Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được b Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC c Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có [r]
(1)Đề cương toán học kì §Ò C¦¥NG TO¸N HäC Kú II hệ phương trình bậc hai ẩn I C¸c kiÕn thøc cÇn nhí Phương trình bậc hai ẩn có dạng a x + by +c = đó x, y là ẩn a, b, c là các hệ số ( a, b không đồng thời = 0) x R NghiÖm tæng qu¸t a c y b x b ax by c a ' x b ' y c ' Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng đó x, y là ẩn a, b , c a’ ,b ‘ c’ là các hệ số đó a, b a’ , b;’ không đồng thời a b a' b' a b c HÖ v« sè nghiÖm a' b' c' a b c HÖ v« nghiÖm a' b' c' HÖ cã nghiÖm nhÊt Các cách giải – phương pháp - phương pháp cộng đại số - phương pháp đặt ẩn phụ Bài tập Giải các hệ phương trình sau phương pháp thích hợp 2 x 11 y 7 a 10 x 11 y 31 2 x y b 2 x y 0,3 x 0,5 y e 1,5 x y 1,5 3 x y c 2 x y 4 x y d. 2 x y x y x y 52 x 40 f x y 28 y 12 2 x y 2 Hướng dẫn và đáp số x a, y 1 x d. y 1 1,5 x 2,5 y 1,5 x 1,5 x y 1,5 y 4, x b y 0,3 x 0,5 y e 1,5 x y 1,5 6 x 2 x y x y 2 x f 2 x y 1 2 x y 2 2 x y 2 y NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (2) Đề cương toán học kì Bài tập Giải các hệ phương trình sau 1 x b 1 x 2( x y ) 3( x y ) a ( x y ) 2( x y ) x c x y 1 y 5 x y 3x y d. 21 x y x y 2 y 1 1 y 1 x y 3x y 1 ;v d d §Æt u 3x y 2x 3y 21 x y x y u x 4u 5v 2 66 3u 5v 21 v y 11 x (3 m) y Bài tập Cho hệ phương trình víi m lµ tham sè (m 2) x y m a Giải hệ phương trình m=-1 b Giải và biện luận hệ phương trình Bài Cho hệ phương trình m 33 33 ; m 2 mx 2my 10 (1 m) x y a Giải hệ phương trình với m= -2 b Tìm m để hệ có nghiệm (m 1) x y 3m x (m 1) y m Bài Cho hệ phương trình a Giải hệ phương trình với m= -1 b Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x+y=3 mx y m≠0 3 x my Bài Cho hệ phương trình a Giải hệ phương trình với m = b Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x+y < Hưóng dẫn và đáp số Ba× a Víi m=-2 hÖ cã nghiÖm ( x, y)= ( -1;3) c Tư phương trình ta có y= (m-1) x→x,m(2n-1)=-10 10 x m(1 2m) m ≠ ;m ≠ 0,5 hÖ cã nghiÖm nhÊt y (m 1)10 m(1 2m) NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (3) Đề cương toán học kì Bài a, m=-1 hệ phương trình có nghiệm x=5; y= 3m x m c m ≠ và m ≠ hệ phương trình có nghiệm y m m 3m m m 4 (tm®k) x+ y =3 m m 2 5 6 Bài a Với m = hệ phương trình có ghiệm x= ,y= 5 2m x m b.Với m hệ phương trình có nghiệm y 5m m2 để x+ y < m 7m >0 33 33 m ; m 2 Giải bài toán cách lập hệ phương trình C¸ch gi¶i B1: Lập hệ phương trình -Chọn ẩn thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn -Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết -Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng B Gải hệ phương trình trên B Kiêm tra xem các nghiệm hệ phương trình có thoả mãn điều kiÖn víi bµi to¸n vµ kÕt luËn VD Lo¹i I ( To¸n t×m sè ,ch÷ sè) Tìm số tự hiên có hai chữ số biết hai lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục là đơn vị và viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì số ( có hai chữ số) bế số cũ là 27 đơn vÞ BG Gäi ch÷ sè hµng chôc cÇn t×m lµ x ch÷ sè hµng d¬n vÞ lµ y § kiÖn x, y nguyªn vµ 0< x, y ≤9 Khi đó số cần tìm là 10x+ y Khi viết theo thứ tự ngược lại ta có số 10y+ x Theo bài ta có phương trình 2y – x= hay –x+2y =1(1) Theo ®iÒu kiÖn sau cña bµi ta cã (10x+y)-(10y+x)=27 x-y= 3(2) x y x (tm®k) x y y Từ đó ta có hệ VËy sè ph¶i t×m lµ 74 NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (4) Đề cương toán học kì Bµi tËp ¸p dông Bµi tËp Tæng hai sè b»ng 59 Hai lÇn sè nµy h¬n lÇn sè lµ ,T×m hai sè Bài tập Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số đã cho là 63 Tổng ssố đã cho và tạo thành là 99.Tìm số đã cho Hướng dẫn Bµi Gäi hai sè ph¶i t×m lµ x,y ®k x, y nguyªn vµ 1≤x,y≤9 Theo ®iÒu kiÖn cña bµi ta cã hÖ x y 59 x 34 (tm®k) 3 x y y 25 VËy hai sè cÇn t×m lµ 34, 25 Bµi Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y đk x, y nguyên và 1≤x,y≤9 số đã cho là 10x+ y, số tạo thành là 10y+ x x y 7 x (tm®k) x y y Theo bài ta có hệ phương trình VËy sè ph¶i t×m lµ 18 Loại II (Toán chuyển động) VD : Một ô tô và xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau giê th× gÆp NÕu ®i cïng chiÒu vµ xuÊt ph¸t cïng mét lóc cùng địa điểm sau hai xe cách 28 km Tìm vận tốc mçi xe biÕt qu·ng ®êng lµ 156 km BG Gäi vËn tèc cña « t« lµ x km/h vận tốc xe đạp là y km/h § kiÖn x> 0; y> Sau 3h ô tô 3x km còn xe đạp 3y km Theo bài ta có phương trình 3x+3y=156 x+ y = 52(1) theo điện sau bài ta có phương trình x- y = 28(2) x y 52 x 40 ( tm ®k) x y 28 y 12 Từ đó ta có hệ VËyvËn tèc cña « t« lµ 40 km/h vận tốc xe đạp là 12 km/h Bµi tËp ¸p dông Bµi tËp Hai ®iÓm A ;B c¸ch 150 km vµ hai « t« khëi hµnh cùng lúc ngược chiều Gặp vỉt5í C cách A 90 km Nếu vận tốc vận tốc không đổi ô tô từ B trước ô tô tõ A 50 phót th× hai xe gÆp ë chÝnh gi÷a qu·ng ®êng T×m vËn tèc cña mçi xe? Bài tập Bác Toàn đạp xe từ xã làng cô Ba đạp xe từ làng lên xã Hä gÆp b¸c Toµn ®i ®îc 1,5 giê cßn c« Ba ®i ®îc giê NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (5) Đề cương toán học kì .Một lần khác từ hai địa điểm trên họ khởi hành đồng thời sau 1h15’ họ còn cách 10,5 km Tìm vận tốc người? Hướng dẫn Bµi1 Gäi vËn tèc cña « t« ®i tõ A lµ x km/h vËn tèc cña « t« ®i tõ Blµ ykm/h §k x,y > Theo®iÒu kiÖn bµi ta cã p t 90 60 x y x y Theo ®iÒu kiÖn sau ta cã pt 75 75 5 x y 75 75 5 x y x 45 Từ đó ta có hệ (tm®k) y 30 3 x y VËy vËn tèc cña « t« ®i tõ A lµ 45 km/ h vËn tèc cña « t« ®i tõ Blµ 30 km/ h Bµi Gäi vËn tèc cña b¸c Toµn lµ x km/h vËn tèc cña c« Ba lµ y km/h §k x,y > Theo®iÒu kiÖn bµi ta cã p t 1,5x +2y = 38 Theo ®iÒu kiÖn sau ta cã pt 5 x y 27,5 x y 22 4 1,5 x y 38 x 13 (tm®k) x y 22 y 10 Từ đó ta có hệ VËy vËn tèc cña b¸c Toµn lµ 12km/h vËn ý«c cña c« Ba lµ 10 km/h Lo¹i III to¸n n¨ng suÊt VD Hai c«ng nh©n cïng s¬n cöa mét c«ng tr×nh ngµy th× xong Nếu ngưpừi thứ làm mình ngày người thứ hai làm tiếp 1ngày thì xong việc Hỏi người làm mình bao lâu thì xong viÖc? BG Gọi thời gian người thứ làm mình xong công việc là x ngày ( x> 4) thời gian người thứ hai mình xong công việc là yngày ( y> 4) NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (6) Đề cương toán học kì x Một ngày người thứ làm Một ngày người thứ hai làm Theo bµi ta cã p t c«ng viÖc c«ng viÖc y 1 x y Theo diều kiện sau bài ta có phương trình 9 x Từ đó ta có hệ 1 x 1 x y 1 y x 12 (tmđk) Giải hệ p2 đặt ẩn phụ 1 y y Vậy người thứ làm mình xong việc hết 12 ngày người thứ hai làm mình hết ngày Bài tập Hai người cùng làm chung công việc ngày thì xong Nếu người thứ làm 3h người hai làm h thì hoàn thành 0.25 công việc Hỏi làm riêng người hoàn thành công việc đó bao lâu ? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ làm mình hoàn thành cv là x h người thø hai lµ y h §k x; y > Một người thứ làm cv x cv y Một hai người làm cv 16 3 x y x 24 1 Ta có phương trình y 48 x y 16 1 x y 16 Một người thứ hai làm người thứ làm người thứ hai làm cv x cv y Theo điều kiện sau ta có phương trình x y NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (7) Đề cương toán học kì 3 x Từ đó ta có hệ 1 x y x 24 1 y 48 y 16 Vậy người thứ làm mình xong công việc là 24 h; người thứ hai là 48 h *********************************************************** ***** Chuyên đề hµm sè y= a x2 (a ≠ 0) phương trình bậc hai ẩn I KiÕn thøc cÇn nhí -Hµm sè y= a x2 (a ≠ 0) TH1 a >0 hàm số đồng biến x > hµm sè nghÞch biÕn x < TH2 a < hàm số đồng biến x < hµm sè nghÞch biÕn x > - Đồ thị : là pa bol nhận Oy là trục đối xứng NÕu a >0 cã bÒ lâm quay lªn vµy y= lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt NÕu a < cã bÒ lâm quay xuèng vµ y= lµ gi¸ trÞ lín nhÊt Sự tương giao đồ thị hai hàm số y = a x2 (P ) và y= m x+ n (d) Ta xét phương trình hoành độ a x2 = m x +n - Nếu phương trình có hai nghiệm thì ( P) và (d) cắt hai điểm - Nếu phương trình có nghiệm kép thì ( P) và (d) tiếp xúc - Nếu phương trình vô nghiệm thì ( P) và (d) không giao Phương trình bậc hai ẩn a x2+ bx + c = (a ≠ 0) Phương trình khuyết a x2+ bx = a x2+ c = a x2= C¸ch gi¶i kh«ng dïng c«ng thøc nghiÖm Phương trình bậc hai đầy đủ dùng công thức nghiệm công thức nghiÖm thu gän HÖ thøc ViÐt vµ øng dông Nếu phương trình a x2+ bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó x1 75 75 3, x2 4 x1 x2 x1 x2 b a c a Nhẩm nghiệm a+ b+c =0 phương trình có hai nghiệm x1 =1 , x2 = c a NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (8) Đề cương toán học kì Nếu a- b+c =0 phương trình có hai nghiệm x1 =-1 , x2 = - c a Đièu kiện nghiệm phương trình bậc hai b 4ac Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 x2 0 b 4ac Phương trình có hai nghiệm dương x1 x2 x x 0 b 4ac Phương trình có hai nghiệm âm x1 x2 0 x x 0 Phương trình trùng phương a x4+ bx2+ c = đặt t = x2 t(≠ 0) VD Giải các phương trình sau a 32 x2 + 40 x =0 b 8x2 – 25 = c 2x2 -7x + 3= BG a 32 x2 + 40 x =0 8x(4x+5)=0 x= hoÆc x = 5 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = ;x2 = a 8x2 – 25 = 8x2 =25 x2= 5 25 25 x 8 Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2 = c 2x2 -7x + 3= # = (-7)2 -4.3.2 = 25 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 75 75 3, x2 4 VD2 Cho hµm sè y= x2(P) vµ y= 2x + 3(d) a Vẽ đồ thị hai hàm hàm số trên cùng hệ trục toạ độ b tìm toạ độ giao điểm đồ thị hai hàm số BG a Vẽ đồ thị hai hàm số H×nh vÏ ( NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (9) Đề cương toán học kì Bµi tËp 1; Cho hai hµm sè y = x2 (p) vµ y = 2x + m (d) a.Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ b Tìm m để (p) và (d) cắt hai điểm phân biệt BG a.Víi m=3 th× d cã d¹ng y= x+ đồ thị hình vẽ b Xét phương trình hoành độ x2= 2x + m x2 – 2x – m = (1) Để (p) và (d) cắt hai điểm ohân biệt thì phương trình ( 1) có hai nghiÖm ph©n biÖt # = (-1)2-(m) = 1+m > → m > -1 Bài 2; Giải các phương trình sau a 3x2 + 5x- 2=0 b 5x2 – 6x+ 1=0 c 4x2 – x -1+ =0 Bài ;Cho phương trình x2 -(m+2)x+2m = (1) a Giải phương trình với m=-1 b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn (x1+x2)2-x1 x2 ≤ Bài 4: Cho phương trình x2 -2(m-1)x+2m-4 = (1) a Giải phương trình với m = b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M= x1 + x2 (x1;x2 lµ hai nghiÖm cña phương trình) Bài 5:Cho phương trình x 6mx Tìm giá trị m , biết phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện 1 x12 x22 Bài 6: Cho phương trình bậc hai : x2 2(m 1) x + m = (1) 1/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m 2/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và tính nghiÖm 3/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net (10) Đề cương toán học kì Mét sè d¹ng kh¸c ( phương trình đưa dạng phương trình bậc hai ) Bài tập Giải các phương trình sau a x4 -8x2-9 = b 36 y4 – 13y2+1= c x3-5x2-x+5 = d (x-1)3 –x+1 =(x-1)(x-2) ( x 1)2 ( x 2) e f 16 30 3 x 1 x x2 9x 17 x 1 x x2 x Bµi gi¶i a §Æt t = x2 (t ≥ 0) p tr×nh cã d¹ng t2 - 8t -9 = → t1 = -1 (lo¹i) ; t2 =9 Víi t =9 → x2 =9 → x= ± b y = ± 0,5 ; y = ± c x2(x-5) – ( x-5) =0 (x-5)(x+1)(x-1) =0 x=5 hoÆc x=1 hoÆc x= -1 d (x-1) ( x 1)2 ( x 2) =0 (x-1)(x2-3x+2) =0 x-1 =0 hoÆc x2-3x+2=0 → x1 =x2 = 1; x3 = PhÇn h×nh häc gãc víi ®êng trßn I KiÕn thøc cÇn nhí + Gãc ë t©m C n Gãc AOB lµ gãc ë t©m gãc AOB = s® cung AmB s® cung AnB = 360º - s® cung AmB O + Gãc néi tiÕp • gãc ACB lµ gãc néi tiÕp gãc ACB = s® cung AmB A Trong mét ®êng trßn m -Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung th× b»ng x - C¸c gãc néi tiÕp b»ng th× ch¾n mét cung hoÆc ch¾n c¸c cung b»ng -Gãc néi tiÕp há h¬n 90º cã s® b»ng sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n cung đó -Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn th× b»ng 90º + Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung NguyÔn V¨n Th¾ng 10 Lop8.net B (11) Đề cương toán học kì -Gãc BAx lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn Ax vµ d©y cung AB Gãc BAx = s® cung AmB -gãc BAx = gãc BCA + Góc có đỉnh bên , ngoài đường tròn Góc BED ; AEC là các góc có đỉnh nằm bên đường tròn Góc CFB là góc có đỉnh bên ngoài ®êng trßn A C E F D B ( s® cung BD + s® cung AC ) Gãc AFD = ( s® cung BC - s® cung AD) gãc BED = A + Tø gi¸c néi tiÕp -ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp T/C nÕu ABCD néi tiÕp th× gãc A + gãc C = 180º D DÊu hiÖu nhËn biÕt -Tứ giác có đỉnh nằm trê đường tròn -Tứ giác có tổng hai góc đối 180º C -Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc trog đỉnh đối diện -Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc β + Mét sè c«ng thøc tÝnh S ,C -§é dµi ®êng trßn C = 2π R - §é dµi cung trßn l = B Rn 180 -DiÖn tÝch h×nh trßn S = π R2 -DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn Sq = R2 n 360 Bài tập Cho tam giác ABC trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC VÏ ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDC Tõ O h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc OH OK xuèng BC BD a C minh OH > OK b So s¸nh hai cung nhá BD vµ BC BG a Ta cã AB+ AC > BC ( B® t tam gi¸c ) Mµ AC = AD ( GT) K →AB + AD > BC hay BD > BC Nªn OH > OK B NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net 11 D O C H (12) Đề cương toán học kì b Do BD> BC ( C©u a)→cung BD > cung BC Bµi tËp Cho AB , AC , BC lµ ba ®©y cña mét ®êng trßn (O) Tõ mét ®iÓm chÝnh gi÷a M cña cung AB vÏ MN // BC Gäi giao ®iÓm cña MN vµ d©y AC lµ S chøng minh a, SM = SC A b SN = S A M BG a Ta cã NMC = s® cung NC S Gãc ACM = s® cung MA N B Mµ cung MA = cung NC ( hai d©y MN // BC ) C → NMC = ACM hay tam gi¸c SAN c©n → SA = SN c Chứng minh tương tự ta có tam giac SAN cân → SA = SN Bài tập Cho tam giác ABC cân có đáy BC và  = 20 º Trên nửa mặt ph¼ng bê AB kh«ng chad ®iÓm C lÊy ®iÓm D cho DA = DB vµ gãc DAB = 45º Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD a CMR tø gi¸c ACBD néi tiÕp b TÝnh gãc AED BG C a.Do tam gi¸c ABC c©n nªn ta cã BCA =(180º-25º): = 80º V× tam gi¸c ABD c©n ta cã → ADB =180º - 40 = 100º E B 20º Tø gi¸c ACBD cã BCA + ADB = 180º 40º Hay tø gi¸c ACBD né tiÕp b AED là góc có đỉnh dường tròn → AED = (s® cung bc + s® cung AD) D Mµ BAC =20º→s® cung BC = 40º ABD = 40º →s® cung AD = 80º → AED = 60º Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và M là ®iÓm trªn cung nhá BC Trªn MA lÊy D cho MA =MB CMR a Tam giác MBD b # BDA = # BMC c MA = MB + MC BG a Theo gt MB = MC → # MBD c©n t¹i M NguyÔn V¨n Th¾ng 12 Lop8.net A (13) A Đề cương toán học kì Mµ Gãc M = 60º ( Gãc néi tiÕp ch¾n cung 120º) Vậy # BM b.Ta cã BAM = BCM ( Gãc néi tiÕp ch¾n cung BM) D ADB = BMC (gãc kÒ bï víi 60º vµ gãc ch¾n cung B 240º ) → ABD = CBM VËy # BDA = # BMC M c.Ta cã MA = MD + MA mµ MD = MB ; DA = MC → MA = MB + MC Bµi tËp Trªn ®êng trßn ( O ;R) vÏ d©y liªn tiÕp b»ng AB, BC , CD mçi d©y nhá h¬n R c¸c ®êng th¼ng AB , CD c¾t t¹i I c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i B, D c¾t t¹i K CMR a BIC =BKD b BC lµ tia ph©n gi¸c KBD BG I a Theo gt ta cã AB = BC = CD BIC là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn B C K C A → BIC= ( s® cung AD – s® cung BC ) BKC là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn → BKD = (s® cungBAD-s® cung BCD) = ( s® cung BA+s® cung AD)-(s® cung BC+s® cung CD) → BKD = (s® cung AD -s® cung BC) VËy BIC = BKD b KBC lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung KBC= s® cung BC CBD lµ gãc néi tiÕp nªn CBD = s® cung CD → KBC = CBD O• D Bài tập Cho tam giácABC Gọi O là trung điểm BC trên AB AC lấy các điểm di động D ; E cho DOE =60º a CM tích BD CE không đổi b cm # BOD ~ # OED →DO lµ ph©n gi¸c cña gãc BDE c VÏ (O) tiÕp xóc víi AB c minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ( O) BG a CM tích BD CE không đổi XÐt BOD vµ # CDE cã NguyÔn V¨n Th¾ng 13 Lop8.net (14) Đề cương toán học kì A B = C =60º BDO = EOC (cïng= 60º - DOE) → # BDO ~ # COD ( G-G) BD CO BO CE Hay BD CE = BO CO →BD.CE = D K H B O E C BD CO BC ( Không đổi) BO CE b Tõ c©u a ta cã BD CO MÆt kh¸c gãc DOE = gãc B = 60º BO CE → # BOD = # DOE( cg c) → HDO = KDO hay DO lµ tia ph©n gi¸c BDE b KÎ OK vu«ng gãc víi DE → # DHO = # DKO( ch – gn ) → H = K = 90º Hay DE lµ tiÕp tuyÕn cña ( O) Bµi tËp lµm thªm Bµi Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ mét d©y CD Q ua C vÏ ®êng vu«ng gãc víi CD c¾t AB ë I c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A , B cña nöa ®êng trßn c¾t CD theo thø tù t¹i E Vµ F CMR a Tø gi¸c AECI , BFCI néi tiÕp b Tam gi¸c I E F vu«ng Bµi Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AD hai ®êng chÐo AC , BD c¾t t¹i E kÎ E F vu«ng gãc víi AD gäi M lµ trung ®iÓm cña DE CMR , a Tø gi¸c ABE F , DCE F néi tiÕp b CA lµ ph©n gi¸c cña gãc BCE c Tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bµi Tõ ®iÓm M n»m bªn ngoµi ®êng trßn (O) ta vÏ c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB víi ®êng trßn Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm C vÏ CD AB , CE MA , CF MB Gäi I lµ giao ®iÓm BC vµ DE , K lµ giao ®iÓm cña BC vµ DF CMR a Tø gi¸c AECD , BFCD néi tiÕp b CD2 = CE CF c Tø gi¸c ICKD néi tiÕp d IK CD Bài 4: Cho đường tròn (O;R) Từ điểm M ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và B) Gọi D, E, F là hình chiếu vuông góc C trên AB, AM, BM a) Chứng minh AECD là tứ giác nội tiếp NguyÔn V¨n Th¾ng 14 Lop8.net (15) Đề cương toán học kì A b) Chứng minh: CA DE CBA c) Gọi I là giao điểm AC và DE; K là giao điểm BC và DF Chứng minh: IK//AB Bµi : Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp b) Chứng minh : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn và tính diện tích trường hợp này Bµi 6; Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và CD là đường kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt các đường thẳng AC và AD E và F 1) Chứng minh BE.BF = 4R2 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I luôn nằm trên đường thẳng cố định NguyÔn V¨n Th¾ng 15 Lop8.net (16)