Ứng dụng matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập

Based on research into theory of algebraic matrix, circuit structure and application of Matlab software, we have established algorithm and programming software to solve elec[r]

ứng dụng matlab giải mạch điện tuyến tính chế độ xác lập Application of Matlab in solving linear electric circuit in the defining mode

Nguyễn Thị Hiên1, Ngô Thị Tuyến1

SUMMARY

The application of Matlab (Matrix - Laboratory) helps students as well as electric technical staff solve electric problems quickly, accurately; especially for electric circuit which has a large number of nodes and branches The use of matrix to illustrate basic system of equations: Branch currents, round currents, potential nots are important basis for analysing Matlab - used electric circuit by computers

Based on research into theory of algebraic matrix, circuit structure and application of Matlab software, we have established algorithm and programming software to solve electric circuit problems, using basic methods: branch current, round current, potential node The program try run successfully and produced results similar to those of manual calculation, while saved a lot of time

We hope this article will help many people, especially Electric Engineering students to solve electric problems quickly and effectively

Key words: Branch circuits, round circuits, potential nodes, matrix

ĐặT VấN Đề1

Lý thuyt mch in môn học quan trọng, sở để nghiên cứu môn sở khác môn chuyên môn ngành Kỹ thuật điện Với số l−ợng tập lớn, khối l−ợng tính tốn nhiều, phân tích mạch điện phức tạp có nhiều nút, nhánh, nên giải toán thực tế kiểm tra kết tính, sinh viên phải tốn nhiều công sức dễ nhầm lẫn Tr−ớc kia, sinh viên ngành Kỹ thuật điện th−ờng dùng công cụ hỗ trợ thủ cơng: th−ớc tính Logarit, sau máy tính bỏ túi Ngày nay, tin học máy tính điện tử trở thành cơng cụ đắc lực giúp sinh viên giải nhanh thuận lợi tốn kỹ thuật Tuy nhiên, với ngơn ng lp trỡnh:

1 Khoa Cơ Điện, Đại học Nông nghiệp I

Pascal, C, , việc phân tích mạch th−ờng dừng lại tốn mạch điện tuyến tính có thơng số thực, điều làm tính tổng quát tốn Hơn nữa, địi hỏi ng−ời sử dụng bắt buộc phải có kiến thức lập trình Sự đời phần mềm ứng dụng Matlab mở nhiều triển vọng việc giải toán kỹ thuật Với cấu trúc ngắn gọn, gần với t− toán học đặc biệt xử lý dễ dàng số phức, phần mềm công cụ mạnh để giải nhanh xác tốn phõn tớch mch in

2 PHƯƠNG PHáP NGHIÊN CứU

Tạp chí KHKT Nông nghiệp 2007: Tập V, Số 2: 80-86 Đại học Nông nghiệp I

dựng thuật toán lập trình giải toán mạch điện phơng pháp bản: Phơng pháp dòng nhánh, Phơng pháp dòng vòng điện ®iĨm nót

3 KÕT QU¶ NGHI£N CøU

Bài toán đặt ra: biết sơ đồ cấu trúc mạch (gồm m nhánh, n nút), biết thông số phần tử, yêu cầu xác định dòng điện (điện áp) sinh nhánh, từ kiểm tra cân cơng suất

3.1 ThiÕt lËp c¸c ma trận mô tả cấu trúc mạch điện

a) Ma trËn nh¸nh - nót

Ma trận nhánh - nút A có số hàng số nhánh, số cột số nút độc lập mạch điện

Aij = j nút đầu nhánh i;

Aij = -1 j lµ nót ci cđa nhánh i;

Aij = trờng hợp khác

b) Ma trận nhánh -vòng]

Ma trn nhánh - vịng C có số hàng số nhánh, số cột số vòng độc lập mạch điện

Cij = nhánh i chiều vòng j

Cij = -1 nhánh i ngợc chiều vòng j

Cij = trờng hợp nhánh i không

thuộc vòng j

Ví dụ: Cho graph gồm nhánh, nút nh hình 1:

1

4

6

I II

III

3

1

0

H×nh VÝ dơ vỊ mét graph

Ta xây dựng đợc ma trận cấu trúc mạch điện nh sau:

Nút Vòng

A=

       

 

       

 

− − −

− − −

1

1

0 1

1 0

0

0

Nh¸nh; C =

       

 

       

 

− −

− − −

1 0

1

1

0

0 1

0

Nh¸nh

Ma trận A, C cho biết cấu trúc graph: Các phần tử hàng A cho biết nhánh nối điểm với nhau, ví dụ, hàng 2: nhánh nối nút sở với nút 2, mạch điện rõ chiều

d−ơng dòng điện nhánh đồng thời cho biết điện áp nhánh hiệu số cặp nút (ví dụ u2 = -ϕ2)

ứng dụng Matlab giải mạch điện tuyến tớnh ch xỏc lp

nút (giá trị 1) nhánh vào nút (giá trị -1)

Đối với ma trận C, phần tử hàng rõ nhánh có tham gia vào vịng khơng, thuận chiều hay ng−ợc chiều vịng Cịn phần tử cột rõ vịng gồm nhánh nào, chiều hay ng−ợc chiều vòng

3.2 Biểu diễn phơng pháp tính ma trận

3.2.1 Phơng pháp dòng nhánh

H ph−ơng trình dịng nhánh hệ ph−ơng trình viết theo định luật Kiêchơp I II ( Nguyễn Bình Thành & cs, 1972):

    = = ∑ ∑ ∑ k k k k E I Z I & & & (3-1a) k I

&, Zk,

k

E& - Dòng điện, tổng trở, sức điện động nhánh

NÕu gäi I&nh - ma trận cột, biểu diễn dòng điện c¸c nh¸nh;

nh

U& - ma trËn cét, biểu diễn điện áp nhánh;

Znh - ma trËn vu«ng kÝch th−íc m x m,

các phần tử đờng chéo tổng trở riêng nhánh, Zij tổng trở tơng hỗ

nhánh i nhánh j;

nut

J& - ma trận cột, biểu diễn nguồn dòng (phụ tải) nút (độc lập), lấy dấu (+) vào nút, nguợc lại lấy dấu (-);

nh

E& - ma trận cột sức điện động nhánh, lấy dấu (+) chiều dòng nhánh, nguợc lại lấy dấu (-)

Thì viết hệ (3-1a) d−ới dạng ma trận:     = = nh E T C nh I nh Z T C nut J nh I T A & & & & (3-1b) Trong đó: AT, CT - Các ma trận chuyển vị

cña ma trËn A, C Đặt: D =

    nh .Z T C T A (3-1c) G =         nh E . T C nut J & & (3-1d) Khi đó:

D.I&nh = G (3-1e)

Hay: I&nh = D

-1.G (3-2)

D-1

- Ma trận nghịch đảo ma trận D 3.2.2 Ph−ơng pháp dịng vịng

HƯ phơng trình dòng vòng tổng quát, [2]:

       = + + + = + + + = + + + ∑ ∑ ∑ p k Vp pp V p V p k Vp p 2 V 22 V 21 k Vp p V 12 V 11 E I Z I Z I Z E I Z I Z I Z E I Z I Z I Z & & & & & & & & & & & & (3-3a) D¹ng ma trËn:

              =                             Vp V V Vp V V pp p p p 22 21 p 12 11 E E E I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z & & & & & & (3-3b)

Hay viÕt gän l¹i:

ZV.I&V = E&V (3-3c)

Nguyễn Thị Hiên, Ngô Thị Tuyến

ZV =

              pp p p p 22 21 p 12 11 Z Z Z Z Z Z Z Z Z -

ma trËn tỉng trë vßng, [2], cã thĨ tÝnh theo ma trËn tỉng trë nh¸nh: Zv = CT.Znh.C

V

I& - ma trËn cột dòng điện vòng

V

E& - ma trận sức điện động vòng, E&V =

CTE&nh

Trờng hợp có nguồn dòng J&nh

nhánh:

V

E& = CT ( E&nh - Znh.J&nh) (3-3d)

Khi đó:

V

I& = ZV -1

E&V (3-4)

Dòng điện nhánh:

nh

I& = C I&V + J&nh (3-5)

Điện áp nhánh:

nh

U& = Znh I&nh - E&nh (3-6)

3.2.3 Phơng pháp nút

Hệ phơng trình nút tổng quát, [2]:

        + = + − − − + = − − + − + = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − − − − − − − − − p k k n k n n , n 22 n 11 n k k k n n 2 22 21 k k k n n 12 11 Y E J Y Y Y Y E J Y Y Y Y E J Y Y Y & & & & & & & & & & & & & & & ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (3-7a)

Dïng ma trËn:

            =                           − − − − − − − − − − − − − n n n 1 n , n 12 n 11 n n 22 21 n 12 11 J J J Y Y Y Y Z Y Y Y Y ϕ ϕ ϕ & & & (3-7b) Hay:

Ynut ϕ& = J&dnut (3-7c)

Trong đó: Ynót - ma trận tổng dẫn nút, xác định theo ma trận tổng trở nhánh

Ynãt= AT.Znh -1

.A= AT.Ynh.A dnut

J& - Ma trận nguồn dòng nút

dnut

J& = J&nut - AT.Ynh E&nh (3-7d)

Tõ (3-7c), suy ra: ϕ& = Ynut-1 J&dnut (3-8)

Ma trận dòng điện nhánh: I&nh= Ynh ( U&nh + E&nh) (3-9)

ứng dụng Matlab giải mạch điện tuyến tính chế độ xác lập

Từ điện áp dịng điện nhánh, tính đ−ợc cơng suất nhánh (từ kiểm tra điều kiện cân công suất):

Snh = Unh.conj (Inh) (3-11)

Với: conj (Inh) ma trận liên hợp phức ma trận dòng nhánh

3.3 Lập trình giải mạch điện Matlab

Matlab - ch viết tắt Matrix Laboratory - th− viện ma trận, phần mềm ứng dụng, dùng cho tính toán dựa sở liệu ma trận (Nguyễn Hoài Sơn & cs, 2000) Với hàng loạt hàm toán học đ−ợc xác định tr−ớc, Matlab cho phép lập ch−ơng trình lệnh đơn

gi¶n, ngắn gọn, cấu trúc gần với t toán học Chơng trình lập trình cửa sổ Command Window lu dới dạng file cửa sổ soạn thảo (m-file) cho lần sử dụng sau

a) Sơ đồ thuật tốn

Sơ đồ khối mơ tả thuật tốn đ−ợc cho Hình

Ph−¬ng pháp nút Phơng pháp dòng vòng

Phơng pháp dòng nhánh

BEGIN

Nhập số liệu toán NhËp c¸c ma trËn cÊu tróc

D=[A’;C’*Znh]

G=[Jnut;C’*Enh]

Inh=D\G

Unh=Znh*Inh-Enh

Snh=Unh.*conj (Inh)

END

Jdnut=Jnut-A'*Ynh*Enh Ynh=inv (Znh)

Vnut=Ynut\Jdnut

Unh=A*Vnut

Inh=Ynh* (Unh+Enh) Ynut=A’*Ynh*A; Zv=C’*Znh*C;

Ev=C’* (Enh-Znh*Jnh)

Iv = Zv\Ev

Nguyễn Thị Hiên, Ngô Thị Tuyến

Hình Sơ đồ khối mơ tả thuật tốn tốn phân tích mạch điện

b) ¸p dơng

Cho sơ đồ nh− hình 3, biết: R1 = 10 Ω; X1

= 10 Ω; R2 = Ω ; X2 = Ω; R3 = 30 ; X3 =

40 ; hỗ cảm c¸c nh¸nh X13 = 20Ω; X23

= 10Ω, sức điện động E&1= 100 V; E&2= 100∠π/6 V; J&= 2∠π/3 A Hãy tính dịng điện nhánh ph−ơng pháp dòng nhánh, dòng vòng, nút

Số liệu đầu vào toán tổng trở, nguồn sức điện động nhánh, nguồn dòng bơm vào nút (nếu có), sở lập ma trận tổng trở nhánh, sức điện động nhánh, ma trận cấu trúc Bài tốn giải ph−ơng pháp dòng nhánh, ph−ơng pháp dòng vòng hoc phng phỏp in th nỳt

Để giải toán, ta viết lệnh sau MATLAB command window cửa sổ soạn thảo (m-file):

1

0

R2 R3

R1

J

E2

jX1 jX2

jX3 *

*

*

jX13 jX23

E1

Hình Sơ đồ mạch điện

Clc

%Nhap so liªu bai toan Z1=10 + j*10;

Z2=5 + j*5; Z3=30 + j*40;

E1= 100;

E2= 100*exp (j*pi/6); J= 2*exp (j*pi/3); %Lap cac ma tran Enh=[E1;E2;0]; Jnut=[J];

Znh (1,1)=Z1; Znh (2,2)=Z2; Znh (3,3)=Z3; Znh (1,2)=0; Znh (2,1)=Znh (1,2);

Znh (1,3)=-j*20; Znh (3,1)=Znh (1,3); Znh (2,3)=-j*10; Znh (3,2)=Znh (2,3); A = [-1;-1;1];

C=[1 0;0 1;1 1];

+%Giai bai toan bang phuong phap dong nhanh

disp ('1.Phuong phap dong nhanh'); D=[A';C'*Znh];

G=[Jnut;C'*Enh]; Inh=D\G

Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh)

%Giai bai toan bang phuong phap dong vong disp ('2.Phuong phap dong vong');

Jnh=[0;0;J]; Zv=C'*Znh*C;

Ev=C'* (Enh-Znh*Jnh); Iv = Zv\Ev

Inh=C*Iv + Jnh Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh)

% Giai bai toan bang phuong phap the nut disp ('3.Phuong phap the nut');

ứng dụng Matlab giải mạch điện tuyến tính chế độ xác lập

Vnut=Ynut\Jdnut Unh=A*Vnut

Inh=Ynh* (Unh+Enh) Snh=Unh.*conj (Inh)

Trên hình MATLAB command window xuất lần luợt:

1 Phuong phap dong nhanh Inh =

0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Unh =

-85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Snh =

1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i

2.Phuong phap dong vong Iv =

0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i Inh =

0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Unh =

-85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Snh =

1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i 3.Phuong phap the nut Vnut =

85.0321 +78.4440i Unh =

-85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Inh =

0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Snh =

1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i

4 KÕT LUËN

Cấu trúc mạch điện có m nhánh, n nút đ−ợc mơ tả ma trận nút - nhánh A ma trận nhánh - vòng C, nh− ta giải tốn Lý thuyết mạch cách đơn giản dễ dàng cách giải hệ ph−ơng trình ma trận

Lập trình Matlab có cấu trúc đơn giản, ngắn gọn, thuận tiện cho ng−ời sử dụng Bài toán cho kết nhanh, xác, tính với số phức cách dễ dàng, −u điểm bật Matlab so với ngơn ngữ lập trình khác

Ch−ơng trình viết khơng thiên lập trình tin học, gần gũi với lý thuyết môn học, giúp sinh viên củng cố kiến thức mơn học đồng thời có điều kiện kiểm tra kỹ tính tốn thõn

Tài liệu tham khảo

Nguyễn Hoài Sơn cộng (2000), ứng dụng Matlab tính toán kỹ thuật NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh

Nguyễn Bình Thành cộng (1972), C¬ së