- Chú ý vân dụng định nghĩa, tính chất số chính phương khi yêu cầu tìm các số thỏa mãn một số điều kiện cho trước liên quan đến số chính phương; Chứng minh một số là số chính phương hay [r]
(1)Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Môn: ĐẠI Lớp: Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh Thực ngày 11 tháng năm 2008 I Mục tiêu Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng định nghĩa , tính chất số chính phương dể chứng minh số có thể hay không thể là số chính phương hay không? Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng các kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao và số chuyên đề toán - Toán nâng cao và các chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán - Nâng cao và phát triển toán -… III Nội dung Kiến thức cần nhớ A, định nghĩa: Số chính phương là số bình phương số tự nhiên VD: và 25 là các số chính phương vì = 32; 25 = 52 B, Một số tính chất: * Số chính phương có thể có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; không thể có tận cùng là 2; 3; ; * Một số chính phương có chữ số tận cùng là thì có chữ số hàng chục là * Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì có chữ số hàng chục nó là số lẻ * Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Từ đó suy ra: - Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho - Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho - Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 - Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 * Số lượng các ước số chính phương là số lẻ Đảo lại, số có số lương các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương Các ví dụ: 2.1 Ví dụ chứng minh rằng: a, Một số không thể viết dạng 4n+2 4n+3 (n N) Lop7.net b, Một số không thể viết dạng 3n+2 (2) Giải: a Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (2k)2 = 4k Một số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (2k+1)2 = 4k +4k+1 chia cho dư Vậy số chính phương chia hết cho chia cho dư Do đó không không thể viết dạng 4n+2 4n+3 b Một số tự nhiên có thể viêt dạng 3k 3k+1 3k-1 Khi đó: (3k)2 = 9k (3k+1)2 = 9k +6k+1 chia cho dư (3k+1)2 = 9k - 6k+1 chia cho dư Vậy số chính phương có thể viết dạng 3n 3n + Do đó không thể viết dạng 3n+2 2.2 VD2 Chứng minh rằng: A = 224 99 100 09 là số chính phương n–2 số n số Giải: Ta có: A = 224 99 00 09 = 224.102n + 99 9.10n+2 + 10n+1+9 n–2 số n số n-2 số 2n 2n n = 225.10 – 10 + 10 10 +9 = 225.102n – (10n-2 – 1).10n+2 + 10n+1+9 = 225.102n – 90.10n+9 = ( 15.10n – 3)2 Ta thấy ( 15.10n – 3)2 là bình phương số tự nhiên Vậy A là số chính phương 2.3 VD3: Cho số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác còn chữ số hàng đơn vị dều là CMR: Tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Giải: Cách 1: Vì số chính phương có chữ số hàng chục là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Khi đó, chữ số hàng chục số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, Vậy tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là: 1+3+5+7+9 = 25 = 52 là số chính phương Cách 2: Nếu số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là chữ số tận cùng a là số chẵn a đó a2 Theo dấu hiệu chia hết cho thì chữ số tận cùng số M là số chia hết cho 4, gồm : 16, 36, 56, 76, 96 Vậy Tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là: 1+3+5+7+9 = 25 = là số chính phương Bài tập 3.1.Bài tập 1: Tích số tự nhiên liên tiếp có phải là số chính phương không? Lop7.net Giải: (3) Gọi số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3 Xét số A = n (n+1)(n+2) (n+3) +1 = n(n+3)(n+1)(n+2) +1 = (n2 +3n)( n2 + 3n +2) + = (n2 +3n)[(n2+3n) + 2] +1 = (n2 +3n)(n2+3n) +2(n2 +3n) +1 = (n2 +3n)2 + 2(n2 +3n) +1 = [(n2 +3n) +1]2 Với n N, A là bình phương số tự nhiên A là chính phương Vậy tích số tự nhiên liên tiếp không phải là số chính phương 3.2 BT2: CMR: Tổng các bình phương số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Giải : Gọi số tự nhiên liên tiếp là n – 2, n – 1, n, n +1, n +2 Ta có: A = (n – 2)2 + (n – 1)2+ n2 + ( n +1)2 + (n +2)2 = n2 - 4n + + n2 – 2n +1 +n2 + n2 – 2n +1 + n2 + 4n + = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2) Vì n2 là số chính phương n2 không thể có chữ số tận cùng là n2 + 25 Do đó A = 5(n2 + 2) Vậy A không là số chính phương 3.3 BT3 CMR: Nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1 không thể là các số chính phương Giải: (1) Vì p là tích n số nguyên tố đầu tiên p và p (vì các số nguyên tố còn lại là số lẻ nên tích không chia hết cho 2) * Giả sử p +1 là số chính phương Đặt p +1 = m2 ( m N) Vì p là số chẵn p + là số lẻ m2 là số lẻ m lẻ Đặt m = 2k +1 (k N) Ta có m2 = (2k +1)2 = 4k2 + 4k +1 hay p +1 = 4k2 + 4k +1 p = 4k2 + 4k = 4k.(k +1) mâu thuẫn với (1) Vậy p +1 không là số chính phương * Ta có p = 2.3.5 là số chia hết cho p -1 = 3k +3 -1 = 3k +2 không là số chính phương Vậy p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1 không thể là các số chính phương Lop7.net (4) 3.4 BT4 CMR số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 với n N và n > không phải là số chính phương Giải : Ta có n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2 ( n4 – n2 + 2n +2) = n2 [(n4 – 2n2 +1) + (n4 + 2n2 +1)] = n2 [(n2-1)2 + (n2 +1)2 ] = n2 [(n-1)2(n+1)2 + (n2 +1)2 ] = n2(n+1)2 [(n-1)2 +1] Với n > thì (n-1)2 +1 = n2 -2n + = n2 -2(n-1) < n2 Mà (n-1)2 +1> (n-1)2 (1) (2) Từ (1) và (2) n2 < (n-1)2 < (n -1)2 +1 đó ( n-1)2 + không là số chính phương Vậy số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 với n N và n > không phải là số chính phương 3.5.BT5 Cho A là số tự nhiên gồm 1000 chữ số đó có 999 chữ số và chữ số khác CMR A không là số chính phương Giải: Giả sử A là số chính phương A = k2 (k N*) A có thể có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; Xét các trường hợp 100 * Nếu A tận cùng A= 55 50 10 999cs5 A không là số chính phương Do đó A không thể có tận cùng * Nếu A tận cùng A= 55 51 = k2 k là số lẻ 999cs5 * Đặt k = 2n +1 (n N ) Ta có 55 51 = ( 2n+1)2 = 4n2 + 4n + 55 50 = 4n2 + 4n = 4( n2 +1) (1) Ta thấy vế phải (1) là số chia hết cho còn vế trái (1) không chia hết cho 4, vô lý Do đó A không thể có tận cùng * Nếu A tận cùng thì A = 55 54 = k2 k là số chẵn Đặt k = 2m (m N*) Khi đó A= 55 54 = (2m)2 = 4m2 ( 2) Ta thấy vế phải (2) là số chia hết cho còn vế trái (2) không chia hết cho 4, vô lý Do đó A không thể có tận cùng * Nếu A có tận cùng thì A chia hết cho k2 25 Đặt k = 5q (q N*) Vì A A lẻ qk lẻ q lẻ Đặt q = 2p +1 (p N*) k = 5(2p+ 1) Khi đó A = k2 = 25(2p +1)2 = 25.( 4p2 +4p +1) = 100p2 + 100p + 25 (*) A có tận cùng 25 Xét A = 55 525 = 55 500 + 25 (**) Từ (*) và (**) 55 500 + 25 = 100p2 + 100p + 25 55 500 = 100p2 + 100p Hay 55 5.100 = 100( p2 + p) Lop7.net (5) 55 = p2+ p = p( p+1) 55 là số chẵn, vô lí Vậy A không thể có tận cùng * Nếu A có tận cùng thì A= 55 56 = k2 Tổng các chữ số A là 5+5+ + + = 5.999 +6 999 số A không là số chính phương Vậy A không thể có tận cùng * Nếu A có tận cùng thì A = 55 59 = k2 k là số lẻ Đặt k = 2l +1 (l N*) Khi đó A = 55 59 = (2l +1)2 = 4l2 + 4l +1 55 58 = 4l2 + 4l = 4l (l +1) (3) Ta thấy vế phải (3) là số chia hết cho còn vế trái (3) không chia hết cho 4, vô lý Do đó A không thể có tận cùng Tóm lại không tồn số chính phương gồm 1000 chữ số đó có 999 chữ số và chữ số khác 3.6.BT6 Tìm số tự nhiên n có chữ số biết số 2n +1 và 3n + đồng thời là số chính phương Giải: Vì n là số tự nhiên có chữ số 10 n 100 Do đó 21 2n +1 201 (1) Mặt khác 2n + là số chính phương lẻ (2) Từ (1) và (2) 2n + {25; 49; 81; 121; 169} n {12; 24 ; 40 ; 60 ; 84} Do đó 3n +1 {37; 73; 121; 181; 253} Trong các số trên có 121 = 112 là số chính phương Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm là 40 3.7.BT7 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết hiệu các bình phương số đó và số viết chữ số số đó theo thứ tự ngược lại là số chính phương Giải: Gọi số tự nhiên có chữ số cần phải tìm là ab ( a, b # 0) a, b N Số viết hai chữ số số ab theo thứ tự ngược lại là ba Ta có : ab ba = (10a +b) – (10 b +a)2 = 100a2 +20 ab +b2 - 100b2 – 20ab + a2 = 99a2 – 99b2 = 99( a2- b2) 11 a2- b2 11 hay (a+b)(a-b) 11 a+b = 11 Vì 0< a-b ; a+b 18 2 2 Khi đó ab ba = 99( a2- b2) = 32 11(a+b)(a-b) = 32 112.(a-b) 2 Do đó, để ab ba là số chính phương thì a- b là số chính phương Mà 0< a-b nên có trường hợp a-b =1 a-b = + Nếu a-b = Và a +b = 11 a= 6, b = ab = 65 Khi đó ab ba = 652 -562 = 4225 – 3136 = 1089= 332 + Nếu a-b = a = 5,5 N loại Và a +b = 11 Vậy số phải tìm là 65 2 Lop7.net (6) 3.8.BT8 : Chứng minh số: a M = 11… 55……56 là số chính phương n số1 n-1 số b N = 44……4 88… 89 là số chính phương n số n-1 số Giải a M = 11… 55……56 = 11……1 55……5 +1 = 11 .1 + 44 +1 n số1 n-1 số n số n-1 số 2n số n số4 = 11 + 11 .1 +1 2n số n số 99 99 2n số n số 9 2n n 2n n 10 -1 4(10 -1) 10 – + 4(10 – 1) + 102n + 4.10n +4 9 9 100 02 n ( 10 – 1) n số 33 34 n-1 số Vậy M là số chính phương b N = 44 88 .89 44 .4 44 + n số n-1 số 2n số n số = 11 + 11 .1 +1 2n số n số 99 99 2n số n số 9 2n n 10 -1 4(10 -1) 4(102n – 1) + 4(10n – 1) + 4.102n + 4.10n +1 9 9 200 01 n ( 2.10 +1) n số 66 67 n-1 số Vậy N là số chính phương Chốt lại phần lý thuyết và lưu ý vận dụng chuyên đề: - Nắm vững định nghĩa, tính chất số chính phương - Xem kĩ các dạng bài tập đã nghiên cứu chuyên đề - Chú ý vân dụng định nghĩa, tính chất số chính phương yêu cầu tìm các số thỏa mãn số điều kiện cho trước liên quan đến số chính phương; Chứng minh số là số chính phương hay không thể là số chính phương đặc biệt là số phải chứng minh thông qua sử dụng cấu tạo số 5.Bài tập nhà: Cho ba số tự nhiên : A = 44 .4 ; B = 22 ; C = 88 2n số (n+1)số2 n số Chứng minh rằng: A + B + C + là số chính phương Gợi ý: Lop7.net (7) A + B + C + = 44 .4 + 22 + 88 2n số (n+1)số2 n số = 11 + 11 + 11 .1 2n số (n+1)số1 n số Sau đó biến đổi tương tự BT Lop7.net (8)