Đang tải... (xem toàn văn)
Biết rằng tập hợp tất cả các điểm bi ểu diễn của z là m ột đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là.. A..[r]
(1)Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
SỐ PHỨC LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
(2)1 Các kiến thức số phức
• Tập hợp số phức:
• Số phức (dạng đại số) : z a bi= + ( ,a b∈ ), a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i =2 –1)
• z số thực ⇔ phần ảo z bằng (b = ) 0
• z số ảo ⇔ phần thực củaz bằng (a = ) 0
• Số vừa số thực vừa số ảo
Hai số phức
Cho số phức z1= +a b i z2 = +c d i
Khi
= = ⇔ + = + ⇔
=
a c z z a b i c d i
b d (phần thực nhau, phần ảo nhau)
2 Các phép toán số phức
Phép cộng hai số phức
Cho số phức z1= +a b i z2 = +c d i Khi z1+z2 =(a+b i ) (+ +c d i ) (= a+ +c) (b+d i) .
Phép trừ hai số phức
( ) ( ) ( ) ( )
1− = + − + = − + −
z z a b i c d i a c b d i
Phép nhân hai số phức
( ) ( ) ( ) ( )
1 = + + = − + +
z z a b i c d i ac bd ad bc i
k.z=k.(a+bi)=ka+kbi
Phép chia hai số phức
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2 2 2
2 2 2
+ − + + − + −
= = = = = +
+ + + +
a b i c d i ac bd bc ad i
z z z z z ac bd bc ad
i
z z z z c d c d c d c d
Mô đun số phức z là: 2
z = a +b
• ′z z = z z ′ • ′ = ′
z z
z z
• z − z′ ≤ +z z′ ≤ +z z′ • z − z′ ≤ −z z′ ≤ +z z′
Số phức liên hợp: Số phức liên hợp z a bi= + z = −a bi
• z =z; z+ = +z′ z z′; z− = − z′ z z′; z z′=z z ;′ = ; ′ ′
z z z z
2
= +
z z a b
3 Tổng n số hạng cấp số nhân:
Cho cấp số nhân có cơng bội q , số hạng đầu u 1
(3)Đặt Sn = +u1 u2+ + , un
( )( )
1
1
n
n
u q
S q
q
−
= ≠
−
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Thực phép tốn Tìm phần thực,phần ảo Số phức liên hợp
Tính mơ đun số phức
Phương trình bậc theo z ( liên hợp z) Hỏi tổng hợp khác niệm
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020 Cho hai số phức z1= − i z2 = − + Phần ảo số i
phức z z 1 2
A 4 B 4i C − D − i
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định phần ảo số phức
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
+ Số phức z= +a bi a b( , ∈ ) có phần thực a phần ảo b
+ Cho hai số phức z= +a bi a b( , ∈ ) z'= +c di c d( , ∈ ), đó:
( )( ) ( ) ( )
'
zz = a+bi c+di = ac bd− + ad+bc i
3 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính tích hai số phức z z 1 2
B2: Xác định phần ảo số phức z z 1 2
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có: z z1 2=(3−i)(− + = − + + +1 i) ( 1) (3 1)i= − +2 4i
Phần ảo số phức z z 1 2
Bài tập tương tự phát triển 1:
Mức độ
(4)A B.−2 C 2i D.−2i
Lời giải
Chọn B
1 2 2
z= +z z = + − − = − − i i i
Vậy phần thực số phức 2−
Câu 2. Số phức liên hợp số phức z= − là2 3i
A. z= +3 2i B. z= − 2i C. z= + 3i D. z= − + 3i
Lời giải Chọn C
Số phức liên hợp số phức z= − 3i z= + 3i
Câu 3. Phần ảo số phức z= − + bằng7 6i
A.− B. 6i C. D. − 6i
Lời giải
Chọn C
Cho số phức z a bi= + với ,a b∈ Khi phần thực số phức z a phần ảo số phức z b
Ta có z= − + Do phần ảo số phức 6i z Câu 4. Môđun số phức z= − 2i
A 29 B 3 C 7 D 29
Lời giải
Chọn A
Ta có ( )2
5 29
z = − i = + − =
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z= − + có tọa độ 5i
A (−4;5) B (− − 4; 5) C (4; 5− ) D (5; 4− )
Lời giải
Chọn A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z= − + có tọa độ 5i (−4;5)
Câu 6. Số phức z= −3 2i có tổng phần thực phần ảo
A − B − C 3 D −2i
Lời giải
(5)Theo định nghĩa số phức, phần ảo số phức −2, phần thực nên tổng phần thực phần ảo 1−
Câu Cho số phức z1 = + i z2 = − Tìm phần ảo số phức liên hợp số phức 3i w= + là? z1 z2
A 2i B 2 C −2i D 2
Lời giải
Chọn D
Vì: z1= + i z2 = − nên 3i w= +z1 z2 ⇔ = +w (1 2) (+ −1 3)i= −3 2i ⇔ = +w 2i
phần ảo số phức liên hợp số phức w= + 2.z1 z2
Câu Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z
A Phần thực là−4và phần ảo B Phần thực phần ảo 4− i
C Phần thực phần ảo −4 D Phần thực là−4và phần ảo 3i
Lời giải
Chọn C
Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức = +z x yi biểu diễn điểm M x y( ; )
Điểm M hệ trục Oxy có hồnh độ x=3 tung độ y= −4 Vậy số phức z có phần thực phần ảo −4
Câu Cho hai số phức z1= + 2i z2 = − Ph2 3i ần ảo số phức w=3z1−2z2
A 1 B 11 C 12 D 12i
Lời giải
Chọn C
Ta có w=3z1−2z2 =3 2( + i) (−2 3− i)= − +1 12i
Vậy phần ảo số phức w 12
Câu 10 Cho hai số phức z1= − 3i z2 = − − Tìm ph2 5i ần ảo b số phức z= − z1 z2
A b= B b= − C b= − D b=
Lời giải
Chọn D
( ) ( )
1
z= −z z = − i − − − i = + Vậy phần ảo i z là:
Mức độ
Câu Số phức z 4 3i i
−
= có phần thực
O x
y
3
4 −
(6)A 3 B −3 C − D 4
Lời giải
Chọn B
4
3
i
z i
i
−
= = − − Vậy phần thực z −3
Câu Cho hai số phức z1= − 4i z2 = − Ph1 i ần ảo số phức z1+i z2
A.5 B.3i C.−5i D.−3
Lời giải
Chọn D
Ta có: z2 = − ⇒1 3i z2 = + ⇒1 3i i z2 =i(1 3+ i)=3i2+ = − + i i
Suy z1+i z2 = − + − + = − − 4i ( i) 3i
Vậy phần ảo số phức z1+i z2 là−3
Câu Cho số phức z= −2 5i Số phức −1
z có phần thực
A 7 B
29
− C
29 D −
Lời giải
Chọn B
( )( )
1 1 5
5 29 29 29
− = = = + = + = +
− − +
i i
z i
z i i i
Số phức −1
z có phần thực
29
Câu Cho số phức Tìm phần thực số phức
A B C D
Lời giải
Chọn D
Phần thực
Câu Cho số phức z 5 3i Phần thực số phứcw 1 z z
A.22 B.− 22 C.33 D.−33 ( 0, , )
z= +a bi ab≠ a b∈ w 12 z
=
( 2 2)2
2ab
a b
−
+ ( )
2
2 2
a b a b
+
+ ( )
2
2 2
b
a +b ( )
2
2 2
a b a b
− +
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1
2 4
a b abi w
z a bi a b abi a b a b
− −
= = = =
− +
+ − +
w
( ) ( )
2 2
2
2 2 2
4
a b a b a b a b a b
− = −
(7)Lời giải
Chọn A
Ta cóz 5 3i z 3i z 2 5 3i22530i9i2 1630i
Suy
2
1 16 30 22 33
w z z i i i
Vậy phần thực số phứcw 1 z z 22
Câu Số phức z thỏa mãn z+2z =12−2i có
A Phần thực phần ảo 2i B Phần thực phần ảo
C Phần thực phần ảo 2− D Phần thực phần ảo −2i
Lời giải
Chọn B
Đặt z= +a bi, ,(a b∈ )
Ta có: z+2z =12−2i ⇔ + +a bi 2(a bi− )=12 2− i
4
3 12
2
a a bi i
b = ⇔ − = − ⇔ =
Câu Cho số phức z biết
i z i
i
= − +
+ Phần ảo số phức
2
z
A 5
2 B
5
2i C
5
− D
2i −
Lời giải
Chọn A
Ta có i z i i = − + + ( ) ( )( ) 1 i i i i i − = − + + − 1 2 i i
= − + + 2i = −
Suy 2
z= + i
z i
⇒ = +
Vậy phần ảo số phức z 2
2
Câu Cho số phức z thỏa mãn z2.z 6 3i Tìm phần ảo b số phức z
A.b3 B.b 3 C.b3i D.b2
Lời giải
ChọnA
Đặt z a bi a b ; , suy z a bi
Theo giả thiết, ta có 2 3 3
3
a a
a bi a bi i a bi i
b b
(8)Câu Cho hai số phức: z1 = + , 3i z2 = − + Ph1 i ần ảo số phức w=2z z1 2
A 7 B −5 C − D 5
Lời giải Chọn C
1
2 10
w= z z = − − i
Phần ảo số phức 2−
Câu 10 Tìm phần ảo số phức z= −(1 i) (2+ +1 i)2
A 0 B C 4 D − 4
Lời giải
Chọn A
Ta có z= −(1 i) (2+ +1 i)2 = − +2i 2i=0
Phần thực số phức
Câu 11 Cho số phức z 5 3i Phần thực số phức
2
1
w z z
A.22 B.− 22 C.33 D.−33
Lời giải
Chọn A
Ta có 2 2
5 5 25 30 16 30
z i z i z i i i i
Suy raw 1 z z 2 1 3i 16 30i2233i
Vậy phần thực số phứcw 1 z z 22
Câu 12 Cho hai số phức z1 4 3i 1 i3 z2 Phần thực số phức i w2z z1 2
A.9 B.2 C.18 D.74
Lời giải
Chọn C
Ta có 3
1 3 3
z i i i i i i i i
Suy z z1 2 2 5i7 i 37iz z1 2 9 37 i
Do w2 9 37i 18 74i
Vậy phần thực số phức w2z z1 2 18
Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn 12i z 5 1 i2 Tổng bình phương phần thực phần ảo số
phức w z iz
A.2 B.4 C.6 D.8
(9)ChọnD
Ta có
2
2 10 10
1
1 2
i i i i
i z i z i
i i
Suy w z iz 4 2i i 42i 2 2i
Vậy số phức w có phần thực , phần ảo Suy 2222
Mức độ
Câu Số phức z= + + +(1 i) (1 i)2+ + + (1 i)2018 có phần ảo
A 21009− B 21009+ C 1 2− 1009 D ( 1009 )
2
− +
Lời giải
Chọn D
Có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2018
2 2018 1 2018
1 1 i 1
z i i i i i i
i
+ −
= + + + + + + = + = − + −
Do ( ) ( ) ( ) ( )
1009 504
2018 1009 1009 2 1009
1+i = 1+i = 2i =2 i i=2 i
Suy z= −(1 i) 2( 1009i− =1) (21009− + +1) (1 21009)i Vậy phần ảo số phức z 21009+
Câu Cho số phức z=(m+ −1 2i)(2m+ + với m tham số Tổng giá trị m để 3 i) zcó phần thực
A
2
− B 5
2 C
2
5 D
2 −
Lời giải
Chọn A
( )( ) ( )
1 2 5
z= m+ − i m+ +i ⇔z= m + m+ + − m− i Ta có phần thực số phức z 2m2+5m+
Để z có phần thực
0
2 5 5
2
m m m
m
=
+ + = ⇔
= −
Vậy tổng giá trị m −
Câu Xét số phức z thỏa mãn (z+2i)( )z+ s2 ố ảo Biết tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn, tâm đường trịn có tọa độ
A (1; 1− ) B ( )1;1 C (−1;1) D (− − 1; 1)
Lời giải
Chọn D
(10)+ Ta có (z+2i)( )z+2 =(x+ +yi 2i)(x− +yi 2) =x+(y+2) (i x+2)−yi
( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x x y y x y xy i
= + + + + + + −
+ (z+2i)( )z+ s2 ố ảo ⇔x x( + +2) (y y+2)=0 ⇔(x+1) (2+ y+1)2 =2
+ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(− − 1; 1)
Câu Môđun số phức z thỏa mãn z− = 17( )z+ −z z z= b0 ằng
A 53 B 34 C 29 13 D 29
Lời giải
Chọn B
Đặt z= +a bi a b R( ; ∈ )
Ta có
( )
1
17
z
z z z z
− = + − = ( ) ( ) 2 2 25
17.2
a b
a a b
− + = ⇔ − + = ( ) ( ) 2 2
2 24
17.2
a b a a a b
+ − − = ⇔ − + = ( ) ( ) 2 2
5 24
17.2
a b a
a a b
+ − − = ⇔ − + = ( )
( 2)
34 24
5 17.2
a a
a b a
+ − − =
⇔
+ =
2
5 34 a a b = ⇔ + =
Suy z = a2+b2 = 34
Câu Xét số phức z thỏa mãn (z−4i z)( +2) số ảo Biết tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn Tìm tọa độ tâm đường trịn
A. (− −1; ) B. (−1; ) C. ( )1; D. (1; − )
Lời giải
Chọn B
Gọi z= +x yi x y( , ∈ )
Ta có
(z−4i)( )z+2 =x+(y−4) (i x+2)−yi = x x( +2) (+y y− +4) (x+2)(y−4)i−xyi
Theo yêu cầu tốn ta có x x( + +2) (y y− = ⇔4) x2+y2+2x−4y=
Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn có tâm I(−1; ,) R=
Câu Cho số phức z thỏa mãn 2 1
i
i z i
i
Kí hiệu , a b lần lượt phần thực phần ảo số phức w z i Tính Pa2b2
A.13 B.5 C.25 D.7
(11)Chọn C
Ta có 2 1 2 2 1 2
1
i i
i z i i z i
i i
4 7
2
2 2
i i i
i z i z i
i i i
Suy 4 16 25
3
a
w z i i P
b
Câu Cho số phức z thỏa mãn z2.z 6 3i Tìm phần ảo b số phức z
A.b3 B.b 3 C.b3i D.b2
Lời giải
ChọnA
Đặt z a bi a b ; , suy z a bi
Theo giả thiết, ta có 2 3 3
3
a a
a bi a bi i a bi i
b b
Vậy phần ảo b của số phức z 3
Câu Cho số phức z a bi a b ; thỏa mãn iz2z Tính i Sab
A.S 4 B.S4 C.S2 D.S 2
Lời giải
ChọnA
Đặt z a bi a b ; , suy z a bi
Ta có iz2z 1 i i a bi2a bi i b ai 2a 2 2b 2i
2 2 2
4
2 2 2
b a a b a
S ab a b a b b
Câu Có số phức z thỏa mãn z z 10zz z có phần ảo ba lần phần thực?
A.0 B.1 C.2 D.3
Lời giải
ChọnC
Đặt z a bi a b ; , suy z a bi
Từ z z 10zz a bi a bi10abi a bia2b2 20 a 1
Hơn nữa, số phức z có phần ảo ba lần phần thực nên b3a 2
Từ 1 2 , ta có
2 2 20 a a b a
b b a
0 a b
(12)Câu 10 Cho số phức z a bi a b ; thỏa 1i z 2z 3 i Tính P a b
A.
2
P B.P C.P D.
2
P
Lời giải ChọnC
Đặt z a bi a b ; , suy z a bi
Từ 1i z 2z 3 2i 1 i a bi2abi 2i
1
2 2
3
3 3
2
a a b
a b i a b i P a b
a b b
Mức độ
Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi ( )H phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn số phức
z thỏa mãn
16
z
16
z có phần thực phần ảo thuộc đoạn [ ]0;1 Tính diện tích S
( )H
A S =32 6( −π) B S =16 4( −π) C 256 D 64π
Lời giải
Chọn A
Giả sử z= +x yi x y( , ∈ )
Ta có:
16 16 16
z x y i
= + ; 16
z
16
x yi
=
− 2 2
16x 16y i x y x y
= +
+ +
Vì 16
z
16
z có phần thực phần ảo thuộc đoạn [ ]0;1 nên
2 2 16 16 16 16 x y x x y y x y ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ + 2 2 16 16 16 16 x y
x x y y x y
(13)Suy ( )H phần mặt phẳng giới hạn hình vng cạnh 16 hai hình trịn ( )C1 có tâm ( )
1 8;
I , bán kính R1= ( )C2 có tâm I2( )0;8 , bán kính R2 =
Gọi S′ diện tích đường trịn ( )C2
Diện tích phần giao hai đường trịn là: 1 2 .82 1.8.8
4 OEJ
S = S′−S = π −
Vậy diện tích S hình ( )H là:
2 2
16 .8 8.8
4
S = −π + π −
=256 64− π +32π−64 =192 32− π =32 6( −π)
Câu Cho số phức z= +a bi (a, b số thực ) thỏa mãn z z +2z i+ = Tính giá trị biểu thức T = + a b2
A.T =4 3− B.T = +3 2 C.T = −3 2 D.T = +4
Lời giải
ChọnC
Đặt z= +a bi(a b, ∈ , suy ) z = a2 +b2
Ta có z z +2z i+ = ⇔0 (a bi a bi+ ) + +2(a bi+ )+ = i
2 2 2 2 0 2 2 2 2 0
a a b a b a b i bi i a a b a b a b i bi i
⇔ + + + + + + = ⇔ + + + + + + =
( ) 2 2 ( 2 )
2 2
2 2 2
2
2
2 2 1 0
a a b
a a b a
a a b a b a b b i
b a b b b a b b
+ + = + + = ⇔ + + + + + + = ⇔ ⇔ + + + = + + + = 0 2
a a
b b
b b b
b = = ⇔ ⇔ + = − + + =
2
2
1
2 1
0
2
b b
b b
b b b
b b b b b b + + = − = − + = − ⇔ ⇔ ⇔ = − +
− ≥ − ≤ <
Suy
3 2
T = +a b = −
(14)Câu Cho z1, z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện z− −5 3i =5, đồng thời
1
z −z = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w= +z1 z2 mặt phẳng tọa độ Oxy
là đường trịn có phương trình đây?
A (x−10) (2+ y−6)2 =36 B (x−10) (2+ y−6)2 =16
C
2
5
9
2
x y
− + − =
D
2
5
2
x y
− + − =
Lời giải
Chọn A
Gọi A , B , M điểm biểu diễn z1, z2, w Khi A , B thuộc đường trịn
( ) ( ) (2 )2
: 25
C x− + y− = AB= z1−z2 =8
( )C có tâm I( )5;3 bán kính R=5, gọi T trung điểm AB T trung điểm
của OM IT = IA2−TA2 =3
Gọi J điểm đối xứng O qua I suy J(10; 6) IT đường trung bình tam giác
OJM , JM =2IT =6
Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính có phương trình (x−10) (2+ y−6)2 =36
Câu 4: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C, D điểm biểu diễn số phức z1= − +1 i,
2
z = + i, z3 = −2 i, z4 = −3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD TínhS
A 17
2
S = B 19
2
S = C 23
2
S= D 21
2
S =
Lời giải
Chọn A
(15)O
x y
A
B
C
D
1
2
1 −
3 − −
1
(3; 2)
AC= − ⇒
13
AC = , n=( )2;3 véc tơ pháp tuyến AC, phương trình AC:
( ) ( )
2 x+ +1 y− = ⇔1 2x+3y− =1
Khoảng cách từ B đến AC là:
( ) 3.2 ;
13 13
d B AC = + − = ⇒ ( ; ) 13 7
2 13
ABC
S∆ = d B AC AC = =
Khoảng cách từ D đến AClà:
( ) 10 ;
13 13
d D AC = − − = ⇒ ( ; ) 10 13
2 13
ADC
S∆ = d D AC AC = =
Vậy 17
2
ABC ADC
S =S∆ +S∆ = + =
Câu 5: Cho số phức zcó phần thực phần ảo số dương thỏa mãn
( ) ( )
3
6
2
1 20
−
+ − − i = +
z i z i
i Khi mơđun số phức
2
1
w= + +z z +z có giá trị
bao nhiêu?
A 25 B C D
Lời giải
Chọn B
Ta có ( ) ( )
3 3
2
2−i = 2+i = +8 12i+6i + = +i 11 i
( ) ( ) ( )5 2 ( ) ( )2
1−i = −1 i 1 −i = −1 i −2i = − +4 i
Gọi = +z x yi
Khi ( ) ( )
3
6
2
1 − 20
+ − − i = +
z i z i
(16)( 4 ) ( ) ⇔ + + − +x yi i x−yi = + i
( 4 ) (4 )
⇔ x− x+ y + x+ y i= + i
4 1
4
− + = =
⇔ ⇔ ⇒
+ = =
x x y x
x y y z= + i
Suy w= + + + +1 (1 i) (1 i) (2+ +1 i)3 = ⇒5i w =5
Câu 6: Cho 2z+ −1 3i = Tìm giá trị lớn P= − +z z+ −1 2i ?
A 4 B 4 C 2 D 4
Lời giải
Chọn A
Ta có: ( )
2
2
; :
2 2
M z ∈I x+ +y− =
Gọi A( ) (1; ,B −1; 2) Chú ý I A B, , thẳng hàng đồng thời ta có IA=3IB Ta tìm max
MA+ MB
Ta có: MA2+3MB2 =( MI+IA) (2+3 MI+IB)2
( )
2 2 2
3 3
MA MB MI IA IB MI IA IB
⇒ + = + + + +
2 2 2
3
MA MB MI IA IB
⇒ + = + + = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: ( 2)( )
3 3
MA+ MB≤ MA + MB + = ) Chọn đáp ánA.
Câu 7: Giả sử z , 1 z hai s2 ố phức thỏa mãn (z−6 8)( +z i) số thực Biết z1−z2 = 4,
giá trị nhỏ z1+3z2
A.5− 21 B 20 21− C 20 22− D 5− 22
Lời giải
(17)- Giả sử z x yi= + ,
Gọi A , B điểm biểu diễn cho số phức z , 1 z Suy 2 AB= z1−z2 =
- Ta có (z−6 8)( +z i)=(x− +6) yi 8( −y)−xi =(8x+6y−48)−(x2+y2−6x−8y i)
Theo giả thiết (z−6 8)( +z i) số thực nên ta suy x2+y2−6x−8y= T0 ức điểm A ,
B thuộc đường tròn tâm , bán kính R=
- Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa
Gọi H trung điểm AB Ta tính 2
21
HI =R −HB = ; IM = HI2+HM2 = 22 Suy điểm M thuộc đường trịn tâm , bán kính
- Ta có , nhỏ nhỏ
Ta có
- Vậy
Câu 8: Giả sử z , 1 z hai s2 ố số phức z thỏa mãn iz+ 2− = i z1−z2 = Giá trị lớn
nhất z1 + z2
A 4 B 2 3 C 3 2 D 3
Lời giải
Chọn A
,
x y∈
( )C I( )3;
3
MA+ MB= ⇔OA+ OB= OM
( )C′ I( )3; r= 22
1 3 4
z + z = OA+ OB = OM = OM z1+3z2 OM
(OM)min =OM0 = OI− = −r 22
1 min 20 22
(18)- Ta có iz+ 2− = ⇔i i z i− 1− = ⇔ − −1 z i =
- Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I( )1; , R=
- Gọi M , N điểm biểu diễn z , 1 z nên 2 MN= đường kính
- Dựng hình bình hành OMPN ta có z1+z2 =OP=2
- Ta có (z1 + z2 )2 ≤2(z12+ z2 2)= z1−z2 2+ z1+z22 =16⇒ z1 + z2 ≤
- Dấu xảy z1 = z2 ⇔MN ⊥OI (OMPN hình thoi)
Câu 9: Có số phức z thoả mãn
2
2
4
z z z z
− +
+ + số thực z+ +z z− = z
A 2 B 4 C 8 D
Lời giải
Chọn C
Gọi z x yi= + với x y, ∈R
Nếu y= ⇒0 x = ⇒ = ± x Nếu y≠0
Vì
2
2
4
z z z z
− +
+ + số thực nên đặt ( ) ( ) ( )
2
2
4
1
4
z z
k k z k z k z z
− + = ⇔ − + + + − =
+ +
Ta có z2 z z1 2 c x2 y2
a
(19)Vì z+ +z z− = ⇔z x +2 y =
Biểu diễn đường tròn ( )C :x2+y2 = đường thẳng x +2 y = hệ trục Oxy Nhận thấy chúng cắt điểm Vậy có tất số phức thoả ycbt
Câu 10: Cho số phức z w thỏa mãn (1 ) w
z
i z i
+ = + + Tìm giá trị lớn
w
T = + + i
A 4 13 B 13 C 3 13 D 2 13
Lời giải
Chọn D
Ta có: (1 ) w
z
i z i
+ = + + ( 2) (2 3) w
z z z i
⇔ − + − =
Lấy modul hai vế: ( 2) (2 3)2 w
z z − + z − =
đặt t z= điều kiện t > Khi phương trình trở thành: ( 2) (2 3)2 w
t t− + t− =
( ) (2 )2 2
2
2
2
1 16 13 16 13 1
5 13
w 13 13 13
t t t t
t t t t t
− + − − +
⇒ = = = − + = + − ≥
w 13
⇒ ≤
Khi T = w+ +2 3i ≤ w + +2 3i ≤ 13+ 13=2 13
Dấu xảy
w 13
13
z
=
=
(20)Bài tập tương tự phát triển 2:
Nhận biết
Câu Cho hai số phức z1 2i z2 1 i Phần thực số phức z1 bằngz2
A. B 4i C 1 D i
Lời giải
Chọn A
Ta có: z1 z2 3 2i 1 i i Suy phần thực z1 z2
Câu Cho hai số phức z1 i z2 1 4i Phần ảo số phức z z 1 2
A. −11i B − 11 C 7 D i
Lời giải
Chọn B
Ta có: z z1 2 3 i14i 7 11i Suy phần ảo z z 1 11
Câu Cho hai số phức z1 i z2 1 4i Phần ảo số phức
2
z z
A.
17 B
13
17i C
1 17
− D 13
17
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3 13
1 17 17
z i
i
z i
Suy phần ảo
z
z
13 17
Câu Cho hai số phức z1 2i z2 3 4i Phần thực số phức z1 bằngz2
A. B 2i C −2 D 8
Lời giải Chọn A
Ta có: z1 z2 5 2i 3 4i 2 2i Suy phần thực z1 z2
Câu Cho hai số phức z1 2i z2 1 i Phần thực số phức z1 bằngz2
A. B 4i C 4 D i
(21)Chọn C
Ta có: z1 z2 3 2i 1 i 3i Suy phần thực z1 z2
Câu Cho hai số phức z1 5i z2 3 i Phần thực số phức z1 bằngz2
A. −2 B 4i C 2 D i
Lời giải
Chọn A
Ta có: z1 z2 1 5i 3 i 4i Suy phần thực z1 z2 2
Câu Cho hai số phức z1 5i z2 2 4i Phần ảo số phức z1 z2
A. −1 B − C 9 D −9i
Lời giải
Chọn B
Ta có: z1z2 5i 2 4i 1 9i
Suy phần ảo z1 z2 9
Câu Cho hai số phức z1 2i z2 2 3i Phần ảo số phức z1 bằngz2
A. B − C 5 D 5i
Lời giải
Chọn C
Ta có: z1z2 5 2i 2 3i 3 5i
Suy phần ảo z1 z2
Câu Cho hai số phức z1 2i z2 2 3i.Tổng phần thực phần ảo số phức z1 z2
bằng
A. B 5 C 3 D 5i
Lời giải
Chọn A
Ta có: z1z2 5 2i 2 3i 3 5i
Suy tổng phần thực phần ảo số phức z1 z2
Câu 10 Cho hai số phức z1 2i z2 5 7i Tổng phần thực phần ảo số phức z1 z2
bằng
A. − +2 5i B 5 C 7 D 3
(22)Chọn D
Ta có: z1z2 3 2i 5 7i 2 5i
Suy tổng phần thực phần ảo số phức z1 z2
Thông hiểu
Câu 1. Cho số phức z= +1 ,i w= +2 i Số phức u=z w có
A Phần thực phần ảo B Phần thực phần ảo
C Phần thực phần ảo 3i D Phần thực phần ảo 3i
Lời giải
Chọn A
Ta có: u= +(1 2i)(2− = + Vậy số phức u có phần thực i) 3i phần ảo
Câu Cho hai số phức z1= +1 ;i z2 = − 3i Xác định phần ảo số phức z1−2z2
A 3 B − C 5 D. −
Lời giải
Chọn B
( )
1 2 2 3
z − z = + −i − i = − + i
Do phần ảo 5, chon C
Câu Cho hai số phức z1= −3 ;i z2 = −4 i Số phức =
2
z z
z có phần thực
A. −13
17 B.
16
17 C. −
4 i
5 D.
9 25
Lời giải
Chọn B
( i)( i)
i
i
i i i
− +
−
= = = = −
− − +
1
2
3 4
z 16 13
z
z (4 )(4 ) 17 17
Phần thực 16 17
Câu Cho hai số phức z1 = − +1 ,i z2 = − −3 2i Môđun của số phức z1− z2
A 7 B 29 C 29 D
Lời giải
(23)2
1 ( ) 2 29
z −z = + − − −i i = + ⇒i z −z = + =
Câu Cho z1 = +3 i, z2 = − Tính i z1+z z1 2
A. B. 20 C. 10 D 10
Lời giải
Chọn B
( )( )
1
z +z z = + + +3 i i 2− =i 10 10 0= + i 2 1
z z z 10 10
⇒ + = + =
Câu Cho hai số phức z 1 z 2 hai nghiệm phương trình
2
2
z + + =z Phần thực số phức
1
z bằngz
A. B −i C −1 D i
Lời giải
Chọn C
Theo Vi-et ta có: z1z2 1
Suy phần thực z1 z2 1
Câu Cho hai số phức z 1 z 2 hai nghiệm phương trình
2
z + + =z Phần ảo số phức
1
z z bằng
A. B −i C 0 D i
Lời giải
Chọn C
Theo Vi-et ta có: z z1 22
Suy phần ảo z z 1
Câu Cho hai số phức z 1 z 2 hai nghiệm phương trình
2
z + z+ = Biểu thức 2
1
z z
bằng
A. B 6i C −6 D 5
Lời giải
Chọn C
Theo Vi-et ta có: z1z2 2;z z1 25
Suy 2 2
1 2 2
z z z z z z
Câu Cho hai số phức z 1 z 2 hai nghiệm phương trình
2
z + z+ = Biểu thức
1
1
z z
bằng
A.
2
− B 2
5 C
2
− D 5
2
(24)Chọn C
Theo Vi-et ta có: z1z2 2;z z1 25
Suy
1 2
1
z z
z z z z
Câu 10 Cho hai số phức z 1 z 2 hai nghiệm phương trình
2
2
z + z+ = Biểu thức z12 z2
bằng
A. 10i B 2 C 10 D 5
Lời giải
Chọn C
Giải phương trình ta có: z1 1 ;i z2 1 2i
Suy z12 z225 Vậy z12 z22=10
Vận dụng
Câu Cho số phức z= −2 3i Phần ảo số phức w= +( ) (1 i z− −2 i z)
A. −2 B −5i C −5 D i
Lời giải
Chọn C
Ta có w= +(1 i)(2 3− i) (− −2 i)(2 3− i)= − −2 5i
Vậy phần ảo số phức w −5
Câu Cho số phức thỏa mãn (z− +5i 2)(i+2)=10 Phần thực số phức z
A. B −3i C −3 D 3i
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )( ) 10
5 2 10 5 2 3
2
z i i z i z i i z i z i
i
− + + = ⇔ − + = ⇔ = − + − ⇔ = + ⇒ = −
+
Vậy số phức z có phần thực
Câu Phần thực số phức ( )
2
1 3
i i z
i
+ + +
=
+
A. B 4i C −3 D 3
Lời giải
Chọn D
(25)( )
2
1 3 ( ) 10 ( 10 )(1 ) 15 20
3
1 2 (1 )(1 )
i i i i i i i i
z i
i i i i i
+ + + − + + + − + − + − +
= = = = = = +
+ + + + −
Vậy số phức ( )
2
1 3
i i z
i
+ + +
=
+ có phần thực phần ảo
Câu Phần ảo số phức z thỏa mãn z+2z =12−2i
A. B 4i C 2i D 2
Lời giải
Chọn D
Đặt z= +a bi, ,(a b∈ )
Ta có: z+2z =12−2i ⇔ + +a bi 2(a bi− )=12 2− i 12
a a bi i
b
=
⇔ − = − ⇔
=
Vậy phần ảo
Câu Cho số phức z thỏa mãn: (2 )− i z+ +(4 i z) = − +(1 )i Phần ảo z
A. −2 B 5 C 2i D 5i
Lời giải
Chọn B
Gọi z= + ⇒ = −a bi z a bi, ta có:
( )( ) ( )( ) ( )
2
(2 ) (4 ) (1 )
3
2
3
i z i z i i a bi i a bi i a b a b i i a b a
z i a b b
− + + = − + ⇔ − + + + − = − ⇔ + − + = −
+ = = −
⇔ ⇔ ⇒ = − +
+ = =
Vậy phần ảo
Câu Cho số phức z có z m m= ; ( >0) Với z m≠ ; tìm phần thực số phức
m z−
A m B
m C
1
4m D
1 2m
Lời giải Chọn B
Gọi Re z( ) là phần thực số phức z
Ta xét:
( )( )
1 1
m z m z m z z m z m z m z m z m z m z m z z mz mz
− + − − −
+ = + = =
− − − − − − + − −
( )
− − − −
= = = ⇒ =
− − −
− −
2
2 Re 1
2
2
m z z m z z
m m z m m m z z
(26)Câu Cho số phức z thỏa mãn: (3 2+ i z) (+ 2−i)2 = +4 i Hiệu phần thực phần ảo số phức z
là
A 2 B 3 C 1 D 0
Lời giải Chọn D
Gọi số phức = +z a bi (a b, ∈ )
Ta có (3 2+ i z) (+ 2−i)2 = +4 i ⇔(3 2+ i)(a+bi)= + −4 i (2−i)2
( )
3 2 4
⇔ a− b+ a+ b i= + − +i i ⇔3a−2b+(2a+3b i) = +1 5i
3
2
− =
⇔ + =
a b a b
1
1 = ⇔ =
a
b ⇒ − =a b Vậy hiệu phần thực phần ảo số phức z
Câu Cho z z1, 2 hai số phức liên hợp thỏa mãn 12
2
z
z ∈ z z1− =2
Tính mơđun số phức z1
A. z =1 B. z =1 C z1 =2 D. 1
2
z =
Lời giải Chọn D
Gọi z1 = + ⇒a bi z2 = −a bi a; ( ∈; b∈) Khơng tính tổng quát ta gọi b ≥0
Do z z1− 2 =2 3⇒ 2bi =2 3⇒ =b
Do z z1, 2 hai số phức liên hợp nên z z ∈ 1 2 , mà
( )
3
3
1
1
2
2 1 2
z z z
z = z z ∈ ⇒ ∈
Ta có: 13 ( )3 ( 3 2) (3 3) 3 20 2
b
z a bi a ab a b b i a b b a a b
=
= + = − + − ∈ ⇔ − = ⇔ ⇒ =
=
Vậy z1 = a2+b2 =2
Câu Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z1= +a (a2−2a+2)i (với a số thực thay đổi) N
là điểm biểu diễn cho số phức z 2 biết z2− − =2 i z2− + Tìm độ dài ngắn đoạn i
MN
A 2 B 6
5 C 1 D 5
(27)Chọn B
Giả sử N x y ta có: ( );
2x y
⇔ − − =
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức đường thẳng
Dấu xảy
Vậy 5
MN =
Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A( )4;3 M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
hệ thức (2+i z z) − −(1 2i z) = +1 3i Giá trị nhỏ đoạn AM
A 3 B 4 C 6 D 7
Lời giải
Chọn B
Ta có: (2+i z z) − −(1 2i z) = +1 3i ⇔ z 2( +i z) − −(1 2i) = 10
( ) ( ) ( ) (2 )2
2 10 2 10
z z i z z z z
⇔ − + + = ⇔ − + + =
( )
4
5 10
2
z
z z z
z L
=
⇔ + − = ⇔ ⇔ =
= −
Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm O( )0; có bán kính
R=
Vậy AMmin = OA R− = − =
Vận dụng cao
Câu Cho số phức z thỏa mãn 2z− = +z m 3(m−1)i với m tham số thực Để tích phần thực
và phần ảo z nhỏ m bằng
A.
4
− B
2
− C 1
2 D
1
Lời giải
Chọn C
Gọi z= +a bi, (a b, ∈ ) suy 2z− =z 2(a bi+ ) (− a bi− )= +a 3bi
( ) (2 ) (2 ) (2 )2
2 2 6
z − − =i z − + ⇔i x− + y− = x− + y+
⇒ z2 ( )∆ : 2x y− − =8
( , ) ( 2 2) 10 ( 2)2 6
5
5 5
a a a a a a
MN d M≥ ∆ = − − + − = − + = − + ≥
(28)( ) ( ) 2 1
2 1
1 4
a m
z z m m i ab m m m m m
b m
=
− = + − ⇔ ⇒ = − = − = − − ≥ −
= −
Dấu "=" xảy
m
⇔ =
Vậy
m= tích phần thực phần ảo z nhỏ
Câu Cho số phức z≠1 thỏa mãn z3 = Biểu thức ( 2018)( 2018)
1− +z z 1+ −z z
A. B −3i C −3 D 3i
Lời giải
Chọn A
Ta có: z3= ⇒1 z2018 =( )z3 672.z2 =z2
( )( )
3
1 1
z = ⇔ z− z + + =z , mà z≠1 nên z2+ + = z
Do đó, ( 2018)( 2018) ( 2)( 2)
1− +z z 1+ −z z = − +1 z z 1+ −z z
( )( 2)
1 z z 2z z z 2z
= + + − + + −
( 2)
2 z 2z 4z = − − = =
Câu Cho số phức z thỏa mãn iz+ − =m i (với m tham số thực) Để phần thực , phần ảo số
phức z độ dài cạnh tam giác vng có độ dài cạnh huyền m bằng
A. B 1 C − D
Lời giải
Chọn D
Ta có: iz m i z m i z mi z mi i
− +
+ − = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +
Do số phức z có phần thực x=1 phần ảo y=m
Để phần thực, phần ảo số phức z độ dài cạnh tam giác vng có độ dài cạnh
huyền 2 02 2 2 0
1 3
m
m m
m
m m m
>
> >
⇔ ⇔ ⇔ =
+ = =
= ±
Câu Cho số phức z thỏa mãn 4z− =7 i(1 )+ z Hỏi có bao nghiêu số nguyên dương m không vượt
quá 2020 để phần ảo số phức m
z khác 0
A. 506 B 405 C 504 D 505
Lời giải Chọn D
Ta có: (1 ) (4 ) 7 (1 )
4
m m
i i
z i z i z i z z z i z i
i i
+ +
− = + ⇔ − = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇒ = +
(29)Nhận thấy :
(1+i) =2 ; (1i +i) = − +2 ; (1i +i) = +(1 i) (1+ = − +i) ( 2 )(1i + = − i) Do đó:
(1+i) k = −( 4) ;k
4
(1+i) k+ = −( 4) (1k +i); *
k∈
4 2
(1+i) k+ = −( 4) (1k +i) = −( 4) ;k i
4 3
(1+i) k+ = −( 4) (1k +i) = −( 4) ( 2 )k − + i
Suy phần ảo số phức m
z bằng 0⇔m chia hết cho
Mà m là số nguyên dương không vượt 2020 nên m∈{4;8;12;13;16; ; 2016; 2020}⇒ có 505 số
Câu Cho hai số phức z , 1 z th2 ỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z1+2z2 = Giá trị
1
2z −z
là
A. B 2 C 6 D
Lời giải
Chọn B
Giả sử z1= + , ( a , a bi b∈ ); z2 = + , ( c , c di d∈ )
Theo giả thiết ta có:
1
2
1
2
2
2
z z z z
=
=
+ =
( ) ( )
2
2
2
4
4
2 16
a b c d
a c b d
+ =
⇔ + =
+ + + =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
4
4
4 16
a b c d
a b c d ac bd
+ =
⇔ + =
+ + + + + =
Thay ( )1 ,( )2 vào ( )3 ta ac+bd = −1 ( )4
Ta có 2z1−z2 = ( ) ( )
2
2a c− + 2b d− = 4(a2+b2) (+ c2+d2)−4(ac bd+ ) ( )5
Thay ( )1 ,( )2 ,( )4 vào ( )5 ta có 2z1−z2 =2
Câu Cho hai số phức z w khác thoả mãn z+3w =5w z−2wi = −z 2w−2wi Phần thực
của số phức z
w
A 1 B − C −1 D 3
Lời giải Chọn D
Đặt z a bi,
(30)3
5
2 2
2 2
z w z
w w
z wi z w wi z z
i i
w w w w
+ = + =
⇔
− − −
= − = − −
2 2
2 2
( 3) 25 ( 3) 25
4
( 2) ( 2) ( 2)
a b a b a
b a
a b a b
+ + = + + = =
⇔ ⇔ ⇔ = ±
− =
+ − = − + −
Vậy phần thực số phức z
w
3
2
− =
⇔ + =
a b a b
1
1 = ⇔ =
a
b ⇒ − =a b
Câu Cho hai số phức thoả mãn , Gọi , điểm biểu diễn cho
Biết Tính
A T =18 B T =24 C T =36 D T =36
Lời giải
Chọn D
Ta có
Gọi điểm biểu diễn số phức
Khi ta có
Do nên suy
Vậy
Câu Cho số thực a thay đổi số phức z thỏa mãn
2 1 ( 2 )
1
z i a
a a i a
− =
− −
+ Trên mặt phẳng tọa độ,
gọi M điểm biểu diễn số phức z Khoảng cách nhỏ hai điểm M ( 3;4)I − (khi
a thay đổi)
A 6 B 5 C 4 D 3
Lời giải
Chọn C
1,
z z z1 =6 z2 =2 M N z1
2
iz MON 60= ° T = z12+9z22
( )2
2 2
1 3
T = z + z = z − iz = z − iz z + iz
P 3iz2
1
z − iz z + iz = OM −OP OM +OP = PM 2OI =2PM OI
60
MON= ° OM =OP=6 ∆MOP PM =6 3
OI = =
2 2.6.3 36
(31)2 2
2 1 ( 2 ) 2 ( )
1 1
z i a z a i z a i
a a i a ai i a i
a a a
− − −
= ⇔ = ⇔ =
− − − + −
+ + +
2
2 2
1 1
( ; )
1 1
a a a
z z i M
a i a a a a
+
⇔ = ⇔ = + ⇒
− + + + +
⇒ M thuộc đường tròn 2
( ) :C x +y =1 bán kính R= Vì ( 3;4)1 I − nằm ( )C nên để
khoảng cách d hai điểm M ( 3;4)I − nhỏ dmin =IO− = − =R
Câu Cho số phức z thỏa mãn z+ − + − −2 i z 7i =6 Gọi M m, giá trị lớn
nhỏ biểu thức P= − +z i Giá trị tổng S M m= +
A 29
2
S = + B 5 2 73
2 +
C S =5 2+ 73 D 73 2
S = +
Lời giải
Chọn B
Dùng bất đẳng thức mincopxki, sau:
Giả sử z= +a bi a b, ( , ∈), ta có: (a+2)2 + −(b 1)2 + (a−4)2+ −(b 7)2 =6 (1)
Từ ta có: 2 2 2
(a+2) + −(b 1) + (a−4) + −(b 7) ≥ (a− + −1 a) + − + −(b b) =6
Dấu xảy ( [2)(7] ) [ ](4 )( 1) [ ]
2; ; 1; 2;
a b a b b a
a b a
+ − = − − = +
⇔
∈ − ∈ ∈ −
Biểu thức 2 [ ]
( 1) ( 1) 17, 2;
P= a− + +b = a + a+ a∈ = −D
Khảo sát hàm số từ tìm 2, 73
= =
m M
Vậy 73 2 73
2
M + =m + = +
Câu 10 Cho hai số phức thoả mãn , Gọi , điểm biểu diễn cho
Biết Tính
A T =18 B T =24 C T =36 D T =36
Lời giải
Chọn D
1,
z z z1 =6 z2 =2 M N z1
2
(32)Ta có
Gọi điểm biểu diễn số phức
Khi ta có
Do nên suy
Vậy
( )2
2 2
1 3
T = z + z = z − iz = z − iz z + iz
P 3iz2
1
z − iz z + iz = OM −OP OM +OP = PM 2OI =2PM OI
60
MON= ° OM =OP=6 ∆MOP PM =6 3
OI = =
2 2.6.3 36