Đang tải... (xem toàn văn)
Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp... Phép cộng trừ các phân thức đại số.[r]
(1)Phép cộng ( trừ ) các phân thức đại số Gi¸o viªn : Vò Thµnh Trung Phép cộng các phân thức đại số Phép Trừ các phân thức đại số I LÝ thuyÕt: Muốn cộng ( hay trừ ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng ( hay trừ ) các tử thức với và giữ nguyên mẫu thức Muốn cộng ( hay trừ ) hai phân thức không cùng mẫu thức trước hết ta quy đồng mẫu thức, ta cộng ( hay trừ ) các tử thức với và giữ nguyên mẫu thức II Bµi tËp Bµi 1:: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a), x2 y2 3x x 2x b) , ; c, x y yx 2 x4 4 x x 2x 2x x 2x e, g, d, x 2x 4x 4x 5x 20 x x2 1 1 x 2x 2 x 2x x x 2x Bµi 2.Thùc hiÖn phÐp tÝnh 1 2x ; x 1 1 x x 1 a, b, x 1 1 1 x x 17 2x 1 c) 2 x2 4 x x 1 x x 1 1 x ( x 2) 3 x 1 x 1 x x 1 d) Bµi tËp 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh 1 a, 3x 3x 2a 2a b, 2a 2a c, x3 x 9 Bµi tËp :Thùc hiªn phÐp tÝnh 1 2x x 1 x 1 1 x2 a, b, x 1 1 x 1 x2 ( x 2) c) x x4 1 x2 Bài tập 5:Tìm a ,b và c để có a) 4x a b x 3x x x Do đó ta có đồng thức : 4x ( a b) x 2a b 4x - 7= (a + b)x – 2a – b x 3x x 3x 2 a b trõ vÕ víi vÕ cho ta ®îc a =3 thay a=3 vµo a +b = ta ®îc b = 2 a b VËy a = ; b = b) c) x2 x x 1 A B x 1 x 1 C x 1 HD: §¸p sè A= 2, B= 1, C= x2 2x 1 A Bx C 2 x 1x 1 x x Lop8.net (2) Phép cộng ( trừ ) các phân thức đại số Gi¸o viªn : Vò Thµnh Trung A B 1 Quy đồng mẫu thức vế phải: x + 2x -1 = A( x + ) + ( Bx+C )( x-1)=> C B => A C 1 d) x2 A B x x x ( x 1) Bµi Cho hai biÓu thøc P = A 1 B C ( §¸p sè A= 1; B =- ) 79 x 1990 x 142431 ax b c ; Q= x x 2006 x 10030 x 2006 x 1) Xác định a, b, c để P = Q với x 2) TÝnh gi¸ trÞ cña P x 2005 2006 Tr¶ lêi: 1) a = ; b = 2005 ; c = 76 2) P = - 17,99713 ; x Ví dụ : Thực phép tính x3 x2 1 a) x 1 x 1 x 1 1 x 2005 2006 2 2 2 2 x y x a y a x b y b b) 2 ab a a b b a b 2x x2 2 x 2 x Bài giải 3 x x x 1 x2 x3 x a) x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 c) x3 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 d) x 1x x 1 x 1x 1 x3 x2 1 x 2 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 2 2 2 2 x y x a y a x b y b b) 2 ab a a b b a b x y a b b x a y a a x b y b a 2b a b a x y b x y b x y a 2b x a 2b y a 4b a x y a 2b x a 2b y a 2b a 2b a b a 2b a b a 2b a b x3 x3 x2 1 x2 c) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x3 x2 1 x x x 1x x 1 x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 x x x x x 6 x 2x x2 d) 2 x 2 x 2 x 2 x x2 Lop8.net (3) Phép cộng ( trừ ) các phân thức đại số Ví dụ : Chứng minh đẳng thức Gi¸o viªn : Vò Thµnh Trung 1 x x 1 x x 1 1 a a a 3a a 5a a Bài giải x 1.1 1.x x x 1 Ta có : x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 1 1 Áp dụng tính tổng : S a a a 3a a 5a a 1 1 S a a 1 a 1a a a 3 a Áp dụng tính tổng : S S 1 1 1 1 a a 1 a 1 a a a a a TÝnh tæng c¸c ph©n thøc sau: 1 1 … + x( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 2003)( x 2004) Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B = 2n 2 (1.2) (2.3) (3.4) n(n 1)2 Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách phân thức thành hiệu hai phân thức dùng phương pháp khử liên tiếp n(n 2) 2n (n 1) n 1 Ta coù : => B = …=1 2 2 (n 1) (n 1) n (n 1) n(n 1) n (n 1) 1 1 1 ( ); B ( ); C ( 2) Ví duï 3:Cho A = ( x y) x y ( x y) x y x y x y Thực phép tính A+B+C 2( y x) ( y x )( y x) Giải:Rút gọn biểu thức A = …= 4 ;Tính B+C =…= ( x y) x y x y ( x y) yx Tính A+B+C = …= 4 x y Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trị biểu thức 2005a b c P= ab 2005a 2005 bc b 2005 ac c Giaûi:Ta khoâng theå QÑMT Thay 2005 =abc abc.a b c =>P = ab abc.a abc bc b abc ac c Baøi 7: m n HD:m=1;n=-1 x( x 1) x x 1 1 b)Rút gọn biểu thức:M= a 5a a a 12 a 9a 20 a 11a 30 a)Tìm các số m,n để : Lop8.net (4) Phép cộng ( trừ ) các phân thức đại số Gi¸o viªn : Vò Thµnh Trung 1 Tương tự (a 2)(a 3) a a 1 Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức :A = 1 x 1 x 1 x 1 x x8 Giải:Do đặc điểm bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng tùng phân thức 2 4 16 A= 2 4 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 16 1 2a 4a 8a 16a15 Bµi tËp: TÝnh tæng: DS: 16 16 a b a b a b a b a b8 a b HD:Tách phân thức: Bài 5:Rút gọn biểu thức ; 2n 12 12 32 52 a ) A 1 1 1 1 ; b) B 2n 2 n 33 n c)C 33 n 1.3 2.4 3.5 (n 1)(n 1) 1.2.3.4 (n 1) 3.4.5 (n 1) n n HD:A= 2.3.4 n 2.3.4 n n 2n n2 B= ; 2n (2 1)(2 2.1 12 ) (n 1)(n n 1) (2 1)(2 2.1 12 ) (n 1)(n n 1) 1.2.3 (n 1) (2 1)(3 1) (n n 1) 3.4.5 (n 1) (2 1)(3 1) (n n 1) 1.2 7.13.21 (n n 1)(n n 1) 1.2 n n 2(n n 1) n(n 1) n(n 1) 3n(n 1) 3.7.13 (n n 1) Bài 6:Rút gọn các biểu thức: 1 1 1 1 a) A ; b) B 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 1 1 c)C 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) HD: a) 1 (n 1)n n n 1 1 11 n 1 Keát quaû B (3n 2)(3n 5) 3n 3n 3n 2(3n 5) 1 1 (n - 1)(n 2) c) Keát quaû : (n 1)n(n 1) (n 1)n n(n 1) 4n(n 1) b) Bài 9:Cho a+b+c =0 (a 0; b 0; c 0) Rút gọn biểu thức : a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 HD:Ta coù a+b+c = =>a3+b3+c3=3abc vaø a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a2-b2-c2=2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại b2-c2-a2=2ac; c2-a2-b2 = 2ab A= Lop8.net (5) Phép cộng ( trừ ) các phân thức đại số Gi¸o viªn : Vò Thµnh Trung , m///////// a2 b2 c2 a3 b3 c3 2bc 2ac 2ab 2abc 1 ab bc ca Bài 10:Cho 0Tính giá trị biểu thức : P a b c c a b 3 HD:Vận dụng công thức x+y+z = => x +y +z = 3xyz Áp dụng giải : 1 ab bc ca abc abc abc 3 Do đó P 3 abc a b c c a b c b a a b c Bài 11:Cho a3+b3+c3=3abc.Tính giá trị biểu thức A= 1 1 1 b c a abc HD:Từ a3+b3+c3=3abc <=>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0<=> …<=> 2 a b c ab ac cb Thay vào biểu thức:A = Neáu a+b+c =0 thì A = …= -1 Nếu a2+b2+c2-ab-ac-bc =0 <=> (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = <=> a=b=c Khi đó A = Baøi 12:Cho a+b+c = a b a b b c c a c Tính giá trị biểu thức :A = a b a b b c c a c ab bc ca HD:Goïi M = ,ta coù a b c c c bc ca c b bc ac a M 1 ab ab a b ab ab c (a b)(c a b) 2c 2c 1 1 ab ab ab abc Tương tự cho các trường hợp còn lại: c a b 2(a b c ) M M 3 (Vì a3+b3+c3=3abc) A = M ab bc ca abc a b c Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0, Chứng minh ax2+by2+cz2=0 x y z 1 HD:Từ x+y+z =0 => x2 = (y+z)2 Tương tự cho các trường hợp còn lại Do đó ax2+by2+cz2=a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 =a(y2+2yz+z2)+b(x2+2xz+z2)+c(x2+2xy+y2)= Khai trieån ta coù =x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1) a b c Thay b+c =-a; a+b =-c; a+c = -b vaø ayz+bxz+cxy = 0( vì )vaøo (1)Ta coù ax2+by2+cz2=x y z ax2-by2-cz2=>…=> ax2+by2+cz2=0 a b c a b c 0Chuùng minh raèng : 0 Baøi 14:Cho 2 bc ca ab (b c) (a c) ( a b) HD:Từ a b c b ba ca c a b c => bc ac ba (a c)(b a ) bc ca ab Nhaân hai veá cho a b ba ca c (1) bc (b c) (a b)(b c)(c a ) Tương tự cho các trường hợp còn lại: Lop8.net (6) Phép cộng ( trừ ) các phân thức đại số Gi¸o viªn : Vò Thµnh Trung b c bc ba a c a ca cb b ; ( ) (3) (a c) (b c)(c a )(a c) (a b) (c a )(a b)(b c) a b c 0 Coäng (1),(2)vaø (3)Ta coù 2 (b c) (a c) ( a b) a b c a2 b2 c2 1; Chứng minh 0 bc ca ab bc ca ab a b c Cho a+b+c ta coù : HD:Nhaân hai veá cuûa bc ca ab a a (b c) b b(c a ) c c(b a ) abc bc ca ab a2 b2 c2 a b c abc bc ca ab =>Điều phải chứng minh a 3ab 2a 5ab 3b a an ab bn Bài 16 Chứng minh đẳng thức: a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab Baøi 15: HD: Rót gän vÕ tr¸i vµ vÕ ph¶i Bµi 17: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (§Ò thi HSG miÒn b¾c 1962 ) ab 3b a 1 2 2 (b c)(a ac b bc) (c a )(ab c ac b ) (a b)(c bc a ab) ( §Ò thi HSG líp tßan quèc 1980 ) HD: Quy đồng kết a a 2a Bµi 18 Cho A = Rót gän råi so s¸nh A víi A a a a 1 HD: A= a a 2a (a 1) (a 1) (a 1) = = a4 a3 a 1 a a 1 (a 1) (a a 1) Ta cã tö thøc : (a – 1)2 + MÉu thøc : a2 – a + = (a - 3 ) + 4 Suy A > víi mäi a kh¸c -1 nªn A = A Lop8.net (7)