Chương II. §3. Rút gọn phân thức

BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC.. Bài 1.[r]

ĐÂY LÀ TRÍCH ĐOẠN PHẦN TÀI LIỆU TOÁN THCS

SỞ HỮU TRỌN BỘ TÀI LIỆU TỪ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT CHỈ VỚI 299K. LIÊN HỆ 0987.806.063

CHỦ ĐỀ 8: RÚT GỌN PHÂN THỨC A/ PHƯƠNG PHÁP:

- Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung

- Chú ý: Có cần đổi dấu tử mẫu để nhận nhân tử chung tử mẫu Tính chất: A = - ( - A)

B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:

DẠNG 1: Rút gọn phân thức cho.

* Thực bước rút gọn phân thức.

* Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức ta rút gọn biểu thức cho kết rút gọn số.

Bài 1. Rút gọn phân thức sau:

a)

2

14 (2 ) 21 (2 )

xy x y x y x y



 ; b)

3

8 (3 1) 12 (1 )

xy x

x x



 c)

2 20 45

(2 3)

x x

 

d)

3 10

2(2 )

x xy

y x



 e)

3 80 125

3( 3) ( 3)(8 )

x x

x x x



    f)

2

9 ( 5) 4

x

x x

 

 

g)

2 3

32 64

x x x

x

 

 h)

3

5

1

x x

x



 i)

2

5 4

x x

x x

 

  .

J)

3 10 ( ) 15 ( )

xy x y xy x y



 k)

2

x xy x y x xy x y

  

   l)

2

3 12 12

x x

x x

 



n)

2

7 14

3

x x

x x

 

 m)

2 2a 2ab ac ad bc bd



   o)

2 2

x xy y x

ơ) 2 2

2

x y x xy y



  p)

2 a a



 q)

2

6 15

x x

x x

 

 

v)

4

2

x x

x x



 u)

7 1

x x x



 ư)

2

( 2) ( 2) 16

x x

x

  

x)

2

2 24,5 0,5

3,5 0,5

x y

x xy



 y)

3 2

3

2

a a a

a

  

 ; z) 2 2

( )( )

( )( )

a b c d

b a d c

 

  .

Bài 2. Đổi dấu tử mẫu rút gọn phân thức:

a)

45 (3 ) 15 ( 3)

x x

x x



 ; b)

2

3 3 2 3

y x

x x y xy y



   .

Bài 3. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a)

2

( )( )

x y x y ay ax



  ; b)

2 3

4 6

ax x y ay

ax x y ay

  

   ;

DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức.

Để chứng minh đẳng thức ta biến đổi vế (hoặc biến đổi hai vế) đẳng thức bằng cách rút phân thức vế cho hai vế đẳng thức nhau.

Bài 1. Chứng minh đẳng thức sau:

a)

2

2

2

2

x y xy y xy y

x xy y x y

  



   ; b)

2

3 2

3

2

x xy y

x x y xy y x y

 



    .

Bài 2. Chứng minh đẳng thức sau:

a)

4

1



    



x

x x x x

x ; b)

2

2

2

2

  



  

x xy y x y

x xy y x y.

DẠNG 3:Tính giá trị biểu thức:

Bước 1: Rút gọn biểu thức cho đơn giản Bước 2:

+ Nếu cho biết rõ giá trị biến thay giá trị vào biểu thức rút gọn để tính. + Nếu cho đẳng thức liên hệ biến, rút biến theo biến thay vào biểu thức rút gọn cho biến bị triệt tiêu, từ tính giá trị biểu thức.

Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:

a)

4

2

ax a x a ax x



  với a = 3, x =

3; b)

3

6

x x x

x x

 

c)

3 3

x x

x x



 với x =



; d)

4 3

2

x x

x x



 với x =



;

e)

2 10 16

ab a b ab



 với a = , b =

1

7; f) 15

1

a

a a



 với a = 0,1;

g) 2

2 0, 0,8

x y

x y



 với x + 2y = 5; h)

2 9 1,5 4,5

x y

x y



 với 3x - 9y = 1.

Bài 2. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab b > a > Tính giá trị biểu thức P =

a b a b

  . ĐÂY LÀ TRÍCH ĐOẠN PHẦN TÀI LIỆU TOÁN THCS

BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC.

Bài 1. Rút gọn phân thức sau:

a)

x x x

x x

2

16 ( 0, 4)



 

 b)

x x x

x

2 4

3 ( 3)

2

 



 c)

x x y y x y

y x y

3

15 ( ) ( ( ) 0)

5 ( )



  



d)

x y y x x y

x y

5( ) 3( ) ( ) 10( )

  



 e)

x y x y x y

x y x y

2 5 ( )

2 5

  



   f)

x xy x y y

xy y

2

2 ( , 0)

3



 



g)

ax ax a b x

b bx

2

2

2 2 ( 0, 1)

5

 

 

 h)

x xy x x y

x x y

2

3

4 ( 0, )

5



 



i)

x y z x y z

x y z

2

(  )  ( 0)

  

  k)

x x y y x x y

x xy

6 3

7

2 ( 0, )

 

 



Bài 2. Rút gọn biểu thức

a)

2 2

m m

m m



  ; b)

2 3

ab a a b a b b

 

 ;

c)

1

xy x y

y z yz

  

   ; d)

ax ay bx by ax ay bx by

  

   ;

e)

2 2 2

2

a b c ab

a b c ac

  

   ; f)

2

2

a b a a b b

    ; g)

2

a

a a



  ; h)

3 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

a b c b c a c a b

          ; i) 2 ( ) ( )

x a b x ab x a b x ab

  

   ; j)

2 2

2 2

2

2

x a b bc ax c

x b a bx ac c

    

     ;

k)

3 2

3

6

x x x

x x

  

  ; l)

2 x x x x    n)

2x 2x

x x

a b

a b



 ; m)

2 (2 )

2

a b a b     ; o) 3 3 3 x y x y   ; ơ) 4 2 2 2 m n n m   ; p)

2 2

2

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b ab ac b bc

    

   ; q)

3

3

2 12 45

3 19 33

x x x

x x x

  

u)

3 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

x y z xyz

x y y z z x

  

     ; ư)

3 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

x y z xyz

x y y z z x

  

     .

Bài 3: Rút gọn, tính giá trị phân thức sau:

a)

x x x

A

x x x

2

3

(2 )( 2)

( )( 1)

 



  với x 

b)

x x y xy

B

x y

3 2

3

 



 với x5,y10

Bài 4: Rút gọn phân thức sau:

a)

a b c

a b c

2

(  ) 

  b)

a b c ab

a b c ac

2 2

2 2

2

     

c)

x x x

x x x

3

3

2 12 45

3 19 33

  

  

Bài 5: Rút gọn phân thức sau:

a)

a b c abc

a b c ab bc ca

3 3

2 2

3

  

     b)

x y z xyz

x y y z z x

3 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

  

    

c)

x y z xyz

x y y z z x

3 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

  

     d)

a b c b c a c a b

a b c b c a c a b

2 2

4 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

    

    

e)

a b c b c a c a b

ab ac b bc

2 2

2

(  ) (  ) (  )

   f)

x x x x

x x x x

24 20 16

26 24 22

    

    

Bài 6: Chứng minh đẳng thức sau:

a)

x x x

x x x x

3

2 ( 0)

( 4)

 

 

   b)

x x(x y x y

x y y2 x2

3 3  ) ( )

 

 

c)

x y a x y a x y

a a x y

2

3 ( ) ( 0, )

3 9 ( )

 

  



Bài 7: Tìm giá trị biến x để:

a) P x2 x



  đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x

1

max

5

 

b)

x x

Q

x x

2

1

  

  đạt giá trị nhỏ ĐS: Q khi x

3

min

4

 

a)

x a a a x

x a a a x

2 2

2 2

( )(1 )

( )(1 )

   

    b)

xy x y x x y

y x

2

3 2 1 , 1

1 3

 

   

    

   

c)

ax a axy ax ay a x y

x y

2

( 1, 1)

1

   

  

  d)

x a x

x a

2

( )

2

 



e)

x y

x y ay ax

2

( )( )



  f)

ax x y ay

ax x y ay

2 3

4

     

Bài 9. Tìm giá trị x để phân thức sau

a)

4

1

2

x x x

x x x x

  

    ; b)

4

4

5

10

x x

x x

 

 

Bài 10. Viết gọn biểu thức sau dạng phân thức

A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).

HD:

Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ xuất biểu thức liên hợp nhau

Bài 11. Rút gọn

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

x y z

y z z x x y

 

     biết x + y + z = 0.

Bài 12. Tính giá trị phân thức A = 3

x y

x y



 , biết 9x2 + 4y2 = 20xy, 2y < 3x <0.

HD

Ta có A2 =

2 2

9 12 20 12

9 12 20 12 32

x y xy xy xy xy

x y xy xy xy xy

  

  

  

Do 2y < 3x <  3x 2y0,3x2y 0 A0 A =

1



Bài 13. Rút gọn biểu thức: P =

4 4

4 4

(1 4)(5 4)(9 4) (21 4) (3 4)(7 4)(11 4) (23 4)

   

    .

HD

Xét n4 + = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]

Do P =

( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1

(1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 577

        

    

      

Bài 14. Cho phân số A =

HD

Ta có A = 100 100 10

10 1 Nhân tử mẫu với 10100 - 1, ta được:

A=

 

  

100 100 100 100

200

100 100 200

10 (10 1) 99 00

0,99 00 10 99



 



(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn phân số)

Bài 15. Cho phân thức: M =

2 2 2

2

( )( ) ( )

( ) ( )

a b c a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

      

    

a) Tìm giá trị a, b, c để phân thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M

HD:

a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa mẫu thức kác

Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0  a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.

 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0

 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0  a + b = b + c = c + a

 a = b = c.

Vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa a, b, c khơng đồng thời 0, tức a2 + b2 + c2  0.

b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

Đặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y Khi (a + b + c)2 = x + 2y.

Ta có M =

2 2

2 2

( ) ( )

2

x x y y x xy y x y

x y a b c ab bc ca

x y y x y x y

    

         

   

(Điều kiện a2 + b2 + c2  0)

ĐÂY LÀ TRÍCH ĐOẠN PHẦN TÀI LIỆU TOÁN THCS