Phân số phần bù đến đơn vị: Hai phân số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phân số phần bù đến đơn vị của phân số nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số bằng nha[r]
(1)PHÂN SỐ I Các khái niệm bản: * a lµ ph©n sè víi a lµ tö sè, b lµ mÉu sè (a, b N, b 0) b Các số tự nhiên có thể coi là phân số có mẫu số * a lµ ph©n sè tèi gi¶n nÕu a, b nguyªn tè cïng tøc lµ (a,b) = b Các phân số chưa tối giản có phân số tối giản nó II Tính chất bản: a a.m a.n = = (m, n 0) Ta áp dụng t/c này để rút gọn phân số b b.m b.n a:n a = với n có thể là UCLN a và b (rút gọn lần để phân số tối giản) b:n b n có thể là các ước a và b (rút gọn nhiều lần) III Các cách so sánh hai phân số: 1) Qui đồng tử hay mẫu số: a Nếu hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số ớn thì phân số đó nhỏ b Nếu hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn thì phân số đó lớn 2) Phân số phần bù đến đơn vị: Hai phân số nhỏ đơn vị, phân số phần bù đến đơn vị phân số nào lớn thì phân số đó nhỏ (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số nhau) 3) Phân số trung gian thứ 3: Thông thường có hai cách sau: a Chọn phân số trung gian thứ ba có cùng tử số với hai phân số đã cho, cùng mẫu số với phân số còn lại b Chọn phân số trung gian thứ ba thể mối quan hệ tử số và mẫu số hai phân số IV Bài tập áp dụng: So sánh hai phân số sau: Giải: 12 13 vµ 49 47 12 12 12 lµm ph©n sè trung gian, ta cã: (1) 47 49 47 12 13 12 13 (2) nªn tõ (1) vµ (2) ta suy 47 47 49 47 Ta chọn phân số Ta lại có: http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (2) So sánh hai phân số: 15 24 vµ 59 97 Giải: Ta thấy 59 gấp gần lần 15; 97 gấp lần 24 15 15 59 60 15 24 Từ (1) và (2) 59 97 Ta có: (1); 24 24 97 96 (2) Cho phân số hay bé a b a (a < b) b Cùng thêm m đơn vị vào tử số và mẫu số thì phân số lớn ? Giải: Cách 1: Nếu a < b thì: a b-a (phần bù đến đơn vị) b b a+m b-a b-1 b-a b-1 b-a So sánh víi ta ®îc b+m b+m b b+m b b+m a a+m Vậy: b b+m Khi đó : Cách 2: Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m) a a(b + m) ab + am b b(b + m) b(b + m) a + m b(a + m) ab + bm b + m b(a + m) b(b + m) ab + am ab + bm So s¸nh víi cã cïng mÉu sè b(b + m) b(b + m) NÕu a < b th× ab + am < ab + bm ab + am ab + bm a a+m VËy: hay < b(b + m) b(b + m) b b+m Cách 3: Nếu a < b thì am < bm => ab + am < ab + bm => a(b + m) < b(a + m) => a a+m b b+m …………………………………… http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (3) Tìm tất các số tự nhiên n > để Giải: n + 19 lµ ph©n sè tèi gi¶n n-2 Vì n là số cần tìm có tử số và mẫu số nên cần biến đổi cho n còn tử mẫu số n +19 thành tổng các phân số n-2 n + 19 n - + 21 n - 21 21 1 n -2 n-2 n-2 n-2 n-2 Muốn n + 19 21 lµ ph©n sè tèi gi¶n th× ph¶i lµ ph©n sè tèi gi¶n n-2 n-2 hay 21 và n – là nguyên tố cùng nhau, mà 21 chia hết cho và nên (n – 2) không chia hết cho và Vậy n 3k + vµ n 7k + (k N) th× n + 19 tèi gi¶n N -2 ………………………………………… Với giá trị nào số tự nhiên a thì: 5a - 11 có giá trị lớn nhất, giá trị đó là bao nhiêu? 4a - 13 Giải: a có giá trị lớn tử số a không đổi, mẫu số b là nhỏ b 5a - 11 cho a chØ cã ë mÉu sè Vậy cần biến đổi 4a - 13 5a - 11 4(5a - 11) 20a - 44 5(4a - 13) + 21 21 4a - 13 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 21 5a - 11 Muốn có giá trị lớn thì ta cần tìm với giá trị nào a để có giá 4(4a - 13) 4a - 13 Biết trị lớn Muèn 21 cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× a ph¶i cã gi¸ trÞ nhá nhÊt 4(4a - 13) Giá trị nhỏ a để phép trừ 4a – 13 thực là a = Khi đó 5a - 11 5a - 11 3, đó là giá trị lớn 4a - 13 4a - 13 ……………………………………… Tính giá trị phân số: 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 Giải: Ta thấy tử và mẫu phân số là tổng bốn số hạng, số hạng là tích ba thừa số Ta có: http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (4) 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 1.2.4 1.2.4.2.2.2 1.2.4.4.4.4 1.2.4.8.8.8 = 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 1.3.4 1.3.4.2.2.2 1.3.4.4.4.4 1.3.4.8.8.8 1.2.4(1 23 43 83 ) = 1.3.4(1 23 43 88 ) …………………………………… Tìm phân số tối giản biết giá trị nó không thay đổi cộng tử số với và mẫu số với Giải: a a a+6 Suy ra: Theo đầu bài ta có: b b b+8 a A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b => b Gọi phân số cần tìm là Vậy phân số đã cho là ……………………………………… Cho phân số Giải: Giả sử a a+b tèi gi¶n, h·y gi¶i thÝch còng tèi gi¶n b b a+b kh«ng tèi gi¶n th× a + b vµ b cã UCLN = d > b Suy (a + b) chia hết cho d và b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d đó a chia hết cho d Điều đó có nghĩa là a và b cùng có UC là d khác 1, tức là phân số a kh«ng tèi gi¶n (®iÒu nµy tr¸i víi ®Çu bµi) b a+b lµ ph©n sè tèi gi¶n Vậy b ………………………………………… Chứng minh phân số sau tối giản với n là số tự nhiên lớn 0: Giải: 8n + 6n + Giả sử a là số tự nhiên lớn 0, phân số 8n + 6n + không tối giản thì ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > Suy (8n + 5) d và (6n + 4) d Do đó [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = d vô lý http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (5) Vậy 8n + lµ ph©n sè tèi gi¶n 6n + ……………………………………… 10 Tìm tất các số tự nhiên n lớn 0, để Giải: 4n + 5n + có thể rút gọn được? 4n + cã thÓ rót gän ®îc th× 4n + vµ 5n + có ƯCLN là d > 1, ta 5n + (4n +5) d và (5n + 4) d, đó (20n + 25) d (1) và (20n + 16) d (2) Từ (1) và(2) ta d, phân số rút gọn thì tử số và mẫu số chia hết cho Vì (5n + 4) và (4n + 5) chia hết cho nên (n – 1) hay n = 3k + (k 0) NÕu ………………………………… 11 Tìm tất các số tự nhiên n để: Giải: n 2n lµ sè tù nhiªn n-2 n 2n n (n - 2) + n n - 3 = n2 n-2 n-2 n-2 n-2 n-2 Muốn là số tự nhiên thì n – phải là ước 3, đó n – = n-2 n – = Vậy n = n = ……………………………………… 12 Hãy chứng tỏ rằng: Giải: Ta thấy từ 1 1 41 42 43 79 80 12 1 đến cã 40 ph©n sè 41 80 Tất các phân số trên có tử số là Ta có thể nhóm các phân số thành nhóm dựa vào kiến thức so sánh các phân số có tử số giống 1 1 41 42 43 79 80 1 1 1 = 59 60 61 62 79 80 41 42 1 1 vµ (2) Vì 41 60 61 80 Vậy: http://kinhhoa.violet.vn (1) Lop6.net (6) 1 1 1 60 60 80 80 80 80 60 60 20 20 1 (3) = 60 80 12 12 1 1 Từ (1), (2), (3) ta được: 41 42 43 79 80 12 Ta lại có: …………………………………… 13 Tính giá trị biểu thức: S= 1 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Giải: Biến đổi phân số dạng tổng quát ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3+n-n 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 n +3 n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Áp dụng kết này vào bài tập đã cho ta có: 1 1 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4 1 1 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 1 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Cộng vế ta được: S= 1 1 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 14 Cho hai phân số 4 a c a-b a b vµ H·y chøng tá r»ng: 4 b d c-d c d http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (7) Giải: Tõ a c a b a-b ta cã b d c d c-d Vì thân nó lần ta được: a b a-b c d c-d nên phân số nhân với chính a-b (1) c-d a b4 Mà (2) c4 + d 4 4 a-b a b Từ (1) và (2) ta có 4 c d c d a b a + b2 a th× 15 Hãy chứng tỏ b c b c2 c a b4 = = c4 d4 a b4 = = c4 d4 Giải: Từ Từ Từ a b a a b b a b2 a b2 suy = b c b b c c b c b c2 a b suy b ac b c a + b2 b2 a + b a.c a , thay b a.c vµo ta cã: b2 c2 c2 b c2 c2 c ……………………………………………………………………………… http://kinhhoa.violet.vn Lop6.net (8)