Hiểu chỉnh phương trình hammerstein với nhiễu không đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THẮM HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH HAMMERSTEIN VỚI NHIỄU KHƠNG ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THẮM HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH HAMMERSTEIN VỚI NHIỄU KHƠNG ĐƠN ĐIỆU Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kí hiệu chữ viết tắt Một số khái niệm 1.1 Không gian Banach 1.2 Toán tử đơn điệu 1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.4 Phương trình tốn tử loại Hammerstein 6 16 22 Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu khơng đơn điệu 25 2.1 Hiệu chỉnh không gian Banach vô hạn chiều 25 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn tận tình thầy giáo GS.TS Nguyễn Bường - Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy kính chúc thầy ln ln mạnh khỏe Tơi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Tôi muốn bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy tồn thể bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 22 tháng 10 năm 2014 Người thực Nguyễn Thị Thắm Mở đầu Nhiều toán khoa học, kỹ thuật đề cập đến vấn đề tìm nghiệm x(t) phương trình tích phân b K(t, s)G(x(s))ds = f (t), x(t) + a K(t, s) f (t) hàm cho trước Nếu ta ký hiệu b K(t, s)y(s)ds, (F2 y)(t) = (F1 x)(t) = G(x(t)), a ta có phương trình tốn tử x + F2 F1 (x) = f Phương trình nhà tốn học Đức A Hammerstein đề xuất Sau lý thuyết chung tồn nghiệm cho phương trình tốn tử chứng minh H Amann, H Bresiz, F.Browder, D Defigueiredo, C Gupta, W Petryshyn L Tartar · · · (xem [7]) Phương trình x + F2 F1 (x) = f đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính, tốn điều khiển tối ưu, học đặc biệt việc nghiên cứu toán nảy sinh từ kỹ thuật Do nhiều toán thực tế lý thuyết hệ thống có rơle phi tuyến lý thuyết hệ thống với cấu trúc thay đổi · · · dẫn đến việc giải phương trình vi tích phân với phần phi tuyến gián đoạn, toán nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu nhiều khía cạnh tồn nghiệm Nội dung luận văn trình bày kết nghiên cứu GS.TS Nguyễn Bường hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu khơng đơn điệu Kết trình bày báo "Solution of the Hammerstein equations under non-monotone perturbations" Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt không chỉnh số vấn đề liên quan đến hiệu chỉnh phương trình Hammerstein Chương hai trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm phương trình Hammerstein x + F2 F1 (x) = f toán tử Fi , i = 1, cho xấp xỉ tốn tử Fih khơng có tính đơn điệu Một số kí hiệu chữ viết tắt En Không gian Euclide n chiều D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử A H Không gian Hilbert thực C Tập lồi đóng H I Ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn Dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Chương Một số khái niệm Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề khái niệm không gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt khơng chỉnh khái niệm phương trình tốn tử loại Hammerstein Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [1], [2], [3] [4] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X gọi khơng gian định chuẩn ứng với phần tử x ∈ X ta có số gọi chuẩn x kí hiệu x , thỏa mãn điều kiện sau: 1) x > 0, ∀x = 0, x = 0, ⇔ x = 0; 2) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X; 3) αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R; Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Ví dụ 1.2 Ví dụ khơng gian Banach 1) Không gian En với x = (x1 , x2 , ., xn ) chuẩn 1/p n x p |xi |p = , i=1 p số thực thỏa mãn ≤ p < +∞ Khi p = 2, En gọi không gian Euclid n chiều 2) Không gian dãy số lp với phần tử x = (x1 , x2 , , xn , ) 1/p ∞ x p |xi |p = < +∞ i=1 3) Không gian hàm Lp [a, b] phần tử hàm đo x(s) có xp (s) khả tích với chuẩn xác định sau x Lp =    b |x(s)|p ds 1/p  < +∞  a 4) Giả sử K trường số thực Ký hiệu C [a, b] không gian hàm liên tục đoạn hữu hạn [a, b] Bởi hàm liên tục đoạn bị chặn nên ta xác định f = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b] , f ∈ C [a, b]} Dễ thấy hàm f → f xác định chuẩn không gian C [a, b] Như C [a, b] không gian định chuẩn Sự hội tụ C [a, b] chuẩn hội tụ Ta kiểm tra C [a, b] không gian Banach nghĩa dãy Cauchy hội tụ Thật vậy, cho {fn } dãy Cauchy C [a, b] Khi với ε > 0, tồn n0 , với m, n > n0 , với x ∈ [a, b], |fn (x) − fm (x)| ≤ ε (1.1) Như vậy, với ε cố định dãy số dãy Cauchy trường K Do K đầy đủ nên tồn f (x) = lim fn (x), x→∞ ∀x ∈ [a, b] Ta f ∈ C [a, b] nghĩa f liên tục [a, b] fn → f C [a, b] Trong (1.1) cách cố định x ∈ [a, b] n ≥ n0 , cho m → ∞ ta |fn (x) − f (x)| ≗0 ) α + hg1 ( xω ) x1 + x1 , F1 (x0 ) − F1h (xω ) ˜ x1 L xω − x0 s1 + hg2 ( x∗ω ) x2 + s1 ! ˜ x2 L ∗ h ∗ + x , F2 (x0 ) − F2 (xω ) + x∗ω − x∗0 s2 s2 ! + x2 , x0 − xω − x1 , x∗0 − x∗ω (2.8) Thay x (2.1) xω + x1 x∗ (2.2) xω + x2 , ta đánh giá x1 , F1 (x0 ) − F1h (xω ) = x1 , x∗0 − x∗ω + x1 , x∗ω − F1h (xω ) ≤ x1 , x∗0 − x∗ω + εg1 ( xω ) x1 + α x1 , U1 (xω ) ≤ x1 , x∗0 − x∗ω + εg1 ( xω ) x1 + α x1 xω , x2 , F2 (x∗0 ) − F2h (x∗ω ) = x2 , −x0 + xω + x2 , −F2h (x∗ω ) + f − xω ≤ − x2 , x0 − xω + εg2 ( x∗ω ) x2 + α x2 , U2 (x∗ω ) ≤ − x2 , x0 − xω + εg2 ( x∗ω ) x2 + α x2 x∗ω Do đó, từ (2.8) ta có A≤ 2ε (g1 ( xω ) xω − x0 + g2 ( x∗ω ) x∗ω − x∗0 ) α + 2ε(g1 ( xω ) x1 + g2 ( x∗ω ) x2 ) + α( x1 ˜ x1 L + s1 ! x∗ω ) ˜ x2 L xω − x0 s1 + s2 ! xω + x2 x∗ω − x∗0 s2 (2.9) Để ước tính tỷ lệ hội tụ chuỗi {xω }, tìm ước tính cho x∗ω − x∗0 Từ (2.9) ràng buộc gi , {xn }, {x∗n } ta m2 ˜ x2 L 1− m2 s2 ! x∗ω − x∗0 s2 ≤ m1 + m2 31 ˜ x1 L 1− m1 s1 ! ˜ x2 L 1− m2 s2 ! xω − x0 s1 x∗ω − x∗0 s2 ≤O ε α ε +ε+α α x∗ω − x∗0 + O (2.10) Sử dụng bất đẳng thức Young a, b, c > 0, p > q > 0, ap ≤ baq + c ⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) vào bất đẳng thức (2.10) ta x∗ω − x∗0 = O(εθ2 ) Từ (2.9) ta có m1 ˜ x1 L 1− m1 s1 ! xω − x0 s1 ε ≤O α ε1+θ2 xω − x0 +O +ε+α α Trở lại, áp dụng bất đẳng thức Young vào bất đẳng cuối ta có xω − x0 = O(εθ ) Nếu si = [si ] hai số si , ví dụ s2 = [s2 ], r˜ω ≤ ˜ L x∗ω − x∗0 ([s2 ] + 1)! [s2 ]+1 , vế trái (2.10) thay m2 ˜ x2 L 1− x∗ω − x∗0 m2 ([s2 ] + 1)! [s2 ]+1−s2 x∗ω − x∗0 s2 Bởi x∗ω − x∗0 → 0, [s2 ] + − s2 > ˜ x2 L x∗ω − x∗0 1− ([s2 ] + 1)! [s2 ]+1−s2 ≥ 1/2, cho ε, α bé tùy ý Trường hợp s1 = [s1 ] hai số si không số nguyên xét đến tương tự Định lý chứng minh Bây ta thiết lập hội tụ tốc độ hội tụ dãy {xωn }, h, α, ε → 0, n → +∞ cách đánh giá đại lượng xωn − x0 32 ... 6 16 22 Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu không đơn điệu 25 2.1 Hiệu chỉnh không gian Banach vô hạn chiều 25 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều... sau: Trình bày kiến thức không gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt khơng chỉnh giới thiệu phương trình tốn tử loại Hammerstein Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm phương trình Hammerstein. .. Chương trình bày số khái niệm không gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt khơng chỉnh số vấn đề liên quan đến hiệu chỉnh phương trình Hammerstein Chương hai trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm