ( )

2

12 11

33 22

2 33 22 11

2 2

1

x x x

x ∂ ∂

∂ + = + −

∂ ∂ + + −

∂

∂ σ ν σ σ σ ν σ σ ν σ

(5.5.1)

Lấy đạo hμm ph−ơng trình cân (5.3.3) thứ theo x1 , thứ hai theo x2 , thứ

ba theo x3 sau cộng hai ph−ơng trình vμ trừ ph−ơng trình thứ ba, ta

nhận đợc

⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

∂ −

3 2 1

3 33 2 22 2

11

2

12

2

x F x F x F x

x x

x x

σ σ

σ σ

Tr−ờng hợp khơng có lực thể tích lực thể tích có giá trị không đổi

2 33 2 22 2 11

2

12

2

x x

x x

x ∂

∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

∂

− σ σ σ σ (5.5.2)

Thay (5.5.2) vμo (5.5.1) råi thêm vo v bớt lợng 2

2 33 2 33

; x

x ∂

∂ ∂

∂ σ σ

, sau rút

gọn, ta đợc

(1 ) 33

2 2 2 2 2 33 33

2 2 2

= Δ + − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ − Δ − ∂ ∂ + ∂

∂ σ ν σ ν σ

x S x

S x

S x

S x

S x

S

Theo (5.4.5), hμm tæng ứng suất S l hm điều hòa nên

0

1

2

33 =

∂ ∂ + + Δ

x S

ν

σ (5.5.3)

0

1 ;

0

1

0

1 ;

0

1

0

1 ;

0

1

1

2 31

2 33

3

2 23

2 2 22

2

2 12

2 11

= ∂ ∂

∂ + + Δ =

∂ ∂ + + Δ

= ∂ ∂

∂ + + Δ =

∂ ∂ + + Δ

= ∂ ∂

∂ + + Δ =

∂ ∂ + + Δ

x x

S x

S

x x

S x

S

x x

S x

S

ν σ

ν σ

ν σ

ν σ

ν σ

ν σ

(5.5.4)

hay viÕt gän l¹i lμ

0

1

= ∂ ∂

∂ + + Δ

j i ij

x x

S

ν

σ (5.5.5)

Các ph−ơng trình (5.5.4) hay (5.5.5) gọi lμ ph−ơng trình Beltrami, lμ ph−ơng trình để giải bμi toán đμn hồi theo ứng suất Cùng với điều kiện biên, ta hoμn toμn xác định trạng thái ứng suất điểm vật thể

Michell mở rộng ph−ơng trình (5.5.5) cho tr−ờng hợp có lực thể tích bất kỳ, khơng phải lμ số

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂

∂ − − = ∂ ∂

∂ + + Δ

i j j i ij

k k j

i ij

x F x F x

F x

x

S δ

ν ν ν

σ

1

1

(5.5.6)

Sau tìm đ−ợc ứng suất biến dạng đ−ợc xác định theo định luật Hooke (5.3.4), chuyển vị xác định qua biến dạng nhờ hệ thức Cauchy (5.3.1)

5.5.2 Mét sè hƯ qu¶

Tác động tốn tử Laplace Δ vμo ph−ơng trình Beltrami – Michell (5.5.5), ta có

( ) ( )

1

1

2

= ∂ ∂

Δ ∂ + + Δ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

∂ Δ + + Δ Δ

j i ij

j i ij

x x

S x

x S

ν σ

ν σ

Do hm tổng ứng suất l hm điều hòa, suy 2ij =0 Mặt khác thnh phần biến dạng liên hệ tuyến tính với thnh phần ứng suất nªn ta cã Δ2 =0

ij

ε ,

tức l ta nhận lại đợc hệ thức (5.4.7)

5.5.3 Hμm øng suÊt

Maxwell vμ Morera cho dạng nghiệm tổng quát ph−ơng trình cân khơng có lực thể tích:

a) NghiÖm theo Maxwell

2 12 2 31 2 23 2 2 2 33 2 22 2 2 11 ; ; ; ; x x x x x x x x x x x x ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ϕ σ ϕ σ ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ (5.5.7)

NÕu ϕ1 =ϕ2 =0;ϕ3 =ϕ(x1,x2) th× hμm ϕ lμ hμm øng suÊt Airy bμi to¸n phẳng lý thuyết đn hồi

b) Nghiệm theo Morera

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ = 3 2 1 31 33 3 2 1 23 2 22 3 2 1 12 2 11 ; ; ; x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψ ψ ψ σ ψ σ ψ ψ ψ σ ψ σ ψ ψ (5.5.8)

5.6 Định lý Kirchhoff nghiệm bi toán đn hồi tÜnh

Xét vật thể đμn hồi tuyến tính, nhất, đẳng h−ớng có mật độ vật chất ρ, thể tích V, giới hạn mặt biên S, chịu ngoại lực F(F1,F2,F3)

r

ph©n bè thể tích, ngoại lực Pr(P1,P2,P3) phân bố phần diện tích bề mặt S1 , chịu chuyển vị cỡng phần diện tích bề mặt S2

Định lý Kirchhoff khẳng định “bμi toán đμn hồi tĩnh bao gồm ph−ơng trình cân bằng (5.3.3), ph−ơng trình hình học (5.3.1), định luật Hooke (5.3.4) hay (5.3.5) cựng

với điều kiện biên theo ứng suất (5.3.6) phần biên S1 v điều kiện biên

theo chuyển vị (5.3.7) phần biên S2 l có nghiệm

Để chứng minh định lý, ta giả thiết ng−ợc lại lμ tồn hai hệ thống chuyển vị, ứng suất ( )1 ( )1

; ij

j

u σ vμ u( )j2 ;σ lμ nghiệm bμi toán đặt Ký hiệu ij( )2

( )1 ( )2 ~ ( )1 ( )2

; ~ ij ij ij j j

j u u

u = − σ =σ −σ (5.6.1)

0 ~

= ∂ ∂

j ji

x

σ

(5.6.2)

víi c¸c điều kiện biên theo ứng suất phần biên S1

0

~ =

j jiν

σ (5.6.3)

v điều kiện biên theo chuyển vị phần biên S2

0 ~

2

=

S j

u (5.6.4)

Nhân phơng trình (5.6.2) với u~ v tích phân ton thể tÝch vËt thÓ, ta cã j

( ) ~

~ ~

~ ~

~

= ∂

∂ − ∂

∂ = ∂

∂

∫ ∫

∫

V i

j ij V

j ij i V

j i ij

dV x u dV

u x dV u

x σ σ

σ

(5.6.5)

Giả thiết chuyển vị vμ građiên chuyển vị lμ bé, ta sử dụng cơng thức Cauchy (5.3.1) để biến đổi tích phân thứ hai

∫ ∫

∫ ⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

∂ ∂

V ij ij

V j

i i

j ij

V i

j

ij dV dV

x u x u dV

x u

ε σ σ

σ ~ ~ ~ ~

2 ~ ~

~

Phơng trình (5.6.5) ®−a vÒ

(~ ~ ) − ~ ~ =0 ∂

∂

∫ ∫

V ij ij V

j ij i

dV dV

u

x σ σ ε (5.6.6)

Theo công thức Gauss - Ostrogradsky biến đổi tích phân khối tích phân mặt vμ theo cơng thức Clapeyron xác định đμn hồi đơn vị thể tích (5.1.13), ph−ơng trình (5.6.6) đ−a dạng

0

~

~ − ∫ =

∫

V S

i j

ijuν dS WdV

(5.6.7)

Tích phân thứ không theo ®iỊu kiƯn (5.6.3), v× vËy

=

∫

V

WdV (5.6.8)

Thế đμn hồi W lμ hμm số xác định d−ơng, khơng thμnh phần biến dạng không ε~ =ij Từ hệ thức (2.2.30), ta suy vật thể đμn hồi có chuyển vị nh− cố thể, hai hệ thống chuyển vị khác đại l−ợng không liên quan đến biến dạng Mặt khác, ε~ =ij nên từ định luật Hooke suy thμnh phần ứng suất σ~ =ij 0 Theo nguyên lý “vật thể trạng thái tự nhiên”, ta suy hai hệ ứng suất nμy trùng ( )1 ( )2

ij ij σ

Vậy nghiệm bi toán đn håi tÜnh lμ nhÊt

Các chứng minh mở rộng cho vật thể đμn hồi tuyến tính, vμ bất đẳng h−ớng tuân theo định luật Hooke tổng quát (5.1.11)

Cần l−u ý nghiệm bμi toán tĩnh lý thuyết đμn hồi nhất tr−ờng hợp chuyển vị lμ bé Chẳng hạn, xét cân thẳng chữ nhật mỏng đầu ngμm vμ đầu tự chịu lực nén P (hình 5.6.1) Khi P đủ lớn, bμi tốn khơng có nghiệm có dạng thẳng hay bị cong Chuyển vị điểm vật chất từ vị trí đến vị trí bao gồm chuyển vị ngang vμ quay t−ơng đối có giá trị hữu hạn Trong tr−ờng hợp nμy, khơng nghiệm bμi tốn đμn hồi có liên quan đến ổn định hệ đμn hồi giá trị lực đặt đủ lớn Có thể có số vị trí cân nh−ng khơng phải tất vị trí nμy ổn định

5.7 Cách đặt bμi toán thuận vμ ng−ợc lý thuyết đμn hồi Nguyên lý cục Saint Venant Nguyên lý độc lập tác dụng

5.7.1 Bμi to¸n thuËn

Bμi toán thuận lý thuyết đμn hồi lμ tìm cách xác định ứng suất vμ biến dạng xuất vật thể có hình dáng xác định tr−ớc, chịu tác động lực ngoμi cho tr−ớc Bμi tốn thuận dẫn đến việc tích phân hệ 15 ph−ơng trình đạo hμm riêng với 15 ẩn hμm (5.3.1) – (5.3.5), lμ ph−ơng trình Lamé (5.4.2), lμ ph−ơng trình Beltrami – Michell (5.5.5) với điều kiện biên vμ điều kiện ban đầu biết

Bμi toán thuận th−ờng gặp thực tế Tuy nhiên, tr−ờng hợp đơn giản nh− bμi toán chiều, hai chiều, hạn chế nhiều ẩn số khơng phải lúc nμo tìm đ−ợc nghiệm Do khả dùng ph−ơng pháp xác để giải có nhiều hạn chế nên ph−ơng pháp giải gần vμ ph−ơng pháp số phát triển mạnh

5.7.2 Bi toán ngợc

Bi toỏn ngc ca lý thuyết đμn hồi thiết lập nh− sau: Cho biết tr−ớc biến dạng hay ứng suất phát sinh vật thể, cần phải xác định lực ngoμi tác dụng lên vật thể để sinh biến dạng hay ứng suất Tổng quát lμ yêu cầu xác định hình dáng vμ kích th−ớc vật thể, thích ứng với biến dạng vμ ứng suất cho

Nh− lμ cách đặt bμi toán nμy, ta tự cho hμm ẩn, sau thay vμo ph−ơng trình Nếu hμm nμy thỏa mãn chúng lμ nghiệm bμi tốn,

H×nh 5.6.1 P

cịn chúng khơng thỏa mãn hμm nμy khơng phải lμ nghiệm cần tìm Cách giải nμy dùng số bμi toỏn n gin

5.7.3 Bi toán nửa ngợc

Một số bμi tốn có nhiều ý nghĩa thực tế đ−ợc giải ph−ơng pháp nửa ng−ợc Saint Venant Theo cách đặt bμi toán nμy, ng−ời ta cho biết tr−ớc phần thμnh phần chuyển vị hay ứng suất, phần lại xác định từ việc tích phân ph−ơng trình bμi tốn đμn hồi với điều kiện biên vμ điều kiện ban u tng ng

Dạng ban đầu nghiệm lựa chọn sở nghiệm bi toán khác tơng tự, sở nhận xét trực giác, kinh nghiệm Có thể thấy phần lớn bi toán quan trọng kỹ thuật đợc giải nhờ phơng pháp nửa ngợc ny

Theo định lý Kirchhoff nghiệm, ta khơng cần phân biệt cách giải bμi tốn đμn hồi tĩnh theo ph−ơng pháp thuận, ng−ợc hay nửa ng−ợc

5.7.4 Nguyªn lý cơc bé Saint Venant

Nguyên lý cục Saint Venant đợc phát biÓu nh− sau:

Nếu miền nμo bên mặt biên không lớn so với kích th−ớc vật thể chịu tác dụng lực ngoμi (lực thể tích, lực mặt) vμ vật thể cân bằng, miền xa nơi đặt lực đó, trạng thái ứng suất vμ trạng thái biến dạng đ−ợc xác định chủ yếu véc tơ vμ mơmen lực vμ không phụ thuộc vμo đặc tr−ng chi tiết phân bố lực Sự ảnh h−ởng phân bố cụ thể lực thể lân cận miền đặt lực

Nguyên lý cục Saint Venant suy từ tính chất tổng quát nghiệm bμi toán đμn hồi Nếu miền S nμo nhỏ kích th−ớc vật thể, ta đặt hệ lực cân tĩnh học, ứng suất vμ biến dạng sinh vật thể giảm nhanh điểm cách xa miền S Các tính tốn số vμ số liệu thực

nghiệm khẳng định ngun lý nμy

Có thể giải thích ngun lý nμy ví dụ dùng kìm kẹp cặt dây thép Tại vị trí cặp có hai lực P vμ ng−ợc chiều tác dụng Tại lực nμy gây ứng suất vμ biến dạng lớn vμ chúng giảm nhanh xa vị trí cặp Trên hình 5.7.1 thể biểu đồ ứng suất pháp dọc theo dây thép

Việc nghiên cứu quy luật phân bố ứng suất vùng đặt lực tập trung hay gần tập trung lμ bμi toán tiếp xúc lý thuyết đμn hồi

σ P

Dựa vμo nguyên lý nμy, Saint Venant giải đ−ợc bμi toán cân tấm, vỏ, dầm, với điều kiện biên cho thỏa mãn gần nghĩa lμ không cho thỏa mãn cụ thể điểm biên theo lực đặt vμo đó, mμ cho thỏa mãn lực tổng vμ mômen tổng lực nμy miền đặt lực Vì ng−ời ta cịn gọi lμ ph−ơng pháp giảm nhẹ điều kiện biên Nhờ giải đ−ợc gần nhiều

bμi to¸n ®μn håi vμ søc bỊn vËt liƯu

Cần l−u ý rằng, ngμy kết cấu thμnh mỏng đ−ợc sử dụng nhiều kỹ thuật, ng−ời ta phát nguyên lý cục Saint Venant khơng cịn tổng qt nữa, mμ có số hạn chế, sử dụng cần phải xem xét để tránh sai lầm

Ví dụ, xét cơng xơn tiết diện hình chữ I chịu hai mơ men M ng−ợc chiều vμ có giá trị đầu tự (hình 5.7.2) Tuy hợp lực tĩnh học hai mô men nμy không nh−ng thực tế bị biến dạng, điều nμy trái với nguyên lý cục Saint Venant Khi hai cánh dầm bị uốn theo suốt chiều dμi dầm, độ võng hai cánh ng−ợc chiều lμm cho mặt cắt ngang bị quay tức lμ bị xoắn

5.7.5 Nguyên lý độc lập tác dụng

Trong phạm vi lý thuyết đμn hồi tuyến tính, thỏa mãn nguyên lý độc lập tác dụng (hay cộng tác dụng) hay nguyên lý chồng chất nghiệm

Điều nμy suy từ tính chất cộng tuyến tính tác động Giả sử ta có hai nghiệm ( )1 ( )1 ( )1

; ; ij ij

j

u σ ε vμ ( )2 ( )2 ( )2

; ; ij ij

j

u σ ε mô tả chuyển vị, ứng suất v biến dạng cđa cïng mét vËt thĨ d−íi t¸c dơng cđa mét hai hƯ lùc ngoμi bao gåm lùc thĨ tÝch ( )1 ( )2

; j

j F

F vμ lùc mỈt ( )1 ( )2

; j

j P

Pν ν Chúng thỏa mãn ph−ơng trình cân hay chuyển động với điều kiện biên phần biên S1:

( )1 ( )1 ( )2 ( )2

; ij j i

i j

ijν Pν σ ν Pν

σ = =

vμ trªn phần biên S2:

( ) ( ) ( ) ( )2

0

1

2

; j S j j

S

j u u u

u = = Khi

( )1 ( )2 ( )1 ( )2 ( )1 ( )2

;

; ij ij ij ij ij ij

j j

j u u

u = + σ =σ +σ ε =ε +ε

sÏ lμ nghiƯm cđa bμi to¸n vỊ chuyển vị, ứng suất v biến dạng vật thể d−íi t¸c dơng cđa lùc thĨ tÝch ( )1 ( )2

j j

j F F

F = + vμ lùc mỈt ( )1 ( )2

j j

j P P

Pν = ν + phần biên S1 v với chuyển vÞ ( ) ( )2

0

0j u j u j

u = + phần biên S2

Chng hn, nh nghim hai bμi toán kéo d−ới tác dụng lực phân bố hai đầu vμ kéo d−ới tác dụng trọng l−ợng thân,

H×nh 5.7.2

ta tìm nghiệm bμi tốn kéo nặng d−ới tác dụng lực phân bố hai đầu

Cần l−u ý rằng, nguyên lý độc lập tác dụng áp dụng tr−ờng hợp chuyển vị lμ bé Trong số tr−ờng hợp riêng, quan hệ bậc thμnh phần ứng suất vμ biến dạng theo định luật Hooke không thiết dẫn đến quan hệ bậc ngoại lực vμ chuyển vị vật thể, đó, ta khơng áp dụng đ−ợc ngun lý

céng t¸c dơng

Ví dụ, xét bμi toán uốn ngang vμ uốn dọc đồng thời thanh chữ nhật có độ mảnh lớn (hình 5.7.3) Lực dọc N gây biến dạng dọc mμ cịn gây biến dạng uốn Mơmen uốn nμy tỷ lệ với độ võng vμ tăng nhanh lực dọc, lực ngang tăng lên Trong tr−ờng hợp nμy, ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng tải trọng ngang q vμ P, đối với tải trọng dọc N, ta không áp dụng đ−ợc nguyên lý cộng tác dụng Tuy nhiên, độ cứng đủ lớn độ võng trục nhỏ, ta áp dụng đ−ợc nguyên lý cộng tác dụng (bμi toán chịu lực phức tạp sức bền vật liệu)

Một ví dụ khác lμ bμi toán tiếp xúc, quan hệ ứng suất vμ biến dạng lμ bậc lại dẫn đến quan hệ phi tuyến lực (lực nén lên cầu) vμ chuyển vị (độ lún cu)

5.8 kéo nén thẳng hình lăng trụ

5.8.1 Kéo đơn giản hình lăng trụ

Xét thẳng hình lăng trụ có diện tích tiết diện A chịu kéo lực P dọc trục thanh Chọn gốc tọa độ mặt đáy hình trụ, trục x3 h−ớng theo trục

(hình 5.8.1) Do lực thể tích nên ta chọn nghiệm phơng trình cân l

A P q= = =

= = =

= 22 12 23 31 33

11 σ σ σ σ 0;σ

σ (5.8.1)

C¸c øng suÊt (5.8.1) tháa mÃn phơng trình Beltrami Michell (5.5.4) Mặt bên hình trụ có pháp tuyến ngoi l (v1,v2,0)

r nên hệ ứng suất (5.8.1) thỏa mãn điều kiện biên tĩnh Tại mặt đáy hình trụ νr(0,0,±1), điều kiện biên tĩnh (5.3.6) lμ

q v3 =±

33

σ (5.8.2)

tức lμ hai đáy, tải trọng ngoμi lμ lực kéo phân bố với c−ờng độ q có hợp lực bằng P đặt trọng tâm tiết diện hai đáy vμ h−ớng theo trục Theo nguyên lý cục Saint Venant, ta suy nghiệm (5.8.1) thỏa mãn điều kiện biên tĩnh hai đáy Nh− vậy, ứng suất (5.8.1) lμ nghiệm bμi toán đặt

q P P

N

Điều kiện chuyển vị gốc tọa độ x1=x2=x3=0 lμ ; 3 = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = x u x u x u u u

u (5.8.3)

từ ta tìm đ−ợc chuyển vị

E qx u E qx u E qx u 3 2

1 =− ; =− ; =

ν ν

(5.8.4)

5.8.2 Dãn khối trụ có kể đến trọng l−ợng thân

Chọn gốc tọa độ trọng tâm đáy d−ới, h−ớng trục x3 theo trục thẳng đứng

nh− hình 5.8.2 Khi hệ ứng suất

3 33 23 22

11 σ σ σ σ 0;σ ρgx

σ = = = = = = (5.8.5)

thỏa mÃn phơng trình cân víi lùc khèi

g K K

K1 =0; =0; =− (5.8.6)

vμ điều kiện biên mặt bên khơng có ứng suất Tại đáy d−ới x3=0, σ33=0 nên

điều kiện biên thỏa mãn Dựa vμo định luật Hooke vμ hệ thức Cauchy ta có

0 ; ; ; ; 1 3 3 3 2 2 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ x u x u x E g x u x u x u x E g x u x u x u x E g x u ρ (5.8.7)

Tích phân hệ phơng trình trên, ta đợc

( )

[ ]

2 2 3 1 3 2 1 ; C x C x C x x x E g u C x C x C x x E g u C x C x C x x E g u + − − + + = + + − − = + + + − = ν ρ νρ νρ

Dùng điều kiện gắn chặt tiết diện x1=x2=0; x3=L

0 ; 3 = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = x u x u x u u u

u (5.8.8)

cuèi ta đợc

( )

[ ]

2 2 3 2 1 ;

; x L x x

E g u x x E g u x x E g

u =−νρ =−νρ = ρ − +ν + (5.8.9)

Ta thấy điểm trục có chuyển vị thẳng đứng, điểm khác có chuyển vị ngang Nếu ký hiệu ( ) ( ) ( )0

3

1 ,x ,x

x lμ điểm tr−ớc biến dạng sau biến dạng, có tọa độ lμ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {( )( ) [( )( ) ( )( )0 2]} 2 2

3 3

2

1

2 ;

1 ;

1 x L x x

E g x

x x E

g x

x x E

g x

x ⎟ = + − + +

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

= (5.8.10)

Bình phơng hai phơng trình đầu v cộng lại, ta đợc

( ) [( )( ) ( )( )0 2] 2

2

1 x x x

E g x

x ⎟ +

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − =

+ νρ hay ( ) ( )( )0

2

1 x r

E g

r ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

= νρ (5.8.11)

nghÜa l vòng tròn bán kính r(0) tiết diện ( )

const

x30 = chun thμnh vßng tròn bán

kính r với r< r(0)

5.9 Xoắn thẳng hình lăng trụ

5.9.1 Các hệ thức Hm xoắn Saint Venant

Xét dμi, thẳng có tiết diện hình dạng nh−ng không thay đổi dọc trục thanh Thanh chịu mômen xoắn M0 đặt hai đầu vμ bỏ qua ảnh h−ởng trọng l−ợng thân Chọn hệ trục có trục x3 h−ớng theo trục (hình 5.9.1.a)

Biến dạng xoắn thể chỗ sau xoắn trục thẳng, tiết diện xoay góc nμo Đ−a vμo góc xoắn θ lμ góc quay đơn vị độ dμi thanh, có nghĩa lμ hai tiết diện gần với khoảng cách dx3 quay t−ơng ứng

H×nh 5.9.1 M0

x3 x1

x2

a) L

θ u1

u2

x1 x2

b) x1

x2

σ31

σ32

dx1

dx2 d) σ

x3 σ31

x1

x2

σ32

với góc dφ =θdx3 hay θ =dφ dx3 (hình 5.9.1.b) Bản thân biến dạng xoắn, tức lμ chuyển vị t−ơng đối phần tử gần thanh, đ−ợc xem lμ bé Đối với tiết diện hình trịn, biến dạng tiết diện phẳng, khơng có vênh tiết diện, tức lμ chuyển vị u3=0 (giả thiết tiết diện phẳng) Đối với có tiết diện bất kỳ, xuất vênh tiết diện biến dạng Từ giả thiết biến dạng xoắn lμ bé, Saint Venant chọn chuyển vị u1 , u2 có dạng nh− tr−ờng hợp tròn, chuyển vị u3 tỷ lệ với góc xoắn θ lμ số, tức lμ

( 2) ( 2)

3 3

1 x x ;u x x ;u u x ,x x ,x

u =−θ =θ = =θφ (5.9.1)

trong hμm φ(x1,x2) gọi lμ hμm số xoắn, biểu thị dạng vênh tiết diện Hμm u3

kh«ng phơ thc vμo x3 , nghĩa l tiết diện vênh nh

Đặt (5.9.1) vo phơng trình Lamé (5.4.2) với lùc thĨ tÝch b»ng kh«ng, ta cã

0

2 2 2

1 ∂ =

∂ + ∂ ∂ = Δ

x x

φ φ

φ (5.9.2)

Nh− vËy hm xoắn Saint Venant (x1,x2) l hm điều hòa

Dùng hệ thức Cauchy (5.3.1), ta xác định đ−ợc biến dạng

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ∂

∂ = =

= =

=

2 23

2 13

12 33 22 11

2 ;

2 ;

0 x

x x

x

φ θ ε φ

θ ε ε

ε ε

ε (5.9.3)

vμ I1(εij)=0 nên ta thấy biến dạng xoắn không lμm thay đổi thể tích

Các thμnh phần ten xơ ứng suất xác định theo định luật Hooke

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ∂ ∂ = =

= =

=

2 23

2 13

12 33 22

11 0; ; x

x G x

x

Gθ φ σ θ φ

σ σ

σ σ

σ (5.9.4)

Điều kiện biên hμm φ(x1,x2) đ−ợc xác định từ điều kiện mặt bên khơng có lực

ngoμi tác dụng, tức lμ với v3=0 Pv1 =Pv2 =Pv3 =0 Từ

2 2

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ∂

∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ∂

∂φ ν φ ν

x x x

x

hay lμ

2 1 2 1

ν ν ν

φ ν φ ν φ

x x x

x ∂ = −

∂ + ∂

∂ = ∂ ∂

(5.9.5)

5.9.2 Hμm øng suÊt Prandtl

0 ;

0 ;

0

2 23

13

23

13 =

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂

x x

x x

Hệ phơng trình ny đợc thỏa mÃn chọn hm =(x1,x2) cho

1 23

2

13 ;

x

x ∂

Ψ ∂ − = ∂

Ψ ∂

= σ

σ (5.9.6)

KÕt hỵp víi (5.9.4), ta cã

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ∂

∂ − = ∂

Ψ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ∂

∂ = ∂

Ψ ∂

1

2

; x

x G x x x G x

φ θ φ

θ (5.9.7)

từ ta có ph−ơng trình xác định hμm Ψ

θ

G x

x 22

2 2

− = ∂

Ψ ∂ + ∂

Ψ ∂

(5.9.8)

víi vế phải l số Hm đợc gọi l hm ứng suất Prandtl

Do mặt bên tải trọng tác dụng nên ứng suất tiếp điểm biên phải tiếp xóc víi chu vi cđa tiÕt diƯn (h×nh 5.9.1.d), suy

2 32 31

dx dx =

σ σ

hay lμ

0

2 1 31

32 ∂ = Ψ=

Ψ ∂ + ∂

Ψ ∂ = +

− dx d

x dx x dx

dx σ

σ

Nh− vậy, chu vi L tiết diện, hμm Ψ có giá trị không đổi Do Ψ thay đổi số khơng ảnh h−ởng đến nghiệm bμi tốn nên chọn

0 =

ΨL (5.9.9)

Nếu chu vi L tiết diện lμ đ−ờng cong trơn nh− hình trịn, hình ellipse, từ ph−ơng trình chu vi tiết diện, ta xác định đ−ợc hμm ứng suất Prandtl

Sư dơng hƯ thøc (5.9.9), hợp lực ứng suất tiếp trục x1

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

[ 22 21 ]

1

2

1 2

1 31

2

1

= Ψ

− Ψ =

∂ Ψ ∂ =

∂ Ψ ∂

=∫∫ ∫ ∫ ∫

∫∫ dx dx x x

x dx dx

dx x dx

dx

x

x

Tơng tự, hợp lực ứng suất tiếp trục x2 không Nh vậy, hợp lực

các ứng suất tiếp tiết diện tơng đơng víi ngÉu lùc b»ng M0

( ) ∫

∫ − = ⎜⎜⎝⎛− ∂∂Ψ− ∂∂Ψ⎠⎞⎟⎟ =

A A

dA x x x x dA

x x

M

2 1 31

2 32

0 σ σ

Tích phân phần, ta đợc

( )

∫ + Ψ + Ψ

− =

A L

dA ds

x x

M0 1ν1 2ν2 (5.9.10)

Đối với tiết diện lμ miền đơn liên, từ (5.9.9) ta suy tích phân thứ khơng, từ

∫Ψ =

A

dA

M0 (5.9.11)

Đối với tiết diện đa liên, từ (5.9.10) rút định lý Bredt thông l−ợng ứng suất tiếp xoắn

Tìm đ−ợc hμm ứng suất Prandtl Ψ, ta xác định đ−ợc thμnh phần ứng suất vμ góc xoắn Đồng thời, hμm ứng suất Prandtl cịn cho phép giải bμi tốn xoắn tiết diện hình dạng ph−ơng pháp t−ơng tự mμng, t−ơng tự thủy động lực lμ ph−ơng pháp thực nghiệm túy, lμm thay đổi cách giải bμi toán xoắn Những t−ơng tự thủy động lực học cho ta khả rút cách đơn giản hμng loạt kết luận định tính gần phân bố ứng suất tiếp xoắn

D−íi đây, ta đa số kết xoắn có tiết diện khác

5.9.3 Xoắn tiết diện hình ellipse

Phơng trình chu vi tiết diện hình ellipse với trục 2a, 2b (hình 5.9.2) lμ

0

2 2 2

1 + − =

b x a x

Chän hμm Prandtl lμ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + =

Ψ 2

2 2

b x a x

C (5.9.12)

Hằng số C xác định theo (5.9.11)

∫ ⎟⎟ =−

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + =

A

abC dA

b x a x C

M 2 2π

2 2

suy

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + −

=

Ψ

2

2 2

b x a x ab M

π (5.9.13)

2

2M πab

2b

2a

x1 x2

b a

M

2

2

π

Góc xoắn tỷ đối θ xác định theo (5.9.8)

θ πab a b G

M x

x

1

2

2 2

2 2

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

− = ∂

Ψ ∂ + ∂

Ψ ∂ suy

( )

3

2

2G a b b a M

π

θ = + (5.9.14)

Các thμnh phần ứng suất tiếp đ−ợc xác định theo (5.9.6) vμ biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tiết diện hình ellipse đ−ợc cho hình 5.9.2 Giá trị lớn ứng suất tiếp xuất hai đầu bán trục ngắn lμ

2M ab (giả thiết a>b) Giá trị

2

ab

WP =π gäi lμ m«men chèng xoắn tiết diện hình ellipse

Trng hp a=b, ta nhận lại đ−ợc kết biết xoắn tròn

5.9.4 Xoắn tiết diện hỡnh tam giỏc u

Phơng trình chu vi tiÕt diƯn hƯ trơc x1x2 (h×nh 5.9.3) lμ:

- Biên phải: ( x a) a

h

x1 = +

3

- Biên trái: ( x a) a

h

x1 =− 2−

3

- Biªn d−íi:

3

1

h

x =−

Chän hμm øng suÊt Prandtl cã d¹ng

( ) ( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

− −

=

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ + −

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − +

= Ψ

27

4

3

3

3

3 2 3 1 2

2

1

1

1

h x a h hx x x a

h x C

h x a x a h x a x a h x C

(5.9.15)

Thay vμo (5.9.8) rút C =Gθ 2h Hằng số C xác định từ hệ thức (5.9.11)

( )

( )

15

4 27

4

3

3

6

6

2 2

2

2

1

1

Cah dx

dx x h x a h h

hx x C

T

h

h

h h x a

h h x a

= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + −

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

= ∫ ∫

−

− −

Thay chiều cao h=a 2, thu đợc

5

3 80

a M

C = vμ 04

3 80

Ga M =

θ (5.9.16)

a

H×nh 5.9.3

x2

x1

C B

Các ứng suất tiếp xác định theo hệ thức (5.9.6)

( 2)

2

1

0 32

2

5

31 3

3 80 ;

2 3

3 160

x ax x

a M x

a x

a M

− −

− = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

= σ

(5.9.17)

Giá trị lớn ứng suất tiếp l điểm A

max =20M a

τ Do đối xứng, ứng suất

tại điểm B vμ C t−ơng tự nh− điểm A Từ đó, ứng suất tiếp lớn lμ tại điểm đ−ờng tròn nội tiếp với đ−ờng biên A, B vμ C Tại điểm góc tiết diện, ứng suất tiếp bng khụng

5.9.5 Xoắn tiết diện hình chữ nhËt

Trong tr−ờng hợp chu vi tiết diện lμ đ−ờng cong trơn, hμm ứng suất Prandtl th−ờng đ−ợc xác định d−ới dạng chuỗi Đối với tiết diện hình chữ nhật bìh (hình 5.9.4), hμm ứng suất Prandtl có dạng

( ) (( )) ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− −

=

Ψ ∑∞

=

−

b x n b

h n

b x n n

G

n

n

2

5 , ,

2

3 cos

2 cosh cosh 1

8 π

π π π

θ

(5.9.18)

Thay (5.9.18) vμo hệ thức (5.9.8), ta xác định đ−ợc góc xoắn tỷ đối

3

0

Ghb k

M

=

θ (5.9.19)

víi

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= ∑∞

= b

h n n

h b k

n

tanh 192

1

5 , ,

5

1

π

π (5.9.20)

Giá trị ứng suất tiếp lớn điểm A cạnh di (giả thiết h>b) lμ

3

0 max

hb k

M =

τ (5.9.21)

với k2 =k1/k

( )

∑∞ =

− =

5 , ,

2

2 cos

1

1

n n n h b

k

π

(5.9.22)

Bảng giá trị hệ số k1 , k2 theo tỷ số h/b khác đợc cho c¸c tμi liƯu vỊ

søc bỊn vËt liệu Từ kết bi toán xoắn có tiết diện hình chữ nhật hẹp (h/b=), ta mở rộng kết cho tiết diện dải hẹp më bÊt kú

h

b H×nh 5.9.4

x1

Ch−¬ng

Bμi tốn phẳng lý thuyết đμn hồi tuyến tính hệ tọa độ Descartes vng góc

6.1 Trạng thái biến dạng phẳng

6.1.1 Trạng thái biến dạng phẳng

Gi thit trng thỏi bin dng vật thể nh− nμo điểm chuyển dịch song song với mặt phẳng cố định, điểm nằm đ−ờng thẳng trực giao với mặt phẳng cố định có chuyển vị nh− Khi đó ta có trạng thái biến dạng phẳng Nếu trọn trục x3 thẳng góc với mặt phẳng cố

định thμnh phần chuyển vị u1 , u2 lμ hμm tọa độ x1 , x2 u3=0 khắp nơi

Từ định nghĩa ta thấy vật thể thực biến dạng phẳng lμ trụ thẳng có đáy song song với mặt phẳng cố định vμ trụ nμy chịu tác dụng lực song song với mặt phẳng (hình 6.1.1) Cịn trạng thái gần với biến dạng phẳng lμ đập n−ớc, hầm tμu điện ngầm, hầm mỏ, ống dẫn, móng dμi, Ngoμi ra, ng−ời ta tính tốn nịng súng theo ph−ơng pháp biến dạng phẳng, bắn nòng súng không hoμn toμn thỏa mãn điều kiện biến dạng phẳng

6.1.2 Cách đặt bμi toán biến dạng phẳng

Để thuận tiện sử dụng, ta ký hiệu hệ trục tọa độ bμi toán phẳng lμ x, y, z thay cho ký hiệu x1 , x2 , x3 vμ ký hiệu chuyển vị điểm vật chất theo trục lμ ux , uy , uz thay cho u1 , u2 , u3

Giả sử ta có biến dạng phẳng song song với mặt phẳng nμo (chẳng hạn mặt phẳng Oxy), tồn chuyển vị song song với mặt phẳng

x y

z

x y

( ), ; = ( ), ; =0

= x y y z

x u x y u u x y u

u (6.1.1)

V× vËy, theo hƯ thức Cauchy (5.3.1), thnh phần biến dạng l

0 ;

;

1

; = = =

∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂

∂

= y zz xz yz

yy y x xy

x xx

y u x

u y u x

u ε ε ε ε ε

ε (6.1.2)

Ten x¬ biÕn d¹ng cã d¹ng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

0 0

0

yy yx

xy xx

ij ε ε

ε ε

(6.1.3)

hay dạng rút gọn thμnh phÇn chÝnh

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

yy yx

xy xx

ij ε ε

ε ε

ε (6.1.4)

Định luật Hooke (5.3.4) có dạng

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = =

∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

= ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂

∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

y u x u y

u y

u x u

x u y u x

u y

u x u

y x zz

yz y y

x yy

xz y x xy

x y

x xx

λ σ σ

μ λ

σ

σ μ

σ μ

λ σ

; ;

2

0 ;

;

(6.1.5)

Từ (6.1.5), ta thấy thnh phần zz không không, có giá trị

( )( xx yy) ( xx yy)

zz λ μ σ σ ν σ σ

λ

σ + = +

+ =

2 (6.1.6)

Thμnh phần σzz bảo đảm tồn trạng thái biến dạng phẳng Chẳng hạn

một vật thể hình trụ dμi, tiết diện hai đầu phải tác dụng đại l−ợng ứng suất pháp nμo sợi dọc không thay đổi Ten xơ ứng suất có dạng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

zz yy yx

xy xx ij

σ σ σ

σ σ σ

0

0

(6.1.7)

hay dạng rút gọn thμnh phÇn chÝnh

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

yy xy

xy xx

ij σ σ

σ σ

σ (6.1.8)

( )

[ xx yy zz ] xx yy ( xx yy)

xx

E E

E ν σ σ ν σ

ν σ ν σ

σ ν σ

ε

1

1

1

1 = −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− − −

= + −

=

ν ν ν ν = − −

=

1 ;

1

1

E

E (6.1.9)

Tơng tự với thnh phần ứng suất khác, ta ®−ỵc

( xx yy) xy xy yy ( yy xx)

xx

E E

E σ ε σ ν σ

ν ε

σ ν σ

ε

1

1

1

1 ;

1 ;

1

− =

+ = −

= (6.1.10)

Từ (6.1.10), ta thu đợc biểu thức ứng suất theo biÕn d¹ng

( xx yy) xy xy yy ( yy xx)

xx

E E

E ε ν ε

ν σ

ε ν σ

ε ν ε ν

σ 2 1

1 1

1

2 1

1 ;

1 ;

1− + = + = +

= (6.1.11)

Phơng trình cân NavierCauchy (5.3.3) cho bi toán biến dạng phẳng cã d¹ng

0 ;

0 + =

∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂

y yy xy

x xy xx

F y x

F y x

σ σ

σ σ

(6.1.12)

trong lực thể tích Fx , Fy khơng phụ thuộc vμo tọa độ z Đặt (6.1.5) vμo (6.1.12) ta

nhận đợc phơng trình Lamé

( ) 0;( ) 1

1

1 + Δ + =

∂ ∂ + =

+ Δ + ∂ ∂

+ x x uy Fy

y F

u

x μ

θ μ λ μ

θ μ

λ (6.1.13)

víi

2 2

1 ;

y x y

u x

ux y

∂ ∂ + ∂

∂ = Δ ∂ ∂ + =

(6.1.14)

Các điều kiện biên tồn

y y yy x xy

x y xy x xx

P P

ν ν ν σ ν σ

ν σ ν σ

= +

= +

(6.1.15)

nếu biên S1 cho trớc lực mặt Prν(Pνx,Pνy) hc

0

2

; y

S y x S

x u u u

u = = (6.1.16)

nÕu trªn biên S2 cho trớc chuyển vị ur0(ux0,uy0) Cũng cho trớc điều kiện biên hỗn hợp

y x x

y

xy yy

xx

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂

∂ ε ε 2ε

2 2

2 (6.1.17)

Thay (6.1.10) vμo (6.1.17), dïng ph−¬ng trình cân (6.1.12), ta đợc

( ) ( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + − = + Δ

y F x

Fx y

yy

xx

1 σ σ ν (6.1.18)

Khi lùc thĨ tÝch b»ng kh«ng hay b»ng h»ng sè, phơng trình (6.1.18) có dạng

( )

1 + =

Δ σxx σyy (6.1.19)

6.2 Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng

6.2.1 Trạng thái ứng suất phẳng

Nếu trạng thái ứng suất vật thể nh− nμo đấy, cho mặt cắt song song với mặt phẳng cố định ứng suất khơng, cịn mặt cắt khác ứng suất khơng phụ thuộc vμo khoảng cách từ điểm xét tới mặt phẳng cố định, thì ta có trạng thái ứng suất phẳng

Nếu chọn trục z thẳng góc với mặt phẳng cố định, σzz =σyz =σxz =0 khắp nơi,

xy yy

xx σ σ

σ ; ; lμ hμm x vμ y Tấm mỏng chịu tải trọng ngoμi có h−ớng song song với mặt phẳng vμ không thay đổi theo độ dầy (tức lμ không gây uốn tấm) cho ta trạng thái gần với ứng suất phẳng (hình 6.2.1)

Trạng thái ứng suất phẳng khó thực thực tế Quả vậy, biểu thị thμnh phần biến dạng qua thμnh phần ứng suất nh− hμm số x, y vμ đem kết đặt vμo ph−ơng trình t−ơng thích Saint Venant (5.3.2) cho ta:

- Ph−ơng trình thứ t− vμ thứ năm thỏa mãn đồng

- Ph−ơng trình thứ hai, thứ ba vμ thứ sáu dẫn đến ph−ơng trình

( ) 0; ( ) 0; ( )

2

2

2

= + ∂ ∂

∂ = + ∂

∂ = + ∂

∂

yy xx yy

xx yy

xx

y x x

y σ σ σ σ σ σ

tức lμ σxx +σyy lμ hμm tuyến tính x, y; tổng nμy xác định theo giá trị cho biên - Ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng thứ ph−ơng trình cân

dÉn tíi ®iỊu kiƯn

y h

z

x Pν

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂

y F x

Fx y

tức lμ đặt điều kiện cho lực th tớch

Các rng buộc cho thấy trạng thái ứng suất phẳng khó thực đợc

6.2.2 Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng

Trong thực tế, có nhiều tr−ờng hợp trạng thái ứng suất vật thể gần với trạng thái ứng suất phẳng Ví dụ, pa nen t−ờng nhμ chịu tải trọng tầng đè xuống hay mỏng chịu tải theo chu tuyến với lực mặt nằm mặt phẳng tấm vμ lực thể tích Fx , Fy Ta gọi trạng thái t−ơng tự nh− lμ trạng thái ứng suất phẳng suy rộng

Xét mỏng có độ dầy h vμ hệ trục Ox, Oy nằm mặt Giả sử lực thể tích vμ lực mặt tác dụng song song vμ đối xứng với mặt Oxy, mặt tấm z=±h/2 khơng có lực ngoμi Do

0 ;

0 ;

0 = = = =

=

= xz y xy z zz

x P P

Pν σ ν σ tại z=h/2 (6.2.1)

Mặt bên chịu tải trọng theo điều kiện: Px , Py lμ hμm cđa x, y, z cßn Pνz=0

Vì Fz=0 nên phơng trình cân thứ ba có d¹ng

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

z y

x

zz yz

xz σ σ

σ

(6.2.2)

Do với z=±h/2 từ (6.2.2) suy

2

= ∂

∂

± = h

z zz

z

σ

KÕt hỵp víi (6.2.1), ta cã thĨ xem

một cách gần σzz=0 nơi Trạng thái ứng suất với σzz=0 khắp nơi,

σxz=σyz=0 z=h/2, gọi l trạng thái ứng suất phẳng suy réng

Với có độ dầy mỏng, giá trị trung bình theo độ dầy đại l−ợng đóng vai trị quan trọng, lμm giảm bớt khó khăn toán học

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

L L L L

∫ ∫ ∫ ∫

− +

− +

− +

− +

= = = =

2

2

2

2

2

, ,

,

, ,

,

, ,

,

, ,

,

h

h x x

h

h x x

h

h xx xx

h

h x x

dz z y x F h y x F

dz z y x P h y x P

dz z y x h

y x

dz z y x u h y x u

ν ν

σ

Dấu chấm biểu thị có số hạng loại

Khi ú, ten xơ ứng suất trạng thái ứng suất phẳng suy rộng có dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + + + 0 0 yy yx xy xx

ij σ σ

σ σ

σ (6.2.4)

hay dạng rút gọn thnh phần chÝnh

( ) ( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + + + yy yx xy xx

ij σ σ

σ σ

σ (6.2.5)

Lấy trung bình biểu thức hai phơng trình cân lại, ta có

0 1 ; 1 2 2 2 2 = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ − − − −∫ ∫ h h yz h h yz h h xz h h xz h dz z h h dz z h σ σ σ σ

do hai ph−ơng trình nμy có dạng

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 ;

0 + =

∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + + + + + y yy xy x yx xx F y x F y x σ σ σ σ (6.2.6)

Vì σ( )zz+ ≡0 nên theo định luật Hooke

( ) ( )

0

2 ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + z u z u y u x

ux y z μ z

λ cho ta ( )+ ( )+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ y u x u z

uz x y

μ λ

λ

2 BiĨu thøc cđa θ(+) sÏ b»ng

( ) ( ) ( ) + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = y u x u z u y u x

ux y z x y

μ λ μ θ 2 (6.2.7)

còn định luật Hooke có dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ′ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ′ = y u y u x u x u y u x u y u x

u x y y

yy y x xy x y x

xx λ μ σ μ σ λ μ

σ ; ; (6.2.8)

λ ν

ν μ

λ μλ λ

− − = + = ′

1 2

(6.2.9)

Đặt (6.2.8) vo (6.2.6), ta nhận đợc phơng trình LamÐ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 ;

0

1

1 + Δ + =

∂ ∂ + ′ = + Δ + ∂ ∂ +

′ + + + + + +

y y x

x u F

y F

u

x μ

θ μ λ μ

θ μ

λ (6.2.10)

Khi đó, định luật Hooke có dạng

( )+ = ( ( )+ − ( )+ ) ( )+ = + ( )+ ( )+ = ( ( )+ − ( )+ ) ( )+ =− ( ( )+ + ( )+ )

yy xx zz

xx yy

yy xy xy

yy xx

xx

E E

E

E σ σ

ν ε

νσ σ

ε σ ν ε

νσ σ

ε ; ; ; (6.2.11)

Ngợc lại

( )+ ( ( )+ ( )+ ) ( )+ ( )+ ( )+ ( ( )+ + ( )+ )

− = +

= +

−

= xx yy xy xy yy yy xx

xx

E E

E ε νε

ν σ

ε ν σ

νε ε ν

σ 2 2

1 ;

1 ;

1 (6.2.12)

Ten xơ biến dạng có dạng

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

+ + +

+ + +

zz yy yx

xy xx ij

ε ε ε

ε ε ε

0

0

(6.2.13)

hay dạng rút gọn thnh phần

( )

( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

= ++ ++

+

yy yx

xy xx

ij ε ε

ε ε

ε (6.2.14)

Nếu ta chọn thμnh phần ứng suất σ( )xx+ ;σ( )yy+ ;σ( )xy+ lμm đại l−ợng bản, cần

phải biến đổi ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng Thay (6.2.11) vμo ph−ơng trình t−ơng thích (6.1.17) vμ nhờ ph−ơng trình cân bằng, ta đ−ợc

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + − = +

Δ

+ +

+ +

y F x

Fx y

yy

xx σ ν

σ

1 (6.2.15)

Khi lùc thĨ tÝch b»ng kh«ng hay b»ng h»ng sè, phơng trình (6.2.15) có dạng

( ) ( )

( )

1 + =

Δ + +

yy xx σ

σ (6.2.16)

Điều kiện (6.2.16) gọi l điều kiện Lévy hay phơng trình Lévy

Việc giải bi toán ứng suất phẳng đa tích phân hai phơng trình (6.2.6) v phơng trình (6.2.15) thỏa mÃn điều kiện biên

( ) ( ) ( )

( )+ ( )+ ( )+ + +

+

= +

= +

y y yy x xy

x y xy x xx

P P

ν ν

ν σ ν σ

ν σ ν σ

CÇn l−u ý r»ng c¸c lùc thĨ tÝch Fx( )+ ;Fy( )+ c¸c phơng trình (6.2.6) v (6.2.15)

hoặc không hay b»ng h»ng sè

Nh− vậy, cách đặt bμi toán ứng suất phẳng suy rộng t−ơng tự cách đặt bμi tốn biến dạng phẳng Do tính chất tuyến tính ph−ơng trình vμ điều kiện biên, tất hệ thức t−ơng ứng trạng thái ứng suất phẳng giữ nguyên dạng thμnh phần trung bình hóa trạng thái ứng suất phẳng suy rộng Từ sau ta không viết ký hiệu trung bình hóa nữa, điều nghĩa lμ tất kết bμi toán ứng suất phẳng bμi toán ứng suất phẳng suy rộng

6.3 Các phơng trình bi toán phẳng

Bμi toán biến dạng phẳng vμ bμi toán ứng suất phẳng hay ứng suất phẳng suy rộng có chung ph−ơng trình bản, ẩn số Những ứng suất vμ biến dạng cịn lại biểu diễn qua ẩn số Sự khác lμ bμi toán ứng suất phẳng, ta sử dụng số đμn hồi (E, ν) bμi toán biến dạng phẳng, ta sử dụng số đμn hồi quy −ớc (E1 , ν1) xác định hệ thức

(6.1.9) Nh− mặt toán học, cách đặt bμi toán biến dạng phẳng vμ ứng suất phẳng suy rộng hoμn toμn trùng Các bμi toán nμy đ−ợc gọi chung lμ bμi toán phẳng lý thuyết đμn hồi

6.3.1 Các phơng trình

6.3.1.1 Phơng trình hình học Cauchy gồm ba phơng trình

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂

∂ = ∂

∂ =

x u y u y

u x

u x y

xy y yy x xx

2 ;

;ε ε

ε (6.3.1)

Các biến dạng phải thỏa mÃn phơng trình tơng thích biến dạng Saint Venant m bi toán phẳng có phơng trình

y x x

y

xy yy

xx

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂

∂ ε ε 2ε

2 2

2 (6.3.2)

6.3.1.2 Phơng trình cân Navier - Cauchy gồm hai phơng trình

⎝ ⎛

∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂

2

2

0

t u F

y x

t u F

y x

y y

yy xy

x x

xy xx

ρ σ

σ

ρ σ

σ

(6.3.3)

a) BiĨu thøc cđa øng st theo biÕn d¹ng

( xx yy) xy xy yy ( yy xx)

xx

E E

E ε νε

ν σ

ε ν σ

νε ε ν

σ +

− = +

= +

−

= 2 2

1 ;

1 ;

1 (6.3.4)

b) BiÓu thøc cđa biÕn d¹ng theo øng st

( xx yy) xy xy yy ( yy xx)

xx

E E

E σ ε σ νσ

ν ε

νσ σ

ε = − ; =1+ ; = (6.3.5)

Đối với bi toán biến dạng phẳng cần thay E E1 , ν b»ng ν1 ν

ν ν ν = − −

=

1 ;

1

1

E

E (6.3.6)

Hệ ph−ơng trình bμi tốn phẳng lý thuyết đμn hồi tuyến tính gồm ph−ơng trình độc lập:

- ph−ơng trình (6.3.1) thể quan hệ biến dạng vμ chuyển vị - ph−ơng trình cân hay chuyển động (6.3.3)

- ph−ơng trình định luật Hooke (6.3.4) hay (6.3.5) thể quan hệ ứng suất vμ biến dạng

C¸c Èn số cần tìm gồm hm ẩn:

- thnh phần véc tơ chuyển vị ux , uy - thnh phần biến dạng xx , xy , εyy

- thμnh phÇn øng suÊt σxx , σxy , σyy

Nh− vậy, bμi toán đμn hồi phẳng gồm ph−ơng trình, ẩn hμm lμ hệ khép kín đủ để giải Để giải bμi toán đμn hồi phẳng, ta cần thêm điều kiện biên cho tr−ớc Ngoμi ra, bμi toán động lực vμ tựa tĩnh, ta cần có thêm điều kiện ban đầu cho tr−ớc

6.3.2 §iỊu kiƯn biên

Các điều kiện biên l ba dạng sau:

a) Điều kiện biên theo ứng suất: Trên biên S1 cho trớc lực mặt Prν(Pνx,Pνy)

y y yy x xy

x y xy x xx

P P

ν ν

ν σ ν σ

ν σ ν σ

= +

= +

(6.3.7)

b) Điều kiện biên theo chuyển vị: Trên biên S2 cho tr−íc chun vÞ ur0(ux0,uy0)

0

2

; y

S y x S

x u u u

c) §iỊu kiƯn biên hỗn hợp: Trên phần biên S1 cho trớc điều kiện biên theo ứng suất

v phần biên S2 cho trớc điều kiện biên theo chuyển vị

6.3.3 Điều kiện ban đầu

Dng iu kin ban đầu bμi toán đμn hồi phẳng t−ơng tự hệ thức (5.3.8) Ví dụ thời điểm ban đầu t=0, ta biết đ−ợc chuyển vị vμ đạo hμm chuyển vị theo thời gian

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y x v t

t y x u y x v t

t y x u

y x u t

y x u y x u t

y x u

y t y

x t x

y t y

x t x

, ,

, ;

, ,

,

, ,

, ; , ,

,

* *

0

* *

0

= ∂

∂ =

∂ ∂

= =

= =

= =

(6.3.9)

6.4 Hμm øng suÊt Airy

Nghiệm bμi toán đμn hồi phẳng, cân tĩnh (6.3.3) lμ tổng nghiệm tổng quát ph−ơng trình cân khơng có lực thể tích vμ nghiệm riêng ph−ơng trình lực thể tích khác khơng Tùy thuộc vμo dạng lực thể tích mμ ta dễ dμng xác định đ−ợc nghiệm riêng ph−ơng trình cân D−ới đây, ta xét nghiệm tổng quát ph−ơng trình cân khơng có lực thể tích

6.4.1 Hμm øng suÊt Airy

Tõ phơng trình thứ (6.3.3) suy tồn mét hμm sè A(x,y) cho

x A y

A

xy xx

∂ ∂ − = ∂

∂

= σ

σ ;

Tơng tự, từ phơng trình thứ hai, suy tån t¹i mét hμm sè B(x,y) cho

y B x

B

xy yy

∂ ∂ − = ∂

∂

= σ

σ ;

Tõ hai biĨu thøc trªn, ta suy tån t¹i hμm sè ϕ(x,y) cho x

B y A

∂ ∂ = ∂

∂

= ϕ ; ϕ

từ thu đ−ợc

2 2

2

; ;

x y

x

y xy yy

xx

∂ ∂ = ∂

∂ ∂ − = ∂

∂

= ϕ σ ϕ σ ϕ

σ (6.4.1)

( ) 2 1 1

2 2

1 ⎟⎟=Δ Δ =

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ Δ = +

Δ σ σ ϕ ϕ ϕ

y x

yy xx

hay lμ

0

2 4

4 2

4

4

= ∂ ∂ + ∂ ∂

∂ + ∂ ∂

y y x x

ϕ ϕ

ϕ

(6.4.2)

Hệ thức (6.4.2) đ−ợc suy từ hệ thức (5.4.5) Nh− vậy, việc giải bμi toán đμn hồi phẳng theo ứng suất đ−a giải ph−ơng trình song điều hịa hμm ứng suất Airy với điều kiện biờn

Dựa vo điều kiện biên, ta có bi toán sau đây:

a) Bi toỏn thứ nhất: Xác định ứng suất bên vật thể theo giá trị lực mặt cho tr−ớc biên

b) Bμi toán thứ hai: Xác định chuyển vị bên vật thể theo giá trị chuyển vị cho tr−ớc biên

c) Bμi toán hỗn hợp: Xác định ứng suất vμ chuyển vị bên vật thể theo giá trị lực mặt cho tr−ớc phần biên S1 vμ chuyển vị cho tr−ớc phần biên S2

Từ hệ thức (6.4.1), ta thấy ứng suất xác định thông qua đạo hμm riêng bặc hai hμm ứng suất Airy, nên việc bổ sung vμo hμm ϕ l−ợng bậc

3

1x C y C

C + + không ảnh h−ởng đến giá trị ứng suất

6.4.2 Giá trị hμm vμ đạo hμm hμm ứng suất Airy trờn biờn

Xét trờng hợp biên tiết diện có hình dạng (hình 6.4.1) Thay giá trị ứng suất theo (6.4.1) vo điều kiện biên (6.3.7), ta cã

y y x

x y

x P

x y

x P

y x

y ν ν ν

ϕ ν

ϕ ν

ϕ ν

ϕ =

∂ ∂ + ∂ ∂

∂ − = ∂ ∂

∂ − ∂

∂

2 2

2

2

; (6.4.3)

trong ú (x,y)

r l véc tơ pháp tuyÕn ngoμi

( ) ( )

ds dx y

ds dy

x y

x = = = =−

r r r

r, ; cos ,

cosν ν ν

ν (6.4.4)

Đặt (6.4.4) vo (6.4.3), ta nhận đợc

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ − = ∂

∂ − ∂ ∂

∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ = ∂ ∂

∂ + ∂

∂ =

x ds

d ds dx x ds dy y x P

y ds

d ds dx y x ds dy y

Pνx ϕ ϕ ϕ νy ϕ ϕ2 ϕ

2

2

2

; (6.4.5)

Tích phân từ điểm A đến điểm B biên ng−ợc chiều kim đồng hồ, ta có y

y

νr

tr

H×nh 6.4.1

x O

A

B

x xB yB

∫ ∫ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ B A y A B B A x A B ds P x x ds P y

y ν ν

ϕ ϕ

ϕ ϕ

; (6.4.6)

Tõ biÓu thøc

ds dy y ds dx x ds d ∂ ∂ + ∂ ∂ =

ta tính đợc giá trị hm điểm biên

( ) ( ) dy

y dx x ds ds dy y ds dx x ds ds d A B B A B A B A B A ∫ ∫ ∫ ∫ + ∂∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = = −ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ (6.4.7)

Tích phân phần biểu thức thứ nhất, sử dụng hệ thức (6.4.5), ta đợc

ds xP x x x x ds x ds d x x x dx x B A y A A B B B A B A B

A ∫ ∫

∫ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ ν ϕ ϕ ϕ

Tơng tự với tích phân thứ hai

ds yP y y y y ds y ds d y y y dy y B A x A A B B B A B A B

A ∫ ∫

∫ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ ν ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Từ đó, hệ thức (6.4.7) có dạng

( ) ( ) yP ds

y y y y ds xP x x x x A B B A x A A B B B A y A A B

B ∫ ∂ −∫

∂ − ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ + =ϕ ϕ ϕ ν ϕ ϕ ν

ϕ (6.4.8)

Sư dơng hƯ thøc (6.4.6), ta cã

( ) ( ) yP ds

y y ds P y y ds xP x x ds P x x A B B A x A A B A x A B B A y A A B A y A

B ∫ ∫ ∫ ∂ −∫

∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ + =ϕ ϕ ν ϕ ν ϕ ν ϕ ν ϕ

từ ta nhận đ−ợc

( ) ( ) ( ) ( ) (x x)P ds (y y)P ds

y y y x x x A B B A x B B A y B A A B A A

B −∫ − +∫ −

∂ ∂ − + ∂ ∂ − + =ϕ ϕ ϕ ν ν

ϕ (6.4.9)

Nh− vËy, ta hoμn toμn cã thÓ lấy điểm gốc A giá trị

( ) 0; 0; =0

∂ ∂ = ∂ ∂ =

A

A y

x

A ϕ ϕ

ϕ

Khi hệ thức (6.4.6) vμ (6.4.9) lμ

( )B (x x)P ds (y y)P ds ds

P x

ds P y

B

A

x B

B

A

y B

B

A y B

B

A x B

∫ ∫

∫

∫ =− =− − + −

∂ ∂ =

∂ ∂

ν ν

ν

ν ϕ

ϕ ϕ

;

; (6.4.10)

Biểu thức tích phân thứ vμ thứ hai cho ta tổng hình chiếu theo ph−ơng x vμ ph−ơng y tất ngoại lực từ điểm gốc A đến điểm tính B Biểu thức tích phân thứ ba vμ thứ t− cho ta tổng mômen điểm B tất ngoại lực từ điểm gốc A đến điểm tính B (hình 6.4.1) Do đó, hệ thức (6.4.10) viết d−ới dạng

( ) B

A B B

A y B

B A x B

M B

P x

P

y ∑ ∂ =−∑ =∑

∂ =

∂

∂ϕ ϕ ϕ

ν

ν ; ; (6.4.11)

víi quy −íc dÊu cđa lùc mỈt ngoμi Pνx vμ Pνy theo hƯ trơc Oxy, dÊu m«men MB lμ

d−ơng quay ng−ợc chiều kim đồng hồ Các hệ thức (6.4.11) cho ta thấy rõ ý nghĩa vật lý hμm ứng suất Airy vμ đạo hμm hμm nμy

Nếu theo biên từ A đến B thuận chiều kim đồng hồ, ta có kết t−ơng tự

( ) B

A B B

A y B

B A x B

M B

P x

P

y ∑ ∂ =∑ =∑

∂ −

= ∂

∂ϕ ϕ ϕ

ν

ν ; ; (6.4.12)

với quy −ớc dấu mômen MB lμ d−ơng quay thuận chiều kim đồng hồ

Việc tính hμm ứng suất vμ đạo hμm theo ph−ơng pháp tuyến điểm biên t−ơng tự việc tính mơmen uốn vμ lực dọc chịu tải trọng cho tr−ớc biên T−ởng t−ợng có l−ợn bao quanh chu vi đặt tải vật thể (tiết diện) chịu tải trọng Pνx vμ Pνy vμ chỗ nμo ta cắt việc vẽ

biểu đồ mơmen uốn vμ lực dọc lμ xác định giá trị hμm vμ đạo hμm theo ph−ơng pháp tuyến bề mặt vật thể thực Đây lμ nội dung ph−ơng pháp t−ơng tự hay khung

6.4.3 Điều kiện đơn trị hμm ứng suất Airy

Giả thiết biên S giới hạn miền đơn liên vμ hệ lực mặt ngoμi lμ cân tĩnh Khi véc tơ lực mặt ngoμi không, tức lμ

0

∫

∫ = =

S y S

xds P ds

Từ hệ thức (6.4.6), ta suy đạo hμm ∂ϕ ∂x;∂ϕ ∂x giữ nguyên giá trị quanh biên S tức lμ đạo hμm nμy lμ hμm đơn trị Sử dụng điều kiện mơmen chính lực mặt ngoμi trục z không, kết hợp sử dụng hệ thức (6.4.5), ta đ−ợc

( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − = S S S S y x dx x dy y ds x x y y ds d ds x ds d x y ds d y ds x P y

Pν ν ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

0 (6.4.14)

Vì biên S lμ kín, đạo hμm ∂ϕ ∂x;∂ϕ ∂x đơn trị, suy hμm ϕ giữ nguyên giá trị khi quanh biên S Nh− vậy, biên S giới hạn miền đơn liên vμ hệ lực mặt ngoμi lμ cân tĩnh hμm ứng suất Airy vμ đạo hμm lμ hμm đơn trị

Đối với miền đa liên biên S gồm số biên kín, ta nhận đ−ợc kết t−ơng tự Khi hệ lực mặt ngoμi lμ cân tĩnh, hμm ứng suất Airy ϕ đơn trị quanh lần tất biên vμ nói chung không thiết đơn trị quanh biên

6.4.4 BiĨu diƠn chun vÞ qua hμm øng suÊt Airy

Biết đ−ợc hμm ứng suất Airy, theo định luật Hooke (6.1.5) hay (6.3.4), ta xác định đ−ợc chuyển vị theo hệ thức Cauchy (6.3.1)

2 2 2 ; ; x y u y u x u y x x u y u y x u y u x

ux y x x y x y y

∂ ∂ = ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ μ ϕ λ ϕ λ μ ϕ λ (6.4.15)

Ký hiệu A=Δ1ϕ, hμm A lμ hμm điều hịa Δ1A=Δ1( )Δ1ϕ =0 Ký hiệu B lμ hμm số liên hệ với A hệ thức

x B y A y B x A ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

; (6.4.16)

Hμm B đ−ợc gọi lμ hμm điều hịa liên hợp với hμm A Khi đó, ng−ời ta chứng minh tồn hai hμm số P(x,y) vμ Q(x,y) liên hệ với hμm số A vμ B hệ thức

x Q y P B y Q x P A ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂

=4 ; 4 (6.4.17)

Gi¶i hai phơng trình đầu (6.4.15) theo ux x;uy y, ta ®−ỵc

( ) ( )

( ) ( ) y

Q y A y y u x P x A x x u y x ∂ ∂ + + + ∂ ∂ − = + + − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ − = + + + ∂ ∂ − = ∂ ∂ μ λ μ λ ϕ μ λ μ λ ϕ μ μ λ μ λ ϕ μ λ μ λ ϕ μ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (6.4.18)

( ) ( ) ( ) ( )

x f Q y

u y

f P x

ux y

2 2

;

2

2 +

+ + + ∂ ∂ − = +

+ + + ∂ ∂ − =

μ λ

μ λ ϕ μ

μ λ

μ λ ϕ

μ (6.4.19)

trong f1 vμ f2 lμ hμm tùy ý Đặt (6.4.19) vμo ph−ơng trình thứ ba (6.4.15),

sử dụng (6.4.17) ta đợc

( ) 2( )

1′ y + f′ x =

f

Đẳng thức ny xảy với giá trị x, y Từ suy f1 l hμm tuyÕn tÝnh cña y, f2

lμ hμm tuyến tính x Các hμm nμy t−ơng ứng với chuyển vị cứng vật thể nên ta bỏ qua khụng xột n

6.4.5 Định lý Lévy - Michell

Do ph−ơng trình xác định phân bố ứng suất (6.4.1) – (6.4.3) không chứa hằng số đμn hồi E vμ ν, ta suy “khi cho tr−ớc lực mặt biên tiết diện (bμi tốn biên thứ nhất) phân bố ứng suất bμi toán đμn hồi phẳng khơng phụ thuộc vμo tính chất vật liệu”

Tính chất quan trọng nμy nghiệm bμi toán phẳng lý thuyết đμn hồi lμ nội dung của định lý Lévy – Michell Định lý nμy đặt sở cho ph−ơng pháp quang đμn hồi để nghiên cứu ứng suất, cho phép thay việc khảo sát vật liệu đẳng h−ớng (kim loại) vμ vật liệu không suốt khác vật liệu đẳng h−ớng suốt, nhạy cảm quang học với xuất biến dạng Tuy nhiên, chuyển vị t−ơng ứng phụ thuộc đáng kể vμo đặc tr−ng tính chất vật liệu

6.5 Hμm ứng suất có dạng đa thức đại số

Trong nhiều bμi toán, thuận tiện ng−ời ta sử dụng ph−ơng pháp ng−ợc (hay nửa ng−ợc) với nội dung lμ cho tr−ớc dạng giải tích hμm ứng suất Airy, vμ chọn tham số cho hμm ứng suất Airy thỏa mãn ph−ơng trình song điều hịa (6.4.2) vμ điều kiện biên nêu

6.5.1 §a thøc bËc hai

Hμm øng suất có dạng đa thức bậc hai

( ) 2

2 2

2

,y a x b xy c y

x = + +

ϕ (6.5.1)

tháa m·n (6.4.2) với giá trị hệ số Các ứng suất có giá trị

2 2

2

2

;

; a

x b

y x c

y xy yy

xx =

∂ ∂ = −

= ∂ ∂

∂ − = =

∂ ∂

= ϕ σ ϕ σ ϕ

σ (6.5.2)

6.5.1.1 Tiết diện l hình chữ nhËt

Hệ trục tọa độ nh− hình 6.5.1 Hình 6.5.1.a thể phân bố tải trọng biên với a2>0, b2=0 vμ c2>0 Khi c2>0 chịu kéo theo ph−ơng x,

c2<0 chịu nén Tơng tự cho phơng y Hình 6.5.1.b thể trạng thái

trợt túy với giá trị b2 , phơng lực trợt tơng ứng với b2>0, ngoi

ra a2=c2=0

6.5.1.2 TiÕt diƯn lμ h×nh tam giác vuông cân

H trc ta trựng vi cạnh góc vng nh− hình 6.5.2 Hình 6.5.2.a thể tr−ờng hợp a2=b2=0 vμ c2>0 Hình 6.5.2.b thể tr−ờng hợp c2=b2=0 vμ a2>0 Hình

6.5.2.c thể tr−ờng hợp b2>0 vμ a2=c2=0 Để xác định tải trọng phân bố cạnh

chÐo b2>0, a2=c2=0, ta lμm nh− sau:

- Xác định véc tơ pháp tuyến ngoμi cạnh chéo lμ νr(1 2,1 2) - Xác định tải trọng phân bố theo công thức (6.3.7)

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2

1

1

2

2

b b

P

b b

P

y yy x xy y

y xy x xx x

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = +

=

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = +

=

ν σ ν σ

ν σ ν σ

ν ν

H×nh 6.5.1

b) y

x b2 c2

y

x

a) a2

L H

H×nh 6.5.2

2

a

a2 x y

b)

y b2

x

c)

( 2)

1 ,

νr

b2

a)

2

2

c c2

x y

- Tổng hợp lực Px v Py cho ta lùc Pv Pvx Pvy

r r

r = +

theo phép cộng véc tơ Trong tr−ờng hợp nμy Pνx =Pνx =−b nên hợp lực Prv vng góc với cạnh chéo vμ có độ lớn b2 Đối với tr−ờng hợp phức tạp, vẽ riêng biểu đồ tải trọng Pνx vμ Pνy

Cần l−u ý rằng, hệ tải trọng phân bố biên cân tĩnh, tức lμ véc tơ lực chính (đối với trục x vμ y) vμ mơmen (đối với trục z) không tr−ờng hợp

6.5.2 §a thøc bËc ba

Hμm øng suất có dạng đa thức bậc ba

( ) 3 3 3

6

2

,y a x b x y c xy d y

x = + + +

ϕ (6.5.3)

tháa m·n (6.4.2) với giá trị hệ số Các ứng suất có giá trị

( ) a x b y

x y

c x b y x y

d x c

y xy yy

xx 3

2

3

3 2

;

; = +

∂ ∂ = +

− = ∂ ∂

∂ − = +

= ∂ ∂

= ϕ σ ϕ σ ϕ

σ (6.5.4)

lμ hμm tuyến tính tọa độ Ta xét số tr−ờng hợp:

6.5.2.1 TiÕt diƯn lμ h×nh ch÷ nhËt

Hệ trục tọa độ nh− hình 6.5.3 Ta xét tr−ờng hợp hệ số (6.5.3) khác không, hệ số cịn lại khơng:

a) Hệ số a3>0, b3=c3=d3=0, σxx =σxy =0;σyy =a3x Tải trọng phân bố biên vμ biên d−ới theo dạng bậc nh− hình 6.5.3.a

b) Hệ số b3>0, a3=c3=d3=0, σxx =0;σxy =−b3x;σyy =b3y Để xác nh ti trng

phân bố, ta lm tơng tự nh− vÝ dơ trªn:

- Cạnh OA có véc tơ pháp tuyến ngoμi lμ νr(0,−1) vμ tải trọng phân bố cạnh OA xác định theo công thức (6.3.7)

( )( ) ( b x)( ) b x P ( b x)( ) ( )( )b y b y

Pνx = 0 + − −1 = ; νy = − + −1 =−

- C¹nh AB cã vÐc tơ pháp tuyến ngoi l r( )1,0 v tải trọng ph©n bè lμ

( )( ) ( b x)( ) P ( b x)( ) ( )( )b y b x

Pνx = + − 3 =0; νy = − 3 + 3 = 3

- Cạnh BC có véc tơ pháp tuyến ngoi l r( )0,1 v tải trọng phân bố lμ

( )( ) ( b x)( ) b x P ( b x)( ) ( )( )b y b y

- C¹nh CO cã véc tơ pháp tuyến ngoi l r(1,0) v tải trọng ph©n bè lμ

( )( ) ( b x)( ) P ( b x)( ) ( )( )b y b x

Pνx = −1 + − 3 =0; νy = − 3 −1 + 3 = 3

Kết tính toán thể h×nh 6.5.3.b

c) Hệ số c3>0, a3=b3=d3=0, σxx =c3x;σxy =−c3y;σyy =0 T−ơng tự nh− tr−ờng

hỵp b), kết thể hình 6.5.3.c

d) Hệ số d3>0, a3=b3=c3=0, σxx =d3y;σxy =0;σyy =0 T−ơng tự nh− tr−ờng hợp a), kết thể hình 6.5.3.d Đây lμ tr−ờng hợp chịu uốn thun tỳy

6.5.2.2 Tiết diện l hình tam giác vuông cân

H trc ta trựng vi cạnh góc vng nh− hình 6.5.4 Ta xét hai tr−ờng hợp: a) Hệ số a3>0, b3=c3=d3=0, σxx =σxy =0;σyy =a3x Tải trọng phân bố

biên theo dạng bậc nh hình 6.5.4.a

b) Hệ số b3>0, a3=c3=d3=0, σxx =0;σxy =−b3x;σyy =b3y Kt qu tớnh toỏn th

hiện hình 6.5.4.b

Các trờng hợp khác có kết tơng tù H

y

x

a)

a3L a3L

L

b) b3L

b3L A O

C y

x B

(Pνx)

b3H/2

A O

C y

x

b3L B (Pνy)

b3H/2

H×nh 6.5.3

d) y

x d3H/2 d3H/2

c) c3H/2

B

A O

C y

x c3H/2

(Pνy) B

c3L

A O

C y

x (Pνx)

c3H/2

6.5.3 §a thøc bËc

§Ĩ hμm øng st ϕ có dạng đa thức bậc bốn

( ) 4 4 2 4

12

2

12

,y a x b x y c x y d xy e y

x = + + + +

(6.5.5)

thỏa mÃn (6.4.2) hệ sè a4 , c4 , e4 ph¶i cã quan hƯ

0 4 4

4 + c +e =

a (6.5.6)

còn hệ số b4 vμ d4 cã thĨ tïy ý

VÝ dơ

4xy

d =

ϕ , ứng suất có giá trị

0 ;

2

; 2

2

4

4 2

= ∂ ∂ = −

= ∂ ∂

∂ − = =

∂ ∂ =

x y

d y x xy

d

y xy yy

xx

ϕ σ

ϕ σ

ϕ

σ (6.5.7)

Đối với tiết diện lμ hình chữ nhật, hμm ứng suất nμy t−ơng ứng với điều kiện đặt tải trên hình 6.5.5, lực tr−ợt phụ thuộc vμo y theo quy luật parabôn bậc hai

6.5.4 Dầm công xôn chịu tải trọng tập trung

6.5.4.1 BiĨu thøc øng st

Xét bμi tốn dầm cơng xơn phẳng có tiết diện hình chữ nhật với bề dầy đơn vị, chiều cao H, chiều dμi L chịu lực tập trung P đặt đầu tự (hình 6.5.6)

H×nh 6.5.5

4LH

d

2 4H

d

H y

L

8

2 4H

d

(Pνx) x

y

(Pνy) x

2 4H

d

8

2 4H

d H×nh 6.5.4

2

3H

b

b3H x y

(Pνx)

b)

3H

b

2

3H

b x y

(Pνy)

3H

a

H

a)

x y

H

Dùng nguyên lý cộng tác dụng, chän hμm øng st lμ tỉng c¸c nghiƯm mÉu

xy b xy d

2

6 +

=

ϕ (6.5.8)

C¸c øng suÊt cã d¹ng

0 ;

2

; 2

2

2

4 2

= ∂ ∂ = ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

− = ∂ ∂

∂ − = =

∂ ∂ =

x b

y d y x xy

d

y xy yy

xx

ϕ σ

ϕ σ

ϕ

σ (6.5.9)

Các số d4 vμ b2 đ−ợc xác định từ iu kin biờn tnh hc:

- Tại biên vμ biªn d−íi y=±H 2, ta cã ;

0 =

= xy

yy σ

σ (6.5.10)

- Tại biên trái x=0, dựa nguyên lý cục Saint Venant, điều kiện biên theo ứng suất đợc thay điều kiện biên theo hợp lực, tøc lμ

P dy

H

H xy

xx = ∫ =

−

2

;

0 σ

σ (6.5.11)

Tõ (6.5.9) vμ (6.5.10), ta cã

0

2

2

4 =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

= d H b

xy

σ suy

8

2

H d

b =

Thay vo (6.5.11), ta nhận đợc

∫ ∫

− −

= =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

=

2

2

3

4

2 12

H

H H

H

xy P

H d dy H

d y d dy

σ

suy

4 12P H

d = vμ b2 =−3P 2H Thay c¸c h»ng sè nμy vμo (6.5.9), ta cã ;

4

; 12

2

2

3 ⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

− = =

= xy yy

z z

xx y

H H

P b

y d y

I M y H

Px σ σ

σ (6.5.12)

H×nh 6.5.6

b)

c) a)

P

H y

L

x

b=1 σxx σxy z

y

H P

trong

12 ;I H3 Px

Mz = z = (6.5.13)

lμ mômen uốn tiết diện x vμ mômen quán tính trục z tiết diện hình chữ nhật, cịn cơng thức xác định ứng suất tiếp σxy lμ cơng thức

Jourawski Nh− vËy, c¸c kết (6.5.12) trùng với kết tính theo phơng pháp sức bền vật liệu

6.5.4.2 Biến dạng v chuyển vị

S dng nh lut Hooke (6.3.5), ta có

( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = 2 2 ;

; H y

EI P x u y u EI Pxy y u EI Pxy x u z y x xy z y yy z x xx ν ε ν ε

ε (6.5.14)

Tích phân phơng trình thứ v thứ hai cho ta

Thay vo phơng trình thứ ba (6.5.14), ta đợc

( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = + + + − 2 2 2 y H EI P dy y df EI Px dx x df EI Py z z z ν ν hay lμ ( ) ( ) ( ) z z z EI Py y H EI P dy y df EI Px dx x df 2 2

2 ν +ν

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − = +

Đẳng thức nμy với giá trị x vμ y, suy

( ) ( ) ( ) 2 1 2 ;

2 EI C

Py y H EI P dy y df C EI Px dx x df z z z = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − = + ν ν

Sau lấy tích phân, ta đợc

( ) ( ) 3 2 ; C x C EI Px f C y C EI Py y EI PH f z z z + + − = + − + − + = ν ν

Các số C1 , C2 , C3 xác định từ điều kiện chuyển vị ngμm không vμ

phân tố nằm ngang trục qua điểm bị gắn chặt (hình 6.5.6.b)

0 ; ; = ∂ ∂ = = = = = L x y L x y L x x x u u

u (6.5.15)

suy C1 =PL2 2EIz ;C2 =0;C3 =−PL3 3EIz Từ đó, ta đ−ợc chuyển vị lμ

( ) f ( )x

EI Pxy u y f EI y Px u z y z x 2 2 ;

2 + =− +

( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + + − + = x L xy x L EI P u y y H y L x EI P u z y z x 2 3 2 2 3 3 2 (6.5.16)

Chuyển vị ngang ®iĨm trªn trơc lμ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − =

= L x

x L EI P u z y y 3 2 3

KÕt qu¶ ny trùng với hệ thức (5.10.32) Tại đầu tự dầm công xôn, chuyển vị ngang điểm trôc lμ

z y x y EI PL u 3 ,

0 = =−

=

Nếu sử dụng điều kiện chuyển vị ngμm không vμ phân tố thẳng đứng điểm ngμm bị gắn chặt (điều nμy chặt chẽ hơn) nh− hình 6.5.6.c

0 ; ; = ∂ ∂ = = = = = L x x L x y L x x y u u

u (6.5.17)

suy L PH EI EI PL C C PH EI EI PL C z z z z 3 2 ; ; ν ν + − − = = + + =

Từ đó, ta đ−ợc chuyển vị lμ

( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − + + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − + = x L H x L xy x L EI P u y y L x EI P u z y z x 2 3 2 3 3 2 ν ν ν (6.5.18)

Chuyển vị ngang điểm trục lμ

( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − + − =

= L x H L x

x L EI P u z y y 2 3 4 3 ν

v đầu tự

z z z z y x y GI L PH EI PL L PH EI EI PL u 3 ,

0 =− −

Từ kết thu đợc (6.5.12), (6.5.16) vμ (6.5.18), ta cã mét sè nhËn xÐt:

- Để gắn chặt toμn tiết diện ngμm (không phải gắn chặt chuyển vị vμ góc xoay điểm trục dầm), ta phải đặt vμo tiết diện nμy lực phụ đặc biệt Tại miền gắn hoμn toμn dầm vμo t−ờng vμ lân cận tiết diện nμy tác dụng ứng suất có quy luật phân bố phức tạp hơn, khác với nghiệm (6.5.12) Tuy nhiên theo nguyên lý cục Saint Venant, ảnh h−ởng lực phụ thể phần không lớn quanh điểm ngμm Với tất miền lại, ta hoμn toμn sử dụng đ−ợc nghiệm (6.5.12)

- Sự khác điều kiện gắn chặt điểm trục dầm dẫn đến khác chuyển vị (6.5.16) vμ (6.5.18) Sự khác nμy lμ kể đến ảnh h−ởng lực cắt mμ sức bền vật liệu th−ờng bỏ qua so với ảnh h−ởng mômen uốn tới chuyển vị Với dầm thơng th−ờng (dầm có chiều cao H nhỏ), khác nμy lμ không đáng kể

- Từ công thức (6.5.16) hay (6.5.18), ta nhận thấy chuyển vị dọc trục u tìm đ−ợc theo lý thuyết đμn hồi lμ hμm bậc ba biến số y Trong đó, sở giả thiết tiết diện phẳng sức bền vật liệu, chuyển vị u lại lμ hμm bậc biến số y Nh− giả thiết tiết diện phẳng lμ giả thiết gần Nếu chiều cao dầm H nhỏ so với chiều dμi dầm L (H <L10) ta bỏ qua số hạng phi tuyến bậc ba y, tức lμ chấp nhận giả thiết tiết diện phẳng

6.5.5 §Ëp chắn tam giác

Xột p chn khỏ di theo ph−ơng z, có góc đỉnh lμ β (hình 6.5.7.a) Đập chịu áp lực thủy tĩnh γy với γ lμ trọng l−ợng riêng chất lỏng vμ trọng l−ợng thân vật liệu đập γ1 Đây lμ bμi tốn biến dạng phẳng với lực thể tích lμ Fx =0;Fy =γ1

vμ mét nghiƯm riªng cđa phơng trình (6.3.3) l yy =1y

Chọn hm ứng suất dới dạng đa thức bậc ba (6.5.3) v øng suÊt cã d¹ng

( ) a x b y y

x y

c x b y x y

d x c

y xy yy

xx 3

2

3

3 2

;

;σ ϕ σ ϕ γ

ϕ

σ = + −

∂ ∂ = +

− = ∂ ∂

∂ − = +

= ∂

= (6.5.19)

Biên OA có véc tơ pháp tuyến ngoi r(1,0) v điều kiện biên l

;

0

0 =− = =

= xy x

x

xx γy σ

(6.5.20)

Biên OB có véc tơ pháp tuyến ngoi r(cos,sin) v điều kiện biên l sin cos

; sin

cos − = = − =

=

=

= β σ β σ β ν β σ β σ β

νx x ytg xx xy Py x ytg xy yy

P (6.5.21)

Thay vμo (6.5.19) vμ tõ (6.5.21), suy

( )sin

cos

0 sin cos

1 3

3

3

= −

+ −

−

= +

−

β γ

β β

β

β β β

γ

y y b ytg a ytg

b

ytg b y

Giải hệ phơng trình ny, ta đợc

β γ β

γ β γ

2 3

3 ;

2

tg b tg tg

a = − =

Từ ta đ−ợc ứng suất

y tg

x tg tg

x tg y

yy

xy xx

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

− = −

=

1

1

2

2 ;

γ β γ β

γ β γ σ

β γ σ

γ σ

(6.5.22)

Trên hình 6.5.7.b thể kết tính ứng suất theo ph−ơng pháp xác (6.5.22), cịn hình 6.5.7.c lμ kết tính ứng suất theo ph−ơng pháp gần sức bền vật liệu

khi

1

20 ;

10 ;

30 = kN m = kN m

= γ γ

β Theo søc

bỊn vËt liƯu, thμnh phÇn øng st σyy cã cïng giá trị với thnh phần ứng suất yy biểu

thức (6.5.22), thnh phần ứng suất xx

không Tuy vậy, thnh phần ứng suất tiếp xy

trên mặt cắt ngang đập tính theo phơng pháp xác lớn lợng m khác tính chất so với thnh phần ứng st tiÕp σxy tÝnh theo søc bỊn vËt liƯu

Điều ny giải thích từ việc xét điều kiện cân phân tố lăng trụ hình tam giác nằm sát biên Thật vậy, từ tồn øng suÊt ph¸p σyy suy øng suÊt σxy

phải bậc với σyy (hình 6.5.7.d) Nh−ng có σxy phải có σyx định lý đối ứng ứng suất tiếp (hình 6.5.7.e) vμ cuối lμ xuất ứng suất pháp σxx

6.6 Hm ứng suất có dạng chuỗi lợng giác

Hm ứng suất có dạng đa thức thích hợp cho tr−ờng hợp tải trọng có dạng đơn giản Trong tr−ờng hợp tải trọng có dạng liên tục hay gián đoạn bất kỳ, ví dụ bμi tốn uốn dải chữ nhật có chiều dμi lớn chiều rộng, dầm t−ờng liên tục vμ dầm dằng chịu tải trọng tầng truyền xuống, ng−ời ta th−ờng dùng chuỗi l−ợng giác Fillonne vμ Ritbiere đề xuất Khi cho thỏa mãn

Pνx

A B

νr β

y β

O

γy Pνy

x

a)

σxx σyy

H×nh 6.5.7 σxy

b) c)

d) e) g) σyy

σxy

σxy σxx σyy

chính xác điều kiện cạnh di, cạnh ngắn cho thỏa mÃn điều kiện tổng hợp nh phản lực liên kết, lực v mômen tải trọng ngoi theo nguyên lý cục Saint Venant

Xét dải chữ nhật có chiều di L lớn chiều rộng H chịu tác dụng tải trọng biên dạng (hình 6.6.1) Dùng phơng pháp tách biến, ta tìm đợc nghiệm riêng phơng trình (6.4.2) l

(Ckcoskx Ck sinkx)Yk( )y

2

1 +

(6.6.1) λk lμ tham số biết

, , , ; =

= k

L k

k π

λ (6.6.2)

cßn hμm sè Yk(y) lμ

( )y C ch y C sh y C ych y C ysh y

Yk k λk k λk k λk k λk

6

4

3 + + +

= (6.6.3)

vμ j k

C (j=1,6) lμ số cần xác định theo điều kiện biên

Từ đó, ta nhận đ−ợc khai triển hμm ứng suất theo nghiệm riêng

( ) ∑( ) ( )

=

+ =

1

2

sin cos

,

k

k k k k

k x C xY y

C y

x

(6.6.4)

Các tải trọng biên đợc khai triển thnh chuỗi lợng giác Fourier

( ) ∑( )

=

+ +

=

1

2

0 cos sin

k

k k k

k x P x

P P

x

Pν ν λ λ (6.6.5)

trong

; k

k P

P lμ c¸c hƯ sè khai triĨn Fourier cđa hμm Pv(x), Pν0 lμ h»ng sè

Nh− bμi tốn ban đầu chia thμnh bμi toán nhỏ ứng với k=1, 2, 3, Tiến hμnh giải bμi toán riêng biệt sử dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta tìm đ−ợc nghiệm bμi tốn ban đầu Nếu lấy cμng nhiều số hạng chuỗi kết cμng xác nh−ng việc tính tốn phức tạp Đối với tr−ờng hợp tải trọng phân bố Pν0 , ta giải phuơng pháp hμm ứng suất dạng đa thức

NÕu chän C1k =0;k=1,2,3, khai triĨn (6.6.4) cã d¹ng

( )x y Y ( )y kx

k

k λ

ϕ , sin

1 ∑ =

= (6.6.6)

Các ứng suất có giá trị y

H x

∑ ∑ ∑ = = = − = ′ − = ′′ = 1 sin ; cos ; sin k k k k yy k k k k xy k k k

xx Y λ x σ λ Y λ x σ λ Y λ x

σ (6.6.7)

trong

( ) ( )

( sh y ych y) C ( ch y ysh y)

C y sh C y ch C Y y ych y sh C y ysh y ch C y ch C y sh C Y k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + + + = ′′ + + + + + = ′ 2 6 (6.6.8)

Nghiệm (6.6.6) Fillonne đề xuất Dùng nghiệm Fillonne, từ (6.6.7) ta nhận thấy biên trái x=0 vμ biên phải x=L dải tải trọng theo ph−ơng tiếp tuyến với biên khác khơng, tải trọng theo ph−ơng pháp tuyến với biên nμy không

Ritbiere đề xuất chọn Ck2 =0;k =1,2,3, khai triển (6.6.4) có dạng

( )x y Y ( )y kx

k

k λ

ϕ , cos

1 ∑ =

= (6.6.9)

C¸c ứng suất có giá trị

= = = − = ′ − = ′′ = 1 cos ; sin ; cos k k k k yy k k k k xy k k k

xx Y λ x σ λ Y λ x σ λ Y λ x

σ (6.6.10)

trong hμm Yk ;Yk′ ;Yk′′ xác định theo công thức (6.6.8) Dùng nghiệm Ritbiere, từ (6.6.10) ta nhận thấy biên trái x=0 vμ biên phải x=L dải tải trọng theo ph−ơng tiếp tuyến với biên khơng, tải trọng theo ph−ơng phỏp

tuyến với biên ny khác không

Ví dụ 6.6.1: Xác định ứng suất dải chịu tải trọng phân bố dạng nửa sóng hình sin q=q0sinπx L (hỡnh 6.6.2)

Giải: Do tải trọng phân bố có dạng hình sin q=q0sinx L nên ta chọn nghiệm có dạng Fillonne (6.6.6) với số hạng k=1 Điều kiện biên dải có dạng

0 ; sin ; 2

2 = = =− =− =

±

= H yy y H yy y H

y xy

L x

q π σ

σ

σ (6.6.11)

Hai điều kiện ứng suất tiếp y=±H/2 cho ta

suy 2 2 ; 2

2 1

5 1 1 1 1

1 ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

+C sh H Hch H C ch H C ch H Hsh H H

sh

C λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ (6.6.12)

Hai điều kiện sau ứng suất pháp y=±H/2 cho ta

0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 = + − − = = + + + H sh H C H ch H C H sh C H ch C L q q H sh H C H ch H C H sh C H ch C λ λ λ λ λ λ λ π λ λ λ λ λ λ suy 2 1 1 2 1 1 2 2 ; 2 2 π λ λ λ π λ λ

λ H q L

ch H C H sh C L q H sh H C H ch

C + = + = (6.6.13)

Gi¶i hƯ (6.6.12) vμ (6.6.13), ta ®−ỵc

H Lsh H L q C H Lsh H H Hth L L q C H Lsh H L q C H Lsh H H Hsh H Lsh L q C 1 1 1 1 1 ; 2 ; 2 λ π π λ π λ π π λ π π λ π λ π λ π + − = − + − = − = + + = (6.6.14)

Thay (6.6.14) vμo (6.6.7), ta có đợc biểu thức ứng suất cần tìm

6.7 Phơng pháp sai phân hữu hạn

Việc tìm nghiệm giải tích hμm ứng suất Airy để từ xác định ứng suất vμ chuyển vị bμi toán phẳng lý thuyết đμn hồi thực đ−ợc tr−ờng hợp miền vật thể vμ dạng tải trọng biên đơn giản Trong tr−ờng hợp khác, ng−ời ta phải dùng ph−ơng pháp số nh− ph−ơng pháp sai phân hữu hạn để xác định giá trị riêng lẻ hμm ứng suất Airy số hữu hạn điểm nμo vật thể, từ nội suy cho điểm cịn lại Ph−ơng pháp sai phân hữu hạn lμ ph−ơng pháp số để giải ph−ơng trình vi phân th−ờng hay ph−ơng trình vi phân đạo hμm riêng Theo ph−ơng pháp nμy, ta biểu diễn đạo hμm qua giá trị hμm số số điểm nút, việc giải ph−ơng trình vi phân ban đầu đ−ợc đ−a giải hệ ph−ơng trình đại s tuyn tớnh

6.7.1 Đạo hm v sai phân cña hμm mét biÕn

chia thứ i, tức lμ fi = f( )xi (hình 6.7.1) Các khoảng Δx đ−ợc gọi lμ b−ớc sai phân Các b−ớc sai phân hay khơng đều, d−ới ta xét tr−ờng hợp b−ớc chia B−ớc chia không đ−ợc dùng bμi tốn đặc biệt, chẳng hạn bμi tốn tìm phân bố ứng suất cục bộ,

Theo ph−ơng pháp sai phân, giá trị đạo hμm xi đ−ợc thay gần

x f x f dx

df i

i x

i Δ

Δ ≈ Δ Δ =

→ Δlim0

Đại lợng f đợc gọi l sai phân cấp vμ tû sè

x f Δ

Δ đợc gọi l tỷ sai phân Sai phân cấp f có dạng khác nhau:

- Δfi = fi − fi−1 gäi lμ sai ph©n lïi - Δfi = fi+1− f1 gäi lμ sai ph©n tiÕn

-

2

1

1 −

+ −

=

Δ i i

i

f f

f gọi lμ sai phân trung tâm Sai phân trung tâm cho ta giá trị trung bình sát thực đạo hμm vμ th−ờng đ−ợc dùng tính tốn đạo hμm Nh− vậy, đạo hμm cấp đ−ợc xấp xỉ lμ

x f f x f dx

df i i i

i Δ

− = Δ Δ

≈ + −

2

1

1 (6.7.1)

Tất nhiên, b−ớc sai phân cμng nhỏ độ xác việc tính giá trị đạo hμm cμng cao nh−ng cơng việc tính tốn trở nên phức tạp

T−ơng tự nh− đạo hμm cấp một, đạo hμm cấp cao, ta lấy gần

( )n i n

i n n

x f dx

f d

Δ Δ

≈ (6.7.2)

trong n i

f

đợc gọi l sai phân cấp n hm f(x) điểm chia thứ i

( i)

n i

n

f f =Δ Δ−1

Δ (6.7.3)

Từ đó, sai phân cấp hai có giá trị lμ

( )

4 2

2

1

2 =Δ Δ = Δ + −Δ − = + − + −

Δ i i i i i

i i

f f f

f f f f

vμ đạo hμm cấp hai có giá trị lμ

( )2 2

2 2

4

x f f f

x f dx

f

d i i i i

Δ + − = Δ Δ

≈ + −

i+1

f(x)

x

i i+2 i-1

i-2

fi+1

fi

fi-1

fi-2

fi+2

H×nh 6.7.1

Có thể tăng độ xác biểu thức cách chia nhỏ b−ớc, lấy b−ớc Δx Khi giữ nguyên ký hiệu cũ, ta viết biểu thức có độ chính xác cho đạo hμm cấp hai hμm f(x) lμ

( ) ( ) ( )2

2

1

2 1

2

2

4

x f x

f f f

x f f f

dx f

d i i i i i i i

i Δ

Δ = Δ

+ − = Δ

+ −

≈ + − + −

Nh− vËy sai ph©n cÊp hai sÏ lμ

1

2

2 −

+ − +

=

Δ fi fi fi fi (6.7.4)

vμ sai ph©n cÊp lμ

( ) ( )

( ) ( )

2 1

2

2 1

1

2

1 2 1

2

2

4

2

2

2

− − +

+

− − −

+ +

+

− +

− +

+ −

+ −

=

+ −

+ + − −

+ −

=

Δ + Δ − Δ = + − Δ

= Δ Δ = Δ

i i i i

i

i i i i

i i

i i i

i i i

i i i

i i

f f f f

f

f f f f

f f

f f f

f f f

f f f

f f

(6.7.5)

6.7.2 Đạo hm v sai ph©n cđa hμm hai biÕn

Xét hμm số hai biến ϕ(x,y) liên tục miền phẳng A Tiến hμnh chia miền A mạng l−ới đ−ờng song song với trục tọa độ, cách khoảng

0

3

4

5

7

9 10

11

12

Δx Δy

y

x

T2 B2 N2

N1 B1 T1

T4

N4

B4

N3

T3

B3

Δx vμ Δy, sau đánh số điểm nút nh− hình 6.7.2 Ta cần tính đạo hμm cấp hμm ϕ ph−ơng pháp sai phân điểm theo giá tr hm s ti cỏc nỳt i

Đạo hm cấp điểm đợc tính theo công thøc (6.7.1)

y y x x Δ − = ∂ ∂ Δ − = ∂ ∂ ; ϕ ϕ ϕ

Đạo hm cấp hai điểm đợc tính theo biểu thức sai phân (6.7.4)

y x x y y x y y x

x Δ Δ

− + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ Δ + − = ∂ ∂ Δ + − = ∂ ∂ ; ;

2 1 3 5 6 7 8

0 2 2 2

2ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

(6.7.6)

Đạo hm cấp bốn điểm đợc tính theo biểu thức sai phân (6.7.5)

( ) ( ) 2 2 2 2 4 12 10 4 11 4 4 ; y x x y y x y y x x Δ Δ + + + + + + + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ Δ + − + − = ∂ ∂ Δ + − + − = ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (6.7.7)

6.7.3 Phơng trình song điều hòa dới dạng sai ph©n

Hμm øng suÊt Airy cho bμi toán phẳng lý thuyết đn hồi thỏa mÃn phơng trình song điều hòa (6.4.2) điểm miền A

0 4 2 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y y x x ϕ ϕ ϕ

Sai phân hóa ph−ơng trình nμy với b−ớc sai phân cách Δx=Δy=Δxy, ta có

( ) ( ) 4 4 12 10 4 11 4 2 4 = Δ + − + − + Δ + + + + + + + − + Δ + − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ xy xy xy y y x x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Từ ta thu đ−ợc ph−ơng trình đại số

( ) (2 )

8

cần bổ sung giá trị hμm ϕ vμ đạo hμm điểm mắt l−ới nằm biên hay nằm sát phía ngoμi biên

Đối với điểm nằm biên, phơng trình bổ sung đợc lập từ điều kiện biên theo ứng suất Đó l phơng trình (6.4.11) hay (6.4.12)

Giá trị hμm ϕ điểm sát phía ngoμi biên đ−ợc xác định gần thơng qua giá trị hμm ϕ điểm bên sát biên vμ giá trị đạo hμm hμm ϕ cỏc im trờn biờn

6.7.4 Giá trị hm ngoi biªn

Ký hiệu điểm biên, điểm ngoμi biên vμ điểm biên lần l−ợt lμ T, N, B Vị trí điểm ngoμi biên nằm phía trục hay phía d−ới trục so với điểm biên vμ có vị trí t−ơng đối nh− hình 6.7.2:

a) Khi điểm N1 phía trái điểm B1 , theo hÖ thøc (6.7.1)

( ) ( )

x N T

x B Δ

− =

∂ ∂

2

1

1

ϕ ϕ

ϕ

suy

( ) ( )

1

2

1

B

x x T

N

∂ ∂ Δ −

=ϕ ϕ

ϕ (6.7.9.a)

b) Tơng tự, điểm N2 phía phải điểm B2 , suy

( ) ( )

2

2

2

B

x x T

N

∂ ∂ Δ +

=ϕ ϕ

ϕ (6.7.9.b)

c) Khi ®iĨm N3 ë phÝa d−íi ®iĨm B3 , suy

( ) ( )

3

2

3

B

y y T

N

∂ ∂ Δ −

=ϕ ϕ

ϕ (6.7.9.c)

d) Khi điểm N4 phía điểm B4 , suy

( ) ( )

4

2

4

B

y y T

N

∂ ∂ Δ +

=ϕ ϕ

ϕ (6.7.9.d)

Ví dụ 6.7.1: Xác định ứng suất điểm K tam giác chịu lực tr−ợt t phân bố đều hai cạnh vμ lực pháp tuyến q phân bố cạnh đáy nh− hình 6.7.4 với b−ớc sai phân Δxy =a

20 8

8

8 8

2

2

2

2

1 1

1 1

Giải: Từ điều kiện cân theo phơng y, ta cã

aq t

a

2 2

2 =

suy t=q

Chia l−ới sai phân hình vng với b−ớc Δxy =a Do tính đối xứng bμi toán nên ta đánh số thứ tự nút cho nửa tấm, nửa lại lấy đối xứng Điểm gốc A nằm trục đối xứng vμ trùng với điểm

Theo c«ng thøc (6.7.8), phơng trình sai phân cho điểm K l

(2 ) (22 )

8

20ϕK − ϕ5 +ϕ7+ϕ1 + ϕ6 + ϕ2 + ϕ4 +ϕ8 +ϕ9 =

Sử dụng công thức (6.4.11), ta tính đ−ợc giá trị hμm ứng suất ϕ với đạo hμm biên (bảng 6.7.1) từ điểm gốc A (hay 1p) đến điểm cần xét

theo ng−ợc chiều kim đồng hồ (nửa bên phải tấm) Cần l−u ý dấu mômen MB lμ

d−ơng quay ng−ợc chiều kim đồng hồ

B¶ng 6.7.1

§iĨm 1p 2p 3p 5p 7p

B A y B

P

x =−∑

∂ ∂

ν

ϕ

0

2 qa

− −qa

2 qa

−

B A x B

A

P

y =∑

∂ ∂

ν

ϕ

0 0 qa

qa

B A B B =∑M

ϕ

8

2

qa −

2

2

qa

−

2

2

qa

T−ơng tự, sử dụng cơng thức (6.4.12), ta tính đ−ợc giá trị hμm ứng suất ϕ với đạo hμm biên (bảng 6.7.2) từ điểm gốc A (hay 1t) đến điểm

cần xét theo thuận chiều kim đồng hồ (nửa bên trái tấm) Cần l−u ý dấu mômen MB

lμ d−ơng quay thuận chiều kim đồng hồ 7p

a/2 a/2

K

3p 2p

1p

4p 5p

6p

2t 3t

4t 5t 6t

q

9

x y

t

a/2

a/2 a/2 a/2

Bảng 6.7.2

Điểm 1t 2t 3t 5t 7t

B A y B

P

x =∑

∂ ∂

ν

ϕ

0

2 qa

qa

2 qa

0

B A x B

A

P

y =−∑

∂ ∂

ν

ϕ

0 0 qa

qa

B A B B =∑M

ϕ

8

2

qa −

2

2

qa

−

2

2

qa

Tõ b¶ng 6.7.1 vμ b¶ng 6.7.2, ta thÊy giá trị hm điểm biên l nh Để tính giá trị hm điểm ngoi biên, ta sử dụng công thức (6.7.9) kết hợp với công thức (6.4.11) hay (6.4.12) Hơn nữa, công thức ny cho kết quả, ví dụ điểm

2

2

2

2

2

5

2

5

qa qa

a x

a

qa qa

a x

a

K K

t K

t

K K

p K

p

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∂ ∂ − =

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + = ∂ ∂ + =

ϕ ϕ

φ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

T−ơng tự điểm 6, vμ

K K

K K

y a qa

y a

qa qa

a qa y

a

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

= ∂ ∂ − = +

= ∂ ∂ + =

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∂ ∂ + =

1

2

8

2

5

6

2 ;

2

8

2

Thay giá trị ny vo phơng trình sai phân, ta nhận đợc

0

2

8 2

20

2

2

= + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

− qa qa qa K qa k qa

K ϕ ϕ

ϕ

hay lμ

0

24ϕK − qa2 = suy

8

2

qa

K = ϕ

Từ ta tính đ−ợc ứng suất điểm K theo (6.7.6) lμ y

y’ q

x’

H×nh 6.7.5

( 2)

1 ,

νr

0

2

2 ;

2

2 6

2 5

2 2

1

2

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− + − − = ∂ ∂

∂ − =

− = ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ − = ∂ ∂ = =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ − = ∂ ∂ =

a a y

x

q a

x q

a y

K xy

K K

yy K

K xx

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

σ

ϕ ϕ ϕ ϕ σ

ϕ ϕ ϕ ϕ σ

Theo (6.5.2), ứng suất điểm K hệ tọa độ yx ′′ nh− hình 6.7.5 lμ q

y x y

y x

x′′ =σ ′′ = σ ′′ =−

σ 0;

Sử dụng công thức (1.4.52) phép quay θ=1350, ta có

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ −

− +

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

0 135

sin

135 cos 0 0

0

0 q

q q

xy xx

σ σ

vμ tõ c«ng thøc (1.4.47) suy

q

xx y y x x

yy =σ ′′+σ ′′−σ =− σ

Ch−¬ng

Bμi tốn phẳng lý thuyết đμn hồi tuyến tính hệ tọa độ cực

Khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng vμ chuyển vị đĩa, ống dầy, cong, nêm, bán phẳng, ng−ời ta th−ờng dùng hệ tọa độ cực tiện lợi hệ tọa độ Descartes Để thấy rõ ý nghĩa hình học, vật lý hệ thức bμi toán đμn hồi phẳng hệ tọa độ cực, ta thiết lập lại hệ thức nμy thay sử dụng biến đổi tốn học phc

7.1 Các phơng trình

7.1.1 Các phơng trình hình học

Trong h tọa độ cực, vị trí điểm A đ−ợc xác định bán kính r vμ góc cực θ Giữa hai hệ tọa độ nμy có liên hệ với qua hệ thức

x y arctg y

x r

r y r

x

= +

=

= =

θ

θ θ

;

sin ;

cos

2

2 (7.1.1)

Ký hiÖu ur v u l chuyển vị điểm A theo phơng bán kính r v phơng vuông

góc với bán kính Quan hệ chuyển vị vμ biến dạng bé hệ tọa độ cực đ−ợc thiết lập t−ơng tự nh− hệ tọa độ Descartes vuông góc Hình 7.1.1.a thể biến dạng chuyển vị theo ph−ơng bán kính, hình 7.1.1.b thể biến dạng theo ph−ơng vng góc với bán kính

dθ θ

dr r u

u r

r

∂ ∂ +

θ θ d

u

u r

r

∂ ∂ +

r ur dr rdθ

(r+ur)dθ x y

a)

r

θ

α

dθ

θ θθ

θ d

u u

∂ ∂ +

dr r u u

∂ ∂ + θ θ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

r dr r uθ

θ r

uθ dr rdθ

x y

b)

r

θ

β

BiÕn dạng di theo phơng bán kính l ( ) r u dr u dr r u

ur r r r

rr ∂ ∂ = − ∂ ∂ + =

(7.1.2)

Biến dạng theo phơng vuông góc với bán kính gồm hai thnh phần: thnh phần thứ chuyển vị theo phơng bán kính, thnh phần thứ hai chuyển vị theo phơng vuông góc víi b¸n kÝnh

( ) ( ) θ θ θ θ θ θ θ ε θ θ θ θ θθ ∂ ∂ + = − ∂ ∂ + + − + = u r r u rd u d u u rd rd d u

r r r

(7.1.3)

BiÕn d¹ng gãc

( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − + = + = r u r u u r dr dr dr r u dr r u u rd u d u

ur r r r

r θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ β α ε 2 (7.1.4)

Trong tính tốn sau nμy, ta th−ờng sử dụng hμm ứng suất Airy hệ tọa độ cực, nên ta khơng cần đ−a ph−ơng trình t−ơng thớch bin dng Saint Venant

7.1.2 Các phơng trình c©n b»ng

Ta biểu diễn thμnh phần ứng suất tác động mặt phân tố có các kích th−ớc dr , dθ theo trục tọa độ qua điểm xét nh− hình 7.1.2

Lực thể tích tác động lên phân tố gồm

(F Fθ)

Fr r, vμ lùc quán tính 2ur 2t Sử dụng nguyên lý DAlembert, xét cân theo phơng trục r v của phân tố đợc tách từ môi trờng

( ) ( ) cos cos sin sin sin sin cos cos 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + − θ ρ θ θ σ σ θ σ θ θ θ σ σ θ σ θ σ θ σ σ θ ρ θ θ θ σ σ θ σ θ θ σ σ θ σ θ σ σ θ σ θ θ θθ θθ θθ θ θ θ θ θ θ θθ θθ θθ θ θ θ rdrd t u F d dr d dr d dr d d dr rd d dr r dr r rdrd t u F d dr d d dr d dr d dr d dr r dr r rd r r r r r r r r r r r rr rr rr

Do biến dạng bé nên lấy cosθ ≈ sin1; θ ≈θ , sau rót gän, ta đợc y

θr r d

∂ ∂ + σθr θ θ σ σ θθ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + +

∂ ∂ + ∂ ∂

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ = + − + ∂ ∂ + ∂ ∂

2

2

0

1

0

t u F

r r

r

t u F

r r

r

r r

r r

rr r rr

θ θ

θ θθ

θ

θθ θ

ρ σ

θ σ σ

ρ σ

σ θ σ σ

(7.1.5)

7.1.3 Định luật Hooke

Vì phơng r vuông góc với phơng nên từ hệ thức (6.3.4) (6.3.6), ta nhận đợc biểu thức ứng suất theo biÕn d¹ng

( rr ) r r ( rr)

rr

E E

E ε νε

ν σ

ε ν σ

νε ε ν

σ θθ θ θ θθ θθ +

− = +

= +

−

= 2 2

1 ;

1 ;

1 (7.1.6)

BiĨu thøc cđa biÕn d¹ng theo øng st

( rr ) r r ( rr)

rr

E E

E σ ε σ νσ

ν ε

νσ σ

ε = − θθ ; θ =1+ θ ; θθ = θθ − (7.1.7)

a) Bi toán biến dạng phẳng

Đối với bi toán biến dạng phẳng cần thay E b»ng E1 , ν b»ng ν1

ν ν ν ν = − −

=

1 ;

1

1

E

E (7.1.8)

Ten xơ biến dạng có dạng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

0 0

0 θθ θ

θ

ε ε

ε ε

ε r

r rr

ij (7.1.9)

hay dạng rút gọn thnh phÇn chÝnh

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

θθ θ

θ

ε ε

ε ε ε

r r rr

ij (7.1.10)

Ten xơ ứng suất có dạng

( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

zz r

r rr ij

σ σ σ

σ σ

σ θ θθ

θ

0

0

(7.1.11)

trong

(σ σθθ)

ν

σzz = rr + (7.1.12)

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

θθ θ

θ σ σ

σ σ σ

r r rr

ij (7.1.13)

b) Bi toán ứng suất phẳng suy rộng Ten xơ biến dạng có dạng

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

+ + +

+ + +

zz r

r rr ij

ε ε ε

ε ε

ε θ θθ

θ

0

0

(7.1.14)

trong

( )+ =− ( ( )+ + ( )+ )

θθ

σ σ ν εzz rr

E (7.1.15)

Dạng rút gọn thnh phần

( )

( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

= ++ ++

+

θθ θ

θ ε ε

ε ε ε

r r rr

ij (7.1.16)

Ten x¬ øng suÊt cã d¹ng

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

= + +

+ + +

0 0

0 θθ θ

θ

σ σ

σ σ

σ r

r rr

ij (7.1.17)

hay dạng rút gọn thnh phÇn chÝnh

( )

( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

= ++ ++

+

θθ θ

θ σ σ

σ σ σ

r r rr

ij (7.1.18)

Hệ ph−ơng trình bμi toán phẳng lý thuyết đμn hồi tuyến tính hệ tọa độ cực gồm ph−ơng trình độc lập:

- ph−ơng trình (7.1.2) – (7.1.4) thể quan hệ biến dạng vμ chuyển vị - ph−ơng trình cân hay chuyển động (7.1.5)

- ph−ơng trình định luật Hooke (7.1.6) hay (7.1.7) thể quan hệ ứng suất vμ bin dng

Các ẩn số cần tìm gồm hμm Èn:

- thμnh phÇn cđa véc tơ chuyển vị ur , u

- thnh phần biến dạng rr , r ,

Nh− vậy, bμi toán đμn hồi phẳng gồm ph−ơng trình, ẩn hμm lμ hệ khép kín đủ để giải Hơn nữa, ta cần thêm điều kiện biên vμ điều kiện ban đầu cho tr−ớc Các điều kiện biên cho theo ứng suất có dạng (6.3.7), theo chuyển vị có dạng (6.3.8) hay điều kiện biên dạng hỗn hợp Điều kiện ban đầu bμi toán động lực hay tựa tĩnh có dạng t−ơng tự (6.3.9)

7.1.4 Hμm ứng suất Airy hệ tọa độ cực

Trong hệ tọa độ cực, ta tìm cách biểu thị ứng suất qua hμm ứng suất Nếu lực thể tích khơng, ph−ơng trình cân (7.1.5) thỏa mãn

θ ϕ θ

ϕ σ

ϕ σ

θ ϕ ϕ

σ θθ θ

∂ ∂

∂ − ∂ ∂ = ∂

∂ = ∂

∂ + ∂ ∂ =

r r r

r r

r

r r

rr

2

2 2

2

1

; ;

1

(7.1.19)

trong ϕ( )r,θ gọi lμ hμm ứng suất Airy hệ tọa độ cực Trong hệ tọa độ Descartes, theo hệ thức (6.4.1), ta có

ϕ ϕ ϕ σ

σ 22 22 =Δ1 ∂

∂ + ∂ ∂ = +

y x

yy xx

Tõ bÊt biÕn thø nhÊt xx+yy =rr +, sử dụng (7.1.19), ta đợc

ϕ θ θ

ϕ ϕ

ϕ σ

σ θθ

2 2

2

2 2

2

1

1

Δ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = +

r r r r r

r r r

rr

Do đó, tốn tử Laplace hệ tọa độ cực có dạng

2 2

2

1

θ

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂ = Δ

r r r

r (7.1.20)

Các ứng suất xác định theo (7.1.19) lμ nghiệm bμi toán phẳng, nh− hμm ứng suất ϕ( )r,θ thỏa mãn ph−ơng trình song điều hòa (6.4.2)

0

1

1

2 2

2 2 2

2

1 ⎟⎟=

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂ = Δ Δ

θ ϕ ϕ

ϕ θ

ϕ

r r r r r

r r

r (7.1.21)

7.2 Tr−ờng hợp ứng suất khơng phụ thuộc vμo góc cực: Bμi tốn đối xứng trục vμ bμi toán uốn cong

Bμi toán xác định trạng thái ứng suất, biến dạng vμ chuyển vị ống dầy chịu áp lực vμ ngoμi, bμi toán uốn túy cong, bμi toán đĩa quay, lμ ví dụ bμi tốn có ứng suất khơng phụ thuộc vμo góc cực

Khi ứng suất không phụ thuộc vμo góc cực θ, tức lμ ứng suất phân bố đối xứng đối với điểm cực r=0, ph−ơng trình (7.1.21) có dạng

0

1

3 2 3

4

= +

− +

dr d r dr d r dr d r dr

d ϕ ϕ ϕ

Nghiệm tổng quát phơng trình ny l

0

2

1lnr C r lnr C r C

C + + +

=

ϕ (7.2.1)

Do ứng suất xác định qua đạo hμm hμm ϕ nên chọn C0=0 Thay (7.2.1) vo

(7.1.19), ta đợc

(1 2ln ) ; 2(3 2ln ) ;

1

2

1 + + + =− + + + =

= σθθ σ θ

σrr C r C r

r C C

r C

r C

(7.2.2)

Thay (7.2.2) vμo ph−ơng trình thứ định luật Hooke (7.1.7) vμ sử dụng hệ thức Cauchy (7.1.2), ta đ−ợc

( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ + + − + − + −

= ∂ ∂

3

2

1

1

1 ln

2

1

C C

r C r

C E

r

ur ν ν ν ν

Tích phân phơng trình ny, ta tìm đợc chuyển vị theo phơng bán kính

( ) ( ) ( ν) ( ν) ( )θ

1

2

1

ln

2

1

f r C r

C r

r C r

C E

ur +

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ + + − − + + −

− =

với f1(θ) lμ hμm tùy ý θ Từ ph−ơng trình thứ ba định luật Hooke (7.1.7), sử

dụng hệ thức Cauchy (7.1.3), ta đợc

( rr)

r

E r u u

r θ σθθ νσ

θ + = −

∂

∂

1

hay lμ

( )θ

θθ

2

4

f E

r C u

− =

∂ ∂ Tích phân lên ta có

( )d f ( )r f

E r C

u

0

4

+ −

= ∫θ

θ θ θ θ

với f2(r) lμ hμm tùy ý r Đặt vμo ph−ơng trình thứ hai định luật Hooke

(7.1.7) víi chó ý r=0, ta đợc

( ) ( ) ( ) ( )

0

1

2

0

1 + ∫ + − =

r f r dr

r df d f r d df

r θ θ θ

từ suy

( ) ( ) ( ) ( )

C r f dr

r df r C d f d

df

− = −

=

+∫

2

1

; θ θ θ

θ θ

trong C lμ số tùy ý Giải hai ph−ơng trình nμy, ta đ−ợc

( ) C C f ( )r C C r

f1θ = 5sinθ + 4cosθ ; = +

Cuối ta đợc biểu thức chuyển vị

( ) ( ) ( ) ( )

r C C

C E

r C u

C C

r C r

C r

r C r

C E

ur

6

5

4

3

2

sin cos

4

cos sin

1

ln

2

1

+ −

+ =

+ +

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡− + + − − + + −

=

θ θ

θ

θ θ

ν ν

ν ν

θ

(7.2.3)

với số Ck (k=1, ,6) đ−ợc xác định từ điều kiện biên Từ (7.2.3) ta thấy,

øng st kh«ng phơ thc vμo góc cực nhng chuyển vị ur , u cã thĨ phơ

thc vμo gãc cùc θ

7.2.2 Bμi toán đối xứng trục

Bμi toán gọi lμ đối xứng trục ứng suất, biến dạng vμ chuyển vị khơng phụ thuộc vμo góc cực θ

7.2.2.1 Bμi to¸n LamÐ

XÐt ống tròn có bán kính a, bán kính ngoi b chịu tác dụng áp lực pa

, áp lực ngoμi pb (hình 7.2.1.a) Từ tính chất đối xứng suy điểm

ống có chuyển vị theo phơng bán kính, chuyển vị ny phụ thuộc vo bán kính, tøc lμ

( ); ≡0 =u r uθ

ur r (7.2.4)

H×nh 7.2.1 pb

pa 2a 2b

a)

σrr pa

b)

σθθ σθθ

pb

c)

Tõ hệ thức Cauchy (7.1.2) (7.1.4), ta nhận đợc thnh phần biến dạng

0 ;

; = =

= εθθ ε θ

ε r

r r

rr

r u dr

du

(7.2.5)

Điều kiện biên theo ứng suất lμ

b b r rr a a r

rr = =−p σ = =−p

σ ; (7.2.6)

Từ biểu thức chuyển vị (7.2.3), ta nhận thấy chuyển vị uθ tăng lên đại

lợng 8rC2 E sau vòng kín tiết diện ống Điều ny không phù hợp

v mặt vật lý, bμi tốn đối xứng trục C2=0 vμ chuyển vị bμi toán đối xứng trục lμ

( ) ( )

r C u r C r

C E

ur

1

;

2

1

= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ + + −

−

= ν ν θ (7.2.7)

Thay (7.2.2) víi C2=0 vμo (7.2.6), ta t×m đợc số tích phân C1 , C3 l

( 2)

2

3 2 2

2 ;

a b

b p a p C b a a b

p p

C a b a b

− − =

− − − = vμ xác định đ−ợc ứng suất

0 ;

; 2

2 2 2

2

2

2 2 2

2

2

= −

− + −

− =

− − − −

−

= σθθ σ θ

σ a b a b a b a b r

rr

r b a a b

p p a

b

b p a p r

b a a b

p p a

b

b p a p

(7.2.8)

Hình 7.2.1.b thể biểu đồ ứng suất ống chịu áp lực pa , áp lực ngoμi bằng khơng Hình 7.2.1.c thể biểu đồ ứng suất ống chịu áp lực ngoμi pb , áp lực không Từ (7.2.8), ta thu đ−ợc

2

2

2

a b

b p a

pa b

rr

− − =

+

l số điểm èng

Khi chiều dμi ống lμ nhỏ, ống trạng thái ứng suất phẳng nên σzz =0 Khi chiều dμi ống lμ lớn, ống trạng thái biến dạng phẳng, thμnh phần ứng suất σzz xác định theo

c«ng thøc (7.1.12)

( ) 22 2

a b

b p a

pa b

rr zz

− − =

+

=ν σ σ ν

σ θθ

Trong hai trờng hợp, trạng thái ứng suất ống l trạng thái ứng suất khối với ứng suÊt chÝnh σrr ;σθθ ;σzz, thø tù c¸c øng suÊt ny phải dựa vo

(σθθ σ ) ≤[ ]σ

− − =

− max 2 2 222 a

b a a b

p

pa b

rr

với [ ]σ lμ ứng suất cho phép Nh− vậy, để ống đảm bảo bền chênh lệch áp lực trong pa vμ áp lực ngoμi pb không đ−ợc v−ợt giá trị

[ ]

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ≤

− 22

2 b

a p

pa b σ (7.2.9)

Từ (7.2.9) ta nhận thấy, cố định giá trị a vμ cho giá trị b thay đổi (tức lμ thay đổi độ dầy ống) áp lực cho phép tăng lên khơng đáng kể, hay nói cách khác việc tăng độ dầy thμnh ống không tăng đáng kể độ bền ống

Sư dơng ®iỊu kiƯn (7.2.4), tõ (7.2.7) suy C6=0 nên ta đợc chuyển vị

0 ;

1 2

2 2

2

2

= −

− +

+ −

− −

= ν ν uθ

r b a a b

p p E r a b

b p a p E

u a b a b

r (7.2.10)

Bμi tốn Lamé giải theo chuyển vị cách thay (7.2.5) vμo định luật Hooke (7.1.6) vμ sử dụng ph−ơng trình cân (7.1.5) (bỏ qua lực thể tích), ta đ−ợc ph−ơng trình vi phân bậc hai chuyển vị ur Ph−ơng trình nμy có nghiệm tổng

quát lμ biểu thức (7.2.7), cịn số tích phân đ−ợc xác định theo điều kiện biên (7.2.6)

Tr−êng hỵp tiÕt diện vô hạn có lỗ hổng tròn (b v pb=0), từ công thức (7.2.8) (7.2.10), ta có

[ ] ( )

0 ;

; ;

0 ;

;

2

2

2

= +

= ≤

= =

−

= σθθ σ θ σ ν θ

σ u

r a E

p u

p p

r a p

r

a a

r a

r a a

rr

Trạng thái ứng suất điểm ống l trạng thái trợt túy zz =0 hai bi toán ứng suất phẳng v bi toán biến dạng phẳng

Tr−ờng hợp ống đặc (a=0 vμ pa=0), ta có trạng thái nén phía

( )

0 ;

;

; = =− − =

− =

=σθθ σ θ ν θ

σ r u

E p u

p b

r r

b rr

7.2.2.2 Xác định ứng suất ban đầu ống ghép hai lớp

Tõ c«ng thøc (7.2.9) ta nhËn thÊy, áp lực bên ngoi pb tăng lên áp lùc bªn

trong cho phép pa tăng lên đáng kể Điều nμy dẫn đến ý nghĩa sử dụng ống ghép

nhiều lớp với ứng suất ban đầu để tăng đáng kể điều kiện lμm việc lớp trong, không tăng độ dầy tổng cộng thμnh ống nhiều lớp nμy

nhau, ống ghép không chịu lực ngoi nh−ng vÉn cã øng suÊt C¸c øng suÊt èng gồm ứng suất ban đầu

ij

vμ øng suÊt σij sinh lùc ngoμi Do tÝnh

chất tuyến tính bμi tốn, ứng suất σij đ−ợc xác định theo lực ngoμi xem nh−

khơng có ứng suất vμ biến dạng ban đầu Bμi toán đặt lμ xác định ứng suất ban đầu ống sau ghép vμ để đơn giản, ta giả thiết hai ống lμ loại vật liệu Ký hiệu X lμ áp lực tác dụng hai ống, sử dụng nghiệm chuyển vị bμi toán Lamé (7.2.10) cho ống:

- §èi víi èng a=a1 , b=b1 vμ ¸p lùc pa=0, pb=X ta cã

( ) ( )[ ( )a b X ( )b X]

a b E b

ur 2 12 1 13

1 1

1 1

1 − +ν − −ν

−

= (7.2.11)

- §èi víi èng ngoμi a=a2 , b=b2 vμ ¸p lùc pa=X, pb=0 ta cã

( ) ( )[( )b a X ( )a X]

a b E a

ur 2 22 2 23

2 2

2 1

1 ν ν

− + +

−

= (7.2.12)

Tõ ®iỊu kiƯn b¸n kÝnh ngoμi cđa èng b»ng b¸n kÝnh ống ngoi sau biến dạng, ta nhận đợc

( )1 2( )2

1 u b a u a

b + r = + r (7.2.13)

Phơng trình (7.2.13) có nghiệm

( )[( ) ( ) ] ( )[( ) ( ) 2] 2

2

2 2 2

1

1

1

1

2

1

1

1 b a

a b E

a b

a a

b E

b

a b X

ν ν

ν

ν + + −

− +

− + + −

−

= (7.2.14)

Thay giá trị X tìm đ−ợc vμo (7.2.8), ta xác định đ−ợc ứng suất ban đầu ống sau ghép Nếu b1 >a2 X >0, tức lμ bán kính ngoμi ống lớn chút so với bán kính ống ngoμi, áp lực ống ghép lμ d−ơng Nh− vậy, dùng ống ghép hai lớp ống ngoμi phải lμm việc thêm, ống đ−ợc giảm tải vμ phân bố ứng suất nên độ bền ống tăng lên Trong kỹ thuật, ng−ời ta sử dụng rộng rãi kết cấu có ứng suất tr−ớc nh− để giảm bớt không đồng ứng suất chịu tác dụng tải trọng ngoμi

7.2.3 Thanh cong phẳng chịu uốn túy

Xét cong phẳng mặt cắt chữ nhật với bề dầy đơn vị, chịu uốn túy mơmen M (hình 7.2.2) Tuy ứng suất khơng phụ thuộc vμo góc cực, nh−ng khác với bμi toán đối xứng trục, chuyển vị ur , uθ cong chịu

n thn tóy vÉn phơ thuéc vμo gãc cùc θ

0 ;

0 ;

0 ;

0 = = =

= = = =

=a r r a rr r b r r b

r

rr σ θ σ σ θ

σ (7.2.15)

Tại hai đầu (=0) lực dọc vμ øng suÊt tiÕp, chØ cã m«men uèn M

nên điều kiện biên l

0 ;

;

0

= =

= ∫ =±

∫σθθ σθθ σrθ r θ

b

a b

a

M dr r

dr (7.2.16)

Thay ứng suất (7.2.2) vμo (7.2.15) vμ (7.2.16), ph−ơng trình (7.2.16) dẫn đến đồng thức, ta đ−ợc hệ ba ph−ơng trình

( ) ( )

(C C )(b a ) (C b b a a) M

b a C

C C b b

C C

C a a

C

= −

+ − +

+

= + + +

= + + +

ln ln

ln

0 ln ;

0 ln

2

2 2

3 2

1

2

1

Từ ta nhận đ−ợc biểu thức ứng suất

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + +

− −

=

= ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

=

2 2

2

2

2

2 2

ln ln

ln

0 ;

ln ln

ln

a b r a a r b b a b r

b a N

M

r a a r b b a b r

b a N

M

r rr

θθ

θ

σ

σ σ

(7.2.17)

trong

( ) 2

2 2

ln

4 ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

− =

a b b a a

b

N (7.2.18)

Từ biểu đồ ứng suất σrr , σθθ thể hình 7.2.2, ta có số nhận xét:

- Gi÷a lớp vật liệu cong chịu uốn tóy lu«n xt hiƯn øng st

σrr Nh− vậy, giả thiết thớ vật liệu không ảnh h−ởng lẫn trình biến dạng sức bền vật liệu lμ gần Độ cong cμng lớn

M M

a b

1

θ0

σθθ σrr

thì ảnh h−ởng cμng tăng Tuy nhiên, sai số hai kết chấp nhận đ−ợc tính tốn thực tế

- Trơc trung hßa cđa cong nằm phía tâm cong v không trùng với trục trọng tâm

- Thnh phần ứng suất cong l hm tuyến tính nh

trong thẳng vμ lμ hμm hypebon nh− theo sức bền vật liệu Giá trị ứng suất nμy tăng nhanh điểm gần tâm cong vμ đạt giá trị lớn mép có bán kính r=a

Chuyển vị ur , uθ xác định theo công thức (7.2.3) Các số C4 , C5 , C6 đ−ợc xác

định từ điều kiện gắn chặt điểm O nμo đó, chẳng hạn điểm O có tọa độ

( + ) 2; =0 = a b θ

R Tại ta có

0 ;

0 ;

0

0 ,

,

, ∂ =

∂ = =

= = =

= =

=

θ θ θ

θ θ

R r R

r R

r r

r u u

u (7.2.19)

suy C5=C6=0, số C4 xác định từ ph−ơng trình

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ + + − − + + −

− −

= C C R R C R C R

R E

C4 1 ν 1 21 ν 2 ln 2 ν 3 ν (7.2.20)

7.3 Bμi toán nêm chịu lực tập trung đỉnh

Trong tr−ờng hợp chung, ứng suất phụ thuộc vμo tọa độ r vμ góc cực θ Michell tìm hμm ứng suất Airy d−ới dạng tổng số hạng bμi toán đối xứng trục với một chuỗi theo r vμ θ Nếu chọn số hạng cách thích hợp phụ thuộc vμo r vμ

θ, ta cã thÓ tìm đợc nghiệm riêng

7.3.1 Hm ứng suất Airy

Xét nêm phẳng có chiều dμi lớn (xem nh− dμi vô hạn), bề dầy đơn vị, góc chắn đỉnh lμ 2α (hình 7.3.1) Nêm chịu lực phân bố P theo bề dầy đặt đỉnh, cịn hai cạnh nêm khơng có tải trọng ngoμi Đây lμ sơ đồ đập chắn, có tiết diện thay đổi bậc theo chiều dμi, chi tiết hình nêm máy,v.v Ta dùng ph−ơng pháp nửa ng−ợc để giải bμi toán nμy cách đánh giá giá trị trung bình

( )+

rr

σ ứng suất σrr vịng trịn bán kính r có tâm đỉnh Khi tách phần tử OAB lực P

b=1 θ

α α

x

y β

P

K r O

A B

P phải cân với ứng suất cung AB, tức lμ σrr( )+ có bậc r Kết hợp với công thức (7.1.19), ta suy hμm ứng suất Airy có dạng ϕ =rf( )θ với f(θ) lμ hμm tùy ý Mặt khác hμm ϕ phải thoả mãn ph−ơng trình (7.1.21), từ ta thu đ−ợc ph−ơng trình

0

2 2

2 4

= +

+ f

d f d d

f d

Nghiệm tổng quát phơng trình nμy lμ

( )θ C1cosθ C2sinθ C3θcosθ C4θsinθ

f = + + +

Từ đó, hμm ứng suất Airy ϕ có dạng

( ) (θ θ θ θ θ θ θ)

ϕ=rf =r C1cos +C2sin +C3 cos +C4 sin (7.3.1) với Ck (k=1, ,4) lμ số xác định từ điều kiện biên vμ điều kiện cân

nêm Các thμnh phần ứng suất xác định theo (7.1.19)

( cos sin ); 0; 1

2

1

2

2

4

2

2 ∂ ∂ =

∂ − ∂ ∂ = =

∂ ∂ = −

= ∂ ∂ + ∂ ∂ =

θ ϕ θ

ϕ σ

ϕ σ

θ θ

θ ϕ ϕ

σ θθ θ

r r r

r C

C r r

r

r r

rr (7.3.2)

Từ (7.3.2), ta thấy nêm tồn ứng suất theo ph−ơng bán kính σrr Do đó,

điều kiện biên hai cạnh OA, OB nêm khơng có tải trọng ngoμi, tức lμ điều kiện σrθ =σθθ =0 θ =±α đ−ợc tự động thỏa

Xét cân phần nêm AOB có bán kính r nằm cân dới tác dụng lùc P, trªn cung AB chØ cã øng suÊt pháp rr Tổng hình chiếu lực theo trục x cho ta

( cos sin )cos

2 sin

cos

sin + ∫ = + ∫ 4 − 3 =

−

α α

θ θ θ θ

β θ

σ

β C C rd

r P

ds P

AB rr

suy

α α

β

2 sin

sin

4 =− +

P

C (7.3.3)

Tổng hình chiếu lực theo trục y cho ta

( cos sin )sin

2 cos

sin

cos + =− + − =

− ∫ ∫

−

α α

θ θ θ θ

β θ

σ

β C C rd

r P

ds P

AB rr

suy

α α

β

2 sin

cos

3 =− −

P

C (7.3.4)

0 ; ; sin sin cos cos sin sin

2 = =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − = θ σθθ σ θ α α β θ α α β

σrr r

r P

(7.3.5)

7.3.2 Nêm chịu nén tâm

Khi β =π 2, ứng suất (7.3.5) lμ

0 ; sin cos = = + − = θ θθ σ σ α α r rr r P (7.3.6)

Giá trị thnh phần ứng suất đờng thẳng x=H hay r=H cosθ lμ

0 ; sin cos 2 = = + − = θ θθ σ σ α α θ σ r rr H P (7.3.7)

Sử dụng công thức quay trục toạ độ (1.4.52), ta xác định đ−ợc ứng suất mặt cắt ngang vng góc với trục x lμ

( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − + − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ α α θ θ α α θ θ θ σ σ σ σ σ sin sin cos 2 sin cos 2 sin cos 0 2 H P H P rr rr rr xy xx (7.3.8)

Thμnh phần σyy xác định từ bất biến (1.4.47)

α α θ θ α α θ α α θ σ σ σ σ θθ sin sin cos 2 sin cos 2 sin cos

2 2

+ − = + − − + − = − + = H P H P H P xx rr

yy (7.3.9)

Từ biểu đồ ứng suất mặt cắt ngang nêm chịu nén tâm (hình 7.3.2.a), ta nhận thấy ứng suất pháp phân bố khơng đều, lớp vật liệu có ảnh h−ởng lẫn (do σyy≠0) vμ ứng suất tiếp không đồng không nh− nghiệm gần sức bn vt liu (hỡnh 7.3.2.b)

Kết tính toán b»ng sè cho thÊy α=300, sai sè tÝnh σ

xx theo (7.3.8) vμ theo søc

bền vật liệu lμ 17%, α=450 sai số nμy lên n 36%

7.3.3 Nêm chịu uốn ngang

Khi β=0, ứng suất (7.3.5) có dạng

0 ; ; sin sin

2 = =

−

= σθθ σ θ

α α

θ

σrr r

r P

(7.3.10) H×nh 7.3.2

a) b)

Giá trị thnh phần ứng suất đờng thẳng x=H hay r =H cos l

; ;

2 sin

cos sin

= =

−

= σθθ σ θ

α α

θ θ

σrr r

H P

(7.3.11)

Sử dụng công thức quay trục toạ độ (1.4.52), ta xác định đ−ợc ứng suất mặt cắt ngang vng góc với trục x lμ

( ) ( )

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− − =

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

− − ⎟⎟

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− +

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

α α

θ α α

θ θ θ

θ σ

σ σ

σ σ

2 sin

2 sin

2 sin

cos sin

2 sin

2 cos

2

0

0

2

H P H

P

rr rr

rr

xy xx

(7.3.12)

Thμnh phần σyy xác định từ bất biến (1.4.47)

α α

θ θ α

α

θ θ α

α

θ θ σ

σ σ

σ θθ

2 sin

sin sin

sin

cos sin

sin

cos sin

2 2

− =

− −

− =

− + =

H P H

P H

P

xx rr

yy (7.3.13)

Từ biểu đồ ứng suất mặt cắt ngang nêm chịu uốn ngang (hình 7.3.3.a), ta nhận thấy ứng suất pháp phân bố không theo luật tuyến tính, lớp vật liệu có ảnh h−ởng lẫn (do σyy≠0) vμ ứng suất tiếp không theo luật parabôn nh−

nghiệm gần sức bền vt liu (hỡnh 7.3.3.b)

Kết tính toán sè cho thÊy

α=250, sai sè tÝnh σ

xx theo (7.3.12) vμ theo

søc bÒn vËt liệu l 17%, góc tăng sai số ny cng tăng lên Mặt khác, giá trị lớn yy tính theo (7.3.13)

22% giá trị lín nhÊt cđa σxx nh−ng theo søc

bỊn vËt liệu yy không

T cỏc vớ dụ cho thấy, công thức gần sức bền vật liệu với lăng trụ có mặt cắt ngang khơng đổi Khi mặt cắt ngang thay đổi, cần sử dụng cơng thức xác hn ca lý thuyt n hi

7.3.4 Nêm chịu uèn bëi ngÉu lùc

Xét nêm chịu uốn ngẫu lực M0 đặt đỉnh (hình 7.3.4) Hμm ng sut Airy

đợc chọn có dạng

y

α α x

P O

H

σxx

σyy

σxy

b) H×nh 7.3.3

θ θ

ϕ=C1 +C2sin2 (7.3.14)

với C1 , C2 lμ số xác định theo điều kiện biên θ =±α khơng có tải trọng

ngoμi vμ điều kiện cân nêm Các ứng suất xác định theo (7.1.19)

2 2

2 cos2

; ;

2 sin

r C C r

C

r rr

θ σ

σ θ

σ =− θθ = θ =− + (7.3.15)

Điều kiện biên σθθ =0 θ =±α đ−ợc tự động thỏa mãn Từ điều kiện biên σrθ =0 θ =±α , ta xác định đ−ợc

α cos 2

1 C

C =−

Xét cân phần nêm AOB có bán kính r nằm cân dới tác dụng mômen M0 Trên cung

AB có thnh phần ứng suất pháp rr v ứng suất

tiếp r nhng có r gây mômen Tổng mômen

M0 vμ mômen ứng suất tiếp σrθ điểm

O cho ta ph−ơng trình xác định số C2

( cos2 cos2 )

1 2

2

2

0+ ∫ = +∫ − + =

−

θ θ α

σ α

α

θ C C r d

r M rds M

AB r

suy

α α α cos2

sin

0

− −

= M

C

Thay vμo (7.3.15), ta xác định đ−ợc ứng suất

0 ;

2 cos 2 sin

2 cos cos

2 cos 2 sin

2 sin

2

0

= −

− −

=

− =

θθ

θ α α α σ

α θ

σ

α α α

θ σ

r M r M

r rr

(7.3.16)

Kết hợp nghiệm bμi toán uốn nêm lực tập trung (7.3.10) với nghiệm bμi toán uốn nêm ngẫu lực (7.3.16) M0 =Pa, ta tìm đ−ợc ứng suất nêm khơng có đỉnh nhọn nh− hình 7.3.5 Khi ứng suất nêm khơng có đỉnh hay lμ ứng suất dầm cơng xơn có tiết diện thay đổi bậc chịu lực tập trung P đầu tự có dạng

0 ;

2 cos 2 sin

2 cos cos ;

2 cos 2 sin

2 sin

2 sin

sin

2

2 − =

− −

= −

+ −

−

= α θ α α αθ α σ θ αθ α αα σθθ

σ

r Pa r

Pa r

P

r

rr (7.3.17)

M0

H×nh 7.3.4 A

O α

α B

P α

α a)

P b)

α α

M0=Pa

a

H×nh 7.3.5 c)

Từ kết nhận đ−ợc, ta mở rộng cho bμi tốn nêm chịu tải trọng phân bố cạnh nêm, độ dμi cạnh nêm hữu hạn, Cần l−u ý rằng, giải bμi tốn nêm, ta hoμn toμn khơng sử dụng lời giải sở nμo sức bn vt liu

7.4 Bi toán bán phẳng chịu lùc tËp trung trªn biªn

Xét nửa mặt phẳng đμn hồi có biên lμ đ−ờng thẳng (bán phẳng), bề dầy đơn vị Bán phẳng chịu lực P vng góc với biên vμ phân bố theo bề dầy (hình 7.4.1) Bμi tốn nμy đ−ợc Flamant giải vμ có nhiều ứng dụng tính tốn móng cơng trình loại đất cịn giữ đ−ợc tính chất đμn hồi khi áp lc khụng ln lm

7.4.1 ứng suất điểm bán phẳng

Bi toỏn Flamant l tr−ờng hợp riêng bμi toán nêm chịu nén tâm với α =π 2; β =π 2, ứng suất điểm bán phẳng xác định theo (7.3.6) lμ

0 ;

0 ;

2 cos

2 =− = =

−

= σθθ σ θ

π θ π

σrr r

d P r

P

(7.4.1)

trong d lμ đ−ờng kính đ−ờng trịn qua điểm đặt lực vμ điểm tính ứng suất Từ ta thấy điểm đ−ờng trịn d có giá trị ứng suất

rr nh Những đờng tròn ny gọi l đờng

ng ng sut Boussinesq, ng kính đ−ờng trịn cμng nhỏ ứng suất cμng lớn, d dần tới khơng ứng suất σrr tiến tới vô Tuy

nhiên, theo nguyên lý Saint Venant, ta lấy nghiệm xác định miền đủ xa nơi đặt lực lực tập trung lμ quy −ớc gần đúng, lμ hợp lực hệ lực phân bố miền nhỏ bao quanh điểm đặt lực

Trong kỹ thuật tính tốn móng, ta cần biết phân bố áp lực đất theo ph−ơng đứng vμ ph−ơng ngang, tức lμ sử dụng hệ tọa độ x, y Theo cơng thức (7.3.8) vμ (7.3.9), ta có

r P r

P r

P

yy xy

xx

θ θ π

σ θ θ π

σ θ π

σ = −2 cos3 ; = −2 cos2 sin ; = −2 cos sin2 (7.4.2) Chun sang c¸c biÕn sè x, y theo quan hệ (7.1.1), ta thu đợc

( ) ( ) ( 2 2)2 2

2

2

2

3

2 ;

2 ;

2

y x

xy P y

x y x P y

x x P

yy xy

xx

+ −

= +

− = +

− =

π σ

π σ

π

(7.4.3)

Tại khoảng cách x=H so với biên bán phẳng, ta có x

y P

H×nh 7.4.1 r

σrr d

( ) ( 2 2)2 2

2

3

2 ;

2

y H

y H P y

H H P

xy xx

+ −

= +

− =

π σ

π

σ (7.4.4)

Từ ta tìm đ−ợc:

- Giá trị lớn áp lực thẳng đứng σxx lμ σxx max =2P H ti y=0

- Giá trị lớn áp lực trợt xy l xy max =−3 3P 8πH t¹i y=H

Từ biểu đồ áp lực thẳng đứng σxx (hình 7.4.2.a), ta thấy giá trị σxx tắt dần tăng

khoảng cách theo ph−ơng ngang y Trong tính tốn thực tế, để đơn giản ta giả thiết áp lực theo ph−ơng thẳng đứng σxx độ sâu H tồn khoảng 2H đối xứng quanh đ−ờng tác dụng lực P vμ phân bố đoạn 2H với c−ờng độ lμ P 2H(đ−ờng nét đứt hình 7.4.2.a)

Biểu đồ áp lực ngang σxy vẽ hình

7.4.2.b

Tại khoảng cách y=L cách điểm đặt lực P, ta có

( ) ( 2 2)2

2 2

2

2

L x

L x P

L x

xL P

xy yy

+ −

=

+ −

=

π σ

π σ

(7.4.5)

Từ ta tìm đ−ợc:

- Giá trị lớn áp lực ngang yy lμ σyy max =3 3P 8πL t¹i x=L

- Giá trị lớn áp lực trợt xy lμ σxy max =P 2πL t¹i x=L

Biểu đồ áp lực ngang σyy vμ áp lực tr−ợt σxy vẽ hình 7.4.3.a vμ 7.4.3.b

H H

P

π

8 3

3 H

x

y P

b)

H×nh 7.4.2 H

H P

2 H

P

π

2

H H

x

y P

a) 450 450

H×nh 7.4.3

3

L

L P

π

8 3

x

y P

a)

L L

P

π

2

x

y P

b) L

7.4.2 Chuyển vị điểm bán phẳng

Sử dụng định luật Hooke (7.1.7) vμ hệ thức Cauchy (7.1.1), ta có

0 1 ; cos ; cos = + = − ∂ ∂ + ∂ ∂ = = − = + ∂ ∂ = − = = ∂ ∂ = θ θ θ θ θ θθ σ ν θ ε θ π ν σ ν θ ε θ π σ

ε r r

r rr r rr r rr E r u r u u r r E P E r u u r r E P E r u (7.4.6)

Tích phân phơng trình đầu tiên, ta có

( )θ θ

π ln cos

2

f r

E P

ur =− + (7.4.7)

trong f1( )θ lμ hμm tuỳ ý θ Thay (7.4.7) vμo ph−ơng trình thứ hai (7.4.6) vμ tích phân theo θ, ta đ−ợc

( )d f ( )r f E P r E P

u = ln sin +2 sinθ −∫ 1θ θ + 2

π ν θ π

θ (7.4.8)

trong f2( )r lμ hμm tuỳ ý r Thay (7.4.7) vμ (7.4.8) vμo ph−ơng trình thứ ba

cđa (7.4.6), sau rót gọn, ta nhận đợc

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2 1 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +

+ ∫ f r

dr r df r d f E P d

df θ θ θ

π ν θ

(7.4.9)

Phơng trình (7.4.9) thỏa mÃn với giá trị biến r v θ, suy

( ) ( ) 2 1 ; sin C f dr df r C d f E P d df − = − = + − + θ ∫ θ θ π ν

θ (7.4.10)

với C1 lμ số cần xác định Từ ph−ơng trình đầu (7.4.10), ta có

( ) θ π ν θ cos 2 E P f d f d − − = + vμ nghiÖm tỉng qu¸t lμ

( )θ θ

π ν θ

θ cos sin

sin 3 E P C C

f = + −

Phơng trình thứ hai (7.4.10) cho ta

1

2 C r C

f = +

Từ chuyển vị (7.4.7) vμ (7.4.8) có dạng

Các số C2 , C3 , C4 đ−ợc xác định từ ý nghĩa vt lý

của nghiệm v điều kiện biên:

- Chuyển vị ur lμ hμm đối xứng qua trục x nên lμ

hμm chẵn góc cực θ, C2=0

- Do tính đối xứng bμi tốn nên 4

0 = =

= C r

uθ θ hay

lμ C4=0

Giả thiết trục x, khoảng cách H nμo đó, chuyển vị theo ph−ơng thẳng đứng khơng (hình 7.4.4) Giả thiết nμy thích hợp với bμi tốn móng mμ độ sâu x=H đ−ợc xem lμ cứng tuyệt đối, ur θ=0,r=H =0 Từ ta xác định đ−ợc C3 =2PlnH πE Cuối cùng, ta nhận đ−ợc biểu thức chuyển vị điểm bán phẳng lμ

( )

( ) ( θ θ θ)

π ν θ

π ν θ π

θ θ π

ν θ

π

θ sin cos

1 sin sin ln

sin

cos ln

− −

+ +

− =

− − =

E P E

P r

H E P u

E P r

H E

P ur

(7.4.12)

7.4.3 Chun vÞ điểm biên

Bõy gi ta xét chuyển vị ngang vμ chuyển vị thẳng đứng (độ lún) điểm biên bán phẳng, θ =±π Trong hai tr−ờng hợp

( )

E P ur

2

2

ν π

θ

− − =

±

= (7.4.13)

tức lμ điểm biên có chuyển vị h−ớng điểm đặt lực Độ lún điểm biên

( ) ( )

E P r

H E P u

E P r

H E P u

π ν π

π ν

π θ θ π

π θ

θ = =− + + =− = − +

1 ln

2 ;

1 ln

2

2

(7.4.14)

Do chiều d−ơng chuyển vị uθ phù hợp với chiều d−ơng trục θ nên độ lún d−ơng có chiều h−ớng lên nửa bên phải (θ>0) vμ có chiều xuống nửa bên trái (θ<0) Do đó, ta dùng biểu thức sau để xác định độ lún cho hai nửa với quy −ớc dấu d−ơng lμ chuyển vị xuống

( )

E P r

H E P u

u

π ν π

π θ θ θ

+ − =

= =± ln

2

0 (7.4.15)

Tất nhiên lμ công thức (7.4.15) dùng cho điểm đủ xa gốc tọa độ (lμ im t lc trung)

7.4.4 Bán phẳng chịu nhiều tải trọng tập trung v phân bố

x

y P

Tõ c¸c kết nhận đợc, ta mở rộng cho bi toán có nhiều lực tập trung, tải trọng theo phơng tiếp tuyến, tải trọng phân bố liên tục, dựa theo nguyên lý cộng tác dụng

Xét trờng hợp bán phẳng chịu hai lực tập trung P1

v P2 Để xác định ứng suất σxx điểm A bán phẳng, ta lập hệ trục Oxy với trục x qua điểm

A vμ xác định khoảng cách y1 , y2 từ trục x đến điểm đặt lực tập trung (hình

7.4.5) Sư dơng (7.4.3), ta cã

( ) ( 2)2 2

3

2 2

3

1

2

y x

x P y

x x P

xx

+ −

+ −

=

π π

σ (7.4.16)

Độ lún điểm gốc O xác định theo (7.4.15)

( )( )

E P P y

H E P y H E P u

π ν π

π

θ

2 1

1 ln

2 ln

2 + +

− +

= (7.4.17)

Xét tr−ờng hợp bán phẳng chịu tải trọng q(y) phân bố liên tục đoạn biên B1B2 Khi đó, đoạn dy vơ bé có lực phân tố dP=qdy tác dụng Từ hình 7.4.6, ta có dy=rdθ cosθ nên dP=qdy=qrdθ cosθ Sử dụng công thức (7.4.1) vμ (7.4.2), ta nhận đ−ợc

θ θ π σ

θ θ θ π σ

θ θ π σ

σ σ

θ π

σ θθ θ d

q d

q d

q d

q

yy xy

xx r

rr

2

sin ;

sin cos ;

cos ;

0 ;

0 ;

2

− = −

= −

= =

= −

=

Lấy tích phân biểu thức trên, ta xác định đ−ợc ứng suất

∫ ∫

∫ =− =−

−

=

1

1

1

2

sin ;

sin cos

; cos

2 θ

θ θ

θ θ

θ

θ θ π

σ θ θ θ π

σ θ θ π

σxx q d xy q d yy q d (7.4.18)

Tr−ờng hợp tải trọng phân bố đều, ứng suất có giá trị lμ

( )

[ ]

( )

( ) ( )

[ 2 ]

1 2

1

1

2 sin

sin

2

sin sin

2 sin

sin

2

θ θ

θ θ π σ

θ θ

π σ

θ θ

θ θ π σ

− −

− −

=

− −

=

− +

− −

=

q q

q

yy xy xx

(7.4.19)

Đặt y1=O1O, độ lún điểm O1 lực phân tố dP=qdy1 đặt điểm O đ−ợc xác định theo công thức (7.4.15)

y

rdθ x B1

θ1

H×nh 7.4.6 O

A q

B2

θ2 θ

dθ dy

r O1 L

y P1

x y1

y2

H×nh 7.4.5 P2 O

( ) 1 1 ln qdy E y H qdy E u π ν π θ = − +

Từ đó, độ lún điểm O1 tải trọng q phân bố liên tục đoạn B1B2 lμ

( ) ∫ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = Lq L L qdy y H E u 1

0 2ln

1 ν

π

θ (7.4.20)

trong Lq lμ chiều dμi đoạn tải trọng B1B2

Khi tải trọng q phân bố đều, độ lún điểm O1 lμ

( ) q q q qL E L H L L L H L L E q u π ν π θ − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + +

= ln ln

0 (7.4.21)

7.5 Bi toán bán không gian chịu lực tËp trung trªn biªn

Xét vật thể đμn hồi lμ nửa không gian z≥0 chịu lực tập trung P đặt gốc tọa độ vμ vng góc với mặt biên z=0 (hình 7.5.1) Bμi tốn nμy t−ơng tự bμi toán Flamant vμ đ−ợc Boussinesq giải D−ới ta dẫn biểu thức ứng suất, chuyển vị điểm không gian xa gốc tọa độ, lân cận điểm đặt lực giá trị ứng suất vμ biến dạng lớn

Trong hệ tọa độ Descartes vng góc, thμnh phần chuyển vị điểm có tọa độ (x,y,z) nửa không gian z>0 lμ

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )r

P r z P u z r r y P r zy P u z r r x P r zx P u z y x μ λ πμ μ λ πμ μ λ π πμ μ λ π πμ + + + = + + − = + + − = 4 4 4 3 (7.5.1)

trong 2

z y x

r= + + Các thnh phần ứng suất điểm ny lμ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )