Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt Goùc α Giaù trò.. Hệ thức cơ bản.[r]
(1)CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Ñònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với ≤ β ≤ 2π Ñaët α = β + k2π, k ∈ Z Ta ñònh nghóa: sin α = OK cos α = OH sin α với cos α ≠ tgα = cos α cos α với sin α ≠ cot gα = sin α II Bảng giá trị lượng giác số cung (hay góc) đặc biệt Goùc α Giaù trò ( ) 0o sin α cos α tgα cot gα || π 30 o ( ) 3 3 π 45o 2 2 π 60 o 3 2 π 90 o || 3 ( ) ( ) III Hệ thức sin α + cos2 α = 1 π với α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) + tg α = cos α với α ≠ kπ ( k ∈ Z ) t + cot g = sin α IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a Đối nhau: α và −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α ) Lop10.com ( ) (2) b Buø nhau: α vaø π − α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = −tgα cot g ( π − α ) = − cot gα c Sai π : α vaø π + α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = −cosα tg ( π + α ) = t gα cot g ( π + α ) = cot gα d Phuï nhau: α vaø π −α ⎛π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ π π : α vaø + α 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ e.Sai ⎛π ⎞ tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠ Lop10.com (3) f sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gx V Công thức cộng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b m sin asin b tg ( a ± b ) = tga ± tgb m tgatgb VI Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cosa cos2a = cos2 a − sin a = − 2sin a = cos2 a − 2tga tg2a = − tg2 a cot g2 a − cot g2a = cot ga VII Công thức nhân ba: sin 3a = 3sin a − 4sin a cos3a = cos3 a − 3cosa VIII Công thức hạ bậc: (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg a = + cos2a sin a = IX Công thức chia đôi Ñaët t = tg a (với a ≠ π + k π ) Lop10.com (4) 2t + t2 − t2 cosa = + t2 2t tga = − t2 sin a = X Công thức biến đổi tổng thành tích a+ b a−b cos 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 a+ b a−b sin a + sin b = cos sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin b cosa + cos b = cos XI Công thức biển đổi tích thành tổng ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎦⎤ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎦⎤ ⎣ sin a.cos b = ⎡⎣sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ cosa.cos b = sin a + cos4 a − Bài 1: Chứng minh = sin a + cos6 a − Ta coù: sin a + cos a − = ( sin a + cos2 a ) − 2sin a cos2 a − = −2sin a cos2 a Vaø: sin a + cos6 a − = ( sin a + cos2 a )( sin a − sin a cos2 a + cos a ) − = sin a + cos a − sin a cos2 a − = (1 − 2sin a cos2 a ) − sin a cos2 a − = −3sin a cos2 a Lop10.com (5) Do đó: sin a + cos4 a − −2sin a cos2 a = = sin a + cos6 a − −3sin a cos2 a + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A = = ⎢1 + ⎥ sin x sin x ⎥⎦ ⎢⎣ π Tính giaù trò A neáu cos x = − vaø < x < π 2 + cos x ⎛ sin x + − cos x + cos2 x ⎞ Ta coù: A = ⎜ ⎟ sin x ⎝ sin x ⎠ + cos x (1 − cos x ) sin x sin x (1 − cos2 x ) 2sin x (với sin x ≠ ) ⇔A= = = sin x sin x sin x Ta coù: sin x = − cos2 x = − = 4 π Do: < x < π neân sin x > Vaäy sin x = 2 4 Do đó A = = = sin x 3 ⇔A= Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a A = cos4 x − sin x + sin x cos2 x + 3sin x b B = cot gx + + tgx − cot gx − a Ta coù: A = cos4 x − sin x + sin x cos2 x + 3sin x ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + (1 − cos2 x ) ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + − 3cos2 x ⇔ A = (khoâng phuï thuoäc x) b Với điều kiện sin x.cos x ≠ 0,tgx ≠ Ta coù: B = cot gx + + tgx − cot gx − Lop10.com (6) +1 2 + tgx tgx ⇔B= + = + tgx − − tgx − 1 − tgx tgx ⇔ B= − (1 − tgx ) − tgx = = −1 (khoâng phuï thuoäc vaøo x) tgx − tgx − Bài 4: Chứng minh + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin c − cot g b cot g c = cot ga − ⎢1 − ⎥+ 2 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Ta coù: cos2 b − sin c − cot g b.cot g c * 2 sin b.sin c cotg b = − − cot g b cot g c sin c sin b = cot g b + cot g c − + cot g b − cot g b cot g c = −1 (1) ( ) ( ) + cosa ⎡ (1 − cos a ) ⎤ * ⎢1 − ⎥ sin a ⎢ sin a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ (1 − cos a ) ⎤ = ⎢1 − ⎥ sin a ⎢ − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ − cosa ⎤ 1− = 2sin a ⎢⎣ + cosa ⎥⎦ + cosa cosa = = cot ga (2) sin a + cos a Lấy (1) + (2) ta điều phải chứng minh xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc là nhọn Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa P = tgA.tgB.tgC Ta coù: A + B = π − C Neân: tg ( A + B) = −tgC tgA + tgB = −tgC − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vaäy: P = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC ⇔ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta tgA + tgB + tgC ≥ 3 tgA.tgB.tgC Lop10.com (7) ⇔ P ≥ 33 P ⇔ P2 ≥ ⇔P≥3 ⎧tgA = tgB = tgC π ⎪ Daáu “=” xaûy ⇔ ⎨ π ⇔ A=B=C= ⎪⎩0 < A,B,C < π Do đó: MinP = 3 ⇔ A = B = C = Bài : Tìm giá trị lớn và nhỏ a/ y = sin x + cos4 2x b/ y = sin x − cos x ⎛ − cos 2x ⎞ a/ Ta coù : y = ⎜ ⎟ + cos 2x ⎝ ⎠ Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ thì y = (1 − t ) + t => y ' = − (1 − t ) + 4t 3 Ta coù : y ' = Ù (1 − t ) = 8t ⇔ − t = 2t ⇔t= ⎛1⎞ ⎝ 3⎠ 27 Do đó : Max y = và Miny = x∈ 27 x∈ Ta coù y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = b/ Do ñieàu kieän : sin x ≥ vaø cos x ≥ neân mieàn xaùc ñònh π ⎡ ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ với k ∈ ⎣ ⎦ 2 Đặt t = cos x với ≤ t ≤ thì t = cos x = − sin x Neân sin x = − t4 Vaäy y = − t − t treân D ' = [ 0,1] Thì y ' = −t (1 − t ) − < ∀t ∈ [ 0; 1) Neân y giaûm treân [ 0, ] Vaäy : max y = y ( ) = 1, y = y (1) = −1 x∈ D x∈ D Baøi 7: Cho haøm soá y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x Tìm giá trị m để y xác định với x Lop10.com (8) Xeùt f (x) = sin x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin x + cos2 x ) − m sin 2x − sin x cos2 x sin2 2x − m sin 2x Đặt : t = sin 2x với t ∈ [ −1, 1] f ( x) = − y xaùc ñònh ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R t − mt ≥ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1, 1] ⇔ 1− Do Δ ' = m2 + > ∀m neân g(t) coù nghieäm phaân bieät t1, t2 t2 Lúc đó t t1 g(t) Do đó : yêu cầu bài toán + - ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t ⎧⎪1g ( −1) ≤ ⎧−2m − ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩2m − ≤ ⎪⎩1g (1) ≤ −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤ 2 ⎪m ≤ ⎪⎩ Caùch khaùc : g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ max g (t ) ≤ ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ t ∈[ −1,1 ] −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ ⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ ⇔ ⎨ ⎪m ≤ ⎪⎩ ⇔− 1 ≤m≤ 2 π 3π 5π 7π + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 π 7π ⎛π π ⎞ Ta coù : sin = sin ⎜ − ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ 5π 3π ⎛ π 5π ⎞ sin = cos ⎜ − ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ Bài : Chứng minh A = sin4 Maët khaùc : sin α + cos4 α = ( sin α + cos2 α ) − sin α cos2 α = − 2sin2 α cos2 α = − sin2 2α Lop10.com (9) π 7π 3π 5π + sin4 + sin4 + sin4 16 16 16 16 π π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π = ⎜ sin + cos4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin ⎟ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ = ⎜ − sin ⎟ + ⎜ − sin ⎟ 8⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎛ π 3π ⎞ = − ⎜ sin + sin ⎟ 2⎝ 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = cos ⎟ = − ⎜ sin + cos2 ⎟ ⎜ sin 2⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ = 2− = 2 Do đó : A = sin4 Bài : Chứng minh : 16 sin 10o sin 30o sin 50o sin 70o = A cos 10o = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o o o cos 10 cos 10 ⎛1⎞ sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o cos 20o o ( cos 10 ⎝2⎠ sin 200 cos 20o ) cos 40o o ( cos10 sin 40o ) cos 40o o ( cos10 cos 10o o sin 80 = =1 cos10o cos 10o Ta coù : A = ⇔ A= ⇔ A= ⇔ A= ⇔ A= Bài 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 A+B π C = − 2 A+B C = cot g Vaäy : tg 2 A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 B⎤ C A B ⎡ A ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ A C B C A B ⇔ tg tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 Ta coù : Bài 11 : Chứng minh : + 4tg π π π π + 2tg + tg = cot g ( *) 16 32 32 Lop10.com (10) π π π π − tg − 2tg − 4tg 32 32 16 2 cos a sin a cos a − sin a − = Maø : cot ga − tga = sin a cos a sin a cos a cos 2a = = cot g2a sin 2a Do đó : π π⎤ π π ⎡ (*) ⇔ ⎢ cot g − tg ⎥ − 2tg − 4tg = 32 32 ⎦ 16 ⎣ π π⎤ π ⎡ ⇔ ⎢ cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Ta coù : (*) ⇔ = cot g Bài :12 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 + + + = cot gx − cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π a/ Ta coù : cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎡ 4π ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎛ 4π ⎞⎤ = (1 + cos 2x ) + ⎢1 + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ + ⎢1 + cos ⎜ 2⎣ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎦ + = + = 1⎡ 4π ⎞ ⎛ ⎛ 4π ⎞⎤ cos 2x + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ + cos ⎜ ⎢ 2⎣ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎦ 1⎡ 4π ⎤ cos 2x + cos 2x cos ⎥ ⎢ 2⎣ 3⎦ 1⎡ ⎛ ⎞⎤ + ⎢cos 2x + cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥ 2⎣ ⎝ ⎠⎦ = cos a cos b sin b cos a − sin a cos b − = b/ Ta coù : cot ga − cot gb = sin a sin b sin a sin b sin ( b − a ) = sin a sin b sin ( 2x − x ) = Do đó : cot gx − cot g2x = (1 ) sin x sin 2x sin 2x sin ( 4x − 2x ) = cot g2x − cot g4x = ( 2) sin 2x sin 4x sin 4x = Lop10.com (11) sin ( 8x − 4x ) = ( 3) sin 4x sin 8x sin 8x sin (16x − 8x ) cot g8x − cot g16x = = (4) sin16x sin 8x sin16x Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta 1 1 cot gx − cot g16x = + + + sin 2x sin 4x sin 8x sin16x cot g4x − cot g8x = Bài 13 : Chứng minh : 8sin3 180 + 8sin2 180 = Ta coù: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 - ⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – ⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 ⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + = (1 ) ⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = ⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – = (do < sin180 < 1) Caùch khaùc : Chia veá cuûa (1) cho ( sin180 – ) ta coù ( ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + ) – = Bài 14 : Chứng minh : ( + cos 4x ) b/ sin 6x + cos 6x = ( + cos 4x ) c/ sin8 x + cos8 x = ( 35 + 28 cos 4x + cos 8x ) 64 a/ sin4 x + cos4 x = a/ Ta coù: sin x + cos4 x = ( sin x + cos2 x ) − sin x cos2 x 2 sin2 2x = − (1 − cos x ) = + cos 4x 4 =1− b/ Ta coù : sin6x + cos6x = ( sin x + cos2 x )( sin x − sin x cos2 x + cos4 x ) = ( sin4 x + cos4 x ) − sin2 2x ⎛3 ⎞ = ⎜ + cos 4x ⎟ − (1 − cos 4x ) ⎝4 ⎠ = cos 4x + 8 ( keát quaû caâu a ) c/ Ta coù : sin x + cos8 x = ( sin x + cos4 x ) − sin x cos4 x Lop10.com (12) 2 ( + cos 4x ) − sin4 2x 16 16 1 ⎡1 ⎤ = + + − − cos 4x cos 4x cos 4x ( ) ( ) ⎢⎣ ⎥⎦ 16 1 = + cos 4x + (1 + cos 8x ) − (1 − cos 4x + cos2 4x ) 16 32 32 1 = + cos 4x + cos 8x + cos 4x − (1 + cos 8x ) 16 32 16 64 35 = + cos 4x + cos 8x 64 16 64 = Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x Caùch 1: Ta coù : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x = ( 3sin x − sin x ) sin x + ( cos3 x − cos x ) cos3 x = 3sin4 x − sin6 x + cos6 x − 3cos4 x = ( sin x − cos4 x ) − ( sin x − cos6 x ) = ( sin x − cos2 x )( sin x + cos2 x ) −4 ( sin x − cos2 x )( sin x + sin x cos2 x + cos4 x ) = −3 cos 2x + cos 2x ⎡⎣1 − sin x cos2 x ⎤⎦ ⎛ ⎞ = −3 cos 2x + cos 2x ⎜ − sin 2x ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎞⎤ = cos 2x ⎢ −3 + ⎜ − sin 2x ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ = cos 2x (1 − sin 2x ) = cos3 2x Caùch : Ta coù : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x ⎛ 3sin x − sin 3x ⎞ ⎛ cos x + cos 3x ⎞ = sin 3x ⎜ ⎟ ⎟ + cos 3x ⎜ 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = ( sin 3x sin x + cos 3x cos x ) + ( cos2 3x − sin2 3x ) 4 = cos ( 3x − x ) + cos 6x 4 = ( 3cos 2x + cos 3.2x ) = ( cos 2x + cos3 2x − cos 2x ) ( bỏ dòng này được) = cos3 2x Lop10.com (13) Bài 16 : Chứng minh : cos12o + cos18o − cos15o.cos 21o cos 24 o = − Ta coù : cos12o + cos 18o − cos15o ( cos 21o cos 24o ) +1 = cos15o cos 3o − cos15o ( cos 45o + cos 3o ) = cos15o cos 3o − cos15o cos 45o − cos15o cos 3o = −2 cos15o cos 45o = − ( cos 60o + cos 30o ) =− +1 Baøi 17 : Tính P = sin2 50o + sin2 70 − cos 50o cos70o 1 Ta coù : P = (1 − cos100o ) + (1 − cos140o ) − ( cos120o + cos 20o ) 2 1 ⎛ ⎞ P = − ( cos100o + cos140o ) − ⎜ − + cos 20o ⎟ 2⎝ ⎠ 1 P = − ( cos120o cos 20o ) + − cos 20o 1 P = + cos 20o − cos 20o = 2 Bài 18 : Chứng minh : tg30o + tg40o + tg50o + tg60o = sin ( a + b ) cos a cos b o o Ta coù : ( tg50 + tg40 ) + ( tg30o + tg60o ) AÙp duïng : tga + tgb = sin 90o sin 90o + cos 50o cos 40o cos 30o cos 60o 1 = + o o sin 40 cos 40 cos 30o 2 = + o sin 80 cos 30o ⎞ ⎛ = 2⎜ + ⎟ o cos 30o ⎠ ⎝ cos10 ⎛ cos 30o + cos10o ⎞ = 2⎜ o o ⎟ ⎝ cos10 cos 30 ⎠ = cos 20p cos10o cos10o cos 30o = cos 20o Bài 19 : Cho ΔABC , Chứng minh : =4 Lop10.com cos 20o (14) A B C cos cos 2 A B C b/ socA + cos B + cos C = + sin sin sin 2 c/ sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C d/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = −2 cos A cos B cos C e/ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC f/ cot gA.cot gB + cot gB.cot gC + cot gC.cot gA = A B C A B C g/ cot g + cot g + cot g = cot g cot g cot g 2 2 2 a/ sin A + sin B + sin C = cos a/ Ta coù : sin A + sin B + sin C = 2sin A+B A−B cos + sin ( A + B ) 2 A + B⎛ A−B A + B⎞ + cos ⎜ cos ⎟ ⎝ 2 ⎠ C A B ⎛ A + B π C⎞ = cos cos cos = − ⎟ ⎜ 2 2 2⎠ ⎝ A+B A−B cos − cos ( A + B ) b/ Ta coù : cos A + cos B + cos C = cos 2 A+B A−B ⎛ A+B ⎞ − 1⎟ cos = cos − ⎜ cos2 2 ⎝ ⎠ A+B⎡ A−B A + B⎤ +1 cos = cos − cos ⎢ ⎣ 2 ⎥⎦ A+B A ⎛ B⎞ = −4 cos sin sin ⎜ − ⎟ + 2 ⎝ 2⎠ C A B = sin sin sin + 2 c/ sin 2A sin 2B + sin 2C = sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C cos C = sin = sin C cos(A − B) + 2sin C cos C = 2sin C[cos(A − B) − cos(A + B) ] = −4 sin Csin A sin( − B) = sin C sin A sin B d/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = + ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C = + cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos C ⎤⎦ ( cos ( A + B ) = − cos C ) = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ = − cos C.cos A.cos B e/ Do a + b = π − C neân ta coù tg ( A + B ) = −tgC Lop10.com (15) tgA + tgB = −tgC − tgAtgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgAtgBtgC ⇔ tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC f/ Ta coù : cotg(A+B) = - cotgC − tgAtgB = − cot gC ⇔ tgA + tgB cot gA cot gB − = − cot gC (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB) ⇔ cot gB + cot gA ⇔ cot gA cot gB − = − cot gC cot gB − cot gA cot gC ⇔ cot gA cot gB + cot gB cot gC + cot gA cot gC = A+B C = cot g g/ Ta coù : tg 2 A B tg + tg 2 = cot g C ⇔ A B − tg tg 2 A B cot g + cot g 2 = cot g C (nhân tử và mẫu cho cotg A cotg B ) ⇔ A B 2 cot g cot g − 2 A B A B C C ⇔ cot g + cot g = cot g cot g cot g − cot g 2 2 2 A B C A B C ⇔ cot g + cot g + cot g = cot g cot g cot g 2 2 2 ⇔ Bài 20 : Cho ΔABC Chứng minh : cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + = Ta coù : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) = cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C = - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C = - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + + 4cosAcosBcosC = Bài 21 : Cho ΔABC Chứng minh : cos3A + cos3B + cos3C = - sin Ta coù : Maø : 3A 3B 3C sin sin 2 (cos3A + cos3B) + cos3C 3 3C = cos (A + B) cos (A − B) + − 2sin2 2 3 3C A + B = π − C neân ( A + B ) = π − 2 Lop10.com (16) 3π 3C ( A + B ) = cos ⎛⎜ − ⎞⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ π 3C ⎞ = − cos ⎜ − ⎟ ⎠ ⎝2 3C = − sin Do đó : cos3A + cos3B + cos3C ( A − B) 3C 3C = −2 sin cos − 2sin2 +1 2 ( A − B) 3C ⎡ 3C ⎤ = −2 sin + sin ⎢cos ⎥ +1 ⎣ 2 ⎦ => cos = −2 sin ( A − B) ⎤ 3C ⎡ − cos ( A + B ) ⎥ + ⎢cos ⎣ 2 ⎦ −3B 3C 3A sin sin( ) +1 2 3C 3A 3B = −4 sin sin sin +1 2 = sin Bài 22 : A, B, C là ba góc tam giác Chứng minh : sin A + sin B − sin C A B C = tg tg cot g cos A + cos B − cos C + 2 A+B A−B C C sin cos − sin cos sin A + sin B − sin C 2 2 = Ta coù : A+B A−B C cos A + cos B − cos C + cos cos + sin 2 2 C⎡ A−B C⎤ A−B A+B cos ⎢cos − sin ⎥ cos − cos C 2⎣ 2⎦ 2 = = cot g C⎡ A−B C⎤ cos A − B + cos A + B sin ⎢cos + sin ⎥ 2 2⎣ 2⎦ A ⎛ B⎞ sin ⎜ − ⎟ C ⎝ 2⎠ = cot g A B 2 cos cos 2 C A B = cot g tg tg 2 −2 sin Bài 23 : Cho ΔABC Chứng minh : A B C B C A C A B sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos 2 2 2 2 A B C A B B C A C = sin sin sin + tg tg + tg tg + tg tg ( *) 2 2 2 2 Lop10.com (17) A+B π C C ⎛ A B⎞ = − vaäy tg ⎜ + ⎟ = cot g 2 2 ⎝ 2⎠ A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 B⎤ C A B ⎡ A ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ A C B C A B ⇔ tg tg + tg tg + tg tg = (1) 2 2 2 A B C B C A C A B Do đó : (*) Ù sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos 2 2 2 2 A B C = sin sin sin + (do (1)) 2 A⎡ B C B C⎤ A⎡ B C C B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos − sin sin ⎥ + cos ⎢sin cos + sin cos ⎥ = 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ A B+C A B+C + cos sin =1 ⇔ sin cos 2 2 A+B+C π = ⇔ sin = ( hiển nhiên đúng) ⇔ sin 2 Ta coù : Bài 24 : Chứng minh : tg A B C + cos A + cos B + cos C + tg + tg = ( *) 2 sin A + sin B + sin C Ta coù : A+B A−B ⎡ C⎤ cos + ⎢1 − sin ⎥ + 2 2⎦ ⎣ C A−B C = 2sin cos + − 2sin2 2 C⎡ A−B C⎤ = sin ⎢ cos − sin ⎥ + 2⎣ 2⎦ C⎡ A−B A + B⎤ = sin ⎢cos − cos +4 2⎣ 2 ⎥⎦ C A B = sin sin sin + (1) 2 A+B A−B sin A + sin B + sin C = 2sin cos + sin C 2 C A−B C C = cos cos + sin cos 2 2 C⎡ A−B A + B⎤ = cos ⎢ cos + cos 2⎣ 2 ⎥⎦ C A B = cos cos cos (2) 2 Từ (1) và (2) ta có : cos A + cos B + cos C + = cos Lop10.com (18) A B C A B C sin sin sin sin sin + + + = 2 (*) ⇔ A B C A B C cos cos cos cos cos cos 2 2 2 A⎡ B C⎤ B⎡ A C⎤ C⎡ A B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos ⎥ + sin ⎢ cos cos ⎥ + sin ⎢ cos cos ⎥ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ A B C = sin sin sin + 2 A⎡ B C B C⎤ A⎡ B C C B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos − sin sin ⎥ + cos ⎢sin cos + sin cos ⎥ = 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ A B+C A B+C + cos sin =1 ⇔ sin cos 2 2 ⎡A + B + C⎤ ⇔ sin ⎢ ⎥⎦ = ⎣ π ⇔ sin = ( hiển nhiên đúng) A B C sin sin sin 2 + + =2 Bài 25 : Cho ΔABC Chứng minh: B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 Caùch : A B A A B B sin sin sin cos + sin cos 2 2 2 + = Ta coù : A B C C A B C cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 sin A+B A−B cos sin A + sin B 2 = = A B C A B C cos cos cos cos cos cos 2 2 2 A − B ⎛ ⎞ C A−B cos ⎜ cos cos ⎟ ⎝ ⎠ 2 = = A B C A B cos cos cos cos cos 2 2 ⎛ A − B⎞ C A−B A+B cos ⎜ sin cos + cos ⎟ ⎝ ⎠+ 2 = Do đó : Vế trái = A B A B A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 A B cos cos 2 =2 = A B cos cos 2 sin Caùch : Lop10.com (19) B+C A+C A+B cos cos 2 + + Ta coù veá traùi = B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 B C B C A C A C cos cos − sin sin cos cos − sin sin 2 2 + 2 = B C C A cos cos cos cos 2 2 A B A B cos cos − sin sin 2 2 + A B cos cos 2 cos Maø : Do đó : A C A B⎤ ⎡ B C = − ⎢ tg tg + tg tg + tg tg ⎥ 2 2 2⎦ ⎣ A B B C A B tg tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 (đã chứng minh bài 10 ) Veá traùi = – = A B C , cot g , cot g theo tứ tự tạo cấp số cộng 2 A C Chứng minh cot g cot g = 2 A B C Ta coù : cot g , cot g , cot g laø caáp soá coäng 2 A C B ⇔ cot g + cot g = cot g 2 A+C B sin cos 2 = ⇔ A C B sin sin sin 2 B B cos cos 2 = ⇔ A C B sin sin sin 2 B ⇔ (do 0<B< π neân cos > ) = A C A+C sin sin cos 2 A C A C cos cos − sin sin 2 2 = ⇔ cot g A cot g C = ⇔ A C 2 sin sin 2 Baøi 26 : Cho ΔABC Coù cot g Bài 27 : Cho ΔABC Chứng minh : Lop10.com (20) 1 1⎡ A B C A B C⎤ + + = ⎢ tg + tg + tg + cot g + cot g + cot g ⎥ sin A sin B sin C ⎣ 2 2 2⎦ A B C A B C Ta coù : cot g + cot g + cot g = cot g cot g cot g 2 2 2 (Xem chứng minh bài 19g ) sin α cos α + = Maët khaùc : tgα + cot gα = cos α sin α sin 2α 1⎡ A B C A B C⎤ Do đó : ⎢ tg + tg + tg + cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2 2⎦ 1⎡ A B C⎤ ⎡ A B C⎤ = ⎢ tg + tg + tg ⎥ + ⎢cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2⎦ 1⎡ A A⎤ ⎡ B B⎤ ⎡ C C⎤ = ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ 1 = + + sin A sin B sin C BAØI TAÄP Chứng minh : π 2π = a/ cos − cos 5 o o cos15 + sin15 = b/ cos15o − sin15o 2π 4π 6π + cos + cos =− c/ cos 7 3 d/ sin 2x sin 6x + cos 2x.cos 6x = cos3 4x e/ tg20o.tg40o.tg60o.tg80o = π 2π 5π π π + tg + tg + tg = cos 18 3 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π cos cos cos cos cos = g/ cos cos 15 15 15 15 15 15 15 27 ⎡π ⎤ ⎡π ⎤ h/ tgx.tg ⎢ − x ⎥ tg ⎢ + x ⎥ = tg3x ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ f/ tg k/ tg20o + tg40o + 3tg20o.tg40o = 3 o o o o m/ tg5 tg55 tg65 tg75 = e/ sin 20o.sin 40o.sin 80o = ⎧sin x = sin ( x + y ) ⎪ Chứng minh ⎨ π ⎪ x + y ≠ ( 2k + 1) ( k ∈ z ) ⎩ thì tg ( x + y ) = sin y cos y − Cho ΔABC có góc nhọn và A ≥ B ≥ C Lop10.com (21)