c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)Họ tên thí sinh: ……….……… Số báo danh: ………
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho hàm số bậc hai y =x2−2(m−1)x−3m+ (1), với 4 mlà tham số a) Vẽ đồ thị hàm số (1) m =2
b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m
c) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt
có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn x1−2x2 =1
Câu 2: (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC, với A( )2; , B(− − , 2; 1) C( )1;5 a) Tìm tọa điểm D cho DA−DB+4.DC =
b) Viết phương trình đường thẳng qua D tạo với đường thẳng AB góc 45° c) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 3: (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình bất phương trình sau đây: a)
2
4 2
2 15
2
x y x y
x y x y
+ + =
+ − − =
b)
2x −8x +4 >x−
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho ba số thực x y z, , ∈ 0; ,
thỏa mãn x+ + =y z Tìm giá trị lớn biểu thức ( 2 2)
3
P = x +y +z − xyz
============= Hết ============= Thí sinh khơng sử dụng tài liệu làm
Cán coi thi khơng giải thích thêm. SỞ GD-ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ (Đề có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn: Tốn – Lớp 10
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(2)Trang SỞ GD-ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ (HDC có 03 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn – Lớp 10
Lời giải sơ lược Điểm
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Với m = hàm số (1) trở thành y =x2−2x− có đồ thị sau
x y
1
3
-
- -
O
1,0
b) Gọi M x y( ; )0 0 điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m Ta có
2
0 0
2
0 0
0
2
0 0
0 2( 1) 4,
(2 3) ( 4) 0, 3
2 13
4
y x m x m m
m x y x x m
x x
y x x
y
= − − − + ∀ ∈
⇔ + + − − − = ∀ ∈
= −
+ =
⇔ ⇔
− − − =
=
ℝ
ℝ
Vậy ( 13; )
M − điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m
0,5
c) Phương trình
2( 1)
x − m− x− m+ = có hai nghiệm phân biệt x x1, 2
khi ' 13
2
m m m − +
∆ = + − > ⇔ > 13 (2)
m <− − Lúc này, theo định lí Viet, ta có x1+x2 =2(m−1), x x1 2 = −4 m
Nhận thấy 1 2
1
2( 1) 4 3 2 3
,
2 3
x x m m m
x x
x x
+ = − − −
⇔ = =
− =
(3)Trang
x x = − m biến đổi ta 27 105 16
m + m− = ⇔m = − ± Cả hai
giá trị thỏa mãn (2) Vậy với 105 16
m = − ± thì đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn x1−2x2 =1
0,5
Câu 2: (3,0 điểm)
a) Gọi D x y ( ; )0 0 DA=(2−x0; 3−y0),DB = − −( x0; 1− −y0),DC =(1−x0;5−y0),
0
4 (8 ;24 )
DA−DB + DC = − x − y Do
0
0
8
4
24
x x
DA DB DC
y y − = = − + = ⇔ ⇔ − = =
Vậy D(2; 6)
1,0
b) Đường thẳng d qua điểm D(2;6), có vectơ pháp tuyến 2
1 ( ; ),
n = a b a +b ≠ Phương trình d có dạng a x( −2)+b y( −6)=0
Vì AB= − −( 4; 4) nên n2 =(1; 1)− vectơ pháp tuyến đường thẳngAB
Ta có
2 2
2
cos 45 2a
0
2( )
n n a b a
b
b
n n a b
− = ° = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + 0,5
Nếu a = b≠ nên d có phương trình 0 y− =6 Nếu b = a ≠ nên d có phương trình 0 x− =2
Vậy có đường thẳng qua D tạo với đường thẳng AB góc 45 có phương trình x− =2 0,y− =6
0,5
c) Với A( )2; , B(− − , 2; 1) C( )1; AB =4 2,BC =3 5,CA= 5,
( ) 2( 5)
2
p= AB+BC +CA = + Diện tích tam giác ABC
0,5
( ( )( )
S = p p−AB p−BC p−CA =
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
4
AB BC CA R
S
= =
0,5 Câu 3: (3,0 điểm)
a)
2 2
4 2 2 2
2 15 15
2 2( ) 35
x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
+ + = + + = ⇔ + − − = + + + + − − = 2 2
2 2
2
2 15
2 15
5
( ) 2( ) 35
7
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y + + = + + = + = ⇔ ⇔ + + + − = + = − 2
2 2 2
2
2 2
5
(5 ) 3(5 ) 15 (4 )
7
1
( ) 3( ) 15 36
y x y x x
x x x x x x y
x
y x y x
y
x x x x x x
(4)Trang b)
2
2
2
2
2 2 2
2
4
2 ( 2)
2
x x
x x
x x x
x
x x x
x
− + ≥
− <
≤ −
− + > − ⇔ ⇔
− + > − >
− ≥
1,5
Câu 4: (2,0 điểm) Vì x y z, , ∈ 0; ,
x+ + =y z nên
2 2 2
2 2
2 2
2 (3 )(3 )(3 )
2 27 9( ) 3( )
27 9.4 3( )
6( ) 18
3( ) 6( ) 18 3( )
3( ) 18 3( )
3.4 18 3(
xyz x y z
xyz x y z xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
x y z xy yz zx xyz x y z
x y z xyz x y z
xyz x y z
+ − − − ≥
⇔ + − + + + + + − ≥
⇔ − + + + + ≥
⇔ + + + ≥
⇔ + + + + + + ≥ + + +
⇔ + + + ≥ + + +
⇔ + ≥ + + +
2 2
) 3(x y z ) 2xyz 30
⇔ + + − ≤
1,0
0,5 Dấu “=” xảy ba số x y z có số 0, số số , ,