ĐỒ THỊ PHẲNG (lý THUYẾT đồ THỊ SLIDE)

Chương ĐỒ THỊ PHẲNG (Planar Graph) Nội dung Khái niệm định nghĩa Công thức Euler Một số đồ thị không phẳng Bất đẳng thức EV Định lý KURATOWSKI Ứng dụng đồ thị phẳng trong:  Bài tốn tơ màu đồ thị  Bài toán lập lịch thi Khái niệm định nghĩa Bài toán cổ: “Ba nhà, ba giếng”: Có ba nhà gần ba giếng, nhưng: -Khơng có đường nối trực tiếp nhà với -Khơng có đường nối trực tiếp giếng với - Mỗi nhà có đường đến giếng Có cách làm đường mà đơi khơng giao hay khơng (ngồi điểm nhà hay giếng)? Khái niệm định nghĩa Biểu diễn toán đồ thị: -Mỗi nhà ↔ đỉnh -Mỗi giếng ↔ đỉnh -Một đường nhà giếng ↔ cạnh 1• • 3• A • •B Đồ thị G: K3,3 •C “Tồn hay không cách vẽ đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt nhau?” Khái niệm định nghĩa Định nghĩa đồ thị phẳng: -Một đồ thị gọi đồ thị phẳng (Planar Graph) ta vẽ mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt điểm đỉnh đồ thị (việc vẽ đồ thị mặt phẳng gọi biểu diễn phẳng đồ thị) Ví dụ: Vẽ lại G 3 G Một biểu diễn phẳng G Khái niệm định nghĩa G E F B A Q3 H D Biểu diễn phẳng G? G C Biểu diễn phẳng Q3? K3,3 6? Biểu diễn phẳng K3,3  Biểu diễn phẳng G Q3 (Xem tập)  Gợi ý cách c/m K3,3 không phẳng: - Ta thấy, biểu diễn phẳng K3,3, v1 v2 kề với v4, v5 v3 phải nằm vùng F1 F2 v1 v5 R1 v4 R2 v2 v1 v5 Cạnh (v2,v6) phải cắt R2 cạnh (v4,v3), (v3,v5) R11 v3 v6 R12 TH1:v3 nằm R1 v1 v4 v5 R11 v1 v3 R12 v4 v6 R12 v2 Cạnh (v1,v6) phải cắt R2 cạnh (v4,v3), (v3,v5) R11 R2 v3 v2 v5 v4 v2 v5 v1 R11 v3 R2 R12 v4 v6 v2 Cạnh (v3,v6) phải cắt cạnh v1 v5 R1 R22 v6 v4 v2 v5 R21 v3 v1 TH2:v3 nằm R2 v1 R2 v5 R1 R22 v5 R1 v6 v4 v2 v2 v1 v5 R1 R21 v3 v3 R22 R22 v5 R2 v4 v6 v5 v2 R21 v Cạnh (v1,v6) phải cắt cạnh (v4,v2), (v2,v5) R2 R21 v4 Cạnh (v3,v6) phải cắt cạnh (v4,v2), (v2,v5) Cạnh (v2,v6) phải cắt cạnh khác v6 Khái niệm định nghĩa miền 3 miền Miền miền 1, miền 2: hữu hạn miền 3: vô hạn (5,4),(4,2),(2,5): Biên miền Cho G đồ thị phẳng: Các cạnh đồ thị chia mặt phẳng thành miền (Region) Phần giới hạn chu trình đơn khơng chứa bên chu trình đơn khác gọi miền hữu hạn Mọi đồ thị phẳng ln có miền vơ hạn Chu trình giới hạn miền gọi biên miền Một số đồ thi không phẳng Như vậy: Một đồ thi G khơng phẳng đồ thị K3,3 K5 Bất đẳng thức EV Bất đẳng thức EV (The Edges-Vertices Inequality): Cho G đồ thị liên thơng có n đỉnh, m cạnh đai g≥3 Nếu G phẳng ta có bất đẳng thức: g m≤ ( n − 2) g −2 Định lý KURATOWSKI 5.1 Phép phân chia sơ cấp: Cho đồ thị G = (V,E) Phép bỏ cạnh (u, v) ∈ E và  thêm vào đỉnh w và  cạnh (u,w), (w, v) gọi phép phân chia sơ cấp (elementary subdivision) u u w v v Định lý KURATOWSKI 5.2 Các đồ thị đồng phôi Đồ thị G’ gọi là đồng phôi (homeomorphic) với đồ thị G G’ có từ G chuỗi phép chia sơ cấp Ví dụ: a a b h a b i b k f g c d G1 e c G2 , G3 , đồng phôi với G1 j g d G2 e c d G3 e Định lý KURATOWSKI 5.3 Định lý Kuratowski: Một đồ thị đồ thị phẳng không chứa đồ thị đồng phôi với K3,3 K5 Ví dụ: Đồ thị G sau khơng phẳng chứa đồ thị đồng phơi với K G H≤G, H đồng phôi với K5 Trong đồ thị sau, đồ thị phẳng, đồ thị không phẳng? Vẽ lại đồ thi phẳng cho khơng có cạnh cắt ngồi đỉnh G1 G2 G4 G3 26 27 Tơ màu đồ thị Bài tốn: Để phân biệt miền đồ ta phải tô màu chúng màu khác Hỏi cần màu để tô đồ cho miền kề không màu F C A D G F E B B C D E Tơ màu đồ thị Mơ hình hố toán: + Mỗi miền tương ứng đỉnh đồ thị + Hai đỉnh có cạnh nối chúng hai miền có chung biên Đồ thị nhận gọi đồ thị đối ngẫu đồ + Đồ thị đối ngẫu đồ đồ thị phẳng B B A C D C A E D E Tơ màu đồ thị Bài tốn tương đương: tơ màu đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề tơ hai màu khác số lượng màu sử dụng Định nghĩa: Tô màu đơn đồ thị gán màu cho đỉnh đồ thị cho đỉnh kề gán màu Ví dụ: B R W R Tơ màu đồ thị Định nghĩa: số màu đồ thị G (kí hiệu : χ(G)) số màu tối thiểu cần để tơ màu đồ thị G R Ví dụ: Xét đồ thị G: B Số màu đồ thị G R R B Định lý màu: số màu đồ thị phẳng số không lớn Nhận xét: - Số màu đồ thị lưỡng phân màu - Số màu đồ thị đầy đủ Kn n màu Ví dụ: Tìm số màu đồ thị sau: K4,2 K5 G H 32 Ứng dụng tô màu đồ thị toán lập lịch thi Hãy lập lịch thi trường đại học cho khơng có sinh viên phải thi đồng thời hai môn lúc Mơ hình hố tốn: - Mỗi đỉnh mơn thi - Hai đỉnh có cạnh nối hai mơn mà sinh viên phải thi - Thời điêm thi mơn ứng với màu Bài tốn trở thành tốn tơ màu cho đồ thị cho hai đỉnh kề có màu khác Ví dụ:  Giả sử có mơn cần xếp lịch thi, đánh số từ đến G đồ thị biểu diễn việc xếp lịch thi cho sv Nhận xét: Số màu đồ thị ⇒ Sử dụng thời gian khác để xếp lịch Thứ tự thời gian Các môn I 1,6 II II 3,5 IV 4,7 34 35 ... Kuratowski: Một đồ thị đồ thị phẳng khơng chứa đồ thị đồng phơi với K3,3 K5 Ví dụ: Đồ thị G sau khơng phẳng chứa đồ thị đồng phơi với K G H≤G, H đồng phôi với K5 Trong đồ thị sau, đồ thị phẳng, đồ thị không... thơng, phẳng G có 20 đỉnh, đỉnh có bậc Một biểu diễn phẳng đồ thị G chia đồ thị G thành miền? 18 Một số đồ thị không phẳng  Các đồ thị K1, K2, K3, K4 đồ thị phẳng Đồ thị K5 không đồ thị phẳng  Đồ. ..  Đồ thị Km,n (m,n≥3) không đồ thị phẳng Ví dụ: K3,3 K3,3 khơng đồ thị phẳng 19 Một số đồ thi không phẳng Định lý: Cho H đồ thị đồ thị G: oNếu G phẳng H phẳng oNếu H khơng phẳng G khơng phẳng