Phương trình hàm sinh bởi phép quay và một số áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI PHÉP QUAY VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Đặc trưng biến đổi cyclic 1.1 1.2 Phép biến đổi phân tuyến tính 1.1.1 Mối liên hệ hàm phân tuyến tính phương trình bậc hai 1.1.2 Nhóm cyclic hàm phân tuyến tính Một số nhóm hữu hạn đường trịn 11 1.2.1 Nhóm cyclic đường tròn đơn vị 11 1.2.2 Nhóm cyclic hàm số phân tuyến tính đường trịn đơn vị 12 1.2.3 Nhóm cyclic đường thẳng thực 14 Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số 15 2.1 Phương trình hàm tuyến tính phân tuyến tính với hệ số 15 2.2 Phương trình hàm với vế phải hàm số 23 Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số biến thiên 27 3.1 Nghiệm riêng phương trình hàm 27 3.2 Nghiệm phương trình 28 3.3 Nghiệm phương trình khơng 30 Một số áp dụng 4.1 33 Xác định dãy cấp số đặc biệt 33 4.1.1 Cấp số cộng 34 4.1.2 Cấp số nhân 35 4.1.3 Cấp số tổng quát 35 4.2 Xác định số dãy số phân tuyến tính 37 4.3 Phương trình hàm tập số tự nhiên 38 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn đề tài Trong tốn học phổ thơng tốn phương trình hàm loại tốn thường khó Liên quan đến dạng tốn toán đặc trưng hàm số tính chất liên quan Để tổng quan phương pháp giải dạng toán trên, cần thiết phải hệ thống hóa kiến thức nâng cao dạng phương trình hàm ứng dụng chúng Đề tài "Phương trình hàm sinh phép quay số áp dụng" nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, có đặc trưng tính chất hàm số, tính chất dãy số, tính chất nhóm cyclic (nhóm quay vịng) nhiều kiến thức khác Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống tổng quan tốn phương trình hàm cho ứng dụng khác toán phổ thơng Nắm số kĩ thuật tính tốn biến đổi tuyến tính phân tuyến tính, đặc trưng hàm số, tính chất hàm thực số phức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các toán phương trình hàm xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS - TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chun tốn, Tạp chí toán học tuổi trẻ, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương : Đặc trưng biến đổi cyclic Chương 2: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số Chương 3: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số biến thiên Chương 4: Một số áp dụng Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu tận tình giúp đỡ, định hướng, động viên và ân cần bảo cho tơi hồn thành luận văn Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy cô hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giảng dạy lớp cao học Toán K2 trường Đại học khoa học-Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu định hướng cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tuy cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài viết luận văn song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp để luận văn tơi hồn chỉnh có ý nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn Thái nguyên, ngày 09.09.2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đặc trưng biến đổi cyclic 1.1 Phép biến đổi phân tuyến tính 1.1.1 Mối liên hệ hàm phân tuyến tính phương trình bậc hai Trước hết ta khảo sát phương trình bậc hai với hệ số thực dạng m = x, m = x+γ (1.1) (1.1) ⇔ x2 + γx − m = 0, x = −γ (1.2) Ta có Phương trình (1.2) có nghiệm thực i Nếu = γ + 4m ≥ γ = (1.2) có nghiệm kép x0 = − √ γ ii Nếu ≥ (1.2) có nghiệm phân biệt x1,2 = − ∓ 2 √ γ i − iii Nếu < (1.2) có nghiệm phức liên hợp x1,2 = − ∓ 2 Tiếp theo ta cách đặt ẩn số phụ để đưa phương trình đại số tổng quát sinh hàm phân tuyến tính ω(x) dạng αx + β = x, αγ − β = x+γ (1.3) phương trình dạng (1.1) Thật ta sử dụng đồng thức sau αx + β β − αγ =α+ x+γ x+γ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn viết phương trình (1.3) dạng α+ β − αγ β − αγ =x⇔α+ =x−α+α x+γ (x − α) + (γ + α) hay β − αγ = t, t + (γ + α) (1.4) t = x − α Rõ ràng phương trình (1.4) có dạng (1.1) Trong trường hợp đặc biệt γ + α = phương trình (1.4) có dạng đơn giản β + α2 =t t (1.5) hàm phân tuyến tính tương ứng có tính chất đặc biệt: ω(ω(x)) = x tức hàm ω(x) có tính chất đối hợp (đối hợp bậc 2) Từ nhận xét ta thấy hàm phân tuyến tính ω(x) = ax + b đưa cx + d αx + β , với αδ − βγ = αδ − βγ = −1 Từ toán γx + δ phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính đưa phương trình dạng ω(x) = sinh biến đổi dạng (1.1) phép biến hình sơ cấp phép tịnh tiến, phép quay, phép đồng dạng phép nghịch đảo Đồng thời từ ta dùng tất biến đổi hàm bậc hai áp dụng cho hàm phân tuyến tính Trong trường hợp phương trình (1.1) có nghiệm phức hàm ω(x) khơng phải hàm đối hợp bậc tốn giải nào? Đó vấn đề phức tạp vượt khỏi khn khổ chương trình tốn bậc phổ thơng Vấn đề đặt làm mà ta chọn hàm ω(x) thỏa mãn điều kiện nêu trên? • Trường hợp 1: Xây dựng hàm ω(x) cho phương trình ω(x) = x có nghiệm kép x = x0 Xuất phát từ đẳng thức (x − x0 )2 = ⇒ x2 − 2xx0 + x20 = ⇒ x(x − 2x0 ) = −x20 ⇒ x = − x20 x − 2x0 Suy hàm ω(x)) cần tìm x20 ω(x) = − x − 2x0 • Trường hợp 2: Xây dựng hàm ω(x) cho phương trình ω(x) = x có nghiệm phân biệt x = x1 ; x = x2 Xuất phát từ đẳng thức (x − x1 )(x − x2 ) = ⇒ x2 − x(x1 + x2 ) + x1 x2 = ⇒ x[x − (x1 + x2 )] = −x1 x2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x1 x2 x − (x1 + x2 ) Suy hàm ω(x) cần tìm ⇒x=− ω(x) = − x1 x2 x − (x1 + x2 ) Tiếp theo ta khảo sát số tính chất hàm phân tuyến tính tổng quát C 1.1.2 Nhóm cyclic hàm phân tuyến tính Xét hàm phân tuyến tính dạng ω(x) = αx + β γx + δ (1.6) L1 (z) = α1 x + β1 γ1 x + δ1 L2 (z) = α2 x + β2 γ2 x + δ2 hai hàm phân tuyến tính tùy ý tích chúng kí hiệu L1 ◦ L2 (z) xác định sau α2 x + β2 + β1 (α1 α2 + β1 γ2 )z + α1 β2 + β1 δ2 γ2 x + δ2 L(z) = L1 ◦ L2 (z) = = α2 x + β2 (γ1 α2 + δ1 γ2 )z + γ1 β2 + δ1 δ2 γ1 + δ1 γ2 x + δ2 α1 Rõ ràng L(z) hàm phân tuyến tính Suy với tích tập hợp hàm phân tuyến tính lập thành nhóm Ta kí hiệu nhóm G Dễ thấy G nhóm vơ hạn khơng giao hốn Với hàm phân tuyến tính ω(z) = ta chia tử mẫu cho az + b với ad − bc = cz + d (1.7) | ad − bc | ta thu ω(z) = αz + β với αδ − βγ = ±1, γz + δ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.8) ta ln giả thiết αδ − βγ = ta thấy G nhóm hàm αz + β phân tuyến tính dạng ω(z) = với αδ − βγ = ±1 γz + δ Với ∀ω ∈ G ta viết α β γ δ Aω = Khi ta có nhận xét sau Nhận xét 1.1 Giả sử ω1 ω2 thuộc G ta có Aω2 ω1 = Aω2 Aω1 (1.9) Nhận xét 1.2 e(z) = −1z + 1z + ≡ 0z + 0z − phần tử đơn vị nhóm G Ta kí hiệu I phần tử đơn vị nhóm G Nhận xét 1.3 Giả sử ω ∈ G ω ≡ I A = E A = −E, E ma trận đơn vị Mệnh đề 1.1 Giả sử ω(z) = αz + β thuộc G Khi với ∀n ∈ N ta có γz + δ Anω = λn Aω − λn−1 E (1.10) λk − (α + δ)λk−1 + λk−2 = (1.11) λ0 = 0, λ1 = với k = 1, 2, Chứng minh Theo quy nạp với n = (1.10) hiển nhiên Giả sử với n = k với n = k+1 ta có: Ak+1 = Akω Aω = (λk Aω −λk−1 E)Aω = λk A2ω −λk−1 Aω ω = λk [(α +δ)Aω −E]−λk−1 Aω = [λk (α +δ)−λk−1 ]Aω −λk E = λk+1 Aω −λk E λk+1 = λk (α + δ) − λk−1 Bây ta xác định λk từ công thức (1.11) Dễ thấy (1.11) phương trình vi phân tuyến tính bậc có phương trình đặc trưng t2 −(α+δ)t+1 = với biệt số = (α + δ)2 − Vậy ta có Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.4 Giả sử ω(z) = αz + β thuộc G n ∈ N Khi γz + δ • Nếu α + δ = λn = n • Nếu α + δ = −2 λn = (−1)n+1 n 1 • Nếu α + δ = ±2 λn = (xn1 − xn2 ) = (xn2 − xn1 ) θ1 θ2 bậc θ1 θ2 α + δ + θ2 α + δ + θ ; x2 = hai (α + δ)2 − x1 = 2 Từ nhận xét ta thấy để Anω = E điều kiện cần đủ λn = λn−1 = −1 Vậy ta phát biểu kết nhận dạng Mệnh đề 1.2 Giả sử ω ∈ G có dạng (1.6) ω ≡ I Khi ω n ≡ I α + δ = cos kπ với k ∈ {1, 2, , n − 1} n Định lý 1.1 Giả sử ω ∈ G cho trước n ∈ N, n ≥ cố định Khi ω thỏa mãn điều kiện ωn ≡ I ω n ≡ I, m = 1, 2, 3, , n − (1.12) α + δ = cos αδ − βγ = kπ , k ∈ {1, 2, , n − 1} , (n, k) = n Chứng minh Theo mệnh đề 1.2, ta có α + δ = cos kπ ,với k ∈ {1, 2, , n − 1} n k π kπ k1 π Nếu (n, k) = l > α + δ = cos = cos ln = cos n1 = n n1 l n n < n Theo mệnh đề 1.2, ta có ω ≡ I, mâu thuẫn với giả thiết ω n1 ≡ I với l ∀m ∈ {1, 2, , n − 1} Vậy nên (n, k) = kπ ứng với k ∈ {1, 2, , n − 1} (n, k) = Từ Ngược lại, giả sử α + δ = cos n mệnh đề 1.2, suy ω n ≡ I Giả sử tồn m ∈ N, ≤ m < n cho ω m ≡ I Từ k1 π mệnh đề 1.1, suy tồn k1 ∈ {1, 2, , m − 1} cho α + δ = cos Khi n 10 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Thay x − x ta 2f (2 − x) + 3xf (x + 1) = − x Kết hợp với giả thiết 2f (x + 1) + 3xf (2 − x) = + 2x ta hệ 2f (2 − x) + 3(1 − x)f (x + 1) = − x 4f (x + 1) + 6xf (2 − x) = + 4x ⇔ 6xf (2 − x) + 9x(1 − x)f (x + 1) = 3x(3 − x) 5x − 3x2 − ⇒ (9x + 9x2 − 4)f (x + 1) = 5x − 3x2 − ⇒ f (x + 1) = 9x + 9x2 − 3(x + 1) + 11(x + 1) − 10 −3x2 + 11x − 10 hay f (x) = , ⇒ f (x + 1) = −9x2 + 27x + √−9(x + 1) + 27(x + 1) + −27 ± 1017 −3x2 + 11x − 10 ∀x = Thử lại thấy hàm f (x) = thỏa mãn yêu cầu −18 −9x2 + 27x + toán Vậy −3x2 + 11x − 10 f (x) = −9x2 + 27x + Nhận xét 3.2 Với ý tưởng ta giải toán tổng quát sau: ϕ(x)f (x − a) + ψ(x)f (b − x) = ω(x) (3.8) Nhận xét 3.3 Trong số trường hợp ta gặp hàm ω(x) thỏa mãn tính chất ω(ω(· · · (ω(x))) = x n để cách trình bày đỡ cồng kềnh ta thường xét dãy số x1 = x; xn+1 = ω(xn ) Bài tốn 3.7 Tìm hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện xf (x) + 2f ( x−1 = 1), ∀x = −1 x+1 (3.9) x−1 Giải Với ∀x = −1, xét dãy x1 = x; xn+1 = ω(xn ), ω(x) = Ta có x+1 x−1 x+1 x1 = x; x2 = ; x3 = − ; x4 = ; x5 = x Suy dãy {xn } tuần hoàn với x+1 x 1−x chu kì Thay x x1 , x2 , x3 , x4 vào phương trình (3.9) ta  x1 f (x1 ) + 2f (x2 ) =    x2 f (x2 ) + 2f (x3 ) = x3 f (x3 ) + 2f (x4 ) =    x4 f (x4 ) + 2f (x1 ) = Giải hệ với ẩn f (x1 ) ta 31 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4x21 − x1 + , x = −1, 0, f (x1 ) = 5x1 (x1 − 1) Cho x = từ (3.9) suy 2f (−1) = ⇒ f (−1) = Cho x = từ (3.9) ta f (1) + 2f (0) = Suy f (x) =  4x − x +   x = 0, 1, −1     5x(x − 1) x = −1    a x =    − 2a x = (a = f (0)) Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét 3.4 Trong số trường hợp ta gặp phương trình hàm dạng a(x)f (h(x)) + b(x)f (g(x)) = c(x) Trong a(x), b(x), c(x), h(x), g(x) hàm số biết ta đặt t = h(x) (t = g(x) ) phương trình cho biểu thức nghiệm đơn giản chẳng hạn x = d(t) (hoặc kĩ thuật biến dổi đó) ta cố gắng đưa phương trình dạng quen thuộc a1 (t)f (t) + b1 (t)g1 (t) = c1 (t) Bằng cách xét dãy g1 (t) đóng vai trị g(x), dãy nhận tuần hồn, áp dụng phương pháp trình bày ta tìm hàm f (x) 32 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số áp dụng Mỗi dãy số un với số hạng tổng quát un = f (n) tương ứng với hàm số f : N −→ R Do tốn xác định số hạng tổng quát dãy số chất tốn phương trình hàm tập số tự nhiên Sau ta xét số áp dụng cụ thể phương trình hàm tốn dãy số 4.1 Xác định dãy cấp số đặc biệt Định nghĩa 4.1 Dãy số {un } gọi dãy số tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N Số nguyên dương l nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kì sở dãy Nhận xét 4.1 Dãy số tuần hoàn chu kì dãy dãy Định nghĩa 4.2 Dãy số {un } gọi dãy số tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s cho usn = un , ∀n ∈ N Số nguyên dương s nhỏ gọi chu kì sở dãy Bài toán 4.1 Chứng minh dãy {un } tuần hồn (cộng tính) chu kì dãy có dạng un = [α + β + (α − β)n ], α, β ∈ R (4.1) Giải Giả sử u0 = β u1 = α un+2 = un , ∀n ∈ N Khi ta thấy (bằng quy nạp toán học) dãy {un } có dạng (4.1) Ngược lại dãy số có dạng (4.1) dãy số tuần hồn chu kì 33 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán 4.2 Chứng minh dãy {un } tuần hồn nhân tính chu kì dãy có dạng un = C với C số u2k+1 với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N (4.2) Giải Chứng minh suy trực tiếp từ hệ thức truy hồi Định nghĩa 4.3 Dãy số {un } gọi dãy số phản tuần hồn (cộng tính) tồn số ngun dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N Số nguyên dương l nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kì sở dãy Định nghĩa 4.4 Dãy số {un } gọi dãy số phản tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s cho usn = −un , ∀n ∈ N Số nguyên dương s nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kì sở dãy 4.1.1 Cấp số cộng Bài toán 4.3 Xác định số hạng tổng quát cấp số cộng xn+1 = xn + d x1 = a Nhận xét 4.2 Đây toán chương trình phổ thơng Nếu nhìn theo hướng phương trình hàm tốn trở thành tốn sau: Xác định hàm số N thỏa mãn f (n + 1) = f (n) + d f (1) = a Giải Đặt f (n) = d.n + g(n) ta d(n + 1) + g(n + 1) = d.n + g(n) + d ⇔ g(n + 1) = g(n) Suy g(n) hàm số tuần hoàn N Do g(n) hàm Kết hợp với giả thiết ta g(n) = a Vậy số hạng tổng quát cấp số cộng cho xn+1 = a + n.d Nhận xét 4.3 Ta tổng qt tốn ví dụ thành toán sau: Xác định số hạng tổng quát tất cấp số cộng có cơng sai d Thực chất vấn đề xác định tấ hàm số N thỏa mãn phương trình f (n + 1) = f (n) + d 34 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4.1.2 Cấp số nhân Bài toán 4.4 Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân xn+1 = q.xn x1 = a Nhận xét 4.4 Đây tốn chương trình phổ thơng Nếu nhìn theo hướng phương trình hàm tốn trở thành toán sau: Xác định hàm số N thỏa mãn f (n + 1) = qf (n) f (1) = a Giải Đặt f (n) = q n g(n) ta q n+1 g(n + 1) = q.q n g(n) ⇔ g(n + 1) = g(n) Suy g(n) hàm số tuần hoàn N Do g(n) hàm Kết hợp với giả thiết ta g(n) = a Vậy số hạng tổng quát cấp số nhân cho xn+1 = a.q n 4.1.3 Cấp số tổng quát Nhận xét 4.5 Xét tốn phương trình hàm: Xác định hàm số thỏa mãn f (αx + β) = af (x) + b Đây tốn phương trình hàm giải tất trường hợp số α, β, a, b Dựa ý tưởng giải phương trình hàm cho ta phương pháp xác định số hạng tổng quát dãy số tuyến tính bất ki Sau ta minh họa điều qua số ví dụ cụ thể Bài toán 4.5 Xác định dãy số xn thỏa mãn: xn+1 = 2xn + Nhận xét 4.6 Nhìn theo hướng phương trình hàm tốn xác định hàm số N thỏa mãn f (n + 1) = 2f (n) + Do ta có lời giải sau Giải Đặt xn = −1 + yn ta yn+1 = 2.yn Tiếp tục đặt yn = 2n zn zn+1 = zn Suy zn dãy tuần hoàn N Do zn dãy tức zn = C Vậy số hạng tổng quát dãy số cho xn+1 = −1 + C.2n Bài toán 4.6 Xác định dãy số xn thỏa mãn: x2n = 3xn − 35 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 4.7 Nếu vận dụng kiến thức sai phân để giải phương trình khó khăn phương trình sai phân cấp n Nhưng ta nhìn tốn theo hướng phương trình hàm tốn hồn tồn giải cách thuận lợi Thật toán xác định hàm số f (x) N thỏa mãn f (2n) = 3f (n) − Theo hướng giải ta có lời giải tốn sau: Giải Đặt xn = + yn ta yn+1 = 3.yn Tiếp tục đặt yn = nlog2 v2n = Vậy dãy số cần tìm có dạng x0 = ; xn = + nlog2 Trong dãy số thỏa mãn v2n = Tiếp theo ta xác định dãy Đặt n = 2m với m ∈ N ta vm+1 = vm suy dãy vm dãy số tuần hoàn chu kì suy dãy vm dãy Vậy dãy số cần tìm x0 = ; xn = + nlog2 C C số Bài tốn 4.7 Xác định dãy số xn thỏa mãn: x2n+1 = −3xn + (4.3) Nhận xét 4.8 với ý tưởng tương tự tốn ta có lời giải tốn sau Giải Đặt n + = m, m = 1, 2, Khi viết (4.3)dưới dạng x2m−1 = −3xm−1 + 4, ∀m ∈ N∗ (4.4) u2m = −3um + , ∀m ∈ N∗ (4.5) hay với um = xm−1 Đặt vm = + um Khi (4.5) có dạng v2m = −3vm , ∀m ∈ N∗ (4.6) Đặt vm = mlog2 ym (4.6) có dạng y2m = −ym , , ∀m ∈ N∗ Suy dãy {ym } dãy phản tuần hồn nhân tính chu kì Khi đó, ta có yn =  C −y2k+1 y2k+1  với C số tùy ý với n có dạng 22m+1 (2k + 1), m, k ∈ N với n có dạng 22m (2k + 1), m, ∈ N∗ , k ∈ N 36 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ suy xm = um+1 = + (m + 1)log2 ym+1 với yn =  C với C số tùy ý −y2k+1 với n có dạng 22m+1 (2k + 1), m, k ∈ N  y2k+1 với n có dạng 22m (2k + 1), m, ∈ N∗ , k ∈ N Nhận xét 4.9 Với tư tưởng ta xác định tất dãy số dạng xαn+β = γxn + δ 4.2 Xác định số dãy số phân tuyến tính Bài tốn 4.8 Xác định dãy số xn thỏa mãn: xn ; x1 = a > xn + xn+1 = = yn ta yn+1 = 2yn + Đặt xn = 2(−1 + un ) + ⇔ un+1 = 2un Tiếp tục đặt Giải Ta thấy xn > với ∀n ∈ N Đặt yn = −1 + un ta −1 + un+1 un = 2n wn phương trình trở thành wn+1 = wn suy dãy wn dãy số tuần hồn chu kì dãy wn dãy số Kết hợp với điều kiện ban đầu x1 = a a+1 2n+1 (a + 1) 2n−1 (a + 1) nên ta wn = Suy un = ⇒ yn = −1 + ⇒ xn = 2a a a a Vậy dãy số cần tìm (a + 1)2n−1 − a xn = a (a + 1)2n−1 − a Bài toán 4.9 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: x1 = ; xn = Giải Ta có 2xn−1 , ∀n ≥ 3xn−1 + 3xn−1 + 1 = = +2 Đặt yn = , ta có xn 2xn−1 xn−1 xn y1 = yn = 2xn−1 + 5.2n−1 − ⇒ xn = n−1 5.2 −3 Vậy dãy số cần tìm ⇒ yn = xn = 5.2n−1 − Bài toán 4.10 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: x0 = ; xn+1 = 2xn + ; ∀n ≥ xn + 37 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 xn − ⇒ = 1+ Đặt yn = ⇒ y0 = xn + xn+1 − xn − xn − 3n+1 − yn+1 = 3yn + ⇒ yn = ⇒ xn = + n+1 −1 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Giải Ta có xn+1 − = xn = + 3n+1 − Bài toán 4.11 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: x1 = ; xn+1 = −9xn−1 − 24 , ∀n ≥ 5xn−1 + 13 Nhận xét 4.10 Bài toán khơng cịn đơn giản tốn ví dụ 4.9 4.10 tử số cịn hệ số tự do, ta tìm cách đưa ví dụ dạng giống tốn ví dụ 4.8 Muốn ta sử dụng phép tịnh tiến phù hợp Giải Đặt xn = yn +t Thay vào hệ thức truy hồi ta yn +t = −9xn−1 − 9t − 24 ⇔ 5xn−1 + 5t + 13 (−9 − 5t)xn−1 − 5t2 − 22t − 24 yn = Ta chọn t thỏa mãn: 5t2 + 22t + 24 = ⇒ t = 5xn−1 + 5t + 13 yn−1 11.3n−1 − 10 −2 ⇒ y1 = ⇒ yn = ⇒ ⇒ yn = = 5+ ⇒ = 5yn−1 + yn yn−1 yn −22.3n−1 + 24 ⇒ xn = y n − = Vậy số hạng tổng quát dãy số 11.3n−1 − 10 11.3n−1 − 10 cho −22.3n−1 + 24 xn = 11.3n−1 − 10 Nhận xét 4.11 Với ý tưởng ta giải tốn tổng qt sau: pxn−1 + q Cho dãy xn thỏa mãn: x1 = α xn+1 = , ∀n ≥ rxn−1 + s Giải Đặt xn = yn +t Thay vào hệ thức truy hồi dãy ta xn+t = pxn−1 + pt + q ⇔ rxn−1 + rt + s (p − rt)xn−1 − rt2 + (p − s)t + q Ta chọn t thỏa mãn: rt2 + (s − p)t + q = rxn−1 + rt + s 1 Khi ta chuyển dạng =a Từ ta tìm , suy xn yn xn−1 yn yn = 4.3 Phương trình hàm tập số tự nhiên Thơng thường để xác định số hạng tổng quát dãy số ta thường sử dụng kiến thức sai phân Tuy nhiên số trường hợp vận dụng sai phân 38 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn để giải toán xác định số hạng tổng quát dãy số tốn trở nên cồng kềnh khó giải Khi ta sử dụng kiến thức phương trình hàm để giải tốn hàm số f : N −→ R tương ứng với dãy số {xn } với số hạng tổng quát xn = f (n) nên nhiều toán xác định số hạng tổng quát dãy số đưa giải tốn phương trình hàm tập số tự nhiên N Bài toán 4.12 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: xαn+β = axn + b Với ∀α, β, n ∈ N, a = 1, a, b = (4.7) β 1−α Nhận xét 4.12 Bản chất toán tìm tất hàm số f : N −→ R thỏa mãn f (αn + β) = af (n) + b, ∀α, β, n ∈ N, a = 1, a, b = β ∈ Z 1−α Do sử dụng kĩ thuật giải phương trình hàm ta có lời giải cho tốn sau Giải Đặt xn = yn + b Khi (4.7) có dạng yαn+β = ayn Đặt y β +m = zm ta 1−α 1−a zαm = azm (4.8) Đặt zm = mlogα a vm (4.8) có dạng vmα = vm Vì ∀m ∈ N ta viết m = αs k với (k, s) = 1, s ∈ N nên vmα = vm ⇔ vαs+1 k = vαs k Đặt ts = vαs k ta ts+1 = ts β Suy dãy ts dãy số Vậy m + = αs k, với (k, s) = 1−α xn = β logα a b + (n − ) ts 1−a 1−α ts ∈ R tùy ý Bài toán 4.13 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: x m+n = xm + xn , ∀m, n, m+n ∈ N∗ , 39 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.9) x3 + x1 Suy x3 = 2x2 − x1 = 2 x + x2 2β − α Tiếp tục trình vậy, ta x3 = x 4+2 = Suy x4 = 2 2x3 − x2 = 2(2β − α) − β = 3β − 2α Bằng phương pháp quy nạp, ta thu Giải Đặt x1 = α, x2 = β ta có x2 = x 3+1 = xn = (n − 1)β − (n − 2)α, ∀n ∈ N∗ Vậy xn = (β − α)n + 2α − β x1 = α, x2 = β Đặt β − α = a, 2α − β = b số hạng tổng quát dãy số cho xn = an + b Với a,b tùy ý Bài toán 4.14 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: 2xm xn m+n , ∀m, n, ∈ N∗ xm + xn x m+n = (4.10) 2xm xn Đặt ⇔ x m+n = = yn , phương trình 1 xm + xn xn + xm xn ym + yn Theo tốn 4.13 yn = an + b với a, b ≥ 0, cho tương đương với y m+n = 2 a + b > Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Giải Ta có x m+n = xn = an + b Trong a, b ≥ 0, a + b > Bài toán 4.15 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: x m+n = Giải Ta có xn = x n+n = √ √ ∀m, n, xm xn , m+n ∈ N∗ [xn ]2 ≥ Đặt x1 = α, x2 = β, (α > 0, β > 0) √ = x1 x2n−1 = 0, ∀n ∈ N∗ Vậy xn ≡ nghiệm xn xn = a, Nếu α = 0, xn = x 1+2n−1 (4.11) b, Nếu α > β = xn = x 2+2n−2 = xn = (4.11) α √ x2 x2n−2 = 0, ∀n ≥ Suy n = n ≥ 40 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dãy số cần tìm c, Nếu α > β > Giả sử tồn n0 ≥ cho xn0 = Thế xn0 −1 = √ x n0 +n0 −2 = xn0 xn0 −2 = Chọn n0 = xn0 −1 = x2 = 0, hay β = 0, mâu thuẫn Do giả thiết xn > 0, ∀n ∈ Mặt khác x3 = x 4+2 = √ N∗ Ta có x2 = x 3+1 = √ x4 x2 Suy x4 = x23 x2 = β3 α2 x22 β2 = x3 x ⇒ x3 = x1 α Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh xn = β n−1 , ∀n ≥ αn−2 Ta có β n−1 α2 β n )( ) = ( αn−2 β αn Đặt α2 β = a, = b xn = a.bn với a > 0, b > Vậy dãy số cần tìm β α xn = α n = n ≥ , (α ≥ 0) Hoặc xn = a.bn với a > 0, b > Bài toán 4.16 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: x m+n = x2m + x2n , ∀m, n, m+n ∈ N∗ (4.12) , Giải Ta có x m+n = x n+n = 2 x2 = β ≥ Ta có x2 = x 3+1 x2n + x2n = x2n =| xn |≥ 0, ∀ ∈ N∗ Đặt x1 = α ≥ 0, x23 + x21 = Suy x23 = 2x22 − x21 = 2β − α2 nên x3 = √ 2β − α2 , (α ≤ β 2) Tương tự x3 = x 4+2 = 2x23 − x22 = 2(β − α2 ) − β = 3β − 2α2 Do x4 = x24 + x22 Suy x24 = 2 3β − 2α2 , (α ≤ β ) Bằng quy nạp toán học ta chứng minh hệ thức xn = (n − 1)β − (n − 2)α2 = (β − α2 )n + 2α2 − β , ∀n ≥ 41 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt β − α2 = a, 2α2 − β = b ta xn = √ an + b, a ≥ 0, a + b ≥ Vậy số hạng tổng quát dãy số cho xn = √ an + b, a ≥ 0, a + b ≥ Bài toán 4.17 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: xm+n + xn−m = x3n (4.13) ∀m, n ∈ N n ≥ m Giải + Với m = ta có 2xn = 3x3n + Với m = n = ta 2x0 = x0 ⇒ x0 = +Với m = n ta x2n = x3n , ∀n ∈ N∗ (a) Từ (a) suy x4m = x6m = x2.3m = x3.3m = x9m ,∀m ∈ N∗ Mặt khác thay n = 3m vào (4.11) ta x4m + x2m = x9m ⇒ x2m = ,∀m ∈ N∗ Cuối với ∀m ∈ N∗ ta 1 có xm = x3m = x2m = Dễ thấy xn = 0,∀n ∈ N∗ thỏa mãn yêu cầu toán 2 Bài toán 4.18 Xác định số hạng tổng quát dãy số xn thỏa mãn: x1 = 1, xm+n + xm−n = [x2n + x2n ], ∀m, n ∈ N, m ≥ n (4.14) ∀m, n ∈ N n ≥ m [x2 + x0 ] Suy x2 = = 22 Bằng quy nạp ta chứng minh xn = n2 Thật vậy, 1 xk +xk = [x2k +x0 ] nên ta có x2k = 4k Tương tự, xk+1 +xk−1 = [x2k +x2 ] 2 nên ta có xk+1 = x2k + − xk−1 = (k + 1)2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cần tìm Giải Cho m = n = ta x0 = Cho m = 1, n = x1 + x1 = xn = n2 42 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Từ vấn đề trình bày rút số kết luận sau: Phương trình hàm chủ đề tốn học khó chương trình Tốn trung học phổ thơng, đồng thời dạng tốn phương trình hàm đa dạng Tuy nhiên khuôn khổ luận văn nghiên cứu mảng nhỏ dạng toán phương trình hàm Luận văn hệ thống số dạng tốn phương trình hàm liên quan dến phép biến đổi tuyến tính phân tuyến tính có tính chất đối hợp Qua luận văn cho thấy mối quan hệ phương trình hàm với phép biến hình mặt phẳng thực mặt phẳng phức đặc biệt phép quay Luận văn làm rõ mối quan hệ phương trình hàm dãy số từ cho ta thêm phương pháp đề giải hiệu quẩ toán xác định cấp số mốt số dãy số đặc biệt Những kết thu từ luận văn giúp cho ta có cách hệ thống phương pháp giải tốn phương trình hàm sinh phép quay, đồng thời đưa số phương pháp để thiết lập tốn phương trình hàm xuất phát tư trường hợp cụ thể Hy vọng luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trường trung học phổ thông việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi 43 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các toán nội suy áp dụng NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Một số toán chọn lọc dãy số NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, 2009, Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Trọng Tuấn, 2004, Bài tốn hàm số qua kì thi Olimpic NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Sinh Nguyên, 2006, Chuyên đề bồi dưỡng phương trình hàm NXB Đà Nẵng [8] Nguyễn Văn Mậu, 2009, Các chuyên đề toán ứng dụng Kỉ yếu hội nghị khoa học Hà Nội - Bắc Giang [9] Nguyễn Phụ Hy-Nguyễn Quốc Bảo, 1996, ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp.NXB Giáo dục [10] Nguyễn Văn Mậu, 2009, Chuyên đề chọn lọc số phức áp dụng NXB Giáo dục [11] Trương Văn Thương, 2007, Hàm số biến số phức NXB Giáo dục [12] Christopher G small, Funtional Equations and How to slove them 44 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xác nhận người hướng dẫn khoa học Luận văn: "Phương trình hàm sinh phép quay số áp dụng" học viên Nguyễn Văn Tuấn chỉnh sửa theo góp ý hội đồng chấm luận văn thạc sỹ họp ngày 06 tháng 11 năm 2010 Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trưng biến đổi cyclic Chương 2: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số Chương 3: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số biến thiên Chương 4: Một số áp dụng Qua tác giả xin bày tỏ lòng... lớp hàm số sơ cấp Để xác định nghiệm riêng phương trình hàm ta thường vào đặc trưng hàm số sơ cấp Sau số đặc trưng số hàm số sơ cấp Hàm số : f (x) = f (y), ∀x, y ∈ Df , Df tập xác định hàm số. .. ứng với hàm số f : N −→ R Do tốn xác định số hạng tổng qt dãy số chất tốn phương trình hàm tập số tự nhiên Sau ta xét số áp dụng cụ thể phương trình hàm toán dãy số 4.1 Xác định dãy cấp số đặc