Định lý rolle và một số áp dụng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ì ị ⑩P ❉Ö◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ì ị ❘❖▲▲❊ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ⑩P ❉Ư◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P ▼❶ ❙➮✿ ✻✵✳✹✻✳✹✵ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ữớ ữợ ▼❾❯ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✐ ▼ö❝ ỵ ởt số rở ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ r ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸ ỵ tr ổ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ỗ ỗ ó ❦❤↔ ✈✐ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ t ỗ ❤➔♠ ❧ã♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✷ ✣ë ❣➛♥ ✤➲✉ ✈➔ s➢♣ t❤ù tü ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ởt số ự ỵ ❘♦❧❧❡ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ự sỹ tỗ t ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✷ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✸ ❙ü ♣❤➙♥ ❜è ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✹ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r✲●♦♥t❝❤❛r♦✈✳ ✸✳✺ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ❇➔✐ t➟♣ ❜ê s✉♥❣ ❑➳t ❧✉➟♥ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶ ✹ ✹ ✼ ✶✵ ✶✶ ✶✶ ✶✸ ✶✸ ✶✽ ✷✸ ✷✸ ✸✺ ✹✷ ✹✽ ✺✵ ✻✶ ✻✺ ✻✼ ✻✽ ✶ ▼ð ✤➛✉ ỵ ởt số rở ỵ ỵ r ỵ ỵ ❘♦❧❧❡ tr➯♥ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✮ ❧➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ỵ q trồ tr tr tr ữỡ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❝ê ✤✐➸♥✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ỵ tr ữỡ tr t r tổ r➜t ✤❛ ❞↕♥❣ ✈➔ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ♠ët ❦❤♦↔♥❣✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ①➨t ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳✳✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ tổ t ự ỵ ❘♦❧❧❡ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➔ ợ s t ỵ tữ õ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ♥❤➡♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ t❤➯♠ ❝❤♦ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ❦❤→✱ ❣✐ä✐✱ ❝â ♥➠♥❣ ❦❤✐➳✉ ✈➔ ②➯✉ t❤➼❝❤ ♠æ♥ t♦→♥ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉✱ ♥❣♦➔✐ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝á♥ ❝â t❤➯♠ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t➟♣ ♥➙♥❣ ❝❛♦✱ q✉❛ ✤â s➩ t❤➜② rã ❤ì♥ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ r➜t ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❝õ❛ ỵ ỵ r ởt số ỵ rở t ụ ữợ ỵ ✤➣ ❜✐➳t ✤➸ t➻♠ tá✐ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❤❛②✱ ✤ë❝ ✤→♦ ✤➦❝ t❤ị ❝❤♦ tø♥❣ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❝ư t❤➸✱ tø õ t ỵ tự s t ỳ t ♠ỵ✐✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➙② ❝ơ♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♠➔ ❜↔♥ t❤➙♥ t→❝ ❣✐↔ s➩ t✐➳♣ tö❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❣✐↔♥❣ ❞↕② t♦→♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ð tr÷í♥❣ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣♦➔✐ ♠ư❝ ❧ư❝✱ ❧í✐ õ t t t ỗ ố ữỡ ữỡ ỵ ởt số ♠ð rë♥❣✳ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➜t ❝→❝ ✤à♥❤ ỵ tr tr ũ ởt số q q trồ ỵ tt ỡ s ✤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ð ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ự trỹ t ỵ ỵ r tr st t t rt ❝ì ❜↔♥ ✈➔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ sè tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr t P õ t ỗ t t ỗ ó số ữỡ ởt số ự ỵ ❘♦❧❧❡ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè✳ ✣➙② ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ♥➯✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ ỵ rở tr ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ sü ♣❤➙♥ ❜è ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠✳ ❈→❝ ❜➔✐ t➟♣ ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷đ❝ ❧ü❛ ❝❤å♥ tø ✤➲ t❤✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ◗✉è❝ ❣✐❛✱ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ ❦❤✉ ✈ü❝ ✈➔ ◗✉è❝ t➳✱ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ ❞♦ t→❝ ❣✐↔ tü s→♥❣ t→❝✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t➟♣ ✤➲✉ ♥➯✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝ư t❤➸✱ ❝â ữ r ỳ t ợ ✤➛② t➼♥❤ s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ❜➜t ♥❣í✳ ❈❤÷ì♥❣ ✹✳ ❇➔✐ t s ữỡ ợ t ởt số t♦→♥ t✐➯✉ ❜✐➸✉ ✤➣ ✤÷đ❝ s➢♣ ①➳♣ ✈➔ ❧ü❛ ❝❤å♥ ữù ộ õ ữợ ♥❤➡♠ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ❜❛ ữỡ trữợ ❦ÿ ♥➠♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❝ư t❤➸✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t ữợ sỹ ữợ ♥❤➙♥ ❞➙♥✱ ●❙✲❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ●❙ ✲ ◆❣÷í✐ ❚❤➛② r➜t ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ ✈➔ t➟♥ t➙♠ tr ổ tr tử tự qỵ ❜→✉ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉✱ P❤á♥❣ ✤➔♦ t↕♦ s❛✉ ✣↕✐ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ũ qỵ t ổ t ữợ ợ ❚♦→♥ ❑✷✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❯❇◆❉ ❚➾♥❤✱ ❙ð ●✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ✣➔♦ t↕♦ ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣✱ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ ✈➔ t➟♣ t❤➸ ❝→♥ ❜ë ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❚r÷í♥❣ ❚❍P❚ ❉➙♥ të❝ ◆ë✐ tró ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❝â ❝ì ❤ë✐ ✤÷đ❝ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❝↔♠ ì♥ sü q✉❛♥ t➙♠✱ ❣✐ó♣ ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✱ ❑✷✱ ❑✸ trữớ ố ợ t tr sốt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ t➟♣ tr✉♥❣ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ ♥❣❤✐➯♠ tó❝ tr♦♥❣ s✉èt ❦❤â❛ ❤å❝✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ r➜t ❝➞♥ t❤➟♥ tr♦♥❣ ❦❤➙✉ ❝❤➳ ❜↔♥ ▲❛❚❡①✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ ❝↔♥❤ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ♥➯♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ t→❝ ❣✐↔ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü qỵ t ổ ỳ õ ỵ ❝õ❛ ❜↕♥ ✤å❝ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✵✾ ♥➠♠ ✷✵✶✵✳ ◆❣÷í✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❉÷ì♥❣ ❑✐➲✉ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✣à♥❤ ỵ ởt số rở r ữỡ ú tổ ợ t ỵ ởt số rở ỵ ▼ët sè ❤➺ q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ð ✤➙② ✤➸ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t ỵ ỡ s ỵ ỹ ỵ ỡ t ❲❡✐❡r✲ str❛ss ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ❦❤✐ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] t❤➻ ♥â ♣❤↔✐ ✤↕t ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ❣✐→ trà ♥❤ä t tr õ ỵ rt ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ g(x) tr♦♥❣ (a, b) ✤↕t ❝ü❝ trà ✭❝ü❝ ✤↕✐ ❤♦➦❝ ❝ü❝ t✐➸✉✮ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✤â t❤➻ ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â ❜➡♥❣ ✵✳ ✣à♥❤ ỵ ỵ sỷ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ♠å✐ x ∈ (a; b)✳ ◆➳✉ f (a) = f (b) t tỗ t t t ởt c ∈ (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (c) = 0✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ♥➯♥ t ỵ rstrss f t tr ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ❣✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b]✱ tù❝ ❧➔ Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tỗ t ✤✐➸♠ x1 , x2 ∈ (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (x1 ) = f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M [a;b] [a;b] ❈â ❤❛✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣✿ a) m = M ❑❤✐ ➜② f (x) = const tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b]✱ ❞♦ ✤â f (x) = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) ✈➔ c ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦➻ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳ b) m < M ✳ ❑❤✐ ✤â ✈➻ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (a) = f (b) ♥➯♥ ➼t ♥❤➜t ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ✤✐➸♠ x1 , x2 s➩ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➛✉ ♠ót ❝õ❛ ✤♦↕♥ [a; b]✳ ●✐↔ sû x1 ∈ (a; b)✱ t ỵ rt t t ỵ ữủ ự t ỵ õ s ổ ❝á♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ❝â ✤✐➸♠ c t õ f (c) ổ tỗ t ①➨t ❤➔♠ √ f (x) = − x2 , x ∈ [−1; 1]✳ ❉➵ t❤➜② f (x) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ f (x) ✱ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ (−1; 1) ✈➔ f (−1) = f (1)✳ ❚❛ ①➨t ✤↕♦ ❤➔♠ f (x) = − √ 33x rã r➔♥❣ t↕✐ x0 = ∈ (−1; 1) ✤↕♦ ❤➔♠ ổ tỗ t số ổ t ỵ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ f (x) ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ t❤❛② ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ①➨t ❤➔♠  1, ♥➳✉ x = 0, f (x) = x, ♥➳✉ < x ≤ Ð ✤➙② x = ❧➔ ✤✐➸♠ ❣✐→♥ ✤♦↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ rã r➔♥❣ ❦❤æ♥❣ tỗ t x0 (0, 1) f (x0 ) = ✸✮ Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝✿ ◆➳✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ỵ ữủ t t tr ỗ t số y = f (x), x [a; b] tỗ t M (c; f (c)), c ∈ (a; b) ♠➔ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ ✤â s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ trư❝ ❤♦➔♥❤ Ox✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ◆➳✉ ❤➔♠ sè f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ➼t ♥❤➜t n − ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ✭P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (k) (x) = ❝â ➼t ♥❤➜t n − k ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✱ ✈ỵ✐ k = 1, 2, , n✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ✤➣ ✤÷đ❝ s➢♣ t❤ù tü x1 < x2 < · · à < xn õ ỵ ❘♦❧❧❡ ❝❤♦ n − ✤♦↕♥ [x1 ; x2 ], [x2 ; x3 ], , [xn−1 ; xn ] t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ➼t ♥❤➜t n − ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ n − ❦❤♦↔♥❣ (x1 ; x2 ), (x2 ; x3 ), , (xn−1 ; xn )✳ ●å✐ n − ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ ξ1 , ξ2 , , ξn−1 t❤➻ t❛ ❝â f (ξ1 ) = f (ξ2 ) = · · · = f (ξn−1 ) = tử ỵ ❝❤♦ n − ❦❤♦↔♥❣ (ξ1 ; ξ2 ), , (ξn−2 ; ξn−1 ) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ➼t ♥❤➜t n − tr (a; b) tử ỵ tr s k ữợ ữỡ tr f (k) (x) = ❝â ➼t ♥❤➜t n − k ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ sè f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ❦❤æ♥❣ q✉→ n − ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ❦❤æ♥❣ q✉→ n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❧➔ n + ♥❣❤✐➺♠✱ t❤➳ t❤➻ t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ 1.1 ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ➼t ♥❤➜t n ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ✣✐➲✉ ♥➔② tr→✐ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❱➟② ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = ❝â ❦❤ỉ♥❣ q✉→ n ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ①➨t ởt rở ỵ q số f (x) t ỗ tớ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤➙②✿ ✐✮ f (x) ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ n (n ≥ 1) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ✐✐✮ f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ n + tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ✐✐✐✮ f (a) = f (a) = · · · = f (n) (a) = 0, f (b) = õ tỗ t b1 , b2 , , bn+1 ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)s❛♦ ❝❤♦ f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t f (a) = f (b) = 0, t ỵ tỗ t b1 ∈ (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (b1 ) = 0, ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (a) = 0, s✉② r tỗ t b2 (a; b1 ) (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (b2 ) = ▲↕✐ ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (a) = ✈➔ t✐➳♣ tử ỵ t õ f (b3 ) = ✈ỵ✐ b3 ∈ (a; b2 ) ⊂ (a; b) tử ữ ữợ tự n tỗ t bn (a; bn1 ) (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (n) (bn ) = 0, ❦➳t ❤ñ♣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (n) (a) = 0, s✉② r❛ tỗ t bn+1 (a; bn ) (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (n+1) (bn+1 ) = ◆❤÷ ✈➟② tỗ t t b1 , b2 , , bn+1 tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + ❈❤➼♥❤ ♥❤í ỳ q ỵ tr t ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư r➜t ♠↕♥❤ ✤➸ ❣✐↔✐ t♦→♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ố ợ t ữỡ tr ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ♥➔♦ ✤â✳ ❈→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ♥➔② s➩ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tt tr ữỡ s ỵ r ỵ t t t ởt số ỵ q t tt ợ ỵ ỵ ỵ r sỷ f ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ tr (a; b) õ tỗ t ➼t ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠ c ∈ (a; b) s❛♦ ❝❤♦ [a; b] f (b) − f (a) = f (c)(b − a) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✳✶✮ ❚❛ ①➨t ❤➔♠ ♣❤ö ✭✶✳✷✮ F (x) = f (x) − λx, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ỵ r c (k; k + 1) s❛♦ ❝❤♦ f (k + 1) − f (k) = f (c) 2 ⇔(k + 1) − k = c− > − 13 ⇔2(k + 1) < (k + 1) (k + 1)− − k3 ❈❤♦ k ❝❤↕② tø ✤➳♥ n − ✈➔ ❝ë♥❣ ❧↕✐✱ t❛ ✤÷đ❝ n k=1 < 3n < 8n − 4, < 3n k3 ✭✸✳✸✸✮ ⇔S2 < 4n − ❚ø ✭✸✳✸✷✮ ✈➔ ✭✸✳✸✸✮ t❛ ❝â S1 > S2 , ∀n N ữ ổ tỗ t n N ✤➸ S1 < S2 ❇➔✐ ✸✳✷✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ sin e ●✐↔✐✳ √ cos(e − 1) − sin(e − 1) cos e > ❚❛ ❝â π > e ✈➔ e − ≈ 1, 71828 > cos(e − 1) cos e ✭✸✳✸✹✮ π  sin e > 0, sin(e − 1) > 0, ⇒ cos e < 0, cos(e − 1) < ❑❤✐ ✤â sin e sin(e − 1) ✭✸✳✸✹✮ ⇔ √ − > 3 cos e cos(e − 1) sin x π ✣➦t f (x) = √ ✱ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x = + kπ, k ∈ Z cos x π ❘ã r➔♥❣ ❤➔♠ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [e − 1, e] ⊂ ; π ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (e − 1; e) ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ỵ r c (e 1; e) s f (e) − f (e − 1) = f (c) cos2 x + ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❝â f (x) = √ 3 cos4 x Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✸✺✮ ✺✺ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❆▼✲●▼ ❝❤♦ ✸ sè cos2 x, cos2 x, t❛ ❝â √ cos2 x + = cos2 x + cos2 x + ≥ cos4 x cos2 x + ⇔ √ ≥ ⇔ f (x) ≥ 3 cos4 x ❉➜✉ ✧❂✧ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛ ✈ỵ✐ x ∈ [e − 1; e]✱ ❞♦ ✈➟② ✭✸✳✸✻✮ f (c) > ❚ø ✭✸✳✸✺✮ ✈➔ ✭✸✳✸✻✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ f (e) − f (e − 1) > 1, sin(e − 1) sin e − > ❤❛② √ 3 cos e cos(e − 1) ❚ø ✤â t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ π ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ < α < β < t❤➻ ❇➔✐ ✸✳✷✽✳ β−α β−α < tan β − tan α < cos2 α cos2 β ●✐↔✐✳ ❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = tan x ❘ã r➔♥❣ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [α; β], ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (α; β) ✈➔ t❛ ❝â f (x) = ✳ cos2 x ỵ r c (; ) s❛♦ ❝❤♦ tan β − tan α = (β − α) cos2 x ✭✸✳✸✼✮ π ♥➯♥ < cos β < cos c < cos α 1 < < , cos2 α cos2 c cos2 β ❱➻ < α < β < ❚ø ✤â t❛ ❝â ❙✉② r❛ β−α β−α β−α < < cos2 α cos2 c cos2 β ❚ø ✭✸✳✸✼✮ ✈➔ ✭✸✳✸✽✮ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➔✐ ✸✳✷✾✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ n > 1(n ∈ N) ✈➔ < a < b t❛ ❝â nan−1 (b − a) < bn − an < nbn−1 (b − a) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✸✽✮ ✺✻ ●✐↔✐✳ ❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = xn ✱ ✈ỵ✐ x > ❘ã r➔♥❣ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ (0; +∞) ✈➔ f (x) = nxn1 õ t ỵ r c (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (b) − f (a) = f (c)(b − a), ❤❛② bn − an = ncn−1 (b − a) ✭✸✳✸✾✮ ❉♦ b − a > ✈➔ a < b < c ♥➯♥ t❛ ❝â nan−1 (b − a) < ncn−1 (b − a) < nbn−1 (b − a) ✭✸✳✹✵✮ ❚ø ✭✸✳✸✾✮ ✈➔ ✭✸✳✹✵✮ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➔✐ ✸✳✸✵✳ ❈❤♦ t > ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ 1+ ●✐↔✐✳ t+1 t+1 > 1+ t t ❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = x ln + = x[ln(x + 1) − ln x], ✈ỵ✐ x > x ❚❛ ❝â 1 − x+1 x ✭✸✳✹✶✮ = ln(x + 1) − ln x − x+1 ❳➨t ❤➔♠ sè g(y) = ln y tr➯♥ ✤♦↕♥ [x; x + 1]✳ ❘ã r➔♥❣ g(y) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [x; x + 1]✱ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (x; x + 1) ✈➔ t❛ ❝â g (y) = y ỵ r c (x; x + 1) s❛♦ ❝❤♦ f (x) = ln(x + 1) − ln x + x g(x + 1) − g(x) = g (c)(x + − x), ♥❣❤➽❛ ❧➔ t❛ ❝â ln(x + 1) − ln x = c 1 ✱ ❞♦ ✤â ❱➻ < x < c < x + ⇒ > c x+1 ln(x + 1) − ln x > x+1 ⇔ ln(x + 1) − ln x − > x+1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✹✷✮ ✺✼ ❚ø ✭✸✳✹✶✮ ✈➔ ✭✸✳✹✷✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ f (x) > 0, ∀x > s✉② r f (x) ỗ tr (0; +) ữ ợ t > t õ f (t + 1) > f (t), ❤❛② t❛ ❝â 1 > t ln + x+1 t t+1 t 1 > ln + ⇒ ln + t+1 t (t + 1) ln + ✭✸✳✹✸✮ ❉♦ t ỗ g(y) = ln y ♥➯♥ tø ✭✸✳✹✸✮ t❛ s✉② r❛ 1+ t+1 t+1 > 1+ t t ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✻✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t✱ ♥➳✉ n ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â 1+ n+1 n+1 > 1+ n n ✭✸✳✹✹✮ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❜➔✐ tr➯♥ ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✹✹✮ ✭❚ø ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ r❛ ởt số ữỡ tý ỵ ợ t tự t❛ ❝â ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➜t ♥❣➢♥ ❣å♥ ♥❤÷ s❛✉✿ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❆▼✲●▼ ❝❤♦ n + số ỗ n số + n số 1✱ t❛ ❝â 1 + 1+ + ··· + + +1 n n n ≥ n+1 n+1 1 n ⇔ 1+ > 1+ n+1 n 1+ n+1 1+ n ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➔✐ ✸✳✸✶✳ ❈❤♦ n ∈ N∗ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ √ xn − x < √ , ∀x ∈ (0; 1) 2ne Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n ✺✽ ●✐↔✐✳ t tự tữỡ ữỡ ợ x2n (2n − 2nx) < e ✭✸✳✹✺✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❆▼✲●▼ ❝❤♦ ✷♥ sè ❞÷ì♥❣ x ✈➔ sè ❞÷ì♥❣ 2n−2nx✱ t❛ ❝â x + x + · · · + x + 2n − 2nx 2n+1 x2n (2n − 2nx) ≤ 2n + x + x + · · · + x + 2n − 2nx 2n+1 ⇔x2n (2n − 2nx) ≤ 2n + 2n+1 2n ⇔x2n (2n − 2nx) ≤ ✭✸✳✹✻✮ 2n + ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ 2n 2n + 2n+1 < e ✭✸✳✹✼✮ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â 2n+1 2n < ln e−1 2n + ⇔ (2n + 1)[ln 2n − ln(2n + 1)] < −1 ⇔ ln(2n + 1) − ln 2n > 2n + ln ỵ r sè f (x) = ln x tr➯♥ ✤♦↕♥ [2n; 2n + 1]✱ ❦❤✐ ✤â ∃c ∈ (2n; 2n + 1) s❛♦ ❝❤♦ ln(2n + 1) − ln 2n = f (c) = 1 > c 2n + ◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✹✼✮✳ ❚ø ✭✸✳✹✻✮ ✈➔ ✭✸✳✹✼✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➔✐ ✸✳✸✷✳ ●✐↔ sû a1, a2, a3, a4 > ✈➔ (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ) = x4 + 4P1 x3 + 6P22 x2 + 4P33 x + P44 ✭Pi > ❱ỵ✐ i = 1, , 4✮✳ ❛✮ ❚➼♥❤ P1 , P2 , P3 , P4 ? ❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ P1 ≥ P2 ≥ P3 ≥ P4 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✾ ●✐↔✐✳ ❛✮❚➼♥❤ P1 , P2 , P3 , P4 ❚❛ ❝â (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ) = x4 + (a1 + a2 + a3 + a4 )x3 + (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 )x2 + (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 )x + a1 a2 a3 a4 ỗ t tự số t ữủ ⇔    4P1 = a1 + a2 + a3 + a4 ,     6P = a a + a a + a a + a a + a a + a a , 4   4P33 = a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 ,     P = a a a a 4    P1 = 41 (a1 + a2 + a3 + a4 ),     P2 = (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 ),   P3 = 14 (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 ),     P = √ a1 a2 a3 a4 ❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ P1 ≥ P2 ≥ P3 ≥ P4 ✰✮ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ỵ t õ P1 P4 ❈▼✿ P1 ≥ P2 ✣❛ t❤ù❝ P (x) = x4 + 4P1 x3 + 6P22 x2 + 4P33 x + P44 ❝â ✹ ♥❣❤✐➺♠✱ ✈➻ t❤➳ t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ 1.1 t❤➻ P (x) ❝â ➼t ♥❤➜t ✷ ♥❣❤✐➺♠✱ ♠➔ t❛ ❝â P (x) = 12x2 + 24P1 x + 12P22 P (x) ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ⇔ ∆ ≥ ⇔ P1 ≥ P2 ✭✈➻ P1 > 0, P2 > 0✮✳ ✰✮ ❈▼✿ P2 ≥ P3 ❚❛ ❝â P (x) = 4(x3 + 3P1 x2 + 3P22 x + P33 ) ✣➦t x = t❤➻ t❛ ❝â P (x) = (1 + 3P1 t + 3P22 t2 + P33 t3 ) ❉➵ t❤➜② ✤❛ t t t❤ù❝ P (x) ❝â ✸ ♥❣❤✐➺♠ ➙♠ ♥➯♥ ✤❛ t❤ù❝ Q(t) = (1 + 3P1 t + 3P22 t2 + P33 t3 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻✵ ❝ô♥❣ ❝â ✸ ♥❣❤✐➺♠✱ s✉② r❛ Q (t) ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠✳ ▼➔ Q (t) = 3(P33 t2 + 2P22 t + P1 ) Q (t)❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ⇔ ∆ ≥ ⇔ P24 − P33 P1 ≥ ⇔ P24 ≥ P33 P1 ≥ P33 P2 (✈➻P1 ≥ P2 ≥ 0) ⇔ P23 ≥ P33 ⇔ P2 ≥ P3 ✰✮ ❚❤❡♦ ỵ t ự ✤÷đ❝ P3 ≥ P4 ❇➔✐ ✸✳✸✸ ✭❖❧②♠♣✐❝ ◆❣❛ ✮✳ ❈❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0.(ai = 0, i = 1, 2, , n) ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (n − 1)a21 > 2na0 a2 ●✐↔✐✳ ❳➨t ✤❛ t❤ù❝ f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ❘ã r➔♥❣ f (x) ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥ ❧➛♥ tr➯♥ R ❱➻ f (x) ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✱ ♥➯♥ t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ 1.1 t❤➻ f (x) ❝â ➼t ♥❤➜t n − ♥❣❤✐➺♠✱ f (x) ❝â ➼t ♥❤➜t n − ♥❣❤✐➺♠✱ ··· f (n−2) (x) ❝â ➼t ♥❤➜t ✷ ♥❣❤✐➺♠✳ n! ▼➔ t❛ ❝â f (n−2) (x) = a0 x2 + (n − 1)!a1 x + (n − 2)!a2 f (n−2) (x)❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ⇔ ∆ > ⇔ [(n − 1)!a1 ]2 − 2n!a0 (n − 2)!a2 > ⇔ (n − 1)a21 > 2na0 a2 ❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻✶ ❈❤÷ì♥❣ ✹ ❇➔✐ t➟♣ ❜ê s✉♥❣ ❇➔✐ ✹✳✶✳ ❈❤ù♥❣ r ợ a, b, c tý ỵ ữỡ tr a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sin x = ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ ✤♦↕♥ [0; 2π] ✭✣➲ t❤✐ t✉②➸♥ s✐♥❤ ✣❍ ❦❤è✐ ❆ ữợ t số 1 f (x) = a sin 3x + b sin 2x + c sin x − cos x ỵ tr [0; 2π] ❇➔✐ ✹✳✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an−1 a1 an + + · · · + + a0 = t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â n+1 n ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (0; 1) t tự ữợ t số f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ỵ 3.1 ự r ữỡ tr s❛✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠ π πx − π arccos x − √ − √ = − x2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữợ t sè f (x) = π arccos x − →♣ ❞ö♥❣ ỵ tr ; πx − −√ ✈➔ − x2 ❇➔✐ ✹✳✹✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè f (x) t❤♦↔ ♠➣♥ ỗ tớ t t s f (x) ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ (k − 1) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b], (1 ≤ k ≤ n) ✐✐✮ f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ k tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ✐✐✐✮ f (x0 ) = f (x1 ) = · · · = f (xk ) ✈ỵ✐ a < x0 < x1 < · · · < xk < b ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (x0 ; xk ) tỗ t t t (n k + 1) ✤✐➸♠ ξ s❛♦ ❝❤♦ f (k) (ξ) = 0, ✈ỵ✐ ♠å✐ k = 1, 2, , n ữợ ỵ ✹✳✺✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè f (x) ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (a) = f (b), f (x) = 0, ∀x ∈ (0 = a; b) ự r tỗ t {xn }, xn (a; b) s ữợ f (xn ) lim √ = 2010 n→∞ ( n e − 1)f (xn ) ❱ỵ✐ ♠é✐ n = 1, 2, 3, , ①➨t ❤➔♠ sè Gn (x) = exp − 2010x )f (x) n ❇➔✐ ✹✳✻✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè f (x) ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ✤♦↕♥ [0; 1] ●✐↔ sû f (0) = 0, f (1) = ự r tỗ t sè α, β ✈ỵ✐ < α < β < s f ().f () = ữợ ❣✐↔✐✳ ❳➨t ❤➔♠ sè g(x) = f (x) + x − ❇➔✐ ✹✳✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ 2(x2 − x − 2) cos 2x = (1 − 2x) sin 2x ❝â ➼t ♥❤➜t ❜❛ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (−1; 2) Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữợ ❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = (x2 − x − 2) sin 2x ❇➔✐ ✹✳✽✳ ●✐↔ sû a3 + 2b + c = ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ a22x + b2x + c = ổ õ ữợ ❞➝♥ ❣✐↔✐✳ ✣➦t t = 2x , t > ✈➔ ①➨t ❤➔♠ sè b a f (t) = t3 + t2 + ct ❇➔✐ ✹✳✾✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ 2x − log2(x + 1) − = ữợ t số f (x) = 2x − log2(x + 1) − ❇➔✐ ✹✳✶✵✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr 2x ữợ x + 12x −x = 2.7x −x ❱✐➳t ❧↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ữợ 12x x 7x x = 7x −x − 2x −x ●✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ α✱ t❛ ①➨t ❤➔♠ sè f (t) = (t+5)α π ❳→❝ ✤à♥❤ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ sinx = ❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = sin x − x −α −tα −α ữợ a − b + c = ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ a sin x + 9b sin 3x + 25c sin 5x = ❝â ➼t ♥❤➜t ✹ ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ [0; ] ữợ t f (x) = a sin x + b sin 3x + c sin 5x tr➯♥ [0; π] ❇➔✐ ✹✳✶✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ợ số tỹ a, b ữỡ tr a(25 sin 5x − sin x) + b(49 sin 7x − sin 3x) = ❝â ➼t ♥❤➜t ✼ ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ✤♦↕♥ [0; 2π] Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữợ ❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = a sin x+b sin 3x−a sin 5x−b sin 7x tr➯♥ [0; 2π] ❇➔✐ ✹✳✶✹✳ < a < b ự r ữợ ❞➝♥ ❣✐↔✐✳ b b−a b−a < ln < b a a ❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = ln x tr [a; b] ỵ r ❇➔✐ ✹✳✶✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ a, b t❛ ❝â | sin a − sin b |≤| b − a | ữợ t số f (x) = sin x ỵ r ❇➔✐ ✹✳✶✻✳ ❈❤♦ a < b < c ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ 3a < a + b + c −