Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò “một chìa khoá” quan trọng mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, ba một cách [r]
(1)Các ứng dụng định lý viét Phần I: sở xuất phát
Phần II: nội dung - phương pháp
A lý thuyết (Kiến thức mở rộng) B Các ứng dụng định lý viét
* ứng dụng * ứng dụng khác Phần III: biện pháp thực
(2)Phần I: Cơ sở xuất phát
1 Định lý toán học mệnh đề Vì kiến thức có giá trị phương diện suy luận ứng dụng chương trình tốn nói chung chương trình tốn THCS nói riêng
2 Trong mơn Đại số lớp THCS có định lý nói rõ mối quan hệ nghiệm số phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a
0) với hệ
số Đó định lý nhà toán học tiếng người Pháp Prăng xoa Vi-ét (F Viete) (1540- 1603) tìm mang tên ơng: Định lý Vi-vét
Do đặc thù đặc biệt định lý (gồm định lý thuận đảo) nên có giá trị đặc biệt nêu lên nhiều ứng dụng quan trọng toán liên quan đến phương trình bậc hai như:
- Tìm tổng tích nghiệm phương trình bậc hai có nghiệm - Biết nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm
- Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai (khi có nghiệm) trường hợp - Tìm hai số biết tổng tích chúng
- Lập phương trình bậc hai ẩn biết hai nghiệm cho trước…
Vì định lý Vi-ét ứng dụng có vai trị “một chìa khố” quan trọng mở hướng giải cho nhiều tốn có liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai, ba cách phong phú, đa dạng như: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ đường thẳng parabol mặt phẳng Đề các; tính giá trị biểu thức bậc cao nghiệm số…
3 Việc dạy định lý Vi-ét nêu ứng dụng chương trình đại có ý nghĩa đặc biệt chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc nghiệm số phương trình bậc 2; nêu quan hệ định tính, định lượng nghiệm số với hệ số phương trình bậc Có thể nói: “Các nghiệm số phương trình bậc lăng kính địmh lý Vi-ét ánh lên sắc màu rực rỡ” Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét góp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) dạng tập phương trình bậc (phương trình qui bậc hai); tốn có liên quan đến nghiệm số phương trình bậc 2; kỹ thuật giải phương trình; hệ phương trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét
5 Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán gây hứng thú giải tập cho HS, hình thành cho HS ý tưởng phong phú, trau dồi tư óc sáng tạo cho em giải toán có liên quanđến phương trình bậc hai Phương trình bậc hai định lý Vi-ét thông qua hệ thức nghiệm số gắn kết với hình với bóng để tạo tốn, ứng dụng phong phú đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ
7 Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét thuận, đảo làm giàu tư duy, kĩ giải toán cho HS cuối cấp Giúp em nhìn nhận tốn mối liên hệ sinh động “con mắt động” ràng buộc biến số tham số; biến, phần giúp HS nâng cao chất lượng học tập môn toán
(3)9 Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét ứng dụng nó, người dạy người học phần nhiều sơ sài chưa khai thác triệt để định lý đảo; kết từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác ứng dụng phong phú vào thể loại tập hạn chế Với lý nên đề xuất vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét ứng dụng phong phú nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học
Phần II: Nội dung phương pháp a Lý thuyết:
1 Định lý Viet thuận:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1, x2 S = x1 + x2 =
−b
a P = x1 x2 =
c a
* Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*)
- Nếu a + b + c = (*) có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a - Nếu a - b + c = (*) có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 =
−c
a
2 Định lý đảo:
Nếu có số x1, x2 thoả mãn
x1+x2=S
x1.x2=P
¿
{¿ ¿ ¿
¿ chúng nghiệm số của
phương trình: t2 - St + P = 0
(Điều kiện số x1, x2 S2 – 4P 0)
(a≠0 vµ Δ≥0)⇒
¿
x1+x2=−b
a x1 x2= ca
(4)Chú ý:
* Trước áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm
a≠0
Δ≥0( Δ '≥0) ¿
{¿ ¿ ¿
¿
* a + b + c = x = ; a - b + c = x = - 1
* Nếu có: x = ; y = nghiệm hệ phương trình
x+ y=S
xy=P ¿
{¿ ¿ ¿
¿ , là
nghiệm phương trình: t2 - St + P = 0 Các ứng dụng (thường dùng): a Kiểm tra nghiệm phương trình bậc
b Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc c Biến nghiệm suy nghiệm
d Tìm số biết tổng tích
e Lập phương trình bậc biết nghiệm Một số kết thu từ định lý Viet: a Phân tích ax2 + bx + c = (*) (a
0) thành nhân tử:
Khi (*) có x1, x2 / x1 + x2 = −b
a ; x1 x2 = c a
ax2 + bx + c = a(x
2
+b
a x+ c
a)=a[x
2
−(x1+x2)x+x1x2]
= a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
* Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 x2
- Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 x2 thay đổi
Do S2 - 4P P
S2
4 P =
S2
4 x1 = x2 =
−b
2a= S
2
maxP = S2
4 x1 = x2 =
S
(5) KL: Hai số có tổng khơng đổi tích lớn số
- Nếu x1 > 0; x2 > x1 x2 = P (Không đổi) Còn S = x1 + x2 (thay đổi)
Do: S2 - 4P
(S−2√P) (S+2√P)≥0 S - 2√P ; S = 2√P x1 = x2 = √P
KL: số dương có tính khơng đổi tổng nhỏ chúng
c Xét dấu nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (*) (a
0)
(S=−b
a ; P= c a)
- Điều kiện cho (*) có nghiệm trái dấu P <
- Điều kiện cho (*) có nghiệm dấu
Δ≥0
P>0 ¿
{¿ ¿ ¿
¿
- Điều kiện để (*) có nghiệm dương là:
Δ≥0 P>0
S>0
¿ {¿ {¿ ¿ ¿
¿
- Điều kiện để (*) có nghiệm âm là:
Δ≥0 P>0 S<0
¿ {¿ {¿ ¿ ¿
¿
- Điều kiện để (*) có nghiệm kép dương là:
Δ=0
S>0 ¿
{¿ ¿ ¿ ¿
- Điều kiện để (*) có nghiệm kép âm là:
Δ=0
S<0 ¿
{¿ ¿ ¿
¿
d Điều kiện tham số để hệ phương trình:
x+ y=f(m) x.y=g(m)
¿
{¿ ¿ ¿
¿ có nghiệm duy
nhất là: f2
(m) - 4g(m) = 0
(Chính điều kiện để phương trình bậc t2 - f(m)t + g(m)) = có nghiệm kép) b ứng dụng định lý viet:
(6)Dựa vào định lý đảo định lý Viet:
Nếu số u v có
u+v=S
u.v=P ¿ {¿ ¿ ¿
¿ u v nghiệm phương trình:
t2 - St + P = (1)
Như việc tìm số quy việc giải phương trình (Tìm nghiệm của phương trình số cần tìm).
Chú ý: Nếu S2 - 4P
tồn số
Nếu S - 4P < khơng tồn số Ví dụ:
a Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 6a; Diện tích 2a2. * Gọi cạnh hình chữ nhật u v (u > 0; v > 0)
Ta có:
2u+2v=6a
uv=2a2 ¿
{¿ ¿ ¿
¿
u+v=3a vu=2a2
¿
{¿ ¿ ¿
¿
Do (3a)2 - 2a2 = a2 > nên u, v nghiệm phương trình bậc 2. t2 - 3at + 2a2 = giải t1 = a ; t2 = 2a
Vậy độ dài cạnh hình chữ nhật a 2a
b Tìm phương trình bậc nhận x1; x2 nghiệm
x12+x22=13 x1x2=6
¿ {¿ ¿ ¿
¿ (*)
Biến đổi hệ (*) ta có:
(x1+x2)
−2x1x2=13 x1x2=6
¿ {¿ ¿ ¿
¿
[x1+x2=5 [x1+x2=−5[
x1x2=6
¿ {¿ ¿ ¿
¿
¿
x1+x2=5
x1.x2=6
¿
[
¿
x1+x2=−5
x1.x2=6
¿
[{¿ ¿ ¿ ¿
c Giải hệ phương trình:
3
√x+3√y=4(1)
xy=27(2)
¿
{¿ ¿ ¿ ¿
x1 , x2 nghiệm phương trình: x2 - 5x + =
(7)(Ta quy tìm x, y /
x+ y=5 xy=P
¿ {¿ ¿ ¿
¿ )
Từ (1) có
3
√x+3√y=4⇔x+y+33√xy(3√x+√3 y)=64⇔x+ y=28
Vậy hệ (1) (2) có dạng
x+ y=28
xy=27 ¿
{¿ ¿ ¿
¿ 282 - 27 > nên x, y
nghiệm phương trình: t2 - 28t + 27 = Giải t1 = ; t2 = 27 Hệ có 2 nghiệm:
x=1
y=27 ¿
{¿ ¿ ¿ ¿ ;
x=27
y=1 ¿
{¿ ¿ ¿ ¿
d Giải phương trình:
x(5−x
x+1 ).(x+ 5−x
x+1 )=6 (Đ/K: x -1)
Đặt: u=x(
5−x
x+1) ; v = (x+
5−x
x+1)=6 (Đ/K: x -1)
u + v = (2) Từ (1) (2) ta quy tìm u, v cho:
u+v=5
u.v=6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿
Do 25 - 24 > Nên u, v nghiệm phương trình t2 - 5t + =
t1 = 3; t2 =
Từ có:
u1=3 v1=2
¿ {¿ ¿ ¿
¿
u2=2 v2=3
¿ {¿ ¿ ¿
¿
Phương trình cho
[x2−2x+3=0 [x2−3x+2=0[
x≠−1
¿ {¿ ¿ ¿
¿ giải x1 = 1; x2 =
(TM)
e Cho phương trình: x2 +ax + b = có nghiệm c d; phương trình x2 + cx + d = có nghiệm a b Tính a, b, c, d biết chúng
Giải: áp dụng định lý Viet vào phương trình cho có: c + d = - a (1) c d = b (2)
a + b = - c (3) a b = d (4) Từ (1) a + c = - d
(8)Từ (2) c =1 (Vì b = d 0)
Từ (4) a = (Chia vế cho b = d 0)
Thay a = c = vào (1) d = - b = -
Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2)
ii tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm: Biểu thức đối xứng nghiệm:
Biểu thức f(x1, x2) gọi đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1 , x2) = f(x2, x1)
(Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 x2 biểu thức khơng thay đổi)
- Nếu f(x1, x2) đối xứng f(x1, x2) ln biểu diễn qua biểu thức đối xứng S = x1 + x2; P = x1 x2
- Biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 phương trình bậc ax2 + bx + c = biểu thức có giá trị không thay đổi hán vị x1 x2
Ta biểu thị biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 theo S P Ví dụ:
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=S2−2P
x13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)=S3−3SP
x14+x24=(x12+x22)2−2x12x22=(S2−2P)2−2P2
1
x1+
1
x2=
x1+x2
x1x2 = S P
1
x12+
1
x22=
x12+x22
x12x22 =
S2−2P
P2
Các ví dụ:
a Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = (*) (a 0)
Có nghiệm x1, x2 Chứng minh rằng: Với Sn=x1n+x2n
Thì a Sn + + b Sn + + c Sn = Giải:
Do x1, x2 nghiệm (*)
ax12+bx1+c=0
ax22+bx2+c=0
¿ {¿ ¿ ¿
(9)
ax1n.x12+bxn1.x1+cx1n=0
ax2n.x
2 2+bx
2 n.x
2+cx2 n=0
¿
{¿ ¿ ¿
¿
ax1n
+2
+bx1n
+1
+cx1n=0
ax2n+2+bx 2
n+1+cx 2 n=0
¿
{¿ ¿ ¿
¿
a.(x1
n+2+x
2
n+2
)+b(x1n+1+x2n+1)+c(x1n+x2n)=0
hay: a Sn + + b Sn + + c Sn = b Cho phương trình x2 + 5x + = 0
Gọi x1, x2 nghiệm Hãy tính giá trị biểu thức:
x12+x22 ; x13+x23 ; x14+x24 ; ; x17+x27 ; x12x23+x13x22 ;
|x1−x2| Giải:
Trước hết kiểm tra phương trình cho nghiệm hay không
= 25 - = 17 > Phương trình có nghiệm x1 x2
Suy ra: x1
2
+x22=S2−2P=21
x1
3
+x23=S(S2−3P)=−95
x1
4
+x24=(S2−2P)2−2P2=441−8=433
x17+x27=(x13+x23)(x14+x24)−x13.x23(x1+x2)
= - 95 433 - (- 5) =-41095
x1
2x
+x13x22=x12x22(x1+x2)=P2.S=−20 |x1−x2|=√(x1−x2)
2
=√(x1+x2)2−4x1x2=√S2−4P=√17
Chú ý:
Ta mở rộng cho tốn u cầu tính giá trị
x1n+2
+x2n+2=Sn+2 ; Sn + ; Sn cách áp dụng kết Ví dụ a.
Sn +2 = - b Sn + - cSn
Ví dụ: Cho x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - 2x - = Tính x17+x27 Ta có: ’ = > nên phương trình có nghiệm x1, x2
S1 = S2=x1
(10)S3 = - bS2 - cS1 = 16 + = 20 S4 = - bS3 - cS2 = = 56 S5 = - bS4 - cS3 = 152 =
S6 = - bS5 - cS4 = 416 S7 = - bS6 - cS5 =1136
c Bài toán 3: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002) Gọi a, b nghiệm phương trình: 30x2 - 3x = 2002.
Rút gọn (Tính) M=
30(a2002+b2002)−3(a2001+b2001)
a2000+b2000
* Nhận thấy phương trình cho: 30x2 - 3x - 2002 = có
> x1 = a ; x2 = b Sn = an + bn
áp dụng cơng thức thuộc Bài tốn 1: A Sn + + B Sn + + C Sn = Theo đầu ta có:Sn = a2000 + b2000
Sn + = a2001 + b2001 Sn +2 = a2002 + b2002
30 Sn + - 3Sn + - 2002Sn = 30 Sn +2 - 3Sn + = 2002Sn
M=2000Sn
Sn =2002
d Bài tốn 4: Cho phương trình x2 - ax + a - = có nghiệm x1 x2.
Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức:
M=3x1
2
+3x22−3
x12x2+x1x22 .
Giải: Trước hết kiểm tra xem phương trình cho có nghiệm khơng ? Ta có: = a2 - (a - 1) = (a - 2)2
Nên phương trình cho có nghiệm là: x1 x2 áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a -
M=3(x1+x2)
2
−6x1x2−3
x1x2(x1+x2) =
3a2−6(a−1)−3
a(a−10 =
3a2−6a+3
a2−a (a 0;
(11)e Bài 5: Cho a 0; Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình:
x2−ax−
a2=0 tìm giá trị nhỏ biểu thức E=x14+x24
Ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 =
−1
a2 x1
+x24=(S2−2P)2−2P
E=a4+
a4+4≥2√2+4
E=2√2+4 a8 = a=±√82
Min E=4+2√2 a=± √2
* Chú ý: Nếu biến đổi phương trình cho thành phương trình
a2x2−a3x−1=0 (a 0) việc xét xem phương trình có nghiệm hay khơng tìm GTNN E=x14+x24 tiện lợi hơn.
iii Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số: Phương pháp:
Để tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc tham số phương trình bậc (Giả sử tham số m) ta thực theo bước sau:
- Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm x1 x2 là:
a≠0
Δ≥0 ¿
{¿ ¿ ¿
¿
- Áp dụng hệ thức Viet ta
x1+x2=f(m)
x1.x2=g(m)
¿ {¿ ¿ ¿
¿ (*)
- Khử m từ hệ (*) ta hệ thức cần tìm (Sử dụng phép cộng) Ví dụ:
a Cho phương trình (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - = Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm phương trình khơng phụ thuộcm (Độc lập với m).
Giải:
Trước hết tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 là: a≠0
Δ'≥0 ¿
{¿ ¿ ¿
¿
m−1≠0
(m−4)2−(m−1)(m−5)≥0 ¿
{¿ ¿ ¿
¿
m≠1 2m−11≤0
¿
(12)
1≠m≤11
2
Khi theo Viet phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1+x2=2(m−4)
m−1 x1.x2=m−5
m−1
¿ {¿ ¿ ¿
¿
2(x1+x2)=4(m−4) m−1
3x1.x2=3(m−5) m−1
¿
{¿ ¿ ¿
¿
(x1 + x2) - 3x1x2 = (Không chứa m)
Đó hệ thức cần tìm
b Cho phương trình: (m2 + 1)x2 - 2mx + - m2 = 0. * CMR với m > phương trình ln có nghiệm
* Tìm hệ thức liên hệ nghiệm độc lập với tham số m Giải:
* Ta có: a = m2 + > (m2 0) nên phương trình cho là1 phương trình bậc 2 ẩn x tham số m
Mặt khác, C = - m2 < (Vì m >
m2 > 1)
Như vậy: a c trái dấu ac < Phương trình cho có nghiệm phân biệt
x1, x2 với m > Áp dụng hệ thức Viet có:
x1+x2= 2m 1+m2
x1.x2=1−m
m2
+1
¿ {¿ ¿ ¿
¿
- Khử m từ hệ (*) nhận xét:
(x1+x2)
+(x1.x2)2=( 2m
1+m2)
2
+(1−m
2 1+m2 )
2
=
4m2+m4−2m2+1 (m2+1)2 =
m4+2m2+1
m4+2m2+1=1
Vậy ta có hệ thức cần tìm là: (x1 + x2)2 + (x1.x2)2 = 1
iv tìm điều kiện tham số để nghiệm liên hệ với hệ thức cho trước (điều kiện cho trước):
1 Phương pháp:
(13)* Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình cho có nghiệm x1, x2 * Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet, ta có:
x1+x2=f(m)
x1.x2=g(m)
¿
{¿ ¿ ¿
¿ (*)
* Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy phương trình có ẩn tham số từ tìm tham số
(Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm với điều kiện để phương trình đầu có nghiệm số)
2 Các ví dụ:
a Tìm m để phương trình: 3x2 + (m - 1)x + m2 - 4m + = có nghiệm phân
biệt x1 x2 thoả mãn:
1
x1+
1
x2=
1
2(x1+x2)
Giải:
* Trước hết phương trình phải có nghiệm phân biệt x1, x21 nên phải có: ’
> (m - 1)2 - (m2 - 4m + 1) > m2 + 4m + >
m < - - √3 m > -2 + √3 (*)
* Theo hệ thức Viet ta có: x1+x2=
4(1−m)
3 ; x1.x2=
m2−4m+1
3 (m2 - 4m + 0) m √3 (**)
Từ hệ thức x1, x2 ta có:
x1+x2 x1x2 =
x1+x2
2 ⇔(x1+x2)(
1
x1x2−
1 2)=0
x1 + x2 = (1)
1
x1x2−
1
2=0 (2)
- Từ (1) có:
4
3(1−m)=0⇔m=1
- Từ (2) có:
3
m2−4m+1=
1
(14) m2 - 4m - =
[m=−1 [m=5 [
* Kết hợp giá trị m với điều kiện: (*) (**) ta m = ; m = Như vậy: Với m = m = phương trình cho thoả mãn đầu
(Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau:
Δ '≥0
x1+x2=4(1−m)
x1.x2=m
2−4m
+1
3 ≠0
1
x1
+
x2
=1
2(x1+x2)
¿
{¿ {¿{¿ ¿ ¿
¿
Khi có:
x1+x2
x1x2 =
x1+x2
2 chia cho x1 + x2 sẻ làm nghiệm)
b Cho phương trình: x2 + bx + c = có nghiệm x1, x2; phương trình: x2 - b2x + bc = có nghiệm x3, x4 Biết x3 - x1 = x4 - x2 = Tìm b c
Giải:
* Trước hết phải có:
b2
−4c≥0
b4−4bc≥0
¿ {¿ ¿ ¿
¿ (*)
* Theo giả thiết theo hệ thức Viet có:
x1+x2=−b
x1.x2=c
x3+x4=b2
x3.x4=bc
¿
{¿ {¿{¿ ¿ ¿
¿
x1+x2=−b x1.x2=c
(1+x1)+(1+x2)=b2
(x1+1) (x2+1)=bc
¿ {¿ {¿{¿ ¿ ¿
¿
(1) (2) (3) (4) (Vì x3 = x1 + ; x4 = x2 + 1)
Từ (1) (3) có: b2 + b - = (b - 1) (b + 2) =
[b=1 [b=−2[ Từ (4) có: x1x2 + x1 + x2 + =bc c - b + = bc (5)
(15)Có nghiệm = - 4c
c≤1
4
Phương trình: x2 - b2x + bc = trở thành x2 - x + c = có nghiệm
nếu c≤ 1 4 :
- Với b =- (5) trở thành c + = - 2c c = -
Khi phương trình: x2 - b2x + bc = trở thành x2 - 4x + = có nghiệm 2±√2
Phương trình: x2 + bx + c = trở thành x2 - 2x - = có nghiệm là 1±√2
* Kết luận: (b = ; c≤ 1
4 ) (b = - ; c = - 1) (Vì giá trị thoả mãn điều kiện (*))
c Tìm m để phương trình: mx2 - (m - 1)x + (m - 2) = có nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mãn x1 + 2x2 =
Giải: Có thể giải hệ hỗn hợp sau để tìm m:
m≠0 Δ '>0
x1+x2=2(m−1) m x1.x2=3(m−2)
m
¿ ¿
x1+2x2=1
{¿{¿{¿ ¿ ¿
¿ ¿
¿
m≠0;2m2−4m−1<0 x2=2−m
m x1=1−2(2−m)
m
¿ ¿
(2−m
m ).(1−
2(2−m) m )=
3(m−2) m
{¿{¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
m≠0;2−√6
2 <m<
2+√6
(2−m)(6m−4)
m2 =0
¿
{¿ ¿ ¿
¿ m = m =
2 3
d Tìm số p q phương trình: x2 + px + q = cho nghiệm của
nó thoả mãn:
x1−x2=5 x13−x23=35
¿ {¿ ¿ ¿
(16)Giải: * Trước hết phải có điều kiện: > p2 - 4q >
Giải hệ sau:
x1+x2=−p x1.x2=q x1−x2=5
¿ ¿ x13−x23=35
{¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(1) (2) (3) (4)
Từ (3) có: (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q = 25 (5) Từ (4) có: x1
3
−x23=(x1−x2)(x12+x1x2+x22)=5[(x1+x2)2−x1x2]=35
(x1 + x2)2 - x1x2 = p2 - q = (6)
Kết hợp (5) (6) ta có: p2
−4q=25
p2
−q=7 ¿
{¿ ¿ ¿
¿ (*)
Giải q = - ; p1, =
Nghiệm hệ (*) là:
p=1 q=−6
¿ {¿ ¿ ¿
¿ ;
p=−1 q=−6
¿ {¿ ¿ ¿
¿ thoả mãn điều kiện: p2 - 4q >
0
Kết luận:
p=1 q=−6
¿ {¿ ¿ ¿
¿
p=−1 q=−6
¿ {¿ ¿ ¿
¿
e Xác định tham số m cho phương trình:
(1) 2x2 - 3(m + 1)x + m2 - m - = có nghiệm trái dấu (2) mx2 - (m - 2)x + (m - 2) = có nghiệm dấu Giải:
(1) Có nghiệm trái dấu m2 - m - < (m + 1) (m - 2) < - < m <
(2) Giải
m≠0
Δ '≥0
3(m−2)
m >0
¿
{¿{¿ ¿¿
¿ - m <
V Thiết lập phương trình bậc 2:
* Ta thiết lập phương trình bậc nhận số x1; x2 nghiệm dựa sở (Định lý Viet)
(17)x2 - Sx + P = (S2 - 4P
0)
* Các ví dụ:
a Gọi , nghiệm phương trình: 3x2 + 7x + = khơng giải phương
trình thành lập phương trình bậc với hệ số số mà nghiệm
là:
α
β−1
β α−1 .
* Theo định lý Viet ta có:
α+ β=−7
3
α β=4
3
¿ ¿ {¿ ¿ ¿
¿ ¿
¿ với
Ta có:
α β−1+
β α−1=
α2+β2−α−β
(α−1)(β−1) =
(α+β)2−(α+β)−2αβ
αβ−(α+β)+1 =
23 21
α β−1
β α−1=
αβ
αβ−(α+β)+1=
6 21
Vậy
α
β−1
β
α−1 nghiệm phương trình X
2−23
21 X+ 21=0
Hay phương trình: 21X2 - 23X + = 0
* Chú ý: Có thể giải tốn cách lập phương trình tích đưa phương trình bậc cần tìm
(X− α
β−1)(X−
β
α−1)=0
b Cho a số thực cho a + Lập phương trình bậc có nghiệm x1;
x2 thoả mãn hệ thức:
4x1x2 + = (x1+ x2) (1) (x1 - 1) (x2 - 1) =
1
a+1 (2)
Giải:
(18)Ta có: (2) x1.x2 - (x1 + x2) + =
a+1
x1.x2 - (x1 + x2) =
−a
a+1 (3)
(1) 4x1x2 - (x1 + x2) = - (4)
Từ (3) (4)
x1+x2= a+1 x1.x2=4−a a+1
¿ {¿ ¿ ¿
¿ x1, x2 nghiệm phương trình:
x2−(
a+1)x+
4−a
a+1 =0 hay (a + 1)x2 - 4x + - a = 0. Viết phương trình bậc có nghiệm x1; x2 thoả mãn:
2x1x2−3(x1.x2)=2
(x1−2)(x2−2)=k+5 ¿
{¿ ¿ ¿
¿
(1) (2)
* Ta cần tìm x1 + x2 x1 x2 theo k Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta có:
2P−3S=2
P−2S=k+1
¿
{¿ ¿ ¿
¿
S=−2k
P=−3k+1
¿
{¿ ¿ ¿ ¿
Phương trình cần tìm x2 + 2kx - 3k + = ( ĐK: S2 - 4P k2 + 4k - 0)
* Qua ví dụ ta vận dụng định lý Viet đảo để lập phương trình bậc biết nghiệm cho trước hệ thức liên hệ nghiệm Song cần ý điều kiện S2 - 4P
vi xét dấu nghiệm số: Phương pháp:
Dùng định lý Viet ta xét dấu nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) dựa kết quả:
* Nếu p=
c
a<0 phương trình có nghiệm trái dấu x1 < < x2
* Nếu
Δ≥0 p>0
¿
{¿ ¿ ¿
(19)* Nếu
Δ≥0 p>0
s>0
¿ {¿{¿ ¿¿
¿ phương trình có nghiệm dương < x1 x2
* Nếu
Δ≥0 p>0
s<0
¿ {¿{¿ ¿¿
¿ phương trình có nghiệm âm: x1 x2 <
2 Các ví dụ:
a Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - = 0 (1) Xác định m để phương trình:
- Có nghiệm âm - Có nghiệm đối
Giải:
Xét trường hợp:
* TH1: Với m =0 ta có: (1) - 6x - = x =−2
3 là nghiệm âm duy
nhất phương trình
* TH2: Với m để (1) có nghiệm âm cần điều kiện là:
[x1<0≤x2 [x1=x2<0[
[x1<0=x2 [x1<0<x2 [x1=x2<0
[
[f(0)=0,S<0 [P<0
[Δ=0,−b
2a <0
[
[m=4 [0<m<4 [m=9
2 [
Vậy m (0; 4] m =
9
2 phương trình có nghiệm âm. b Cho phương trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + = (1)
* Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
* Xác định dấu nghiệm x1, x2 (x1 x2) với giá trị tìm m
Vì (1) phương trình bậc ẩn x tham số m có nghiệm số
’ (m - 1)2 - (m2 - 4m + 3) - m2 + 6m - m2 - 6m + (m - 1) (m - 5) m
* Theo hệ thức Viet có: P = x1x2 =
m2−4m+3
(20)S = x1 + x2 = m - - Xét dấu P = x1.x2
Ta có: m2 - 4m + = m = m = 3
m
x1x2 + - +
Nếu m = p = s = x1 = x2 =
Nếu m = p = ; s > = x1 < x2
Nếu < m p > ; s > < x1 < x2
Nếu < m < p < x1 < < x2
c Tìm giá trị m để phương trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0 (1) có nghiệm khơng âm
* Giải: * Nếu m = x = −1
2 < m = (loại)
* Nếu m (1) phương trình bậc ’ = - m2 + m + có nghiệm ’
m2 - m -
1−√5
2 m
1+√5
2
* Xét S =
2
1−m có trường hợp:
- Nếu m < S > (1) có nghiệm dương
- Nếu m > S < ta chưa kết luận mà phải xét: P
= m
m−1 m > P > kết hợp với S < (1) có nghiệm âm nên loại m >
* Kết luận: Giá trị m cần tìm là:
1−√5
2 m < 1.
* Cách giải 2: Xét P=
m m−1
- (1) có nghiệm x = P = m = (1)
(21)- (1) có nghiệm dương
Δ '≥0
P>0
A>0
¿
{¿ {¿ ¿¿
¿
1−√5
2 ≤m≤
1+√5
[m<0 [m>1[
m<1
¿
{¿{¿ ¿ ¿
¿
1−√5
2 m < 0 (3)
Từ (1), (2), (3)
1−√5
2 m < 1
ứng dụng khác
I Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) với Parabol (P):
y = mx (m 2
(22)Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a 0) qua điểm A
(xA;yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m 0)
* Cơ sở lý luận:
Do đường thẳng Parabol có giao điểm nên hồnh độ giao điểm là nghiệm phương trình: mx2 = ax + b
mx2 - ax - b = 0.
Từ theo Viet ta có:
xA+xB=
a m xA.xB=−b
m
¿ {¿ ¿ ¿
¿ (*)
Từ (*) tìm a b PT (d)
Dạng 2:
Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) điểm M (xM; yM)
* Cơ sở lý luận: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình: mx2 - ax - b = có nghiệm kép: x
1 = x2
Vận dụng hệ thức Viet, ta có:
x1+x2=a
x1x2=−b
m
¿ {¿ ¿ ¿
¿ a b
phương trình tiếp tuyến.
3 Ví dụ:
a Cho parabol (P) có phương trình: (P): y = x2.
Gọi A B điểm (P) có hồnh độ xA = - ; xB = Lập
phương trình đường thẳng A B.
(Ta ứng dụng hệ thức Viet)
* Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b
Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = ax + b
x2 - ax - b =0 (*).
Ta có: xA = - ; xB = nghiệm phương trình (*).
Theo Viet ta có:
xA+xB=a xAxB=−b
¿
{¿ ¿ ¿
¿
a=1 b=2
¿ {¿ ¿ ¿
¿
(23)a Cho (P): y=
x2
4 ; A (P) có hồnh độ xA = lập phương trình đường
thẳng tiếp xúc với (P) A. Giải:
Giả sử phương trình tiếp tuyến A (d): y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là:
x2
4 = ax + b x2 - 4ax - 4b = (*)
Ta có: xA = nghiệm kép (*) (x1 = x2 = 2)
Theo Viet ta có:
x1+x2=4a x1x2=−4b
¿
{¿ ¿ ¿
¿
a=1 b=−1
¿ {¿ ¿ ¿
¿
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1
ii tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
1 Từ hệ thức S = x1 + x2 ; P = x1.x2.
a Nếu S = x1 + x2 khơng đổi cịn P thay đổi.
Do: S2 - 4P P
S2
4
Nên Pmax =
S2
4 x1 = x2 =
−b
2a= S
2 (Vì PT: x2 –Sx + P = có nghiệm kép)
* Vậy: Nếu số có tổng khơng đổi tích lớn số nhau.
b Giả sử: x1 > ; x2 > x1.x2 = P (khơng đổi) cịn S = x1 + x2 (thay đổi)
Vì S2 - 4P
(S - 2√P ) (S + 2√P ) 0
S - 2√P S 2√P > Min S = 2√P x1 = x2 =
√P
* Vậy: Nếu số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ chúng bằng nhau.
(24)a Ví dụ 1: Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiện:
a>0 a b=
c a a+b+c=abc
¿ {¿ {¿ ¿¿
¿ Tìm GTNN a (Xác định b, c a Min).
Từ giả thiết tốn ta có:
bc=a2
b+c=abc−a=a3−a
¿
{¿ ¿ ¿
¿
Theo Vi-et ta có:
b, c nghiệm phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0
= (a3 - a)2 - 4a2 a2 [(a2 - 1)2 - 4] 0 (a2 - 3) (a2 + 1) a2 - a2 3
a √3 (a > 0) a = √3 b = c = √3
Vậy: amin = √3 b = c = √3
* Ở toán vai trò a, b, c nên u cầu tìm min của biến a, b, c.
Mặt khác, toán ta dựa vào điều kiện tồn hệ thức Viet S2 - 4P
(Điều kiện có nghiệm phương trình bậc 2) từ đó
suy GTNN.
iii toán chứng minh bất đẳng thức:
* Liên quan tới nghiệm phương trình bậc ta sử dụng hệ thức Viet để chứng minh bất đẳng thức có chứa nghiệm phương trình bậc cho Hoặc chứng minh bất đẳng thức có hệ điều kiện ràng buộc cho trước
1 Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - (m + 2)x + = (1) (m tham số). a Chứng minh (1) có nghiệm với m
b Giả sử (1) có nghiệm a b
Chứng minh rằng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2
(m+2)2
2
(25)a Với m = (1) trở thành - 2x + = x =
1 2
(Phương trình có nghiệm với m = 0). Với m 0:
(1) phương trình bậc có = (m + 2)2- 4m = m2+ >0m (1) có nghiệm với m
* Vậy (1) có nghiệm với m
b Muốn phương trình cho (1) có nghiệm a, b m
Do a, b nghiệm (1) nên theo Viet ta có: a + b =
m+2
m
Đặt: X = am - 1; Y = bm + X + Y = m(a + b) X + Y = m(m + 2) : m = m +
Chứng minh được: (X2 + Y2)
(X + Y)2 với X, Y X2 + Y2 (X + Y)2 / X, Y
Thay: X + Y = m + ta có: X2 + Y2
(m + 2)2 /2
Hay (am - 1)2 + (bm - 1)2 (m + 2)2 /2
2 a,Cho x, y, z thoả mãn
x+y+z=5 xy+yz+xz=8
¿ {¿ ¿ ¿
¿ (*)
Chứng minh rằng: x, y, z
Từ hệ (*) ta có:
y+z=5−x
yz=8−x(y+z)=8−x(5−x)
¿ {¿ ¿ ¿
¿
y+z=5−x
yz=x2−5x+8 ¿
{¿ ¿ ¿ ¿
Theo Viet: y z nghiệm phương trình: t2 - (5 - x)t + (x2 - 5x + 8)
= 0
Vì phương trình có nghiệm 0
(5 - x)2 - (x2 - 5x + 8) - 3x2 + 10x - 0
(26)Bằng cách chứng minh tương tự ta có: y, z
* toán ta dựa vào điều kiện tồn số y z điều kiện phương trình (*) có nghiệm số hay S2 - 4P Từ suy ra
các bất đẳng thức cần chứng minh.
I.Giải hệ đối xứng kiểu 1
- Hệ đối xứng hai ẩn kiểu hệ gồm hai phương trình , hai ẩn, ta hốn đổi vai trị các ẩn phương trình phương trình khơng thay đổi.
- Để giải hệ đối xứng kiểu cách sử dụng định lý Vi-et, ta thường biểu diễn phương trình qua tổng tích hai ẩn đó.
- Các đẳng thức hay dùng là:
a2+b2=(a+b)2−2ab ;
a+b
¿ ¿
a3+b3=¿
Ví dụ:a.Giải hệ phương trình {x√y+y√x=30
x√x+y√y=35
Giải
Ta đặt u= √ x ≥0 ,v= √ y ≥0 ,hệ trở thành
{u2v+u v2=30
u3
+v3=35 ⇔{
uv(u+v)=30 (u+v)3−3uv(u+v)=35
Tiếp theo ta đặt:S=u+v,P=uv ( S2
≥4P¿
ta hệ: { SP=30
S3−3SP=35⇔{
SP=30
S3=125⇔{
S=5
P=6 (thỏa mãn)
Theo định lí Viet ta có u,v nghiệm phương trình: t2
−5t+6=0
Giải ta t=2;t=3 Do đó {u=2
v=3 hoặc {
u=3
u=2 Dẫn đến nghiệm hệ là(4,9);(9,4)
Các biện pháp thực hiện
1. Xây dựng hệ thức Vi-ét
(27)x1 + x2 = ?; x1 x2 = ? Từ đây, gợi ý HS tìm tịi thêm mối liên hệ khác để khẳng định giá trị hệ thức
2 Yêu cầu HS lập mệnh đề đảo định lý gợi ý cách chứng minh MĐ: Nếu có x1 + x2 =
−b
a x1 x2 = c
a x1; x2 nghiệm PT bậc 2:
ax2 + bx + c = (a 0).
Hướng dẫn: f(x) = ax2 + bx + c = a (x2 +
b
a x + c
a ) = … = a (x – x1)(x –
x2)
Vì a nên f(x) = x = x1 x = x2 kết luận
3 Vận dụng định lý đảo định lý Vi-ét vào tốn tìm số biết tổng tích chúng: a + b = S; a b = P (S2 – 4P 0) a, b nghiệm PT bậc 2: x2 – sx + p =
Lưu ý: Trước hết xét s2 – 4p để khẳng định có tồn a b hay khơng tồn a b Tuy nhiên có số x1; x2 nghiệm hệ PT: x1 + x2 = s x1x2 = p khẳng định x1 x2 nghiệm PT: t2 – st + p =
4 Tiến hành thường xuyên việc nhẩm nghiệm 1phương trình bậc2 trường hợp: a+b+c= 0; a-b+c=0
Từ hình thành thói quen quan sát hệ số 1pt bậc2 tiến hành nhẩm nghiệm có; Xây dựng cho học sinh ý thức giải 1pt bậc2 đủ cách Nhẩm nghiệm trước sử dụng công thức tổng quát; Tạo thói quen sử dụng ht Vi-ét để kiểm tra nghiệm pt bậc
5 Xây dựng hệ thống tập có ứng dụng Vi-ét sau học xong “Hệ thức Vi-ét ứng dụng”
Gồm tốn:
- Khơng phải phương trình bậc mà tính tổng, tích nghiệm; tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Không đối xứng nghiệm
- Cho trước nghiệm số phương trình bậc Tìm nghiệm cịn lại tham số
- Tìm số biết tổng tích chúng
(28)- Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình bậc khơng phụ thuộc tham số
- Tìm điều kiện tham số (tìm tham số) cho nghiệm phương trình bậc cho thoả mãn hệ thức (1 điều kiện cho trước)
- Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình bậc cho trước dấu, trái dấu, dương, âm…
6 Đưa hệ thức Viet vào giải số phương trình, hệ phương trình “Khơng mẫu mực” phương trình, hệ phương trình vơ tỷ
Ví dụ: Giải phương trình: x(
5−x
x+1).(x+
5−x
(29)√xy+√ y x=
7
√xy+1
Giải hệ phương trình: (2)
x√xy+y√xy=78
Từ ý thức cho HS thấy có phương trình, hệ phương trình chuyển vận dụng ứng dụng Định lý Viet Như (1) đưa tìm A vàB cho: A.B =
A + B =
(2) x > ; y > điều kiện hệ có nghiệm chuyển hệ dạng (x + y) + (−√xy)=7
(x + y)(- √xy)=−78
7 Đề xuất cho HS tốn tìm cực trị biểu thức đại số có ứng dụng hệ thức Viet như:
- Khai thác: S2 – 4p
trường hợp S thay đổi P không thay đổi, S
hông đổi; P thay đổi
Từ liên hệ với bất đẳng thức Cơsi ứng dụng bất đẳng thức
- Đưa hệ thức Viet vào tốn tìm cực trị biến hệ điều kiện ràng buộc như:
x + y + z = Tìm cực trị x, y, z biết rằng:
xy + yz + xz =
8 Cho HS làm quen với việc sử dụng hệ thức Viet vào toán chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 2m2x + 2m2 –2 = (| m| >1) a Chứng minh rằng: Phương trình ln có nghiệm phân biệt
b. Giả sử: x1, x2 nghiệm phương trình cho x1 > x2, chứng minh:
1+x1 x
12+x1+1
< 1+x2
x
22+x2+1
9 ứng dụng hệ thức Vi ét mặt phẳng toạ độ hình học
a Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x- y = a2 parabol (p): y= a x2 (a > 0) Tìm a để (d) cắt (p) điểm phân biệt A B.
Chứng minh rằng: Khi A B nằm bên phải trục tung
* toán cần giúp cho học sinh pt hoành độ giao điểm : a x2 = 2x – a2 a x2-2x + a2 = (*) có 2nghiệm phân biệt
’= –a3> a<1 Vậy < a < điều kiện cần tìm
(30)Ta có:
x1+x2=2
a>0 x1.x2=a>0
¿ {¿ ¿ ¿
¿ x1 > x2 > A B nằm bên phải trục tung
b Cho ABC (B = 900); đường cao BH = 3cm; AC = 7cm Tính AB, BC
* đặt vấn đề tìm AB, BC thơng qua tìm AH, HC hỗ trợ Vi-ét hữu hiệu
AH+HC=7
AH.HC=32=9
¿ {¿ ¿ ¿
¿
AH.HC nghiệm PT: x2 – 7x + =
Sau dễ dàng tìm AB.AC nhờ hệ thức tam giác vuông
Mặt khác, trực tiếp tính AB, BC nhờ vào Pitago ứng dụng Viet sau:
AB2 + BC2 = AC
(AB + BC)2 – 2AB BC = AC2
(AB = BC)2 = 49 + 2AC BH = 49 + 42 = 91 AB + BC = √91
kết hợp với AB BC = 21 ta tìm AB BC thơng qua tìm nghiệm phương trình: x2 - √91 x + 21 = 0
(chính tốn tìm số có tổng S tích làP) 10 Sử dụng hệ thức Viet tập số học:
Ví dụ: Tìm số ngun a để phương trình sau có nghiệm nguyên a) x2 – (a + 5)x +5a + = (1)
b) x2 + ax + 198 = a (2) Hướng dẫn:
a Gọi x1,x2 Z nghiệm (1) theo Viet ta có:
x1+x2=a+5
x1.x2=5a+2 ¿ {¿ ¿ ¿
¿ (*)
Từ (*)
5x1+5x2=5a+25
x1.x2=5a+2
¿ {¿ ¿ ¿
¿
(x1 – 5)(x2 – 5) = = = = - 1.(-2) = (-2).(-1) a = a =
b Ta có:
x1+x2=−a
x1.x2=198−a ¿ {¿ ¿ ¿
¿ x1 + x2 – x1 x2 = -198
A
B H
(31) (x1 – 1) (x2 – 1) = 199
Do 199 số nguyên tố nên:
(x1 – 1)(x2- 1) = 1.199 = 199.1 = -1.(-199) = -199.(-1) a = 198 a = -2
11 Gây động nghiên cứu cho HS thông qua việc đặt vấn đề:
Ta dự đốn xem với phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d (a
0) (*) có nghiệm: x1; x2; x3 nghiệm có liên hệ với hệ số a, b, c, d ? sau GV giới thiệu định lý Viet mở rộng cho phương trình bậc Nếu phương trình bậc (*) có nghiệm x1, x2, x3 ta có hệ thức sau nghiệm:
x1 + x2 + x3 =
−b
a
x1x2 + x1x3 + x2x3 =
c a
x1x2x3 =
−d
a
(Định lý không yêu cầu chứng minh học chương trình tốn cấp 3)
12 Thường xun nhấn mạnh việc tìm điều kiện cho mộtphương trình bậc hai có nghiệm số trước áp dụng hệ thức Vi-ét tốn phương trình bậc hai có liên quan tới quan hệ nghiệm số; đặc biệt phương trình bậc hai chứa tham số
Kết học kinh nghiệm A Kết quả:
Qua trắc nghiệm khảo sát đối tượng HS, sau cung cấp cho HS nội dung kiến thức kỹ ứng dụng Viet, kết bước đầu thu được:
-100% số HS biết kiểm tra nghiệm phương trình bậc hệ thức Viet
- 98% số HS thành thạo nhẩm nghiệm phương trình bậc2 trường hợp: a + b + c = ; a – b + c =
- 80% số HS biết nhẩm nghiệm phương trình bậc định lý Viet đảo:
x1+x2=s x1.x2=p
¿}¿
¿ ¿ x1, x2 nghiệm phương trình bậc
- 100% số HS biết tìm số biết tổng, tích lập phương trình bậc biết nghiệm cho trước
- 85% số HS tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc cho trước
- 80% số HS tìm hệ thức liên hệ nghiệm số không phụ thuộc tham số
- 85% số HS tìm điều kiện tham số để nghiệm liên hệ với hệ thức (điều kiện cho trước)
(32)- 85% số HS sử dụng hệ thức Viet vào tìm phương trình đường thẳng qua A (xA, yA); B (xB,yB) thuộc parabôn y = mx2 (m 0).
Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabôn (p) M(xM, yM) - 90% số HS vận dụng hệ thức Viet vào tìm cực trị trường hợp:
a) S = x1 + x2 (không đổi) P thay đổi, P = x1 x2 b) P= x1 x2(không đổi) S thay đổi
- 80% số HS biết tìm cực trị biến hệ điều kiện ràng buộc
- 90% số HS vận dụng hệ thức Viet ứng dụng vào tập chứng minh bất đẳng thức
- 85% số HS biết vận dụng hệ thức Viet vào giải tốn hình học
- 90% số HS vận dụng hệ thức Viet vào giải tốn có liên quan đến số học
Bài học kinh nghiệm
1 Xây dựng mối quan hệ nghiệm số phương trình bậc hai tổng quát (khi có nghiệm số) Với hệ số a, b, c từ hình thành hệ thức Vi-ét đến phát biểu nội dung định lý Vi-ét cơng việc có ý nghĩa vơ quan trọng việc dạy toán theo hướng đổi phương pháp giảng dạy sở kiến tạo kiến thức sinh động phong phú
2 Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ứng dụng quan trọng tìm tổng tích nghiệm số (khơng giải phương trình)… Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng định lý toán học ý nghĩa định lý với tốn có liên quan
3 Việc thiết lập mệnh đề đảo định lý Vi-ét chứng minh mệnh đề tạo định lý đảo có nhiều ứng dụng vào tập
- Tìm số biết tổng tích
- Lập phương trình biết hai nghiệm - Nhẩm nghiệm phương trình
4 Nêu hệ thống ứng dụng định lý Vi-ét vào tốn có ý nghĩa thiết thực rèn luyện kĩ vận dụng hệ thức vào suy luận cấp độ tư cao như: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số …
5 Thường xuyên động viên HS có thói quen giải phương trình bậc hai, trước tiên sử dụng Vi-ét Tạo cho HS động hình, (tập qn), giải nhanh (hợp lí) tốn có phương trình Đặc biệt thói quen tính nhẩm trường hợp nêu
6 Thường xuyên “cảnh giác” cho HS trước sử dụng hệ thức Vi-ét tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) hoạt động có ý nghĩa vận dụng kiến thức suy luận rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ giải toán cho HS
(33)8 Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải tốn phương trình bậc hai ln nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét cách linh hoạt
9 Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú định lý tốn học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng phương diện ứng dụng vào tập tạo hệ thống tập phong phú, hấp dẫn HS giúp cho việc rèn luyện kĩ em vững
kết luận
1 Với ứng dụng phong phú, đa dạng Định lý Vi-et có vị trí quan trọng chương trình đại số THPT giá trị sử dụng cịn có ý nghĩa với lớp trên, việc mở rộng với phương trình bậc Định lý khơng có giá trị phương diện thực hành định lượng mà cịn có giá trị định tính cách phong phú cho nghiệm số phương trình bậc
2 Khai thác ứng dụng định lý Viet thuận đảo vào toán đại số THPT làm phong phú đa dạng tập phương trình bậc 2, bậc Giúp cho người học rèn luyện thao tác tư đặc biệt khả suy luận, tính linh hoạt q trình học tập mơn tốn
3 Cung cấp cho HS cách có hệ thống nội dung phương pháp hệ thức Viet ứng dụng phong phú giúp HS hiểu sâu mối quan hệ nghiệm số với hệ số pt bậc 2, bậc Từ hình thành HS thói quen học định lý, thấy rõ vai trò định lý tốn học chương trình tốn giúp cho em rèn luyện phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt độc đáo suy nghĩ
4 Nêu giải pháp giải loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp HS có phương hướng giải vấn đề có sở lý luận Xây dựng cho HS niềm tin học tập chống tư tưởng ngại khó, sợ tốn, giúp em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi mới, hay q trình học trốn
5 Bước đầu hình thành HS thói quen, kỹ làm tốn, học tốn có phương pháp Trang bị cho HS phương pháp thực hành toán học cách phong phú, đa dạng Chuẩn bị cho HS tiền đề để tiếp thu kiến thức phương pháp lớp sau
6 Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi phương pháp giáo dục Đó là: việc tìm chân lý tốn học khơng dừng chân lý mà quan trọng phải thấy giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tích cực HS
(34)Tuy nhiên hạn chế cá nhân nên sáng kiến kinh nghiệm nói khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì tơi kính mong quan tâm hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm cấp góp ý chân thành cho sáng kiến kinh nghiệm hoàn mỹ
