THPT YÊN PHONG – BẮC NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) Cho hàm số y x2 2m 3 x 2m 1 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 m 2) Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 3x hai điểm A, B phân biệt cho OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) Câu (2 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x m khoảng 1;3 Câu 2x xác định x 2m (5 điểm) Giải phương trình: 1) 2) x 3x x 3x x x 3) 3x x x3 3x 10 x 26 x2 x3 y x4 y2 xy xy y xy x 1 Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình: Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB 1, AC x BAC 60 Các điểm M , N xác Câu Câu định MC 2MB NB 2 NA Tìm x để AM CN vng góc với (2 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC , ta có GA.GB GB.GC GC.GA ( AB BC CA2 ) (2 điểm) Cho x, y, z 2018;2019 Tìm giá trị lớn biểu thức: f( x, y, z) 2018.2019 xy (x y)z 2018.2019 yz (y z)x 2018.2019 zx (z x)y - HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang (http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Q thầy liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y x2 2m 3 x 2m 1 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 m 2) Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 3x hai điểm A, B phân biệt cho OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) 1) Lời giải Khi m ta hàm số y x2 3x *) Tập xác định: D 3 1 *) Tọa độ đỉnh: I ; 3 *) Sự biến thiên: Vì a nên hàm số đồng biến khoảng ; , nghịch biến 3 khoảng ; *) Bảng biến thiên *) Điểm đặc biệt Trang 3 1 *) Đồ thị : Đồ thị đường parabol có đỉnh I ; , hướng bề lõm lên nhận đường thẳng x 2) 3 làm trục đối xứng Phương trình hồnh độ giao điểm ĐTHS 1 đường thẳng y 3x là: x2 2m 3 x 2m 3x x2 2mx 2m * Để ĐTHS 1 cắt đường thẳng y 3x điểm phân biệt A, B phương trình * có m 3 nghiệm phân biệt m 1 x1 x2 2m Gọi x1, x2 nghiệm phương trình * ,ta có x1.x2 2m Đặt A x1 ;3x1 1 , B x2 ;3x2 1 OAB vuông O OAOB 10 x1x2 3 x1 x2 26m 31 m Vậy m Câu 31 ( thỏa mãn) 26 31 26 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x m khoảng 1;3 2x xác định x 2m Lời giải x m 1 x m 1 Hàm số xác định x 2m x 2m Với điều kiện m 1 2m m 1 hàm số có tập xác định D m 1; 2m Trang 1;3 m 1; 2m 2x xác định khoảng 1;3 x 2m m 1 m m 1 2m m Hệ vô nghiệm m 1 m 1 Vậy hàm số y x m Câu Vậy giá trị m thỏa mãn tốn cho Giải phương trình 1) x 3x x Lời giải Ta có x 3x x 2 x 2 x 3x (2 x 7) 2 x 3x 25 x 50 x x 10 x x5 Kết luận:Tập nghiệm phương trình S 5 2) 3x x x Lời giải Ta có 3x x x 3x 4 x 3x x (3x 1)(4 x 3) x x (3x 1)(4 x 3) x 3 x3 4 11x x 12 x x 12 x 11 Trang x 1 Kết luận:Tập nghiệm phương trình S 1 3) Giải phương trình: 3x x x3 3x 10 x 26 Lời giải 3x ĐKXĐ: 1 x 5 x Với ĐKXĐ ta có: 3x x x3 3x 10 x 26 x x x x 12 3x 3 x 2 3x x 2 2x 1 x x x 12 x 2 x x 12 2x 1 3x x x x 12 * 3x 2x 1 5 x , x x 12 0, x 1; nên phương trình * vơ nghiệm 2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S 2 Câu 4: Giải hệ phương trình: x2 x x3 y y xy 2 xy y xy x 1 Lời giải + Ta có: + Đặt x2 x3 y x4 y2 a x2 b xy + Hệ (**) y xy Với a; b Với a; b y xy x a a 2a b a2 (1) (2) Hệ trở thành Từ ta tìm a; b Với a; b xy a ab b a2 b a a2 a b { 0; ; 1; ; 0; ta có hệ 1; ta có hệ * x2 y xy x2 y xy x2 y x2 y xy x 2 xy y xy 1 ** a2 2; } x x; y y 0; ; 1; ; 1; 2; ta có hệ Trang x2 y xy y x Vậy hệ có nghiệm x; y Câu x 2x 3 x ( x 1) x y { 1; ; 0; ; 1; : x x 1; ; 1; y 1; } (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB 1, AC x BAC 60 Các điểm M , N xác định MC 2MB NB 2 NA Tìm x để AM CN vng góc với Lời giải Điều kiện: x Ta có: +) MC 2MB MA AC 2 MA AB 3MA AC AB AM AC AB +) NB 2 NA NC CB 2 NC CA 3NC CA AB 2CA 3NC AC AB Vậy: AM CN AM NC AC AB AC AB AC AB2 AB AC AC AB AB AC cos AB , AC x (Tháa m·n) 2 3x x x x x (Lo¹i ) thỏa mãn yêu cầu toán Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC , ta có GA.GB GB.GC GC.GA ( AB BC CA2 ) Vậy x Câu Lời giải Do G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GAGB GAGB cos(GA, GB) GAGB cos AGB GA2 GB AB GA.GB 2GA.GB GA2 GB AB 2 4ma2 4mb2 AB 9 Trang AC AB BC BC BA2 AC AB 9 AC BC AB AB 4 (1) Tương tự ta có: BA2 CA2 BC BC 4 GB.GC (2) CB AB AC AC 4 GC.GA (3) Từ (1), (2) (3), ta có: AC BC BA2 CA2 2 AB AB BC BC 4 4 GA.GB GB.GC GC.GA 2 2 CB AB AC AC 4 AB 3BC AC 2 ( AB BC CA ) 2 2 AB BA2 CA2 ( AB BA2 CA2 ) 3 AB2 BC CA2 1 AB BC CA2 Câu (2 điểm) Cho x, y, z 2018;2019 Tìm giá trị lớn biểu thức: f( x, y, z) 2018.2019 xy (x y)z 2018.2019 yz (y z)x 2018.2019 zx (z x)y Lời giải Cách 1: Ta chứng minh với: x, y, z a;b,(a 0) ta ln có ab xy b a x y 4(ab xy)2 (x y)2 (b a)2 2ab xy (x y)(b a)2ab xy (x y)(b a) Trang b(2a x y) x(a y) y(a x).a(2b x y) x(b y) y(b x) (đúng) Vậy ta có ab xy b a b a ( x y)z 2z 2a Dấu xảy x y a, z a hay x y z a Áp dụng ta có: f( x, y, z) b a b a b a 3( b a) 2a 2a 2a 2a Dấu xảy x y z a Thay a 2018, b 2019 , ta max f (x,y,z) x y z 2018 4036 Cách 2: Ta có 2018.2019 xy (x y) 2018.2019 xy xy (Theo BDT AM-GM) Đặt t xy,(2018 t 2019), gt x, y 2018;2019 2018.2019 t2 2018.2019 t , liên tục 2018;2019 nghịch biến t t Maxg(t) g(2018) 2018;2019 Max g(t) g(2019) g(2018) 2018;2019 2018;2019 Ming(t) g(2019) 1 2018;2019 Xét hàm g(t) nên 2018.2019 xy (x y)z 2018.2019 xy xy.z 1 , dấu xảy x y z 2018 z 4036 Đánh giá tương tư cho biểu thức lại Tóm lại max f (x,y,z) x y z 2018 4036 Trang ... t2 20 18. 20 19 t , liên tục 20 18; 20 19 nghịch biến t t Maxg(t) g (20 18) 20 18; 20 19 Max g(t) g (20 19) g (20 18) 20 18; 20 19 20 18; 20 19 Ming(t) g (20 19) 1 20 18; 20 19 ... 20 18, b 20 19 , ta max f (x,y,z) x y z 20 18 4036 Cách 2: Ta có 20 18. 20 19 xy (x y) 20 18. 20 19 xy xy (Theo BDT AM-GM) Đặt t xy, (20 18 t 20 19) , gt x, y 20 18; 20 19 20 18. 20 19. .. Câu (2 điểm) Cho x, y, z 20 18; 20 19 Tìm giá trị lớn biểu thức: f( x, y, z) 20 18. 20 19 xy (x y)z 20 18. 20 19 yz (y z)x 20 18. 20 19 zx (z x)y Lời giải Cách 1: Ta chứng minh với: