Chuyên đề số phức ôn thi THPT Quốc gia

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z?. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z... Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5... Tìm phần

MỤC LỤC

Lý thuyết chung……… 1

Chuyên đề 1 THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN……….5

Chuyên đề 2 TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO………31

Chuyên đề 3 SỐ PHỨC LIÊN HỢP………67

Chuyên đề 4 TÍNH MOĐUN SỐ PHỨC………78

Chuyên đề 5 PT BẬC NHẤT THEO Z VÀ LIÊN HỢP CỦA Z………123

Chuyên đề 6 TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PT BẬC 2……….138

Chuyên đề 7 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PT………148

Chuyên đề 8 TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PT BẬC CAO……… 174

Chuyên đề 9 BIỂU DIỄN MỘT SỐ PHỨC……….189

Chuyên đề 10 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC………255

Chuyên đề 11 MAX-MIN CỦA MOĐUN SỐ PHỨC……….318

Chuyên đề 12 CÁC DẠNG KHÁC……… 390

A CÁC PHÉP TỐN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

- Khi phần thực a0zbi là số thuần ảo.z

- Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo

+ Hai số phức bằng nhau: a bi c di a c với , , ,a b c d

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với ,a b   được

biểu diễn bằng điểm M a b ; 

Cho hai số phức ; z'a'b i' với , b, a', b'a   và số k  

z  z , nghĩa là nếu muốn chia số phức z'cho số phức z 0thì ta nhân cả tử và

mẫu của thương z'

B CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC:

1 LÝ THUYẾT

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 w được gọi là một căn thức bậc 2 của w Mỗi số phức w  0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau (z và –z) 0

*Trường hợp w là số thực ( w   )a

+ Khi a>0 thì w có hai căn bậc hai là a và  a

+ Khi a<0 nêna ( a i) 2, do đó w có hai căn bậc hai là a i và  a i

Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của -1 là i và –i

Hai căn bậc 2 của a2 (a0)là ai ,ai

Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là w z2 Từ đó kết luận căn bậc hai của

w là z và -z

II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

a) Phương pháp giải:

Cho phương trình bậc 2: 2

0 (1)

Az BzCTrong đó A,B,C là những số phức A≠0

Trong đó  là một căn bậc 2 của 

+ Nếu   thì phương trình (1) có nghiệm kép:0

+ Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là x  1

+ Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình x  1

+ Định lý Bézout: Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x a bằng giá trị của đa thức ( )f x tại

- Nhập phương trình vào máy tính.

- Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình Sau đó dùng

sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ 1 THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN

A – BÀI TẬP

Câu 1: Số phức z thỏa mãn z  z 0. Khi đó:

C. Phần thực của z là số âm D. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0

Câu 2: Cho hai số phức za2b  a b i  và w 1 2i Biết zw i Tính S   a b

A. 205 410i B. 205 410i C. 205 410i D. 205 410i

Câu 6: Gọi a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức

1 2

i z





Câu 14: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 z 2 6z 13   0 Tìm số phức

0 0

289 289

i z

Câu 41: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm của phương trình

411

A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo

C. bằng 0 D.lấy mọi giá trị thực

Câu 45: Cho số phức 2 6

,3

m i z

 Câu 61: Cho số phức z 4 6i Tìm số phức wi z z

Câu 71: Người ta chứng minh được nếu zcosisin     z n cosn isinn  với n   *

Câu 76: Cho số phức za bi a b   tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng?, 

A Mô đun của z là một số thực dương

B z2  z2

C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz

D. Điểm Ma b;  là điểm biểu diễn của z

A. 10092017i B. 2017 1009i C. 2017 1009 i D. 1008 1009i

Câu 80: Cho số phức za bi a b,   thỏa mãn 7a 4 2bi 106 5 a i Tính

i z

Câu 87: Cho hai số phức z1 1 2i, z2  2 3i Tổng của hai số phức z và 1 z là 2

Câu 2: Cho hai số phức za2b  a b i  và w 1 2i Biết zw i Tính S   a b

Hướng dẫn giải Chọn B

a b

Câu 3: Số phức nghịch đảo của số phức z 1 3i là

2i1i  z 4 2i    3 i z 4 2iz 1 3iz 1 3i

Câu 5: Rút gọn biểu thức A 1 1i21i4  1i10

A. 205 410i B. 205 410i C. 205 410i D. 205 410i

Hướng dẫn giải Chọn D

Nhập biểu thức vào Casio ta tính được kết quả

Ta có: z 1 3 1 2i  i 3 4 i2 3 i2 1 2  i5 2 3  i12 19i

Vậy a b 12 19   7.

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn: 1 2 z3 4 i 5 6i Tìm số phức 0 w 1 z

z  i z   i z và z2 z, z   , z 1 z z z2 1 Khi đó

Câu 12: Biểu diễn về dạng za bi của số phức

 

2016 2

1 2

i z

Ta có:

 

2016 2

1 2

i z



 Hướng dẫn giải

Chọn B

Vì z2i  3 3 2i nên z  3 2i, suy ra

1 3  1 3 4 4

wiz z i  i   i  i

Ta có: w iz z i2 4 i 2 4i   2 2i

Câu 19: Cho hai số phức z1 1 2i, z2   Tìm số phức 3 i 2

1

z z z

Chọn A

Ta có 2

1

z z z

1 2

i i

2 1

3 3

20172017

2  1 2 3 2  1 3 1 2  1 2   3 1 2 

z i   z i z  z i   iz  i   z  z  iz  i

Suy ra:   2 2 2

1 2 z  z 3 5z  z  5Khi đó, ta có: 5 2  1 2 3 1 2  11 2 11 2 3 4

Hướng dẫn giải Chọn B

i i

Ta có: z1z2  3 6i z1z2  9 36 3 5

Ta có: z3i1 4 i   1 13i

Câu 36: Cho hai số phức z1 2 3i, z2   4 5i Số phức zz1z2 là

A. z  2 2i B. z 2 2i C. z  2 2i D. z 2 2i

Hướng dẫn giải Chọn A

Hướng dẫn giải Chọn A



289 289

i z

Chuyển máy tính về chế độ số phức bấm :

Câu 41: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm của phương trình

411

Ta có phương trình f z   2z i  4 z14 0

A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo.

C. bằng 0 D.lấy mọi giá trị thực

Hướng dẫn giải Chọn B

m i z

Ta có: 2 6

(2 ) 2 3

z là số thuần ảo khi và chỉ khi m 2k1, k  (do z0; m *)

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài

Câu 46: Cho số phức z   1 i i2 i3  i9 Khi đó

A. z 1 B. zi C. z  1 i D. z  1 i

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có 1i 3  z4i  z 3 i  z  2

Khi đó tan Im 1

z z

x y

A. z26 7 i B. z 6 20i C. z26 7 i D. z 6 20i

Hướng dẫn giải Chọn A

Số phức đó được xem là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu u 1 1

và công bội q 1 i nên ta được số phức là

1 21 1

1

i i

Câu 59: Căn bậc hai của số phức z  5 12ilà:

A. 2 3i B.  2 3i C. 2  3 , 2i   3i D. 2  3 , 2i   3i

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có z  5 12i2 3 i2 Vậy hai căn bậc hai của số phức z  5 12ilà: 2  3 , 2i   3i Câu 60: Biết 1

25

 Hướng dẫn giải

(2 ) (2 )

56 81

i i

z , z là ba đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị nhận gốc O làm trọng tâm, nên 3

ta chỉ việc giải nghiệm của phương trình z 3 1 để chọn ra các nghiệm là z , 1 z , 2 z ) 3

Vì z1  z2  z3  và 1 z1z2z3  nên các điểm biểu diễn của 0 z , 1 z , 2 z là ba đỉnh của 3

tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị nhận gốc O làm trọng tâm

Do đó ta có thể giả sử acgumen của z , 1 z , 2 z lần lượt là 3 1, 1 2 , 1 4

z , 2 3

A.  14 5i B.  10 5i C.  10 5i D. 14 5i

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: z z1 22 3 i1 4 i14 5 iz z1 2 14 5  i

Câu 76: Cho số phức za bi a b   tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng? , 

A. Mô đun của z là một số thực dương

B. z2  z2

C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz.

D. Điểm Ma b;  là điểm biểu diễn của z

Hướng dẫn giải Chọn C

a b

i z

511

i z

Câu 87: Cho hai số phức z1 1 2i, z2  2 3i Tổng của hai số phức z và 1 z là 2

A. 3 5i B. 3 5i C. 3 i D. 3 i

Hướng dẫn giải Chọn C

i i







1 32

(x0;y không là nghiệm) 0

2 3

A. m    2; 3 B 2

5

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 92: Tính tổng S của các phần thực của tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z  3 z2

6

b b

Ta có 3  3

z   i    i

D. Điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ là M1, 3.

Câu 2: Cho hai số phức: z123i, z2   Phần ảo của số phức 1 i w2z z1 2 bằng

Câu 16: Số phức 2

4 3

i z

của số phức z lần lượt là:

A. 4; 3 B.  4; 3 C. 4; 3 D. 4; 3

Câu 27: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z 3 2i

A. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 3i B.Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2

C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2 D.Phần thực băng 3, phần ảo bằng 2i

Câu 28: Cho số phức z 2 3i Tìm phần thực a của z

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn 47i z 52i6iz Tìm phần ảo của số phức z?

A 18

1817



A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo

C. bằng 0 D.lấy mọi giá trị thực

Câu 36: Cho số phức z1i 2 1 2 i Số phức z có phần ảo là



D.Phần thực là 1

3, phần ảo là

14



Câu 44: Nếu số phức z thỏa mãn z  thì phần thực của 1 1

 Câu 69: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn z2z2i 3 1i

C. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 4i D.Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4.

Câu 76: Cho số phức z  2 5i Phần thực và phần ảo của z lần lượt là

A.  và 2 5i B.  và 2 5 C. 2 và 5 D.  và 2 5

Câu 77: Cho số phức z  4 3i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z?

A. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3i B Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i

C. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3 D.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3

Câu 78: -2017] Cho số phức z x yi; z 1 (x y  ; ) Phần ảo của số 1

1

z z



 là:

A

 2 21

i z

 Câu 94: Phần ảo của số phức z 2 3i là

1

Câu 123: Trong mặt phẳng xOy , gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z 3 3i  3 Tìm

phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất.

 Câu 128: Cho số phức z 3 2i Tìm phần thực và phần ảo của z

Câu 152: Cho số phức z3 2 i3 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A. Phần thực và phần ảo lần lượt là: 9, 46 B Phần thực và phần ảo lần lượt là:  9, 46

C. Phần thực và phần ảo lần lượt là: 9, 46 D Phần thực và phần ảo lần lượt là: 9, 46

Câu 153: Cho x , y là các số thực thỏa mãn 2x1  y1i 1 2i Giá trị của biểu thức x22xyy2

C. Phần thực bằng 25 và Phần ảo bằng 10i D Phần thực bằng 25 và Phần ảo bằng 10

Câu 156: Cho số phức z 4 3i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

Phần ảo của số phức z là 3

Câu 2: Cho hai số phức: z123i, z2   Phần ảo của số phức 1 i w2z z1 2 bằng

Hướng dẫn giải Chọn D

Mỗi số phức za bi có phần thực là a , phần ảo là b

Câu 6: Xác định phần ảo của số phức z18 12 i

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: z 3 2i Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5

Câu 9: Cho số phức z1   và 1 i z2  2 3i Tìm số phức liên hợp của số phức wz1z2?

A. w 1 4i B. w  1 4i C. w 3 2i D. w 3 2i

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: z   i 0 1i nên phần thực là 0 , phần ảo là 1

Câu 11: Cho số phức z 3 2 i Tìm phần thực của số phức z2.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: 2  2

z   i   i Vậy phần thực của số phức z2 là 12

Câu 12: Số phức z 3 4i có phần ảo bằng

Hướng dẫn giải Chọn C

x y

A. Phần thực bằng  và phần ảo bằng 3i 5 B.Phần thực bằng  vvà phần ảo bằng 3 5

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3i D.Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 18: Cho hai số phức z1 1 3i và z2   2 5i Tìm phần ảo b của số phức zz1z2

Hướng dẫn giải Chọn C

zz z   i    i   i Vậy phần ảo của z là: 2

Câu 19: Cho số phức z 3 2i Tìm phần ảo của của số phức liên hợp z

Hướng dẫn giải Chọn C

w

A. Phần thực bằng 210 và phần ảo bằng  10

1 2

Ta có (3 2 ) i z(2i)2  4 i(3 2 ) i z  4 i 2i2 (3 2 ) i z 1 5i 1 5

3 2

i z

Theo định nghĩa, số phức có phần thực bằng 0 thì được gọi là số thuần ảo

Câu 24: Cho số phức z1in, biết n   và thỏa mãn log4n3log4n9 Tìm phần thực 3

của số phức z

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có z  3i 2 1i 3  4 4 3i z  4 4 3i

Vậy phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 4 3

Câu 26: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z , biết rằng z1 2 i 2 i Phần thực và phần ảo

của số phức z lần lượt là:

A. 4; 3 B.  4; 3 C. 4; 3 D. 4; 3.

Hướng dẫn giải Chọn D

z  i  i    z i suy ra z   4 3i

Vậy phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: 4; 3

Câu 27: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z 3 2i

A. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 3i B.Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2

C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2 D.Phần thực băng 3, phần ảo bằng 2i

Hướng dẫn giải Chọn B

Số phức z 3 2i có phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2

Câu 28: Cho số phức z 2 3i Tìm phần thực a của z

Hướng dẫn giải Chọn A

x y

A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo

C. bằng 0 D.lấy mọi giá trị thực

Hướng dẫn giải Chọn B

Phần thực và phần ảo lần lượt là 2 và 4 Vậy hiệu phần thực và phần ảo của z bằng 2 Câu 38: Cho hai số phức z1 1 2i và  2 

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: z 3 2i Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5

Câu 41: Gọi a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z  3 2i Giá trị của a2b bằng

Hướng dẫn giải Chọn A

32



D.Phần thực là 1

3, phần ảo là

14

 Hướng dẫn giải

C. Phần thực bằng 2016 và phần ảo bằng 2017

D. Phần thực bằng 2017 và phần ảo bằng 2016i

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: z  3 2i Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là 3, 2

Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn: 3 2 i z 2i2  4 i Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z

là:

Hướng dẫn giải Chọn A

Suy ra hiệu phần thực và phần ảo của z bằng 1 1 0 

Câu 48: Cho hai số phức: z123 ;i z2   Phần ảo của số phức 1 i w2z z1 2 bằng:

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: 2

1

i z

Chọn D

Ta có 1

1

i z i

z  i   i i    i có phần thực a   và phần ảo 3 b 4 Câu 53: Số nào trong các số phức sau là số thực?

A.  32i  32i B 3 2 i  3 2 i

C. 5 2 i 52i D 1 2 i   1 2i

Hướng dẫn giải Chọn B

3 2 i  3 2 i 6

Câu 54: Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1i23 3 i là

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có z1i23 3 i 2

1 2i i 3 3i

       3 i  phần thực a   , phần ảo 3 b   1Vậy a b   4

Câu 55: Cho hai số phức z1 1 i z, 2 3 2i Phần thực và phần ảo của số phức z z tương ứng bằng 1 2

A. 5 và 1 B. 5 và 1 C. 5 vài D. 4 và 1

Hướng dẫn giải Chọn B

x y

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 2  2 2 2

2

z  abi a b  abi Phần ảo của z2 là 2ab

Câu 62: Cho hai số phức z1  và 2 i z2  3 2 i Tìm số phức liên hợp của số phức w2z13z2

A w13 8 i B w13 8 i C w13 4 i D. w13 4 i

Hướng dẫn giải Chọn D

 

3 3

 Hướng dẫn giải

Ta có z2z2i 3 1i z2z  9 13i

A. 1i 3 1 i 3 B 2i 5  1 2 i 5.

C.  3i  3i D 2

2

i i





Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có z1i 2 1 2 i2 1 2i  i  4 2i Vậy số phức z có phần ảo là 2

Câu 73: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

A. z  2 3i B. z2i C. z  2 D. z 32i

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 74: Phần ảo của số phức z thỏa mãn z2z2i 3 1i là:

Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 4

Câu 76: Cho số phức z  2 5i Phần thực và phần ảo của z lần lượt là

A.  và 2 5i B.  và 2 5 C. 2 và 5 D.  và 2 5

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có zabithì phần thực là a, phần ảo là b

Nên z  2 5i thì phần thực là 2 , phần ảo là 5

Câu 77: Cho số phức z  4 3i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z?

A. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3i B Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i

C. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3 D.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có z 4 3i  Phần thực bằng 4 và Phần ảo bằng 3 ( không phải 3i )