Chương IV. §2. Giới hạn của hàm số

 Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải một số bài. toán cụ thể[r]

Người soạn: Nguyễn Thị Thu Đại số giải tích 11 Người hướng dẫn: Trần Việt Cường Ngày dạy: 04/10/2017

Tiết 53 §2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I MỤC TIÊU Qua học, HS sẽ:

1 Về kiến thức

 Hiểu khái niệm giới hạn hàm số điểm, chủ yếu thơng

qua ví dụ minh họa

 Hiểu định lý giới hạn hữu hạn

2 Về kỹ

 Biết cách vận dụng định lý giới hạn hữu hạn hàm số để tính

giới hạn hàm số đơn giản

 Biết cách tính giới hạn hữu hạn hàm số máy tính bỏ túi

3 Về tư duy, thái độ

 Được rèn luyện tính tư logic có hệ thống

 Được rèn luyện tính tích cực, chủ động, sáng tạo học tập

 Được rèn luyện tính cẩn thận, xác, trách nhiệm học tập

làm việc nhóm

 Kích thích hứng thú học tập, giúp HS thấy mối liên hệ

các kiến thức toán học Định hướng phát triển lực

 Phát triển lực tư logic, lực phát giải vấn

đề, lực phân tích, lực hợp tác, lực đánh giá,… II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

 Giáo viên: Đồ dùng dạy học, Computer Projector, bảng phụ, câu hỏi

gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức

 Học sinh: Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi.

1 Ổn định: Ổn định tổ chức lớp

2 Kiểm tra cũ: (Lồng ghép vào hoạt động) Bài

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA

HS

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU

Hoạt động 1: Khám phá phát định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số tại một điểm

HĐTP 1: Hình thành định nghĩa

 GV ghi tiêu đề toán

lên bảng

 GV gợi ý:

 Các giá trị tương ứng

1

( ), ( ), , ( ), n

f x f x f x c

ủa hàm số f x( ) lập thành dãy số, kí hiệu ( ( ))f xn

 Bằng phép biến

đổi đại số xn 1

( )n

f x có thể biểu diễn

như nào?

 Áp dụng định lý

giới hạn dãy số, tính lim ( )f xn .

 GV gợi động cơ:

Khi đó, ta nói hàm

 HS suy nghĩ giải

quyết toán



2 2 ( )

1

n n

n

n

x x

f x

x

 





2

2

( )

1 ( 1)

2

n n

n

n

n n

n n

x x

f x

x x x

x x

 

 

 



với n



lim ( ) lim 2lim

n n

n

f x x

x



 

§2: Giới hạn hàm số Xét toán:

Cho hàm số

2 2 ( )

1

x x

f x

x

 



và dãy x x1, , , , xn

những số thực khác ( tức xn 1 với n) cho

limxn 1

a) Chứng minh

( ) 2n n f x  x b) Tính lim ( )f xn .

Giải:

a) Vì xn 1 nên:

2

2

( )

1 ( 1)

2

n n

n

n

n n

n n

x x

f x

x x x

x x

 

 

 

 ,n.

b) Vì limxn 1 nên:

số

2 2 ( )

1

x x

f x

x

 

 có giới

hạn x dần tới Vậy, giới hạn hữu hạn hàm số điểm

 GV ghi tiêu đề lên

bảng

I Giới hạn hữu hạn của hàm số điểm

1 Định nghĩa HĐTP 2: Phát biểu định nghĩa

 GV yêu cầu HS phát

biểu định nghĩa theo ý hiểu

 GV xác hóa định

nghĩa tóm tắt định nghĩa

 

0

lim

xx f x L

   

 

0

, \

lim lim

n

n n

x K x

x x f x L

 

   

  

 

n

daõy x

 GV đưa ý:

Ở đây, thay cho khoảng ( ; ), (a b  ; ), ( ;b a ) (  ; ), ta viết chung khoảng K.

 HS phát biểu định

nghĩa theo ý hiểu

 HS ghi chép

Định nghĩa (SGK/124) Cho hàm số yf x( ) xác định K trên

 0 \

K x , x0K

Khi đó,

 

0

lim

xx f x L

   

 

0

, \

lim lim

n

n n

x K x

x x f x L

 

   

  

 

n

daõy x

Chú ý:

Ở đây, thay cho khoảng ( ; ), (a b  ; ), ( ;b a ) (  ; ) , ta viết chung khoảng K.

HĐTP 3: Củng cố định nghĩa

 GV hướng dẫn HS thực

hiện VD1

Nêu tập xác định

 HS thực theo

hướng dẫn GV

Ví dụ 1(SGK/124): Cho

2 4 ( )

2

x f x

x

 

hàm số

 Dựa vào định nghĩa:  Lấy dãy ( )xn bất

kì cần thỏa mãn điều kiện gì?

 Bằng kiến thức

học tìm lim ( )f xn

 Kết luận xlim ( ) 2 f x

 GV giúp HS đưa lưu

ý

 Mối quan hệ tập

xác định giới hạn điểm

 GV gợi động nhằm

đưa nhận xét: Tương tự VD trên:

 Lấy dãy số ( )xn bất

kì

 Tìm lim ( )f xn  Kết luận

lim ( )

xx f x

0

lim ( ) lim

xx f x xx x x

 TXĐ: D\2  Lấy ( )xn thỏa

mãnxn\2

limxn 2



2 4 ( )

2

n n

n x f x

x

 

 4 lim ( ) lim

2 ( 2)( 2) lim

( 2) lim( 2) lim lim

4

n n

n

n n

n n n

x f x

x

x x

x x x

 



 





 

 



lim ( )

x  f x

 

 HS:

 f x( ) không xác

định x2.  f x( ) có giới hạn

4

 x 2.  HS dựa vào định

nghĩa VD1 để giải quyết:

Lấy dãy số ( )xn bất kì, n

x   limxn x0

Ta có:



0 lim ( ) limf xn  xn x

0 0

lim ( ) lim

xx f x xx x x

  



minh xlim ( ) 2 f x 4

Giải:

Tập xác định: D\2 Giả sử ( )xn dãy

số thỏa mãn  

\

n

x   limxn 2.

Ta có:

2 4 lim ( ) lim

2 ( 2)( 2) lim

( 2) lim( 2) lim lim

4

n n

n

n n

n n n

x f x

x

x x

x x x

 



 





 

 



Do xlim ( ) 2 f x 4

Lưu ý: Hàm số f x( ) không xác định x0,

có thể có giới hạn điểm

Ví dụ 2:

Cho hàm số sau:

( ) ,

f x    x x

( ) ,

g x    c x

(với c là số)

Tính

lim ( )

xx f x ,

lim ( )

Tương tự g x( )

 GV đưa nhận xét

SGK/124

 GV đưa ví dụ, hỏi

đáp nhanh HS

lim ( ) limg xn  c c

0

lim ( ) lim

xx g x xx c c

  

 HS áp dụng nhận xét,

thực ví dụ a) limx6x6

b) 13

1 lim

3 x

x

 



c) xlim 5 6 

d)

2

3

2 4

lim lim

3 9

x x

 

 

   

Giải:

Giả sử ( )xn dãy số

bất kì, xn  limxn x0

Ta có:

0 lim ( ) limf xn  xn x

0

lim ( )

xx f x x

 

Tương tự ta có:

lim ( ) limg xn  c c

0

lim ( ) lim

xx g x xx c c

  

NHẬN XÉT:

 0

lim

xx x x



lim

xx c c (với c

hằng số) Ví dụ 3:

Tính:

a) limx6x b) lim

x x  

c) xlim 5 6 d)

2

2 lim

3 x

      Giải:

a) limx6x6

b) 13

1 lim

3 x

x

 



c) xlim 5 6 

d)

2

3

2 4

lim lim

3 9

x x

 

 

 GV đặt vấn đề đưa

định lý:

 Nhắc lại định lý

giới hạn hữu hạn dãy số

 Giới hạn hữu hạn

hàm số có tính chất tương tự

 GV đưa định lý

 GV hướng dẫn HS

cách ghi nhớ nhanh: Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn chúng tại điểm (trong trường hợp

 HS thực yêu cầu

của GV

 HS ý ghi chép

bài

2 Định lý giới hạn hữu hạn

ĐỊNH LÝ: (SGK/125) a) Giả sử

lim ( )

xx f x L,

lim ( )

xx g x M

Khi đó:



lim [ ( ) ( )]

xx f x g x  L M



lim [ ( ) ( )]

xx f x  g x  L M



lim [ ( ) ( )]

xx f x g x L M

0

lim ( )

xx cf x c L

 

(c=const)

 lim

x→x0

f(x) g(x) =

L M

( M ≠ 0) b) Nếu ( ) 0f x 

0

lim ( )

xx f x L, L ≥

lim ( ) x x f x  L

thương, giới hạn mẫu phải khác không).

 GV: Định lý hoàn

toàn trường hợp tổng quát

Tức là: Giả sử :

0

0

1 2

lim ( ) , lim ( ) , ,

lim ( )

x x x x

n n

x x

f x L f x L

f x L

 



 

 Khi đó:

0

1

lim [ ( ) ( ) (x)]

n x x

n

f x f x f

L L L

    

  

Tương tự cơng thức cịn lại

 GV yêu cầu HS nhà

hoàn thiện cơng thức tổng qt cịn lại

 HS tìm hiểu định lý

trong trường hợp tổng quát

Tổng quát: Giả sử :

0

0

1 2

lim ( ) , lim ( ) , ,

lim ( )

x x x x

n n

x x

f x L f x L

f x L

 



 

 Khi đó:



0

1

lim [ ( ) ( ) (x)]

n x x

n

f x f x f

L L L

   

  



0

1

lim [ ( ) ( ) (x)]

n x x

n

f x f x f

L L L

   

  



0

1

lim [ ( ) ( ) (x)]

n x x

n

f x f x f

L L L

 

Hoạt động 3: Củng cố vận dụng định lý

 GV hướng dẫn HS thực

hiện VD4

 Tập xác định hàm

số

 Nhận xét lim(x1 x1)

1 1

lim( 1) lim lim1 1

x x x x x   

 chưa thể áp dụng định

lý giới hạn hữu hạn

 HS thực theo

hướng dẫn GV

 TXĐ: D\{1} 

1 1

lim( 1) lim lim1 1

x x x x x

  



Ví dụ Tính:

2

2 lim

1 x

x x x



 

 .

Giải:

TXĐ: D\{1} Ta có:

 Đặt 2 ( ) x x f x x    

 Với x1, hàm số

( )

f x biểu diễn nào?

 Áp dụng định lý

giới hạn hữu hạn, tính

1

lim ( ) x f x

 GV giao VD2 (SGK /

125) tập nhà cho HS

 GV hướng dẫn HS áp

dụng định lý để đưa nhận xét

 GV chia lớp thành

nhóm

 GV trình chiếu đề

lên bảng

(Sử dụng máy chiếu) Phiếu học tập

Nhóm 1, Nhóm 2, Tìm: a) 2 lim x x x x x     b) c) 2 2 lim x x x x x     d) 2 ( ) ( 1)( 2)

1 x x f x x x x x x            1 1

lim ( ) lim( 2)

lim lim

1

x x

x x

f x x

x           

 HS áp dụng định lý:

0

0 0

0

lim

lim lim lim lim

.(lim )

k x x

x x x x x x x x

k

k k

x x ax

a x x x

a x ax

                

 HS thực theo

yêu cầu GV

 Nhóm 1, 3:

a)

2

1

1 1

2 ( 1)( 2)

lim lim

1

lim( 2) lim lim 2

3

x x

x x x

x x x x

x x x x                    NHẬN XÉT:

Nếu k số nguyên dương a số x0 , ta có:

0

lim k k xx ax ax

Phiếu học tập

Nhóm 1, Nhóm 2, Tìm: a) 2 lim x x x x x     b)

 

1 lim

x  x  x

c) 2 2 lim x x x x x     d)

 

1

lim

x  x  x

 

1 lim

x  x  x  

3

lim

x  x  x

 Sau thời gian phút,

GV chọn ngẫu nhiên nhóm trình bày kết lên bảng

 nhóm cịn lại quan

sát nhận xét làm nhóm bạn

 GV đưa nhận xét

về nhóm

2 2 1 2 1 1 1 lim

( 1)( 2) lim ( 1) lim( 2) lim lim lim lim

lim lim 1.1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                          b)

 

1

1

lim

lim 7.(lim ) 7.( 1)

8 x x x x x x x             

 Nhóm 2, 4:

c) 2 2 2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

lim(2 1)

2

lim

2 lim( ) lim lim lim1

lim lim

2(lim ).(lim ) lim (lim ).(lim ) 2lim 2.2.2

2.2 2.2 x x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x x

x x x

                                  d) a) 2 1 2 1 1 1 lim

( 1)( 2) lim ( 1) lim( 2) lim lim lim lim

lim lim 1.1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                          b)

 

1

1

lim

lim 7.(lim ) 7.( 1)

 GV hướng dẫn HS

cách tính nhanh giới hạn hữu hạn hàm số máy tính bỏ túi thơng qua thao tác máy tính bỏ túi

(Đồng thời chiếu lên hình máy chiếu để tất HS dễ dàng quan sát)

 Cách tính giới hạn hàm

số máy tính bỏ túi (Casio fx-570, Vinacal) Để tính

lim ( )

xx f x

 Casio fx-570:

B1: Nhập vào máy tính biểu thức f X( )

B2: Bấm phím CALC Máy tính hỏi X ?, ta

nhập vào giá trị xấp xỉ x0

8 10

X x 

  (hoặc 10 ,10 , 5 9 ) Sau nhấn phím “ = ”

 Vinacal:

B1: Bấm tổ hợp phím SHIFT_6_5, hình lim( ) |x

 

3

1

1 1

lim lim lim

(lim ).(lim ).(lim ) lim ( 1).( 1).( 1) 7.( 1)

x

x x

x x x x

x x

x x

x x x x

 

   

       



 

 

      

 HS tiến hành tính

toán hướng dẫn GV

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

lim(2 1)

2

lim

2 lim( ) lim lim lim1

lim lim

2(lim ).(lim ) lim (lim ).(lim ) 2lim 2.2.2

2.2 2.2

8

x x

x

x x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x x

x x x

 



  

 

  

  

   



 

 





 



   

 

d)

 

1 1

1 1

lim lim lim (lim ).(lim ).(lim ) lim ( 1).( 1).( 1) 7.( 1)

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

     

       

  

 

B2: Nhập f x( ) x0 vào

máy tính

Sau nhấn phím “ = ”

 GV yêu cầu HS sử

dụng máy tính bỏ túi thử lại giới hạn hàm số hoạt động nhóm

 GV giúp HS lưu ý

vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi để tính giới hạn hàm số

 HS sử dụng máy tính

bỏ túi kiểm tra lại kết

Lưu ý:

Khi sử dụng máy tính bỏ túi, kết thường xấp xỉ đáp án

Vì vậy, thường dùng cách để kiểm tra, thử lại kết

IV CỦNG CỐ

Qua học, HS cần:

 Nắm vững định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm, định lý

về giới hạn hữu hạn

 Biết vận dụng định lý giới hạn hữu hạn hàm số để giải số

toán cụ thể

GV giúp HS hệ thống lại kiến thức số câu hỏi trắc nghiệm:

Chọn đáp án nhất:

Câu 1: Khẳng định sau khơng xác?

B  0  

lim ( ) ( ),n n \ , n n x x f x   L x x K x x  x  f x  L

C

lim [ ( ) ( )]

xx f x g x  L M

D

0

lim ( ) lim ( )

xx f x  L xx f x  L

Câu 2: Tính:

2

3 2

lim

1

x

x x 

 

A B C -1 D

Câu 3: Tính

2

1 lim

3

x

x

x x





 

A B C D -2

V DẶN DÒ

 Đọc lại bài, đọc trước nội dung phần 3: Giới hạn bên  Bài tập nhà:

 Hoàn thành định lý tổng quát giới hạn hữu hạn hàm số  Hồn thành ví dụ (SGK/125)