Một số nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tiểu học phần số, chữ số và các phép tính

Nếu một số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn với tống các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11.. Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hế[r]

MỘT SỐ NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP TIỂU HỌC PHẦN SỐ, CHỮ SỐ VÀ CÁC PHÉP TÍNH Lộc Bình, ngày 18 tháng 10 năm 2011 I BỐN PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VÀ SỐ THẬP PHÂN A PHÉP CỘNG Kiến thức cần ghi nhớ a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) + a = a + = a (a - n) + b = a + (b – n) = a + b - n (a + n) + b = a + (b + n) = (a + b) + n (a - n) + (b + n) = a + b Trong tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là số lẻ Trong tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là số chẵn Tổng các số chẵn là số chẵn 10 Tổng số lẻ và số chẵn là số lẻ 11 Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là số lẻ Lop1.net B PHÉP TRỪ Kiến thức cần ghi nhớ a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c Nếu số bị trừ tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm n đơn vị Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu chúng không đổi C PHÉP NHÂN Kiến thức cần nhớ a  b = b  a a  (b  c) = (a  b)  c a  =  a = a  =  a = a a  (b + c) = a  b + a  c a  (b - c) = a  b - a  c Trong tích có thừa số gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích gấp lên n lần và ngược lại tích có thừa số bị giảm n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích bị giảm n lần (n > 0) Trong tích thừa số gấp lên n lần đồng thời có thừa số khác bị giảm n lần thì tích không thay đổi Lop1.net Trong tích, thừa số tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại 10 Trong tích, có ít thừa số chẵn thì tích đó chẵn 11 Trong tích, có ít thừa số tròn chục ít thừa số có tận cùng là và có ít thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 12 Trong tích các thừa số lẻ và có ít thừa số có tận cùng là thì tích có tận cùng là D PHÉP CHIA Kiến thức cần ghi nhớ a : (b  c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0) : a = (a > 0) a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0) Trong phép chia, số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương tăng lên (giảm đi) n lần Trong phép chia, tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm n lần và ngược lại Trong phép chia, số bị chia và số chia cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi Trong phép chia có dư, số bị chia và số chia cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì số dư gấp (giảm) n lần Lop1.net E TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Kiến thức cần ghi nhớ Biểu thức không có dấu ngoặc đơn có phép cộng và phép trừ (hoặc có phép nhân và phép chia) thì ta thực các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực các phép tính nhân, chia trước thực các phép tính cộng trừ sau Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực các phép tính ngoặc đơn trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau G VÀI d¹ng bµi to¸n tÝnh nhanh ph©n sè Kiến thức cần ghi nhớ Vận dụng phép tính để tách, ghép tử số mẫu số nhằm tạo thừa số giống tử số và mẫu số thực rút gọn biểu thức Ví dụ Một số ví dụ 2003  1999  2003  999 2004  999  1004 Lop1.net 2003  (1999  999) 2003  1000  2003  1 999  1004 2003  999  (999  1004) 2003  1000 2003  1000    2003  999  2003 2003  1000  1996  1995  996 1000  1996  1994 Ví dụ Ví dụ  1996  1994  1 996 1000  1996  1994  1996  1994  1000 1000  1996  1994  1996  1994  (1996  996) 1000  1996  1994 = (vì tử số mẫu số) 37 23 535353 242424    53 48 373737 232323  37 23 53 10101 24  10101    53 48 37  10101 23  10101  37 23 53 24 24 24  37 53   23 24             1   53 48 37 23 48 48  53 37   48 23  III DÃY SỐ Kiến thức cần ghi nhớ Đối với số tự nhiên liên tiếp : Lop1.net  a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ bắt đầu là số lẻ và kết thúc số chẵn thì số lượng số chẵn số lượng số lẻ b) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số chẵn và kết thúc số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều số lượng số lẻ là c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số lẻ và kết thúc số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều số lượng số chẵn là Một số quy luật dãy số thường gặp: a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng liền trước nó cộng trừ số tự nhiên d b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng liền trước nó nhân chia số tự nhiên q (q > 1) c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng hai số hạng đứng liền trước nó d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng e) Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự số hạng f) Mỗi số hạng số thứ tự nó nhân với số thứ tự số hạng đứng liền sau nó Dãy số cách đều: a) Tính số lượng số hạng dãy số cách đều: Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + (d là khoảng cách số hạng liên tiếp) b) Tính tổng dãy số cách đều: Lop1.net Một số ví dụ Tính số lượng số hạng dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, …, 94, 97, 100 Ta thấy: 4-1=3 7-4=3 97 - 94 = 10 - = 100 - 97 = Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách số hạng liên tiếp là đơn vị Nên số lượng số hạng dãy số đã cho là: (100 - 1) : + = 34 (số hạng) Tổng dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là: Ví dụ 1  100 34 = 1717 Ví dụ IV DẤU HIỆU CHIA HẾT Kiến thức cần ghi nhớ Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, thì chia hết cho 2 Những số có tân cùng là thì chia hết cho Các số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho Lop1.net Các số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho thì chia hết cho Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25 Các số có chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho thì chia hết cho 8 Các số có chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125 Nếu số có hiệu tổng các chữ số hàng chẵn với tống các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11 10 a chia hết cho m, b chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a > b) chia hết cho m 11 Cho tổng có số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng chia cho m dư r 12 a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a - b) chia hết cho m ( m > 0) 13 Trong tích có thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0) 14 Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n (m, n > 0) Đồng thời m và n cùng chia hết cho thì a chia hết cho tích m  n 15 Nếu a chia cho m dư m - (m > 1) thì a + chia hết cho m 16 Nếu a chia cho m dư r thì a - r chia hết cho m (m > 1) Lop1.net V SỐ VÀ CHỮ SỐ Kiến thức cần ghi nhớ Dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,9 Có 10 số có chữ số: (Từ số đến số 9) Có 90 số có chữ số: (từ số 10 đến số 99) Có 900 số có chữ số: (từ số 100 đến 999) … Số tự nhiên nhỏ là số Không có số tự nhiên lớn Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, gọi là số chẵn Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị Các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, gọi là số lẻ Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị IV CÁC BÀI TOÁN DÙNG CHỮ THAY SỐ Kiến thức cần ghi nhớ Sử dụng cấu tạo thập phân số 1.1 Phân tích làm rõ chữ số ab abc = a  10 + b = a  100 + b  10 + c 1.2 Phân tích làm rõ số ab = a + b Lop1.net abc = a00 + b0 + c abcd = a00 + b00 + c0 + d = ab00 + cd Sử dụng tính chất chẵn lẻ và chữ số tận cùng số tự nhiên - Số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, là số chẵn - Số có tận cùng là: 1, 3, 5, 7, là các số lẻ - Tổng (hiệu) số chẵn là số chẵn - Tổng (hiệu) số lẻ là số chẵn - Tổng (hiệu) số lẻ và số chẵn là số lẻ - Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là số lẻ - Tích có ít thừa số chẵn là số chẵn - Tích a  a không thể có tận cùng là 2, 3, Sử dụng kỹ thuật tính thực phép tính Trong phép cộng, cộng hai chữ số cùng hàng thì có nhớ nhiều là 1, cộng chữ số cùng hàng thì có nhớ nhiều là 2, … Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ số biểu thức - Một số có 2; 3; 4; … chữ số thì tổng các chữ số có giá trị nhỏ là và giá trị lớn là:  = 18;  = 27;  = 36; … - Trong tổng (a + b) thêm vào a bao nhiêu đơn vị và bớt b nhiêu đơn vị (hoặc ngược lại) thì tổng không thay đổi Do đó (a + b) không đổi mà a đạt giá trị lớn có thể thì b đạt giá trị nhỏ có thể và ngược 10 Lop1.net lại Giá trị lớn a và b phải luôn nhỏ tổng (a + b) - Trong phép chia có dư thì số chia luôn lớn số dư Phối hợp nhiều cách giải Các bước giải: - Đặt tên số phải tìm - Thiết lập mối quan hệ số và số cũ phải tìm - Phân tích cấu tạo số để làm xuất thừa số chung - Khử các thừa số chung - Tìm số phải tìm dựa vào các kiện còn lại - Thử lại kết trả lời đáp số Một số ví dụ Ví dụ Cho số có chữ số, lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số số đã cho thì chính số đó Tìm chữ số hàng đơn vị số đã cho Bài giải Bước (tóm tắt bài toán) Gọi số có chữ số phải tìm là Theo bài ta có ab (a > 0, a, b < 10) ab = a + b + a  b 11 Lop1.net Bước 2: Phân tích số, làm xuất thành phần giống bên trái và bên phải dấu bằng, đơn giản thành phần giống đó để có biểu thức đơn giản a  10 + b = a + b + a  b a  10 = a + a  b (cùng bớt b) a  10 = a  (1 + b) (Một số nhân với tổng) 10 = + b (cùng chia cho a) Bước 3: Tìm giá trị : b = 10 - b= Bước : (Thử lại, kết luận, đáp số) Vậy chữ số hàng đơn vị số đó là: Đáp số: Ví dụ Tìm số có chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta số lớn gấp 31 lần số cần tìm Bài giải Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 10) Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ab ta số là 21ab Theo bài ta có: 21ab = 31  ab Bước 2: 2100 + 2100 + ab = 31  ab ab ) 2100 + ab = (30 + 1)  ab 12 Lop1.net (phân tích số 21ab = 2100 + ab = 30  ab + ab (một số nhân tổng) 2100 = ab  30 (cùng bớt ab ) Bước 3: ab = 2100 : 30 ab = 70 Bước 4: Thử lại: 2170 : 70 = 31 (đúng) Đáp số: 70 Ví dụ Tìm số có chữ số, biết số đó gấp lần chữ số hàng đơn vị nó Bài giải Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10) Theo đề bài ta có: ab =  b Bước 2: Sử dụng tính chất chẵn lẻ chữ số tận cùng Vì  b là số chẵn nên ab là số chẵn b > nên b = 2, 4, Bước 3: Tìm giá trị phương pháp thử chọn Nếu b = thì ab =  = 12 (chọn) Nếu b = thì ab =  = 24 (chọn) Nếu b = thì ab =  = 36 (chọn) Nếu b = thì ab =  = 48 (chọn) Bước 4: Vậy ta số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48 Đáp số: 12, 24, 36, 48 13 Lop1.net Ví dụ Tìm abc = ab + bc + Bài giải abc = ab + bc + ca ca abc = ( ab + ca ) + bc (tính chất kết hợp và giao hoán phép cộng) abc - bc = ab + ca (tìm số hạng tổng) a 00 = aa + cb Ta đặt tính sau: + aa cb a 00 Nhìn vào cách đặt tính ta thấy phép cộng có nhớ sang hàng trăm Mà đây là phép cộng hai số hạng nên hàng trăm tổng có thể Vậy a = Với a = thì ta có: 100 = 11 + cb cb = 100 - 11 cb = 89 Vậy c = ; b = Ta có số abc = 198 Thử lại: 19 + 98 + 81 = 198 (đúng) 14 Lop1.net Vậy abc = 198 Đáp số: 198 Ví dụ Tìm số có chữ số, biết xoá chữ số hàng đơn vị và hàng chục thì số đó giảm 1188 đơn vị Bài giải Bước 1: (Tóm tắt) Gọi số phải tìm là abcd (a > 0; a, b, c, d < 10) xoá cd ta số là ab Theo đề bài ta có: abcd = 1188 + Bước : (Sử dụng kĩ thuật tính) ab Ta đặt tính 1188 sau: + ab Trong phép cộng, cộng chữ số cùng abcd hàng thì có nhớ nhiều là nên 12 - Nếu ab = 11 thì abcd ab có thể là 11 = 1188 + 11 = 1199 - Nếu ab = 12 thì abcd = 1188 + 12 = 1200 Bước 3: (Kết luận và đáp số) Vậy ta tìm số thoả mãn đề bài là: 1199 và 1200 Đáp số: 1199 và 1200 15 Lop1.net Ví dụ Tìm số có chữ số, biết số đó chia cho chữ số hàng đơn vị nó thì thương là và dư Bài giải Bước 1: (Tóm tắt) ab (0 < a < 10, b < 10) Theo đề bài ta có: ab : b = (dư 5) hay ab = b  Gọi số phải tìm là + Bước 2: (Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất) Số chia luôn lớn số dư nên b > < b < 10 Nếu b đạt giá trị nhỏ là thì ab đạt giá trị nhỏ là  + = 41 Suy a  (lớn 4) Nếu b đạt giá trị lớn là thì ab đạt giá trị lớn là  + = 59 Suy a  (nhỏ 5) Vậy a = +) Nếu a = thì 4b = b  + +) Nếu a = thì 5b = b  + Bước 3: Kết hợp cấu tạo thập phân số +) Xét 4b = b  + +) xét 5b = b  + 40 + b = b  + 50 + b = b  + 35 = b  (cùng bớt 45 = b  (cùng bớt b + 5) b = 45 : = b + 5) b = 35 : = Ta số: 59 Ta số: 47 16 Lop1.net Bước 4: (Thử lại, kết luận, đáp số) Thử lại:  + = 47 (chọn)  + = 59 (chọn) Đáp số: 47 và 59 Tìm số có chữ số, biết chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Bài giải Gọi số phải tìm là abc (0 < a < 10; b, c < 10) Vì a =  b và b =  c nên a =   c =  c, mà < a < 10 nên <  c < 10 Suy < c < Vậy c = Nếu c = thì b =  = a=32=6 Đáp số: 631 Ví dụ Tìm số có chữ số, biết số đó cộng với tổng các chữ số nó thì 555 Bài giải Gọi số phải tìm là abc (a > 0; a, b, c < 10) Theo đầu bài ta có: abc + a + b + c = 555 Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy đây là phép cộng không có nhớ sang hàng trăm Vậy a = Ví dụ 5bc + + b + c = 555 Khi đó ta có: 500 + b0 + c + + b + c = 555 505 + bb + c + c = 555 bb + c17 = 555 - 505 Lop1.net bb + c  = 50 Nếu c đạt giá trị lớn là thì bb đạt giá trị nhỏ là : 50 -  = 32, đó b > Vì bb + c  = 50 nên bb < 50 nên b < Vì c  và 50 là số chẵn nên b phải là số chẵn Do đó b = Khi đó ta có: 44 + c  = 50 c  = 50 - 44 c2=6 c =6:2=3 Vậy abc = 543 Thử lại 543 + + + = 555 (đúng) Đáp số: 543 Ngày 18.10 2011 Người thực NguyễnBích Hồng 18 Lop1.net