a, T×m c¸c h×nh thang trong h×nh vÏ b, Chứng minh rằng hình thang BDEC có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.. Gv cho hs đọc đề và vẽ hình.[r]
(1)Buæi Nhân đơn thức với đa thức §a thøc víi ®a thøc I Môc tiªu - Rèn luyện cho học sinh các phép toán nhân đơn thức với đa thức và đa thức với đa thøc Chó ý kü n¨ng vÒ dÊu, quy t¾c dÊu ngoÆc, quy t¾c chuyÓn vÕ - Rèn cách nhận biết hình thang, các yếu tố chứng minh liên quan đến góc - RÌn kü n¨ng tÝnh to¸n, chøng minh cho häc sinh II- TiÕn tr×nh lªn líp A §¹i sè 1Lý thuyÕt GV cho häc sinh nh¾c l¹i: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Quy t¾c dÊu ngoÆc Quy t¾c chuyÓn vÕ HS tr¶ lêi theo yªu cÇu cña GV 2Bµi tËp Bµi tËp 1: Lµm tÝnh nh©n a, (x2 + 2xy – ) ( - xy ) b, 2 x y ( 2x2 – xy2 – ) c, ( x – )( x – ) d, ( x- )( x + 1)( x + ) Gv cho hs lªn b¶ng Hs lªn b¶ng Gợi ý : phần d nhân hai đa thức đầu với sau đó nhân với đa thức thứ ba Gv ch÷a lÇn lît tõng c©u Trong ch÷a chó ý häc sinh c¸ch nh©n vµ dÊu cña c¸c h¹ng tö, rót gän ®a thøc kÕt qu¶ tíi tèi gi¶n KÕt qu¶: a, - x3y – 2x2y2 + 3xy b, x5y – 3 xy – xy c, x2 – 12 x + 35 d, x3 + 2x2 – x – Bµi tËp 2: Rót gän c¸c biÓu thøc sau a, x( 2x2 – ) – x2( 5x + ) + x2 b, 3x ( x – ) – 5x( – x ) – ( x3 – ) Gv hái ta lµm bµi tËp nµy nh thÕ nµo? Hs: Nhân đơn thức với đa thức Thu gọn các hạng tử đồng dạng Gv lưu ý học sinh đề bài có thể là rút gọn, hay tính, hay làm tính nhân thì cách làm hoµn toµn t¬ng tù Lop8.net (2) Cho häc sinh lªn b¶ng Gọi học sinh lớp nhận xét, bổ sung KÕt qu¶: a, -3x2 – 3x b, - 11x + 24 Bµi tËp 3: T×m x biÕt a, 2x ( x – ) – x( + 2x ) = 26 b, 3x ( 12x – 4) – 9x( 4x – ) = 30 c, x ( – 2x ) + 2x( x – 1) = 15 Gv hướng dẫn học sinh thu gọn vế trái sau đó dùng quy tắc chuyển vế để tìm x Gọi hs đứng chỗ làm câu a Gv söa sai lu«n nÕu cã a, 2x( x – ) – x ( + 2x ) = 26 2x.x – 2x.5 – x.3 – x.2x = 26 2x2 – 10x – 3x – 2x2 = 26 ( 2x2 – 2x2 ) + ( -10x – 3x ) = 26 -13x = 26 x = 26:( -13) x = -2 vËy x = -2 Gv cho học sinh làm câu b,c tương tự Hai em lên bảng Ch÷a chuÈn KÕt qu¶ b, x = c, x = Bµi tËp 4: Chøng minh r»ng a, ( x – )( x2 + x +1 ) = x3 – b, ( x3 + x2y + xy2 + y3 )( x – y ) = x4 – y4 Gv hái theo em bµi nµy ta lµm thÕ nµo Hs trả lời: ta biến đổi vế trái thành vế phải Gv lưu ý học sinh ta có thể biến đổi vế phải thành vế trái, biến đổi hai vế cùng b»ng biÓu thøc thø Cho häc sinh thùc hiÖn KÕt qu¶ : a, ( x – )( x2 + x +1 ) = x.x2 + x.x +x.1 – 1.x2 – 1.x – 1.1 = x3 + x2 + x - x – x – = x3 + ( x2 – x2) + ( x – x ) – = x3 - VËy vÕ tr¸i b»ng vÕ ph¶i b, làm tương tự Lop8.net (3) Buæi Hằng đẳng thức I.Môc tiªu -Luyện tập các kiến thức đẳng thức -Lµm c¸c bµi to¸n ¸p dông H§T 1,2,3 II Các hoạt động dạy học Nêu tên và công thức bảy đẳng thức đã học Hs: Bình phương tổng (A+B)2= A2+ 2AB + B2 Bình phương hiệu (A-B)2= A2- 2AB - B2 Hiệu hai bình phương A2- B2= (A+B)(A-B) 4.Lập phương tổng (A+B)3= A3+ 3A2B+3A B2+B3 Lập phương hiệu (A-B)3 = A3- 3A2B+3A B2-B3 Tổng hai lập phương A3+B3=(A+B)( A2- AB + B2) Hiệu hai lập phương A3-B3=(A-B)( A2+AB + B2) Bµi tËp: D¹ng 1: Tr¾c nghiÖm Điền vào chỗ để các khẳng định đúng a/ ( + )2 = x2+ + 4y4 b/ ( - )2 = a2 – 6ab + c/ ( + )2 = +m + d/ 25a2 - = ( + b ) ( - b) D¹ng 2: Dïng H§T triÓn khai c¸c tÝch sau Lop8.net (4) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ (2x – 3y) (2x + 3y) (1+ 5a) (1+ 5a) (2a + 3b) (2a + 3b) (a+b-c) (a+b+c) (x + y – 1) (x - y - 1) D¹ng 3: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 1/ M = (2x + y)2 – (2x + y) (2x - y) y(x - y) víi x= - 2; y= 2/ N = (a – 3b)2 - (a + 3b)2 – (a -1)(b -2 ) víi a = ; b = -3 3/ P = (2x – 5) (2x + 5) – (2x + 1)2 víi x= - 2005 4/ Q = (y – 3) (y + 3)(y2+9) – (y2+2) (y2 - 2) D¹ng 4: T×m x, biÕt: 1/ (x – 2)2- (x+3)2 – 4(x+1) = 2/ (2x – 3) (2x + 3) – (x – 1)2 – 3x(x – 5) = - 44 3/ (5x + 1)2 - (5x + 3) (5x - 3) = 30 4/ (x + 3)2 + (x-2)(x+2) – 2(x- 1)2 = D¹ng So s¸nh a/ A=2005.2007 vµ B = 20062 b/ B = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) vµ B = 232 c/ C = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) vµ B= 332-1 D¹ng 6: TÝnh nhanh a/ 1272 + 146.127 + 732 b/ 98.28 – (184 – 1)(184 + 1) c/ 1002- 992 + 982 – 972 + + 22 – 12 e/ 1802 2202 1252 150.125 752 f/ (202+182+162+ +42+22)-( 192+172+ +32+12) Buæi H×nh thang – H×nh thang c©n I Môc tiªu - RÌn kü n¨ng tÝnh to¸n, chøng minh cho häc sinh - Rèn cách nhận biết hình thang, các yếu tố chứng minh liên quan đến góc II- TiÕn tr×nh lªn líp Bài Cho hình thang ABCD đáy AB, DC có góc A trừ góc D 200 góc B hai lÇn gãc C TÝnh c¸c gãc cña h×nh thang Lop8.net (5) Gv cho học sinh đọc đề vẽ hình ghi gt, kl A B D C Gt: ABCD, AB // CD, A D 200 , B 2C Kl: TÝnh gãc A, B, C, D Gv hái: §Ó tÝnh gãc A, D ta dùa vµo yÕu tè nµo gt Hs: tr¶ lêi Gv hái: Em tÝnh ®îc gãc A céng gãc D kh«ng, v× Hs tr¶ lêi: gãc A céng gãc D b»ng 180o lµ hai gãc kÒ mét c¹nh Gv cho hs tÝnh gãc A, D Ta cã A D 200 ( gt ) A D 1800 2A 2000 A 1000 D 1000 200 800 Gv cho häc sinh tù tÝnh gãc B, C Bµi tËp 2: Cho tam gi¸c ABC c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C c¾t t¹i I qua I kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t c¸c c¹nh AB, AC ë D vµ E a, T×m c¸c h×nh thang h×nh vÏ b, Chứng minh hình thang BDEC có cạnh đáy tổng hai cạnh bên Gv cho hs đọc đề và vẽ hình Hs thùc hiÖn A D B j E C Chøng minh a, Gv cho häc sinh chØ c¸c h×nh thang trªn h×nh vÏ Gi¶i thÝch v× lµ h×nh thang Hs : - Tø gi¸c DECB lµ h×nh thang v× cã DE song song víi BC Lop8.net (6) Tø gi¸c DICB lµ h×nh thang v× DI song song víi BC Tø gi¸c IECB lµ h×nh thang v× EI song song víi BC b, Gv :? C©u b yªu cÇu ta lµm g× Hs tr¶ lêi: DE = BD + CE Gv? DE = ? Hs: DE = DI + IE Gv cho häc sinh chøng minh BD = DI, CE + IE Hs: thảo luận nhóm nhỏ để chứng minh Ta cã DE // BC nªn DIB IBC ( so le trong) Mµ DBI CBI (do BI lµ ph©n gi¸c) Nªn DIB DBI tam gi¸c BDI c©n t¹i D DI BD (1) Chứng minh tương tự ta có IE = EC (2) Tõ vµ ta cã DE = BD + CE Gv gi¶i thÝch cho häc sinh hiÓu t¹i ta kh«ng chøng minh BC = BD + CE Bµi 3: Cho h×nh thang ABCD ( AB // CD ) E lµ trung ®iÓm cña AD, F lµ trung ®iÓm cña BC §êng th¼ng EF c¾t BD ë I, c¾t AC ë K a, Chøng minh r»ng AK = KC; BI = ID b, Cho AB = cm, CD = 10cm Tính các độ dài EI, KF, IK Gv cho hs đọc đề, vẽ hình A E B j k D F C Gv hỏi: nêu hướng chứng minh câu a Hs: ta chøng minh EF lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang Suy EF // AB // CD Tam gi¸c ABC cã BF = FC vµ FK // AB nªn AK = KC Tam gi¸c BDC cã AE = ED vµ EI // AB nªn BI = ID Gv cho häc sinh tr×nh bµy hoµn chØnh chøng minh Gv quan s¸t nh¾c nhë häc sinh lµm bµi Hs lµm bµi b, Gv gọi học sinh đứng chỗ làm, ghi bảng V× FE lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD Suy FE = 1/2 ( AB + DC ) ( tÝnh chÊt ®êng TB ) = 1/2 ( + 10 ) = cm Trong tam gi¸c ADB cã EI lµ ®êng trung b×nh ( v× EA = ED, FB = FC ) Lop8.net (7) Suy EI = 1/2 AB ( t/c ®êng trung b×nh ) EI = 1/2 = cm Trong tam gi¸c BAC cã KF lµ ®êng trung b×nh ( FB = FC , KA = KC ) Suy KF = 1/2 AB = 1/2 = cm L¹i cã: EI + IK + KF = FE + IK + = Suy IK = – - = cm Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A Trªn c¸c c¹nh AB, AC lÊy c¸c ®iÓm M, N cho BM = CN a) Tø gi¸c BMNC lµ h×nh g× ? v× ? b) TÝnh c¸c gãc cña tø gi¸c BMNC biÕt r»ng AA = 400 A GV cho HS vÏ h×nh , ghi GT, KL 1800 - AA A A a) ABC c©n t¹i A => B = C = mµ AB = AC ; BM = CN => AM = AN => AMN c©n t¹i AM A A = N A = 180 - A => M 1 A A Suy B = M đó MN // BC B Tø gi¸c BMNC lµ h×nh thang, l¹i cã BA = CA nªn lµ h×nh thang c©n A = N A = 1100 b) BA = CA = 700 , M Buæi 4,5 Hằng đẳng thức Bài 1:Điền vào chỗ để khẳng định đúng.(áp dụng các HĐT) 1/ 3/ 5/ 7/ 9/ (x-1)3 = x3 +y3 = a3 +8 = (x -2)(x2 + 2x +4) = a3 +3a2 +3a + = 2/ (1 + y)3 = 4/ a3- = 6/ (x+1)(x2-x+1) = 8/ (1- x)(1+x+x2) = 10/ b3- 6b2 +12b -8 = Bµi 2: Thùc hiÖn tÝnh 1/ (x+y)3+(x-y)3 Lop8.net N C (8) 2/ (x+3)(x2-3x + 9) – x(x – 2)(x +2) 3/ (3x + 1)3 4/ (2a – b)(4a2+2ab +b2) Bài 3: Chứng minh đẳng thức 1/ (x + y)3 = x(x-3y)2 +y(y-3x)2 2/ (a+b)(a2 – ab + b2) + (a- b)(a2 + ab + b2) =2a3 3/ (a+b)(a2 – ab + b2) - (a- b)(a2 + ab + b2) =2b3 4/ a3+ b3 =(a+b)[(a-b)2+ ab] 5/ x3- y3+xy(x-y) = (x-y)(x+y)2 6/ x3+ y3- xy(x+y) = (x+ y)(x – y)2 Bµi 4: T×m x? BiÕt: 1/ (x+3)(x2-3x + 9) – x(x – 2)(x +2) = 15 2/ (x+2)3 – x(x-3)(x+3) – 6x2 = 29 Bµi 5: Bµi tËp tæng hîp Cho biÓu thøc : M = (x- 3)3 – (x+1)3 + 12x(x – 1) a) Rót gän M b) Tính giá trị M x = c) Tìm x để M = -16 Bài giải sơ lược : a) M = x3 -9x2 + 27x – 27 – (x3 + 3x2 +3x +1) + 12x2 – 12x = x3 -9x2 + 27x – 27 – x3 - 3x2 -3x -1 + 12x2 – 12x = 12x – 28 b) Thay x = - ta ®îc : c) M = -16 12x – 28 = -16 M = 12.( - ) – 28 = -8 – 28 = - 36 12x = - 16 +28 12x = 12 x = VËy víi x = th× M = -16 Bài 6: Rút gọn biểu thức a/ (x+y)2 + (x - y)2 Đáp số: a/ 2(x2+y2) b/ 2(x-y)(x+y)+(x+y)2+(x-y)2 b/ 4x2 Lop8.net (9) c/ (x-y+z)2 + (z-y)2 + (x-y+z) ( y-z) (hướng dẫn câu c, vì (z-y)2 -(y-z)2 Do đó ta được: [(x-y+z)+(y-z)]2 =x2 Bài 7: Tính giá trị các biểu thức sau: a/ x2 - y2 taïi x = 87 vaø y = 13 Đáp số: a/ 7400 b/ x3 - 3x2 +3x-1 taïi x = 101 b/ 1003 = 1000000 c/ x3 + 9x2 +27x + 27 taïi x = 97 c/ 1003 = 1000000 (hướng dẫn: đưa dạng HĐT vào tính kết quả) Bài 8: Chứng minh rằng: a/ (a+b)(a2-ab+b2)+(a-b)(a2+ab+b2) = 2a3 b/ a3+b3 = (a+b) [(a-b)2+ab] c/ (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 (Hướng dẫn: Biến đổi vế kết luận) Bài 9: Chứng tỏ rằng: a/ x2 - 6x + 10 > x Đáp số: a/ = (x-3)3+1 > x b/ 4x - x2 -5<0 x b/ = -(x2-4x+4)-1= -(x-2)2-1<0 Bµi 10 a) Trắc nghiệm đúng ,sai §óng(§) hay C©u Các mệnh đề sai (S) (x -2)(x -2x+4) = x – (2x – y)(2x + y) = 4x2-y2 (2x +3)(2x – 3) = 2x2 -9 9x2 – 12x +4 = (3x -2)2 x3 -3x2 + 3x +1 = (x-1)3 x2 – 4x +16 = (x-4)2 b) Điền vào chỗ để các khẳng định đúng 1/ ( + )2 = 4x2 + +1 2/ (2 –x)( + + ) = – x3 3/ 16a2 - = ( + 3)( – 3) 4/ 25 - +9y = ( - )2 Bµi 11 Cho biÓu thøc : A = (x – 2)2 – (x+5)(x – 5) Lop8.net (10) a) Rót gän A b) Tìm x để A = c) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x = - Bµi 12: TÝnh nhanh 1) 20062 -36 2) 993 + + 3(992+ 99) Bµi 13:(2 ®iÓm) CMR BiÓu thøc sau cã gi¸ trÞ kh«ng ©m a) B = x2- x +1 b) C = 2x2 + y2 -2xy – 10x +27 Lop8.net (11) Buæi 7,8,9 Ph©n tÝch §a thøc thµnh nh©n tö A) DẠNG 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: 1) a) b) c) d) e) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3x – 3y b) 2x2 + 5x3 + x2y c) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 d) x(y – ) – y(y – 1) e) 10x(x – y) – 8y(y – x) Giaûi: 3x – 3y = 3(x – y) 2x2 + 5x3 + x2y = x2(2 + 5x + y) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 = 7xy( 2x – 3y + 4xy) x(y – ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = (x – y)(5x + 4y) 2) Tìm x , bieát : a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = b) 5x2 = 13x Giaûi: a) Ta coù : 5x(x – 2000) – x + 2000 = 5x(x – 2000) – (x – 2000) = =0 (x – 2000)(5x – 1) x – 2000 = 5x – = x – 2000 = x = 2000 5x – = 5x = x = Vậy x = 2000 x = 2 b) 5x = 13x 5x – 13x = x(5x – 13 ) = 5x = 5x – 13 = x=0 13 5x – 13 = x = 13 Vậy x = x = 3) Chứng minh : 55n+1 – 552 chia hết cho 54 ( Với n là số tự nhiên ) Giaûi: n+1 Ta coù : 55 – 55 = 55n.55 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 Lop8.net (12) Maø 54 chia heát cho 54 neân 55n.54 ( ñpcm) ) Tính nhanh a) 15,8 35 + 15,8 65 b) 1,43 141 – 1.43 41 Giaûi: a) 15,8 35 + 15,8 65 = 15,8(35 + 65) = 15,8 100 = 1580 b) 1,43 141 – 1.43 41 = 1,43 ( 141 – 41 ) 1,43 100 =143 + Bài tập tương tự: 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 6x4 – 9x3 b) x2y2z + xy2z2 + x2yz2 c) (x + y ) – x3 – y3 d) 2x(x + 3) + 2(x + 3) 2) Tìm x , bieát a) 5x(x – 2) – x – = b) 4x(x + 1) = 8( x + 1) c) x(2x + 1) + - x = 3 d) x(x – 4) + (x – 4)2 = 3) Chứng minh : a) Bình phöông cuûa moät soá leû chia cho thì dö b) Bình phöông cuûa moät soá leû chia cho 8thì dö + Khái quat hóa bài toán : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = pm+2.q – pm+1.q3 – p2.qn+1+ p.qn+3 + Đề xuất bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x(x – 2y) + 8y(2y – x ) b) 3x(x + 7)2 – 11x2(x + + 9(x + 7) c) -16a4b6 – 24a5b5 – 9a6b4 d) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 B) DẠNG 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dung đẳng thức + Baøi taäp : 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 + 6x + b) 10x – 25 – x2 c) (a + b)3 + (a – b)3 d) (a + b)3 – (a – b)3 e) x3 + 27 f) 81x2 – 64y2 Lop8.net (13) g) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 Giaûi: a) x2 + 6x + = x2+ x + 32 = (x + 3)2 b) 10x – 25 – x2 = -( x2 – 2.x.5 + 52) = - (x – 5)2 c) (a + b)3 + (a – b)3= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2 = 2a[a2 + 2ab + b2 – (a2- b2) + a2 – 2ab + b2 = 2a(a2 + 3b2) d) (a + b)3 – (a – b)3 = [(a + b) - (a – b)][(a + b)2 + (a + b)(a – b) + (a – b)2] = ( a + b – a + b) (a2 + 2ab + b2 + a2- b2+ a2 – 2ab + b2 = 2b(3a2+ b2) e) x3 + 27 = ( x + 3)(x2 – 3x + 9) f) 81x2 – 64y2 = (9x)2 – (8y)2 = (9x + 8y)(9x – 8y) g) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.(2x).y2 + y3 = (2x + y)3 2) Tìm x , bieát : a) x2 – 25 = b) x2 – 4x + = Giaûi : a) x2 – 25 = ( x – )(x + 5) = x x 5 b) x2 – 4x + = x2 – 2.2x + 22 = (x – 2)2 = x–2=0 x=2 3) Chứng minh hiệu các bình phương hai số lẻ liên tiếp thì chia heát cho Giaûi: Goïi hai soá leû lieân tieáp laø 2a – vaø 2a + ( a laø soá nguyeân ) Hieäu caùc bình phöông cuûa chuùng laø: ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2 Ta thaáy ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2 = (2a + + 2a – )(2a + -2a + 1) = 4a.2 = 8a chia heát cho 4)Tính nhaåm: c) 732 – 272 d) 372 – 132 e) 20022 – 22 Lop8.net (14) Giaûi: a) – = ( 73 + 27) (73 – 27) = 100 46 = 4600 b) 372 – 132 = (37 – 13 )(37 + 13) = 24 50 = 1200 c) 20022 – 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000 2004 = 4008000 + Bài tập tương tự: 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 b) 8(x + y + z)3 – (x + y)3 – (y + z)3 – (z – x)3 c) 8x3 – 27 d) – x3 + 9x2 – 27x + 27 2) Tìm x , bieát : a) 4x2 – 49 = b) x2 + 36 = 3) Chứng minh với số nguyên n ta có : (4n + 3)2 – 25 chia heát cho 4) Tính nhanh giá trị biểu thức sau với a = 1982 M = (a + 4)2 + 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)2 + Khái quat hóa bài toán : - Chứng minh hiệu các bình phương hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho - Chứng minh hiệu các bình phương hai số chẳnû liên tiếp thì chia heát cho 16 + Đề xuất bài tập tương tự: 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) ( 3x – 2y)2 – (2x + y)2 b) 27x3 – 0,001 c) [4abcd + (a2 + b2)(c2 + d2)]2 – 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2 d) x6 + 2x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + 2) Chứng minh biểu thức : 4x(x + y) ( x + y + z)(x + y) y2z2 luôn luôn không âm với giá trị x , y và z C) DẠNG 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử + Baøi taäp : 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 + 4x – y2 + b) 3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2 732 272 Lop8.net (15) c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2 d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giaûi: a) x2 + 4x – y2 + = x2 +2.x.2 + 22 – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + – y)(x + + y) b) 3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2 = 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] = 3[(x + y)2 – z2] = 3(x + y + t)(x + y – z) c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 - 2zt + t2) = (x – y)2 – (z – t)2 = (x – y + z – t )(x – y – z + t) d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) + Caùch 1: Khai trieån hai soá haïng cuoái roài nhoùm caùc soá haïng laøm xuất nhân tử chung y – z x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) + y2z – y2x + z2x – z2y = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2- z2) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)[x(x – y) – z(x – y)] = (y – z )(x – y)(x – z) + Caùch 2:Taùch z – x = -[(y – z) + (x –y)] x (y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) – y2[(y – x) + (x – y)] + z2(x – y) = (y – z)(x2 - y2) – (x – y)(y2 – z2) = (y – z)(x + y)(x – y) – (x – y)(y + z)(y – z) = (y – z)(x – y)(x + y – y – z ) = (y – z)(x – y)(x – z) 2) Tìm x , bieát : a) x(x – 2) + x – = b) 5x(x – 3) – x + = Giaûi: a) x(x – 2) + x – = (x – 2)(x + 1) = x – = x +1 = x = x = -1 b) 5x(x – 3) – x + = 5x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(5x – 1) = x – = x – = x = x = + Bài tập tương tự: Lop8.net (16) 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 b) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 c) 27x3 + 27x2 + 9x + + + d) x2y + xy2 – x – y e) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z 2) Tìm x , bieát : a) x2 – 6x + = b) 9x2 + 6x – = c) x3 + x2 + x + = d) x3 - x2 - x + = + Khái quát hóa bài toán : Phân tích đa thức thành nhân tử : pm + q – pm + q3 – p2 qn + + pq n +3 + Đề xuất bài tập: 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) b) x(x + 1)2 + x(x – 5) – 5(x + 1)2 c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) x3z + x2yz – x2z2 – xyz2 2) Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa x , y cho: xy + = x + y 3) Phân tích đa thức thành nhân tử tính giá trị đa thức với x = 5,1 ; y = 3,1 đa thức : x2 – xy – 3x + 3y D) DẠNG 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phöông phaùp + Baøi taäp : 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a3 + b3 + c3 – 3abc b) (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 Giaûi: a) •° Caùch 1: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc Lop8.net (17) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b) c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac –bc + c2 – 3ab = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) • ° Caùch 2: a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + a2b + a2c + b3 + ab2 + b2c + c3 + ac2 + bc2 – a2b – abc - a2c – ac2 – abc –b2c – abc – bc2 = a2(a + b + c) + b2(b + a + c) + c2(c + a + b) – ab(a + b + c) – ac((a + c + b) – bc(b + a + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) • ° Caùch 1: Ñaët x – y = a ; y – z = b ; z – x = c, thì a + b + c = Khi đó theo câu a ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc = Hay a3 + b3 + c3 = 3abc Vaäy (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) •° Caùch 2: Để ý (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 Vaø (y – z) = (y – x) + (x – z ) 3 Do đó : (x – y) + (y –z ) + (z – x)3 = [(y – x) + (x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 +3(y – x)(x –z)[( y – x) + (x –z)]+ (x – z)3 – (x –z )3 – (y – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) ° Cách 3: Khai triển các đẳng thức sử dụng phương pháp đặt thừa số chung (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + y3 – 3y2z + 3yz2 – z3 + z3 – 3z2x + 3zx2 – x3 = - 3x2y + 3xy2 – 3y2z + 3yz2 – 3z2x + 3zx2 = 3(-x2y + xy2 – y2z + yz2 – z2x + zx2) = 3[-xy(x – y) – z2(x – y) + z(x – y)(x + y)] = 3(x – y)( - xy – z2 + xz + yz) = 3(x – y)[y(z – x) – z(z – x)] = 3(x – y)(z – x)(y –z ) 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tách các hạng tử: x3 – 7x – Lop8.net (18) Giaûi: ° Caùch 1: Taùch soá haïng -7x thaønh –x – 6x , ta coù : x3 – 7x – = x3 – x – 6x – = (x3 – x) – (6x + 6) = x(x + 1)(x – 1) – 6(x + 1) = (x + 1)(x2 – x – 6) Để tiếp tục phân tích đa thức x2 – x – thành nhân tử , ta lại tách số hạng – thành – – Khi đó : x3 – 7x – = (x + 1)(x2 – x – – ) = (x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2)] = (x + 1)(x + 2)(x – 3) ° Caùch : Taùch soá haïng – 7x thaønh – 4x – 3x , ta coù: x3 – 7x – = x3 – 4x – 3x – = x( x + 2)(x – 2) – 3(x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x – 3) Tiếp tục tách số hạng – nhân tử thứ hai thành – – , Ta coù: x3 – 7x – =(x + 2)(x2 – – 2x – 2) = (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2( x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x – ) ° Caùch 3: Taùch soá haïng – = – 14 , Ta coù: x3 – 7x – = x3 + – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7(x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x – 3) Tieáp tuïc taùch soá haïng – thaønh + – , Ta coù : x3 – 7x – = (x + 2)(x2 – 2x + – ) = (x + 2)[(x – 1)2 – 22] = (x + 2)(x + 1)(x – 3) 3) Dùng phương pháp đặt ẩn phụ , phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b) 4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 Ñaët: x2 Giaûi: + x + = y , ta coù x2 + x + = y + Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 Lop8.net (19) = y2 + y – 12 = y2 – + y – = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay x2 + x + = y , ta : (x2 + x + – 3)( x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5) b)4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Ñaët : x2 + xy + xz = m , ta coù : 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz , ta : (x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 4) Dùng phương pháp hệ số bất định để : a) Phân tích đa thức x3 – 19x – 30 thành tích hai đa thức bậc nhaát vaø baäc hai b) Phân tích đa thức x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Giaûi: a) Keát quaû caàn phaûi tìm coù daïng : (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Ta phaûi tìm boä soá a , b , c thoûa maõn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Vì hai đa thức này đồng , nên ta có: Vì a, c Z và tích ac = -30, đó a, c 1;2;3;5;6;10;15;30 Và a = , c = -15 , Khi đó b = -2 thỏa mãn hệ thức trên Đó là số phải tìm, tức là : x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Dể thấy không là nghiệm đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên , không có nghiệm hữu tỉ Như đa thức đã cho phân tích thành thừa số thì phaûi coù daïng Lop8.net (20) (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a c ac b d Suy : da bc bd Vaäy x4 Từ hệ này ta tìm a = b = d = , c = + 6x3 + 7x2 + 6x + = ( x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1) 5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + Giaûi: ° Caùch x5 + x + = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 + x + = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) ° Caùch : x5 + x + = x5 – x2 + x2 + x + = x2(x3 – 1) + 1(x2 + x + 1) = x2(x – 1)(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x2(x – 1) + 1] = (x2 + x + 1)[x3 – x2 + 1) 6)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 8x + 12 Giaûi: ° Caùch 1: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x + 12 = (x2 – 2x) – (6x – 12) = x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 6) ° Caùch : x – 8x + 12 = (x2 – 8x + 16) – = (x – 4)2 - 22 = (x – + 2)(x – – ) = (x – )(x – 6) ° Caùch : x2 – 8x + 12 = x2 – 36 – 8x + 48 = (x2 – 36) – (8x – 48) = (x + 6)(x – 6) – 8(x – 6) = (x – 6)(x + – 8) = (x – 6)(x – 2) Lop8.net (21)