Hướng giúp học sinh lớp 7 chuyên sâu về kiến thức tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh : - N[r]

Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an HƯỚNG GIÚP HỌC SINH LỚP CHUYÊN SÂU VỀ KIẾN THỨC TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU I./ MỞ ĐẦU Thông qua việc giải toán phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn Đứng trước bài toán, học sinh phải có mình vốn kiến thức bản, vững mặt lý thuyết Có thủ pháp thuộc dạng toán đó, từ đó tìm cho mình đường giải bài toán nhanh Để học sinh có điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo chuyên đề dạng toán cách bản, sâu rộng, giúp học sinh : - Nhìn nhận từ bài toán cụ thể thấy bài toán khái quát - Từ phương pháp giải khái quát thấy cách giải bài toán cụ thể - Nhìn thấy liên quan các bài toán với - Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào giải toán Với lao động nghiêm túc tôi xin trình bày phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ giải dạng toán vận dụng tính chất tỷ lệ thức và dãy tỷ số đại số II./ NỘI DUNG CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c  b d a c  suy a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta các tỷ lệ thức: a c a b d c d b  ,  ,  ,  b d c d b a c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a c a b d c d b  suy các tỷ lệ thức:  ,  ,  b d c d b a c a * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c a ac ac  suy các tỷ lệ thức sau:   , (b ≠ ± d) b d b bd bd TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an a c i   suy các tỷ lệ thức sau: b d j Tính chất 2: a cci aci   , (b, d, j ≠ 0) b bd  j bd  j Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức là ta có: a b c   Thực tế năm trước chưa chú trọng việc rèn kỹ theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót quá trình giải toán Ví dụ các em hay sai trình bày lời giải , nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>” Ví dụ: x y x y  ()  thì các em lại dung dấu là sai d 5.3 7.3 Hãy tìm x, y, z biết Giải: x y z   và x – z = x y z xz x   ()     x  5.7 S 54 Ở trên các em dùng dấu suy là sai Hay biến đổi các tỷ lệ thức chậm chạp Hiện các sai sót trên ít gặp Các em giải dạng toán này tương đối thành thạo tôi phân chia thành dạng toán nhỏ Toán chứng minh đẳng thức Toán tìm x, y, z, Toán đố Toán lập tỷ lệ thức Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức Qua việc giải các bài tập đa dạng áp dụng tính chất tỷ lệ thức các em đã nắm chắn tính chất tỷ lệ thức Biến đổi từ tỷ lệ thức tỷ lệ thức linh hoạt III./ BÀI TẬP CỤ THỂ A Loại toán chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh : Nếu a c ab cd   thì  với a, b, c, d ≠ b d a b c d Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Giải: Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c ab cd   1  1   b d b d b d ab b  (1) cd d  a c a b c d a b b      (2) b d b d cd d Từ (1) và (2) => Bài 2: Nếu a, a b a b ab cd    (ĐPCM) cd cd a b c d a c  thì: b d 5a  3b 5c  3d  5a  3b 5c  3d a  3ab 7c  3cd  b, 11a  8b 11c  8d Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm nào để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài gợi ý gì cho giải bài 2? a Từ b a c a b 5a 3b 5a 5c 5a  3b 5c  3d          (đpcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a  3b 5c  3d a c a b a b ab a 8b 3ab 11a           b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c a  3ab 11a  8b  (đpcm) 7c  3cd 11c  8d Bài 3: CMR: Nếu a  bc thì ab ca  điều đảo lại có đúng hay không? a b c a a c b a Giải: + Ta có: a  bc    a b a b ab ca   ca ca a b c a + Điều đảo lại đúng, thật vậy: ab ca   a  b c  a   a  b c  a  a b c a Ta có: ac  a  bc  ab  ac  a  bc  ab  2bc  a  a  bc TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Bài 4: Cho Giải: ac a  c a c   CMR bd b  d b d a c ac a c a  c ac a  c        (đpcm) b d bd b d b  d2 bd b  d Bài 5: CMR: Nếu a c a  b4  a b   thì    4 b d cd  c d Giải: a c a b a b a4  a  b  Ta có:        1 b d c d cd c cd  Từ a b a b4 a  b4     2  c d c d c  d4 a b  a  b4 Từ (1) và (2)   (đpcm)   4 cd  c d Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì a c  b d Giải: Ta có: a  c  2b  a  c d  2bd 3 Từ (3) và (2)   c b  d   a  c d  cb  cd  ad  cd a c  (đpcm) b d Bài 7: Cho a, b, c, d là số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b  ac; c  bd và b3  c  d  CM: a  b3  c a  b3  c  d d a b b c Giải: + Ta có b  ac   1 b c c d + Ta có c  bd   2  + Từ (1) và (2) ta có a b c a b3 c a  b3  c      3 3 3 b c d b c d b  c  d3 TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Mặt khác: a b c a3 a b c a      4  b c d b bcd d Từ (3) và (4)  a  b3  c a  b3  c  d d Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong đó a ; b ; c là các số khác và khác thì: yz zx x y    a b  c  b c  a  c a  b  Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số (1) cho abc ta có: a y+z  b z  x  c x  y  y+z z  x x  y      2  abc abc abc bc ac ab ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta biến đổi nào? Từ (2)  y+z x  y   z  x   y  z   x  y  z  x    y  z     bc ab  ac bc  ab ac  bc y-z z-x x-y   (đpcm) a b  c  b c  a  c a  b  Bài 9: Cho bz-cy cx-az ay-bx   1 a b c CMR: x y z   a b c Giải: Nhân thêm tử và mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx     0 a a2 b2 c2 a  b2  c2  bz-cy =  bz = cy  x y = c b  ay-bx =  ay = bx  x a Từ (2) và (3)   2  x y  3 a b y z  (đpcm) b c TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Bài 10 Biết a b' b c'    1 và a' b b' c CMR: abc + a’b’c’ = Giải: Từ a b'    ab  a ' b '  11 a' b Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) Ta có: b c'    bc  b ' c '  b ' c(2) b' c Nhân hai vế (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng hai vế (3) và (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = (đpcm) B Toán tìm x, y, z Bài 11 Tìm x, y, z biết: x y z   và x  y   186 15 20 28 Giải: Giả thiết cho x  y   186 Làm nào để sử dụng hiệu giả thiết trên? Từ x y z 2x 3y z x  y  z 186        3 15 20 28 30 60 28 30  60  28 62  x = 3.15 = 45  y= 3.20 = 60  z = 3.28 = 84 Bài 12 Tìm x, y, z cho: x y y z  và  và x  y  z  372 Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau? Đưa bài này dạng bài trên cách nào? Đưa tử số có cùng số chia Ta có: x y x y    (chia hai vế cho 5) 15 20 y z y z    (chia hai vế cho 4) 20 28  x y z   15 20 28 TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 Bài 13 Tìm x, y, z biết x y y z  và  và x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14 Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*) x Cách 1: Từ 2x = 3y   3y = 5z  y y z  Đưa cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ x, y, z tương ứng ta giải (*) + Làm nào để (1) cho ta (*) + chia hai vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z  x y 5z x y z x yz 95        5 30 30 30 15 10 15  10  19 => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15 Tìm x, y, z biết: x  y  z 1 và x – y = 15 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11) BCNN(1 ;2 ;3) = Chia các vế (1) cho ta có x y z x  y 15     5 12 12  => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16 Tìm x, y, z biết: a x 1 y  z    1 và 2x + 3y –z = 50 b 2x y 4z   2  và x + y +z = 49 Giải: a Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11) TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an x  1  y   z  x   y   z     494 Từ (1) ta có: 2 x  y  z   2    50    9 x 1   x  11 y2   x  17 z 3   x  23 b ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15) Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z      3.12 4.12 5.12 x y z x yz 49      1 18 10 15 18  16  15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17 Tìm x; y; z biết rằng: a x y  và xy = 54 (2) b x y  và x  y  (x, y > 0) Giải: ? Làm nào để xuất xy mà sử dụng giả thiết x y x x y x x xy 54  1      9 2 6 a x  4.9  2.3  6   6   x  6 2 Thay vào (2) ta có: x   y  54 9 x  6  y  54  9 6 x y x2 y x2  y       25 25  16 b 25  x2  x  y2  x TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Bài 18 Tìm các số a1, a2, …a9 biết: a 9 a1  a     và a1  a   a  90 Giải : a1  a1  a   a   1     90  45   1 9    45 Từ đó dễ dàng suy a1; a2; … Bài 19 Tìm x; y; z biết: a y  z 1 x  z  x  y     1 x y z x yz Giải: Theo tính chất dãy tỷ số ta có từ (1) y  z  y  z   x  z   x  y  x  y  z    x x yz x yz   x  y  z  0,5 x yz y  z 1   y  z 1  2x  x  y  z 1  2x  x x  1,5  x  x  xz2   x  y  z   3y Nếu a + y + z ≠ : y  2,5  y  y  x  y 3   x  y  z   3z z 5    3z  z    b Tương tự các em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: x y z    x yz y  z 1 x  z 1 x  y  Nếu x + y + z ≠ => x + y + z = 0,5 2 ĐS : x  ; y  ; z   Nếu x + y + z = => x = y = z = TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Bài 20 Tìm x biết rằng: 1 y 1 y 1 y   18 24 6x Giải: 1 y 1 y 1 y  8y 1 y  8y     24 18  x 18  x 24 18  x 1 y 24 1 y 24      24 18  x 1  y  18  x  18  x  24.2  3  x   6.4.2  3 x   x  Bài 21 Tìm x, y,z biết rằng: x y z   và xyz = 810 Giải: x y z x x x x y z xyz          2 2 30 x3  x  810     27   27 10 2  x  8.27  23.33  2.3 x6 x y 3.6  y 9 mà z  15 Bài 22 Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: x x x1 x2     n 1  n và x1  x2    xn  c a1 a2 an 1 an ( a1  0, , an  0; a1  a2   an  ) Giải: x x x  x   xn x1 x2 c     n 1  n   a1 a2 an 1 an a1  a2   an a1  a2   an xi  c.ai a1  a2   an đó: i = 1, 2,…, n TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net 10 Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Bài 23 Tìm các số x; y; z ЄQ biết rằng: x  y  : 5  z  :  y  z  : 9  y   :1: : Giải: Ta có: x y 5 z y  z 9 y     k (1) x  y   5  z    y  z   9  y   x  y  1  x  y   k  k 4 x y  x  y  3k   k  3k   2k  k   5 z  k  z  5k  52  Từ (1)  y  5k  y  5k   10   x  y  3k  x  3k  y    x    y 1 z   Bài 24 Tổng các luỹ thừa bậc ba số là -1009 Biết tỷ số số thứ và số thứ là ; số thứ và số thứ là Tìm số đó? Giải: Ta có: x  y  z  1009 x x y x y      y 3 x x z x y z       z 9  x  4k , y  6k , z  9k x  y  z  4k   6k   9k   64k  216k  729k  1009k  1009 3  k  1  k  1  x  1.4  4  y  1.6  6  z  1.9  9 TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net 11 Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an C./ TOÁN ĐỐ (ngoài dạng đơn giản sgk giáo viên soạn bổ sung thêm) Bài 25 Có đội A; B; C có tất 130 người trồng cây Biết số cây người đội A; B; C trồng theo thứ tự là 2; 3; cây Biết số cây đội trồng Hỏi đội có bao nhiêu người trồng cây? Giải: + Gọi số người trồng cây đội A; B; C là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo bài ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x  y  z 130         10 12 12 12 6   13 x  60; y  10; z  30 Trả lời: Đội A; B; C có số người trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài 26 Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B và 4 số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh ít tổng số học sinh lớp là 57 bạn Tính số học sinh lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C là x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo bài ta có: x  y  z 1 và x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12  x y z x yz 57     18 16 15 18  16  15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net 12 Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Bài 27 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng là 3150 và tỷ số số thứ với số thứ là 10 , số thứ với số thứ ba là Giải: Gọi ba số nguyên dương là: x; y; z Theo bài ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x x 10 x y x z  ;    ;  y z 10 x y z    k 10 18  x  10k  2.5.k  y  18.k  32.2.k  z  7.k BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7  k=5  x=50; y = 90; z = 35 Vậy số nguyên dương là x = 50; y = 90; z = 35 E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ CM: a c và với b> 0; d >0 b d a c   ad  bc b d Giải: a c    db cd   ad  bc + Có b d  bd db b  0; d   + Có: ad  bc  ad bc a c     b  0; d   bd db b d Tính chất 2: Nếu b > 0; d > thì từ a c a ac c     b d b bd d (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: a c    + b d   ad  bc(1) thêm vào vế (1) với ab ta có: b  0; d   TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net 13 Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an  ad  ab  bc  ab a b  d   c b  d   a ac  2  b bd + Thêm vào hai vế (1) dc ta có: 1  ad  dc  bc  dc  d a  c   c b  d  ac c  3 bd d  + Từ (2) và (3) ta có: Từ a c a ac c     (đpcm) b d b bd d Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên a, Nếu a a ac  thì  b b bc b, Nếu a a ac  thì  b b bc Bài 30 Cho a; b; c; d > CMR:  a b c d    2 abc bcd cd a d ab Giải: + Từ a  theo tính chất (3) ta có: abc ad a  1 (do d>0) abcd abc Mặt khác: a a  2  abc abcd + Từ (1) và (2) ta có: a a ad   3 abcd abc abcd Tương tự ta có: b b ba   4  abcd bcd abcd c c cb   5 abcd cd a cd ab d d d c   6  d+a+b+c d  a  b a  b  c  d TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net 14 Nguyễn Bá phúc – Trường THCS mã thành – yên thành – nghệ an Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế thì được: 1 a b c d     (đpcm) abc bcd cd a d ab Bài 31 Cho a c a ab  cd c  và b; d  CMR:   b d b b  d2 d Giải: Ta có a c a.b c.d ab cd  và b; d  nên    b d b.b d.d b d Theo tính chất (2) ta có: ab ab  cd cd a ab  cd c   2   (đpcm) 2 b b d d b b  d2 d Qua việc hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức giải các bài tập cách nhanh ngắn Người thầy giáo cần giúp học sinh định hướng kiến thức cần dùng, phương pháp dùng để giải dạng toán cụ thể Để khắc sâu kiến thức người thầy cần chọn bài tập mang tính chất và tính phát triển các kiến thức khía cạnh Qua đó giúp học sinh vừa nắm kiến thức , vừa ph¸t triÓn ®­îc t­ duy, s¸ng t¹o vµ linh ho¹t lµm bµi, t¹o høng thó vµ yªu thÝch m«n häc Trên đây là hướng giúp học sinh lớp chuyên sâu kiến thức tỉ lệ thúc, tính chất dãy tỉ số tổ KHTN trường THCS Liên Khê Trường chúng tôi đã vận dụng quá trình giảng dạy đã thu số kết định, chúng tôi mong góp ý, bổ sung cho chuyên đề này hoàn thiện hơn, và chuyên đề này vận dụng rộng rãi hơn! Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Liªn Khª ngµy 10 th¸ng n¨m 2007 Người viết NguyÔn H÷u Chøc TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lop1.net 15