Mô hình hồi quy bội

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội CHƯƠNG Mô Hình Hồi Qui Bội Trong Chương giới hạn trường hợp đơn giản mô hình hồi qui hai biến Bây giờ, xem xét hồi qui bội, nghóa liên hệ biến phụ thuộc Y cho trước với nhiều biến độc lập X1, X2, , Xk Mô hình hồi qui tuyến tính đa biến có công thức tổng quát nhö sau: (4.1) Yt = β1 + β2Xt2 + + βkXtk + ut Xt1 đặt để có “tung độ gốc” Chữ t nhỏ biểu thị số lần quan sát có giá trị từ đến n Các giả thiết số hạng nhiễu, ut, hoàn toàn giống giả thiết xác định Chương Trong đặc trưng tổng quát mô hình hồi qui bội, Việc lựa chọn biến độc lập biến phụ thuộc xuất phát từ lý thuyết kinh tế, trực giác, kinh nghiệm khứ Trong ví dụ ngành bất động sản Chương 3, biến phụ thuộc giá nhà hộ gia đình Chúng ta đề cập số giá - hưởng thụ phụ thuộc vào đặc điểm nhà Bảng 4.1 trình bày liệu bổ sung cho 14 nhà mẫu bán Lưu ý rằng, liệu cho X1 đơn giản cột gồm số tương ứng với số hạng không đổi Tính số hạng không đổi, có tất k biến độc lập có k hệ số tuyến tính chưa biết cần ước lượng Mô hình tuyến tính bội ví dụ sau: PRICE = β1 + β2SQFT + β3BEDRMS + β4BATHS + u (4.2) Cũng trước, giá tính đơn vị ngàn đô la Ngoài diện tích sử dụng, giá liên hệ với số phòng ngủ số phòng tắm ∆ Yt Ảnh hưởng thay đổi Yt có Xti thay đổi xác định /∆Xti = βi Vì vậy, ý nghóa hệ số hồi qui βi là, giữ giá trị tất biến khác không đổi, Xti thay đổi đơn vị Yt kỳ vọng thay đổi, trung bình là, βi đơn vị Do đó, β4 phương trình (4.2) diễn giải sau: Giữa hai nhà có diện tích sử dụng (SQFT) số phòng ngủ (BEDRMS), nhà có thêm phòng tắm kỳ vọng bán với giá cao hơn, trung bình, khoảng β4 ngàn đô la Vì vậy, phân tích hồi qui bội giúp kiểm soát tập hợp biến giải thích kiểm tra ảnh hưởng biến độc lập chọn Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội } Bảng 4.1 Dữ liệu nhà hộ gia đình (giá tính ngàn đô la) Giaù (Y) 199,9 228 235 285 239 293 285 365 295 290 385 505 425 415 t 10 11 12 13 14 } 4.1 Hằng số (X1) 1 1 1 1 1 1 1 SQFT (X2) 1.065 1.254 1.300 1.577 1.600 1.750 1.800 1.870 1.935 1.948 2.254 2.600 2.800 3.000 BEDRMS (X3) 3 4 4 4 4 BATHS (X4) 1,75 2 2,5 2 2,75 2,5 2,5 3 Phương trình chuẩn Trong trường hợp mô hình hồi qui bội, Giả thiết 3.4 hiệu chỉnh sau: Mỗi X cho trước cho Cov(Xsi, ut) = E(Xsi ut) = với i từ đến k s, t từ đến n Vì vậy, biến độc lập giả định không liên hệ với tất số hạng sai số Trong trường hợp thủ tục bình phương tối thiểu thông thường (OLS), định nghóa tổng bình phương sai số n n ^ ^ ^ ESS = t Σ= u^t2 = t Σ= (Yt - β1 - β2Xt2 - - βkXtk)2 Thủ tục OLS cực tiểu ESS theo β^ 1, β^ , β^ k Bằng cách thực Phần 3.A.3, có phương trình chuẩn, số phương trình chuẩn số hệ số tuyến tính ước lượng Do có k phương trình k hệ số hồi qui chưa biết (các tổng tính theo số t – nghóa số lần quan sát): ΣYt = nβ^ + β^ 2Σ Xt2 + + β^ kΣ Xtk ΣYtXt2 = β^ 1ΣXt2 + β^ 2Σ X2t2 + + β^ kΣ XtkXt2 ΣYtXti = β^ 1ΣXti + β^ 2Σ Xt2Xti + + β^ kΣ XtkXti Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội ΣYtXtk = β^ 1ΣXtk + β^ 2Σ Xt2Xtk + + β^ kΣ X2tk k phương trình chuẩn giải nghiệm đơn β (chỉ trừ vài trường hợp ngoại lệ trình bày Chương 5) Các chương trình máy tính chuẩn thực tính toán nhập liệu vào xác định biến độc lập, biến phụ thuộc Phụ lục 4.A.1 mô tả bước mô hình ba biến Y hồi qui theo số hạng không đổi, X2 X3 Các tính chất 3.1 đến 3.3 trường hợp hồi qui tuyến tính bội Do đó, ước lượng OLS BLUE, không thiên lệch, hiệu quán Phần dư giá trị dự đoán có từ liên hệ sau: ^ u^t = Yt - β^ - β^ 2Xt2 - - β^ kXtk ^ ^ ^ Yt = β1 + β2Xt2 + + βkXtk = Yt - u^t } VÍ DỤ 4.1 Đối với mô hình nêu Phương trình (4.2), liên hệ ước lượng (xem phần Thực hành máy tính 4.1) PRICE = 129,062 + 0,1548SQFT – 21,588BEDRMS – 12,193BATHS Lập tức lưu ý hệ số hồi qui BEDRMS BATHS âm, trái với mong đợi Chúng ta cảm thấy theo trực giác thêm phòng tắm phòng ngủ tăng giá trị nhà Tuy nhiên, hệ số hồi qui có ý nghóa biến khác không thay đổi Do đó, tăng số phòng ngủ lên một, giữ nguyên SQFT BATHS không đổi, giá trung bình kỳ vọng hạ xuống khoảng $21.588 Nếu diện tích sử dụng chia nhỏ để có thêm phòng ngủ phòng ngủ có diện tích nhỏ Dữ liệu cho thấy là, trung bình, người mua đánh giá thấp việc chia nhỏ diện tích họ sẵn lòng trả mức giá thấp Lý luận tương tự cho BATHS Giữ nguyên SQFT BEDRMS không đổi, ta tăng thêm phòng tắm, giá trung bình kỳ vọng giảm khoảng $12.193 Một lần nữa, tăng thêm phòng tắm giữ nguyên diện tích sử dụng có nghóa phòng ngủ nhỏ Kết cho thấy không đồng ý khách hàng quan sát thấy giá trung bình giảm Từ lập luận lưu ý dấu không mong đợi lúc đầu (thường gọi “dấu sai”) lại giải thích hợp lý Giả sử tăng thêm phòng ngủ tăng thêm diện tích sử dụng khoảng 300 (cho thêm hành lang yếu tố liên quan khác) BEDRMS tăng thêm SQFT tăng thêm 300 Thay đổi giá trung bình (∆PRICE) kết tác động kết hợp sau: Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội ∆ PRICE = β^ ∆SQFT+ β^ 3∆BEDRMS = 300β^ + β^ Trong mô hình, phần thể khoảng tăng $24.852 giá trung bình ước lượng [được tính sau (300 x 0,1548) – 21,588; đơn vị ngàn đô la], mức giá hợp lý } BÀI TẬP THỰC HÀNH 4.1 Giả sử tăng thêm phòng tắm phòng ngủ, với diện tích sử dụng tăng thêm 350 vuông Mức giá trung bình kỳ vọng tăng thêm bao nhiêu? Giá trị có đáng tin không? } BÀI TẬP THỰC HÀNH 4.2 Dự báo giá trung bình nhà với phòng ngủ, phòng tắm diện tích sử dụng 2.500 vuông Dự báo có hợp lý so với liệu Bảng 4.1 không? ^2 Một ước lượng không thiên lệch phương sai phần dư σ2 tính s2 = σ = ^ Σut /(n-k), với n số lần quan sát sử dụng ước lượng k số hệ số hồi qui ước lượng, gồm số hạng không đổi Chứng minh phát biểu nguyên tắc tương tự trình bày phần 3.A.7, phức tạp nhiều có đến k phương trình chuẩn (xem Johnston, 1984, trang 180-181) Trong Chương chia tổng bình phương sai số cho n – để ước lượng không thiên lệch σ2 Ở đây, k phương trình chuẩn đặt k ràng buộc, điều dẫn đến việc “mất đi” k bậc tự Vì vậy, chia cho n – k Bởi σ^ phải không âm, n phải lớn k Thủ tục để tính sai số chuẩn β^ tương tự, phép tính nhàm chán nhiều Các chương trình máy tính cung cấp phép toán thống kê cần thiết để ước lượng thông số kiểm định giả thuyết chúng Có thể thấy Σu^t2 / σ2 có phân phối Chi bình phương với bậc tự n – k (xem Johnston, 1984, trang 181) Các kết tóm tắt tính chất 4.1 Tính Chất 4.1 a Một ước lượng không thiên lệch phương sai sai số (σ2) tính ESS Σu^t2 = n-k n-k với ESS tổng bình phương phần dư b ESS/σ2 có phân phối Chi bình phương với bậc tự n – k Lưu ý tính chất phụ thuộc đặc biệt vào Giả thiết 3.8 số hạng sai số ut tuân theo phân phối chuẩn N(0,σ2) s2 = σ^ = Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội Các Giá Trị Dự Báo Và Sai Số Chuẩn Cũng mô hình hồi qui đơn biến, quan tâm đến tạo dự báo có điều kiện biến phụ thuộc với giá trị cho trước biến độc lập Giả sử Xfi giá trị cho trước biến độc lập thứ i với i = 2, , k, t = f, với giá trị muốn dự báo Y Định nghóa ^ ^ β = β1 + β2Xf2 + … + βkXfk Và β = Yf, định nghóa trước t = f, dự báo cần có giá trị ước lượng β, sai số chuẩn tương ứng giúp xây dựng khoảng tin cậy cho dự báo Giải β1 từ phương trình thay vào mô hình ban đầu, coù Yt = β - β2Xf2 - - βkXfk + β2Xt2 + +βkXtk + ut Nhóm số hạng cách thích hợp, ta viết lại sau: Yt = β + β2 (Xt2 – Xf2) + + βk(Xtk – Xfk) + ut = β + β2Zt2 + + βkZtk + ut với Zti = Xti – Xfi, cho i = 2, , k Việc viết lại công thức bước sau để tiến hành dự báo Bước Với giá trị Xfi cho trước biến độc lập thứ i t = f , tạo biến Zti = Xti – Xfi với i = 2, , k Bước Hồi qui Yt theo số hạng biến Zt2, , Ztk Bước Số hạng không đổi ước lượng dự báo điểm cần có Khoảng tin cậy ^ ^ tương ứng (xem phần 3.8) tính (β - t*sf, β + t*sf), với t* giá trị tới hạn phân phối t với bậc tự n – k mức ý nghóa cho trước, sf sai số chuẩn số hạng không đổi ước lượng có từ bước } VÍ DỤ 4.2 Trong ví dụ bất động sản, đặt SQFT = 2.000, BEDRMS = BATHS = 2,5 Bước thứ tạo biến mới, SQFT2 = SQFT – 2000, BEDRMS2 = BEDRMS – BATHS2 = BATHS – 2,5 Kế đến hồi qui PRICE theo số hạng không đổi SQFT2, BEDRMS2 BATHS2 Từ thực hành máy tính phần 4.1 lưu ý giá trung bình dự báo nhà $321.830 sai số chuẩn dự báo $13.865 Điều cho khoảng tin cậy 95% 321.830 ± (2,201 x 13.865) tính khoảng tin cậy (291.313; 352.347) Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 } 4.2 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội Độ Thích Hợp Khi đánh giá mức độ thích hợp, tổng bình phương toàn phần, tổng bình phương hồi qui, tổng bình phương sai số có dạng trình bày trước, có TSS = RSS + ESS (miễn mô hình có số hạng không đổi) Vì vậy, _ TSS = Σ (Yt - Y)2 _ ^ RSS = Σ(Y t - Y) ESS = Σu^t2 Mức độ thích hợp đo trước R2 = – (ESS/TSS) Nếu có số hạng ^ không đổi mô hình, R2 với bình phương hệ số tương quan Yt Y t Tuy nhiên, định nghóa R2 theo cách phát sinh vấn đề Có thể thấy việc thêm vào biến (dù biến có ý nghóa hay không) R2 không giảm Chứng minh đại số phát biểu nhàm chán, lý luận theo trực giác Khi biến thêm vào ESS cực tiểu, cực tiểu theo tập nhiều biến số ESS nhỏ (ít không lớn hơn) Cụ thể hơn, giả sử số hạng βk+1Xtk+1 thêm vào phương trình (4.1) ta có mô hình Nếu giá trị cực tiểu tổng bình phương mô hình lớn giá trị mô hình cũ, ta đặt βk+1 không sử dụng ước lượng cũ cho giá trị β khác tốt hơn, ước lượng có ESS cực tiểu Điều kéo theo biến thêm vào, giá trị R2 tương ứng giảm mà tăng thêm Do vậy, người ta thường cố gắng thêm biến vào để tăng R2 không kể đến mức độ quan trọng biến vấn đề giải Để ngăn chặn tình trạng “có đưa thêm biến vào mô hình” nêu trên, phép đo khác mức độ thích hợp sử dụng thường xuyên Phép đo gọi R2 hiệu chỉnh R2 hiệu chỉnh theo bậc tự (chúng ta thấy kết kết in máy tính Chương 3) Để phát triển phép đo này, trước hết phải nhớ R2 đo lường tỷ số phương sai Y “được giải thích” mô hình; cách tương đương, trừ tỷ số “không giải thích” phương sai sai số Var(u) Phép đo tự – nhiên gọi R2 (R-ngang bình phương), Var(u) – R2 = – Var(Y) Chúng ta biết ước lượng không thiên lệch σ2 = Var (u) tính ESS/(n – k), ước lượng không thiên lệch Var (Y) tính TSS/(n – 1) Thay vào phương trình ta có Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội ESS/(n − k) ESS(n − 1) − R2 = − =1− TSS/(n −1) TSS(n −k) ^ (n − 1) σ n−1 (1 − R ) = − =1− n −k TSS Việc thêm vào biến dẫn đến tăng R làm giảm bậc tự do, ước lượng thêm tham số R2 hiệu chỉnh phép đo độ thích hợp tốt cho phép đánh đổi việc tăng R2 giảm bậc tự Cũng cần lưu − ý (n −1) / (n − k) không nhỏ R2 không lớn R2 Tuy − nhiên, R2 âm, R2 nhỏ không Ví dụ, n = 26, k = 6, vaø R2 = − − 0,1, có R2 = − 0,125 R2 âm cho thấy mô hình không mô tả đầy đủ trình phát liệu VÍ DỤ 4.3 Bảng 4.2 trình bày hệ số hồi qui ước lượng trị thống kê liên quan bốn mô hình khác (Phần thực hành máy tính 4.1 có hướng dẫn tạo số này) Các liệu thấp bậc tự (d.f.) thảo luận phần Mô hình A giống mô hình trình bày Chương Trong mô hình B, BEDRMS thêm vào mô hình C BEDRMS BATHS thêm vào Mô hình D biến giải thích, có số hạng không thay đổi Nó sử dụng phần 4.4 Rõ ràng từ Bảng 4.2, nhiều biến thêm vào, tổng bình phương phần dư giảm − R2 tăng Tuy nhiên, R2 lại giảm thêm biến Điều có nghóa lợi ích việc R2 tăng so với mát giảm bậc tự do, dẫn đến mát ròng “mức độ thích hợp” Mô hình D có giá trị R2 không giá trị ESS TSS Điều không lạ phần mô hình giải thích thay đổi PRICE Nó đề cập có ích việc kiểm định giả thuyết (đề cập phần 4.4 ) Trong mô hình A SQFT giải thích 80,6 phần trăm thay đổi giá nhà Tuy nhiên, tất ba biến đưa vào, mô hình giải thích 78,7 phần trăm thay đổi giá, điều hợp lý nghiên cứu chéo Nếu biến bổ sung thêm vào, khả giải thích mô hình cao Ví dụ, kích thước, số lượng loại đồ gia dụng … v.v biến thêm vào Tuy nhiên, liệu sẵn mẫu liệu, thêm nhiều biến vào Trong Chương 7, thảo luận tác động hồ bơi đến giá nhà Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 } Bảng 4.2 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội Các Mô Hình Ước Lượng Cho Dữ Liệu Giá Nhà Biến số HẰNG SỐ SQFT Mô hình A 52,351 (1,404) Mô hình B 121,179 (1,511) Mô hình D 317,493 (1,462) (13,423) 0,13875 0,14831 0,1548 (7,407) (6,993) (4,847) − 23,911 − 21,588 (− 0,970) (− 0,799) BEDRMS BATHS ESS R2 − R2 F d.f SGMASQ AIC FPE HQ SCHWARZ SHIBATA GCV RICE Moâ hình C 129,062 − 12,193 (− 0,282) 18.274 0,821 0,806 16.833 0,835 0,805 16.700 0,836 0,787 101.815 0,000 0,000 54,861 12 1.523* 1.737* 1.740* 1.722* 1.903* 1.678* 1.777* 1.827* 27,767 11 1.530 1.846 1.858 1.822 2.117 1.718 1.948 2.104 16,989 10 1.670 2.112 2.147 2.077 2.535 1.874 2.338 2.783 180,189 13 7.832 8.389 8.391 8.354 8.781 8.311 8.434 8.485 Ghi chú: giá trị ngoặc trị thống kê t tương ứng, hệ số chia cho sai số chuẩn chúng * Đánh dấu mô hình “tốt nhất” tiêu chuẩn, nghóa là, có giá trị nhỏ } BÀI THỰC HÀNH 4.3 − −2 ^ chuyển động ngược chiều nhau; nghóa R ^ Chứng minh R2 σ tăng, σ − thiết phải giảm (Vì vậy, chọn mô hình có R2 cao đồng nghóa với chọn mô ^ thấp hơn.) hình có σ − Tính R2 R2 số hạng không đổi * Tổng bình phương gộp TSS = RSS + ESS có giá trị mô hình có số hạng không đổi Nếu mô hình số hạng không đổi, tổng bình phương gộp thích hợp Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội − ^ + Σu^ Lưu ý giá trị trung bình Y ΣYt2 = ΣY không trừ Một số chương t t 2 trình máy tính tính R − (ESS/ΣYt ) số hạng tung độ gốc Công thức Viện Tiêu chuẩn Công nghệ Quốc gia đề nghị sử dụng Tuy nhiên, giá trị tính theo cách không tương thích với giá trị tính TSS mẫu số khác hai mô hình Nếu mục tiêu so sánh mô hình có số hạng không thay đổi, mặt mức độ thích hợp, công thức tính R2 độc lập với mô hình Tốt nên dùng − (ESS/TSS) hai trường hợp để so sánh R2 Nếu R2 tính TSS mẫu số, có giá trị âm số hạng không đổi mặt mô hình Giá trị âm thể mô hình không đặc trưng tốt Một lựa chọn khác có lẽ phép đo tốt R2 bình phương hệ ^ số tương quan Yt vàYt, giá trị luôn không âm − Chúng ta lập luận trước R2 = − [Var(u) / Var(Y)] phép đo tốt thay đổi biến Y giải thích mô hình Điều cho công thức ESS ÷ (n − k) − R2 = − TSS ÷(n − 1) trường hợp − Vì chương trình máy tính khác cách tính R2 R2 trường hợp số hạng không đổi, đề nghị độc giả kiểâm tra chương trình sử dụng xác định xem phép đo có tương thích mô hình hay không Các nhà điều tra thường loại số hạng không đổi ý nghóa để làm tăng mức ý nghóa thống kê biến lại (ví dụ, mô hình giá tài sản vốn Ví dụ 1.3 số hạng không đổi), việc thực hành không khuyến khích dẫn đến mô hình không đặc trưng (xem thêm phần 4.5) } 4.3 Các Tiêu Chuẩn Chung Để Chọn Mô Hình Chúng ta chứng minh trước cách tăng số biến mô hình, tổng bình − phương phần dư Σu^t2 giảm R2 tăng, đổi lại bậc tự giảm R2 sai số chuẩn phần dư, [ESS / (n – k)]1/2, tính đến việc đánh đổi giảm ESS giảm bậc tự Đây tiêu chuẩn thông dụng để so sánh mô hình Nhìn chung, mô hình đơn giản ưa thích hai lý kỹ thuật sau Thứ nhất, đưa nhiều biến vào mô hình khiến cho độ xác tương đối riêng hệ số giảm Điều nghiên cứu kỹ Chương Thứ hai, việc giảm bậc tự giảm lực kiểm định hệ số Vì vậy, xác suất việc không bác bỏ giả thuyết sai (sai lầm loại II) tăng bậc tự giảm Các mô hình đơn giản dễ hiểu Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với ứng dụng Chương 4: Mô hình hồi quy bội mô hình phức tạp Vì vậy, lý tưởng nên thiết lập tiêu chuẩn hạn chế mô hình lớn không luôn chọn mô hình đơn giản Trong năm gần đây, nhiều tiêu chuẩn chọn mô hình đề nghị Tất tiêu chuẩn có dạng tổng bình phương phần dư (ESS) nhân với nhân tố bất lợi phụ thuộc vào mức độ phức tạp mô hình Mô hình phức tạp ESS giảm lại tăng tính bất lợi Các tiêu chuẩn phải cung cấp loại đánh đổi khác mức độ thích hợp độ phức tạp mô hình Một mô hình có trị thống kê tiêu chuẩn thấp ưa chuộng Trong phần này, trình bày tóm tắt tổng quát nhân tố bất lợi mà không sâu vào phần kỹ thuật yếu tố Nếu độc giả quan tâm đến tóm tắt đầy đủ chi tiết với ứng dụng, bạn tham khảo báo Engle Brown (1985) Akaike (1970, 1974) xây dựng hai phương pháp, gọi sai số hoàn toàn xác định trước (FPE) phương pháp thứ hai gọi tiêu chuẩn thông tin Akaike (AIC) Hannan Quinn (1979) đề nghị phương pháp khác (được gọi tiêu chuẩn HQ) Các tiêu chuẩn khác gồm Schwarz (1978), Shibata (1981), Rice (1984), phương pháp tính xác chéo tổng quát (GCV) Craven Wahba (1979) phát triển Engle, Graner, Rice, Weiss (1986) sử dụng Mỗi trị thống kê dựa vài tính chất tối ưu, chi tiết phương pháp đề cập báo liệt kê (lưu ý báo đòi hỏi kiến thức đại số tuyến tính) Bảng 4.3 tóm tắt tiêu chuẩn (n số lần quan sát k số thông số ước lượng) − − ^ 2) quan hệ Không cần thiết phải đưa R2 vào tiêu chuẩn R2 SGMASQ (σ − − nghịch, giá trị SGMASQ thấp có nghóa R2 có giá trị cao R2 có ích xác định tỷ số biến đổi Y giải thích biến X } Bảng 4.3 Tiêu Chuẩn Chọn Mô Hình SGMASQ: AIC: FPE: GVC: ESS  k-   1 –    n  n ESS (2k/n)  e  n  HQ: ESS   (ln n)2k/n n   RICE: ESS n + k    n n–k SCHWARZ: ESS  2k-   1 –    n   n  ESS k/n  n  n  ESS n + 2k    n  n ESS  k-   1 –    n  n SHIBATA: Một cách lý tưởng, muốn có mô hình có giá trị trị thống kê thấp, so sánh với mô hình khác Mặc dù xếp hạng vài tiêu chuẩn giá trị ESS, n, k cho trước, thứ tự không ý nghóa Ramu Ramanathan 10 Thục Đoan/Hào Thi