Lý thuyết đồ thị (Nguyễn Thanh Sơn) - chương 4 ĐỒ THỊ PHẲNG pdf

ĐỒ THỊ PHẲNG ntsonptnk@gmail.com NỘI DUNG  Đồ thị phẳng Định nghĩa Các phép rút gọn Định lý Kuratowsky Công thức Euler  Tô màu đồ thị Lý thuyết đồ thị , chương - Nguyễn Thanh Sơn ĐỒ THỊ PHẲNG Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn ĐỊNH NGHĨA  Đồ thị vô hướng G gọi phẳng tồn cách vẽ G mặt phẳng cho khơng có hai cạnh G cắt  Khi G đồ thị phẳng cách vẽ G mặt phẳng cho khơng có hai cạnh G cắt gọi biểu diễn phẳng G  Hai cạnh chung đỉnh qui ước không cắt Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn VÍ DỤ  G1 đồ thị phẳng G2, G3 biểu diễn phẳng G1 A A C G1 D C D B C B A D G2 Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn B G3 ĐỒ THỊ ĐỒNG PHÔI  Các PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG PHÔI: Thêm đỉnh nằm cạnh Gộp cạnh chung đỉnh bậc thành cạnh  ĐỒ THỊ ĐỒNG PHÔI: Hai đồ thị gọi đồng phơi đồ thị có từ đồ thị cách thực dãy phép biến đổi đồng phôi Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn VÍ DỤ  Các đồ thị đồng phôi Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn ĐỊNH LÝ  Nếu G đồ thị phẳng ta tìm đồ thị G1 đồng phơi với G G1 có biểu diễn phẳng với cạnh đoạn thẳng Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn CÁC PHÉP RÚT GỌN CƠ BẢN Tính phẳng đồ thị khơng thay đổi thực hay nhiều lần phép rút gọn sau đây: Bỏ khuyên Bỏ bớt cạnh song song, giữ lại cạnh nối hai đỉnh Gộp hai cạnh có chung đỉnh bậc thành cạnh Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn VÍ DỤ Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 10 ĐỊNH LÝ KURATOWSKY Đồ thị đủ K5 không phẳng Đồ thị lưỡng phân đủ K3,3 không phẳng Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 11 ĐỊNH LÝ KURATOWSKY K5 K3,3 đồ thị không phẳng đơn giản theo nghĩa: Xóa đỉnh cạnh đồ thị nhận đồ thị phẳng K5 đồ thị khơng phẳng đỉnh K3,3 đồ thị khơng phẳng cạnh Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 12 ĐỊNH LÝ KURATOWSKY Điều kiện cần đủ để đồ thị liên thơng G có tính phẳng G khơng chứa đồ thị đồng phôi với K5 hay K3,3 6 8 Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 13 VÍ DỤ h Tríc C ĐT Biến đổi đ ồn g phôi Vẽ lại 7 Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 14 CÔNG THỨC EULER  Định lý: G đồ thị phẳng, liên thông gồm n đỉnh, e cạnh Giả sử biểu diễn phẳng G chia mặt phẳng làm f vùng, ta có cơng thức (công thức Euler): f=e-n+2  Hệ quả: Nếu G đồ thị đơn, phẳng, liên thông, gồm n đỉnh e cạnh (với e > 2) Giả sử biểu diễn phẳng G chia mặt phẳng thành f vùng Ta có: e ≥ (3/2)f e ≤ 3n - Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 15 VÍ DỤ  Chứng minh tính khơng phẳng K5: K5 đồ thị đơn liên thông có n=5 e=10, ta có e=10 > 9=3n-6 K5 khơng phẳng  Lưu ý: K3, đồ thị đơn, liên thơng có n=6 e=9 thỏa e ≤ 3n – không phẳng Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 16 TÔ MÀU ĐỒ THỊ Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 17 ĐỊNH NGHĨA  Phép TÔ MÀU ĐỒ THỊ cách gắn cho đỉnh đồ thị màu cho đỉnh kề phải có màu khác  SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ G, ký hiệu γ(G), số nguyên dương k nhỏ cho tồn phép tô màu G sử dụng k màu Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 18 VÍ DỤ γ(G) = Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 19 TÍNH CHẤT Nếu đồ thị G có chứa cạnh khơng phải khun γ(G)≥ 2 Đồ thị đủ N đỉnh KN có sắc số N Nếu đồ thị G chứa đồ thị đẳng cấu KR γ(G)≥ R Nếu đồ thị G chu trình sơ cấp N đỉnh thì: γ(G)= N chẳn, γ(G)= N lẻ; γ(G)= (N mod 2) + Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 20 ĐỊNH LÝ Nếu T N đỉnh với N≥2 γ(T)= 2 G đồ thị liên thơng có cạnh Khi γ(G)=2 G khơng chứa chu trình sơ cấp có số cạnh lẻ Đồ thị G=(X, E) Gọi dmax(G)=max{d(x)/x∈X} Ta có: γ(G)≤ d max(G)+1 Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 21 GIẢI THUẬT GẦN ĐÚNG //Giải thuật tham lam tô màu đồ thị Input: G(X, E) Output: đồ thị tô màu Xác định bậc đỉnh đồ thị; khởi động color = 1; Lặp cịn đỉnh chưa tơ màu Tơ màu tất đỉnh tô màu color theo thứ tự ưu tiên bậc từ cao đến thấp color = color + Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 22 TÔ MÀU ĐỒ THỊ PHẲNG  Giả thiết màu: “Mọi đồ tơ màu cho hai nước nằm kề phải tô hai màu khác nhau” (De Morgan, 10/1852)  Mọi đồ thị phẳng tơ nhiều màu ??? Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 23 BÀI TẬP Cho đồ thị G: Xét tính phẳng G Tô màu G Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 24 ... cạnh Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn VÍ DỤ Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn 10 ĐỊNH LÝ KURATOWSKY Đồ thị đủ K5 không phẳng Đồ thị lưỡng phân đủ K3,3 không phẳng Lý thuyết. .. DUNG  Đồ thị phẳng Định nghĩa Các phép rút gọn Định lý Kuratowsky Công thức Euler  Tô màu đồ thị Lý thuyết đồ thị , chương - Nguyễn Thanh Sơn ĐỒ THỊ PHẲNG Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh. .. không cắt Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn VÍ DỤ  G1 đồ thị phẳng G2, G3 biểu diễn phẳng G1 A A C G1 D C D B C B A D G2 Lý thuyết đồ thị - chương - Nguyễn Thanh Sơn B G3 ĐỒ THỊ ĐỒNG PHÔI