Về lớp môđun đối cohen macaulay dãy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ LỚP MÔĐUN ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Môđun Artin 1.1 Môđun Artin 1.2 Biểu diễn thứ cấp 1.3 Chiều Noether hệ tham số 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều phương 1.5 Dãy đối quy mơđun đối Cohen-Macaulay 11 địa 13 16 Môđun Cohen-Macaulay dãy 18 2.1 Môđun Cohen-Macaulay 18 2.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 19 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 28 3.1 Lọc chiều cho môđun Artin 28 3.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 35 3.3 Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy 38 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 17 đào tạo thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Nguyễn Thị Dung, Trường Đại học Nông Lâm Thái Nguyên Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới hướng dẫn, người tận tình bảo, dạy dỗ kiến thức lẫn tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua lúc khó khăn học tập Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT trường THPT Cao Bình tỉnh Cao Bằng tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m; M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Trong phạm trù mơđun Noether, lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm cấu trúc chúng biết đến cách trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng Đại số giao hốn: Phân tích ngun sơ, đối đồng điều địa phương, Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay ta lớp mơđun mới, chứa thực cịn có nhiều tính chất tương tự lớp mơđun Cohen-Macaulay Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng nhà toán học W Vogel J Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P Schenzel Ngô Việt Trung phát vào năm 1970, trả lời giả thuyết D A Buchsbaum Một hướng mở rộng khác lớp môđun Cohen-Macaulay lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đưa R P Stanley [18] cho môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau P Schenzel [15], Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợp vành địa phương Lớp môđun Cohen-Macaulay dãy chứa thực lớp môđun Cohen-Macaulay cấu trúc chúng biết đến [6], [15], [18], thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phương hóa, đối đồng điều địa phương, nay, lớp môđun quan tâm nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong phạm trù môđun Artin, lớp mơđun đóng vai trị quan trọng tương tự lớp mơđun Cohen-Macaulay nhiều nhà tốn học nghiên cứu gọi môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc lớp môđun biết đến thông qua dãy đối quy, đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [6], [19], ) Tương tự ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay phạm trù môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng đối Buchsbaum đưa chúng chứa thực lớp mơđun đối Cohen-Macaulay có đặc trưng, tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Buchsbaum quen biết phạm trù môđun Noether Tiếp theo đó, thơng qua lý thuyết chiều Noether, lọc chiều cho mơđun Artin xây dựng, từ dẫn đến việc đưa lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy mở rộng khác lớp môđun đối Cohen-Macaulay (xem [7]) Mục đích luận văn trình bày lại số nghiên cứu hai lớp môđun Cohen-Macaulay dãy môđun đối Cohen-Macaulay dãy hai báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized CohenMacaulay modules" N T Cuong and L T Nhan [6] "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules" N T Dung [7] Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương Để tiện theo dõi, chương dành để tóm tắt lại kết chung mơđun Artin sử dụng chương tiếp theo: Phương pháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham số, số bội, đồng điều địa phương cho mơđun Artin, dãy đối quy mơđun đối Cohen-Macaulay Tồn nội dung luận văn nằm chương chương Chương trình bày lại phần báo [6] Đó số kết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lớp môđun gọi Cohen-Macaulay dãy có tính chất tồn lọc = N0 ⊂ N1 ⊂ ⊂ Nt = M môđun M cho (a) Mỗi thương Ni /Ni−1 Cohen-Macaulay (b) dim(N1 /N0 ) < dim(N2 /N1 ) < < dim(Nt /Nt−1 ) Lớp mơđun có quan hệ chặt chẽ với lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, giả Cohen-Macaulay, nghiên cứu trước Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua địa phương hóa, đầy đủ theo tơ pơ m-adic, đặc biệt chúng đặc trưng qua đối đồng điều địa phương sau Định lý 2.2.9 Cho = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M lọc chiều M dim Mi = di với i = 1, , t Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi khẳng định sau tương đương: (i) M Cohen-Macaulay dãy (ii) Với j = 0, 1, , d môđun K j (M ) không Cohen-Macaulay chiều j (iii) Với j = 0, 1, , d − môđun K j (M ) không Cohen-Macaulay chiều j Chương dành để trình bày lại kết mở rộng lớp môđun đối Cohen-Macaulay: R-môđun Artin A gọi đối CohenMacaulay dãy A có lọc mơđun = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A cho Bi /Bi−1 môđun đối Cohen-Macaulay, với i = 1, , t N-dim A/Bt−1 < N-dim A/Bt−2 < < N-dim A/B0 = d Lớp môđun chứa thực lớp mơđun đối Cohen-Macaulay có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy Nội dung chương nằm báo [7], đưa khái niệm lọc chiều cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy số đặc trưng, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính chất chúng Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt mơđun Artin, ta thấy A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy A R-mơđun đối Cohen-Macaulay dãy, lại khơng có tính chất tương tự mơđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví dụ 6.1]) Một kết Chương đặc trưng đồng điều môđun đối Cohen-Macaulay dãy sau Định lý 3.3.3 Các mệnh đề sau tương đương: (i) A môđun đối Cohen-Macaulay dãy (ii) Với j = 0, 1, , d, môđun Hjm (A) Rmôđun Cohen-Macaulay chiều j (iii) Với j = 0, 1, , d − 1, môđun Hjm (A) R-môđun Cohen-Macaulay chiều j Ta biết x phần tử quy M M môđun Cohen-Macaulay M/xM môđun Cohen-Macaulay P Schenzel [15] chứng minh kết tương tự cho môđun CohenMacaulay dãy Tuy nhiên, có phản ví dụ điều khơng (Chú ý 3.3.10) Vì vậy, lại đặt vấn đề tìm điều kiện cho phần tử tham số x để đặc trưng tính đối Cohen-Macaulay dãy chia cho phần tử tham số Các kết thu sau Định lý 3.3.5 Cho x ∈ m Giả sử x ∈ / p với p ∈ Att A \ {m} Khi A mơđun đối Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau thoả mãn d (a) x ∈ / p, với p ∈ i=1 AssR Him (A) (b) :A x môđun đối Cohen-Macaulay dãy Từ Định lý 3.3.5, ta thu lại kết cho môđun CohenMacaulay dãy, (Hệ 3.3.8), đồng thời Định lý 4.7 P Schenzel [15] khơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Môđun Artin Như biết, môđun Noether đóng vai trị quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số mà cấu trúc chúng biết rõ thông qua lý thuyết Đại số giao hốn: phân tích ngun sơ, bội, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, Đã có nhiều tác giả nghiên cứu mơđun Artin đưa số lý thuyết - theo nghĩa xem tương ứng đối ngẫu với số lý thuyết quen biết phạm trù môđun Noether: biểu diễn thứ cấp, bội, chiều Noether, đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [5], [8], [9], [10], [13], [14], [19], ) Mục đích chương hệ thống lại số kết môđun Artin dùng chương sau Trong tồn chương này, ta ln ký hiệu R vành giao hốn, Noether khơng thiết địa phương (giả thiết địa phương cần nêu trường hợp cụ thể), A R-mơđun Artin Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 Môđun Artin Cho m iđêan cực đại vành R Nhắc lại môđun m-xoắn Γm (A) A định nghĩa (0 :A mn ) Γm (A) = n≥0 Khi đó, ta có kết sau Mệnh đề 1.1.1 [16, Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6] (i) Giả sử A R-mơđun Artin khác khơng Khi có hữu hạn iđêan cực đại m R cho Γm (A) = Nếu iđêan cực đại phân biệt m1 , , mr A = Γm1 (A) ⊕ ⊕ Γmr (A) Supp A = {m1 , , mr } (ii) Với j ∈ {1, , r}, s ∈ R \ mj , phép nhân s cho ta tự đẳng cấu Γmj (A) Do Γmj (A) có cấu trúc tự nhiên Rmj -môđun với cấu trúc này, tập Γmj (A) R-mơđun Rmj -mơđun Đặc biệt Amj ∼ = Γmj (A), với j = 1, , r Kí hiệu 1.1.2 Để cho thuận tiện, từ trở ta đặt A = A1 ⊕ ⊕ Ar JA = m, m∈Supp A Aj = ∪ (0 :A mnj ) (1 n>0 j r) Chú ý (R, m) vành địa phương JA = m Cho (R, m) vành địa phương Nhắc lại đầy đủ theo tô pô m-adic R, ký hiệu R, tập lớp tương đương dãy Cauchy theo quan hệ tương đương xác định sở lân cận phần tử iđêan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mt , t = 0, 1, 2, R trang bị hai phép tốn hai ngơi: phép cộng, phép nhân dãy Cauchy với hai phép toán này, R làm thành vành Mỗi phần tử r ∈ R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r (xem [11]) Mệnh đề 1.1.3 [16, Bổ đề 1.11, Hệ 1.12] Cho A R-môđun Artin khác khơng vành địa phương (R, m) Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên R-mơđun, R vành đầy đủ theo tôpô m-adic R tập A R-môđun A R-mơđun A Do đó, A có cấu trúc tự nhiên R-môđun Artin Cho (R, m) vành địa phương, đầy đủ Đặt E = E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m Kí hiệu D( ) = HomR ( , E) Khi ta có kết sau E Matlis (xem [16, Định lý 2.1]) Mệnh đề 1.1.4 (i) R-môđun E Artin Với f ∈ HomR (E, E), tồn af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E (ii) Nếu N R-mơđun Noether, D(N ) Artin (iii) Nếu A R-mơđun Artin, D(A) Noether (iv) Ann M = Ann D(M ), M R-mơđun cho R (D(M )) 1.2 = R (M ) < ∞, R (M ) Biểu diễn thứ cấp Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho môđun Artin nghiên cứu D Kirby D G Northcott Sau I G Macdonald [10] trình bày lại khái niệm cách tổng qt cho mơđun tuỳ ý ơng gọi biểu diễn thứ cấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ định nghĩa cho môđun Noether Trong luận văn này, dùng theo thuật ngữ I G Macdonald [10] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Từ Định nghĩa 3.2.1, ta có tính chất môđun đối Cohen-Macaulay dãy chuyển qua đầy đủ m-adic, mà tính chất tương tự lại khơng cho mơđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví dụ 6.1]) Hệ 3.2.3 A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy R-mơđun đối Cohen-Macaulay dãy Tiếp theo, A có lọc đối Cohen-Macaulay lọc chiều A Để có điều đó, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.2.4 Giả sử A môđun đối Cohen-Macaulay Cho Q môđun thương khác không A Khi N-dim Q = d Chứng minh Vì A R-môđun đối Cohen-Macaulay nên A R-môđun đối Cohen-Macaulay theo Hệ 3.2.3 Mặt khác, theo [13, Định lý 3.1.7] ta có dimR A ≥ WidthR A = d dim R/p ≥ WidthR A = d với p ∈ AttR A Chú ý ∅ = AttR Q ⊆ AttR A Do N-dim Q = N-dimR Q = max{dim(R/p) : p ∈ AttR Q} = d Bổ đề 3.2.5 Nếu A môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối CohenMacaulay = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A, A/Bi môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay = Bi /Bi ⊂ Bi+1 /Bi ⊂ ⊂ Bt−1 /Bi ⊂ Bt /Bi = A/Bi với i = 1, , t Chứng minh Theo định lý đẳng cấu môđun, với j = 1, , t − ta có (A/Bi )/(Bj /Bi ) ∼ = A/Bj (Bj /Bi )/(Bj−1 /Bi ) ∼ = Bj /Bj−1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 với j = 1, , t Từ đẳng cấu A đối Cohen-Macaulay dãy nên suy N-dim((A/Bi )/(Bt−1 /Bi )) < N-dim((A/Bi )/(Bt−2 /Bi )) < < N-dim((A/Bi )/(Bi /Bi )) A/Bt−1 , Bt−1 /Bt−2 , , Bi+1 /Bi môđun đối Cohen-Macaulay Do đó, ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2.6 Giả sử A có lọc đối Cohen-Macaulay Khi nhất, lọc chiều A Chứng minh Cho = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ At−1 ⊂ At = A lọc chiều A = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bh−1 ⊂ Bh = A lọc đối Cohen-Macaulay A Ta chứng minh t = h Ai = Bi với i = 1, , t quy nạp theo i Với i = Vì N-dim A/B1 < d, theo tính chất nhỏ A1 , ta có A1 ⊆ B1 Nếu B1 = A1 , B1 /A1 = Từ dãy khớp −→ B1 −→ A −→ A/B1 −→ N-dim A/B1 < d nên N-dim A = N-dim B1 = d Mặt khác, B1 đối Cohen-Macaulay, theo Bổ đề 3.2.4 ta có N-dim(B1 /A1 ) = d Do d > N-dim(A/A1 ) ≥ N-dim(B1 /A1 ) = d, mâu thuẫn Vậy B1 = A1 Với i > giả sử Bi−1 = Ai−1 Theo Bổ đề 3.2.5, ta có A/Bi−1 đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay = Bi−1 /Bi−1 ⊂ Bi /Bi−1 ⊂ ⊂ Bh−1 /Bi−1 ⊂ Bh /Bi−1 = A/Bi−1 Theo định nghĩa lọc chiều định lý đẳng cấu môđun, Bi−1 = Ai−1 , nên ta kiểm tra lọc chiều A/Bi−1 = Ai−1 /Bi−1 ⊂ Ai /Bi−1 ⊂ ⊂ At−1 /Bi−1 ⊂ At /Bi−1 = A/Bi−1 Tương tự trường hợp i = 1, ta chứng minh Bi /Bi−1 = Ai /Bi−1 Từ dãy khớp −→ Bi /Bi−1 −→ A/Bi−1 −→ A/Bi −→ từ điều kiện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 lọc chiều N-dim A/Bi < N-dim A/Bi−1 ta phải có N-dim Bi /Bi−1 = N-dim A/Bi−1 = N-dim A/Ai−1 Mặt khác, tính chất nhỏ Ai /Bi−1 nên ta có Ai /Bi−1 ⊆ Bi /Bi−1 Giả sử Bi /Bi−1 = Ai /Bi−1 Do Bi /Bi−1 đối Cohen-Macaulay, nên theo Bổ đề 3.2.4 N-dim((Bi /Bi−1 )/(Ai /Bi−1 )) = N-dim Bi /Bi−1 Hơn nữa, N-dim((A/Bi−1 )/(Ai−1 /Bi−1 )) > N-dim((A/Bi−1 )/(Ai /Bi−1 )) ≥ N-dim((Bi /Bi−1 )/(Ai /Bi−1 )) nên theo định lý đẳng cấu môđun, ta có N-dim A/Ai−1 > N-dim A/Ai ≥ N-dim Bi /Bi−1 = N-dim A/Ai−1 , suy mâu thuẫn Do Bi /Bi−1 = Ai /Bi−1 , hay Bi = Ai Vậy t = h Ai = Bi với i = 1, , t 3.3 Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy Tiết chứa đựng kết chương 3, đưa đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulay dãy qua đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis vành chuỗi luỹ thừa hình thức Ta biết rằng, vành địa phương đầy đủ, đối ngẫu Matlis cho ta tương đương phạm trù môđun Noether mơđun Artin Chẳng hạn, ta ln có AttR A = AssR D(A), N-dim A = dimR D(A) WidthR A = depthR D(A), D(A) = HomR (A; E) đối ngẫu Matlis A xem R-môđun hữu hạn sinh E = E(R/m) bao nội xạ R/m Do đó, A R-mơđun đối Cohen-Macaulay D(A) R-môđun Cohen-Macaulay Bổ đề sau đây, xem kết mấu chốt để thu đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Bổ đề 3.3.1 A môđun đối Cohen-Macaulay dãy đối ngẫu Matlis D(A) A R-môđun Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Cho = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ At = A lọc chiều A Trước hết, ta khẳng định = D(A/At ) ⊂ D(A/At−1 ) ⊂ ⊂ D(A/A1 ) ⊂ D(A/A0 ) = D(A) lọc chiều D(A) Thật vậy, cho i ∈ {1, , t} Khi đó, từ dãy khớp −→ Ai /Ai−1 −→ A/Ai−1 −→ A/Ai −→ kéo theo dãy khớp −→ D(A/Ai ) −→ D(A/Ai−1 ) −→ D(Ai /Ai−1 ) −→ Vì vậy, D(A/Ai ) mơđun D(A/Ai−1 ) D(A/Ai−1 ) D(A/Ai ) ∼ = D(Ai /Ai−1 ) Dễ thấy N-dim Ai /Ai−1 = N-dim A/Ai−1 với i t Do đó, dimR D(Ai /Ai−1 ) = N-dim Ai /Ai−1 < N-dim Ai−1 /Ai−2 = dimR D(Ai−1 /Ai−2 ) Vì dimR D(A/Ai−1 ) D(A/Ai ) < dimR D(A/Ai−2 ) D(A/Ai−1 ) Do đó, khẳng định chứng minh ta D(A/Ai ) môđun lớn D(A/Ai−1 ) có chiều nhỏ dim D(A/Ai−1 ) Bằng quy nạp, ta cần chứng minh cho trường hợp i = Thật vậy, giả sử tồn môđun L D(A) cho D(A/A1 ) thực chứa L dim L < dim D(A) = d Khi ∅ = AssR (L D(A/A1 )) ⊆ AssR (D(A) D(A/A1 )) Lấy p ∈ AssR (L D(A/A1 )) Vì dim L < d nên dim R/p < d Chú ý p ∈ AssR (D(A)/D(A/A1 )) = AssR D(A1 ) = AttR A1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Vì thế, theo Định lý 3.1.4 ta có dim R/p = d Điều dẫn đến vô lý Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh bổ đề Cho i t Khi Ai /Ai−1 mơđun đối Cohen-Macaulay D(Ai /Ai−1 ) R-môđun Cohen-Macaulay, D(A/Ai−1 ) D(A/Ai ) R-mơđun CohenMacaulay Do đó, theo Mệnh đề 3.2.6 khẳng định trên, ta có điều phải chứng minh Hệ 3.3.2 Cho M R-môđun hữu hạn sinh Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi M Cohen-Macaulay dãy đối ngẫu Matlis D(M ) M đối Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Ta có D(D(M )) ∼ = M , M m-adic đầy đủ M Theo Bổ đề 3.3.1, D(M ) đối Cohen-Macaulay dãy M Cohen-Macaulay dãy Vì R vành có phức đối ngẫu, theo Định lý 2.2.9, M Cohen-Macaulay dãy M Cohen-Macaulay dãy Trường hợp đặc biệt, M = R, R ∼ = D(E) theo [1, 10.2.11] Vì ta có E mơđun đối Cohen-Macaulay dãy R môđun Cohen-Macaulay dãy Định lý sau kết chương này, cho ta đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy đồng điều địa phương, tương tự Định lý 2.2.9 đặc trưng môđun Cohen-Macaulay dãy qua đối đồng điều địa phương Tuy nhiên, giả thiết định lý không yêu cầu vành có phức đối ngẫu Định lý 2.2.9 Định lý 3.3.3 Các mệnh đề sau tương đương: (i) A môđun đối Cohen-Macaulay dãy (ii) Với j = 0, 1, , d, môđun Hjm (A) R-môđun Cohen-Macaulay chiều j (iii) Với j = 0, 1, , d − 1, môđun Hjm (A) Rmơđun Cohen-Macaulay chiều j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Chứng minh (i) ⇒ (ii) Vì A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, nên theo Bổ đề 3.3.1, D(A) R-môđun Cohen-Macaulay dãy với chiều Krull dimR D(A) = d Vì vậy, theo Định lý 2.2.9 ta có D Hmj (D(A)) R-môđun Cohen-Macaulay chiều j , với j = 0, 1, , d Từ j đẳng cấu Hjm (A) ∼ = D Hm (D(A)) theo Mệnh đề 1.4.7 (ii), ta có Hjm (A) R-mơđun chiều j , với j = 0, 1, , d (ii)⇒(iii) Hiển nhiên (iii)⇒(i) Cho j d − số nguyên Vì Hjm (A) R-môđun Cohen-Macaulay chiều j , theo Mệnh đề 1.4.7(ii), ta có D Hmj (D(A)) là R-môđun Cohen-Macaulay chiều j Vì D(A) R-mơđun Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.2.9 Vì A mơđun đối Cohen-Macaulay dãy theo Bổ đề 3.3.1 Hệ sau suy từ Mệnh đề 2.2.6 Bổ đề 3.3.1 Hệ 3.3.4 Tổng trực tiếp hữu hạn môđun đối Cohen-Macaulay dãy môđun đối Cohen-Macaulay dãy n Chứng minh Giả sử A = A1 ⊕ ⊕ An = Ai , Ai môđun i=1 đối Cohen-Macaulay dãy với i = 1, , n Ta chứng minh A môđun đối n Cohen-Macaulay dãy Thật vậy, ta có D(A) = D( n Ai ) = i=1 D(Ai ) Vì i=1 Ai môđun đối Cohen-Macaulay dãy, theo Bổ đề 3.3.1 ta có D(Ai ) n R-mơđun Cohen-Macaulay dãy với i = 1, , n Do D(Ai ) = D(A) i=1 R-môđun Cohen-Macaulay dãy theo Mệnh đề 2.2.6 Vậy, theo Mệnh đề 3.3.1 ta có A môđun đối Cohen-Macaulay dãy Tiếp theo, định lý sau cho ta điều kiện phần tử tham số x ∈ m để A môđun đối Cohen-Macaulay dãy :A x môđun đối Cohen-Macaulay dãy Định lý 3.3.5 Cho x ∈ m Giả sử x ∈ / p với p ∈ Att A \ {m} Khi A đối Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 thoả mãn: d (a) x ∈ / p với p ∈ i=1 AssR Him (A) (b) :A x đối Cohen-Macaulay dãy Để chứng minh định lý, trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.3.6 Nếu x phần tử R cho x ∈ / p, với p ∈ AttR A \ {m}, (A/xA) < ∞ Chứng minh Giả sử A = B0 + B1 + + Bn biểu diễn thứ cấp tối thiểu A, B0 m-thứ cấp Bi pi -thứ cấp, pi = m, với i n Từ giả thiết x ∈ / p, với p ∈ AttR A \ {m} nên ta có xBi = Bi , với R (A/xA) i n Do = R (A/B1 = R (B0 /(B1 Vì B0 m-thứ cấp nên + + Bn + xB0 ) R (A/B1 + + Bn ) + + Bn ) ∩ B0 ) R (B0 ) < ∞ Do ta có điều phải chứng minh Chứng minh định lý Vì x ∈ / p với p ∈ Att A\{m}, ta có (A/xA) < ∞ theo Bổ đề 3.3.6 nên theo Định lý 1.4.8, ta có Him (A/xA) = 0, Vì N-dim A/xA với i > Lấy đồng điều địa phương dãy khớp −→ xA −→ A −→ A/xA −→ 0, ta có dãy khớp dài với i ≥ m −→ Hi+1 (A/xA) −→ Him (xA) −→ Him (A) −→ Him (A/xA) −→ m Theo trên, với i > ta có Hi+1 (A/xA) = Him (A/xA) = Vì thế, ta có đẳng cấu R-môđun H m (xA) ∼ = H m (A) với i ≥ Do đó, dãy khớp i i x −→ :A x −→ A −→ xA −→ kéo theo dãy khớp sau −→ H1m (A)/xH1m (A) −→ H0m (0 :A x) −→ H0m (A), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1) 43 m m −→ Hi+1 (A)/xHi+1 (A) −→ Him (0 :A x) −→ :Him (A) x −→ 0, (2) với i = 1, , d − Bây ta chứng minh định lý Giả sử A môđun đối CohenMacaulay dãy Theo Định lý 3.3.5, Him (A) R-môđun Cohen-Macaulay chiều i với i = 1, , d Giả sử x ∈ p với p ∈ AssR Hkm (A) với k ≥ Vì Hkm (A) Cohen-Macaulay chiều k, nên suy x phần tử tham số Hkm (A), dimR Hkm (A)/xHkm (A) = k Do đó, từ dãy khớp (1) (2), ta có k = dimR Hkm (A)/xHkm (A) m dimR Hk−1 (0 :A x) m (0 :A x) ∼ Hơn nữa, Hk−1 = D Hmk−1 (D(0 :A x)) theo Mệnh đề 1.4.7 (iv) Chú ý theo Bổ đề 1.3.4 (iii) (iv), ta có dimR D Hmk−1 (D(0 :A x)) m (0 :A x) Vì thế, dimR Hk−1 = N-dim Hmk−1 (D(0 :A x)) k − k − Điều dẫn đến vơ lý (a) chứng minh Bây ta chứng minh (b) Cho i ≥ Theo (a) ta có :Him (A) x = Vì thế, từ dãy khớp (1) (2), ta có m m Hi+1 (A)/xHi+1 (A) ∼ = Him (0 :A x) m m Do đó, Hi+1 (A) = 0, Him (0 :A x) = 0, Hi+1 (A) mơđun Cohen-Macaulay chiều i + 1, Him (0 :A x) mơđun Cohen-Macaulay chiều i Vì :A x môđun đối Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 3.3.3, (b) chứng minh Ngược lại, giả sử hai điều kiện (a), (b) thoả mãn Từ giả thiết (a), ta có :Him (A) x = với i ≥ Do đó, theo dãy khớp (2), H m (A)/xH m (A) ∼ = H m (0 :A x) với i ≥ Vì :A x môđun đối i+1 i+1 i Cohen-Macaulay dãy x phần tử quy tất môđun m m Hi+1 (A) cho Hi+1 (A) khác 0, nên theo Định lý 3.3.3 ta có Him (A) R-môđun Cohen-Macaulay chiều i với i ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Hơn nữa, theo dãy khớp (1), (H1m (A)/xH1m (A)) < ∞ Vì x ∈ / p với p ∈ AssR H1m (A), ta có H1m (A) R-mơđun CohenMacaulay chiều Vì vậy, A môđun đối Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 3.3.3 Ký hiệu S = R[[X1 , , Xn ]] vành chuỗi luỹ thừa hình thức n biến R Cho A R-môđun Artin K = A[X1−1 , , Xn−1 ] môđun đa thức ngược lấy hệ số A Khi K có cấu trúc tự nhiên S -mơđun Artin Hơn nữa, ta kiểm tra N-dimS K = N-dimR A + n Mặt khác, ta có a1 , , ar dãy đối quy cực đại A m a1 , , ar , X1 , , Xn dãy đối quy cực đại K iđêan cực đại (m, X1 , , Xn ) S Vì Width K = Width A + n A R-mơđun đối Cohen-Macaulay K S -môđun đối Cohen-Macaulay (xem [12, Mệnh đề 4.1 Định lý 4.3] Với ký hiệu ta có kết sau Định lý 3.3.7 A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy K S -môđun đối Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Bằng quy nạp theo n, ta cần chứng minh định lý cho trường hợp n = Cho S = R[[X]] K = A[X −1 ] Giả sử K môđun đối Cohen-Macaulay dãy Vì X phần tử đối quy K :K X ∼ = A, theo Định lý 3.3.5, ta có A mơđun đối Cohen-Macaulay dãy Ngược lại, giả sử A môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ At−1 ⊂ At = A Đặt Ki = Ai [X −1 ] với i = 0, 1, , t Ta kiểm tra Ki /Ki−1 ∼ = (Ai /Ai−1 )[X −1 ]; K/Ki ∼ = (A/Ai )[X −1 ] Vì N-dim K/Ki < N-dim K/Ki−1 , với i t Vì Ai /Ai−1 đối Cohen-Macaulay, nên Ki /Ki−1 đối Cohen-Macaulay Do đó, = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kt−1 ⊂ Kt = K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 lọc đối Cohen-Macaulay K, hay K đối Cohen-Macaulay dãy Hệ 3.3.8 Cho M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Giả sử R vành có phức đối ngẫu Cho x ∈ m phần tử cho x∈ / p với p ∈ Ass M \ {m} Khi M Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau thoả mãn: d (a) x ∈ / p với p ∈ i=1 AttR Hmi (M ) (b) M/xM Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Giả sử M mơđun Cohen-Macaulay dãy Vì R vành có phức đối ngẫu nên D(M ) đối Cohen-Macaulay dãy theo Hệ 3.3.2 Mặt khác, theo Định lý 3.3.5 ta có x ∈ / p, với p ∈ AssR Him (D(M )) Do x ∈ / p, với p ∈ Att D(H m (D(M ))) Vì D(H m (D(M ))) ∼ = H i (M ) R i theo Mệnh đề 1.4.7 nên x ∈ / p với p ∈ i i AttR Hm (M ), m (a) chứng minh Ta chứng minh (b) Theo Định lý 3.3.5 ta có :D(M ) x đối Cohen-Macaulay dãy Do D(0 :D(M ) x) Cohen-Macaulay dãy theo Hệ 3.3.2 Suy M/xM ∼ = D(0 :D(M ) x) Cohen-Macaulay dãy Ngược lại, giả sử hai điều kiện (a) (b) thoả mãn Từ (b) ta có M/xM Cohen-Macaulay dãy D(M/xM ) ∼ = D(M )/D(xM ) ∼ = :D(M ) x đối Cohen-Macaulay dãy Theo Định lý 3.3.5, ta có D(M ) đối CohenMacaulay dãy Vậy M Cohen-Macaulay dãy theo Hệ 3.3.2 Hệ 3.3.9 Cho S = R[[X1 , , Xn ]] vành chuỗi luỹ thừa hình thức n biến vành R Khi R Cohen-Macaulay dãy S Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Nhận xét 3.3.10 (i) Ta biết x phần tử quy M, M Cohen-Macaulay M/xM Cohen-Macaulay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Tuy nhiên, tính chất tương tự khơng với mơđun Cohen-Macaulay dãy Thật vậy, cho R = k[[x, y]] vành chuỗi luỹ thừa hình thức hai biến trường k Cho M = (x, y)R, ta có dim M = Vì x phần tử quy M nên dim M/xM = M/xM Cohen-Macaulay dãy theo Ví dụ 2.2.4 Mặt khác, từ dãy khớp −→ M −→ R −→ R/M −→ R/M = k[[x, y]]/(x, y)R ∼ = k , ta dãy khớp −→ M −→ R −→ k −→ Từ dãy khớp ngắn ta có dãy khớp dài −→ Hm0 (M ) −→ Hm0 (R) −→ Hm0 (k) −→ −→ Hm1 (M ) −→ Hm1 (R) −→ Hm1 (k) −→ Vì k trường R vành Cohen-Macaulay chiều nên ta có Hm0 (k) = (0 :k mn ) ∼ = k, Hm0 (R) = Hm1 (R) = n≥0 Hơn nữa, Hm0 (M ) = n≥0 (0 :M mn ) = n≥0 (0 :(x,y)R mn ) = Do Hm1 (M ) ∼ = k = dim Hm1 (M ) = dim k = Theo Định lý 2.1.3, M khơng Cohen-Macaulay Do M khơng Cohen-Macaulay dãy Vì vậy, Hệ 3.3.8 phản ví dụ [15, Định lý 4.7] (ii) Hệ 3.3.8 không R vành khơng có phức đối ngẫu Ví dụ, cho (R, m) vành địa phương chiều xây dựng Ví dụ 3.1.7 Khi R khơng Cohen-Macaulay dãy R Cohen-Macaulay dãy theo [15] Cho = x ∈ m phần tử quy Khi R/xR CohenMacaulay dãy chiều dim R/xR = Vì vậy, vành R thoả mãn điều kiện (b) Hệ 3.3.8 Theo Ví dụ 3.1.7, ta có AttR Hm1 (R) = {0} = AttR Hm2 (R) Mà x = x ∈ / p với p ∈ AttR Hm1 (R), p ∈ AttR Hm2 (R) Khi x thoả mãn điều kiện (a) Hệ 3.3.8 Tuy nhiên, R không Cohen-Macaulay dãy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Kết luận Tóm lại, luận văn chúng tơi trình bày lại chứng minh chi tiết kết báo ” On sequentialy co-Cohen-Macaulay modules” N T Dung tạp chí Algebra Colloquium năm 2007 phần kết báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules" N T Cường - L T Nhàn tạp chí Journal of Algebra năm 2002 Kết luận văn gồm nội dung sau Hệ thống lại hệ thống lại số kết mơđun Artin có liên quan đến nội dung luận văn: phương pháp nghiên cứu môđun Artin thông qua đối ngẫu Matlis, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham số số bội cho môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phơng đồng điều địa phương, dãy đối quy, độ rộng mơđun đối Cohen-Macaulay Giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy tính chất mơđun Cohen-Macaulay dãy Đặc biệt chứng minh đặc trưng môđun Cohen-Macaulay dãy qua đối đồng điều địa phương Giới thiệu khái niệm niệm lớp mơđun đối Cohen-Macaulay dãy tính chất lớp môđun Nghiên cứu môđun đối Cohen-Macaulay dãy qua đặc trưng lớp môđun đồng điều địa phương vành chuỗi luỹ thừa hình thức Đặc biệt tìm điều kiện cho phần tử tham số x để đặc trưng tính đối Cohen-Macaulay dãy chia cho phần tử tham số Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Tài liệu tham khảo [1] Brodmann, M and R Y Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge [2] N T Cuong and V T Khoi (1999), "Module whose local cohommology modules have Cohen-Macaulay Matlis duals", In: Proc of Hanoi Conference on Algebra Geometry, Commutative Algebra and Computation Methods, D Eisenbud (Ed.), Springer-Verlag, pp 223-231 [3] N T Cuong and T T Nam (2001), "The I−adic completion and local homology for Artinian modules", Math Proc Camb Phil Soc 131 (1), pp 61-72 [4] N T Cuong and L T Nhan (1999), "Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules", East-West J Math., (2), pp 179-196 [5] N T Cuong and L T Nhan (2002), "On Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J Math., 30, pp 121-130 [6] N T Cuong and L T Nhan (2003), "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules," J Algebra, 267 (1), pp 156-177 [7] N T Dung (2007), "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules", accepted for publication in Algebra Colloquium, 14 (3), pp 455-468 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 [8] Kirby D (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart J Math Oxford (Ser 2) 24 (2), pp 47-57 [9] Kirby, D (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart J Math Oxford, (Ser 2) 41 (2), pp 419-429 [10] Macdonald, I G (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica 11, pp 23-43 [11] Matsumura, H (1986), Commutative ring theory, Cambridge University press [12] L T Nhan, (2001), "Dimension and width of linearly compact modules and co-localization of Artinian modules", Vietnam J Math., 29 (2), 165-177 [13] Ooishi, A (1976), "Matlis duality and the width of a module", Hiroshima Math J 6, pp 573-587 [14] Roberts, R N (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart J Math Oxford, (Ser 2) 26, pp 269-273 [15] Schenzel, P (1999), "On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules," in: Commutative Algebra and Algebraic Geometry (Ferrara), Lecture Notes in Pure and Apll Math., 206, Dekker, New York, pp 245-264 [16] Sharp, R Y (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic behaviour," in: Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ No 15, Spinger-Verlag, New York, pp 443-465 [17] Sharp, R Y (1990) Steps in commutative algebra Cambridge University Press Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 [18] Stanley, R P (1996) Combinatorics and Commutative Algebra, Second edition, Birkhăauser, Boston [19] Tang, Z and H Zakeri (1994), "Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized fractions", Comm Algebra., 22 (6), pp 21732204 Tiếng Pháp [20] Ferrand D and M Raynaund (1970), "Fibres formelles d’un anneau local Noetherian," Ann Sci E’cole Norm Sup., (4), pp 295-311 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... môđun đối Cohen- Macaulay dãy mở rộng khác lớp môđun đối Cohen- Macaulay (xem [7]) Mục đích luận văn trình bày lại số nghiên cứu hai lớp môđun Cohen- Macaulay dãy môđun đối Cohen- Macaulay dãy hai... Cohen- Macaulay A Sau số ví dụ mơđun đối Cohen- Macaulay dãy Ví dụ 3.2.2 (i) Mọi môđun đối Cohen- Macaulay môđun đối Cohen- Macaulay dãy với lọc đối Cohen- Macaulay = A0 ⊂ A1 = A (ii) Một ví dụ khác môđun. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 3.2 Môđun đối Cohen- Macaulay dãy Tiết dành để giới thiệu lớp môđun Artin chứa thực lớp mơđun đối Cohen- Macaulay có tính chất tương tự lớp môđun Cohen- Macaulay dãy phạm trù môđun Noether