Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bị thiếu nghiệm do trường hợp Δ ⊥ x′ x hệ số góc k không tồn tại, do đó ta phải xét thêm trường[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình đường thẳng ( Δ ) ta cần phaûi bieát: 1) (Δ) G qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông a = (a1, a2) seõ coù: ⎧ x = x0 + ta1 Phöông trình tham soá : ⎨ ⎩ y = y + ta Phöông trình chính taéc : (t ∈ R) x − x0 y − y0 = (a1, a2 ≠ 0) a1 a2 Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát : (A2 + B2 > 0) Ax + By + C = 2) (Δ) qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình : a(x – x0) + b(y – y0) = 3) i) Phương trình đường thẳng mặt phẳng có dạng Ax + By + C = với A2 + B2 > (1) ii) Phương trình đường thẳng mặt phẳng có dạng x = x0 y = kx + m (2) Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông + (2) ⇔ kx –y + m = ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - , C = m + Neáu B = ⇒ x = − daïng y = kx + m C A , có dạng x = x0 với x0 = − C A C Neáu B ≠ ⇒ y = − x − , coù A B B 3) ( Δ ) qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình : x − xA y − yA = neáu ( xB − xA ) ( yB − yA ) ≠ xB − x A yB − yA Lop6.net (2) Nếu ( Δ ) qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( Δ ) có đoạn chắn a, b với phương trình: x y + =1 a b * Ghi chuù: Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình dạng tổng quát và lưu ý : (Δ) : Ax + By + C = thì ( Δ ) coù : G moät phaùp vectô n = (A, B) G moät vectô chæ phöông a = (–B, A) JJJG A heä soá goùc k = tg( Ox , Δ ) = − B ( Δ′ ) // ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Ax + By + C0 = ( Δ′ ) ⊥ ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Bx – Ay + C0 = Ta tìm C0 biết thêm điểm nằm trên ( Δ′ ) Ngoài viết phương trình đường thẳng ( Δ ) theo hệ số góc k, bài toán có thể bị thiếu nghiệm trường hợp ( Δ ) ⊥ x′ x (hệ số góc k không tồn tại), đó ta phải xét thêm trường hợp ( Δ ) có phương trình x = C để xem đường thẳng ( Δ ) này có thỏa mãn điều kiện đầu bài không G Ghi chú - Nếu n = (A, B) là pháp véc tơ đường thẳng ( Δ ) thì G k n = (kA, kB) là pháp véc tơ ( Δ ) với số thực k ≠ JG - Nếu a = ( a1 ,a2 ) là véc tơ phương đường thẳng JG k a = ( ka1 ,ka2 ) là véc tơ phương ( Δ ) với số thực k khác II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = Ñaët : Lop6.net ( Δ ) thì (3) D= A1 B1 A2 B2 ; Dx = B1 C1 B2 C2 ; Dy = C1 A1 C2 A2 thì : Dx ⎧ ⎪⎪ x I = D D ≠ ⇔ (d1) caét (d2) taïi I ⎨ ⎪ y = Dy ⎪⎩ D D = và Dx ≠ Dy ≠ D = Dx = Dy = ⇔ (d1) // (d2) ⇔ (d1) ≡ (d2) với A2, B2, C2 ≠ ta có : Ghi chuù B1 C1 B2 C2 A1 B ≠ B2 A2 ⇔ (d1) caét (d2) A1 B C = ≠ B2 C2 A2 ⇔ (d1) // (d2) A1 B C = = B2 C2 A2 ⇔ (d1) ≡ (d2) = − C1 B1 C2 B2 ; C1 A1 C2 A2 = − A1 C1 A2 C2 III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo hai đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = thì cos α = (d2) : A2x + B2y + C2 = A1A + B1B2 A12 + B12 A 2 +B2 IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(xM, yM) đến đường thẳng (Δ) : Ax + By + C = ta áp dụng công thức : Lop6.net (4) d(M, Δ ) = Ax M + By M + C A + B2 Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( Δ ) đến điểm M(xM, yM) là : t= Ax M + By M + C A + B2 G Ñaët phaùp vectô n = (A, B) coù goác leân ( Δ ) thì : G t > điểm M và n nằm cùng bên ( Δ ) G t < điểm M và n nằm khác bên ( Δ ) Phương trình đường phân giác góc hợp đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = laø : A1x + B1y + C1 A + B1 2 = ± A x + B2 y + C2 A 2 + B2 Ví duï 1: Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC b) Tìm phương trình đường cao AH c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC Giaûi JJJG a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BC = (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ phương và qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá : ⎧x = + t ⎨ ⎩ y = + 3t ⇔ (t ∈ R) x−4 y−3 = (phöông trình chính taéc) ⇔ 3x – y – = laø phöông trình toång quaùt cuûa BC b) Δ ABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – = ⇒ pt AH : x + 3y + C1 = Lop6.net (5) A(–2, 1) ∈ AH Vaäy ⇔ –2 + 3(1) + C1 = ⇔ C1 = –1 pt AH : x + 3y – = c) Đường thẳng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – + C2 = Vaäy ⇔ C2 = pt Au : 3x – y + = Ví duï 2: Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5) a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính dieän tích tam giaùc ABK Giaûi a) K laø trung ñieåm cuûa AC ⇔ x A + xC ⎧ =2 ⎪⎪ x K = ⎨ ⎪y = y A + yC = ⎪⎩ K hay K(2, 2) Phöông trình caïnh BK : x−2 y−2 = −2 − 1− ⇔ x – 4y + = AH ⊥ BK ⇒ pt AH : 4x + y + C0 = A(1, - 1) ∈ AH ⇔ 4(1) + (–1) + C0 = ⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – = b) Dieän tích tam giaùc ABK laø S = AH = d A (BK ) = ⇒ S= 11 17 AH.BK với 1+ + 17 42 + 12 = 11 ( ñvdt ) Ví duï 3: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A có trọng tâm G ( ; ) , phương trình đường thẳng BC là x − y − = và 3 phương trình đường thẳng BG là x − y − = Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Lop6.net (6) Baøi giaûi ⎧x − 2y − = Tọa độ đỉnh B là nghiệm hệ pt ⎨ ⇒ B ( 0, −2 ) ⎩7x − 4y − = Vì ΔABC cân A nên AG là đường cao ΔABC Vì GA ⊥ BC ⇒ pt GA: 2(x − ) + 1(y − ) = ⇔ 2x + y − = ⇔ 2x + y − = 3 ⎧2x + y − = ⇒ GA ∩ BC = H ⎨ ⇒ H ( 2, −1) ⎩x − 2y − = ⎧x B + x C = 2x H ⎧x C = 2x H − x B = 2(2) − = ⇒⎨ Ta coù H laø trung ñieåm BC ⇒ ⎨ ⎩y B + y C = 2y H ⎩y C = 2y H − y B = 2(−1) − (−2) = x + xB + xC y + y B + yC ⇒ C ( 4,0 ) Ta coù : x G = A ⇒ A ( 0,3) vaø y G = A 3 Vaäy A ( 0,3) ,C ( 4, ) ,B ( 0, −2 ) Ví dụ ( ĐH KHỐI A -2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ⎛⎜ ;0 ⎞⎟ ,phương trình đường thẳng AB là ⎝ ⎠ x – 2y + = và AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết đỉnh A có hoành độ âm BAØI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + = ⇒ A (2a – 2, a) (a < 1) I laø trung ñieåm AC ⇒ C (3 – 2a, −a) BC qua C vaø BC ⊥ AB ⇒ pt BC : 2x + y + 5a – = AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, – a) Ta có : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = ⇔ a = hay a = (loại) Vaäy A (−2, 0) B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2) Ví dụ ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G ⎛ m ⎞ JJJG m JJJG m BAØI GIAÛI: G ⎜ 1; ⎟ ; GA = (−2; − ) ; GB = (3; − ) 3 ⎝ 3⎠ JJJG JJJG Tam giaùc GAB vuoâng taïi G ⇔ GA.GB = ⇔ −6 + m2 = ⇔ m = ±3 Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y − = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB BAØI GIAÛI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phöông trình AB: x −1 y −1 = −3 ⇔ 4x + 3y – = C ∈ ñt : x – 2y – = ⇒ C (2t + 1; t) Lop6.net (7) Ta coù: d (C, AB) = ⇔ 8t + + 3t − =6 ⎡t = ⎡11t − = 30 ⇔ 11t − = 30 ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ t = − 27 11t − = − 30 ⎣ ⎢⎣ 11 ⎛ 43 27 ⎞ Vaäy C (7; 3) hay C ⎜ − ; − ⎟ ⎝ 11 11 ⎠ Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) và hai đường thẳng chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là : x – 2y + = vaø 3x + y – = 0.Tính dieän tích cuûa tam giaùc ABC BAØI GIAÛI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phöông trình AC : 2x + y + m = A(1; 0) ∈ AC ⇒ + m = ⇒ m = −2 Phöông trình AC : 2x + y – = ⎧ 2x + y − = Vaäy t ñ C laø nghieäm cuûa ⎨ ⇒ C(−1; 4) ⎩ 3x + y − = Vì AB ⊥ CC' ⇒ phöông trình AB : x – 3y + n = A(1; 0) ∈ AB ⇒ + n = ⇒ n = −1 Phöông trình AB : x – 3y – = ⎯→ ⎯→ ⎧ x − 3y − = Vaäy B ⎨ ⇒ B(−5; −2).⇒ AB = (−6; −2); AC = (−2; 4) ⎩ x − 2y + = SΔABC = ⎡ −6 ⎢ ⎣ −2 − 2⎤ = 14 (ñvdt) ⎦⎥ Ví dụ8 ( ĐỀDỰ TRỮ KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I (–2; 0) và hai đường thẳng d1 : 2x – y + = 0, d2 : x + y – = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I và → → cắt hai đường thẳng d1, d2 A, B cho : IA = IB BAØI GIẢI: P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2) ⎧ 2x − y + = ⎛ 2k − − k ⎞ A⎨ ⇒ A⎜ , ⎟ ⎝ 2−k 2−k⎠ ⎩ kx − y + 2k = ⎧ x + y−3 = ⎛ − k 5k ⎞ B⎨ ⇒ B⎜ , ⎟ ⎝ 1+ k 1+ k ⎠ ⎩ kx − y + k = JJG ⎛ −1 − k ⎞ 5k ⎞ ⎛ ⎛ 10 10 k ⎞ IA = ⎜ ; ; ; ⎟ ⇒ 2IB = ⎜ ⎟ ⎟ ; IB = ⎜ ⎝2−k 2−k⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠ 10 ⎧ −1 ⎪ − k = 1+ k ⇒ k = IA = 2IB ⇔ ⎨ −k 10 k ⎪ = ⇒ k = 0, k = ⎩ − k 1+ k Do đó phương trình đường thẳng d là y = (x + 2) Lop6.net (8) ⇔ 7x – 3y + 14 = *** Lop6.net (9)