BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân 3.Chứng minh rằng diện tích của một tam giác nội tiếp trong hình bình hành tức là tam giác có 3 đỉnh nằm trên các cạnh của tam giác k[r]
(1)BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân TỨ GIÁC 1.Cho tứ giác ABCD biết số đo các góc A; B; C; D tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 và 10 a/ Tính số đo các góc tứ giác ABCD b/ Kéo dài hai cạnh AB và DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD và BC cắt F Hai tia phân giác các góc AED và góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt các cạnh CD và AB M và N Chứng minh O là trung điểm đoạn MN Tứ giác ABCD có B + D = 180o, AC là tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD Cho tứ giác ABCD, hai đường thẳng AD và BC cắt E, hai đường thẳng AB và DC cắt E Các tia phân giác hai góc AEB và AED cắt I Tính góc EIF theo góc A và C tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác thì: a Tổng độ dài cạnh đối diện nhỏ tổng độ dài hai đường chéo b Tổng độ dài hai đường chéo lớn nửa chu vi tứ giác HÌNH THANG Cho hình thang ABCD ( AB//CD) a/ Chứng minh hai tia phân giác hai góc A và D cùng qua trung điểm F cạnh bên BC thì cạnh bên AD tổng hai đáy b/ Chứng minh AD = AB + CD thì hai tia phân giác hai góc A và D cắt trung điểm cạnh bên BC Cho hình thang ABCD có đáy CD > đáy AB CMR: A + B > C + D Lop8.net (2) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân Cho hình thang ABCD có A = B = 90o và BC = AB = AD Lấy M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx MA, Mx cắt CD N Chứng minh rằng: AMN vuông cân HÌNH THANG CÂN Cho ABC cân A Gọi I là điểm thuộc đường cao AH Gọi D là giao điểm BI và AC E là giao điểm CI và AB a CMR: AD = AE b Xác định dạng BECD c Xác định vị trí I để BE = ED = DC Cho ABC M là điểm nằm tam giác Chứng minh rằng: Độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC độ dài các cạnh tam giác nào đó Một hình thang cân có đường cao nửa tổng hai đáy Tính góc tạo hai đường chéo hình thang đó ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Cho ABC, trên tia BA lấy D cho A là trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B là trung điểm CE Hai đường thẳng AC và DE cắt I Chứng minh rằng: DI = DE Tứ giác ABCD có góc C = 40o, góc D = 80o, AD = BC Gọi E, F thứ tự là trung điểm AB và CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với các đường thẳng AD và BC Cho A, B, C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d (AB > AC) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là d, vẽ các tam giác AMB và BNC Gọi P, Q, R, S thứ tự là trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh: Lop8.net (3) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân a PQRS là hình thang cân b SQ = MN ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG Tính độ dài đường trung bình hình thang cân biết các đường chéo nó vuông góc với và đường cao 10 cm Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d qua G cắt các đoạn thẳng AB,AC Gọi A’, B’ C’ thứ tự là hình chiếu A, B, C trên d Tìm liên hệ các độ dài AA’, BB’, CC’ Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC Gọi A’, B’ C’, G’ thứ tự là hình chiếu A, B, C trên d Tìm liên hệ các độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’ ĐỐI XỨNG TRỤC 1.Cho ABC , các phân giác BM và CN cắt I Từ A hạ các đường vuông góc với BM và CN, chúng cắt BC thứ tự E và F Gọi I’ là hình chiếu I trên BC Chứng minh :E và F đối xứng qua I I’ Cho ABC, Cx là phân giác ngoài góc C.Trên Cx lấy M( khác C) Chứng minh : MA + MB > CA + CB Cho góc nhọn xOy và điểm A góc đó Tìm trên Ox điểm B và trên Oy điểm C cho chu vi ABC là nhỏ HÌNH BÌNH HÀNH Cho tứ giác ABC, gọi E, F là trung điểm AB và CD; M, N, P, Q là trung điểm các đoạn AF, CE, BF và DE C Chứng minh MNPQ là hình bình hành Lop8.net (4) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC Gọi M là giao điểm BF và CD; N là giao điểm DE và AB Chứng minh rằng: a M, N theo thứ tự là trung điểm CD, AB b EMFN là hình bình hành Cho hình bình hành ABCD đó có AD = 2AB Kẻ CE vuông góc với AB Gọi M là trung điểm AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC N a Tứ giác MNCD là hình gì ? b Tam giác EMC là tam giác gì ? c Chứng minh rằng: BAD = AEM Cho hình thang vuông ABCD, có A = B = 90o và AD = 2BC Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD) Gọi I là trung điểm HD Chứng minh rằng: CI AI Cho tam giác ABC và O là điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và L, M, N là trung điểm các đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui ĐỐI XỨNG TÂM Cho tam giác ABC, H là trực tâm, I là giao điểm các đường trung trực K là điểm đối xứng với H qua trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh: K đối xứng với A qua I Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F cho AE = CF a Chứng minh E đối xứng với F qua O b Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Lop8.net (5) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân Chứng minh rằng: EF = FK; I và K đối xứng với qua O Cho tam giác ABC Gọi A' là điểm đối xứng với A qua C, B' là điểm đối xứng với B qua A; C' là điểm đối xứng với C qua B Gọi BM là trung tuyến tam giác ABC; B'M' là trung tuyến tam giác A'B'C' a Chứng minh ABM'M là hình bình hành b Gọi G là giao điểm BM và B'M' Chứng minh G là trọng tâm hai tam giác ABC và tam giác A'B'C' HÌNH CHỮ NHẬT 1.Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB AH đường cao, trên tia HC lấy HD = HA, đường vuông góc BC D cắt AC E a/ Chứng minh AE = AB b/ Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc AHM ? Cho tam giác ABC vuông A và AC = 3AB Trên cạnh góc vuông AC lấy các điểm D và E cho AD = DE = EC Tính ACB + AEB Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH BD Trung điểm DH là I Nối AI Kẻ đường thẳng vuông góc với AI I cắt cạnh BC K Chứng minh K là trung điểm cạnh BC Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với điểm E trên đường chéo BD, trên tia đối EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH và FK vuông góc với AB và AD Chứng minh rằng: a Tứ giác AHFK là hình chữ nhật b AF song song với BD và KH song song với AC c Ba điểm E, H, K thẳng hàng Lop8.net (6) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân Cho tam giác ABC và H là trực tâm Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC và CA Gọi D, E, F là trung điểm các đoạn HA, HB và HC a Chứng minh các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật b Để các đoạn MD, ME và DP thì tam giác ABC phải là tam giác gì? ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC 1.Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc cạnh Ox Một điểm M chạy trên Oy Dựng tam giác AMN vuông cân A Tìm tập hợp các đỉnh N Cho đoạn thẳng AB và điểm C chuyển động trên đoạn thẳng đó Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB , vẽ hai tam giác ACE, BCD Tìm tập hợp trung điểm M đoạn DE HÌNH THOI Hình thoi ABCD có A = 60o Trên AD và CD lấy các điểm M, N cho AM + CN = AD Gọi P là điểm đối xứng N qua BC, MP cắt BC Q Tứ giác MDCQ là hình gì ? Vì ? Cho P là điểm chuyển động tam giác ABC cho PBA = PCA Hạ PM AB; PN AC (M AB; N AC) Gọi K, S là hai đỉnh khác hình thoi KMSN Chứng minh KS qua điểm cố định Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Hai đường thẳng d1 và d2 cùng qua O và vuông góc với Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD M và P Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD N và Q Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi Lop8.net (7) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân HÌNH VUÔNG Cho tam giác ABC Dựng phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF Gọi Q, N là giao điểm các đường chéo ABCD và ACEF; M, P là trung điểm BC và DF Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông Cho tam giác ABC, dựng phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF E Chứng minh DI = IF 3.Cho hình vuông ABCD Trên CD lấy M Tia phân giác ABM cắt AD I Chứng minh BI MI Cho hình vuông ABCD Lấy E thuộc đường chéo AC Kẻ EF AD; EG CD a Chứng minh EB = FG ; và EB FG b Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui Vẽ phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG, vẽ hình bình hành EAGH Chứng minh rằng: a AK = BC b AH BC c Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui ĐA GIÁC ĐA GIÁC ĐỀU Tính số cạnh đa giác biết tất các góc đa giác và tổng tất các góc ngoài với các góc đa giác có số đo 468o Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi H, K là trung điểm MN và PQ Chứng minh HK // AE và HK = AE (M, N, P, Q thứ tự là trung điểm AB, CD, BC, ED) Lop8.net (8) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm CD, DE và I là giao điểm AM và BN a Tính AIB b Tính OID (O là tâm lục giác đều) DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT 1.Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 4cm Trên cạnh AD dựng tam giác ADE cho AE và DE cắt cạnh BC M và N và M là trung điểm đoạn thẳng AE Tính diện tích tam giác ADE 2.Tính diện tích hình chữ nhật biết hình chữ nhật có diểm M các 3.Cho hình chữ nhật ABCD, E là điểm tuỳ ý trên AB Chứng minh rằng: SABCD = 2SECD DIỆN TÍCH TAM GIÁC Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, BC = 3cm Trên DC lấy điểm M cho MC = 2cm, điểm N thuộc cạnh AB Tính diện tích tam giác CMN Cho tam giác ABC Các đường trung tuyến BE và CF cắt G So sánh diện tích tam giác GEC và tam giác ABC Một điểm D thuộc cạnh AB tam giác ABC Dựng qua D đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích S MCD Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M thuộc cạnh AB Tìm tỉ số S ABCD a/ Chứng minh các đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành phần có diện tích b/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SGAB = SGAC = SGBC Lop8.net (9) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân Cho tam giác vuông ABC vuông A Trên cạnh AB, AC, BC và phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABED, ACPQ và BCMN Đường cao AH thuộc cạnh huyền tam giác vuông ABC cắt MN F Chứng minh: a/ SBHFN = SABED, từ đó suy AB2 = BC.BH b/ SHCMF = SACPQ, từ đó suy AC2 = BC.HC Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK Gọi B', C' là hình chiếu B, C trên đường thẳng HK Chứng minh rằng: a B'K = C'H b SBKC + SBHC = SBB'C’C DIỆN TÍCH HÌNH THANG a/Tính diện tích hình thang cân có đường cao h và các đường chéo vuông góc với b/ Hai đường chéo hình thang cân vuông góc với còn tổng hai cạnh đáy 2a Tính diện tích hình thang Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia DA lấy điểm K Đường thẳng ED cắt KB O Chứng minh diện tích tứ giác ABOD và CEOK DIỆN TÍCH HÌNH THOI Đường chéo hình thoi 18 cm; 24cm Tính chu vi hình thoi và khoảng cách các cạnh song song Diện tích hình thoi là 540dm2 Một đường chéo nó 4,5dm Tính khoảng cách giao điểm các đường chéo đến các cạnh Lop8.net (10) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân 3.Chứng minh diện tích tam giác nội tiếp hình bình hành (tức là tam giác có đỉnh nằm trên các cạnh tam giác) không lớn nửa diện tích hình bình hành 4.Cho hình bình hành ABCD và điểm M cố định trên cạnh BC.N là điểm tuỳ ý trên cạnh AD Gọi R là giao điểm AM, BN; S là giao điểm MD và NC Xác địnhvị trí N để SMRNS đạt giá trị lớn Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia DA lấy điểm K Đường thẳng ED cắt KB O Chứng minh diện tích tứ giác ABOD và CEOK DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 1.Cho hình bình hành ABCD Từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD M (M nằm C và D) Từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh CB điểm N (N nằm B và C); BM và DN cắt I Biết BM = ND a/ Chứng minh diện tích tam giác ABM diện tích tam giác AND b/ Chứng minh IA là phân giác góc BID Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Nối AQ và RB cắt điểm I, nối AQ và DP cắt K, CS cắt DP N và CS cắt RB M a/ Chứng minh tứ giác MNIK là hình bình hành 5 b/ Chứng minh KI AQ và KN DP c/ Chứng minh diện tích hình bình hành MNKI diện tích hình bình hành ABCD 10 Lop8.net (11) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân ÔN TẬP HỌC KỲ I Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AC, K là điểm đối xứng với M qua I a/ Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? b/ Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao? c/ Tìm điều kiện ABC để tứ giác AMCK là hình vuông Bài 2: Cho hình vuông ABCD có diện tích 225cm2 Lấy điểm E trên cạnh AD cho DE=10cm Nối EC Qua C, dựng CF EC (F thuộc AB) a/ Tính SABCE b/Tính SBCF Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Kẻ AE và AF vuông góc với BC và CD E và F a/ Chứng minh AE AB AF BC b/ Gọi M và N là trung điểm AB và CD Chứng minh SABCD =2SAMCN Bài 4: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đó cắt K a/ Tứ giác OBKC là hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh AB = OK c/ Tìm điều kiện hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và Â = 600 Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm BC, AD a/ Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao? 11 Lop8.net (12) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân b/ Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao? c/ Tính số đo AÊD Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, kẻ CM AB M và DN BC N Biết BC = 12cm, CM = 9cm, DN = 15cm Tính DC Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4cm, BC = 3cm Kẻ các tia phân giác các góc trong, chúng cắt M, N, P, Q a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông b/ Tính diện tích hình vuông MNPQ Bài 8: Cho tam giác ABC a/ Chứng minh đường cao tam giác đó b/ Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm D thuộc miền tam giác đó đến các cạnh tam giác không phụ thuộc vào vị trí D Bài 9: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH, O là trung điểm AH Tia BO cắt AC D, tia CO cắt AB E Tính tỉ số diện tích tứ giác ADOE và diện tích tam giác ABC Bài 10: Cho hình bình hành ABCD Từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD M (M nằm C và D) Từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh CB điểm N (N nằm B và C); BM và DN cắt I Biết BM = ND a/ Chứng minh diện tích tam giác ABM diện tích tam giác AND b/ Chứng minh IA là phân giác góc BID Bài 11: Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Nối AQ và RB cắt điểm I, nối AQ và DP cắt K, CS cắt DP N và CS cắt RB M a/ Chứng minh tứ giác MNIK là hình bình hành b/ Chứng minh KI 2 AQ và KN DP 5 12 Lop8.net (13) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC TẬP I GV Tôn Nữ Bích Vân c/ Chứng minh diện tích hình bình hành MNKI diện tích hình bình hành ABCD Bài 12: Cho hình bình hành ABCD và điểm O tùy ý thuộc miền hình bình hành Nối OA, OB, OC, OD Chứng minh: SOAB+ SOCD = SOAD+ SOBC 13 Lop8.net (14)